【人教A版】2017版高中数学必修五：全册配套课时作业9

目第一章解三角形1．1正弦定理和余弦定理⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1 1正弦定理 (1)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12正弦定理 (2)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯33余弦定理 (1)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯54余弦定理 (2)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 1．2用例⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 5正弦定理、余弦定理的合运用⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯96正弦定理、余弦定理的用〔量距离、高度〕⋯⋯⋯⋯117正弦定理、余弦定理的用〔量角度〕⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13第二章数列2．1数列的概念与表示法⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯15 1数列的概念与表示法⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯15 2．2等差数列⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯17 2等差数列的概念与通公式(1)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯173等差数列的概念与通公式(2)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯19 2． 3等差数列的前 n 和⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯21 4等差数列的前n 和⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯215(1) ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯23 2．4等比数列⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯25 6等比数列的概念与通公式(1)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯257等比数列的概念与通公式(2)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯27 2． 5等比数列的前 n 和⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯29 8等比数列的前n 和⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯299一般数列求通⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3110 一般数列求和⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3311(2) ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯35第三章不等式3．1不等关系与不等式⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯37 1不等关系与不等式⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯37 3．2 一元二次不等式及其解法⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯39 2一元二次不等式及其解法(1)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯393一元二次不等式及其解法(2)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯41 3． 3 二元一次不等式〔〕与的性划⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯43 4二元一次不等式〔〕表示的平面区域⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯435的性划⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯456(1) ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯473． 4 根本不等式：ab ≤a b⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 49 27根本不等式的明⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯49 8根本不等式的用⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯51 9(2) ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯53附：第一章卷第二章检测卷第三章检测卷模块检测卷 (1)模块检测卷 (2)参考答案与点拨第一章三角形1． 1 正弦定理和余弦定理课时 1正弦定理(1)1．在△ ABC中，a=8,∠B=60° ,∠C= 75°，那么b等于()32A．42 B ．43 C ． 46 D ．32．在△ ABC中，∠ A、∠ B、∠ C 的对边为 a、b、 c ，假设 a= 3 ，b= 2 ，∠B=45°，那么∠A等于()A． 30 ° B ． 30 °或 105° C ． 60 ° D ． 60 °或 120 °3．〔 2021·北京〕△ABC中， a= 2 ，b=3，∠B=60°，那么∠A等于()A． 135° B ．90° C ．45° D ．30°4．〔 2021·广东〕△ABC中，∠ A，∠ B，∠ C 的对边分别为a， b，c，假设 a=c=6 +2且∠A=75°，那么b= ()A．2 B ．4+23 C ．4-2 3 D．6-25．在△ ABC中，假设 b=12，∠ A=30°，∠ B=120°，那么 a=．6．△ ABC中，假设 a=2， b= 2 ，∠A=45°，那么∠B=．7．〔2021·山东改编〕在△ ABC中， a、b、c 分别是∠ A、∠ B、∠ C 的对边， a=1,b= 2 ,cosA= 3 ，2那么∠ C=．8．〔 2021·陕西〕△ ABC的内角∠ A、∠ B、∠ C的对边分别为a、b、c．假设 c=2 ，b= 6 ，∠B=120°，则a=9．△ ABC中， a=50，B=45°， C=105°，求 b．10．△ ABC中， a= 6 ，b=2，∠A=60°，求∠B．11．〔 2021·四川〕 在△ ABC 中，∠ A 、∠B 为锐角，∠ A 、∠B 、∠C 所对的边分别为 a 、b 、c ，且 sinA=5 ，5sinB=10(1) 求 A+B 的值； (2)假设 a-b=2 -1 ，求 a 、b 、c 的值．1012．在△ ABC 中， tanA=1，tanB= 3． (1) 求∠ C 的大小． (2) 假设 AB 边的长为17 ，求 BC 边的长．4 513．在△ ABC 中，∠ A 、∠ B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，假设 m =(b ，3a) ，n =〔c ，b) ，且 m ∥n ，∠ C-∠A=，2求∠ B ．14．〔 2021·全国Ⅱ〕在△ ABC 中，cosB=- 5，cosC=4．(1)求 sinA 的值． (2) 设△ ABC 的面积 S △ABC =33，13 52求 BC 的长，课时 2正弦定理 (2)1．假设sin A =cosB =cosC，那么△ ABC 是 ( )a b cA ．等边三角形B ．有一个内角是 30°的直角三角形C ．等腰直角三角形D ．有一个内角是 30°的等腰三角形2．在△ ABC 中，根据以下条件解三角形，那么其中有两个解的是( )A ．b=10,A=45 °，∠ C=75°B ．a=60,b=48 ，∠ C=60°C ．a=7,b=5, ∠A=80°D．a=14,b=16, ∠A=45°3．△ ABC 中， a=x ， b=2，∠ B=45°，假设三角形有两解，那么x 的取值范围是 ( )A ．x>2B ．x<2C ．2<x< 22 D ．2<x< 2 34．〔2021·四川〕△ ABC 的三内角∠ A 、∠ B 、∠ C 的对边边长分别为 a 、 b 、c ．假设 a= 5 b ，∠ A=2∠B ．那么2cosB= ()A ．5B ．5C ．5D ． 5345 65．在△ ABC 中， a=3 2 ，cosC= 1 ，S =4 3 ，那么b=____．△ ABC36．〔 2021．湖南〕在锐角△ ABC 中， BC=1, ∠B=2∠A ，那么AC的值等于 ____，AC 的取值范围为 ____．