人教A版高中数学必修四3.2《简单的三角恒等变换》评估训练1

2018-2019学年高中数学第三章三角恒等变换3.2 简单的三角恒等变换课后习题新人教A版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019学年高中数学第三章三角恒等变换3.2 简单的三角恒等变换课后习题新人教A版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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3。

2简单的三角恒等变换课后篇巩固探究1。

cos2的值为（)A.B。

C.D。

解析cos2.答案B2.已知α为第一象限角,且tan α=,则sin 的值为（）A。

B.—C。

± D。

解析因为α为第一象限角，且tan α=，所以cos α=，而是第一或第三象限角.当是第一象限角时，sin ；当是第三象限角时,sin =—=-,故sin =±.答案C3.若函数f(x）=(1+tan x）cos x，则f=（)A。

B.-C。

1 D.解析∵f(x）=cos x=cos x+sin x=2sin,∴f=2sin=2sin.答案D4。

设a=cos 7°+sin 7°,b=,c=,则有(）A.b〉a>c B。

a〉b>c C。

a〉c>b D.c>b>a解析因为a=cos 7°+sin 7°=sin 30°·cos 7°+cos 30°·sin 7°=sin 37°，b==tan 38°,c==sin 36°,又tan 38°〉sin 38°>sin 37°>sin 36°.所以b〉a〉c.答案A5。

课后训练1．设5π<θ<6π，cos 2a θ=，则sin 4θ等于( )．A B C ． D ．2．若 sin (α－β)cos α－cos (α－β) sin α＝45，且3π(π,)2β∈，则cos 2β为( )．A ．5- B. ．5± C ．5- D ．5± 3．函数22ππcos ()sin ()11212y x x =-++-是( )． A ．周期是2π的奇函数 B ．周期是π的偶函数C ．周期是π的奇函数D ．周期是2π的偶函数4．函数y ＝2sin x ( sin x ＋cos x )的最大值是( )．A ．1+B 1-CD ．25. 22π(sincos )2sin ()2242ααα++-的值等于______． 6．(2011上海高考，理8)函数ππsin()cos()26y x x =+-的最大值为______． 7．已知θ为钝角，且ππ1cos()cos()448θθ-+=，求tan θ的值．8．已知函数2π()sin sin()2f x x x x ωωω=++ (ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)求函数f (x )在区间2π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围．已知OPQ 是半径为1 ，圆心角为θ的扇形，A 是扇形弧PQ 上的动点，AB ∥OQ ，OP 与AB 交于点B ，AC ∥OP ，OQ 与AC 交于点C .(1)如图①，当π2θ=时，求点A 的位置，使矩形ABOC 的面积最大，并求岀这个最大面积；(2)如图②，当π3θ=时，求点A 的位置，使平行四边形ABOC 的面积最大，并求岀这个最大面积．参考答案1. 答案：D解析：由2cos 12sin 24θθ=-，得21cos 2sin 42θθ-=又5π<θ<6π，∴21cos 2sin 42θθ-=，sin 04θ<，∴sin 4θ= D. 2. 答案：A解析：由题意， 4sin()5αβα--=， ∴4sin 5β=-， 又3π(π,)2β∈，∴3cos 5β=-， 由2cos 2cos 12ββ=-， 可得2311cos 15cos 2225ββ-+===. ∵3ππ2β<<，∴π3π224β<<，∴cos 02β<，∴cos 25β==-，故选A. 3. 答案：C 解析：22ππcos ()sin ()11212y x x =-++- ππ1cos(2)1cos(2)66122x x +--+=+- ππcos(2)cos(2)662x x --+= ππππcos2cos sin 2sin cos2cos sin 2sin 66662x x x x +-+=sin 22x =. ∵2ππ2=，且 sin (－2x )＝－ sin 2x .故选C. 4. 答案：A解析：2π2sin 2sin cos 1cos2sin 21)4y x x x x x x =+=-+=+-，∴max 1y =+ A.5. 答案：2 解析：原式＝π1cos()221sin 21sin 1sin 22αααα--++⋅=++-=. 6.答案：142+ 解析：π1ππcos cos()cos cos(2)6266y x x x ⎡⎤=-=+-⎢⎥⎣⎦1πcos(2)426x =+-. 当πcos(2)16x -=时，max 12y =+. 7. 解：由条件可知1cos24θ=. 又2θ∈(π，2π)，∴sin 2θ=∴sin 2tan 1cos25θθθ==-+. 8. 解：(1)1cos211()22cos222222x f x x x x ωωωω-=+=-+ π1sin(2)62x ω=-+. 因为函数f (x )的最小正周期为π，且ω>0， 所以2ππ2ω=，解得ω＝1. (2)由(1)得π1()sin(2)62f x x =-+.因为2π03x ≤≤， 所以ππ7π2666x -≤-≤.所以1πsin(2)126x -≤-≤. 因此，π130sin(2)622x ≤-+≤， 即f (x )的取值范围为30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦．解：(1)A 在PQ 的中点时，矩形ABOC 面积最大，最大面积为12.(2)连接OA ，设∠AOP ＝α，过A 作AH ⊥OP ，垂足为H ，在Rt △AOH 中，AH ＝sin α，OH ＝cos α，在Rt △ABH 中，tan 603AH BH==∴3BH α=，∴cos OB OH BH αα=-=-， 设平行四边形ABOC 的面积为S ，则2(cos )sin sin cos S OB AH αααααα=⋅=-=-11sin 2cos2)sin 226266αααα=--=+-1π(2cos2))22666ααα=+-=+-. 由于π03α<<，所以当ππ262α+=，即π6α=时，S =-=最大. ∴当A 是PQ 的中点时，平行四边形ABOC 的面积最大，最大面积为6.。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作一.选择题1. 函数sin 3cos 22x x y =+的图像的一条对称轴方程是 （ ） A.113x π= B.53x π= C.53x π=- D ．3x π=- 2．函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值为( )A.21+B.12-C.2D.23．函数x x y cos sin 21++=的最大值是（ ） A ．122- B ．122+ C ．221- D ．1+2 4.已知α，β是一个钝角三角形的两个锐角，下列四个不等式中不正确的是（ ）1tan tan .A <⋅βα2sin sin .B <+βα 1cos cos .C >+βα 2t a n )t a n (21.D βαβα+<+5．在△ABC 中，已知tan A ＋tan B ＝3tan A ·tan B -3，且sin B cos B ＝43，则△ABC 是( ) A.正三角形 B.直角三角形C.正三角形或直角三角形D.直角三角形或等腰三角形 6.函数22()sin ()sin ()44f x x x ππ=+--是( ) A.周期为π的偶函数 B.周期为π的奇函数C.周期为2π的偶函数D.周期为2π的奇函数7. 已知等腰三角形顶角的余弦值等于54,则这个三角形底角的正弦值为（ ）1010.A 1010.B - 10103.C 10103.D - 8.当04x π<<时，函数22cos ()cos sin sin x f x x x x=-的最小值是 ( ) A.4 B.12 C.2 D.14二.填空题9．已知a 是第二象限的角，4tan(2)3a π+=-，则tan a = ． 10． ABC ∆的三个内角为A 、B 、C ，当A =_______时，cos 2cos2B C A ++取得最大值，且这个最大值为____________．11．函数xx y sin 12tan -=的最小正周期是___________________。

