2019届高三第二次月考文科数学试题

湖北省武汉市2019届高三第二次模拟考试数 学（文科）本试卷共4页，23小题， 满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用2B 铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

写在本试卷上无效。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1． 已知集合A ＝{x |x ﹣1＜2}，B ＝{x |1＜2x＜16}，则A ∩B ＝A ．（﹣∞，8）B ．（﹣∞，3）C ．（0，8）D ．（0，3）2． 复数z ＝51i i-（i 为虚数单位）的虚部为A ．－12B ．12C ．－12i D ．12i 3． 双曲线9x 2﹣16y 2＝1的焦点坐标为A ．⎪⎭⎫⎝⎛±0,125 B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛±125,0 C ．（±5，0） D ．（0，±5） 4． 若，则cos2α＝A ．－12B ．－13C ．13D ．125． 已知函数)(x f 在),(+∞-∞上单调递减，且当x ∈[﹣2，1]时，f （x ）＝x 2﹣2x ﹣4，则关于x 的不等式1)(-<x f 的解集为A ．)1,(--∞B ．)3,(-∞C ．)3,1(-D ．),1(+∞-6． 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．3πB ．4πC ．6πD ．8π7． 执行如图的程序框图，依次输入x 1＝17，x 2＝19，x 3＝20，x 4＝21，x 5＝23，则输出的S 值及其统计意义分别是 A ．S ＝4，即5个数据的方差为4 B ．S ＝4，即5个数据的标准差为4 C ．S ＝20，即5个数据的方差为20 D ．S ＝20，即5个数据的标准差为208． △ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知1，则cos B 的取值范围为A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,21B ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,21C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛1,21D ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,219． 已知A ，B ，C 三点不共线，且点O 满足031216=--，则A ．AC AB OA 312+= B ．AC AB OA 312-= C ．312+-=D ．312--=10．古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：将一线段AB 分为两线段AC ，CB ，使得其中较长的一段AC是全长AB 与另一段CB 的比例中项，即满足618.0215≈-==AC BC AB AC ． 后人把这个数称为黄金分割数，把点C 称为线段AB 的黄金分割点在 △ABC 中，若点P ，Q 为线段BC 的两个黄金分割点，在△ABC 内任取一 点M ，则点M 落在△APQ 内的概率为A B ．25-C D 11．已知F 为抛物线C ：x 2＝4y 的焦点，直线y ＝21x +1与曲线C 相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则S △OAB ＝ A ．552 B ．554 C ．5 D ．5212．函数x x x g x kx x f -=-=ln 2)(,ln )2()(，若f （x ）＜g （x ）在（1，+∞）上的解集中恰有两个整数，则k 的取值范围为A ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡--3ln 134,2ln 211 B ．⎥⎦⎤ ⎝⎛--3ln 134,2ln 211 C ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡--2ln 12,3ln 134D ．⎥⎦⎤ ⎝⎛--2ln 12,3ln 134 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13．已知函数⎩⎨⎧≤->=1,131,log )(3x x x x f x ，则))2((f f ＝ ．14．设x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤--≤-+,1,012,01123x y x y x 则z ＝2x +y 的最大值为 ．15．在三棱锥P ﹣ABC 中，AP ，AB ，AC 两两垂直，且AP ＝AB ＝AC ＝3，则三棱锥P ﹣ABC 的内切球的表面积为 ． 16．已知函数)0(216sin )(>+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ωπωx x f ，点P ，Q ，R 是直线y ＝m （m ＞0）与函数f （x ）的图象自左至右的某三个相邻交点，且2|PQ |＝|QR |＝32π，则=+m ω ． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每道试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． (一)必考题：共60分． 17．（12分）设数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝1﹣a n （n ∈N *）． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n ＝log 2a n ，求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+11n n b b 的前n 项和n T ．18．（12分）在五面体ABCDEF 中，四边形CDEF 为矩形，CD ＝2DE ＝2AD ＝2AB ＝4，AC ＝52，∠EAD ＝30°．（1）证明：AB ⊥平面ADE ； （2）求该五面体的体积．19．（12分）某城市的公交公司为了方便市民出行，科学规划车辆投放，在一个人员密集流动地段增设一如下：先用求得的线性回归方程计算间隔时间对应的等候人数yˆ，再求y ˆ与实际等候人数y 的差，若差值的绝对值都不超过1，则称所求方程是“恰当回归方程”．（1）从这6组数据中随机选取4组数据后，求剩下的2组数据的间隔时间不相邻的概率；（2）若选取的是后面4组数据，求y 关于x 的线性回归方程a x b y ˆˆˆ+=，并判断此方程是否是“恰当回归方程”；（3）为了使等候的乘客不超过35人，试用（2）中方程估计间隔时间最多可以设置为多少（精确到整数）分钟．附：对于一组数据（x 1，y 1），（x 2，y 2），……，（x n ，y n ），其回归直线a x b y ˆˆˆ+=的斜率和截距的最小二乘估计分别为：20．（12分）已知点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3,22),2,1(都在椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>上．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点M （0，1）的直线l 与椭圆C 交于不同两点P ，Q （异于顶点），记椭圆与y 轴的两个交点分别为A 1，A 2，若直线A 1P 与A 2Q 交于点S ，证明：点S 恒在直线y ＝4上．21．（12分）已知函数f （x ）＝e x﹣2ax （a ∈R ）（1）若曲线y ＝f （x ）在x ＝0处的切线与直线x +2y ﹣2＝0垂直，求该切线方程； （2）当a ＞0时，证明f （x ）≥﹣4a 2+4a(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修4-4：坐标系与参数方程](10分)在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧==,sin 2,cos 2θθy x （θ为参数）已知点Q （4，0），点P是曲线1C 上任意一点，点M 为PQ 的中点，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求点M 的轨迹C 2的极坐标方程；（2）已知直线kx y l =:与曲线C 2交于A ，B 两点，若AB OA 3=，求k 的值．23．[选修4-5：不等式选讲] (10分)已知函数)0(12)(>-++=a x a x x f ． （1）求)(x f 的最小值；（2）若不等式05)(<-x f 的解集为（m ，n ），且n ﹣m ＝43，求a 的值．数学（文科）参考答案。

奉新一中2019届高三上学期第二次月考数学（文）试卷一、选择题（每小题5分，共60分）1．已知{}{}21230A x|x ,B x|x x =>=--<，则A B ⋃=（ ） A ．{}11x|x x <-≥或B ．{}13x|x <<C ．{}3x|x >D ．{}1x|x >-2.设复数Z 满足i i i Z -=+⋅2)1(-）（，则=⋅Z Z （ ） A.1 B.21C.22D.23．若011<<ba ，则下列结论不正确的是（ ） A ．22b a < B ．2b ab < C ．0<+b aD ．b a b a +>+4．已知数列}{n a 为等差数列，若21062π=++a a a ，则)tan(93a a +的值为（ ） A. 0 B ．33C ．1D ．35．已知平面向量=+=-=m 23),,2(),2,1(则（ ） A ．（﹣1，2）B ．（1，2）C ．（1，﹣2）D ．（﹣1，﹣2）6.已知y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤-≥-0001m y x y x x 若1+x y 的最大值为2，则m 的值为（ ）A.4B.5C.8D.97．函数()()33101y log x a a =-+>≠且的图象恒过定点A ,若点A 在直线10mx ny +-=上，其中00m ,n >>，则mn 的最大值为（ ）A ．12B ．14 C. 18D ．1168．若函数()()3200log x x f x g x ,x ->⎧⎪=⎨<⎪⎩，为奇函数，则()()3f g -=（ ）A ．﹣3B ．﹣2C ．﹣1D ．09.数列1}{1=a a n 满足且对任意的n a a a N n n n ++=∈++11都有，则｝｛na 1的前100项和为 A.101100 B.10099 C.100101 D.10120010.给出下列命题：①已知：的充分条件是且"1""11",,>>>∈ab b a R b a ，②已知平面向量b a ,，：“1>a ，1>b ”是“1>+b a ”的必要不充分条件， ③已知的充分不必要条件是"1""1",,22≥+≥+∈b a b a R b a ，④命题1ln 1,:00000-≤+≥∈∃x x x e R x p x 且使的否定为,:R x p ∈∀⌝都有1ln 1->+<x x x e x 且其中正确命题的个数是（ ）A.0B.1C.2D.311．已知,函数满足:恒成立,其中是的导函数,则下列不等式中成立的是（ ）A. B.C..)3()4(2.ππf f D <12. 已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0<x 时，x e x x f )1()(+=则对任意的R m ∈，函数m x f f x F -=))(()(的零点个数至多有（ ） A.3个 B.4个 C.6个 D.9个 二、填空题（每小题5分，共20分）13．若y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≤--001022y y x y x ，则y x z 23+=的最大值为 ；14.已知=-=∈)4cos(,2tan 20πααπα则），，（ ； 15.设向量21,e e 1221==e e ，21,e e 的夹角是︒60，若212172e t e e e t ++与的夹角为钝角，则t 的取值范围为 ；16.已知函数）（其中R a ax x x g x f x ∈+==2)(,2)(。