cos A 7．在△ ABC 中，a 2tanB=b 2 tanA ，那么△ ABC 为 ____ 三角形．.精品文档8．有一道解三角形的题目，因纸张破损有一条件模糊不清，具体如下：“在△ ABC中，角∠ A、∠ B、∠ C所对的边分别为a、 b、c． a= 3 ，∠B=，____，求∠ A．〞经推断，破损处的条件为三角4形一边的长度，且答案提示∠A=，试在横线上将条件补充完整．69．在△ ABC中，a= 3 ，b= 2 ，∠B=45°，求∠A、∠C及c．10．在△ ABC中，假设∠ B=30°， AB=23 ，且AC=2，求△ABC的面积．11．〔 2021·全国Ⅱ〕设△ ABC的内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c,cos(A-C)+cosB= 3 ，b2=ac，求∠B．212．在△ ABC中， 2∠A=∠B+∠C,b 2=ac ，求b sin B的值．c13．△ ABC中，∠ A、∠ B、∠C 对应的边是a、b、c，∠A=2∠ B,cosB=6 ．(1)求sinC的值．(2)3假设∠ A 的内角平分线AD的长为 2，求 b 的值．14．在锐角△ ABC中，假设∠ B=2∠ A，求b的取值范围，a课时 3余弦定理(1)1．在△ ABC中，∠ A、∠ B、∠ C 的对边分别为 a、b、 c ，假设c2 a 2 b 2>0，那么△ABC ( )2 abA．一定是锐角三角形 B ．一定是直角三角形 C ．一定是钝角三角形 D ．是锐角或直角三角形2．在△ ABC中， a： b：c=1： 3 ：2，那么∠A：∠B：∠C的值为( )A． 1: 2:3 B．2:3:1 C．1:3:2 D．3:1:23．〔 2021·福建〕在△ ABC中，∠ A、∠ B、∠C 的对边分别为a、b、c ，假设 a2 +c2-b 2＝ 3 ac，那么∠B的值为( )A． B ． C ．或5D ．或26366334．在△ ABC中，假设a=2bcosC，那么△ ABC的形状为( ) A．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形 D ．等腰或直角三角形5．〔 2021·重庆改编〕在△ABC中，∠ A=60°， c=3b，那么a____．.6．在△ ABC中， sinA ：sinB ：sinC=3 ： 5：7，那么最大角等于____．7．在△ ABC中，∠ A、∠ B、∠ C 所对的边分别为 a、b、c ．假设 a=1，b=7 ，c= 3 ，那么∠B=____．8．在△ ABC中， b= 3 ，c=3，∠B=30°，那么边a等于____．9．在△ ABC中，∠ B=30°， AB=23 ，面积S= 3 ，求AC．10．设锐角三角形 ABC的内角∠ A、∠B、∠C的对边 a、b、c，a=2bsinA ． (1) 求∠ B 的大小． (2) 假设 a=3 3，c=5，求 b。

第一章 1.1 第2课时A 级 基础巩固一、选择题1．在△ABC 中，若AB ＝13，BC ＝3，∠C ＝120°，则AC ＝( A ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4[解析] 设△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，则a ＝3，c ＝13，∠C ＝120°，由余弦定理，得13＝9＋b 2＋3b ，解得b ＝1，即AC ＝1.2．已知△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝1∶1∶3，则此三角形的三个内角的度数分别是( C )A ．45°，45°，90°B ．30°，60°，90°C ．30°，30°，120°D ．30°，45°，105°[解析] ∵在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ， ∴a ∶b ∶c ＝1∶1∶ 3. 设a ＝b ＝k ，c ＝3k (k ＞0)， 则cos C ＝k 2＋k 2－(3k )22×k ×k ＝－12.故C ＝120°，A ＝B ＝30°，应选C ．3．如果等腰三角形的周长是底边边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为( D ) A ．518B ．34C ．32D ．78[解析] 设等腰三角形的底边边长为x ，则两腰长为2x (如图)，由余弦定理得cos A ＝4x 2＋4x 2－x 22·2x ·2x ＝78，故选D ．4．(2018·全国卷Ⅱ理，6)在△ABC 中，cos C 2＝55，BC ＝1，AC ＝5，则AB ＝( A )A ．42B ．30C ．29D ．25[解析] cos C ＝2cos 2C 2－1＝2×⎝⎛⎭⎫552－1＝－35，在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2＝CA 2＋CB 2－2CA ·CB ·cos C ， 所以AB 2＝1＋25－2×1×5×⎝⎛⎭⎫－35＝32， 所以AB ＝4 2.5．在△ABC 中，若a <b <c ，且c 2<a 2＋b 2，则△ABC 为( B ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形D ．不存在[解析] ∵c 2<a 2＋b 2，∴∠C 为锐角．∵a <b <c ，∴∠C 为最大角，∴△ABC 为锐角三角形．6．△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，已知b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sin A )，则A ＝( C )A ．3π4B ．π3C ．π4D ．π6[解析] 由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝2b 2－2b 2cos A ，所以2b 2(1－sin A )＝2b 2(1－cos A )，所以sin A ＝cos A ，即tan A ＝1，又0<A <π，所以A ＝π4.二、填空题7．在△ABC 中，若a ＝3＋1，b ＝3－1，c ＝10，则△ABC 的最大角的度数为__120°__. [解析] 由c >a >b ，知角C 为最大角，则cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，∴C ＝120°，即此三角形的最大角为120°.8．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，b ＝2，c ＝1＋3，且a 2＝b 2＋c 2－2bc sin A ，则边a ＝__2__.[解析] 由已知及余弦定理，得sin A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝cos A ，∴A ＝45°，∴a 2＝b 2＋c 2－2bc cos45°＝4，a ＝2. 三、解答题9．(2019·北京卷理，15)在△ABC 中，a ＝3，b －c ＝2，cos B ＝－12.(1)求b ，c 的值； (2)求sin(B －C )的值．[解析] (1)由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得 b 2＝32＋c 2－2×3×c ×⎝⎛⎭⎫－12. 因为b ＝c ＋2，所以(c ＋2)2＝32＋c 2－2×3×c ×⎝⎛⎭⎫－12，解得c ＝5，所以b ＝7. (2)由cos B ＝－12得sin B ＝32.由正弦定理得sin C ＝c b sin B ＝5314.在△ABC 中，∠B 是钝角，所以∠C 为锐角， 所以cos C ＝1－sin 2C ＝1114.所以sin(B －C )＝sin B cos C －cos B sin C ＝437.10．设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且a ＋c ＝6，b ＝2，cos B ＝79.(1)求a 、c 的值； (2)求sin(A －B )的值．[解析] (1)由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， ∴b 2＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )，又已知a ＋c ＝6，b ＝2，cos B ＝79，∴ac ＝9.由a ＋c ＝6，ac ＝9，解得a ＝3，c ＝3. (2)在△ABC 中，∵cos B ＝79，∴sin B ＝1－cos 2B ＝429.由正弦定理，得sin A ＝a sin B b ＝223，∵a ＝c ，∴A 为锐角， ∴cos A ＝1－sin 2A ＝13.∴sin(A －B )＝sin A cos B －cos A sin B ＝10227.B 级 素养提升一、选择题1．在△ABC 中，已知AB ＝3，AC ＝2，BC ＝10，则AB →·AC →等于( D ) A ．－32B ．－23C ．23D ．32[解析] ∵AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·cos 〈AB →，AC →〉，由向量模的定义和余弦定理可以得出|AB →|＝3，|AC →|＝2，cos 〈AB →，AC →〉＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC＝14. 故AB →·AC →＝3×2×14＝32.2．在△ABC 中，已知AB ＝3，BC ＝13，AC ＝4，则边AC 上的高为( B ) A ．