重点难点(定积分)

定积分概念教案范文教案标题：定积分概念的引入和初步认识一、教学目标1.了解定积分概念的引入背景和发展历程；2.掌握定积分的基本定义；3.能够应用定积分求解简单的几何和物理问题。

二、教学重点1.定积分引入背景和基本概念；2.定积分的基本定义和求解方法。

三、教学难点2.定积分的应用举例。

四、教学准备1.教师准备：教案、黑板、粉笔、教材参考书。

2.学生准备：课前预习教材相关内容，笔记本、笔等。

五、教学过程第一步：导入（10分钟）1.引入背景：告诉学生数学是一门从古至今都有许多人致力于研究的学科，其中有很多重要的概念和定理。

本节课我们将要学习的是定积分概念，它是微积分学中的基本概念之一第二步：展示（15分钟）1.介绍定积分的提出背景和发展历程，如牛顿、莱布尼兹等人对定积分的贡献；2.引入定积分的基本概念：设函数f(x)在闭区间[a,b]上有界，将[a,b]分为n个小区间，每个小区间长度为Δx，用Δx表示。

在每个小区间内任取一点ξi（ξi属于[i-1,i]）并计算f(ξi)Δx，然后将这n 个小区间上的和表示为Σf(ξi)Δx；3. 引入定积分的基本定义：当n趋向于无穷大，并且Δx趋向于0时，如果极限lim(Δx→0)Σf(ξi)Δx存在，且对任意x ∈ [a, b]，极限lim(n→∞)lim(Δx→0)Σf(ξi)Δx存在，那么称该极限为函数f(x)在闭区间[a, b]上的定积分，记作∫[a, b]f(x)dx，即∫[a,b]f(x)dx=lim(n→∞)lim(Δx→0)Σf(ξi)Δx；4.解释定积分的几何意义：定积分表示曲线与x轴所围成的面积。

通过几何图形进行解释和演示。

第三步：练习（25分钟）1.基本练习：通过一些基本的题目来巩固定积分的基本定义和概念的理解；2.综合练习：通过一些实际问题来应用定积分，如求一段弓形所围成的面积、求物体在一定时间内的位移等。

第四步：讲解与总结（15分钟）1.请学生上台分别讲解几个基本练习题的解题思路和方法；2.强调定积分与不定积分的区别：不定积分结果是一个函数表达式，而定积分结果是一个数值；3.总结定积分的基本概念和定义，强调定积分解决实际问题的重要性。

定积分的概念教案一、教学目标：1.了解定积分的定义和计算方法；2.掌握定积分的性质和应用；3.培养学生的数学计算能力和逻辑思维能力。

二、教学内容：1.定积分的定义；2.定积分的计算方法；3.定积分的性质和应用。

三、教学重点：1.定积分的定义；2.定积分的计算方法。

四、教学难点：1.定积分的性质和应用；2.定积分与原函数的关系。

五、教学过程：Step 1 引入教师与学生展开对话，探讨学生对积分的了解：教师：同学们，你们对积分有什么了解？学生：积分就是求和。

教师：不错，积分的确是求和，但是定积分具体是什么呢？我们一起来探讨一下。

Step 2 定积分的定义教师向学生介绍定积分的定义：教师：定积分是微积分的一个重要概念，表示函数曲线与x轴之间的面积。

我们用符号∫来表示定积分，函数f(x)的定积分表示为∫f(x)dx，在积分号下面写上被积函数，dx表示自变量。

Step 3 定积分的计算方法教师通过示例向学生演示定积分的计算方法：教师：我们以函数f(x)=x^2为例，计算f(x)在区间[1,3]上的定积分。

教师在黑板上写下∫(1→3)x^2dx，并进行具体的计算步骤解释。

Step 4 定积分的性质和应用教师向学生介绍定积分的性质和应用，并通过例题进行讲解：教师：定积分具有线性性质、区间可加性和变量替换的性质，同时也可以用于计算面积、体积、质量等。