攀枝花市2019届高三第二次统考数学（文科）参考答案一、选择题：（每小题5分，共60分）（1~5）BDACB （6~10）DADCA （11~12）DB二、填空题：（每小题5分，共20分）13、2 14、3- 15、4π 16、(1,)e ++∞三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17、（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）当2n ≥时，由于121n n a a n --=-，11a =所以112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-+-+L13(21)n =+++-L 2n = ……………………5分又11a =满足上式，故2n a n =（*n N ∈）．……………………6分（Ⅱ）21111n b n n n n ==-++．……………………8分 所以12n n T b b b =+++L11111111223341n n =-+-+-++-+L 1111nn n =-=++．……………………12分18、（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由 1.1 1.62 2.82 2.55m y m ++++==⇒=．……………………1分（Ⅱ）5年中平均每台设备每年的维护费用不超过2万元的有3年，分别编号为,,a b c ；超过2万元的有2年，编号为,D E ．随机抽取两年，基本事件为(,),(,),(,),(,)a b a c a D a E ，(,),(,),(,)b c b D b E ，(,),(,)c D c E ，(,)D E 共10个，而且这些基本事件的出现是等可能的．用A 表示“抽取的2年中平均每台设备每年的维护费用至少有1年多于2万元”，则A 包含的基本事件有(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)a D a E b D b E c D c E D E 共7个，故7()10P A =．……………………5分 （Ⅲ）3x =，2y =，29,6x xy ==511.1 3.26101434.3i ii x y==++++=∑，521149162555i i x ==++++=∑∴51522134.330ˆ0.435545i ii i i x y nx ybx nx==--===--∑∑，ˆˆ20.4330.71a y bx =-=-⨯= 所以回归方程为ˆ0.430.71yx =+．……………………10分由题意有 4.290.430.7159.980.43x x +>⇒>≈， 故第10年开始平均每台设备每年的维护费用超过5万元．……………………12分 19、（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：由已知//AB CD ，且BAD ∠为直角，F 为CD 的中点，FD AB ∴=,故ABFD 是矩形，//AD BF ∴,//BF APD ∴平面,又,E F Q 分别为C P CD ，的中点. //EF PD∴//EF APD ∴平面,,BF BEFEF BEF EF BF FEF BF BEF⊂⎧⎪⊂⎪⎨⎪⎪⊄⎩Q I 平面平面又=平面，所以平面//APD BEF 平面．………………6分 （Ⅱ）法一：如图所示,1132P DBE P DBC E DBC DBC E PC V V V S AP ---∆∴=-=⋅Q 为中点， 1116444623P DEB V -∴=⨯⨯⨯⨯=．…………………………………12分 法二：过A 作AG PD ⊥ PA ABCD⊥Q 底面,,,PA CD CD AD CD PAD CD AG AG PD ∴⊥⊥∴⊥∴⊥⊥Q ，又平面又,//AG PDE AB PDE∴⊥Q 平面又平面1111162244232623P BDE B PDE PDC V V AG S --∆∴==⋅⋅=⨯⨯⨯=．……………………………12分20、（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由抛物线定义可知||4()522pPF p =--=⇒=，故抛物线2:4C y x = 将(4,)(0)P t t >代入抛物线方程解得4t =．……………………3分 （Ⅱ）证明：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，设直线AB 的方程为1x my =+()m R ∈，代入抛物线2:4C y x =，化简整理得：2440y my --=，则121244y y m y y +=⎧⎨=-⎩...........①由已知可得直线PA 方程：1111444(4)(4)43y y y x x x my ---=-=--- 令()()11114584581,(1)33m y m y x y M my my -+-+=-=---得即，，同理可得()22458(1)3m y N my -+--，A BCDEFP()()212121221212125(2)(810)()1645845822(3)2(3)3()9MF NFm y y m y y m y m y k k my my m y y m y y -+-++-+-+∴⋅=⋅=---++ 将①代入化简得：221691169MF NFm k k m -∴⋅==--+，故MF NF ⊥． （也可用0MF NF ⋅=u u u r u u u r）．……………………12分21、（本小题满分12分）解：（Ⅰ）()08282)(222'>+-=-+=x xa x x x x a x f 由已知0182)1(2'=+-=a f 知6=a ，65666862)6(22'=+⨯-⨯=f ，点()4,1-A ，所以所求直线方程为.02965=--y x …………………2分 （Ⅱ）()x f 定义域为()+∞,0，令()a x x x t +-=822，由()x f 有两个极值点()2121,x x x x <得()0822=+-=a x x x t 有两个不等的正根，()⎪⎩⎪⎨⎧>=>=>-=∆02000864x a t a 所以80<<a ．……………………4分⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=+242121a x x x x 所以()⎩⎨⎧-==-=1121124224x x x x a x x ，由210x x <<知201<<x 不等式等价于()()()111111141ln 42x x m x x x x +->-- 041>-x Θ，()111111ln 2x m x x x +>-∴即()01ln 21121111>⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-∴x x m x x x()*……………………6分101<<x 时0111>-x x ，211<<x 时0111<-x x令()()201ln 2)(2<<-+=x x x m x x h ，22'2)(x m x mx x h ++= ο1当0≥m 时，0)('>x h ，所以)(x h 在()2,0上单调递增，又0)1(=h ，所以01x <<时，()0h x <；12x <<时，()0h x >所以()01ln 21121111<⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-x x m x x x ，不等式()*不成立……………………8分ο2当0<m 时,令m x mx x ++=2)(2ϕ(i)方程0)(=x ϕ的0442≤-=∆m 即1-≤m 时0)('<x h ，所以)(x h 在()2,0上单调递减，又0)1(=h ， 当10<<x 时，0)(>x h ，不等式()*成立 当21<<x 时，0)(<x h ，不等式()*成立所以1-≤m 时不等式()*成立……………………10分(ii)当0442>-=∆m 即01<<-m 时，)(x ϕ对称轴11>-=mx 开口向下且()0221>+=m ϕ，令⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=m b 1,2min 则)(x h 在()b ,1上单调递增，又0)1(=h ，∴0)(>x h ，),1(b x ∈时不等式()*不成立综上所述：1-≤m .……………………12分请考生在22~23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑． 22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程解：（Ⅰ）曲线C 的参数方程为2cos (3x y θθθ=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数），普通方程为22143x y +=．………………2分. 直线l 经过点(0,1)P -，斜率为1，直线l 的参数方程为22212x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）．………………5分 （Ⅱ）解法一：221x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）代入22143x y +=，化简整理得：2782160t t --=，设12,t t 是方程的两根，则12128287t t t t ⎧+=⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩，则212121224||||()47AB t t t t t t =-=+-⋅=．………………10分 解法二：直线:1l y x =-代入22143x y +=，化简整理得：27880x x --=，设11(,)A x y ，22(,)B x y则12128787x x x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪⋅=-⎪⎩，则2212121224||1|2()47AB k x x x x x x =+-=+-⋅=．………………10分23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲解： （Ⅰ）由3|1||21|0x x ---+>|1||21|3x x ⇒-++<1233x x ⎧≤-⎪⇒⎨⎪-<⎩或11223x x ⎧-<≤⎪⎨⎪+<⎩或133x x >⎧⎨<⎩ 112x ⇒-<≤-或112x -<<或x φ∈11x ⇒-<<所以函数()f x 的定义域D 为(1,1)-．………………5分（Ⅱ）法一：22222222(||)(|1|)1(1)(1)a b ab a b a b a b +-+=+--=--因为,a b D ∈，所以21a <，21b <．故22(||)(|1|)0a b ab +-+<，即22(||)(|1|)a b ab +<+ 所以|||1|a b ab +<+．………………10分 法二：当,(1,1)a b D ∈=-时， ∴21a <，21b <∴22(1)(1)0a b --<，即 22221a b a b +<+，∴22()(1)|||1|a b ab a b ab +<+⇒+<+．………………10分。

林芝市第一中学2018—2019学年第一学期第二次月考文数试卷一、选择题（共12小题,每题5分，满分60分）1.若集合,则A∩B=A. {x|-2<x<-1}B. {x|-2<x<3}C. {x|-1<x<1}D. {x|1<x<3}【答案】A【解析】【分析】由交集的定义得解【详解】由题意结合交集的定义可得：A∩B=故选A。

【点睛】理解交集的定义是解决问题的关键，结合数轴解决集合间的运算问题。