322B ．332C ．32D ．33[解析] 如图，在△ABC 中，BD 为AC 边上的高，且AB ＝3，BC ＝13，AC ＝4.∵cos A ＝32＋42－(13)22×3×4＝12，∴sin A ＝32. 故BD ＝AB ·sin A ＝3×32＝332. 3．△ABC 的三内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，设向量p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，若p ∥q ，则C 的大小为( B )A ．π6B ．π3C ．π2D ．2π3[解析] ∵p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，p ∥q ， ∴(a ＋c )(c －a )－b (b －a )＝0， 即a 2＋b 2－c 2＝ab . 由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12，∵0<C <π，∴C ＝π3.4．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若B ＝2A ，a ＝1，b ＝3，则c ＝( C ) A ．1 B ．2 C ．2D ．23[解析] 由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ，∴1sin A ＝3sin2A ＝32sin A cos A，∴cos A ＝32，∵0＜A ＜π，∴A ＝π6. 由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， ∴1＝3＋c 2－23×32c ＝3＋c 2－3c ，∴c 2－3c ＋2＝0， ∴c ＝1或c ＝2.当c ＝1时，a ＝c ＝1，∴A ＝C ＝π6，∴B ＝2π3，不满足B ＝2A ，∴c ≠1. ∴c ＝2. 二、填空题5．在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .已知△ABC 的面积为315 ，b －c ＝2，cos A ＝－14， 则a 的值为__8__.[解析] 因为0<A <π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝154， 又S △ABC ＝12bc sin A ＝158bc ＝315，∴bc ＝24，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧b －c ＝2bc ＝24，得b ＝6，c ＝4，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A＝62＋42－2×6×4×⎝⎛⎭⎫－14＝64，所以a ＝8. 6．在△ABC 中，已知点D 在BC 边上，AD ⊥AC ，sin ∠BAC ＝223，AB ＝32，AD ＝3，则BD ＝__3__.[解析] ∵AD ⊥AC ，∴∠DAC ＝90°，∴∠BAC ＝∠BAD ＋∠DAC ＝∠BAD ＋90°， ∴sin ∠BAC ＝sin(∠BAD ＋90°)＝cos ∠BAD ＝223.在△ABD 中，由余弦定理，得 BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos ∠BAD ＝18＋9－24＝3， ∴BD ＝ 3. 三、解答题7．在四边形ABCD 中，BC ＝a ，DC ＝2a ，四个内角A ，B ，C ，D 度数的比为3∶7∶4∶10，求AB 的长．[解析] 设四个角A ，B ，C ，D 的度数分别为3x,7x,4x,10x ，则有3x ＋7x ＋4x ＋10x ＝360°，解得x ＝15°.∴A ＝45°，B ＝105°，C ＝60°，D ＝150°. 连接BD ，在△BCD 中，由余弦定理，得 BD 2＝BC 2＋DC 2－2BC ·DC cos C ＝a 2＋4a 2－2a ·2a ·12＝3a 2，∴BD ＝3a .这时DC 2＝BD 2＋BC 2，则△BCD 是以DC 为斜边的直角三角形， ∴∠CDB ＝30°，于是∠ADB ＝120°. 在△ABD 中，由正弦定理，得 AB ＝BD ·sin ∠ADB sin A ＝3a sin120°sin45°＝3a ·3222＝322a .∴AB 的长为322a .8．(2017·全国卷Ⅰ理，17)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .已知△ABC 的面积为a 23sin A.(1)求sin B sin C ；(2)若6cos B cos C ＝1，a ＝3，求△ABC 的周长． [解析] (1)由题设得12ac sin B ＝a 23sin A ，即12c sin B ＝a3sin A. 由正弦定理，得12sin C sin B ＝sin A 3sin A .故sin B sin C ＝23.(2)由题设及(1)得cos B cos C －sin B sin C ＝－12，即cos(B ＋C )＝－12.所以B ＋C ＝2π3，故A ＝π3.由题意得12bc sin A ＝a 23sin A ，a ＝3，所以bc ＝8.由余弦定理，得b 2＋c 2－bc ＝9，即(b ＋c )2－3bc ＝9.由bc ＝8，得b ＋c ＝33. 故△ABC 的周长为3＋33.由Ruize收集整理。

课时作业(三十)(第二次作业)1．下列各式中正确的是( ) A ．当a ，b ∈R 时，a b ＋ba ≥2a b ·b a ＝2B ．当a >1，b >1时，lg a ＋lg b ≥2lg a lg bC ．当a >4时，a ＋9a ≥2a ·9a ＝6D ．当ab <0时，－ab －1ab ≤－2 答案 B2．设0<a <b ，且a ＋b ＝1，在下列四个数中最大的是( ) A.14 B ．b C ．2ab D ．a 2＋b 2答案 B3．给出下列条件：①ab >0；②ab <0；③a >0，b >0；④a <0，b <0.其中可使b a ＋ab ≥2成立的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 答案 C4．若x ，y ∈R ，且x ＋2y ＝5，则3x ＋9y 的最小值( ) A ．10 B ．6 3 C ．4 6 D ．18 3 答案 D解析 3x ＋9y ≥23x ·9y ＝2·3x ＋2y ＝2·35＝18 3.5．设x >0，则y ＝3－3x －1x 的最大值是( ) A ．3 B ．3－2 2 C ．3－2 3 D ．－1答案 C解析 y ＝3－3x －1x ＝3－(3x ＋1x )≤3－23x ·1x ＝3－23，当且仅当3x ＝1x ，即x ＝33时取等号．6．已知a >0，b >0，则1a ＋1b ＋2ab 的最小值是( ) A ．2 B ．2 2 C ．4 D ．5答案 C解析 ∵a >0，b >0，∴1a ＋1b ≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取等号．∴1a ＋1b ＋2ab ≥2ab＋2ab ≥22ab ·2ab ＝4. 当且仅当a ＝b ＝1且2ab ＝2ab 时，取等号．故1a ＋1b ＋2ab 的最小值为4.7．已知m ＝a ＋1a －2(a >2)，n ＝22－b 2(b ≠0)，则m ，n 之间的大小关系是( )A ．m >nB ．m <nC ．m ＝nD ．不确定答案 A解析 ∵a >2，∴a －2>0. 又∵m ＝a ＋1a －2＝(a －2)＋1a －2＋2≥2(a －2)×1a －2＋2＝4(当且仅当a －2＝1a －2，即a ＝3时，“＝”成立)．即m ∈[4，＋∞)，由b ≠0，得b 2≠0，∴2－b 2<2. ∴22－b 2<4，即n <4.∴n ∈(0,4)，综上易知m >n .8．已知正项等差数列{a n }的前20项和为100，则a 5·a 16的最大值为( )A ．100B ．75C ．50D ．25答案 D9．已知p ＞0，q ＞0，p 、q 的等差中项为12，且x ＝p ＋1p ，y ＝q ＋1q ，则x ＋y 的最小值为( )A ．6B ．5C ．4D ．3 答案 B10．不等式a b ＋ba ＞2成立的条件是____________． 答案 a ·b ＞0且a ≠b11．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x ＝________吨．答案 2012．设x ，y ∈R ，且xy ≠0，则(x 2＋1y 2)·(1x 2＋4y 2)的最小值为________．答案 9解析 (x 2＋1y 2)(1x 2＋4y 2)＝1＋4＋4x 2y 2＋1x 2y 2≥1＋4＋24x 2y 2·1x 2y 2＝9，当且仅当4x 2y 2＝1x 2y 2时等号成立，即|xy |＝22时等号成立．13．我市某公司，第一年产值增长率为p ，第二年产值增长率为q ，这两年的平均增长率为x ，那么x 与p ＋q2的大小关系是________．答案 x ≤p ＋q214．已知x <54，求函数f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值．解析 ∵x <54，∴5－4x >0. ∴y ＝4x －2＋14x －5＝－[(5－4x )＋15－4x]＋3≤－2(5－4x )×15－4x＋3＝－2＋3＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，上式等号成立．故当x ＝1时，f (x )max ＝1.15．若x >1，求函数y ＝x 2x －1的最小值．解析 y ＝x 2x －1＝x 2－1＋1x －1＝x ＋1＋1x －1＝x－1＋1x－1＋2≥2＋2＝4，当且仅当1x－1＝x－1，即(x－1)2＝1时，等号成立．∵x>1，∴当x＝2时，y min＝4.16．已知3a2＋2b2＝5，求y＝(2a2＋1)(b2＋2)的最大值．答案147 16解析y＝(2a2＋1)·(b2＋2)＝112·(6a2＋3)·(4b2＋8)≤112·(6a2＋3＋4b2＋82)2＝112·(212)2＝147 16.。