我们来看一个例题，计算函数f(x)=x在区间[-2,2]上的定积分，并解释其实际意义。

Step 5 定积分与原函数的关系教师引导学生思考定积分与原函数的关系：Step 6 总结与归纳教师与学生总结本节课的内容，并归纳出定积分的概念和性质：教师：同学们，通过本节课的学习，我们初步了解了定积分的定义、计算方法和性质。

下节课我们将进一步学习定积分的应用。

大家要做好预习哦！六、教学反思本节课通过引入、定义、示例演算等方式，使学生初步了解了定积分的概念和计算方法。

通过例题讲解，学生对定积分的应用有了基本的认识。

定积分定积分与不定积分是两个不同的概念，前者是数，后者是函数族，但两者之间有着密切的联系．§1 定积分的概念与性质【目的要求】1、了解定积分的定义；2、了解定积分的性质、定积分存在的必要条件和充分条件；3、会熟练应用第一中值定理和估值定理．【重点难点】定积分的概念与定积分的性质．【教学内容】一、定积分概念引例1. 曲边梯形的面积在初等数学中，已经解决了圆、三角形、矩形、梯形等平面图形的面积问题，而对由任意曲线所围成的一般平面图形的面积计算问题尚未解决，其原因是用初等数学方法解决这类问题相当困难. 下面将介绍一种求曲边梯形的面积的方法，有了这种方法就可以解决一般封闭图形的面积问题.例1所谓曲边梯形，是指由连续曲线()(()0)y f x f x=≥，x轴以及直线==所围成的图形（如图6-1所示）. 现计算它的面积A.,x a x b图6-1分析从图中可以看出，当()a b上为常数时，图形变成矩形，其y f x=在[,]面积为：面积=底⨯高.而对于一般的曲面梯形，其高度是变化的，因而不能直接按矩形面积公式来求，然后，由于()y f x =在区间[,]a b 上的变化是连续，在很小的一段区间上它的变化量非常小. 因此，通过分割曲边梯形的底边[,]a b ，将整个曲边梯形分成若干个小曲边梯形，而每个小曲边梯形的底边长度非常小，并且其面积近似于一个小矩形的面积. 然后，将这些小矩形的面积相加，就是整个曲边梯形面积的近似值. 当然，随着分割的份数增多，近似程度越来越高.当无限分割[,]a b ，令每个小曲边梯形的底边长度趋于0，那么整个近似值的极限就是我们要求的曲边梯形的面积.先将详细过程叙述如下：(1) 分割：把区间[,]a b 任意分成n 份，设分点为012···n a x x x x b =<<<<=，于是每个小曲边梯形的长度为1i i i x x x -∆=-.过每个分点做x 轴的垂线，则可把曲边梯形分成n 个小曲边梯形，再设每个小曲边梯形面积为i A .(2) 取近似：对于第i 个小曲边梯形，在其底边1[,]i i x x -上任取一点i ξ，并以()i f ξ为高作矩形，并用该矩形的面积近似替代每个小曲边梯形的面积，即()i i i A f x ξ≈⋅∆，其中1,2,,i n =.(3) 求和：将所有小矩形的面积求和，即得到原曲边梯形的近似面积1()ni i i A f x ξ==⋅∆∑.(4) 取极限：无限分割区间[,]a b ，使所有小区间的长度趋于0. 为此，记{}12max ,,,n x x x λ=∆∆⋅⋅⋅∆.当λ趋向于0时，1()ni i i A f x ξ==⋅∆∑的极限就是曲边梯形的面积A ，即1lim ()ni i x i A f x ξ→==⋅∆∑.2. 成本问题例 2 某公司对其产品的变化情况满足如下关系式：()5003xf x =-.其中x 表示该产品的数量；()f x 表示当产品数量为x 时，在增加一个单位产品所增加的成本（即边际函数）. 试求当产品从300件增加到900件时该公司所增加的成本C .分析 如同本教材前面章节对边际函数所描述的那样，在经济和商务中遇到的函数自变量往往取正整数，其函数值也是离散型的. 为数学处理方便，下面将其连续化，转化成具有连续倒数的函数来处理. 这是许多结果只能看成近似的，但不影响对实际问题的分析.(1) 分割： 该公司产品产量从300件增加到900件，将其连续化，把区间[300,900]任意分成n 份，设分点为012300900n x x x x =<<<<=.(2) 取近似：考虑产量从1i x -增加到i x 时所增加的成本，1()i f x -作为边际成本在1i x -的值表示当产量为1i x -时增加单位产量所增加的成本. 