2.已知命题，则为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】试题分析：因为命题是全称命题，所以它的否定将全称命题改为特称命题，然后对结论否定.考点：全称命题的否定.3.若复数是虚数单位，则z在复平面内对应的点在（）A. 第四象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第一象限【答案】D【解析】【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z对应点的坐标得答案．【详解】∵，∴z在复平面内对应的点的坐标为（3，2），在第一象限．故选：D．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题4.下列函数中，周期为π的奇函数为A. y＝sin x cos xB. y＝sin2xC. y＝tan 2xD. y＝sin 2x＋cos 2x【答案】A【解析】分析：首先根据二倍角公式化简，结合函数的奇偶性即可判断出四个函数的奇偶性，其次结合正弦函数和余弦函数的周期以及正切函数的周期，进行解答即可. 详解：B项为偶函数，C项的周期为，D项为非奇非偶函数，故B,C,D都不正确，只有A项既是奇函数，且周期为，故选A. 点睛：该题是一道关于判断函数奇偶性与求函数周期的题目，解答该题的关键是熟练掌握奇偶函数的定义以及正确求解函数的周期，属于简单题目.5.已知等差数列{a n}满足a2+a4=4，a3+a5=10，则它的前10项的和S10＝( )A. 138B. 135C. 95D. 23【答案】C【解析】【分析】本题考查的知识点是等差数列的性质，及等差数列前n项和，根据a2+a4=4，a3+a5=10我们构造关于基本量（首项及公差）的方程组，解方程组求出基本量（首项及公差），进而代入前n项和公式，即可求解．【详解】∵（a3+a5）﹣（a2+a4）=2d=6，∴d=3，a1=﹣4，∴S10=10a1+=95．故选：C．【点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题简化为一元问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确；二是利用等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.6.设则A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先利用函数的图像和性质求a,b,c的范围，即得它们的大小关系.【详解】由题得，，，故c>a>b.故答案为：A【点睛】(1)本题主要考查指数对数函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)比较实数的大小，一般先与0比，再与±1或特殊值比.7.已知S n是数列{a n}的前n项和，且S n＋1＝S n＋a n＋3，a4＋a5＝23，则S8＝A. 72B. 88C. 92D. 98【答案】C【解析】【分析】由S n＋1＝S n＋a n＋3可得数列等差，公差为3.列方程求解。

雅礼中学2019届高三月考试卷（二）数学（文科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，毎小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的1. 已知命题2:,0p x R x ∀∈>，则（ ） A. 命题p ⌝：2,0x R x ∀∈≤，为假命题B. 命题p ⌝：2,0x R x ∀∈≤，为真命题C. 命题p ⌝：200,0x R x ∃∈≤，为假命题D. 命题p ⌝：200,0x R x ∃∈≤，为真命题2. 已知i 是虚数单位，则41()1i i+=-（ ） A. iB. i -C. 1D. —13. “上医医国”出自《国语・晋语八》，比喻高贤能治理好国家．现把这四个字分别写在四张卡片上，其中“上”字已经排好，某幼童把剩余的三张卡片进行排列，则该幼童能将这句话排列正确的概率是（ ） A.13B.16C.14D.1124. 中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4,-2），则它的离心率为A.B.C.D.5. 已知△ABC 是边长为1的等边三角形，D 为BC 中点，则（AB +AC ）•（AB -DB ）的值为（ ） A. 32-B.32C. 34-D.346. 已知0x 是()112xf x x⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的一个零点,()()1020,,,0x x x x ∈-∞∈,则（ ） A. ()()120,0f x f x << B. ()()120,0f x f x >> C. ()()120,0f x f x ><D. ()()120,0f x f x7. 已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且1321,,22a a a 成等差数列，则91078a a a a +=+（ ）A. 1B. 1C. 3+D. 3-8. 函数y =||2x sin2x 的图象可能是A. B.C. D.9. 正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（ ） A.814πB. 16πC. 9πD.274π10. 若函数()sin(2))()2f x x x πθθθ=++<的图象关于点(,0)6π对称，则()f x 的单调速增区间为（ ） A. 5[,],36k k k z ππππ++∈ B. [,],63k k k z ππππ-++∈C. 7[,],1212k k k z ππππ-+-+∈ D. 5[,],1212k k k z ππππ-++∈ 11. 设函数22()()(),,()x f x x t e t x R f x b =-+-∀∈≥恒成立，则实数b 的最大值为（ ）A.B.12C. 1D. e12. 设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线()220y px p =>上任意一点，M 是线段PF 上的点，且2PM MF =,则直线OM 的斜率的最大值为( )A.B.23C.2D. 1第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分13. 已知函数2()2()log xa f x +=，若()20f =，则a = _____.14. 一个六棱锥的体积为，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为 . 15. 设ABC ∆内角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ，且4cos ,25B b ==，则ABC ∆面积的最大值为_______.16. 已知数列{}n a 满足11a =，()()111n n na n a n n +=+++，且2cos3n n n b a π=⋅，记n S 为数列{}n b 的前n 项和，则24S =_____．三、解答题：本大題共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 已知函数2()sin 22sin f x x x =-. （1）求函数()f x 的最小正周期；（2当[0,]2x π∈时，求函数()f x 的值域.18. 已知四棱锥P ABCD -的三视图如图所示，其中正视图、侧视图是直角三角形，俯视图是有一条对角线的正方形，E 是侧棱PC 上的动点PC .（1）求证：平面PAC ⊥平面BDE ；（2）若E 为PC 的中点，求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值．19. 二手车经销商小王对其所经营的A 型号二手汽车的使用年数x （单位年）与销售价格y （单位：万元／辆）进行整理，得到如下数据：下面是z 关于x 的折线图.的（1）由折线图可以看出，可以用线性回归模型拟合z 与x 的关系，求z 关于x 的回归方程，并预测当某辆A 型号二手车使用年数为9年时售价约为多少？（,b a 小数点后保留两位有效数字） （2）基于成本考虑，该型号二手车的售价不得低于7118元，请根据（1）求出的回归方程预测在收购该型号二手车时车辆的使用年数不得超过多少年？参考公式：回归方程y bx a =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：1122211()()()()nni iiii i nniii i x y nx y x x yy b xn x x x ====---==--∑∑∑∑,a y bx =-,6621147.64,139,2,ln1.460.38,ln 0.7110.34i ii i i x zx z =====≈≈-∑∑.20. 已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的离心率为1,2F 为左焦点，过点F 作x 轴的垂线，交椭圆E 于,A B 两点，3AB =．（1）求椭圆E 的方程； （2）过圆22127x y +=上任意一点作圆切线交椭圆E 于,M N 两点，O 为坐标原点，问：OM ON ⋅是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由. 21. 已知函数2()(2)ln f x x a x a x =-++，其中实数0a >． （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）设定义在D 上的函数()y h x =在点()()00,P x h x 处的切线的方程为()y g x =，当0x x ≠时，若()()0h x g x x x ->-在D 内恒成立，则称P 为()y h x =的“类对称点”当4a =时，试问()y f x =是否存在“类对称点”？若存在，请至少求出一个“类对称点”的横坐标；若不存在，请说明理由.的请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一个题目计分坐标系与参数方程 22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（a 为参数），在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. （1）求C 的普通方程和l 的倾斜角；（2）设点(0,2)P ，l 和C 交于A ，B 两点，求||+||PA PB . 不等式选讲23. 已知函数()223,()213f x x a x g x x =-++=++. （1）解不等式：()5g x <； （2）若对任意1x R ∈，都有2x R ∈，使得12()()f x g x =成立，求实数a 的取值范围．雅礼中学2019届高三月考试卷（二）数学（文科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，毎小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的1. 已知命题2:,0p x R x ∀∈>，则（ ） A. 命题p ⌝：2,0x R x ∀∈≤，假命题B. 命题p ⌝：2,0x R x ∀∈≤，为真命题C. 命题p ⌝：200,0x R x ∃∈≤，为假命题D. 命题p ⌝：200,0x R x ∃∈≤，为真命题【答案】D 【解析】 【分析】命题的否定，必须同时改变两个地方：①：“∀”；②：“＞”即可，据此分析选项可得答案．【详解】命题2:,0p x R x ∀∈>，则命题p ⌝：200,0x R x ∃∈≤，为真命题的故选D【点睛】本题主要考查了命题的否定的写法，属于基础题． 2. 已知i 是虚数单位，则41()1i i+=-（ ） A. i B. i -C. 1D. —1【答案】C 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘除法运算即可得到结果.【详解】41()1i i +-=()2441[]12i i +==， 故选C ．【点睛】本题主要考查的是复数的乘法、除法运算，属于中档题．解题时一定要注意21i =-和()()()()a bi c di ac bd ad bc i ++=-++以及()()()()a bi c di a bi c di c di c di +-+=++- 运算的准确性，否则很容易出现错误.3. “上医医国”出自《国语・晋语八》，比喻高贤能治理好国家．现把这四个字分别写在四张卡片上，其中“上”字已经排好，某幼童把剩余的三张卡片进行排列，则该幼童能将这句话排列正确的概率是（ ） A.13B.16C.14D.112【答案】A 【解析】 【分析】先排好医字，共有23C 种排法，再排国字，只有一种方法. 【详解】幼童把这三张卡片进行随机排列， 基本事件总数n=23C =3，∴该幼童能将这句话排列正确的概率p=13． 故选A【点睛】有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数：1．基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举；2．