课时作业(十六)1．一直角三角形三边边长成等比数列，则( ) A ．三边边长之比为3∶4∶5 B ．三边边长之比为3∶3∶1 C ．较大锐角的正弦为5－12 D ．较小锐角的正弦为5－12 答案 D解析 不妨设A 最小，C 为直角，依题意⎩⎪⎨⎪⎧b 2＝ac ， ①a 2＋b 2＝c 2， ② 把①代入②得a 2＋ac ＝c 2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＋ac －1＝0.∴a c ＝－1±52，∵a c >0，∴ac ＝5－12＝sin A .2．(2012·安徽)公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 3a 9＝16，则log 2a 10＝( )A ．4B ．5C ．6D ．7答案 C3．已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 3·a 9＝2a 25，a 2＝1，则a 1＝( )A.12B.22C. 2 D ．2答案 B解析 因为a 3·a 9＝2a 25，则由等比数列的性质有：a 3·a 9＝a 26＝2a 25，所以a 26a 25＝2，即(a 6a 5)2＝q 2＝2，因为公比为正数，故q ＝ 2.又因为a 2＝1，所以a 1＝a 2q ＝12＝22.4．如果某人在听到2010年4月10日玉树地震的消息后的1 h 内将这一消息传给另2个人，这2个人又以同样的速度各传给未听到消息的另2个人……，如果每人只传2人，这样继续下去，要把消息传遍一个有2 047人(包括第一个人)的小镇，所需时间为( )A ．8 hB ．9 hC ．10 hD ．11 h答案 C解析 设需要n 个小时，则1＋2＋22＋…＋2n ＝2 047， ∴2n ＋1－1＝2 047，∴n ＋1＝11，n ＝10.5．(2012·新课标全国)已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5·a 6＝－8，则a 1＋a 10＝( )A ．7B ．5C ．－5D ．－7答案 D解析 ∵{a n }为等比数列，∴a 5a 6＝a 4a 7＝－8.联立⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＋a 7＝2，a 4a 7＝－8可解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝4，a 7＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝－2，a 7＝4.当⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝4，a 7＝－2时，q 3＝－12，故a 1＋a 10＝a 4q 3＋a 7q 3＝－7； 当⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝－2，a 7＝4时，q 3＝－2，同理，有a 1＋a 10＝－7.6．已知a，b，c，d成等比数列，且曲线y＝x2－2x＋3的顶点是(b，c)，则ad等于()A．3 B．2C．1 D．－2答案 B解析由题意得b＝1，c＝2，则ad＝bc＝2.答案 D解析答案 C解析9．某种产品平均每三年降低价格的14，目前售价为640元，9年后售价为( )A ．210元B ．240元C ．270元D ．360元答案 C解析 640×(1－14)3＝270元．10．在2和20之间插入两个数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的两个数的和为( )A ．－4或352 B ．4或352 C ．4 D.352答案 B解析 设这4个数为2，a ，b,20，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2b ，2b ＝a ＋20，∴a 2－a －20＝0，解得a ＝5或－4. 当a ＝5时，b ＝252，∴a ＋b ＝352.当a＝－4时，b＝8，∴a＋b＝4.11．(2012·辽宁)已知等比数列{a n}为递增数列，且a25＝a10,2(a n＋a n＋2)＝5a n＋1，则数列{a n}的通项公式a n＝________.答案2n解析设数列{a n}的首项为a1，公比为q，则a21·q8＝a1·q9，a1＝q，由2(a n＋a n＋2)＝5a n＋1，得2q2－5q＋2＝0，解得q＝2或q＝12，因为数列{a n}为递增数列，所以q＝2，a1＝2，a n＝2n.12．已知公差不为零的等差数列的第1,4,13项恰好是某等比数列的第1,3,5项，那么该等比数列的公比为________．答案±3解析13．五个数1，x，y，z,4成等比数列，且x，y，z都是正数，则z＝________.答案2 2解析∵1、x、y、z、4成等比数列，∴1、y、4成等比，y2＝4，又y>0，∴y＝2.∵y 、z 、4成等比，即2，z,4成等比． ∴z 2＝8，又z >0，∴z ＝2 2.答案 5－12解析15．数列{a n }为等比数列，已知a n ＞0，且a n ＝a n ＋1＋a n ＋2，则该数列的公比q 是__________答案 5－12解析答案243解析17．已知(b－c)log m x＋(c－a)log m y＋(a－b)log m z＝0.(1)若a，b，c依次成等差数列，且公差d不为0，求证：x，y，z 成等比数列；(2)若正数x，y，z依次成等比数列，公比q不为1，求证：a，b，c成等差数列．证明证三数成等差或等比数列，用等比、等差中项较好．(1)∵a，b，c成等差数列，d≠0，∴b－c＝a－b＝－d，c－a＝2d，d≠0.代入已知条件得－d(log m x－2log m y＋log m z)＝0.∵d ≠0，∴log m x ＋log m z ＝2log m y . 可知y 2＝xz ，由于x ，y ，z 均大于0， ∴x ，y ，z 成等比数列．(2)∵x ，y ，z 成等比数列，q ≠1，且x ，y ，z 均大于0， ∴y x ＝zy ＝q (q ≠1)． 两边取对数，得log m y －log m x ＝log m z －log m y ＝log m q ≠0， ∴log m x ＝log m y －log m q ，log m z ＝log m y ＋log m q . 代入已知条件中，可得(b －c )(log m y －log m q )＋(c －a )log m y ＋(a －b )(log m y ＋log m q )＝0. 即(a －2b ＋c )log m q ＝0.∴a ＋c ＝2b .即a ，b ，c 成等差数列． 18．已知各项都为正数的等比数列{a n }中，a 1a 5＋2a 2a 6＋a 3a 7＝100，a 2a 4－2a 3a 5＋a 4a 6＝36，求此数列的通项公式．解析 ∵a 1a 5＝a 2a 4＝a 23，a 2a 6＝a 3a 5，a 3a 7＝a 4a 6＝a 25，∴由⎩⎪⎨⎪⎧a 1a 5＋2a 2a 6＋a 3a 7＝100，a 2a 4－2a 3a 5＋a 4a 6＝36.得⎩⎪⎨⎪⎧ a 23＋2a 3a 5＋a 25＝100，a 23－2a 3a 5＋a 25＝36.即⎩⎪⎨⎪⎧(a 3＋a 5)2＝100，(a 3－a 5)2＝36.∵数列{a n }的各项均为正数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 3＋a 5＝10，a 3－a 5＝±6，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 3＝8，a 5＝2.或⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝2，a 5＝8.∴公比q ＝a 5a 3＝12或2.∴a n ＝a 3·qn －3＝8×(12)n －3＝26－n 或a n ＝2×2n －3＝2n －2.即a n ＝26－n 或a n ＝2n －2.1．某工厂生产总值月平均增长率为P ，则年平均增长率为( ) A ．P 12 B ．12P C ．(1＋P )12 D ．(1＋P )12－1答案 D解析 a (1＋P )12－a a＝(1＋P )12－1.答案 A解析 前99组共有1＋2＋3＋…＋99＝99·(1＋99)2＝4 950个数亦即第99组中最后一个数为a 4 950＝34 949，∴第100组中第1个数为34 950.。