当产品数量增加i x ∆单位时，所增加的成本为1()i i f x x -⋅∆.(3) 求和：当产量从300增加到900时，所增加的总成本为11()ni i i f x x -=⋅∆∑.(4) 取极限：为了更精确估计，同样可设12max{,,,}n x x x λ=∆∆∆，当λ趋向于0时，所增加的总成本为101lim ()ni i i C f x x λ-→==∆⋅∆∑.二、定积分定义抛开这些问题的具体意义，抓住它们在数量关系上共同的本质与特性加以概括，我们就可以抽象出下述定积分的定义.定义 1.1 设函数()f x 在[,]a b 上有界，在[,]a b 中任意插入若干个分点012···n a x x x x b =<<<<=，把区间[,]a b 分成n 个小区间01121[,],[,],,[,]n n x x x x x x -⋅⋅⋅，各个小区间的长度依次为1102211,,,n n n x x x x x x x x x -∆=-∆=-⋅⋅⋅∆=-.在每个小区间1[,]i i x x -上任取一点i ξ1()i i i x x ε-≤≤，作函数值()i f ε与小区间长度i x ∆的乘积()i i f x ξ∆(1,2,,)i n =⋅⋅⋅，并作和1()ni i i S f x ξ==∆∑.记{}12max ,,,n x x x λ=∆∆⋅⋅⋅∆，如果不论对[,]a b 怎样划分，也不论在小区间1[,]i i x x -上点i ξ怎样选取，只要当0λ→时，和S 总趋于确定的极限I ，那么称函数()f x 在区间[,]a b 上可积，并称这个极限I 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分（简称积分），记作()d ba f x x ⎰，即()d baf x x ⎰=I =01lim ()ni i i f x λξ→=⋅∆∑，其中()f x 称为被积函数，()d f x x 称为被积表达式，x 称为积分变量，a 称为积分下限，b 称为积分上限，[,]a b 称为积分区间.根据积分定义，例1中的曲边梯形的面积A 是函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分，即()d ba A f x x =⎰；例2中当产量从300件增加到900件时，所增加的成本为900300()d C f x x =⎰.关于定积分，作以下几点说明：(1) 函数()f x 在区间[,]a b 上可积是指积分()d ba f x x ⎰存在，即无论区间如何分割以及i ξ如何选取，01lim ()ni i i f x λξ→=⋅∆∑始终存在.(2) 定积分表示一个数值，它只与被积函数及积分区间有关，而与积分变量用何字母表示无关，即有()d ()d ()d ()d bb b baaaaf x x f y y f t t f u u ===⎰⎰⎰⎰.(3) 在定义中，记号()d b af x x ⎰只有当a b <时才有意义，而当a b =或a b >是没有意义的.但为以后计算及应用方便起见，规定：()d 0aaf x x =⎰， ()d ()d ()b aabf x x f x x a b =->⎰⎰.(4) 几何意义：定积分()d b af x x ⎰的几何意义为由曲线()y f x =，x 轴及直线x a =，x b =所围成的封闭图形在x 轴上方与下方面积的代数和，其中x 轴上方面积为正，下方面积为负.对于定积分，有这样一个重要问题：函数()f x 在区间[,]a b 上满足怎样的条件，()f x 在[,]a b 上一定可积？这个问题我们不作深入讨论，而只给出以下两个充分条件.定理 1.1 设函数()f x 在[,]a b 上连续，则()f x 在[,]a b 上可积.定理 1.2 设函数()f x 在[,]a b 上有界，且只有有限个间断点，则()f x 在[,]a b 上可积.最后，举一个按定义计算定积分的例子. 例 3 利用定义计算定积分120d x x ⎰.解 因为被积函数2()f x x =在区间[0,1]上连续，而连续函数是可积的，所 以积分与区间[0,1]的分法及点i ξ的取法无关. 