3.2 简单的三角恒等变换一、填空题 1．若25π＜α＜411π，sin2α=－54，求tan 2α________________2．已知sin θ=－53，3π＜θ＜2π7，则tan 2θ的值为___________．3．已知sin 2α+cos 2α=－53，且2π5＜α＜3π，则cot 4α的值为____________．4．已知α为钝角、β为锐角且sin α=54，sin β=1312，则cos 2-βα的值为____________．5． 设5π＜θ＜6π，cos 2θ=a ，则sin 4θ的值等于________________二、解答题 6．化简θθθθ2cos 2sin 12cos 2sin 1++-+．7．求证：2sin （4π－x ）·sin （4π+x ）=cos2x ．8．求证：αααααtan 1tan 1sin cos cos sin 2122+-=-⋅-a ．9．在△ABC 中，已知cos A =B b a b B a cos cos ⋅--⋅，求证：b a b a B A-+=2tan 2tan 22．10． 求sin15°，cos15°，tan15°的值．11． 设－3π＜α＜－2π5，化简2)πcos(1--α．12． 求证：1+2cos 2θ－cos2θ=2． 13． 求证：4sin θ·cos 22θ=2sin θ+sin2θ．14． 设25sin 2x +sin x －24=0，x 是第二象限角，求cos2x的值．15． 已知sin α=1312，sin （α+β）=54，α与β均为锐角，求cos 2β．参考答案一、填空题 1．215+． 2．－3 3． 251- 4． 65657 5．－21a -二、解答题6．解：原式=θθθθ2cos 2sin 12cos 2sin 1++-+=1)-(+⋅+)-(-⋅+θθθθθθ22cos 2cos sin 21sin 21cos sin 21 =θθθθθθ22cos 2cos sin 2sin cos sin 2+⋅2+⋅ =)cos (sin cos 2sin cos sin 2θθθθθθ+⋅)+(⋅ =tan θ．7．证明：左边=2sin （4π－x ）·sin （4π+x ） =2sin （4π－x ）·cos （4π－x ） =sin （2π－2x ） =cos2x=右边，原题得证． 8．证明：左边=αααα22sin cos cos sin 21-⋅-=)sin (cos )sin (cos cos sin 2sin cos 22αααααααα+⋅-⋅-+ =)sin )(cos sin (cos )sin (cos 2αααααα+-- =ααααsin cos sin cos +-=ααtan 1tan 1+-=右边，原题得证． 9．证明：∵cos A =Bb a bB a cos cos ⋅--⋅，∴1－cos A =Bb a B b a cos )cos 1()(⋅--⋅+，1+cos A =Bb a B b a cos )cos 1()(⋅-+⋅-．∴)cos 1()()cos 1()(cos 1cos 1B b a B b a A A +⋅--⋅+=+-． 而2tan 2cos 22sin 2cos 1cos 1222A B AA A ==+-， 2tan cos 1cos 12BB B =+-，∴tan 2)()(2b a b a A -+=·tan 22B，即b a b a B A-+=2tan 2tan 22．10．解：因为15°是第一象限的角，所以sin15°=4264)26(43482322231230cos 12-=-=-=-=-=︒-， cos15°=4264)26(43482322231230cos 12+=+=+=+=+=︒+， tan15°=︒+︒-30cos 130cos 1=2－3．11．解：∵－3π＜α＜－2π5，∴－2π3＜2α＜－4π5，cos 2α＜0． 又由诱导公式得cos （α－π）=－cos α， ∴2+=--ααcos 12)πcos(1=－cos 2α． 12．证明：左边=1+2cos 2θ－cos2θ=1+2·22cos 1θ+－cos2θ=2=右边．13．证明：左边=4sin θ·cos 22θ=2sin θ·2cos 22θ=2sin θ·（1+cos θ） =2sin θ+2sin θcos θ=2sin θ+sin2θ=右边． 14．解：因为25sin 2x +sin x －24=0， 所以sin x =2524或sin x =－1． 又因为x 是第二象限角， 所以sin x =2524，cos x =－257． 又2x是第一或第三象限角， 从而cos2x =±225712cos 1-±=+x =±53． 15．解：∵0＜α＜2π，∴cos α=135sin 12=-α． 又∵0＜α＜2π，0＜β＜2π， ∴0＜α+β＜π．若０＜α+β＜2π， ∵sin （α+β）＜sin α，∴α+β＜α不可能． 故2π＜α+β＜π．∴cos （α+β）=－53． ∴cos β=cos ［（α+β）－α］=cos （α+β）cos α+sin （α+β）sin α=－53·54135+·65331312=， ∵0＜β＜2π， ∴0＜2β＜4π． 故cos656572cos 1=+=2ββ．。

