第九章中心对称图形

8年级下学期数学讲义05 ( 第九章中心对称图形)知识点：9.1 图形的旋转1.一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心距离相等，两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等。

9.2 中心对称和中心对称图形2.成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分。

9.3 平行四边形3.平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分。

4.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形。

9.4 矩形、菱形、正方形5.矩形的四个角都是直角，对角线相等。

三个角是直角的四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形。

6.菱形的四条边相等，对角线互相垂直。

四边相等的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

7.有一组领边相等的矩形是正方形；有一个角是直角的菱形是正方形。

9.5 三角形的中位线8.三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

9.1 图形的旋转试题1．（2013•南昌）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ADE．若∠CAE=65°，∠E=70°，且AD⊥BC，∠BAC的度数为（）A．60°B．75°C．85°D．90°2．（2013•河池）如图（1），已知两个全等三角形的直角顶点及一条直角边重合．将△ACB绕点C按顺时针方向旋转到△A′CB′的位置，其中A′C交直线AD于点E，A′B′分别交直线AD、AC于点F、G，则在图（2）中，全等三角形共有（）A．5对B．4对C．3对D．2对3．（2011•哈尔滨）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°，△AB′C′可以由△ABC绕点A顺时针旋转90°得到（点B′与点B是对应点，点C′与点C是对应点），连接CC′，则∠CC′B′的度数是（）A．45°B．30°C．25°D．15°4．（2009•漳州）如图，△OAB绕点O逆时针旋转80°得到△OCD，若∠A=110°，∠D=40°，则∠α的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°5．（2008•庐阳区）如图，将△ABC绕着点C按顺时针方向旋转20°，B点落在B′位置，A点落在A′位置，若AC⊥A′B′，则∠BAC的度数是（）A．50°B．60°C．70°D．80°6．（2013•铁岭）如图，在△ABC中，AB=2，BC=3.6，∠B=60°，将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为___________．7．（2013•吉林）如图，把Rt△ABC绕点A逆时针旋转40°，得到Rt△AB′C′，点C′恰好落在边AB上，连接BB′，则∠BB′C′=___________度．8．（2008•厦门）如图，点G是△ABC的重心，CG的延长线交AB于D，GA=5cm，GC=4cm，GB=3cm，将△ADG绕点D旋转180°得到△BDE，则DE=___________cm，△ABC的面积=___________cm2．9．（2011•珠海）如图，将一个钝角△ABC（其中∠ABC=120°）绕点B顺时针旋转得△A1BC1，使得C点落在AB的延长线上的点C1处，连接AA1．（1）写出旋转角的度数；（2）求证：∠A1AC=∠C1．10．（2006•三明）已知△ABC中，AB=AC，∠A=36°，点D在AC上，将△BDC绕点D按顺时针方向旋转α（0°＜α＜180°），使△BDC与△ADE重合（如图所示）．（1）求角α；（2）说明四边形EBCD是等腰梯形．9.2 中心对称和中心对称图形试题1．（2013•黔西南州）在平行四边形、等腰梯形、等腰三角形、矩形、菱形五个图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．（2013•抚顺）下列图形中，不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．（2010•连云港）下列四个多边形：①等边三角形；②正方形；③正五边形；④正六边形、其中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．①②B．②③C．②④D．①④4．把26个英文字母依照轴对称性和中心对称性分成5组：①FRPJLG□②HIO□③NS□④BCKE□⑤VATYWU□，现在还有5个字母D、M、Q、X、Z请你按原规律补上，其顺序依次为（）A．Q XZMD B．D MQZX C．Z XMDQ D．Q XZDM5．下列的正方体的平面展开图中，既不是轴对称图形，也不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．6．（2011•曲靖）小明、小辉两家所在位置关于学校中心对称．如果小明家距学校2公里，那么他们两家相距___________公里．7．（1997•安徽）如右图，线段AB关于点O（不在AB上）的对称线段是A′B′；线段A′B′关于点O′（不在A′B′上）的对称线段是A″B″．那么线段AB与线段A″B″的关系是___________．8．（2012•广陵区二模）如下图，是4×4的正方形网格，把其中一个标有数字的白色小正方形涂黑，就可以使图中的黑色部分构成一个中心对称图形，则这个白色小正方形内的数字是___________．9．（1）已知实数a，b满足a（a+1）-（a2+2b）=1，求a2-4ab+4b2-2a+4b的值．（2）如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若∠C=90°，∠B=30°，BC=1，则BB′的长？10．已知：如图所示，E是等腰梯形一腰CD的中点，EF⊥AB，垂足为F，求证：S梯形ABCD=AB•EF．9.3 平行四边形试题1．（2013•泸州）四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（）A．A B∥DC，AD∥BC B．A B=DC，AD=BC C．A O=CO，BO=DO D．A B∥DC，AD=BC 2．（2013•乐山）如图，点E是▱ABCD的边CD的中点，AD，BE的延长线相交于点F，DF=3，DE=2，则▱ABCD的周长为（）A．5B．7C．10 D．143．（2013•湖北）若平行四边形的一边长为2，面积为4根号6，则此边上的高介于（）A．3与4之间B．4与5之间C．5与6之间D．6与7之间4．（2012•包头）如图，过▱ABCD的对角线BD上一点M分别作平行四边形两边的平行线EF与GH，那么图中的▱AEMG的面积S1与▱HCFM的面积S2的大小关系是（）A．S1＞S2B．S1＜S2C．S1=S2D．2S1=S25．（2009•桂林）如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD为对角线，BC=6，BC边上的高为4，则图中阴影部分的面积为（）A．3B．6C．12 D．246．（2012•眉山）如图，平行四边形ABCD中，AB=5，AD=3，AE平分∠DAB交BC的延长线于F点，则CF=___________．7．（2011•天津）如图，六边形ABCDEF的六个内角都相等，若AB=1，BC=CD=3，DE=2，则这个六边形的周长等于___________．8．（2010•海南）如图，在▱ABCD中，AB=6cm，∠BCD的平分线交AD于点E，则DE=___________cm．9．（2013•玉溪）如图，在▱ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，求证：AF=CE．10．2013•茂名）如图，在▱ABCD中，点E是AB边的中点，DE与CB的延长线交于点F．（1）求证：△ADE≌△BFE；（2）若DF平分∠ADC，连接CE．试判断CE和DF的位置关系，并说明理由．11．（2012•永州）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，点E、F、G分别在边AB、BC、CD上，且AE=GF=GC．求证：四边形AEFG为平行四边形．9.4 矩形、菱形、正方形试题1．（2013•淄博）如图，菱形纸片ABCD中，∠A=60°，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP（P为AB中点）所在的直线上，得到经过点D的折痕DE．则∠DEC的大小为（）A．78°B．75°C．60°D．45°2．（2013•枣庄）如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为（）A．20 B．12 C．14 D．133．（2013•宜宾）矩形具有而菱形不具有的性质是（）A．两组对边分别平行B．对角线相等C．对角线互相平分D．对角线互相平分4．（2013•南充）如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE=2，DE=6，∠EFB=60°，则矩形ABCD的面积是（）A．12 B．24 C．12√3 D．16√35．（2012•西宁）如图，E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，BE=CF，连接AE、BF．将△ABE绕正方形的对角线交点O按顺时针方向旋转到△BCF，则旋转角是（）A．45°B．120°C．60°D．90°6．（2013•钦州）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE=2，AE=3BE，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是___________．7．（2013•赤峰）如图，矩形ABCD中，E是BC的中点，矩形ABCD的周长是20cm，AE=5cm，则AB的长为___________cm．8．（2013•盐城）如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上的一点，连结AE、BD且AE=AB．（1）求证：∠ABE=∠EAD；（2）若∠AEB=2∠ADB，求证：四边形ABCD是菱形．9．（2013•聊城）如图，四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，BC=CD，CE⊥AD，垂足为E，求证：AE=CE．10．．（2013•晋江市）如图，BD是菱形ABCD的对角线，点E、F分别在边CD、DA上，且CE=AF．求证：BE=BF．9.5 三角形的中位线试题1．（2013•西宁）如果等边三角形的边长为4，那么等边三角形的中位线长为（）A．2B．4C．6D．82．（2013•巴中）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别是AB、CD的中点且EF=6，则AD+BC的值是（）A．9B．10.5 C．12 D．153．（2012•丹东）如图，菱形ABCD的周长为24cm，对角线AC、BD相交于O点，E是AD的中点，连接OE，则线段OE的长等于（）A．3cm B．4cm C．2.5cm D．2cm4．（2011•安徽）如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是（）A．7B．9C．10 D．115．（2013•安顺）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE=2DE，延长DE到点F，使得EF=BE，连接CF．（1）求证：四边形BCFE是菱形；（2）若CE=4，∠BCF=120°，求菱形BCFE的面积．6．（2010•沈阳）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为边AB，AD的中点，连接EF，OE，OF，求证：四边形AEOF是菱形．7．（2008•贵港）如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别为AB、CD的中点．连接AF并延长，交BC的延长线于点G．（1）求证：△ADF≌△GCF；（2）若EF=7.5，BC=10，求AD的长．答案9.11，解：根据旋转的性质知，∠EAC=∠BAD=65°，∠C=∠E=70°．如图，设AD⊥BC于点F．则∠AFB=90°，∴在Rt△ABF中，∠B=90°-∠BAD=25°，∴在△ABC中，∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-25°-70°=85°，即∠BAC的度数为85°．故选C．2，解：旋转后的图中，全等的三角形有：△B′CG≌△DCE，△A′B′C≌△ADC，△AGF≌△A′EF，△ACE≌△A′CG，共4对．故选：B．3，解：由旋转的性质可知，AC=AC′，又∠CAC′=90°，可知△CAC′为等腰直角三角形，所以，∠CC′A=45°．∵∠CC′B′+∠ACC′=∠AB′C′=∠B=60°，∴∠CC′B′=15°．故选D．4，解：根据旋转的意义，图片按逆时针方向旋转80°，即∠AOC=80°，又∵∠A=110°，∠D=40°，∴∠DOC=30°，则∠α=∠AOC-∠DOC=50°．故选C．5，解：∵△ABC绕着点C按顺时针方向旋转20°，B点落在B′位置，A点落在A′位置∴∠BCB′=∠ACA′=20°∵AC⊥A′B′，∴∠BAC=∠A′=90°-20°=70°．故选C．6，解：由旋转的性质可得：AD=AB，∵∠B=60°，∴△ABD是等边三角形，∴BD=AB，∵AB=2，BC=3.6，∴CD=BC-BD=3.6-2=1.6．故答案为：1.6．