因此，为了便于计算，不妨把区间[0,1]分成n 等份，分点为i ix n=，1,2,1i n =-；这样，每个小区间1[,]i i x x -的长度1i x n∆=，1,2,i n =；取i i x ξ=，1,2,i n =.于是，得和式22111()n nniiii i i i i i f x x x x ξξ===⋅∆=∆=∆∑∑∑=2231111nn i i i i n n n ==⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭∑∑=311(1)(21)6n n n n ⋅++① =111(1)(2)6n n ++.当0λ→即n →∞时，取上式右端的极限. 由定积分的定义，即得所要计算的积分为1220011111d lim lim (1)(2)63ni i n i x x x n n λξ→→∞==∆=++=∑⎰. 二、定积分基本性质由定积分的定义与极限运算法则和性质，可以推出下列定积分的基本性质和积分中值定理（下面所涉及的函数在没说明情况下均表示在讨论区间上可积）.1．定积分的基本性质 性质 1[]()()d ()d ()d bbbaaaf xg x x f x x g x x±=±⎰⎰⎰. 对有限个函数1()f x ，2()f x ，,()n f x 亦成立，即[]12()()() d bn afx f x f x x ±±±⎰12()d ()d ()d b b bn aaa f x x f x x f x x =±±±⎰⎰⎰.性质 2 若k 为常数，则()d ()d bbaak f x x k f x x =⎰⎰.性质 3 （区间可加性）()d ()d ()d bc baacf x x f x x f x x =+⎰⎰⎰.若()f x 连续且c 介于a 与b 之间，即a b c <<时，该性质从几何意义看是显然的，当不介于a 与b 之间，该性质仍然成立. 因为当a b c <<时，()d ()d ()d cb c a a b f x x f x x f x x =+⎰⎰⎰， ()d ()d ()d bc c a a bf x x f x x f x x =-⎰⎰⎰.因为 ()d ()d cba cf x x f x x =-⎰⎰，所以()d ()d (()d bcbaacf x x f x x f x x=--⎰⎰⎰ ()d()d cb acf x x f x x =+⎰⎰. 当c a b <<时，可类似证明.性质 4 如果在区间[,]a b 上，有()()f x g x ≤，则()d ()d ()bbaaf x xg x x a b ≤<⎰⎰.性质 5 （估值定值）如果函数()f x 在区间[,]a b 上的最大值与最小值分别为M 与m ，则()()d ()()ba mb a f x x M b a a b -≤≤-<⎰，即 ()d baf x xm M b a≤≤-⎰.证 因为()m f x M ≤≤，由性质4得d ()d d bb baaam x f x x M x ≤≤⎰⎰⎰，再由性质2和d b ax b a =-⎰，即有 ()()()d b am b a f x xM b a-≤≤-⎰. 估计定值的几何意义是曲边梯形面积介于以区间[,]a b 为底，以最小纵坐标为高的矩形面积与以最大纵坐标为高的矩形面积之间. 性质5可用来估计积分值的大致范围.性质 6 （积分中值定理）设函数()y f x =在区间[,]a b 上连续，则在[,]a b 上至少存在一点()a b ξξ≤≤，使()d ()()baf x x f b a ξ=-⎰.证 因为()y f x =在[,]a b 上连续，由闭区间上连续函数的性质可知，()y f x =在[,]a b 上必存在最大值M 和最小值m .若a b =，显然.若a b <，利用性质5，并将不等式除以b a -，得1()d ba m f x x Mb a≤≤-⎰. 根据闭区间上连续函数的介值定理，在[,]a b 上至少存在一点，使得1()()d ba f f x xb aξ=-⎰. 即()d ()()baf x x f b a ξ=-⎰. 几何意义（见图6-2）是在曲边梯形底边上至少存在一点ξ，使得该曲边梯形面积等于同一底边、髙为()f ξ的矩形面积.图 6-2其中，1()()d baf f x x b a ξ=-⎰称为函数()y f x =在区间[,]a b 上的平均值.。