分层训练·进阶冲关A组基础练(建议用时20分钟)1.(2018·银川高一检测)已知tan θ=2,且θ∈,则cos 2θ=( C )A. B. C.- D.-2.若-2π<α<-,则的值是( D )A.sinB.cosC.-sinD.-cos3.(2018·通化高一检测)已知函数f(x)=+asincos的最大值为2,则常数a的值为( C )A. B.- C.±D.±4.已知sin 2α=,则cos2= ( D )A.-B.C.-D.5.已知sin=,cos 2α=,则sin α=( C )A. B.- C. D.-6.若θ∈,sin 2θ=,则sin θ等于 ( D )A. B. C. D.7.已知函数f(x)=(sin x+cos x)sin x,x∈R,则f(x)的最小值是.8.已知=,0<x<π,则tan x=-.9.设α∈,β∈,且5sin α+5cosα=8,sinβ+cos β=2,则cos(α+β)的值为-.10.(2018·邢台高一检测)已知tan(3π-α)=-,tan(β-α)=-,则tan β=.11.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的图象关于直线x=对称,且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值.(2)若f=,求cos的值.【解析】(1)由已知,f(x)的最小正周期为π,所以=π,|ω|=2,又ω>0,所以ω=2.又图象关于直线x=对称,所以2×+φ=kπ+,k∈Z,又-≤φ<,所以φ=-.(2)因为f=,所以sin=,sin=.因为0<α-<,所以cos==,所以cos=sin α=sin=sin cos+cos sin=×+×=.12.(2018·合肥高一检测)已知cos·cos=-,α∈.(1)求sin 2α的值.(2)求tan α-的值.【解析】(1)因为cos cos=cos sin=sin=-,所以sin=-.因为α∈,所以2α+∈,所以cos=-,所以sin 2α=sin=sin cos -cos sin =.(2)因为α∈,所以2α∈.又由(1)知sin 2α=,所以cos 2α=-.所以tan α-=-==-=-2×=2.B组提升练(建议用时20分钟)13.已知2sin α=1+cosα,则tan= ( B )A. B.或不存在C.2D.2或不存在14.已知函数f(x)=sin ωx+cosωx(ω>0),x∈R.在曲线y=f(x)与直线y=1的交点中,若相邻交点距离的最小值为,则f(x)的最小正周期为( C )A. B. C.π D.2π15.已知tan(3π-x)=2,则= -3.16.已知函数f(x)=Acos2(ωx+φ)+1A>0,ω>0,0<φ<的最大值为3,f(x)的图象与y轴的交点坐标为(0,2),其相邻两条对称轴间的距离为2,则f(1)+f(2)+…+f(2 016)= 4 032.17.已知cos 2θ=,<θ<π,(1)求tan θ的值.(2)求的值.【解析】(1)因为cos 2θ=,所以=,所以=,解得tan θ=±,因为<θ<π,所以tan θ=-.(2)=,因为<θ<π,tan θ=-,所以sin θ=,cos θ=-,所以===-4.18.已知函数f(x)=sin ωx+m cos ωx(ω>0,m>0)的最小值为-2,且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和m的值.(2)若f=,θ∈,求f的值.【解析】(1)易知f(x)=sin(ωx+φ)(φ为辅助角),所以f(x)m in=-=-2,又m>0,所以m=.由已知,函数f(x)的最小正周期为π,所以=π,所以ω=2.(2)由(1)得f(x)=sin 2x+cos 2x=2sin,所以f=2sin=,所以sin=.因为θ∈,所以θ+∈,所以cos=-=-,所以sin θ=sin=sin·cos -cos·sin =,所以f=2sin=2sin=2cos 2θ=2(1-2sin 2θ)=2=-.C组培优练(建议用时15分钟)19.已知直角三角形中两锐角为A和B,则sin Asin B ( B )A.有最大值和最小值0B.有最大值,但无最小值C.既无最大值,也无最小值D.有最大值1,但无最小值20.已知向量a=(sin B,1-cos B)与向量b=(2,0)的夹角为,其中A,B,C 是△ABC的内角.(1)求B的大小.(2)求sin A+sin C的取值范围.【解析】(1)由已知,|a|==,|b|=2,a·b=2sin B.cos=,整理得1-cos B-2sin2B=0,即2cos2B-cos B-1=0.所以cos B=1(舍去)或cos B=-.又因为0<B<π,所以B=.(2)因为A+B+C=π,所以A+C=,所以-<A-C<.所以-<<.所以sin A+sin C=2sin cos=2sin cos =cos .所以sin A+sin C的取值范围是.。

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同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2017-2018学年高中数学第三章三角恒等变换3.2 简单的三角恒等变换练习新人教A版必修4的全部内容。

3.2 简单的三角恒等变换题号1234567891011得分答案一、选择题(本大题共7小题，每小题5分，共35分）1．函数y＝错误!的最小正周期等于( )A.错误! B．πC．2π D．3π2。