注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用．4. 中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4,-2），则它的离心率为C.2【答案】D 【解析】由题意知,过点(4,-2)的渐近线方程为y=-b ax, ∴-2=-b a×4, ∴a=2b.设b=k,则∴e=c a .5. 已知△ABC 是边长为1的等边三角形，D 为BC 中点，则（AB +AC ）•（AB -DB ）的值为（ ） A. 32-B.32C. 34-D.34【答案】B 【解析】 【分析】由题意得到AD ，进而由线性运算及数量积运算得到结果. 【详解】∵ABC ∆是边长为1的等边三角形，D 为BC 中点，∴AD =而()()23222AB AC AB DB AD AD AD +⋅-===故选B【点睛】平面向量数量积的类型及求法(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式cos a b a b θ⋅=⋅；二是坐标公式1212a b x x y y ⋅=+；三是利用数量积的几何意义.(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.6. 已知0x 是()112xf x x⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的一个零点,()()1020,,,0x x x x ∈-∞∈,则（ ） A. ()()120,0f x f x << B. ()()120,0f x f x >> C. ()()120,0f x f x >< D. ()()120,0f x f x【答案】C 【解析】 【分析】已知x 0是()11()2xf x x =+的一个零点，可令h （x ）=1()2x ，g （x ）=﹣1x，画出h （x ）与g （x ）的图象，判断h （x ）与g （x ）的大小，从而进行求解；【详解】∵已知x 0是()11()2x f x x=+的一个零点，x 1∈（﹣∞，x 0），x 2∈（x 0，0），可令h （x ）=1()2x ，g （x ）=﹣1x，如下图：当0＞x ＞x 0，时g （x ）＞h （x ），h （x ）﹣g （x ）=112xx ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＜0；当x ＜x 0时，g （x ）＜h （x ），h （x ）﹣g （x ）=112xx⎛⎫+ ⎪⎝⎭＞0； ∵x 1∈（﹣∞，x 0），x 2∈（x 0，0）， ∴f （x 1）＞0，f （x 2）＜0， 故选C ．【点睛】函数零点的求解与判断(1)直接求零点：令()0f x =，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[],a b 上是连续不断的曲线，且()()0f a f b ⋅<，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．7. 已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且1321,,22a a a 成等差数列，则91078a a a a +=+（ ）A. 1+B. 1C. 3+D. 3-【答案】C 【解析】试题分析：由已知3122a a a =+，所以21112a q a a q =+，因为数列{}n a的各项均为正，所以1q =，2229107878783a a a q a q q a a a a ++===+++C ．考点：等差数列与等比数列的性质．8. 函数y =||2x sin2x 的图象可能是A. B.C. D.【答案】D 【解析】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在π(,π)2上的符号，即可判断选择.详解：令||()2sin 2x f x x =， 因为,()2sin 2()2sin 2()xx x R f x x x f x -∈-=-=-=-，所以||()2sin 2x f x x =为奇函数，排除选项A,B; 因为π(,π)2x ∈时，()0f x <，所以排除选项C ，选D.点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．9. 正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（ ） A.814πB. 16πC. 9πD.274π【答案】A 【解析】【详解】正四棱锥P-ABCD 的外接球的球心在它的高1PO 上， 记为O ，PO=AO=R ，14PO =，1OO =4-R ，在Rt △1AOO 中，1AO =由勾股定理()2224R R =+-得94R =， ∴球的表面积814S π=，故选A.考点：球的体积和表面积10. 若函数()sin(2))()2f x x x πθθθ=++<图象关于点(,0)6π对称，则()f x 的单调速增区间为（ ）A. 5[,],36k k k z ππππ++∈ B. [,],63k k k z ππππ-++∈C. 7[,],1212k k k z ππππ-+-+∈ D. 5[,],1212k k k z ππππ-++∈ 【答案】C 【解析】 【分析】利用两角和的正弦公式化成标准形式，根据图象关于点06π⎛⎫⎪⎝⎭，对称，求出θ的值，然后根据正弦函数的单调增区间求函数f （x ）的单调增区间．【详解】f （x ）=sin （2x+θ）（2x+θ）， =2sin （2x+θ+3π）， ∵图象关于点06π⎛⎫ ⎪⎝⎭，对称， ∴2×6π+θ+3π=kπ，（k ∈Z ） ∴θ=kπ23π-，（k ∈Z ），∵|θ|＜2π，∴3πθ=，∴f （x ）=2sin （2x+23π）；由2222232k x k πππππ-+≤+≤+（k ∈Z ） 解得：71212k x k ππππ-+≤≤-+（k ∈Z ） ∴函数f （x ）的增区间为71212k k k Z ππππ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦，． 故选C ．【点睛】本题考查了三角函数式的化简及三角函数的图象与性质，解题的关键是把三角函数式化成标准形式，在求θ值时要注意其范围．11. 设函数22()()(),,()x f x x t e t x R f x b =-+-∀∈≥恒成立，则实数b 的最大值为（ ）A.2B.12C. 1D. e【答案】B 【解析】 【分析】()f x 的几何意义是函数x y e =上的点(),x x e 到直线y x =上的点(),t t 的距离的平方【详解】()f x 几何意义是函数xy e =上的点(),xx e到直线y x =上的点(),t t 的距离的平方，当切点为()0,1P 时，切线的斜率为1，P 到直线y x =， ∴12b ≤． 故选B【点睛】不等式恒成立问题往往转化为函数的最值问题，本题解题的关键是理解函数式隐含的几何意义. 12. 设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线()220y px p =>上任意一点，M 是线段PF 上的点，且2PM MF =,则直线OM 的斜率的最大值为( )A.B.23C.2D. 1【答案】C 【解析】试题分析：设200,)2y P y p （，由题意(,0)2p F ，显然00y <时不符合题意，故00y >，则 2001112()(,)3333633y y p OM OF FM OF FP OF OP OF OP OF p =+=+=+-=+=+，可得：200023263OM y k y p y p p y p ==≤=++，当且仅当22002,y p y =时取等号，故选C ． 考点：1．抛物线的简单几何性质；2．均值不等式．【方法点晴】本题主要考查的是向量在解析几何中的应用及抛物线标准方程方程，均值不等式的灵活运用，属于中档题．解题时一定要注意分析条件，根据条件||2||PM MF =，利用向量的运算可知的200(,)633y y p M p +，写出直线的斜率，注意均值不等式的使用，特别是要分析等号是否成立，否则易出问题．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分13. 已知函数2()2()log xa f x +=，若()20f =，则a = _____.【答案】3- 【解析】 【分析】推导出f （2）=log 2（4+a ）=0，由此能求出a 的值． 【详解】∵函数f （x ）=log 2（x 2+a ），f （2）=0， ∴f （2）=log 2（4+a ）=0， 解得a=﹣3． 故答案为﹣3．【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．14. 一个六棱锥的体积为，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为 . 【答案】12 【解析】【详解】试题分析：判断棱锥是正六棱锥，利用体积求出棱锥的高，然后求出斜高，即可求解侧面积．∵一个六棱锥的体积为2的正六边形，侧棱长都相等，∴棱锥是正六棱锥，设棱锥的高为h ，则216213h h ⨯⨯∴=＝，2==，该六棱锥的侧面积为1622122⨯⨯⨯=． 考点：棱柱、棱锥、棱台的体积15. 设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ，且4cos ,25B b ==，则ABC ∆面积的最大值为_______. 【答案】3 【解析】 【分析】利用余弦定理得出ac 的最大值从而得出面积的最大值．【详解】由余弦定理可得cosB=2222a c b ac +-=2242a c ac +-=45， ∴a 2+c 2=85ac +4≥2ac ，解得ac ≤10， ∴S △ABC =12acsinB=310ac ≤3． ∴△ABC 面积的最大值是3． 故答案为3【点睛】解三角形的基本策略一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化变；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.16. 已知数列{}n a 满足11a =，()()111n n na n a n n +=+++，且2cos3n n n b a π=⋅，记n S 为数列{}n b 的前n 项和，则24S =_____．【答案】304 【解析】 【分析】由na n+1=（n+1）a n +n （n+1），变形为11n a n ++﹣n a n =1，利用等差数列的通项公式可得：n an，可得a n ．由b n =a n cos 23n π=223n n cos π，对n 分类讨论利用三角函数的周期性即可得出． 【详解】∵()()111n n na n a n n +=+++， ∴111n n a a n n +-=+，∴数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差与首项都为1的等差数列． ∴()111na n n=+-⨯，可得2n a n =． ∵2πcos 3n n n b a =，∴22πcos 3n n b n =，令32n k =-，k *∈N ， 则()()()2232232π132cos 3232k k b k k --=-=--，k *∈N ， 同理可得()2311322k b k -=--，k *∈N ，()233k b k =，k *∈N ． ∴()()()22232313115323139222k k k b b b k k k k --++=----+=-，k *∈N ，则()245912883042S =⨯+++-⨯=．故答案为304【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、递推关系、三角函数的周期性，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题：本大題共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 已知函数2()sin 22sin f x x x =-. （1）求函数()f x 的最小正周期； （2当[0,]2x π∈时，求函数()f x 的值域.【答案】（1）π；（2）1⎡⎤-⎣⎦.【解析】 【分析】（1）由三角函数的公式化简已知函数可得f （x ）2?14x π⎛⎫+- ⎪⎝⎭，易得周期； （2）由x 的范围，结合不等式的性质，一步步可得值域，先求函数的单调区间，结合函数的定义域可得答案．