高中数学定积分的概念教案新人教版选修一、教学目标1. 理解定积分的概念，掌握定积分的基本性质和计算方法。

2. 能够运用定积分解决实际问题，提高学生的数学应用能力。

3. 培养学生的逻辑思维能力，提高学生的数学素养。

二、教学内容1. 定积分的概念介绍定积分的定义、性质和计算方法，引导学生理解定积分的本质。

2. 定积分的计算讲解定积分的计算法则，包括牛顿-莱布尼茨公式、换元积分法、分部积分法等，让学生掌握定积分的计算技巧。

3. 定积分在实际问题中的应用通过实际问题，引导学生运用定积分解决面积、体积、弧长等问题，提高学生的数学应用能力。

三、教学重点与难点1. 定积分的概念与性质2. 定积分的计算方法3. 定积分在实际问题中的应用四、教学方法1. 采用讲授法，讲解定积分的概念、性质和计算方法。

2. 利用例题，引导学生掌握定积分的计算技巧。

3. 结合实际问题，培养学生运用定积分解决实际问题的能力。

4. 组织讨论，让学生在探讨中深化对定积分概念的理解。

五、教学过程1. 引入：通过复习初中数学中的积分概念，引导学生思考如何将积分概念推广到无限区间。

2. 讲解：讲解定积分的定义、性质和计算方法，让学生理解定积分的本质。

3. 练习：布置定积分的计算练习题，让学生巩固所学知识。

4. 应用：结合实际问题，讲解定积分在面积、体积、弧长等方面的应用，让学生体会定积分的实用价值。

6. 作业：布置课后作业，巩固所学知识。

六、定积分的性质与计算法则1. 性质：定积分具有线性性质，即$\int_{a}^{b} f(x) \, dx + \int_{a}^{b} g(x) \, dx = \int_{a}^{b} (f(x) + g(x)) \, dx$。

定积分与积分区间有关，即$\int_{a}^{b} f(x) \, dx = -\int_{b}^{a} f(x) \, dx$。

定积分与积分函数的单调性有关，即若$f(x)$ 在$[a, b]$ 上单调递增，则$\int_{a}^{b} f(x) \, dx$ 可以表示为$F(b) F(a)$，其中$F(x)$ 是$f(x)$ 的一个原函数。

1.5.2《定积分》教案教学目标（1）定积分的定义（2）利用定积分的定义求函数的积分，掌握步骤 （3）定积分的几何意义（4）会用定积分表示阴影部分的面积 教学重点难点定积分的定义是本节的重点，定积分的几何意义的应用是本节的难点。

教学过程一、创设情景复习：1． 回忆前面曲边图形面积，变速运动的路程，变力做功等问题的解决方法，解决步骤：分割→以直代曲→求和→取极限（逼近 2．对这四个步骤再以分析、理解、归纳，找出共同点． 情境导入：1.曲边梯形面积问题;2.变力作功问题;3.变速运动的距离问题.我们把这些问题从具体的问题中抽象出来，作为一个数学概念提出来就是今天要讲的定积分。

由此我们可以给定积分的定义。

二、数学建构1．定积分的概念一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上有定义，将区间[,]a b 等分为n 个小区间，每个小区间的长度为x ∆（b ax n-∆=），在每个小区间上取一点，依次为123,,,n x x x x 。

作和12()()()()n i n S f x x f x x f x x f x x =⋅∆+⋅∆++⋅∆++⋅∆，如果x ∆无限趋近于0（亦即n 趋向于)+∞时，n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分，记为()baS f x dx =⎰其中，()f x 为被积函数，[,]a b 称为积分函数，a 称为积分下限，b 称为积分上限。