错误!＝（）A．1 B．2C. 2 D。

错误!3．函数y＝3sin 4x＋错误!cos 4x的最大值是( )A. 3 B．2 错误!C．3 D．64．函数f(x）＝(1＋tan x)cos x的最小正周期为（）A．2π B.错误!C．π D.错误!5．函数y＝cos2错误!＋sin2错误!－1是（)A．最小正周期为2π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为π的奇函数D．最小正周期为2π的偶函数6．如果函数f(x)＝sin 2x＋acos 2x的图像关于直线x＝－错误!对称，则实数a的值为（)A．2 B．－2C．1 D．－17．已知函数f(x)＝错误!sin ωx＋cos ωx(ω〉0)，y＝f(x)的图像与直线y＝2的两个相邻交点的距离等于π，则f(x)的单调递增区间是( )A.错误!，k∈ZB。

错误!，k∈ZC.错误!,k∈ZD。

错误!，k∈Z二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分)8．函数f(x）＝sin x－cos x的单调递增区间是____________________．9．已知sin（α＋错误!)＋sin α＝－错误!，－错误!<α<0，则cos α＝________．10．函数y＝sin 2x3＋cos（错误!＋错误!）的图像中相邻的两条对称轴之间的距离是________．11．已知函数f（x）＝cos 2x－2 3sin xcos x，给出下列结论:①存在x1，x2，当x1－x2＝π时，f(x1)＝f(x2)成立；②f(x）在区间[－错误!，错误!］上单调递增;③函数f(x）的图像关于点(错误!，0)中心对称;④将函数f（x）的图像向左平移错误!个单位后所得图像与g（x）＝2sin 2x的图像重合．其中正确结论的序号为________．三、解答题（本大题共2小题，共25分)得分12．(12分）已知函数f（x）＝4cos xsin 错误!－1.(1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x)在区间错误!上的最大值和最小值．13。

单元质量评估(12019 150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.设sin(π-θ)=,则cos 2θ= ( B )A.±B.C.-D.-2.已知sin=,-<α<0,则cos的值是( C )A. B. C.- D.13.sin 14°cos16°+sin76°cos74°的值是 ( B )A. B. C.- D.-4.-= ( D )A.4B.2C.-2D.-45.若sin(π-α)=-且α∈,则sin= ( A )A.-B.-C.D.6.若将函数f(x)=sin 2x+cos 2x的图象向右平移φ个单位,所得图象关于y轴对称,则φ的最小正值是( C )A. B. C. D.7.(2018·中原名校高三检测)cos 375°+sin 375°的值为( A )A. B. C.- D.-8.(2018·淮南高三检测)为了得到函数y=2cos2的图象,只需把函数y=-sin 2x的图象上所有的点( C )A.向右平移个单位B.向左平移个单位C.向上平移1个单位D.向下平移1个单位9.已知cos 2α=,则tan2α= ( D )A. B.2 C. D.10.在△ABC中,若cos A=,cos B=,则cos C= ( C )A. B. C. D.11.cos ·cos ·cos= ( A )A.-B.-C.D.12.(2018·洛阳高三检测)设a=cos 50°cos127°+cos40°·cos 37°,b=(sin 56°-cos 56°),c=,则a,b,c的大小关系是( D )A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.a>c>b二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上)13.已知tan α=3,则cos 2α=-.14.函数f(x)=sin-2sin2x的最小正周期是π.15.(2018·广东珠海六校联考)已知tan(α+β)=,tan β=,则tan的值为.16.已知cos4α-sin4α=,且α∈,则cos=.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)设向量a=(sin x,sin x),b=(cos x,sin x),x∈.(1)若|a|=|b|,求x的值.(2)设函数f(x)=a·b,求f(x)的最大值.【解析】(1)由|a|2=(sin x)2+(sin x)2=4sin2x,|b|2=(cos x)2+(sin x)2=1,|a|=|b|,得4sin2x=1,又x∈,从而sin x=,所以x=.(2)f(x)=a·b=sin x·cos x+sin2x=sin 2x-cos 2x+=sin+,当x=∈时,sin取最大值1.所以f(x)的最大值为.18.(本小题满分12分)(2017·北京高考)已知函数f(x)=cos-2sin xcos x.(1)求f(x)的最小正周期.(2)求证:当x∈时,f(x)≥-.【解析】(1)f(x)=cos 2x+sin 2x-sin 2x=sin 2x+cos 2x=sin,所以f(x)的最小正周期T==π.(2)因为-≤x≤,所以-≤2x+≤,所以sin≥sin=-,所以当x∈时,f(x)≥-.19.(本小题满分12分)已知cos α=-,α∈.(1)求cos的值.(2)求tan 2α的值.【解析】(1)因为cos α=-,α∈,所以sin α==,所以cos=cos αcos +sin αsin=-×+×=.(2)因为tan α===-,所以tan 2α===.20.(本小题满分12分)已知α∈,且sin +cos =.(1)求cos α的值.(2)若sin(α-β)=-,β∈,求cos β的值.【解析】(1)将sin +cos =两边同时平方,得1+sin α=,则sin α=.又<α<π,所以cos α=-=-.(2)因为<α<π,<β<π,所以-<α-β<.所以由sin(α-β)=-得cos(α-β)=,所以cos β=cos[α-(α-β)]=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)=-×+×=-.21.(本小题满分12分)(2018·济南高三检测)已知函数f(x)=-2cos2+.(1)求f(x)的单调区间.(2)求f(x)在[0,π]上的值域.【解析】(1)f(x)=1+sin x-cos x=1+2sin.由2kπ-≤x-≤2kπ+,k∈Z,得f(x)的单调递增区间为,k∈Z,由2kπ+≤x-≤2kπ+,k∈Z,得f(x)的单调递减区间为,k∈Z.(2)x∈[0,π],则x-∈,sin∈,2sin∈[-,2],所以f(x)在[0,π]上的值域为[1-,3].22.(本小题满分12分)已知向量m=,n=,其中α∈,且m⊥n.(1)求sin 2α和cos 2α的值.(2)若sin=,且β∈,求角β.【解析】(1)因为m⊥n,所以2cos α-sin α=0,即sin α=2cos α.代入cos2α+sin2α=1,得5cos2α=1,又α∈,则cos α=,sin α=.则sin 2α=2sin αcos α=2××=.cos 2α=2cos2α-1=2×-1=-.(2)因为α∈,β∈,所以α-β∈.又sin(α-β)=,所以cos(α-β)=.所以sin β=sin[α-(α-β)]=sin αcos(α-β)-cos αsin(α-β)=×-×=.由β∈,得β=.关闭Word文档返回原板块。