§1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理(一)基础过关1.在△ABC中，BC＝a＝5，AC＝b＝3，则sin A∶sin B的值是()A.53 B.35C.37 D.57解析sin Asin B＝ab＝53.答案 A2.在△ABC中，A＞B，则下列不等式中不一定正确的是()A.sin A＞sin BB.cos A＜cos BC.sin 2A＞sin 2BD.cos 2A＜cos 2B解析A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B，A正确.由于(0，π)上，y＝cos x单调递减，∴cos A＜cos B，B正确.∵sin A＞sin B＞0，∴sin2A＞sin2B，1－2sin2A<1－2sin2B，∴cos 2A＜cos 2B，D正确.答案 C3.在△ABC 中，若a ＝2，b ＝23，A ＝30°，则B 为( ) A.60° B.60°或120° C.30°D.30°或150°解析 由正弦定理可知a sin A ＝bsin B ，∴sin B ＝b sin A a ＝23×122＝32， ∵B ∈(0°，180°)， ∴B ＝60°或120°，故选B. 答案 B4.在△ABC 中，A ＝2π3，a ＝3c ，则bc ＝________. 解析 在△ABC 中，A ＝2π3，a ＝3c ， 由正弦定理可得：a sin A ＝csin C ，3c sin 2π3＝c sin C ，sin C ＝12，由于c <a ，且C ∈(0，π).故C ＝π6， 则B ＝π－2π3－π6＝π6.三角形是等腰三角形，B ＝C ，则b ＝c ， 则b c ＝1. 答案 15．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2b cos B ＝a cos C ＋c cos A ，则B ＝________．解析 由正弦定理可得2sin B cos B ＝sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B ⇒cos B ＝12⇒B ＝π3. 答案 π36.在△ABC 中，AB ＝c ，BC ＝a ，AC ＝b ，已知A ＝45°，B ＝30°，c ＝10，解三角形.解 因为A ＋B ＋C ＝180°，所以C ＝105°.所以sin C ＝sin 105°＝sin(60°＋45°)＝sin 60°cos 45°＋cos 60°sin 45°＝6＋24. 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ，得a ＝sin A sin C ·c ＝10(3－1)， b ＝c sin B sin C ＝10sin 30°sin 105°＝5(6－2).所以C ＝105°，a ＝10(3－1)，b ＝5(6－2). 7.在△ABC 中，a ＝1，b ＝3，A ＝30°，求边c 的长. 解 由a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝b sin A a ＝32. ∵a ＜b ，∴B ＞A ＝30°， ∴B 为60°或120°.当B ＝60°时，C ＝180°－60°－30°＝90°. 此时，c ＝a 2＋b 2＝1＋3＝2.当B ＝120°时，C ＝180°－120°－30°＝30°. 此时，c ＝a ＝1. 综上知c ＝1或2.能力提升8.在△ABC 中，已知B ＝60°，最大边与最小边的比为3＋12，则三角形的最大角为( ) A.60° B.75° C.90°D.115°解析 不妨设a 为最大边，c 为最小边，由题意有a c ＝sin A sin C ＝3＋12，即sin Asin （120°－A ）＝3＋12.整理得(3－3)sin A ＝(3＋3)cos A . ∴tan A ＝2＋3，又∵A ∈(0°，120°)，∴A ＝75°，故选B. 答案 B9.在△ABC 中，a ＝4，b ＝52，5cos(B ＋C )＋3＝0，则角B 的大小为( ) A.π6 B.π4 C.π3D.56π解析 由5cos(B ＋C )＋3＝0得cos A ＝35， ∴A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin A ＝45， 由正弦定理得445＝52sin B ，∴sin B ＝12.又∵a ＞b ，∴A ＞B ，且A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴B 必为锐角，∴B ＝π6. 答案 A10.在单位圆上有三点A ，B ，C ，设△ABC 三边长分别为a ，b ，c ，则a sin A ＋b2sin B ＋2csin C＝________. 解析 ∵△ABC 的外接圆直径为2R ＝2， ∴a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ＝2，∴a sin A ＋b 2sin B ＋2csin C ＝2＋1＋4＝7. 答案 711.锐角三角形的内角分别是A ，B ，C ，并且A ＞B .则sin A ＋sin B 和cos A ＋cos B 的大小关系为________.解析 在锐角三角形中，∵A ＋B ＞π2，∴A ＞π2－B ，函数y ＝sin x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数，则有sin A ＞sin (π2－B )，即sin A ＞cos B ， 同理sin B ＞cos A ，故sin A ＋sin B ＞cos A ＋cos B.答案 sin A ＋sin B ＞cos A ＋cos B12.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，B ＝π3，cos A ＝45，b ＝ 3. (1)求sin C 的值； (2)求a 的值.解 (1)∵B ＝π3，cos A ＝45， ∴C ＝2π3－A ，sin A ＝35，∴sin C ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－A ＝32cos A ＋12sin A ＝3＋4310.(2)由(1)，知sin A ＝35， 又B ＝π3，b ＝3，∴由正弦定理，得a ＝b sin Asin B ＝3×35sin π3＝65. 创新突破13.在△ABC 中，a ＝3，b ＝26，B ＝2A . (1)求cos A 的值； (2)求c 的值.解 (1)因为a ＝3，b ＝26，B ＝2A .所以在△ABC 中，由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，即3sin A ＝26sin 2A . 所以2sin A cos A sin A ＝263.故cos A＝63.(2)由(1)知cos A＝6 3，所以sin A＝1－cos2A＝33.又因为B＝2A，所以cos B＝2cos2A－1＝13.所以sin B＝1－cos2B＝223.在△ABC中，sin C＝sin(A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B＝539.所以c＝a sin Csin A＝5.1.1.2.2 正、余弦定理解三角形一课一练一. 选择题1．在∆ABC 中，acosA =bcosB =ccosC ，则∆ABC 一定是（ ）A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形2. 在∆ABC 中，若sin 2A +sin 2B <sin 2C ，则∆ABC 的形状是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．不能确定3. 在∆ABC 中，a =80，b =100，A =30°，则角B 的解的个数是（ ） A ．0 个 B ．1 个 C ．2 个 D ．不能确定4. 在∆ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若acosA =bsinB ，则 sinAcosA + cos 2B =（ ）A ．−12B ．12C ．−1D ．15. 在∆ABC 中，AB =3，AC =2，BC =√10 ，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =（ ） A ．−32B ．−23C ．23D ．326. 已知∆ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a =c =√6+√2，且 A =75°，则b =（ ）A ．2B ．4+2√3C ．4−2√3D ．√6−√2 二. 填空题7. 在∆ABC 中，b =50√3，c =150，B =30°，则边长a =_____________.8. 若x 、x +1、x +2是钝角三角形的三边长，则实数x 的取值范围是_____________.9. 设∆ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cosA =35，cosB =513，b =3，则c = _____________.三. 解答题10. 在△ABC 中，已知 b =3，c =3√3，B =30°，解此三角形.11．在∆ABC 中，已知︒=120A ，7=a ，8=+c b ，求b ，c .12．在∆ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c . （1）若sin (A +π6)=2cosA ，求 A 的值； （2）若cosA =13，b =3c ，求sinC 的值；一课一练参考答案一. 选择题 1．【答案】D【解析】由a cosA =b cosB =c cosC 和正弦定理a sinA =b sinB =csinC 得 tanA =tanB =tanC 故选D. 2.【答案】C 3.【答案】C【解析】∵ bsinA =100×sin30°=50 ∴ bsinA < a <b ∴ 该三角形有两组解，故选C.4.【答案】D【解析】由acosA =bsinB 及正弦定理得sinAcosA =sin 2B ，所以sinAcosA +cos 2B = sin 2B +cos 2B =1，故选D. 5.