说明：（1）定积分()baf x dx ⎰是一个常数，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时）称为()baf x dx ⎰，不是n S（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间[],a b ； ②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈； ③求和：1()ni i b af n ξ=-∑； ④取极限：()1()lim nbi an i b af x dx f nξ→∞=-=∑⎰（3）曲边图形面积：()baS f x dx =⎰；变速运动路程21()t t S v t dt =⎰；变力做功 ()baW F r dr =⎰【举例说明】1、由曲线y=x2+1与直线x=1,x=3及x 轴所围成的曲边梯形的面积,用定积分表示为____________.（321(1)x dx +⎰）2、22sin 3tdt -⎰中，积分上限是___,，积分下限是___，积分区间是______。

(完整版)定积分知识点汇总定积分是高中数学教学的重点难点之一，也是高数的基础知识。

我们通过汇总定积分的相关知识点，帮助同学们更好地掌握定积分的相关知识，以便在考试中取得好的成绩。

一、定积分的定义定积分是对函数在一定区间上的积分，也就是函数在此区间上的面积。

1. 定积分与区间的选取无关，即如果函数在 $[a,b]$ 上是可积的，则定积分$\int_a^b f(x) \mathrm{d}x$ 的值是唯一的。

2. 定积分具有可加性，即对于任意的 $c \in [a,b]$，有 $\int_a^b f(x)\mathrm{d}x = \int_a^c f(x) \mathrm{d}x + \int_c^b f(x) \mathrm{d}x$。

三、定积分的求解方法1. 函数曲线与坐标轴相交的情况：对于函数曲线与 $x$ 轴相交的区间，可以根据定义式直接求出该区间内的面积。

对于函数曲线与 $y$ 轴相交的区间，则要将积分区间平移后，再根据定义式计算面积。

2. 利用基本积分法和牛顿-莱布尼茨公式：可以利用基本积分法求出一个函数的原函数，然后利用牛顿-莱布尼茨公式，即$\int_a^b f(x) \mathrm{d}x = F(b) - F(a)$，其中 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数。

3. 利用换元积分法：换元积分法是利用一些特殊的代换，将积分式转化为某些基本形式的积分。

常见的代换包括：$u=g(x), x=h(u)$ 和 $\mathrm{d}u = f(x) \mathrm{d}x$。

分部积分法是将原积分式做一个变形，转化成两个积分乘积的形式，从而更容易求解。

5. 利用定积分的对称性：如积分区间对于 $0$ 对称，或者函数具有四象限对称性等，可以根据对称性减少计算量。

1. 几何应用：用定积分可以求解函数曲线与坐标轴围成的图形的面积、体积和质心等几何特征。

利用定积分可以求解质点运动的速度、加速度、位移和质量等物理量。

定积分的概念教案课题：定积分的概念研究目标及重、难点：一、教学目标：1.通过求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程，了解定积分的背景。

2.借助于几何直观定积分的基本思想，了解定积分的概念，能用定积分定义求简单的定积分。

3.理解掌握定积分的几何意义。

二、教学重点：定积分的概念、用定义求简单的定积分、定积分的几何意义。

教学难点：定积分的概念、定积分的几何意义。

教学流程：一、复：1.回忆前面曲边梯形的面积，汽车行驶的路程等问题的解决方法，解决步骤：分割→近似代替(以直代曲)→求和→取极限（逼近）2.对这四个步骤再以分析、理解、归纳，找出共同点。

二、新课探析：1.定积分的概念：设函数f(x)在区间[a,b]上连续，用分点一般地将区间[a,b]等分成n个小区间，每个小区间长度为Δx，取一点ξi（i=1,2.n）在每个小区间[x(i-1),xi]上任取一点ξi，作和式：Sn=∑f(ξi)Δx，当上述和式Sn无限趋近于常数S，即S=limSn（n→∞）时，上述常数S称为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分。

记为：S=∫baf(x)dx，其中∫为积分号，b为积分上限，a为积分下限，f(x)为被积函数，x为积分变量，[a,b]为积分区间，∫f(x)dx为被积式。

说明：1）定积分不是Sn。

2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n等分区间[a,b]；②近似代替：取点ξi∈[xi-1,xi]；③求和：∑f(ξi)Δx；④取极限：∫f(x)dx=lim∑f(ξi)Δx（n→∞）。