双基达标 (限时20分钟)1．计算sin 105°cos 75°的值是( )．A.12B.14C.22D.24 解析 sin 105°cos 75°＝sin 75°cos 75°＝12sin 150°＝14，故选B. 答案 B2．(2012·佛山高一检测)使函数f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)为奇函数的θ的一个值是( )．A.π6B.π3C.π2D.2π3 解析 f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ) ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋θ.当θ＝23π时，f (x )＝2sin(2x ＋π)＝－2sin 2x . 答案 D3．函数f (x )＝sin x －3cos x (x ∈[－π，0])的单调递增区间是( )． A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－5π6 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，－π6 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，0 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，0 解析 f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋56π(k ∈Z )，令k ＝0得增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，56π.答案 D 4．化简1＋cos (3π－θ)2⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2<θ<2π＝________.解析 原式＝1－cos θ2＝ sin 2θ2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin θ2.∵3π2<θ<2π，∴34π<θ2<π，∴原式＝sin θ2.答案 sin θ25．已知函数f (x )＝a sin[(1－a )x ]＋cos[(1－a )x ]的最大值为2，则f (x )的最小正周期为________．解析 ∵f (x )＝a ＋1sin[(1－a )x ＋φ]， 由已知得a ＋1＝2，所以a ＝3. ∴f (x )＝2sin(－2x ＋φ)，∴T ＝2π|－2|＝π.答案 π6．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝3，求5sin 2θ－3sin θcos θ＋2cos 2θ的值．解 tan θ＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4－π4 ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－tan π41＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4·tan π4＝12，∴原式＝5sin 2θ－3sin θcos θ＋2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝5tan 2θ－3tan θ＋2tan 2θ＋1＝75.综合提高 (限时25分钟)7．在△ABC 中，若sin C ＝2cos A sin B ，则此三角形必是( )． A ．等腰三角形 B ．正三角形 C ．直角三角形D ．等腰直角三角形解析 因为sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，所以已知方程可化为sin A cos B －cos A sin B ＝0，即sin(A －B )＝0.又－π<A －B <π，∴A ＝B ，故选A. 答案 A8．(2012·汕尾高一检测)若cos α＝－45，α是第三象限的角，则1＋tan α21－tan α2等于( )．A ．－12 B.12 C ．2 D ．－2解析∵α是第三象限角，cos α＝－45，∴sin α＝－35.∴1＋tanα21－tanα2＝1＋sinα2cosα21－sinα2cosα2＝cosα2＋sinα2cosα2－sinα2＝cosα2＋sinα2cosα2－sinα2·cosα2＋sinα2cosα2＋sinα2＝1＋sin αcos α＝1－35－45＝－12.答案 A9．化简sin 4x1＋cos 4x ·cos 2x1＋cos 2x·cos x1＋cos x＝________.解析原式＝2sin 2x cos 2x2cos22x·cos 2x1＋cos 2x·cos x1＋cos x＝sin 2x1＋cos 2x·cos x1＋cos x＝2sin x cos x 2cos2x·cos x1＋cos x ＝sin x1＋cos x＝tanx2.答案tan x 210．(2012·天津高一检测)如果a＝(cos α＋sin α，2 008)，b＝(cos α－sin α，1)，且a∥b，那么1cos 2α＋tan 2α＋1的值是________．解析由a∥b，得cos α＋sin α＝2 008(cos α－sin α)，∴cos α＋sin αcos α－sin α＝2 008.1cos 2α＋tan 2α＝1cos 2α＋sin 2αcos 2α＝1＋sin 2αcos2α－sin2α＝(sin α＋cos α)2(cos α＋sin α)(cos α－sin α)＝cos α＋sin αcos α－sin α＝2 008.∴1cos 2α＋tan 2α＋1＝2 008＋1＝2 009.答案 2 00911．已知函数f (x )＝ 3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12(x ∈R )． (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求使函数f (x )取得最大值的x 的集合． 解 (1)∵f (x )＝3sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12 ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤32sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12－12cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋1＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π12－π6＋1 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋1，∴T ＝2π2＝π. (2)当f (x )取得最大值时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝1， 有2x －π3＝2k π＋π2，即x ＝k π＋5π12(k ∈Z )， ∴所求x的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k π＋5π12，k ∈Z . 12．(创新拓展)已知向量m ＝(cos θ，sin θ)和n ＝(2－sin θ，cos θ)，θ∈(π，2π)，且|m ＋n |＝825，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＋π8的值．解 m ＋n ＝(cos θ－sin θ＋2，cos θ＋sin θ)， |m ＋n |＝(cos θ－sin θ＋2)2＋(cos θ＋sin θ)2 ＝4＋22(cos θ－sin θ)＝ 4＋4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝21＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4.由已知|m ＋n |＝825，得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝725.又cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＋π8－1，所以cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＋π8＝1625.∵π<θ<2π，∴5π8<θ2＋π8<9π8.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＋π8<0.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＋π8＝－45.。