【答案】D【解析】 由余弦定理得cosA =AC 2+AB 2−BC 22AC∙AC=22+32−√1022×2×3=14，所以AB⃗⃗⃗⃗⃗ ∙AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosA =3×2×14=32，故选D. 6.【答案】A【解析】 由题意，A =C =75°，所以B =30°，由正弦定理得b =asinA ∙sinB =√6+√2√6+√24×12=2，故选A.二. 填空题7.【答案】a =100√3 或 a =50√3【解析】由余弦定理b 2=a 2+c 2−2accosB 得(50√3)2=a 2+1502−2a ×150×cos30°，即a 2−150√3a +15000=0，解得a =100√3 或 a =50√3.8.【答案】1<x <3【解析】由题意知 x +2 所对的角为钝角，所以 x 2+(x +1)2−(x +2)2<0，解得−1<x <3，又由x +(x +1)>x +2 解得x >1，所以x 的取值范围是1<x <3 9.【答案】145【解析】 由题设知sinA =45，sinB =1213，所以sinC =sin (A +B )=sinAcosB +cosAsinB =5665，再由正弦定理得c =b sinB ∙sinC =145.三. 解答题10.【解析】方法1）由余弦定理b 2=a 2+c 2−2accosB 得32=a 2+(3√3)2−2a ×3√3×cos30°，整理得 a 2−9a +18=0，解得a =3 或 a =6.当a=3时，A=B=30°∴C=120°；当a=6 时，由正弦定理得sinA=asinBb =6×123=1∴A=90°，C=60°方法2）由正弦定理得sinC=csinBb =3√3×123=√32∵0°<C<180°且由c>b得C>B∴C=60° 或 C=120°当C=60°时，A=90°∴a=√b2+c2=6当C=120° 时，A=B=30°，a=b=311．【解析】由(b+c)2=b2+c2+2bc=64得 b2+c2=64−2bc 由a2=b2+c2−2bccosA得49=64−2bc+bc，即 bc=15又b+c=8∴b=3，c=5或b=5，c=312．【解析】（1）由题设知sinAcosπ6+cosAsinπ6=2cosA，即sinA=√3cosA∴cosA≠0，tanA=√3又0<A<π A=π3（2）由cosA=13，b=3c 和余弦定理a2=b2+c2−2bccosA得a2=b2−c2∴∆ABC是直角三角形，且B=π2∴sinC=cosA=131.2.1 解三角形应用举例（一）测量距离的问题一课一练一．选择题1. 如图，为了测量障碍物两侧A ，B 间的的距离，给定下列四组数据，测量时能用到的数 据是（ ）A ．α，a ，bB ．α，β，aC ．a ，b ，γD ．α，β，b2． 两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东20°， 灯塔B 在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A 与灯塔B 的距离为( ) A ．a km B.3a km C.2a km D ．2a km3. 我军在海上有A 、B 两个小岛相距10海里，敌军在C 岛，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，为提高炮弹命中率，须知道B 岛和C 岛间的距离，你作为我方士兵，计算B 、C 间的距离是（ ） A ．10√3 海里 B ．10√63海里 C ． 5√2 海里 D ． 5√6 海里4．一船向正北航行，看见正西方向有相距10n mlie 的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向上，另一灯塔在船的南偏西75°方向 上，则这艘船的速度是每小时( )A ．5n mlieB ．53n mlieC ．10n mlieD ．103n mlie 5．如图所示为起重机装置示意图．支杆BC ＝10 m ，吊杆AC ＝15 m ，吊索AB ＝519 m ， 起吊的货物与岸的距离AD 为( )A ．30 m B.1523 m C ．153m D ．45m6． 飞机沿水平方向飞行，在A 处测得正前下方地面目标C 的俯角为30°，向前飞行10 000m到达B 处，此时测得正前下方目标C 的俯角为75°，这时飞机与地面目标的水平距离为 ( )A ．2 500(3－1)mB ．5 0002mC ．4 000mD ．4 0002m 二．填空题7．为了测量河的宽度，在一侧岸边选定两点A 、B ，对岸有一标记物C ，测得∠CAB =30°， ∠CBA =75°，AB =120m ，则河的宽度是_____________.8. 两灯塔A 、B 与海洋观察站C 的距离都等于10km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东30°，灯 塔B 在观察站C 南偏东60°，则A 、B 之间的距离为_____________.9．某海岛周围38n mile 有暗礁，一轮船由西向东航行，初测此岛在北偏东60°方向，航行30n mile后测得此岛在东北方向，若不改变航向，则此船________触礁危险（填“有”或“无”）．三．解答题10．如图，一艘船以40 n mile/h的速度向正北航行.在A处看灯塔S在船的北偏东15°的方向，30 min后航行到B处，在B处看灯塔在船的北偏东60°的方向，已知距离此灯塔6 n mile以外的海区为航行安全区域，这艘船可以继续一直沿正北方向航行吗？11．如图，我炮兵阵地位于地面A处，两观察所分别位于地面点C和D处，已知CD＝6 000 m．∠ACD＝45°，∠ADC＝75°，目标出现于地面B处时测得∠BCD＝30°，∠BDC＝15°.求炮兵阵地到目标的距离．(结果保留根号)12．海上某货轮在A处看灯塔B，在货轮北偏东75°，距离为126n mile；在A处看灯塔C，在货轮的北偏西30°，距离为83n mile；货轮向正北由A处航行到D处时看灯塔B的方位角为120°.求：(1) A处与D处的距离；(2) 灯塔C与D处之间的距离．一课一练参考答案一．选择题1.【答案】C2．【答案】B【解析】∠ACB＝120°，AC＝BC＝a，由余弦定理可得AB＝3a(km)．3.【答案】D4．【答案】C【解析】如图，依题意有∠BAC ＝60°，∠BAD ＝75°，∴∠CAD ＝∠CDA ＝15°，从而CD ＝CA ＝10， 在Rt △ABC 中，求得AB ＝5 ∴这艘船的速度是50.5＝10(n mlie/h)． 5．【答案】D【解析】在△ABC 中，AC ＝15 m ，AB ＝519 m ，BC ＝10 m ，由余弦定理得cos ∠ACB ＝AC 2＋BC 2－AB 22×AC×BC ＝152＋102－51922×15×10＝－12∴sin ∠ACB ＝32.又∠ACB ＋∠ACD ＝180°， ∴sin ∠ACD ＝sin ∠ACB ＝32.在Rt △ACD 中，AD ＝AC sin ∠ACD ＝15×32＝1532(m)．故选D 6．【答案】A【解析】示意图如图，∠BAC ＝30°，∠DBC ＝75°，∴∠ACB ＝45°，AB ＝10 000.由正弦定理，得10 000sin45°＝BC sin30°，又cos75°＝BDBC，∴BD ＝10 000·sin30°sin45°·cos75°＝2 500(3－1)(m)．二．填空题 7．【答案】60m8.【答案】10√2 km9．【答案】无触礁的危险【解析】如图所示，由题意在△ABC 中，AB ＝30，∠BAC ＝30°，∠ABC ＝135°，∴∠ACB ＝15°，由正弦定理，得BC ＝ABsin ∠BAC sin ∠ACB ＝30sin30°sin15°＝156－24＝15(6＋2)．在Rt △BDC 中，CD ＝22BC ＝15(3＋1)>38.∴ 此船无触礁的危险． 三．解答题10．【解析】在∆ASB 中，∠BAS =15°，∠ASB =60°−15°=45°，AB =20 (n mile)由正弦定理得 SB =ABsin ∠BAS sin ∠ASB=20sin15°sin45°=10(√3−1)(n mile)设点 S 到直线AB 的距离为d ,则d =SB ∙sin60°=15−5√3≈6.34(n mile)∵ d >6 n mile ∴ 这艘船可以继续一直沿正北方向航行.11．【解析】在△ACD 中，∠CAD ＝60°，AD ＝CD·sin45°sin60°＝63CD .在△BCD 中，∠CBD ＝135°，BD ＝CD·sin30°sin135°＝22CD ，∠ADB ＝90°.在Rt △ABD 中，AB ＝AD 2＋BD 2＝426CD ＝1 00042(m)．∴ 炮兵阵地到目标的距离为1 00042 m.12．【解析】由题意，画出示意图，如图所示．(1)在△ABD 中，由已知∠ADB ＝60°，则B ＝45°.由正弦定理，得AD ＝ABsin45°sin60°＝24(n mile)(2) 在△ADC 中，由余弦定理，得CD 2＝AD 2＋AC 2－2AD ×AC cos30°＝242＋(83)2－2×24×83×32＝(83)2，∴CD ＝83(n mile)∴ A 处与D 处之间距离为24n mile ，灯塔C 与D 处之间的距离为83n mile.1.2.2 解三角形应用举例之（Ⅱ）测量高度、角度的问题一课一练一.选择题1．某次测量中，A 在B 的北偏东55°，则B 在A 的( )A ．北偏西35°B ．北偏东55°C ．南偏西35°D ．南偏西55° 2．