【详解】（1）因为()()πsin21cos2214f x x x x ⎛⎫=--=+- ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的最小正周期为2ππ2T ==． （2）π0,2x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦时，ππ5π2,444x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，∴πsin 242x ⎡⎤⎛⎫+∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦．∴π24x ⎛⎫⎡+∈- ⎪⎣⎝⎭．∴()f x 的值域为()1f x ⎡⎤∈-⎣⎦．【点睛】本题考查三角函数的公式的应用，涉及正弦函数的单调性以及函数值域的求解，属中档题． 18. 已知四棱锥P ABCD -的三视图如图所示，其中正视图、侧视图是直角三角形，俯视图是有一条对角线的正方形，E 是侧棱PC 上的动点PC .（1）求证：平面PAC ⊥平面BDE ；（2）若E 为PC 的中点，求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）6. 【解析】 【分析】（1）要证平面PAC ⊥平面BDE ，转证BD ⊥平面PAC ，即证BD AC BD PC ⊥⊥，；（2）过点E 作EH PO ⊥于H ，则EH ⊥平面PBD ，故EBH ∠为BE 与平面PBD 所成的角，解三角形即可得到结果．【详解】（1）由已知PC BC ⊥，PC DC PC ⊥⇒⊥平面ABCD ， ∵BD ⊂平面ABCD BD PC ⇒⊥， 又∵BD AC ⊥，∴BD ⊥平面PAC ．因BD ⊂平面EBD ，则平面PAC ⊥平面BDE ． （2）法1：记AC 交BD 于点O ，连PO ，由（1）得平面PAC ⊥平面BDP ，且交于直线PO ， 过点E 作EH PO ⊥于H ，则EH ⊥平面PBD ， ∴EBH ∠为BE 与平面PBD 所成的角．∵EH PO OC PE ⋅=⋅，∴12EH =．∴13EH =．又BE =1sin6EBH ∠==．于是，直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值是6． 法2：（等体积法）∵E PBD D PBE V V --=， ∴E 点到平面PBD 的距离为13．又BE =1sin6EBH ∠==．于是，直线BE 与平面PBD ． 【点睛】求直线和平面所成角的关键是作出这个平面的垂线进而斜线和射影所成角即为所求，有时当垂线较为难找时也可以借助于三棱锥的等体积法求得垂线长，进而用垂线长比上斜线长可求得所成角的正弦值，当空间关系较为复杂时也可以建立空间直角坐标系，利用向量求解.19. 二手车经销商小王对其所经营的A 型号二手汽车的使用年数x （单位年）与销售价格y （单位：万元／辆）进行整理，得到如下数据：下面是z 关于x 的折线图.（1）由折线图可以看出，可以用线性回归模型拟合z 与x 的关系，求z 关于x 的回归方程，并预测当某辆A 型号二手车使用年数为9年时售价约为多少？（,b a 小数点后保留两位有效数字）（2）基于成本的考虑，该型号二手车的售价不得低于7118元，请根据（1）求出的回归方程预测在收购该型号二手车时车辆的使用年数不得超过多少年？参考公式：回归方程y bx a =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：1122211()()()()n ni iiii i nniii i x y nx y x x yy b xn x x x ====---==--∑∑∑∑,a y bx =-,6621147.64,139,2,ln1.460.38,ln 0.7110.34i ii i i x zx z =====≈≈-∑∑.【答案】（1）1.46万元；（2）11. 【解析】 【分析】（1）利用最小二乘估计公式计算ˆb 、ˆa ，写出z 与x 的线性回归方程，求出y 关于x 的回归方程，计算x=9时y ∧的值即可；（2）利用线性回归方程求出y ∧≥0.7118时x 的取值范围，即可得出预测结果． 【详解】（1）由题意，计算()1234567 4.56x =⨯+++++=， ()13 2.48 2.08 1.86 1.48 1.1026z =⨯+++++=，且6147.64i ii x z==∑，621139i i x ==∑，利用最小二乘估计公式计算616222147.646 4.52 6.360.36139ˆ6 4.517.5i i i i i x z nxz b x nx==--⨯⨯===-≈--⨯-∑∑， ∴20.36ˆˆ 4.5 3.62a z bx=-=+⨯=， ∴z 关于x 的线性回归方程是0.36 3.6ˆ2zx =-+， 又ln z y =，∴y 关于x 的回归方程是0.36 3.62ˆx y e -+=；令9x =，解得0.369 3.62.6ˆ14ye -⨯+=≈，即预测当某辆A 型号二手车使用年数为9年时售价约1.46万元．（2）当0.18ˆ71y≥时，0.36 3.62ln0.71180.340.7118x e e e -+-≥==， ∴0.36 3.620.34x -+≥-，解得11x ≤，因此预测在收购该型号二手车时车辆的使用年数不得超过11年． 【点睛】求线性回归直线方程的步骤（1）用散点图或进行相关性检验判断两个变量是否具有线性相关关系；（2）求系数ˆb：公式有两种形式，即()()()1122211ˆn n i i i i i i n n i i i i x x y y x y nxyb x nx x x ====∑--∑-==∑-∑-．当数据较复杂时，题目一般会给出部分中间结果，观察这些中间结果来确定选用公式的哪种形式求ˆb ； （3）求ˆa： ˆˆa y bx =-； （4）写出回归直线方程ˆˆˆybx a =+． 20. 已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的离心率为1,2F 为左焦点，过点F 作x 轴的垂线，交椭圆E 于,A B 两点，3AB =．（1）求椭圆E 的方程； （2）过圆22127x y +=上任意一点作圆的切线交椭圆E 于,M N 两点，O 为坐标原点，问：OM ON ⋅是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由.【答案】（1）22143x y +=；（2）0. 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的离心率及通径公式，即可求得a 和b 的值，求得椭圆方程； （2）对k 分类讨论，利用设而不求法即可得到OM ON ⋅为定值.【详解】（1）∵离心率为12，则12c a =．∴2234b a =．∵3AB =，∴223b a=．∴24a =，23b =．则椭圆E 的标准方程为22143x y +=．（2）当切线斜率不存在时，取切线为x =代入椭圆方程是M，N，或M，N ．∴1207OM ON ⋅==， 同理，取切线为x =0OM ON ⋅=． 当切线斜率存在时，设切线y kxb =+，则d ==()227121b k =+． ①联立()222223484120143y kx b k x kbx b x y =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩． 设()11,M x y ，()22,N x y ，则122212283441234kb x x kb x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩②③ ()()()()221212*********x x y y x x kx b kx b k x x x x kb b +=+++=++++， ④把①②③代入④得12120x x y y +=，0OM ON ⋅=． 综合以上，OM ON ⋅为定值0． 【点睛】求定值问题常见的方法①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 21. 已知函数2()(2)ln f x x a x a x =-++，其中实数0a >． （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）设定义在D 上的函数()y h x =在点()()00,P x h x 处的切线的方程为()y g x =，当0x x ≠时，若()()0h x g x x x ->-在D 内恒成立，则称P 为()y h x =的“类对称点”当4a =时，试问()y f x =是否存在“类对称点”？若存在，请至少求出一个“类对称点”的横坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）①当2a =时，()f x 的单调递增区间为()0,∞+；②当2a >时，()f x 的单调递增区间为()0,1和,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭；③当02a <<时，()f x 的单调递增区间为0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭和()1,+∞，单调递减区间为,12a ⎛⎫⎪⎝⎭；（2）见解析. 【解析】【分析】（1）f （x ）的定义域是（0，+∞），求出函数的导数，对a 分情况进行讨论，（2）当a=4时，f （x ）=x 2﹣6x+4lnx ，求出f′（x ）=2x +4x﹣6，得到令φ（x ）=f （x ）﹣g （x ）=x 2﹣6x+4lnx ﹣（2x 0+04x ﹣6）（x ﹣x 0）+20x ﹣6x 0+4lnx 0，求出函数φ（x ）的导数，再通过讨论x 的范围得出结论． 【详解】（1）()f x 的定义域是()0,+∞．()()()()()2222122x a x a x a x a f x x a x x x-++-'-=-++==． ①当12a =，即2a =时，()()2210x f x x-'=≥， ∴()f x 的单调递增区间为()0,+∞． ②当12a >，即2a >时，由()0f x '>得01x <<或2a x >，由()0f x '<得12a x <<， ∴()f x 的单调递增区间为()0,1和,2a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭，单调递减区间为1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭． ③当12a <，即02a <<时，由()0f x '>得02a x <<或1x >，由()0f x '<得12a x <<． ∴()f x 的单调递增区间为0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭和()1,+∞，单调递减区间为,12a ⎛⎫ ⎪⎝⎭． （2）当4a =时，()264ln f x x x x =-+，()426f x x x+'=-， ()()200000042664ln y g x x x x x x x x ⎛⎫==+--+-+ ⎪⎝⎭．令()()()()22000000464ln 2664ln x f x g x x x x x x x x x x x ϕ⎛⎫=-=-+-+---+- ⎪⎝⎭， 则()00x ϕ=．()()()000000044222262621x x x x x x x x x x x x x x ϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--+-=--=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, ()00022x x x x x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭,当00x <<()x ϕ在002,x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减． ∴当002,x x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()00x x ϕϕ<=，从而有002,x x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()00x x x ϕ<-．