7，解：∵Rt△ABC绕点A逆时针旋转40°得到Rt△AB′C′，∴AB=AB′，∠BAB′=40°，在△ABB′中，∠ABB′=1/2（180°-∠BAB′）=1/2（180°-40°）=70°，∵∠AC′B′=∠C=90°，∴B′C′⊥AB，∴∠BB′C′=90°-∠ABB′=90°-70°=20°．故答案为：20．8，解：∵点G是△ABC的重心，∴DE=GD=1/2GC=2，CD=3GD=6，∵GB=3，EG=GC=4，BE=GA=5，∴BG2+GE2=BE2，即BG⊥CE，∵CD为△ABC的中线，∴S△ACD=S△BCD，∴S△ABC=S△ACD+S△BCD=2S△BCD=2×1/2×BG×CD=18cm2．填：2，18．9，（1）解：∵∠ABC=120°，∴∠CBC1=180°-∠ABC=180°-120°=60°，∴旋转角为60°；（2）证明：由题意可知：△ABC≌△A1BC1，∴A1B=AB，∠C=∠C1，由（1）知，∠ABA1=60°，∴△A1AB是等边三角形，∴∠BAA1=60°，∴∠BAA1=∠CBC1，∴AA1∥BC，∴∠A1AC=∠C，∴∠A1AC=∠C1．10，解：（1）∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=72°，∵△BDC与△ADE重合，∴∠DBC=∠A=36°，∠AED=∠C=72°，∴∠ADE=∠BDC=180°-（72°+36°）=72°，∴α=180°-∠BDC=180°-72°=108°．（2）由（1）∠ADE=∠C=72°，∴DE∥BC，又BE与CD不平行，∴四边形EBCD是梯形，∵∠ABC=∠C=72°，∴四边形EBCD是等腰梯形．9.21，解：矩形、菱形是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；等腰三角形、等腰梯形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意．故既是轴对称图形又是中心对称图形的是：矩形、菱形．故选：B．2，解：A、不是中心对称图形，故本选项正确；B、是中心对称图形，故本选项错误；C、是中心对称图形，故本选项错误；D、是中心对称图形，故本选项错误；故选A．3，解：由正多边形的对称性知，偶数边的正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形；奇数边的正多边形只是轴对称图形，不是中心对称图形．故选C．4，解：①不是对称图形，5个子母中不是对称图形的只有：Q；（2）有两条对称轴，并且两对称轴互相垂直，则规律相同的是：X；（3）是中心对称图形，则规律相同的是：Z；（4）是轴对称图形，对称轴是一条水平的直线，满足规律的是：D；（5）是轴对称图形，对称轴是竖直的直线，满足规律的是：M．故各个空，顺序依次为：Q，X，Z，D，M．故选D．5，解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形；B、是中心对称图形，不是轴对称图形；C、是中心对称图形，但不是轴对称图形；D、不是中心对称图形，是轴对称图形．故选A．6，解：∵小明、小辉两家所在位置关于学校中心对称，∴小明、小辉两家到学校距离相等，∵小明家距学校2公里，∴他们两家相距：4公里．故答案为：4．7，解：中心对称图形中的不在同一直线上的两条对应线段的关系是：平行且相等．故线段AB与线段A″B″的关系是：平行且相等．故答案为：平行且相等．8，解：如图，把标有数字3的白色小正方形涂黑，就可以使图中的黑色部分构成一个中心对称图形．故答案为3．9，解：（1）∵a（a+1）-（a2+2b）=1，∴等式变形得：a-2b=1；原式=（a-2b）2-2（a-2b）=12-2=-1；（2）设AC=x，AB=2x，BB′=4x，在Rt△ABC中AB2=AC2+BC2，∴（2x）2=x2+12，解得：x=±√3/3（负数舍去），∴AB=2×√3/3=2√3/3，∴BB′=4√3/3．10，证明：如图，连接AE交BC的延长线于G点，连接BE，∵AD∥CG，∴∠D=∠ECG，在△ADE和△GCE中∠D=∠ECG；DE=EC；∠DEA=∠CEG∴△ADE≌△GCE（ASA），∴AE=GE，∴可得：S△ABG=S梯形ABCD=2S△ABE=AB×FE．9.31，解：A、由“AB∥DC，AD∥BC”可知，四边形ABCD的两组对边互相平行，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意；B、由“AB=DC，AD=BC”可知，四边形ABCD的两组对边相等，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意；C、由“AO=CO，BO=DO”可知，四边形ABCD的两条对角线互相平分，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意；D、由“AB∥DC，AD=BC”可知，四边形ABCD的一组对边平行，另一组对边相等，据此不能判定该四边形是平行四边形．故本选项符合题意；故选D．2，解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴DC∥=AB，AD∥=BC，∵E为CD的中点，∴DE为△FAB的中位线，∴AD=DF，DE=1/2AB，∵DF=3，DE=2，∴AD=3，AB=4，∴四边形ABCD的周长为：2（AD+AB）=14．故选D．3，解：根据四边形的面积公式可得：此边上的高=4√6÷2=2√6，2√6介于4与5之间，则则此边上的高介于4与5之间；故选B．4，解：∵四边形ABCD是平行四边形，EF∥BC，HG∥AB，∴AD=BC，AB=CD，AB∥GH∥CD，AD∥EF∥BC，∴四边形HBEM、GMFD是平行四边形，在△ABD和△CDB中；AD=BC，AB=CD，BD=DB∴△ABD≌△CDB，即△ABD和△CDB的面积相等；同理△BEM和△MHB的面积相等，△GMD和△FDM的面积相等，故四边形AEMG和四边形HCFM的面积相等，即S1=S2．故选C．5，解：通过观察结合平行四边形性质得：S阴影=1/2×6×4=12．故选C．6，解：如图，∵AE平分∠DAB，∴∠1=∠2，平行四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，∴∠2=∠3，∠1=∠F，又∵∠3=∠4（对顶角相等），∴∠1=∠3，∠4=∠F，∴AD=DE，CE=CF，∵AB=5，AD=3，∴CE=DC-DE=AB-AD=5-3=2，∴CF=2．故答案为：2．7，解：如图，分别作直线AB、CD、EF的延长线和反向延长线使它们交于点G、H、P．∵六边形ABCDEF的六个角都是120°，∴六边形ABCDEF的每一个外角的度数都是60°．∴△AHF、△BGC、△DPE、△GHP都是等边三角形．∴GC=BC=3，DP=DE=2．∴GH=GP=GC+CD+DP=3+3+2=8，FA=HA=GH-AB-BG=8-1-3=4，EF=PH-HF-EP=8-4-2=2．∴六边形的周长为1+3+3+2+4+2=15．故答案为15．8，解：在平行四边形ABCD中，则AD∥BC，DC=AB，∴∠DEC=∠BCE，又CE平分∠BCD，∴∠BCE=∠DCE，∴∠DCE=∠DEC，即DE=DC=AB=6cm，故此题应填6．9，证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC．∵点E，F分别是边AD，BC的中点，∴AE=CF．∴四边形AECF是平行四边形．∴AF=CE．10，（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．又∵点F在CB的延长线上，∴AD∥CF，∴∠1=∠2．∵点E是AB边的中点，∴AE=BE．∵在△ADE与△BFE中，∠1=∠2，∠DEA=∠FEB，AE=BE∴△ADE≌△BFE（AAS）；（2）解：CE⊥DF．理由如下：如图，连接CE．由（1）知，△ADE≌△BFE，∴DE=FE，即点E是DF的中点，∠1=∠2．∵DF平分∠ADC，∴∠1=∠3，∴∠3=∠2，∴CD=CF，∴CE⊥DF．11，证明：∵梯形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，∴∠B=∠C，∵GF=GC，∴∠GFC=∠C，∴∠GFC=∠B，∴AB∥GF，又∵AE=GF，∴四边形AEFG是平行四边形．9.41，解：连接BD，∵四边形ABCD为菱形，∠A=60°，∴△ABD为等边三角形，∠ADC=120°，∠C=60°，∵P为AB的中点，∴DP为∠ADB的平分线，即∠ADP=∠BDP=30°，∴∠PDC=90°，∴由折叠的性质得到∠CDE=∠PDE=45°，在△DEC中，∠DEC=180°-（∠CDE+∠C）=75°．故选B．2，解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，BC=8，∴AD⊥BC，CD=BD=1/2BC=4，∵点E为AC的中点，∴DE=CE=1/2AC=5，∴△CDE的周长=CD+DE+CE=4+5+5=14．故选C．3，解：A、矩形与菱形的两组对边都分别平行，故本选项错误；B、矩形的对角线相等，菱形的对角线不相等，故本选项正确；C、矩形与菱形的对角线都互相平分，故本选项错误；D、矩形与菱形的两组对角都分别相等，故本选项错误．故选B．4，解：如图，连接BE，在矩形ABCD中，AD∥BC，∴∠AEF=180°-∠EFB=180°-60°=120°，∠DEF=∠EFB=60°，∵把矩形ABCD沿EF翻折点B恰好落在AD边的B′处，∴∠BEF=∠DEF=60°，∴∠AEB=∠AEF-∠BEF=120°-60°=60°，在Rt△ABE中，AB=AE•tan∠AEB=2tan60°=2√3，∵AE=2，DE=6，∴AD=AE+DE=2+6=8，∴矩形ABCD的面积=AB•AD=2√3×8=16√3．故选D．5，解：将△ABE绕正方形的对角线交点O按顺时针方向旋转到△BCF时，A和B重合，即∠AOB是旋转角，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAO=∠ABO=45°，∴∠AOB=180°-45°-45°=90°，即旋转角是90°，故选D．6，解：如图，连接DE，交AC于P，连接BP，则此时PB+PE的值最小．∵四边形ABCD是正方形，∴B、D关于AC对称，∴PB=PD，∴PB+PE=PD+PE=DE．∵BE=2，AE=3BE，∴AE=6，AB=8，∴DE=√62+82=10，故PB+PE的最小值是10．故答案为：10．7，解：设AB=x，则可得BC=10-x，∵E是BC的中点，∴BE=1/2BC=10−x/2，在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2，即x2+（10−x/2）2=52，解得：x=4．即AB的长为4cm．故答案为：4．8，证明：（1）在平行四边形ABCD中，AD∥BC，∴∠AEB=∠EAD，∵AE=AB，∴∠ABE=∠AEB，∴∠ABE=∠EAD；（2）∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBE，∵∠ABE=∠AEB，∠AEB=2∠ADB，∴∠ABE=2∠ADB，∴∠ABD=∠ABE-∠DBE=2∠ADB-∠ADB=∠ADB，∴AB=AD，又∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是菱形．9，证明：如图，过点B作BF⊥CE于F，∵CE⊥AD，∴∠D+∠DCE=90°，∵∠BCD=90°，∴∠BCF+∠DCE=90°，∴∠BCF=∠D，在△BCF和△CDE中，∠BCF=∠D，∠CBE=∠BFC=90°，BC=CD，∴△BCF≌△CDE（AAS），∴BF=CE，又∵∠A=90°，CE⊥AD，BF⊥CE，∴四边形AEFB是矩形，∴AE=BF，∴AE=CE．10，证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，∠A=∠C，∵在△ABF和△CBE中，AF=CE，∠A=∠C，AB=CB，∴△ABF≌△CBE（SAS），∴BF=BE．9.51，选A．2，解：∵E和F分别是AB和CD的中点，∴EF是梯形ABCD的中位线，∴EF=1/2（AD+BC），∵EF=6，∴AD+BC=6×2=12．故选C．3，解：∵菱形ABCD的周长为24cm，∴边长AB=24÷4=6cm，∵对角线AC、BD相交于O点，∴BO=DO，又∵E是AD的中点，∴OE是△ABD的中位线，∴OE=1/2AB=1/2×6=3cm．故选A．4，解：∵BD⊥DC，BD=4，CD=3，由勾股定理得：BC=√BD2+CD2=5，∵E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，∴HG=1/2BC=EF，EH=FG=1/2AD，∵AD=6，∴EF=HG=2.5，EH=GF=3，∴四边形EFGH的周长是EF+FG+HG+EH=2×（2.5+3）=11．故选D．5，（1）证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，∴DE∥BC且2DE=BC，又∵BE=2DE，EF=BE，∴EF=BC，EF∥BC，∴四边形BCFE是平行四边形，又∵BE=FE，∴四边形BCFE是菱形；（2）解：∵∠BCF=120°，∴∠EBC=60°，∴△EBC是等边三角形，∴菱形的边长为4，高为2√3，∴菱形的面积为4×2√3=8√3．6，证明：∵点E，F分别为AB，AD的中点∴AE=1/2AB，AF=1/2AD （2分），又∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，∴AE=AF （4分），又∵菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O ∴O为BD的中点，∴OE，OF是△ABD的中位线．（6分）∴OE∥AD，OF∥AB，∴四边形AEOF是平行四边形（8分），∵AE=AF，∴四边形AEOF是菱形．7，（1）证明：∵AD∥BC，（AD∥BG）∴∠D=∠FCG，∠DAF=∠G．（2分）∵DF=CF，∴△ADF≌△GCF．（4分）（2）解法一：由（1）得△ADF≌△GCF，∴AF=FG，AD=CG．（5分）∵AE=BE，∴EF为△ABG的中位线．∴EF=1/2BG．（6分）∴BG=2×7.5=15．（7分）∴AD=CG=BG-BC=15-10=5．（8分）。