3.2 简单的三角恒等变换5分钟训练(预习类训练，可用于课前) 1.设5π＜θ＜6π，cos2θ=a ，|a|≤1，则sin 4θ的值等于( ) A.21a +-B.21a-- C.21a +- D.21a --解析：∵5π＜θ＜6π， ∴25π＜2θ＜3π，45π＜4θ＜23π. ∴sin4θ=2122cos1a --=--θ. 答案：D2.函数y=cosx+cos(x+3π)的最大值是______________. 解析：方法一:y=cosx+cos(x+3π)=cosx+cosxcos 3π-sinxsin 3π=cosx+21cosx-23sinx=23cosx-23sinx=3cos(x+6π)，函数的最大值是3.方法二:y=cosx+cos(x+3π)=2cos23cos 2)3(ππ--++x x x x=2cos(x+6π)cos 6π=3cos(x+6π)，函数的最大值是3. 答案：3 3.化简αααcos )30sin()30sin(-︒+︒+得___________________.解析:方法一:原式=αααααααcos cos 30sin 2cos sin 30cos cos 30sin 30sin cos 30cos sin ︒=︒-︒+︒+︒=1.方法二:原式=αααααααcos cos 30sin 2cos 23030cos23030sin2︒=+︒-︒+-︒+︒+=1.答案：14.已知tan2α=2,则sinα的值为__________，cosα的值为__________，tanα的值为________. 解析：由万能代换，可得sinα=542tan 12tan22=-αα,cosα=532tan 12tan 12-=+-αα,tanα=2tan 342tan 12tan22-=-αα. 答案：54 -53 34- 10分钟训练(强化类训练，可用于课中) 1.若sin(α-β)cosα-cos(α-β)sinα=54且β在第三象限，则cos 2β为( ) A.55-B.±55C.552- D.±552 解析：由题意知sin(α-β-α)=54,即sin(-β)=54，∴sinβ=54-. ∵β是第三象限角，∴cosβ=-53，且2β是二、四象限角.∴cos2β=±2cos 1β+=±2531-=±55.答案:B2.设α、β为钝角，且sinα=55,cosβ=10103-，则α+β的值为( ) A.43π B.45π C.47π D.45π或47π解析：由题意知cosα=552-，sinβ=1010,∴cos(α+β)=552-×(10103-)-55×1010=22.∵2π＜α＜π，2π＜β＜π,∴π＜α+β＜2π. ∴α+β=47π.答案：C 3.若tan(α+4π)=223+，则αα2sin 2cos 1-=_______________.解析：原式=αααcos sin 2sin 22=tanα.由tan(α+4π)=223tan 1tan 1+=-+αα,解得tanα=22. 答案：224.已知sinα=43，且α为第二象限角，则tan 2α的值为_________. 解析：∵α为第二象限角，∴cosα=4131631-=--. tan2α=33934434131sin cos 12cos 2sin 22sin 22cos 2sin2+=+=-==ααααααα.答案：33934+5.设25sin 2x+sinx-24=0，x 是第二象限角，求cos 2x的值. 解：因为25sin 2x+sinx-24=0，所以sinx=2524或sinx=-1. 又因为x 是第二象限角，所以sinx=2524，cosx=-257.又2α是第一或第三象限角， 从而cos2x =±2cos 1x +=±22571-=±53. 6.求函数y=4sinx·cosx 的最值和周期.解：∵y=4sinx·cosx=2sin2x ，∴y max =2，y min =-2，且T=π. 30分钟训练(巩固类训练，可用于课后) 1.已知π＜α＜2π，则cos2α的值等于( ) A.2cos 1α+-B.2cos 1α-C.2cos 1α+D.2cos 1α-- 解析：∵π＜α＜2π，∴2π＜2α＜π，cos 2α＜0, cos2α=2cos 1α+-.答案：A 2.sinα+sinβ=33(cosβ-cosα)，且α∈(0，π)，β∈(0，π)，则α-β等于( ) A.-32π B.-3π C.3πD.32π 解析：由已知得2sin2βα+cos2βα-=33·2sin 2βα+sin 2βα-. ∵0＜2βα+＜π，-2π＜2βα-＜2π，∴sin 2βα+＞0.∴tan 2βα-=3.∴2βα-=3π，α-β=32π.答案：D3.已知sin(α+β)sin(β-α)=m ，则cos 2α-cos 2β等于( ) A.-m B.m C.-4m D.4m 解析：cos 2α-cos 2β=21(1+cos2α)21-(1+cos2β)=22cos 2cos βα- =-sin(α+β)sin(α-β)=sin(α+β)sin(β-α)=m.答案：B4.已知sinθ=53-，3π＜θ＜27π，则tan 2θ的值为________________. 解析：因为sinθ=-53，3π＜θ＜27π，∴cosθ=54-，且23π＜2θ＜47π.∴tan2θ=θθcos 1cos 1+--=-3.答案：-35.若25π＜α＜411π，sin2α=-54，求tan 2α. 解：∵25π＜α＜411π，∴45π＜2α＜811π，5π＜2α＜211π，即2α、2α是第三象限角，α是第二象限角. 又sin2α=-54，∴cos2α=-53.∴cosα=253122cos 1--=+-α=-55.∴tan 2α=2155555551551cos 1cos 1+=-+=-+=+-αα. 6.求证：2sin(4π-x)·sin(4π+x)=cos2x. 证明：左边=2sin(4π-x)·sin(4π+x)=2sin(4π-x)·cos(4π-x)=sin(2π-2x)=cos2x=右边.7.在△ABC 中，已知cosA=Bb a b B a cos cos •--•，求证：b a b a B A-+=2tan 2tan 22. 证明：∵cosA=B b a bB a cos cos •--•，∴1-cosA=B b a B b a cos )cos 1()(•--•+，1+cosA=Bb a B b a cos )cos 1()(•-+•+.∴)cos 1()()cos 1()(cos 1cos 1B b a B b a A A +•--•+=+-.而2cos 22sin 2cos 1cos 122A AAA =+-=tan 22A ，B B cos 1cos 1+-=tan 22B ， ∴tan 2)()(2b a b a A -+=·tan 22B，即ba b a B A -+=2tan 2tan 22. 8.求证：4cos(60°-θ)cosθcos (60°+θ)=cos3θ. 证明：左边=2cosθ［cos120°+cos(-2θ)］=2cosθ(21-+cos2θ) =-cosθ+(cos3θ+cosθ)=cos3θ=右边. 9.已知sinα+sinβ=2，cosα+cosβ=32，求tan(α+β)的值. 解：322cos cos sin sin -++βαβα，由和差化积公式得2cos2cos 22cos2sin2βαβαβαβα-+-+=3，∴tan2βα+=3，从而tan(α+β)=4331222tan 12tan222-=-⨯=+-+βαβα. 10.已知f(x)=21-+2sin225sinx x，x ∈(0，π). (1)将f(x)表示成cosx 的多项式； (2)求f(x)的最小值.解：(1)f(x)=2sin2sin 23cos 22sin 22sin 25sinx xx x x x =-=2cos 23x cos 2x=cos2x+cosx=2cos 2x+cosx-1.(2)∵f(x)=2(cosx+41)2-89，且-1≤cosx≤1， ∴当cosx=41-时，f(x)取得最小值89-.快乐时光误人子弟督学到某学校视察，看见教室里有个地球仪，便问学童甲：“你说说看，这个地球仪为何会倾斜23.5度？”学童甲惶恐地答道：“不是我弄歪的！”督学摇摇头，转问学童乙.学童乙双手一摊，说道：“您也看见了，我是刚刚才进来的！”督学疑惑地问教师怎么回事.教师满怀歉意地说：“不能怪他们，这地球仪买回来时已经是这样的了.”校长见督学的脸色越来越难看，忙解释：“说来惭愧，因为学校经费有限，我们买的是地摊货.”。