3）曲边图形面积：S=∫f(x)dx。

2.定积分的几何意义：从几何上看，如果在区间[a,b]上函数f(x)连续且恒有f(x)≥0，则定积分∫f(x)dx表示由直线x=a,x=b(a≠b),y=0和y=f(x)所围成的曲边梯形的面积，如图中的阴影部分。

另外，定积分还可以表示变速运动路程S=∫bta2v(t)dt和变力做功W=∫btaF(r)dr的大小。

1.5.3定积分的概念一：教学目标1、通过求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，了解定积分的背景；能用定积分的定义求简单的定积分；理解掌握定积分的几何意义； 2、借助于几何直观定积分的基本思想，理解定积分的概念；二：教学重难点重点 定积分的概念、定积分法求简单的定积分、定积分的几何意义 难点 定积分的概念、定积分的几何意义三：教学目标：1．创设情景1．解决步骤：2 2．新课讲授1．定积分的概念 一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ∆（b ax n-∆=），在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ= ，作和式：11()()n nn i i i i b aS f x f n ξξ==-=∆=∑∑如果x ∆无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。

记为：()ba S f x dx =⎰其中()f x 成为被积函数，x 叫做积分变量，[,]a b 为积分区间，b 积分上限，a 积分下限。

说明：（1）定积分()baf x dx ⎰是一个常数，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时）称为()baf x dx ⎰，而不是n S ．（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间[],a b ；②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈；③求和：1()ni i b af n ξ=-∑；④取极限：()1()lim n b i a n i b a f x dx f n ξ→∞=-=∑⎰ （3）曲边图形面积：()baS f x dx =⎰；变速运动路程21()t t S v t dt =⎰；变力做功 ()baW F r dr =⎰2．定积分的几何意义如果在区间[,]a b 上函数连续且恒有()0f x ≥，那么定积分()baf x dx ⎰表示由直线,x a x b ==（a b ≠），0y =和曲线()y f x =所围成的曲边梯形的面积。

定积分的计算方法总结归纳定积分是微积分中的重要概念，它在求解曲线面积、体积、质量、重心等问题中起着重要的作用。

在实际问题的求解过程中，经常需要计算不定积分和定积分，而定积分的计算方法是其中的重点和难点之一、本文将对定积分的计算方法进行总结归纳。

首先，我们应该熟练掌握不定积分的计算方法，因为定积分可以看作是不定积分的主要应用之一、常见的不定积分计算方法有：换元法、分部积分法、有理函数积分法等。

这些方法是解决不定积分问题的基本思路，只有熟练掌握了这些方法，才能够在定积分的计算中游刃有余。

除了不定积分的计算方法外，还需要掌握一些特殊函数的积分。

例如，正弦函数、余弦函数、指数函数、对数函数等都有其特殊的积分公式，而这些特殊函数的积分计算通常是通过不定积分法进行的。

掌握这些特殊函数的积分公式，可以在定积分的计算中大大简化问题。

在计算定积分时，常常需要对区间进行分割，这就引出了“分割与求和”的方法。

具体来说，将待积函数在给定区间上分割成若干个小区间，然后通过求和的方式来逼近定积分的值。

这种方法叫做分割求和法，也是定积分的定义之一、通常情况下，我们可以将区间等分为n个小区间，然后通过求和来逼近积分的值。

当n趋于无穷大时，逼近结果就趋于定积分的准确值。

当然，分割求和法并不是唯一的逼近定积分的方法，还有其他的逼近方法，例如使用插值函数逼近原函数、使用泰勒公式展开逼近等。

这些方法相对复杂一些，通常在高级数学课程中会进行学习和应用。

对于一些特殊的曲线、图形的定积分计算，还可以使用几何方法进行求解。

例如，对于平面上一段曲线围成的面积，可以通过将其分割为若干个小矩形或小三角形，然后通过求和的方式来逼近面积的值。

对于空间中的体积计算也可以使用类似的方法。

几何方法求解定积分通常符合直观的几何思维，但在实际计算时可能需要一些复杂的步骤和技巧。

最后，还有一些高级的定积分计算方法，比如留数法、辐角原理等，这些方法通常应用在复数函数积分中。