某工程中要将一长为100 m 倾斜角为75°的斜坡，改造成倾斜角为30°的斜坡，并保持坡 高不变，则坡底需加长( )3. 若某人在点A 测得金字塔顶端仰角为30°，此人往金字塔方向走了80米到达点B ，测得 金字塔顶端的仰角为45°，则金字塔的高度最接近于(忽略人的身高) ( ) A ．110米 B ．112米 C ．220米 D ．224米4．在地面上点D 处，测量某建筑物的高度，测得此建筑物顶端A 与底部B 的仰角分别为 60°和30°，已知建筑物底部高出地面D 点20m ，则建筑物高度为( ) A ．20m B ．30m C ．40m D ．60m5．从某电视塔的正东方向的A 处，测得塔顶仰角是60°；从电视塔的西偏南30°的B 处，测 得塔顶仰角为45°，A 、B 间距离是35 m ，则此电视塔的高度是( )A ．521mB ．10m C.4 90013m D ．35m6．一轮船从A 点沿北偏东70°的方向行驶10海里至海岛B ，又从B 沿北偏东10°的方向行 驶10海里至海岛C ，若此轮船从A 点直接沿直线行驶至海岛C ，则此船沿( )方向行 驶( )海里至海岛C ( ) A ．北偏东60°；10 2 B ．北偏东40°，10 3 C ．北偏东30°，10 3 D ．北偏东20°，10 2 二.填空题7．在塔底的水平面上某点测得塔顶的仰角为θ，由此点向塔沿直线行走30米，测得塔顶的 仰角为2θ，再向塔前进10√3米，又测得塔顶的仰角为4θ，则塔高是__________米．8．学校里有一棵树，甲同学在A 地测得树尖的仰角为45°，乙同学在B 地测得树尖的仰角 为30°，量得AB ＝AC ＝10m 树根部为C (A 、B 、C 在同一水平面上)，则∠ACB ＝________.9．甲船在A 处观察乙船，乙船在它的北偏东60°的方向，两船相距a 海里，乙船向正北行 驶．若甲船速度是乙船的3倍，则甲船应取方向______才能追上乙船，追上时甲船行驶 了_________海里．三.解答题10．如下图所示，两点C 、D 与烟囱底部在同一水平直线上，在点C 1、D 1，利用高为1.5 m的测角仪器，测得烟囱的仰角分别是α＝45°和β＝60°，C、D间的距离是12 m，计算烟囱的高AB.(精确到0.01 m)11. 如下图所示，在地面上共线的三点A，B，C处测得一建筑物的仰角分别为30°，45°，60°，且AB＝BC＝60 m，求建筑物的高度.12. 如下图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12n mile，渔船乙以10n mile/h的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2h追上．(1)求渔船甲的速度；(2)求sinα的值．一课一练一.选择题1．【答案】D【解析】根据题意和方向角的概念画出草图，如下图所示．α＝55°，则β＝α＝55°.所以B 在A的南偏西55°.故应选D.2．【答案】A【解析】如下图，由条件知，AD＝100sin75°＝100sin(45°＋30°)＝100(sin45°cos30°＋cos45°sin30°)＝25(6＋2)，CD＝100cos75°＝25(6－2)，BD＝ADtan30°＝256＋233＝25(32＋6)．∴BC＝BD－CD＝25(32＋6)－25(6－2)＝1002(m)．3.【答案】A【解析】设金字塔高CD＝h米．如下图，在Rt△BCD中，∠DBC＝45°，所以BC＝2CD＝2h米．在△ABC中，由正弦定理得ABsin∠ACB＝BCsin∠BAC，∴80sin15°＝2hsin30°∴2h ＝80×126－24＝1606＋24＝40(6＋2)，∴h ＝40(3＋1)米≈40×(1.73＋1)米＝109.2(米)． 故选A. 4．【答案】C【解析】设O 为塔顶在地面的射影， 在Rt △BOD 中，∠ODB ＝30°，OB ＝20，BD ＝40，OD ＝203， 在Rt △AOD 中，OA ＝OD ·tan60°＝60，∴AB ＝OA －OB ＝40. 5．【答案】A【解析】作出如下示意图，设塔高OC 为h m ，在Rt △AOC 中，OA ＝h cot60°＝33h ，OB ＝h . AB ＝35，∠AOB ＝150°，由余弦定理得352＝(33h )2＋h 2－2×33h ·h cos150°， 解得h ＝521.6．【答案】B【解析】由已知得在△ABC 中∠ABC ＝180°－70°＋10°＝120°，AB ＝BC ＝10， 故∠BAC ＝30°，所以从A 到C 的航向为北偏东70°－30°＝40°， 由余弦定理得，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos ∠ABC＝102＋102－2×10×10×⎝⎛⎭⎫－12＝300，所以AC ＝10 3. 二.填空题 7．【答案】15【解析】作出示意图如下图所示，由题意知∠ABC ＝θ，∠ACD ＝2θ，∠ADE ＝4θ， AC ＝BC ＝30米，AD ＝CD ＝103米．在△ACD 中，cos2θ＝12AC CD ＝15103＝32，所以sin2θ＝12.在Rt △ACE 中，AE ＝AC sin2θ＝30×12＝15(米)．8．【答案】30°【解析】如下图，AC ＝10，∠DAC ＝45°，∴DC ＝10，∵∠DBC ＝30°，∴BC ＝103， cos ∠ACB ＝102＋1032－1022×10×103＝32，∴∠ACB ＝30°. 9．【答案】北偏东30° 3a【解析】如下图所示，设在C 点甲船追上乙船，乙到C 地用的时间为t ，乙船的速度为v ，则BC ＝tv ，AC ＝3tv ，∠B ＝120°，由正弦定理知BC sin ∠CAB ＝ACsin B，所以1sin ∠CAB ＝3sin120°，即sin ∠CAB ＝12，所以∠CAB ＝30°，∠ACB ＝30°，所以BC ＝AB ＝a ，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos120°＝a 2＋a 2－2a 2·⎝⎛⎭⎫－12＝3a 2，所以AC ＝3a .三.解答题 10．【解析】在△BC 1D 1中，∠BD 1C 1＝120°，∠C 1BD 1＝15°.由正弦定理C 1D 1sin ∠C 1BD 1＝BC 1sin ∠BD 1C 1，∴BC 1＝12sin120°sin15°＝182＋66，∴A 1B ＝22BC 1＝18＋63，则AB ＝A 1B ＋AA 1≈29.89(m)．11.【解析】设建筑物的高度为h ，由题图知，P A ＝2h ，PB ＝2h ，PC ＝233h ，∴在△PBA 中，由余弦定理，得cos ∠PBA ＝602＋2h 2－4h 22×60×2h，①在△PBC 中，由余弦定理，得cos ∠PBC ＝602＋2h 2－43h 22×60×2h.②∵∠PBA ＋∠PBC ＝180°， ∴cos ∠PBA ＋cos ∠PBC ＝0.③由①②③，解得h ＝306或h ＝－306(舍去)， 即建筑物的高度为306m.12.【解析】(1) 在△ABC 中，∠BAC ＝180°－60°＝120°，AB ＝12，AC ＝10×2＝20，∠BAC ＝α. 由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ×AC ×cos ∠BAC ＝122＋202－2×12×20×cos120°＝784.解得BC ＝28.所以渔船甲的速度为BC2＝14n mile/h.(2) 在△ABC 中，因为AB ＝12，∠BAC ＝120°，BC ＝28，∠BCA ＝α，由正弦定理，得AB sin α＝BC sin120°，即sin α＝AB sin120°BC ＝12×3228＝3314.1.2.3 解三角形应用举例之（四）三角形中的计算问题一课一练一．选择题1．在∆ABC 中，若sin A a ＝cos Bb，则角B 等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°2．在∆ABC 中，a =2bcosC ，则该三角形一定是（ ）A ．等腰∆B ．直角∆C ．等腰直角∆D ．等腰或Rt ∆ 3．在∆ABC 中，AB =3，BC =√13，AC =4，则边AC 上的高为（ ）A ．3√22B ．3√32C ．32D ．3√34．已知锐角∆ABC 的面积为33，BC ＝4，CA ＝3，则角C 的大小为( )A ．75°B ．60°C ．45°D ．30°5．在∆ABC 中，BC ＝2，B ＝π3，当∆ABC 的面积等于32时，sin C 等于( )A.32B.12C.33D.346．在钝角三角形ABC 中，若sin A <sin B <sin C ，则( )A ．cos A ·cos C > 0B ．cos B ·cosC > 0 C ．cos A ·cos B > 0D ．cos A ·cos B ·cos C > 0 二．填空题7．在∆ABC 中，三边分别为a ，b ，c ，且S ∆ABC =a 2+b 2−c 24，那么C = _________.8．半径为1的圆内接∆ABC 的面积为14，则abc = ______________.9．已知在∆ABC 中，B =30°，b =6，c =6√3，则∆ABC 的面积为_______________. 三．解答题10．在∆ABC 中，已知 AB⃗⃗⃗⃗⃗ ∙AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙BC ⃗⃗⃗⃗⃗ . (1) 求证：tanB =3tanA ；(2) 若cosC =√55，求A 值的.11. 已知非等边∆ABC 的外接圆半径长为2，最大边长BC =2√3. （1）求角 A 的大小；（2）求sinB +sinC 的取值范围.12．在∆ABC 中，sin(C －A )＝1，sin B ＝13.