第九章中心对称图形——平行四边形9.1 图形的旋转班级姓名组别评价一、学习目标阅读教材P56～P58内容问题1．旋转的概念如图，在平面内，将△ABC绕点C逆时针旋转至△EFC的位置，这样的图形运动称为图形的_______，旋转中心为_______，旋转的角度可用∠ACE或_______表示．图形的旋转不改变图形的_______、_______。

问题2．旋转的性质如图，(1)旋转前的△ABC与旋转后的△EFC_______；(2)对应点A和_______到旋转中心点C的距离相等，即AC_______，对应点_______和F到_______的距离相等，即_______FC；(3)线段AC旋转至线段_______形成旋转角∠ACE，线段_______旋转至线段FC形成旋转角∠_______，则有∠ACE＝_______．归纳：一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心的距离_______，两组对应点分别与旋转中心连线所成的角_______．三、要点部分▲1、如图，在正方形ABCD中，E是CD上一点，F在CB的延长线上，且DE＝BF．(1)求证：△ADE≌△ABF；(2)将△ADE顺时针旋转多少度后与△ABF重合，旋转中心是什么?9.1图形的旋转学习目标了解理解掌握应用1．通过具体实例认识平面图形关于旋转中心的旋转。

√2．经历对生活中旋转现象的观察、分析的过程，探索旋转的基本性质。

√3．能画出简单图形关于给定旋转中心经过旋转后的图形。

√▲2、如图，在△ABC和△AEF中，∠B＝∠E，AB＝AE，BC＝EF，∠EAB＝25°，∠F＝57°．AB、EF相交于点P，BC交EF、AF于点N、M．(1)试说明∠EAB＝∠FAC；(2)△ABC可以经过图形的变换得到△AEF，请你描述这个变换过程；(3)求∠AMB的度数．▲3、（1）画出将线段AB绕点O按顺时针方向旋转1000后的图形。