当0x ()x ϕ002,x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减． ∴当002,x x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()00x x ϕϕ>=，从而有002,x x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()00x x x ϕ<-．∴当()x ∈⋃+∞时，()y f x =不存在“类对称点”．当0x ()(22x x x ϕ'=， ∴()x ϕ在()0,+∞上是增函数，故()00x x x ϕ>-．所以当0x =()y f x =存在“类对称点”．【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一个题目计分坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（a 为参数），在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. （1）求C 的普通方程和l 的倾斜角；（2）设点(0,2)P ，l 和C 交于A ，B 两点，求||+||PA PB . 【答案】(1) 2219x y +=.4π.(2) ||||5PA PB +=. 【解析】【分析】（1）直接利用参数方程和极坐标方程公式得到普通方程，再计算倾斜角.（2）判断点(0,2)P 在直线l 上，建立直线参数方程，代入椭圆方程，利用韦达定理得到答案.【详解】（1）3cos ,sin ,x y αα=⎧⎨=⎩消去参数α得2219x y +=， 即C 的普通方程为2219x y +=.由sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得sin cos 2ρθρθ-=，（*） 将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，代入（*），化简得+2y x =， 所以直线l 的倾斜角为4π. （2）由（1），知点(0,2)P 在直线l 上，可设直线l 的参数方程为cos 42sin 4x t y t ππ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），即222x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），代入2219x y +=并化简，得25270t ++=，245271080∆=-⨯⨯=>，设A ，B 两点对应的参数分别为1t ，2t ，则120t t +=<，122705t t =>， 所以10t <，20t <，所以()1212||||5PA PB t t t t +=+=-+=. 【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程，倾斜角，利用直线的参数方程可以简化运算.不等式选讲23. 已知函数()223,()213f x x a x g x x =-++=++.（1）解不等式：()5g x <；（2）若对任意的1x R ∈，都有2x R ∈，使得12()()f x g x =成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）3122x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭；（2）{|0a a ≥或}6a ≤-. 【解析】【分析】（1）利用||x ﹣1|+2|＜5，转化为﹣7＜|x ﹣1|＜3，然后求解不等式即可．（2）利用条件说明{y|y=f （x ）}⊆{y|y=g （x ）}，通过函数最值，列出不等式求解即可．【详解】（1）由2135x ++<，得52135x -<++<，所以8212x -<+<，解不等式得321x -<<，即3122x -<<， 所以原不等式的解集是3122x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭． （2）因为对任意的1x R ∈，都有2x R ∈，使得()()12f x g x =成立， 所以(){}(){}y y f x y y g x =⊆=， 又()()2232233f x x a x x a x a =-++≥--+=+，()2133g x x =++≥， 所以33a +≥，解得0a ≥或6a ≤-， 的所以实数a 的取值范围是{|0a a ≥或}6a ≤-．【点睛】本题考查函数的恒成立，绝对值不等式的解法，考查分析问题解决问题的能力以及转化思想的应用,属于中档题.。

惠东燕岭学校2019届高三11月月考文科数学一、单项选择1、已知集合2{|1}A x x =<，(){|lg 10}B x x =+≥，则A B ⋂=（） A. [)0,1 B. ()1,-+∞ C. ()0,1 D. (]1,0- 2、已知复数满足（为虚数单位），则为（）A.2B.C.D.13、下列函数中，既是偶函数又在()0,+∞上单调递增的是（）A. 1y x =+B. 1y x =+C. 21y x =-+D. 12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭4、已知为两个不同的平面，为直线，则以下说法正确的是（ ） A.若，，则B.若，，则 C.若，，则D.若，，则5、将函数sin 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移3π个单位，得到的图象对应的解析式是（） A.1sin2y x = B.1sin 22y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C.1sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D.sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭6、设向量)a =，(),3b x =-，(1,c =，若//b c ，则a b -与的夹角为（）A. 30︒B. 60︒C. 120︒D. 150︒7、已知tan 2θ=，则22sin sin cos 2cos θθθθ+-=（）A. 43-B. 54C. 34-D. 458、在△ABC 中，()22sin sin sin sin sin A C A B B -=-，则角等于( ) A. 6π B. 3π C. 23π D. 56π9、已知是等差数列，，则该数列前项和等于（）A.B.C.D.10、下列命题中，不是真命题的是（） A. 命题“若22am bm <，则a b <”的逆命题. B. “1ab >”是“1a >且1b >”的必要条件. C. 命题“若29x =，则3x =”的否命题. D. “1x >”是“11x<”的充分不必要条件. 11、已知函数()()()sin sin cos sin f x x x =+，x R ∈，则下列说法正确的是（） A. 函数()f x 是周期函数且最小正周期为B. 函数()f x 是奇函数 C. 函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为⎡⎣ D. 函数()f x 在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦是增函数 12、已知函数,若函数有4个不同的零点，则的取值范围是( )A. B. C. D.二、填空题13、曲线()223f x x x =-在()1,1-处的切线方程为_________________________．14、33sin ,cos 55αβ==，其中,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则+αβ=__________． 15、已知实数，满足330,{10, 10,x y x y x y -+≥+-≥--≤则2z x y =+的最大值为__________．16、对于函数，部分与的对应关系如下表：数列满足：，且对于任意，点都在函数的图象上，则的值为__________.三、解答题17、已知函数()1242f x ax bπ⎛⎫=+++⎪⎝⎭（0,0a b>>）的图象与轴相切，且图象上相邻两个最高点之间的距离为2π.（1）求,a b的值；（2）求()f x在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.18、已知，，分别为ABC∆的三个内角，sin2cosC c c A=+．（1）求角；（2）若a=，ABC∆的面积为，求，．19、已知数列的前项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和.20、如图，四棱锥中中，底面.底面为梯形，，，，，点在棱上，且. （Ⅰ）求证：平面平面； （Ⅱ）求三棱锥的体积.21、已知函数()()24ln 1f x x mx m R =-+∈.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若对任意[]1,x e ∈，都有()0f x ≤恒成立，求实数的取值范围.22、在直角坐标系中，曲线的参数方程为{xyϕϕ==（为参数），直线的参数方程为12{x ty=-=（为参数）.以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点的极坐标方程为2π⎫⎪⎭.（1）求点的直角坐标，并求曲线的普通方程；（2）设直线与曲线的两个交点为,A B，求PA PB+的值.惠东燕岭学校2019届高三11月月考文科数学参考答案一、单项选择1、【答案】A 【解析】()[)[)1,1,0,,0,1A B A B =-=+∞⋂=.故选A.2、【答案】C 【解析】：由，得，，故选C.3、【答案】B 【解析】.由()3y f x x ==得：()()()33f x x x f x -=-=-=-，是奇函数，不合题意；.由()1y f x x ==+得：()()11f x x x f x -=-+=+=，是偶函数且定义域是，当()0,x ∈+∞，由1y x =+得：'10y =>，函数为增函数，符合题意；.是偶函数又在()0,+∞上单调递减，不合题意；.是偶函数又在()0,+∞上单调递减，不合题意. 4、【答案】C 【解析】若，，则或在内，A 错；若，，则与位置关系不定；B 错；若，，则或在内，D 错；若，则平行内一条直线因为，所以,因此，C 对，选C.5、【答案】C 【解析】231sin sin 323y x y x πππ⎛⎫⎛⎫=-−−−−−−−→=-−−−−−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭向左平移个单位长度横坐标伸长到原来的倍纵坐标不变11sin sin 23326y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选C.6、【答案】D 【解析】因为b||c,所以()()()31,3,3,0,4.x b a b =-⨯∴==--=所以a b -2=-所以夹角为150︒.故选D.7、【答案】D 2222222222sin sin cos 2cos tan tan 2222sin sin cos 2cos sin cos tan 121θθθθθθθθθθθθθ+-+-+-+-===+++＝45，故选D ． 8、【答案】B 【解析】()22222sin sin sin sin sin A C A B B a c ab b -=-⇒-=-222222a c ab b a bc ab ⇒-=-⇒+-=2221cos 22a b c C ab +-⇒==,所以3C π=，选B. 9、【答案】B 【解析】解：设公差为d ，则由已知得2a 1+d="4"2a 1+13d=28？a 1="1"d=2？S 10=10×1+10×9=100，故选B ．10、【答案】A 【解析】命题“若22am bm <，则a b <”的逆命题为：若a b <，则22am bm >,显然是错误的，当m=0时则不成立，故A 是假命题.11、【答案】C 【解析】由()()()sin sin cos sin sin 4f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭知，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，sin 1444x πππ≤+≤+而43244πππ+<<，所以sin sin 124x π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭∴()1f x ≤≤即值域为⎡⎣，故选C.12、【答案】C 【解析】当时，当时，作图可知，选C.