章末质量评估(三)(时间：100分钟 满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．计算sin 89°cos 14°－sin 1°cos 76°＝( )． A.2＋64 B.2－64 C.6－24 D.24解析 sin 89°cos 14°－sin 1°cos 76° ＝sin 89°cos 14°－cos 89°sin 14° ＝sin 75°＝sin(45°＋30°)＝2＋64. 答案 A2．若1tan θ＝3，则cos 2θ＋12sin 2θ的值是( )． A ．－65 B ．－45 C.45 D.65 解析 ∵tan θ＝13，∴原式＝cos 2θ＋sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝1＋tan θ1＋tan 2θ＝1＋131＋19＝1210＝65. 答案 D3．(2012·湖南师大附中高一检测)已知cos(α－β)＝35，sin β＝－513，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则sin α＝( )． A.3365 B.6365 C ．－3365 D ．－6365 解析 ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，∴α－β∈(0，π)，由cos(α－β)＝35得sin(α－β)＝45， 由sin β＝－513得cos β＝1213，∴sin α＝sin[(α－β)＋β]＝45×1213＋35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－513＝3365.答案 A4．设a ＝sin 17°cos 45°＋cos 17°sin 45°，b ＝2cos 213°－1，c ＝32，则有( )． A ．c <a <b B ．b <c <a C ．a <b <c D ．b <a <c 解析 a ＝sin(17°＋45°)＝sin 62°， b ＝2cos 213°－1＝cos 26°＝sin 64°， c ＝32＝sin 60°，∴c <a <b . 答案 A5．在△ABC 中，若0<tan A tan B <1，则△ABC 是( )． A ．钝角三角形 B ．锐角三角形 C ．直角三角形D ．不能确定解析 ∵0<tan A tan B <1，∴0<A ，B <π2， 又tan A tan B ＝sin A cos A ·sin Bcos B <1，∴cos A cos B －sin A sin B ＝cos(A ＋B )>0， ∴A ＋B <π2，∴C >π2， ∴△ABC 为钝角三角形． 答案 A6．若x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，cos x ＝45，则tan 2x 等于( )．A.724 B ．－724 C.247 D ．－247解析 ∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，cos x ＝45，∴sin x ＝－35，∴tan x ＝－34，∴tan 2x ＝2tan x 1－tan 2x ＝－247. 答案 D7．函数y ＝sin 4x ＋cos 2x 的最小正周期为( )． A.π4 B.π2 C ．π D ．2π解析 y ＝sin 4x ＋cos 2x ＝(1－cos 2x )2＋cos 2x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋cos 2x 2－122＋34＝18cos 4x ＋78.∴T ＝π2. 答案 B8．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝35，则sin 2x 的值为( )．A.1925B.1625C.1425D.725解析 sin 2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝725.答案 D9．(2012·日照高一检测)当函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 取得最大值时，tan x 的值为( )．A ．1B ．±1 C. 3 D ．－1 解析 y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos x ＋12sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋32sin x＝34(sin 2x ＋cos 2x )＋14sin x cos x ＋34sin x cos x ＝34＋12sin 2x .当sin 2x ＝1时，y max ＝3＋24，此时2x ＝2k π＋π2，x ＝k π＋π4(k ∈Z )，∴tan x ＝1.答案 A10．函数y ＝sin x －cos x 的图象可以看成是由函数y ＝sin x ＋cos x 的图象平移得到的．下列所述平移方法正确的是( )． A ．向左平移π2个单位 B ．向右平移π4个单位 C ．向右平移π2个单位 D ．向左平移π4个单位解析 令y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝f (x )，则y ＝sin x －cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫x －π2＋π4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2， ∴y ＝sin x ＋cos x 错误!y ＝sin x －cos x . 答案 C二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上) 11．化简2＋cos 2－sin 21的结果是________． 解析 原式＝1＋cos 2＋(1－sin 21)＝2cos 21＋cos 21＝3|cos 1|.又0<1<π2，∴cos 1>0， ∴原式＝3cos 1. 答案3cos 112．给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为120°.如图，点C 在以O 为圆心 的圆弧AB 上变动，若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，则x ＋y 的最大值是________． 解析 建立如图所示的坐标系，则A (1,0)，B (cos 120°，sin 120°)，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.设∠AOC ＝α，则OC →＝(cos α，sin α)．∵OC →＝xOA →＋yOB →＝(x,0)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 2，32y ＝(cos α，sin α)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －y2＝cos α，32y ＝sin α.