苏教版八年级下册第9章：中心对称图形——平行四边形重难点题型训练1．如图1，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC，且DE＝AC，连接CE、OE，连接AE交OD于点F．（1）求证：OE＝CD；（2）如图2，延长BC和DE相交于点G，不添加任何辅助线的情况下，直接写出图中所有的平行四边形．（除四边形ABCD和四边形OCED外）2．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC，且2DE＝AC，连接AE交OD于点F，连接DE、OE．（1）求证：AF＝EF；（2）已知AB＝2，若AB＝2DE，求AE的长．3．如图，四边形ABCD为平行四边形，延长BC到点E，使BE＝CD，连接AE交CD 于点F．（1）求证：AE平分∠BAD；（2）连接BF，若BF⊥AE，∠E＝60°，AB＝4，求平行四边形ABCD的面积．4．如图，在△ABC中，点D是BC边的中点，点E，F分别在AC，AB上，且DE∥AB，EF∥BC．（1）求证：CD＝EF；（2）已知∠ABC＝60°，连接BE，若BE平分∠ABC，CD＝6，求四边形BDEF 的周长．5．（1）如图①，点E、F分别在正方形ABCD的边AB、BC上，∠EDF＝45°，连接EF，求证：EF＝AE+FC．（2）如图②，点E，F在正方形ABCD的对角线AC上，∠EDF＝45°，猜想EF、AE、FC的数量关系，并说明理由．6．如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F，AE与BF相交于点O，连接EF．（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）若AE＝6，BF＝8，CE＝，求▱ABCD的面积．7．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点C、A分别在x、y轴上，A（0，6），E（0，2），点H、F分别在边AB、OC上，以H、E、F为顶点作菱形EFGH．（1）当H（﹣2，6）时，求证：四边形EFGH是正方形；（2）若F（﹣5，0），求点G的坐标．8．如图，过四边形ABCD的四个顶点分别作对角线AC，BD的平行线，所围成的四边形EFGH显然是平行四边形．（1）当四边形ABCD分别是菱形、矩形、平行四边形时，相应的四边形EFGH一定是“平行四边形、菱形、矩形、正方形”中的哪一种？请将你的结论填入下表：四边形ABCD菱形矩形平行四边形四边形EFGH （2）反之，当用上述方法所围成的平行四边形EFGH分别是矩形、菱形时，相应的原四边形ABCD必须满足怎样的条件？当 时，四边形EFGH是矩形；当 时四边形EFGH是菱形．9．如图，E是正方形ABCD对角线BD上一点，EM⊥BC，EN⊥CD垂足分别是点M、N（1）求证：AE＝MN；（2）若AE＝2，∠DAE＝30°，求正方形的边长．10．如图，△ABC≌△DBC，AD平分∠BAC，AD交BC于点O．（1）如图1，求证：四边形ABDC是菱形；（2）如图2，点E为BD边的中点，连接AE交BC于点F，若∠AFO＝∠ADC，在不添加任何辅助线和字母的条件下，请直接写出图2中所有长度是线段EF长度的偶数倍的线段．11．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝45°，BC＝10，过点A作AD∥BC，且点D在点A的右侧．点P从点A出发沿射线AD方向以每秒1个单位的速度运动，同时点Q从点C出发沿射线CB方向以每秒2个单位的速度运动，在线段QC上取点E，使得QE＝2，连接PE，设点P的运动时间为t秒．（1）若PE⊥BC，求BQ的长；（2）请问是否存在t的值，使以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．12．已知：正方形ABCD，E是BC的中点，连接AE，过点B作射线BM交正方形的一边于点F，交AE于点O．（1）若BF⊥AE，①求证：BF＝AE；②连接OD，确定OD与AB的数量关系，并证明；（2）若正方形的边长为4，且BF＝AE，求BO的长．13．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，∠A＝∠ADC，E，F分别为AD，CD的中点，连接BE，BF，延长BE交CD的延长线于点M．（1）求证：四边形ABCD为矩形；（2）若MD＝6，BC＝12，求BF的长度．（结果可保留根号）14．在矩形ABCD中，点E，点F为对角线BD上两点，DE＝EF＝FB．（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；（2）若AE⊥BD，AF＝2，AB＝4，求BF的长度．15．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF＝BD，连接BF．（1）求证：△AEF≌△DEC；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？请说明理由．参考答案1．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴∠COD＝90°，OC＝AC，∵DE＝AC，∴OC＝DE，∵DE∥AC，∴四边形OCED是平行四边形，∴四边形OCED是矩形，∴OE＝CD；（2）图中所有的平行四边形有：四边形AOED，四边形ACGD，四边形OBCE．由AO DE可得四边形AOED是平行四边形；由AC∥DG，AD∥CG可得四边形ACGD是平行四边形；由OE∥BC，OB∥CE可得四边形OBCE是平行四边形．2．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC＝AC，∵2DE＝AC，∴DE＝OA，又∵DE∥AC，∴四边形OADE是平行四边形，∴AF＝EF；（2）解：连接CE，∵DE∥OC，DE＝OC，∴四边形OCED是平行四边形，又∵菱形ABCD，∴AC⊥BD，∴四边形OCED是矩形，∴∠OCE＝90°，又∵AB＝2DE＝AC，∴△ABC为等边三角形，∵在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∴AC＝AB＝2，AO＝AC＝1，∴在矩形OCED中，CE＝OD＝＝，∴在Rt△ACE中，AE＝＝．3．（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD，AD∥BE，∴∠DAE＝∠E，∵AE平分∠BAD，∴∠DAE＝∠BAE，∴∠BAE＝∠E，∴AB＝BE，∴∠BAE＝∠E，∴∠BAE＝∠DAE，∴AE平分∠BAD；（2）解：由BE＝AB，∠BEA＝60°，∴△ABE为等边三角形，∴AB＝AE＝4，又∵BF⊥AE，∴AF＝EF＝2，∴BF＝＝2，∵∠DAE＝∠E，AF＝EF，∠AFD＝∠CFE，∴△ADF≌△ECF（ASA），∴平行四边形ABCD的面积＝△ABE的面积＝×4×2＝4．4．（1）证明：∵DE∥AB，EF∥BC，∴四边形BDEF是平行四边形，∴EF＝BD，∵点D是BC边的中点，∴BD＝CD，∴CD＝EF；（2）解：∵BE平分∠ABC，∴∠FBE＝∠DBE，又∵四边形BDEF是平行四边形，∴BD＝EF，BF＝ED，EF∥BD，∴∠FEB＝∠DBE，∴∠FBE＝∠BEF，∴BF＝EF，∴BD＝EF＝BF＝ED，又∵BD＝CD＝6，∴BD＝EF＝BF＝ED＝6，∴四边形BDEF的周长＝6×4＝24．5．证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠C＝∠ADC＝∠DAB＝90°，如图①：延长BA，使AM＝CF，连接MD，在△AMD和△CFD中，，∴△AMD≌△CFD（SAS），∴∠MDA＝∠CDF，MD＝DF，∵∠EDF＝45°，∴∠ADE+∠FDC＝45°，∴∠ADM+∠ADE＝45°＝∠MDE，∴∠MDE＝∠EDF，在△EDF和△EDM中，，∴△EDF≌△EDM（SAS），∴EF＝EM，∵EM＝AM+AE＝AE+CF，∴EF＝AE+CF；（2）EF2＝AE2+CF2，理由如下：如图②，将△CDF绕点D顺时针旋转90°，可得△ADN，由旋转的性质可得DN＝DF，AN＝CF，∠DAN＝∠DCF＝45°，∠CDF＝∠ADN，∴∠CAN＝∠CAD+∠DAN＝90°，∴EN2＝AE2+AN2，∵∠EDF＝45°，∴∠CDF+∠ADE＝45°，∴∠ADE+∠ADN＝45°＝∠NDE＝∠EDF，在△EDF和△EDN中，，∴△EDF≌△EDN（SAS），∴EF＝EN，∴EF2＝AE2+CF2．6．解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∵∠BAD的平分线交BC于点E，∴∠DAE＝∠BEA，∴∠BAE＝∠BEA，∴AB＝BE，同理可得AB＝AF，∴AF＝BE，∴四边形ABEF是平行四边形，∵AB＝AF．∴四边形ABEF是菱形．（2）作FG⊥BC于G，∵四边形ABEF是菱形，AE＝6，BF＝8，∴AE⊥BF，OE＝AE＝3，OB＝BF＝4，∴BE＝＝5，∵S菱形ABEF＝•AE•BF＝BE•FG，∴GF＝，∴S平行四边形ABCD＝BC•FG＝（BE+EC）•GF＝（5+）×＝36．7．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAO＝∠AOC＝90°，∵E（0，2），H（﹣2，6），∴AH＝OE＝2，∵四边形EFGH是菱形，∴EH＝EF，在Rt△AHE和Rt△OEF中，，∴Rt△AHE≌Rt△OEF，∴∠AEH＝∠EFO，∵∠EFO+∠FEO＝90°，∴∠AEH+∠FEO＝90°，∴∠HEF＝90°，∵四边形EFGH是菱形，∴四边形EFGH是正方形．（2）连接EG交FH于K．∵HE＝EF，∴AH2+AE2＝EO2+OF2，∴AH2+16＝4+25，∴AH＝，∴H（﹣，6），∵KH＝KF，∴K（﹣，3），∵GK＝KE，∴G（﹣5﹣，4）．8．解：（1）四边形ABCD是菱形时，平行四边形EFGH是矩形，四边形ABCD是矩形时，平行四边形EFGH是菱形，四边形ABCD是平行四边形时，四边形EFGH是平行四边形；故答案为：矩形；菱形；平行四边形；（2）当平行四边形是矩形时，原四边形ABCD必须满足的条件是对角线互相垂直，当平行四边形是菱形时，原四边形ABCD必须满足的条件是对角线相等．故答案为：对角线互相垂直（AC⊥BD）；对角线相等（A C＝BD）．9．（1）证明：连接EC．∵四边形ABCD是正方形，EM⊥BC，EN⊥CD，∴∠NCM＝∠CME＝∠CNE＝90°，∴四边形EMCN为矩形．∴MN＝CE．又∵BD为正方形ABCD的对角线，∴∠ABE＝∠CBE．在△ABE和△CBE中∵，∴△ABE≌△CBE（SAS）．∴AE＝EC．∴AE＝MN．（2）解：过点E作EF⊥AD于点F，∵AE＝2，∠DAE＝30°，∴EF＝AE＝1，AF＝AE•cos30°＝2×＝．∵BD是正方形ABCD的对角线，∴∠EDF＝45°，∴DF＝EF＝1，∴AD＝AF+DF＝+1，即正方形的边长为+1．10．（1）证明：∵△ABC≌△DBC，∴AB＝BD，AC＝CD，∴∠BAD＝∠BDA，∠CAD＝∠CDA，∵AD平分∠BAC，∴∠DAB＝∠DAC，∠ADC＝∠ADC，在△ADB和△ADC中，，∴△ADB≌△ADC，∴AB＝AC，∴AB＝BD＝CD＝AC，∴四边形ABCD是菱形．（2）解：∵∠AFO＝∠ADC＝∠ADB，又∵∠AFO+∠EFO＝180°，∴∠EFO+∠EDO＝180°，∴∠FED+∠FOD＝90°，∵四边形ABCD是菱形，∴AD⊥BC，∴∠FEO＝∠FOD＝90°，∵BE＝ED，∴AB＝AD，∴AB＝AD＝BD，∴△ABD是等边三角形，∴∠EBF＝∠ABD＝30°，在Rt△BEF中，BF＝2EF，∵∠FBA＝∠FAB＝30°，∴FA＝FB，在Rt△AFC中，CF＝2AF＝4EF，综上所述，长度是线段EF长度的偶数倍的线段有BF，AF，CF．11．解：（1）作AM⊥BC于M，设AC交PE于N．如图所示：∵∠BAC＝90°，∠B＝45°，∴∠C＝45°＝∠B，∴AB＝AC，∴BM＝CM，∴AM＝BC＝5，∵AD∥BC，∴∠PAN＝∠C＝45°，∵PE⊥BC，∴PE＝AM＝5，PE⊥AD，∴△APN和△CEN是等腰直角三角形，∴PN＝AP＝t，CE＝NE＝5﹣t，∵CE＝CQ﹣QE＝2t﹣2，∴5﹣t＝2t﹣2，解得：t＝，所以BQ＝BC﹣CQ＝10﹣2×＝；（2）存在，t＝4或12；理由如下：若以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形，则AP＝BE，∴t＝10﹣2t+2或t＝2t﹣2﹣10解得：t＝4或12∴存在t的值，使以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形，t＝4或12．12．解：（1）①如图1①，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ABE＝∠C＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝90°，∵BF⊥AE，∴∠CBF+∠AEB＝90°，∴∠BAE＝∠CBF，在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（ASA），∴BF＝AE；②OD＝AB．证明：延长AD，交射线BM于点G，如图1②，∵△ABE≌△BCF，∴BE＝CF．∵E为BC的中点，∴CF＝BE＝BC＝DC，∴CF＝DF．∵DG∥BC，∴∠DGF＝∠CBF．在△DGF和△CBF中，，∴△DGF≌△CBF，∴DG＝BC，∴DG＝AD．∵BF⊥AE，∴OD＝AG＝AD＝AB；（2）①若点F在CD上，如图2①，在Rt△ABE和Rt△BCF中，，∴Rt△ABE≌Rt△BCF（HL），∴∠BAE＝∠CBF，∵∠BAE+∠AEB＝90°，∴∠CBF+∠AEB＝90°，∴∠AOB＝90°．∵∠ABE＝90°，AB＝4，BE＝2，∴AE＝＝2．∵S△ABE＝AB•BE＝AE•BO，∴BO＝＝＝．②若点F在AD上，如图2②，在Rt△ABE和Rt△BAF中，，∴Rt△ABE≌Rt△BAF（HL），∴∠BAE＝∠ABF，∴OB＝OA．∵∠BAE+∠AEB＝90°，∠ABF+∠EBF＝90°，∴∠AEB＝∠EBF，∴OB＝OE，∴OA＝OB＝OE．∵∠ABE＝90°，AB＝4，BE＝2，∴AE＝＝2，∴OB＝AE＝．综上所述：BO的长为或．13．（1）证明：∵在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠A+∠ADC＝180°，∵∠A＝∠ADC，∴∠A＝90°，∴四边形ABCD是矩形；（2）解：∵AB∥CD，∴∠ABE＝∠M，∵E为AD的中点，∴AE＝DE．在△ABE和△DME中，∴△ABE≌△DME（AAS），∴AB＝DM＝6，∵四边形ABCD是矩形，∴DC＝AB＝DM＝6，∠C＝90°，∵F为CD的中点，∴CF＝CD＝3，在Rt△BCF中，由勾股定理得：BF＝＝＝3．14．（1）证明：连接AC，交BD于O，如图所示：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，OA＝OC，OB＝OD，∵DE＝FB，∴OE＝OF，∴四边形AFCE是平行四边形；（2）解：∵DE＝EF＝BF，AE⊥BD，∴AD＝AF＝2，∴BD＝＝＝2，∴BF＝BD＝．15．证明：（1）∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DCE，∵点E为AD的中点，∴AE＝DE，在△AEF和△DEC中，∴△AEF≌△DEC（AAS）；（2）当△ABC满足：AB＝AC时，四边形AFBD是矩形；∵△AEF≌△DEC，∴AF＝CD，∵AF＝BD，∴CD＝BD；∵AF∥BD，AF＝BD，∴四边形AFBD是平行四边形，∵AB＝AC，BD＝CD，∴∠ADB＝90°，∴平行四边形AFBD是矩形．。