二、填空题13、【答案】20x y --=由()223f x x x =-可得()‘43f x x =-,()‘1431f =-=,即曲线()223f x x x =-在()1,1-处的切线斜率为，由点斜式可得曲线()223f x x x =-在()1,1-处的切线方程为11y x +=-，化为20x y --=，故答案为20x y --=.14、【答案】2π【解析】33sin ,cos 55αβ==即sin cos αβ=又,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以2παβ+=故答案为2π 15、【答案】【解析】画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示．由2z x y =+可得2y x z =-+，平移直线2y x z =-+，结合图形可得当直线2y x z =-+经过可行域内由330{ 10x y x y -+=--=，解得3{ 2x y ==，所以点A 的坐标为（3,2）．∴max 2328z =⨯+=．答案：8 16、【答案】7561【解析】结合所给的对应关系可得：，，则：，.三、解答题17、【答案】（1）2a =，12b =-（2）4x π=时，()f x 16x π=时，()f x 有最小值为0.解析：解：（1）∵()f x 图象上相邻两个最高点之间的距离为2π，∴()f x 的周期为2π，∴222a ππ=且0a >，∴2a =，此时()1442f x x b π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，又∵()f x 的图象与轴相切，∴12b +=0b >，∴122b =-；（2）由（1）可得()4242f x x π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，∵0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴54,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，∴当5444x ππ+=，即4x π=时，()f x 当442x ππ+=，即16x π=时，()f x 有最小值为0.18、【答案】(1)23A π=;(2)2b c ==.解析：（1sin 2cos C c c A =+sin 2sin sin cos A C C C A =+，由于sin 0C ≠2cos A A =+，即sin 16A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭． 又0A π<<，所以5666A πππ-<-<，所以62A ππ-=，故23A π=．（2）ABC ∆的面积1sin 2S bc A ==，故4bc =，①由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，故()22312120b c a bc -=-=-=，故b c =，②由①②解得2b c ==．19、【答案】（1）.（2）. 解析：（1）当时，，得当时，有，所以即，满足时，，所以是公比为2，首项为1的等比数列，故通项公式为．（2），．20、【答案】(1)见解析(2)解析：（Ⅰ）证明：∵面，∴又∵，且.∴B 面又∵面，∴面面 （Ⅱ）过点，在平面内作垂直于，垂足为.由（Ⅰ）可知底面∵，∴又∵∴21、解析：（1）由题知：()24422(0)mx f x mx x x x-='-=>, ()当m>0时,()224422(0)m x x mx f x mx x x x x⎛- -⎝⎭⎝⎭=-==>', 令f ′(x)>0，则0x <<f ′(x)<0,则x >. ∴f(x)在0（为增函数，f(x)在⎫+∞⎪⎪⎭为减函数.(2)法一：由题知：24ln 10x mx -+≤在[]1,x e ∈上恒成立，即24ln 1x m x +≥在[]1,x e ∈上恒成立。

2019届高三第二次模拟考试卷文 科 数 学（二）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2019·乐山调研]若iia b +(),a b ∈R 与()21i -互为共轭复数，则a b -的值为（ ） A ．2-B ．2C ．3-D ．32．[2019·济南外国语]已知集合{A x x =<，{}220x B x x =-->，则A B =（ ）A ．{x x <B ．{1x x -<<C ．{}1x x <-D ．{}12x x -<<3．[2019·九江一模]()2ln cos πx f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的部分图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．4．[2019·榆林一模]已知向量a ，b 满足1=a ，2=b ，+=a b -=a b （ ）A ．2BC D班级 姓名 准考证号 考场号 座位号5．[2019·湘潭一模]以双曲线22145x y -=的焦点为顶点，且渐近线互相垂直的双曲线的标准方程为（ ）A ．221x y -=B ．2219x y -= C ．22193x y -= D ．22199x y -=6．[2019·武邑中学]在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若1a =，b =，45B =︒，则角A =（ ） A ．30︒B ．60︒C ．30︒或150︒D ．60︒或120︒7．[2019·新乡调研]某医院今年1月份至6月份中，每个月为感冒来就诊的人数如下表所示：（ ）上图是统计该院这6个月因感冒来就诊人数总数的程序框图，则图中判断框、执行框依次应填（ ） A ．6i <；i s s a =+ B ．6i ≤；i s a = C ．6i ≤；i s s a =+D ．6i >；12i s a a a =+++8．[2019·优创名校联考]袋子中有四个小球，分别写有“美、丽、中、国”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“国”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率．利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0，1，2，3代表“中、国、美、丽”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：232 321 230 023 123 021 132 220 001 231 130 133 231 031 320 122 103 233由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为（ ） A ．19B ．318C ．29D ．5189．[2019·成都一诊]在各棱长均相等的四面体A BCD -中，已知M 是棱AD 的中点，则异面直线BM 与AC所成角的余弦值为（ ） ABCD10．[2019·长沙一模]已知()1,2P 是函数()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+>>图象的一个最高点，B ，C 是与P 相邻的两个最低点．设BPC θ∠=，若3tan 24θ=，则()f x 的图象对称中心可以是（ ） A ．()0,0B ．()1,0C ．3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．5,02⎛⎫ ⎪⎝⎭11．[2019·湖北联考]已知偶函数()f x 满足()()20f x f x +-=，现给出下列命题：①函数()f x 是以2为周期的周期函数；②函数()f x 是以4为周期的周期函数；③函数()1f x -为奇函数；④函数()3f x -为偶函数，则其中真命题的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．412．[2019·宜昌调研]已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>上存在A 、B 两点恰好关于直线l ：10x y --=对称，且直线AB 与直线l 的交点的横坐标为2，则椭圆C 的离心率为（ ） A ．13BCD ．12二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．[2019·泉州质检]若函数()ln f x x x a =+的图象在点()()1,1f 处的切线过点()2,2，则a =______． 14．[2019·湖北联考]设x ，y 满足约束条件230101x y x y y -+≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则34z x y =-+的最大值为____．15．[2019·镇江期末]若π2cos 2sin 4αα⎛⎫=- ⎪⎝⎭，π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin 2α=_______．16．[2019·遵义联考]已知三棱锥S ABC -中，SA ⊥面ABC ，且6SA =，4AB =，BC =，30ABC ∠=︒，则该三棱锥的外接球的表面积为__________．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）[2019·潍坊期末]已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2，n a ，n S 成等差数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）数列{}n b 满足21222log log log n n b a a a =++⋅⋅⋅+，求数列的1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项和n T ．18．（12分）[2019·惠州调研]随着“互联网+交通”模式的迅猛发展，“共享自行车”在很多城市相继出现．某运营公司为了了解某地区用户对其所提供的服务的满意度，随机调查了40个用户，得到用户的满意度评分如下：用系统抽样法从40名用户中抽取容量为10的样本，且在第一分段里随机抽到的评分数据为92． （1）请你列出抽到的10个样本的评分数据； （2）计算所抽到的10个样本的均值x 和方差2s ；（3）在（2）条件下，若用户的满意度评分在(),x s x s -+之间，则满意度等级为“A 级”．试应用样本估计总体的思想，根据所抽到的10个样本，估计该地区满意度等级为“A级”的用户所占的百分比是多少？≈）≈ 5.74 5.925.4819．（12分）[2019·揭阳毕业]如图，在三棱锥P ABC-中，正三角形PAC所在平面与等腰三角形ABC所在平面互相垂直，AB BC⊥于H．=，O是AC中点，OH PC（1）证明：PC⊥平面BOH；（2）若OH OB==A BOH-的体积．20．（12分）[2019·河北联考]在直角坐标系xOy 中，直线4y x =+与抛物线()2:20C x py p =>交于A ，B 两点，且OA OB ⊥． （1）求C 的方程；（2）试问：在x 轴的正半轴上是否存在一点D ，使得ABD △的外心在C 上？若存在，求D 的坐标；若不存在，请说明理由．．21．（12分）[2019·遵义联考]已知函数()()21ln 1f x a x x =-++． （1）当14a =-时，求函数()f x 的极值；（2）若函数()f x 在区间[]2,4上是减函数，求实数a 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】[2019·九江一模]在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系（0ρ>，[)0,2πθ∈），点A 为曲线1C 上的动点，点B 在线段OA 的延长线上，且满足8OA OB ⋅=，点B 的轨迹为2C ． （1）求1C ，2C 的极坐标方程；（2）设点C 的极坐标为π2,2⎛⎫⎪⎝⎭，求ABC △面积的最小值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 [2019·湘潭一模]设函数()1f x x x a =++-． （1）当1a =时，求关于x 的不等式()3f x ≥的解集； （2）若()4f x ≤在[]0,2上恒成立，求a 的取值范围．