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin α3＋cos α，y ＝2sin α3，∴x ＋y ＝3sin α＋cos α＝2sin(α＋30°)． ∵0°≤α≤120°， ∴30°≤α＋30°≤150°∴x ＋y 有最大值2，当α＝60°时取得最大值2. 答案 213．已知sin x －cos x ＝sin x cos x ，则sin 2x ＝________. 解析 ∵sin x －cos x ＝sin x cos x ， ∴(sin x －cos x )2＝(sin x cos x )2 1－2sin x cos x ＝(sin x cos x )2， ∴令t ＝sin x cos x ，则1－2t ＝t 2. 即t 2＋2t －1＝0， ∴t ＝－2±222＝－1±2.又∵t ＝sin x cos x ＝12sin 2x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12，∴t ＝2－1，∴sin 2x ＝22－2. 答案 22－214．(2012·长沙高一检测)关于函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，有下列说法：①y ＝f (x )的最大值为2；②y ＝f (x )是以π为最小正周期的周期函数； ③y ＝f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π24，13π24上单调递减；④将函数y ＝2cos 2x 的图象向左平移π24个单位后，将与已知函数的图象重合． 其中正确说法的序号是________．(注：把你认为正确的说法的序号都填上) 解析 f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2－π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π12，∴f (x )max ＝2，即①正确． T ＝2π|ω|＝2π2＝π，即②正确．f (x )的递减区间为2k π≤2x －π12≤2k π＋π(k ∈Z )． 即k π＋π24≤x ≤k π＋1324π(k ∈Z )， k ＝0时，π24≤x ≤13π24，所以③正确． 将函数y ＝2cos 2x 向左平移π24个单位得 y ＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π24≠f (x )，∴④不正确．答案 ①②③三、解答题(本大题共5小题，共54分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(10分)已知|cos θ|＝35，且5π2<θ<3π，求sin θ2、cos θ2、tan θ2的值．解 ∵|cos θ|＝35，5π2<θ<3π， ∴cos θ＝－35，5π4<θ2<3π2. 由cos θ＝1－2sin 2θ2， 有sin θ2＝－1－cos θ2＝－ 1＋352＝－255.又cos θ＝2cos 2θ2－1， 有cos θ2＝－1＋cos θ2＝－55，tan θ2＝sin θ2cos θ2＝2. 16．(10分)求证：(sin x ＋cos x －1)(sin x －cos x ＋1)sin 2x＝tan x 2. 证明 左式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin x 2cos x 2－2sin 2x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin x 2cos x 2＋2sin 2x 2sin 2x＝4sin 2x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2x 2－sin 2x 2sin 2x ＝4sin 2x2cos xsin 2x＝4sin 2x2cos x 2sin x cos x ＝2sin 2x 22sin x 2cos x 2＝sin x 2cos x 2＝tan x2. 17．(10分)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝24，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求sin 4x 的值．解 因为⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝π2，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝12cos 2x ＝24，所以cos 2x ＝22.又x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以2x ∈(π，2π)，所以sin 2x <0，所以sin 2x ＝－22.所以sin 4x ＝2sin 2x cos 2x ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22×22＝－1.18．(12分)已知sin α＝13，cos β＝－23，α、β均在第二象限，求sin(α＋β)和sin(α－β)的值．解 因为sin α＝13，cos β＝－23，α、β均为第二象限角，所以cos α＝－1－sin 2α＝－223，sin β＝1－cos 2β＝53.故sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－223×53＝－2－2109，sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－⎝ ⎛⎭⎪⎫－223×53＝－2＋2109.19．(12分)设向量a ＝(cos(α＋β)，sin(α＋β))， b ＝(cos(α－β)，sin(α－β))，且a ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫45，35.(1)求tan α；(2)求2cos 2α2－3sin α－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4.解 (1)a ＋b ＝(cos αcos β－sin αsin β＋cos αcos β＋sin αsin β，sin αcos β＋cos αsin β＋sin αcos β－cos αsin β)＝(2cos αcos β，2sin αcos β)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫45，35.∴2cos αcos β＝45，2sin αcos β＝35，∴tan α＝34.(2)2cos2α2－3sin α－12sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝cos α－3sin αsin α＋cos α＝1－3tan α1＋tan α＝－57.。