第9章 中心对称图形—平行四边形 测试题一、选择题（每小题3分，共30分） 1．（2015年汕尾）下列命题中正确的是（ ）A. 一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形B. 对角线互相垂直的四边形是菱形C. 对角线相等的四边形是矩形D. 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形2．如图1，将△ABC 沿BC 方向平移得到△DCE ，连接AD ，下列条件能够判定四边形ACED 为菱形的是（ ）A ．AB ＝BC B ．AC ＝BC C ．∠B ＝60°D ．∠ACB ＝60°3．如图2，DE 是△ABC 的中位线，若AD ＝4，AE ＝5，BC ＝12，则△ADE 的周长是（ ） A ．7.5 B ．30 C ．15 D ．24 4．如图3，在菱形ABCD 中，∠BAD ＝80°，AB 的垂直平分线交对角线AC 于点F ，垂足为E ，连接DF ，则∠CDF 的度数为（ ） A. 50° B ．60° C ．70° D ．80°5．如图4，在□ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，过点O 作EF ⊥AC 交BC 于点E ，交AD 于点F ，连接AE ，CF ，则四边形AECF 是（ ） A ．矩形 B ．菱形 C ．正方形 D ．无法确定 6．如图5，在正方形ABCD 中，E ，F 分别为AB ，CD 的中点，连接DE ，BF ，CE ，AF ，正方形ABCD 的面积为1，则阴影部分的面积为（ ）A ．21 B ．31 C ．41D ．517. 用两个完全相同的直角三角形拼下列图形：①平行四边形，②矩形，③菱形，④正方形，⑤等腰三角形，⑥等边三角形.一定能拼成的图形是（ ） A. ①④⑤ B. ②⑤⑥ C. ①②③ D. ①②⑤8．如图6，将矩形纸片ABCD 折叠，使点A 落在BC 上的点F 处，折痕为BE ，若沿EF 剪下，则折叠部分是一个正方形，其数学原理是（ ） A ．邻边相等的矩形是正方形 B ．对角线相等的菱形是正方形 C ．两个全等的直角三角形构成正方形 D ．轴对称图形是正方形9．如图7，把一个矩形纸片对折两次，然后沿虚线剪下一个角，为了得到一个内角为120°的菱形，剪口与第二次折痕所成角的度数应为（）A．15°或30°B．30°或45°C．45°或60°D．30°或60°10．如图8，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边上的点B′处，若AE＝1，DE＝3，∠EFB＝60°，则矩形ABCD的面积是（）A．3 B．6 C．33D．43二、填空题（每小题4分，共32分）11．在□ABCD中，若添加一个条件：＿＿＿＿，则四边形ABCD是矩形；若添加一个条件：＿＿＿＿，则四边形ABCD是菱形．12．如图9，矩形ABCD内有一点E，连接AE，DE，CE，若AD＝ED＝EC，∠ADE ＝20°，则∠AEC的度数为＿＿＿＿．13．在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，若菱形ABCD的面积为48 cm2，且AE=6 cm，则AB的长为_________．14. 如图10，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P是AB上的任意一点，作PD⊥AC于点D，PE⊥CB于点E，连接DE，则DE的最小值为_________．15. （2015年赤峰）如图11，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是DC上一点，连接BE并延长，交AD的延长线于点F，请你只添加一个条件：____________，使得四边形BDFC 为平行四边形．16. 如图12，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O，点E，F，G，H分别为边AD，AB，BC，CD的中点．若AC=8，BD=6，则四边形E FGH的面积为_________.17. 如图13，在□ABCD中，AC，BD相交于点O，AB＝10 cm，AD＝8 cm，AC⊥BC，则OB的长为_________cm.18．如图14，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使D点与BC边的中点D′重合．若BC=8，CD=6，则CF的长为_________．三、解答题（共58分）19．（8分）如图15，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，P是AC的中点．求证：∠BDP＝∠DBP．20．（8分）如图16，在直线MN上和直线MN外分别取点A，B，过线段AB的中点O作CD∥MN，分别与∠MAB与∠NAB的平分线相交于点C，D．求证：四边形ACBD是矩形．21．（10分）如图17，已知四边形ABCD是平行四边形，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是E，F，且DE＝DF．求证：（1）△AE D≌△CFD；（2）四边形ABCD是菱形．22. （10分）如图18，在□ABCD中，BE，CE分别平分∠ABC，∠BCD，E在AD上，BE＝12，CE＝5．求□ABCD的周长和面积．23．（10分）如图19，在△ACD中，∠ADC＝90°，∠ADC的平分线交AC于点E，EF⊥AD交AD于点F，EG⊥DC交DC于点G，请你说明四边形EFDG是正方形．24．（12分）如图20，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点P是线段AD上一动点（不与点D重合），PO的延长线交BC于点Q．（1）求证：四边形PBQD为平行四边形．（2）若AB＝3 cm，AD＝4 cm，P从点A出发，以1 cm/s的速度向点D匀速运动，设点P的运动时间为t s，问：四边形PBQD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由．附加题（15分，不计入总分）以四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E ，F ，G ，H ，顺次连接这四个点，得到四边形EFGH ．（1）如图①，当四边形ABCD 为正方形时，我们发现四边形EFGH 也是正方形；如图②，当四边形ABCD 为矩形时，请判断四边形EFGH 的形状（不要求证明）．（2）如图③，当四边形ABCD 为一般平行四边形时，设∠ADC ＝α（0°＜α＜90°）． ①试用含α的代数式表示∠HAE ； ②求证：HE=HG .③四边形EFGH 是什么四边形？并说明理由．参考答案一、1．D 2．B 3．C 4．B 5．B 6．C 7. D 8．A 9．D 10．D二、11．答案不唯一，如∠ADC ＝90° AB ＝BC 12．120° 13．8 cm 14．4.8 15. 答案不唯一，如BD ∥FC ，或BC=DF ，或DE=CE 16. 12 17.73 18．35三、19．证明：因为∠ABC ＝∠ADC ＝90°，点P 是AC 的中点，所以BP ＝21AC ，DP ＝21AC ．所以BP ＝DP ．所以∠BDP ＝∠DBP ． 20．证明：因为AD 平分∠BA Ｎ，所以∠DA Ｎ＝∠BAD ．因为CD ∥ＭＮ，所以∠CDA ＝∠DA Ｎ．所以∠BAD ＝∠CDA ．所以DO ＝AO ．同理，CO ＝AO ．所以CO ＝DO ．又AO ＝BO ，所以四边形ACBD 是平行四边形．因为AC ，AD 均为角平分线，所以∠CAD ＝90°，所以平行四边形ACBD 是矩形． 21．证明：（1）因为DE ⊥AB ，DF ⊥BC ，所以∠AED ＝∠CFD ＝90°．因为四边形ABCD 是平行四边形，所以∠A ＝∠C ．又DE ＝DF ，所以△AED ≌△CFD ．（2）因为△AED ≌△CFD ，所以AD ＝CD ．因为四边形ABCD 是平行四边形，所以四边形ABCD 是菱形．22．解：因为BE ，CE 分别平分∠AB C ，∠BCD ，所以∠EBC=21∠ABC ，∠ECB=21∠DCB. 因为AB ∥CD ∠DCB=180°. 所以∠EBC+∠ECB=21（∠ABC+∠DCB ）=90°. 所以△EBC 是直角三角形.因为BE ＝12，CE ＝5，由勾股定理，得BC=13. 因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AD ∥BC. 所以∠DE C=∠ECB.因为∠ECD=∠ECB ，所以∠DEC=∠ECD. 所以DE=CD. 同理，AB=A E.所以AB+CD=AE+DE=AD=BC=13.所以□ABCD 的周长为AB+BC+CD+DA=13+13+13=39． 过点E 作BC 所以S △EBC =21BC·EH=21BE·CE=21×12×5=30. 所以□ABCD 的面积为BC·EH=2×30=60.23．解：因为∠ADC ＝90°，EF ⊥AD ，EG ⊥CD ，所以四边形EFDG 是矩形． 又DE 平分∠ADC ，所以EF ＝EG ．所以四边形EFDG 是正方形. 24．（1）证明：因为四边形ABCD 是矩形，所以A D ∥BC ，OD ＝OB ．所以∠PDO ＝∠QBO ．又∠POD ＝∠QOB ，所以△POD ≌△QOB ．所以OP ＝OQ ．所以四边形PBQD 为平行四边形．（2）解：能．由题意，知AP ＝t cm ，PD ＝（4－t ） cm ．当PB ＝PD ＝（4－t ） cm 时，四边形PBQD 是菱形．因为四边形ABCD 是矩形，所以∠BAP ＝90°．在Ｒt △ABP 中，AP 2＋AB 2＝PB 2，即t 2＋32＝（4－t ）2．解得t ＝87．所以当点P 的运动时间为87s 时，四边形PBQD 是菱形．附加题（1）解：四边形EFGH 是正方形． （2）①解：在□ABCD 中，AB ∥CD ，所以∠BAD ＝180°-∠ADC ＝180°－α．因为△HAD 和△EAB 都是等腰直角三角形，所以∠HAD ＝∠EAB ＝45°． 所以∠HAE ＝360°－∠HAD －∠EAB －∠BAD ＝360°－45°－45°－（180°－α）＝90°＋α．②证明：因为△AEB 和△DGC 都是等腰直角三角形，所以AE ＝22AB ，DG ＝22CD ．在□ABCD 中，AB ＝CD ，所以AE ＝DG ．因为△HAD 和△GDC 都是等腰直角三角形，所以∠HDA ＝∠CDG ＝45°．所以∠HDG ＝∠HDA ＋∠ADC ＋∠CDG ＝45°＋α＋45°＝90°＋α＝∠HAE ．又HA ＝HD ，所以△HAE ≌△HDG ，所以HE ＝HG ． ③解：四边形EFGH 是正方形．理由：同②，得GH ＝GF ，FG ＝FE ．因为HE ＝HG ，所以GH ＝GF ＝EF ＝HE ．所以四边形EFGH 是菱形．因为△HAE ≌△HDG ，所以∠DHG ＝∠AHE ．因为∠AHD ＝∠AHG ＋∠DHG ＝90°，所以∠EHG ＝∠AHG ＋∠AHE ＝90°．所以四边形EFGH 是正方形．。