2019届高三第二次模拟考试卷文科数学（二）答 案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】A 2．【答案】C 3．【答案】B 4．【答案】A 5．【答案】D 6．【答案】A 7．【答案】C 8．【答案】C 9．【答案】C 10．【答案】D 11．【答案】B 12．【答案】C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．【答案】1【解析】函数()ln f x x x a =+，可得()ln 1f x x '=+，∴()11f '=，又()1f a =，∴切线方程为1y x a =-+，切线经过()2,2，∴221a =-+，解得1a =．故答案为1． 14．【答案】5【解析】作出x ，y 满足约束条件230101x y x y y -+≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，所示的平面区域，如图：作直线340x y -+=，然后把直线L 向可行域平移，结合图形可知，平移到点A 时z 最大， 由23010x y x y -+=⎧⎨-+=⎩可得()1,2A ，此时5z =．故答案为5．15．【答案】78-【解析】由π2cos 2sin 4αα⎛⎫=- ⎪⎝⎭得ππ2sin 2sin 24αα⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即πππ4sin cos sin 444ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又πsin 04α⎛⎫-≠ ⎪⎝⎭，解得π1cos 44α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴2ππ7sin 2cos 22cos 1248ααα⎛⎫⎛⎫=-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．16．【答案】52π【解析】取SB 的中点O ，连结OA 、OC ，∵SA ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，∴SA AB ⊥，可得Rt ASB △中，中线12OA SB =，由4AB =，BC =30ABC ∠=︒，可知AC BC ⊥，又∵SA BC ⊥，SA 、AB 是平面SAB 内的相交直线，∴BC ⊥平面SAC ，可得BC SC ⊥， 因此Rt BSC △中，中线12OC SB =，∴O 是三棱锥S ABC -的外接球心，∵Rt SBA △中，4AB =，6SA =，∴SB =，可得外接球半径12r SB ==因此，外接球的表面积24π52πS r ==，故答案为52π．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】（1）2n n a =；（2）21nn +． 【解析】（1）∵2，n a ，n S 成等差数列，∴22n n a S =+， 当1n =时，1122a a =+，∴12a =， 当2n ≥时，22n n S a =-，1122n n S a --=-， 两式相减得122n n n a a a -=-，∴12nn a a -=，∴数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列， ∴2n n a =．（2）()212221log log log 122n n n n b a a a n +=++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+=，∴()1211211n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， ∴1211111111122121223111n n n T b b b n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-=-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦． 18．【答案】（1）见解析；（2）均值83x =，方差233s =；（3）50%．【解析】（1）通过系统抽样抽取的样本编号为：4，8，12，16，20，24，28，32，36，40； 则样本的评分数据为：92，84，86，78，89，74，83，78，77，89． （2）由（1）中的样本评分数据可得()1928486788974837877898310x =+++++++++=， 则有()()()()()22222219283848386837883898310s ⎡=-+-+-+-+-⎣()()()()()222227483838378837783898333+-+-+-+-⎤⎦-+=，∴均值83x =，方差233s =．（3）由题意知评分在(83+，即()77.26,88.74之间满意度等级为“A 级”， 由（1）中容量为10的样本评分在()77.26,88.74之间有5人， 则该地区满意度等级为“A 级”的用户所占的百分比约为50.550%10==． 19．【答案】（1）详见解析；（2）12． 【解析】（1）∵AB BC =，O 是AC 中点，∴BO AC ⊥， 又平面PAC ⊥平面ABC ，且BO ⊂平面ABC ，平面PAC 平面ABC AC =，∴BO ⊥平面PAC ，∴BO PC ⊥，又OH PC ⊥，BO OH O =，∴PC ⊥平面BOH ．（2）∵HAO △与HOC △面积相等，∴A BOH B HAO B HOC V V V ---==， ∵BO ⊥平面PAC ，∴13B HOC OHC V S OB -=⋅△，∵OH 30HOC ∠=︒，∴1HC =，∴12OHC S CH OH =⋅=△，∴1132B OCH V -==，即12A BOH V -=．20．【答案】（1）24x y =；（2）在x 轴的正半轴上存在一点()4D +，使得ABD △的外心在C 上． 【解析】（1）联立224x py y x ⎧=⎨=+⎩，得2280x px p --=，则122x x p +=，128x x p =-，从而()()()1212121244416y y x x x x x x =++=+++．∵OA OB ⊥，∴()1212121224160OA OB x x y y x x x x ⋅=+=+++=， 即168160p p -++=，解得2p =，故C 的方程为24x y =． （2）设线段AB 的中点为()00,N x y ， 由（1）知，12022x x x +==，0046y x =+=， 则线段AB 的中垂线方程为()62y x -=--，即8y x =-+． 联立248x y y x ⎧=⎨=-+⎩，得24320x x +-=，解得8x =-或4，从而ABC △的外心P 的坐标为()4,4或()8,16-． 假设存在点()(),00D m m >，设P 的坐标为()4,4，∵AB =∴PA =，则DP ．∵0m >，∴4m =+．若P 的坐标为()8,16-，则PA ==DP P 的坐标不可能为()8,16-．故在x 轴的正半轴上存在一点()4D +，使得ABD △的外心在C 上． 21．【答案】（1）见解析；（2）1,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦．【解析】（1）当14a =-时，()()2211131ln 1ln (0)4424f x x x x x x x =--++=-+++>，()()()21111(0)222x x f x x x x x-+'=-++=->，由()0f x '>解得02x <<，由()0f x '<解得2x >，故当02x <<时，()f x 的单调递增；当2x >时，()f x 单调递减， ∴当2x =时，函数()f x 取得极大值()32ln 24f =+，无极小值． （2）()()1'21f x a x x=-+，∵函数()f x 在区间[]2,4上单调递减， ∴()()1'210f x a x x =-+≤在区间[]2,4上恒成立，即212a x x ≤-+在[]2,4上恒成立， 只需2a 不大于21x x -+在[]2,4上的最小值即可．而()2211241124x x x x =≤≤-+⎛⎫--+⎪⎝⎭， 则当24x ≤≤时，2111,212x x ⎡⎤∈--⎢⎥-+⎣⎦， ∴122a ≤-，即14a ≤-，故实数a 的取值范围是1,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．【答案】（1）12:cos C ρθ=；2co 4:s C ρθ=；（2）2． 【解析】（1）∵曲线1C 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），∴曲线1C 的普通方程为2220x y x -+=，∴曲线1C 的极坐标方程为2cos ρθ=， 设点B 的极坐标为(),ρθ，点A 的极坐标为()00,ρθ， 则OB ρ=，0OA ρ=，002cos ρθ=，0θθ=， ∵8OA OB ⋅=，∴08ρρ⋅=，∴82cos θρ=，cos 4ρθ=，∴2C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．（2）由题设知2OC =，212cos cos 42cos ABC OBC OAC B A S S S OC ρθρθθ=-=⋅-=-△△△， 当0θ=时，ABC S △取得最小值为2． 23．【答案】（1）33,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭；（2）13a ≤≤． 【解析】（1）∵()2,1112,112,1x x f x x x x x x -<-⎧⎪=++-=-≤<⎨⎪≥⎩，∴()3f x ≥的解集为33,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭． （2）∵[]0,2x ∈，∴14x x a ++-≤，即3x a x -≤-，则332a x -≤-≤-，∴13≤≤．a。

宁夏育才中学高三年级第二次月考数学 （文科）(试卷满分 150 分，考试时间为 120 分钟)第Ⅰ卷（共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1.已知集合{}1,2,5M=， {|2}N x x =≤，则M N ⋂等于（ ）A. {}1B. {}5C. {}1,2D. {}2,5 2.函数的定义域为A. B.C.D.3.在等差数列中，若，，则的值是（ ）A. 15B. 30C. 31D. 644.M 是ABC ∆边AB 上的中点，记BC a =， BA b =，则向量MC =（ ） A. 12a b --B. 12a b -+C. 12a b -D. 12a b + 5．在数列{}n a 中，1112,1n na a a +=-=-，则2018a 的值为（ ）A ．−2B ．13 C ．12 D ．326．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－2 018，22016201820162018=-S S ，则a 2＝( )A ．－2 016B ．－2 018C ．2 018D ．2 016 7.已知a 、b 为非零向量，且a 、b 的夹角为π3，若p ＝||a a ＋||bb ，则|p|＝( )(A)1 (B) 2 (C) 3 (D)2 8.已知各项均为正数的等比数列}{n a 中，965=⋅a a ，则2313log log a a +103log a ++ 等于（ ）A ．12B ．10C ．8D ．2+5log 39.设的三内角成等差数列, 成等比数列,则这个三角形的形状是（ ）A ． 直角三角形B ． 钝角三角形C ． 等腰直角三角形D ． 等边三角形10.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了（ ）A. 96里B. 48里C. 192里D. 24里 11．向量 a (cos , 2) ， b (sin ,1) ，若 a / /b ，则 tan(4π) （）A. 3B. 3C. 13D. 1312.已知函数f(x)的定义域为]5,1[-，部分对应值如下表。