苏科版八年级下册第9章中心对称图形～平行四边形重难点题型训练1．如图，在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD，∠BAD＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，点E、F分别在正方形ABCD的边DC、BC上，AG⊥EF且AG＝AB，垂足为G，则：（1）△ABF与△AGF全等吗？说明理由；（2）求∠EAF的度数；（3）若AG＝7，△AEF的面积是21，求△CEF的面积．2．如图，在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD＝10cm，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，点E 在边AB上，且AE＝4cm，如果点P在线段BC上以2cm/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．设运动时间为t秒．（1）若点Q与点P的运动速度相等，经过2秒后，△BPE与△CQP是否全等？请说明理由；（2）若点Q与点P的运动速度不相等，则当t为何值时，△BPE与△CQP全等？此时点Q的运动速度为多少？3．已知正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E、F分别是线段OB、OC上的动点（1）如果动点E、F满足BE＝OF（如图），且AE⊥BF时，问点E在什么位置？并证明你的结论；（2）如果动点E、F满足BE＝CF（如图），写出所有以点E或F为顶点的全等三角形（不得添加辅助线）．4．如图，正方形ABCD，点F在BC上，试在图中画出一条线段，构出另一个三角形，使得这个三角形全等于△DFC．（1）你能在图中画出几种不同位置的线段得到这个三角形？试写出能够画出的种数共有 种．（2）画出其中的1种位置的线段，并证明你构出的三角形全等于△DFC．5．已知正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA＝16，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°．动点P以每秒1个单位速度从点B出发沿射线BC方向运动，设点P的运动时间为t．连接PA．（1）如图1，动点Q同时以每秒4个单位速度从A点出发沿正方形的边AD运动，求t 为何值时，以点Q及正方形的某两个顶点组成的三角形和△PAB全等；（2）如图2，在（1）的基础上，当点Q到达点D以后，立即以原速沿线段DC向点C运动，当Q到达点C时，两点同时停止运动，求t为何值时，以点Q及正方形的某两个顶点组成的三角形和△PAB全等．6．已知：如图，在四边形ABCD中，点G在边BC的延长线上，CE平分∠BCD，CF平分∠GCD，EF∥BC交CD于点O．（1）求证：OE＝OF；（2）若点O为CD的中点，求证：四边形DECF是矩形．7．在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若CF＝3，BF＝4，DF＝5，求证：AF平分∠DAB．8．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，E为BC中点，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，CG∥AE，CG交AF于点H，交AD于点G．（1）求菱形ABCD的面积；（2）求∠CHA的度数．9．如图1，在正方形ABCD中，点P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA＝PE，PE交CD于点F，（1）证明：PC＝PE；（2）求∠CPE的度数；（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC＝120°，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．10．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE＝OC，连接CE，OE．（1）求证：OE＝CD；（2）若菱形ABCD的边长为4，∠ABC＝60°，求AE的长．11．如图（1），正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AC上一点，连结EB，过点A作AM⊥BE，垂足为M，AM与BD相交于点F．（1）求证：OE＝OF；（2）如图（2）若点E在AC的延长线上，AM⊥BE于点M，AM交DB的延长线于点F，其他条件不变，结论“OE＝OF”还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于D，交AB于E，且CF＝BE．（1）求证：四边形BECF是菱形；（2）当∠A的大小满足什么条件时，菱形BECF是正方形？回答并证明你的结论．13．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝DC＝BC，过AD的中点E作AC的垂线，交CB的延长线于F．求证：（1）四边形ABCD是菱形．（2）BF＝DE．14．如图，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，AD＝BC，AC，BD相交于点G，过点A作AE∥DB交CB的延长线于点E，过点B作BF∥CA交DA的延长线于点F，AE，BF相交于点H．（1）图中有若干对三角形是全等的，请你任选一对进行证明；（不添加任何辅助线）（2）证明：四边形AHBG是菱形；（3）若使四边形AHBG是正方形，还需在Rt△ABC的边长之间再添加一个什么条件？请你写出这个条件．（不必证明）15．如图：∠MON＝90°，在∠MON的内部有一个正方形AOCD，点A、C分别在射线OM、ON 上，点B1是ON上的任意一点，在∠MON的内部作正方形AB1C1D1．（1）连续D1D，求证：∠D1DA＝90°；（2）连接CC1，猜一猜，∠C1CN的度数是多少？并证明你的结论；（3）在ON上再任取一点B2，以AB2为边，在∠MON的内部作正方形AB2C2D2，观察图形，并结合（1）、（2）的结论，请你再做出一个合理的判断．参考答案1．解：（1）结论：△ABF≌△AGF．理由：在Rt△ABF与Rt△AGF中，，∴△ABF≌△AGF（HL）（2）∵△ABF≌△AGF∴∠BAF＝∠GAF，同理易得：△AGE≌△ADE，有∠GAE＝∠DAE；即∠EAF＝∠EAD+∠FAG＝∠BAD＝45°，故∠EAF＝45°．（3）∵S△AEF＝×EF×AG，AG＝4∴21＝×EF×AG，∴EF＝6，∵BF＝FG，EG＝DE，AG＝AB＝BC＝CD＝7，设FC＝x，EC＝y，则BF＝7﹣x，DE＝7﹣y，∵BF+DE＝FG+EG＝EF＝6，∴7﹣x+7﹣y＝6，∴x+y＝8 ①在Rt△EFC中，∵EF2＝EC2+FC2，∴x2+y2＝62②①2﹣②得到，2xy＝28，∴S△CEF＝xy＝7．方法二：易知S△ABF＝S△AGF，S△AED＝S△AEG，∴S△ABF+S△ADE＝S△AEF＝21，∴S△EFC＝S正方形ABCD﹣S五边形ABFED＝49﹣42＝7．2．解：（1）全等．理由：由题意：BP＝CQ＝2t当t＝2时，BP＝CQ＝4∵AB＝BC＝10，AE＝4∴BE＝CP＝10﹣4＝6∵BP＝CQ，∠B＝∠C＝90°，BE＝CP∴△BPE≌△CQP（SAS）（2）∵P、Q运动速度不相等∴BP≠CQ∵∠B＝∠C＝90°∴当BP＝CP，CQ＝BE时，△BPE≌△CPQ，∴BP＝CP＝BC＝5，CQ＝BE＝6∴当t＝5÷2＝（秒）时，△BPE≌△CPQ，此时点Q的运动速度为6÷＝（cm/s）3．解：（1）当AE⊥BF时，点E在BO中点．证明如下：延长AE交BF于点M，如图所示：∵∠BME＝∠AOE，∠BEM＝∠AEO，∴△BEM∽△AEO，∴，∵∠MBE＝∠OBF，∠BME＝∠BOF，∴△BEM∽△BFO，∴，∵AO＝BO，∴EO＝OF，∵BE＝OF，∴BE＝EO，故当AE⊥BF时，点E在BO中点．（2）∵四边形ABCD是正方形，∴AO＝CO＝BO＝DO，AC⊥BD，AB＝BC＝AD＝CD，∠ACB＝∠ABD＝∠ADE＝∠BAC＝45°∵BE＝CF，∴OE＝OF，AF＝DE，∵BE＝CF，∠ABD＝∠ACB，AB＝BC∴△ABE≌△BCF（SAS）同理可得△AOE≌△BOF，△ADE≌△BAF；∴以点E或F为顶点的全等三角形有△ABE≌△BCF，△AOE≌△BOF，△ADE≌△BAF；4．解：（1）如图，共可以构造出8个满足条件的三角形；故答案为：8．（2）如图1，作AE＝CF，则△DFC≌△DAE，证明如下：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠A＝∠C＝90°，在△DFC和△DAE中，，∴△DFC≌△DAE（SAS）．5．解：（1）由题意，得BP＝t，AQ＝4t，QD＝16﹣4t，∵△ABP≌△CDQ∴BP＝QD∴t＝16﹣4t解得：t＝，∴当t＝时，以点Q及正方形的某两个顶点组成的三角形和△PAB全等；（2）如图2，依题意有△ADQ≌△ABP或△BCQ≌△ABP∴DQ＝BP或CQ＝BP∵DQ＝4t﹣16，CQ＝32﹣4t∴4t﹣16＝t或32﹣4t＝t解得：t＝或t＝，∴当t＝或t＝时，以点Q及正方形的某两个顶点组成的三角形和△PAB全等．6．证明：（1）∵CE平分∠BCD、CF平分∠GCD，∴∠BCE＝∠DCE，∠DCF＝∠GCF，∵EF∥BC，∴∠BCE＝∠FEC，∠EFC＝∠GCF，∴∠DCE＝∠FEC，∠EFC＝∠DCF，∴OE＝OC，OF＝OC，∴OE＝OF；（2）∵点O为CD的中点，∴OD＝OC，又OE＝OF，∴四边形DECF是平行四边形，∵CE平分∠BCD、CF平分∠GCD，∴∠DCE＝∠BCD，∠DCF＝∠DCG∴∠DCE+∠DCF＝（∠BCD+∠DCG）＝90°，即∠ECF＝90°，∴四边形DECF是矩形．7．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD．∵BE∥DF，BE＝DF，∴四边形BFDE是平行四边形．∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，∴四边形BFDE是矩形；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，∴∠DFA＝∠FAB．在Rt△BCF中，由勾股定理，得BC＝＝5，∴AD＝BC＝DF＝5，∴∠DAF＝∠DFA，∴∠DAF＝∠FAB，即AF平分∠DAB．8．解：（1）如图，连接AC，∵E为BC的中点，AE⊥BC，∴AB＝AC，又∵菱形的边AB＝BC，∴△ABC是等边三角形，∴AE＝AB＝×4＝2，∴菱形ABCD的面积＝BC•AE＝4×2＝8；（2）在等边三角形ABC中，∵AE⊥BC，∴∠CAE＝∠BAC＝×60°＝30°，同理∠CAF＝30°，∴∠EAF＝∠CAE+∠CAF＝30°+30°＝60°，∵AE∥CG，∴∠CHA＝180°﹣∠EAF＝180°﹣60°＝120°．9．（1）证明：在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABP＝∠CBP＝45°，在△ABP和△CBP中，，∴△ABP≌△CBP（SAS），∴PA＝PC，∵PA＝PE，∴PC＝PE；（2）解：由（1）知，△ABP≌△CBP，∴∠BAP＝∠BCP，∴∠DAP＝∠DCP，∵PA＝PE，∴∠DAP＝∠E，∴∠DCP＝∠E，∵∠CFP＝∠EFD（对顶角相等），∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF＝180°﹣∠DFE﹣∠E，即∠CPE＝∠EDF＝90°；（3）解：AP＝CE；理由如下：在菱形ABCD中，AB＝BC，∠ABP＝∠CBP＝60°，在△ABP和△CBP中，，∴△ABP≌△CBP（SAS），∴PA＝PC，∠BAP＝∠BCP，∵PA＝PE，∴PC＝PE，∴∠DAP＝∠DCP，∵PA＝PC，∴∠DAP＝∠AEP，∴∠DCP＝∠AEP∵∠CFP＝∠EFD（对顶角相等），∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF＝180°﹣∠DFE﹣∠AEP，即∠CPF＝∠EDF＝180°﹣∠ADC＝180°﹣120°＝60°，∴△EPC是等边三角形，∴PC＝CE，∴AP＝CE．10．（1）证明：在菱形ABCD中，OC＝AC．∴DE＝OC．∵DE∥AC，∴四边形OCED是平行四边形．∵AC⊥BD，∴平行四边形OCED是矩形．∴OE＝CD．（2）解：在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∴AC＝AB＝4，∴在矩形OCED中，CE＝OD＝＝＝2．在Rt△ACE中，AE＝＝2．11．解：（1）∵四边形ABCD是正方形．∴∠BOE＝∠AOF＝90°，OB＝OA．又∵AM⊥BE，∴∠MEA+∠MAE＝90°＝∠AFO+∠MAE，∴∠MEA＝∠AFO．在△BOE和△AOF中，∵，∴△BOE≌△AOF．∴OE＝OF．（2）OE＝OF成立．∵四边形ABCD是正方形，∴∠BOE＝∠AOF＝90°，OB＝OA．又∵AM⊥BE，∴∠F+∠MBF＝90°，∠E+∠OBE＝90°，又∵∠MBF＝∠OBE，∴∠F＝∠E．在△BOE和△AOF中，∵，∴△BOE≌△AOF．∴OE＝OF．12．1）证法一：如图∵EF垂直平分BC，∴BE＝EC，BF＝CF，∵CF＝BE，∴BE＝EC＝CF＝BF，∴四边形BECF是菱形；证法二：如图∵EF垂直平分BC，∴BD＝DC，EF⊥BC∵BE＝CF，∴△BED≌△CFD，∴DE＝DF∴四边形BECF是菱形；（2）解法一：当∠A＝45°时，菱形BECF是正方形．∵∠A＝45°，∠ACB＝90°，∴∠EBC＝45°∴∠EBF＝2∠EBC＝2×45°＝90°∴菱形BECF是正方形．解法二：当∠A＝45°时，菱形BECF是正方形．∵∠A＝45°，∠ACB＝90°，∴∠EBC＝45°，∵BE＝EC，∴∠ECB＝∠EBC＝45°∴∠BEC＝90°，∴菱形BECF是正方形．13．证明：（1）∵AD∥BC，AD＝BC（已知），∴四边形ABCD为平行四边形．又邻边AD＝DC，∴四边形ABCD为菱形；（3分）（2）证法一：如图：记EF与AC交点为G，EF与AB的交点为M．由（1）证得四边形ABCD为菱形，所以对角线AC平分∠A，即∠BAC＝∠DAC．又∵EF⊥AC，AG＝AG，∴△AGM≌△AGE，∴AM＝AE．（6分）又∵E为AD的中点，四边形ABCD为菱形，∴AM＝BM．∠MAE＝∠MBF．又∵∠BMF＝∠AME，∴△BMF≌△AME．∴BF＝AE．∴BF＝DE．（8分）证法二：如图：连接BD∵四边形ABCD为菱形∴BD⊥AC∵EF⊥AC∴EF∥BD∵BF∥DE∴四边形BDEF是平行四边形∴BF＝DE（8分）14．（1）解：△ABC≌△BAD．证明：∵AD＝BC，∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝BA，∴△ABC≌△BAD（SAS）．（2）证明：∵AH∥GB，BH∥GA，∴四边形AHBG是平行四边形．∵△ABC≌△BAD，∴∠ABD＝∠BAC．∴GA＝GB．∴平行四边形AHBG是菱形．（3）解：需要添加的条件是AB＝BC．15．（1）证明：∵∠D1AD+∠B1AD＝90°，∠OAB1+∠B1AD＝90°，∴∠B1AO＝∠D1AD，∵AD1＝AB1，AO＝AD，∴△OAB1≌△DAD1，∴∠D1DA＝∠O＝90°；（D1，D，C在同一条直线上）．（2）解：猜想∠C1CN＝45°．证明：作C1H⊥ON于H．作C1G⊥CD1于G；则有C1G＝CH．∵∠C1D1C+∠AD1D＝90°，∠C1B1H+∠AB1O＝90°∴∠C1D1C＝∠C1B1H，∵C1D1＝B1C1，∠D1C1E＝∠C1HB1＝90°，∴△C1GD1≌△C1B1H，∴C1G＝C1H，又∵CH＝C1G，∴直角三角形CHC1是个等腰直角三角形，∴∠C1CN＝45°．（3）解：作图；得∠ADD2＝90°（∠ADD2＝90°、∠C2CN＝45°均可）．。

备课时间：授课年级：八年级教授内容：图形的旋转课型：新授上课时间: 课时数： 1课时一、学习目标1、经历对生活中旋转现象观察、分析过程，引导学生用数学的眼光看待生活中的有关问题.2、通过具体实例认识旋转，知道旋转的性质.3、经历对具有旋转特征的图形的观察、操作、画图等过程，掌握作图的技能.重点：旋转图形的性质、旋转图形的画法.难点：旋转图形的画法.二、个体自学⒈下列现象属于旋转的是（）A．摩托车在急刹车时向前滑动B．飞机起飞后冲向空中的过程C．幸运大转盘转动的过程D．笔直的铁轨上飞驰而过的火车⒉在图形旋转中，下列说法错误的是（）A．图形上各点的旋转角度相同B．对应点到旋转中心距离相等C．由旋转得到的图形也一定可以由平移得到D．旋转不改变图形的大小、形状三、小组合作1、△ABO绕点O旋转,在这个过程中,你有什么发现?想一想：点B的对应点是点_______；线段OB的对应线段是线段________；∠A的对应角是________；点O是_________；若∠AOA′=45，旋转的角度______.2、如图：如果旋转中心在△ABC的外面点O处,将△ABC逆时针转动60°旋转到△A′B′C′的位置，(1) 在图形的旋转过程中，哪些发生了改变？哪些没有发生改变？（2）在这个图形中有哪些相等的线段与相等的角？1．；2．；3．.例１ 动手画一画（1）画出将点P 绕点O 按顺时针方向旋转90°后的点P ′. （2）画出线段AB 绕点O 按顺时针方向旋转130°后的线段.（3）画出将△ABC 绕点C 按顺时针方向旋转120°后的对应三角形.变式（1）画出将点P 绕点O 按逆时针方向旋转90°后的点P ′. （2）画出线段AB 绕点O 按逆时针方向旋转130°后的图形.（3）画出将△ABC 绕点O 按逆时针方向旋转120°后的对应三角形.四、点评释疑1、师生互动。

苏科版数学八年级下册9.2《中心对称与中心对称图形》教学设计一. 教材分析《中心对称与中心对称图形》是苏科版数学八年级下册第九章第二节的内容。

本节内容是在学生已经掌握了轴对称的概念和性质的基础上进行学习的，旨在让学生了解中心对称的概念和性质，以及中心对称图形的特点。

教材通过丰富的实例，引导学生探究中心对称图形的性质，从而培养学生的观察能力、操作能力和推理能力。

二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了轴对称的相关知识，对对称性有一定的认识。

但由于中心对称与轴对称在概念和性质上有较大的区别，学生在理解和掌握上可能会有一定的难度。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的认知差异，针对不同学生的学习情况，采取合适的教学策略，引导学生逐步理解和掌握中心对称的概念和性质。

三. 教学目标1.了解中心对称的概念和性质，能识别中心对称图形。

2.能运用中心对称的性质解决一些简单的问题。

3.培养学生的观察能力、操作能力和推理能力。

四. 教学重难点1.中心对称的概念和性质。

2.中心对称图形的特点。

五. 教学方法1.情境教学法：通过丰富的实例，引导学生观察和操作，从而理解和掌握中心对称的概念和性质。

2.小组合作学习：学生在小组内进行讨论和探究，分享学习心得，培养团队合作精神。

3.启发式教学：教师提问引导学生思考，激发学生的学习兴趣，提高学生的解决问题的能力。

六. 教学准备1.教学课件：制作中心对称与中心对称图形的课件，包括图片、动画和例题等。

2.教学素材：准备一些中心对称图形的图片，用于课堂展示和练习。

3.学生活动用品：如剪刀、彩纸等，用于学生的操作活动。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示一些生活中的对称现象，如建筑、艺术作品等，引导学生关注对称性。

提问：你们认为这些现象是什么对称？引出中心对称的概念。

2.呈现（15分钟）展示一些中心对称图形的图片，如圆、平行四边形等，引导学生观察和思考：这些图形有什么特点？教师引导学生总结出中心对称图形的定义和性质。

矩形【学习目标】1．掌握矩形的性质和判定,会证明一个四边形是矩形，并能够运用矩形的性质进行有关线段或角的计算或证明．2．能够结合三角形的知识，解决有关矩形与等腰三角形相、直角三角形相关的问题．3．探索与平行四边形有关的面积问题、最值问题、动点类问题等．【知识点】1．有一个角是的平行四边形叫做矩形．2．矩形的性质：矩形的四个角；矩形的对角线．3．矩形的判定：有个角是直角的四边形是矩形;对角线的平行四边形是矩形．【例题精讲】一、矩形与特殊等腰三角形问题例1．如图,在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于E，若∠EAO＝15°,则∠BOE的度数为A．85° B．80°C．75° D．70°例2．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,AE⊥BD，垂足为E，AE＝3,ED＝3BE，则AB的值为A．6 B．5C．23 D．33例3．如图，矩形ABCD中，AB＞AD，AN平分∠DAB，DM⊥AN于点M,CN⊥AN于点N，G为MN的中点，GH⊥MN交CD于点H,且DM＝a，GH＝b，则CN的值为（用含a、b的代数式表示）A．2a＋b B．a＋2bC．a＋b D．2a＋2b例4．如图，在矩形ABCD中，AD＝4，M是AD的中点,点E是线段AB上一动点，连接EM并延长交线段CD的延长线于点F，G是线段BC上一点，连接GE、GF、GM,若△EGF是等腰直角三角形，∠EGF＝90°,则AB＝．二、矩形与面积问题例5．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4,将矩形沿AC折叠，则重叠部分△AFC的面积为A．12 B．10C．8 D．6例6．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，P是AD上不与A、D重合的一动点，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE＋PF的值为．例7．如图，在长方形ABCD中,E是AD的中点，F是CE的中点，若△BDF的面积为6平方厘米,则长方形ABCD的面积是平方厘米．三、矩形与勾股定理例8．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，P、Q分别是AB和CD上的任意一点，且AP＝CQ，线段EF是PQ的垂直平分线,交BC于F，交PQ于E，设AP＝x，BF＝y,则y与x的函数关系式为．例9．如图，P是矩形ABCD内一点,若PA＝3,PB＝4，PC＝5，则PD＝．例10．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是AD上一个动点，把△BAE沿BE向矩形内部折叠,当点A的对应点A1 恰好在∠BCD的平分线上时,则C A1的长为．例11．如图，在矩形ABCD中,AB＝6，BC＝8，AC与BD相交于O,E为DC的一点，过点O作OF⊥OE交BC于F，记22d=+，则关于d的正DE BF确的结论是A．d＝5 B．d＜5C．d≤5 D．d≥5例12．如图，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM、ON上，当B在边ON上运动时,A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB＝8，BC＝3，运动过程中，点D到点O的最大距离为．例13．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为边BC上一动点(且点P不与点B、C 重合），PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF终点，设AM的长为x,则x的取值范围是A．4≥x＞2.4B．4≥x≥2。

第九章中心对称图形【复习目标】1、认识图形的旋转及性质，会根据要求画旋转图形。

2、认识中心对称图形及其性质，会设计一些中心对称图案。

3、理解并掌握平行四边形及特殊的平行四边形的性质、判定及其应用。

【知识精讲】【知识点 1】旋转的概念：这个定点称为，旋转的角度称为。

图形的旋转不改变图形的。

旋转的性质：（1）旋转前后的图形（2）的距离相等，（3）每一对对应点与的连线所成的角彼此相等。

【知识点 2】中心对称：中心对称的性质：成中心对称的两个图形对称点连线都过，并且被对称中心。

中心对称图形：中心对称图形的作图方法：中心对称与中心对称图形之间的关系：轴对称图形与中心对称图形区别与联系：【知识点 3】利用中心对称的特点、性质设计中心对称图案【知识点 4】平行四边形的概念：平行四边形的性质（用符号表示）：⎧⎪⎨⎪⎩边角对角线〖基础回顾〗1、已知A、B、C三点不在同一条直线上，则以这三点为顶点的平行四边形共有（）A、1个B、2个C、3个D、4个2、在□ABCD中，若∠A=3∠B，则∠A= ；∠D= 。

若∠A=∠B+∠D，则∠A= ，∠B= 。

3、如图，在□ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别是E、F，∠ABE=60°，BE=2cm，DF=3cm，则各内角的度数为，各边的长为。

4、如图，平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC且交边AD于点E，如果AB=6cm，BC=10cm，试求：线段DE的长。

【知识点 5】 平行四边形的判定： 〖基础回顾〗1、能确定四边形是平行四边形的条件是（ ）A.一组对边平行，另一组对边相等B. 一组对边平行，一组对角相等C. 一组对边平行，一组邻角相等D. 一组对边平行，两条对角线相等2、已知：四边形ABCD 中，AB ∥CD ，要使四边形ABCD 为平行四边形，需添加一个条件是： （只需填一个你认为正确的条件即可）。

【知识点 6】 矩形的定义：矩形的性质：（符号表示）矩形的判定：〖基础回顾〗1、下列条件中，能判定四边形是矩形的是（ ）A.对角线互相平分B.对角线互相垂直平分C.对角线相等D. .对角线互相平分且相等2、有下列说法:①四个角都相等的四边形是矩形.②两组对边分别相等并且有一个角是直角的四边形是矩形.③对角线相等并且有一个角是直角的四边形是矩形④一组对边平行,另一组对边相等并且有一个角是直角的四边形是矩形.其中正确是【知识点 7】 菱形的定义：菱形的性质：（符号表示）菱形的判定：〖基础回顾〗1、在菱形ABCD 中，AB=2，∠B=60°，则AC= ，BD= ，S 菱形ABCD = .2、如图２，在菱形ABCD 中，对角线AC=4，∠BAD=120°，则菱形ABCD 的周长为（ ）A ．20B ．18C ．16D ．153、如图，在菱形ABCD 中，∠BAD=80°，AB 的垂直平分线交对角线AC 于点F ，E 为垂足，连结DF ，则∠CDF 等于 （ ）A 、80°B 、70° C【知识点 8】 正方形的性质： 正方形的判定： 〖基础回顾〗1. 正方形具有而菱形不一定具备的性质是（ ）A. 对角线平分每组对角B. 对角线互相垂直C.四边相等D. 四个角相等【知识点 9】内接中点四边形的形状与 有关。

第九章中心对称图形-平行四边形单元复习课【知识梳理】9.1 图形的旋转1.概念：在平面内，将一个图形绕一个定点转动一定的角度，这样的图形运动称为图形的旋转，这个定点称为旋转中心，旋转的角度称为旋转角．2.图形旋转的性质:（1）旋转前后的图形全等；（2）对应点到旋转中心的距离相等；（3）每一对对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等．3.练习:(1)如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AC=2，△ABC绕点C顺时针旋转得△A1B1C，当A1落在AB边上时，连接B1B，取BB1的中点D，连接A1D，则A1D的长度是（）A． B．2 C．3 D．2(2)如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ，连接BQ．若PA=6，PB=8，PC=10，则四边形APBQ的面积为．(3)如图，将等腰△ABC绕顶点B逆时针方向旋转α度到△A1BC1的位置，AB与A1C1相交于点D，AC与A1C1、BC1分别交于点E、F．（1）求证：△BCF≌△BA1D．（2）当∠C=α度时，判定四边形A1BCE的形状并说明理由．(4).如图1，在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°，D 、E 分别是AB 、AC 边的中点．将△ABC 绕点A 顺时针旋转α角（0°＜α＜180°），得到△AB ′C ′（如图2）． （1）探究DB ′与EC ′的数量关系，并给予证明； （2）当DB ′∥AE 时，试求旋转角α的度数．9.2 中心对称与中心对称图形1.一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这点对称，也称这两个图形成中心对称．这个点叫做对称中心．2.成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分．3.把一个图形绕 旋转 ，如果旋转后的图形能够与 ，那么这个图形叫做 ，这个点就是 。