(1)求sin A 的值；(2)设AC ＝6，求∆ABC 的面积．一课一练一．选择题 1．【答案】B【解析】由正弦定理知sin A a ＝sin B b ，∵ sin A b ＝cos B b， ∴sin B ＝cos B ，又0°<B <180°，∴B ＝45°.2．【答案】A【解析】由 a =2bcosC 及正弦定理得 sinA =2sinBcosC又 A =π−(B +C) ∴ sinA =sin (B +C )=sinBcosC +cosBsinC∴ 再由sinA =2sinBcosC 得 sin (B −C )=0又 −π<B −C <π ∴ B −C =0，即B =C∴ 该三角形是等腰三角形，故选A. 3．【答案】B【解析】由余弦定理cosA =AB 2+AC 2−BC 22AB∙AC =12，∴ sinA =√32 ∴h =AB ∙sinA =3√32 4．【答案】B【解析】∵ 33＝12×4×3sin C ∴ sin C ＝32，∵ ∆ABC 为锐角三角形 ∴ C ＝60°，故选B.5．【答案】B【解析】由正弦定理得S △ABC ＝12·AB ·BC ·sin B ＝32AB ＝32，∴AB ＝1，∴AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝1＋4－4×12＝3，∴AC ＝3，再由正弦定理，得1sin C ＝3sin π3，∴sin C ＝12.6．【答案】C【解析】由正弦定理得，a <b <c ∴ 角C 是最大角∴ 角C 为钝角 ∴ cos C <0，cos A >0，cos B >0.二．填空题 7．【答案】45°【解析】由三角形面积公式得12absinC =a 2+b 2−c 24∴ sinC =a 2+b 2−c 22ab=cosC又 0<C <π ∴ C =π48．【答案】1【解析】由三角形面积公式得12absinC =14，即absinC =12，两边同乘以c 得abcsinC =c 2∴ abc =c 2sinC=R =19．【解析】9√3或18√3【解析】由余弦定理得b 2=a 2+c 2−2ac ∙cosB 得a 2−18a +72=0 解得a =6或a =12当a =6时，S ∆ABC =12acsinB =9√3；当a =12时，S ∆ABC =12acsinB =18√3.三．解答题 10．【解析】(1) 设内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c则由 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙BC⃗⃗⃗⃗⃗ 得 cb ∙cosA =3ca ∙cosB ，即b ∙cosA =3a ∙cosB ， 由正弦定理得sinBcosA =3sinAcosB ，两边同除以cosAcosB 得 tanB =3tanA .(2) ∵ ∆ABC 中，A +C =π−B∴ tan (A +C)=−tanB ，即 tanA+tanC1−tanA∙tanB =−3tanA 又 cosC =√55，0<C <π ∴ tanC =2∴ tanA+21−2tanA =−3tanA ，整理得 3tan 2A −2tanA −1=0， 解得tanA =1或tanA =−13又由(1)知tanA >0 ∴ tanA =1 ∴ A =π4 .11. 【解析】（1）由正弦定理BCsinA =4，即sinA =BC4=√32∵ BC 为最大边长，∆ABC 为非等边三角形 ∴ 60°<A <180° ∴ A =120°（2）sinB +sinC =sinB +sin (60°−C )=12sinB +√32cos =sin (B +60°) ∵ 0°<B <60° ∴ 60°<B +60°<120° ∴√32<sinB +sinC ≤1∴ sinB +sinC 的取值范围是(√32,1].12．【解析】(1) 由sin(C －A )＝1，－π<C －A <π，知C ＝A ＋π2.又 A ＋B ＋C ＝π ∴ 2A ＋B ＝π2，即2A ＝π2－B,0<A <π4.∴ cos2A ＝sin B ，即1－2sin 2A ＝13，sin A ＝33.(2) 由(1)得cos A ＝63.又 由正弦定理，得BC ＝AC sin Asin B＝3 2.∴ S △ABC ＝12·AC ·BC ·sin C ＝12AC ·BC ·cos A ＝3 2.2.1.1 数列的概念 一课一练一. 选择题1. 已知数列 31=-+n n a a ，则数列}{n a 是（ ）A.递增数列B.递减数列C.摆动数列D.常数列2．已知a n ＝n (n ＋1)，以下四个数中，哪个是数列{a n }中的一项( )A ．18B ．21C ．25D ．303．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n －1n ＋1，那么这个数列是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．摆动数列 4．数列1，－3，5，－7，…，a n ，… 中的第n 项可以为( )A ．2n －1B ．(－1)n (1－2n )C ．(－1)n (2n －1)D ．(－1)n (2n ＋1)5．若数列的前4项分别为2,0,2,0，则这个数列的第n 项不可能是( )A ．1＋(－1)n ＋1 B ．1－cos n πC ．2sin 2n π2D ．1＋(－1)n －1＋(n －1)(n －2)6. 已知数列2，5，22，11，…，则25可能是这个数列的( )A ．第6项B ．第7项C ．第10项D ．第11项 二. 填空题7. 在横线上填上适当的数：8. 根据下列5个图形及相应点的个数n 的变化规律，试猜测个第6个图中有_______个点.9. 观察下面数列的特点，用适当的数填空：（1）－12×1，12×2，( )，12×4，－12×5；（2）12，－12，38，( )，532，( )；（3）3，8，15，（ ），35，48. 三. 解答题10．已知数列{a n }中，a n ＝nn ＋1，判断数列{a n }的增减性．一课一练一. 选择题 1.【答案】A 2．【答案】D【解析】依次令n (n ＋1)＝18,21,25和30检验．有正整数解的便是，知选D. 3．【答案】A 4．【答案】B【解析】当n ＝1时，a 1＝1排除C 、D ；当n ＝2时，a 2＝－3排除A ，故选B. 5．【答案】D 6.【答案】B【解析】该数列可改写为：2，5，8，11，可见每一项都含有根号．且被开方数后一项比前一项多3，又25＝20 ∴ 应是11后的第3项，即第7项，选B. 二. 填空题 7.【答案】24【解析】该数列可改写为：1×3，2×4，3×5，__________，5×7，6×8. 因而，该数列的一个通项公式为n(n +2)，因而第4项为4×6=24. 8.【答案】n 2−n +1【解析】第n 个图形有n 个分支，去掉最中间的一个点，每支有n -1个点，因而，第n 个图中点的个数为:n (n −1)+1=n 2−n +1.9.【答案】（1）−12×3 ；（2）−14 （3）24三. 解答题10．【解析】∵ a n ＝nn ＋1，a n ＋1＝n ＋1n ＋2∴ a n ＋1－a n ＝n ＋1n ＋2－n n ＋1＝(n+1)2−n(n+2)(n+2)(n+1)=1(n+2)(n+1).又n ∈N * ∴ n ＋2>0，n ＋1>0 ∴ 1(n+2)(n+1)>0 ∴ a n ＋1>a n . ∴ 数列{a n }是递增数列．2.1.2 数列的简单表示法一课一练一.选择题1．下面四个结论：① 数列可以看作是一个定义在正整数集(或它的有限子集{1,2,3…，n })上的函数． ② 数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点． ③ 数列的项数是无限的．④ 数列通项的表示式是唯一的． 其中正确的是( )A ．①②B ．①②③C ．②③D ．①②③④2．若数列的前4项分别为2,0,2,0，则这个数列的通项公式不能是( )A ．a n ＝1＋(－1)n ＋1 B ．a n ＝1－cos n πC ．a n ＝2sin 2n π2D ．a n ＝1＋(－1)n －1＋(n －1)(n －2)3．函数f (x )满足f (1)＝1，f (n ＋1)＝f (n )＋3 (n ∈N *)，则f (n )是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．不能确定4．数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n －1(n ∈N *)，则a 1000＝( )A ．1B ．1999C ．1000D ．－15．已知数列{a n }对任意的p 、q ∈N *满足a p ＋q ＝a p ＋a q ，且a 2＝－6，那么a 10等于( )A ．－165B ．－33C ．－30D ．－216．对任意的a 1∈(0,1)，由关系式a n ＋1＝f (a n )得到的数列满足a n ＋1>a n (n ∈N *)，则函数y ＝f (x ) 的图象是( )A ．图象AB ．图象BC ．图象CD ．图象D 二. 填空题7．数列8，88，888，8888，…，88 ⋯8⏞ 第n 项,共n 个8，…的通项公式为__________．8．已知数列{a n }满足a 1＝－2，a n ＋1＝2＋2a n1－a n，则a 6＝__________.9. 已知数列{a n }中，a 1＝1， a n ＋1＝－a n ，则a 2014=_________. 三.解答题10．写出下列数列的一个通项公式．(1) −12，15，−110，117，⋯ ；(2) 13，115，135，163，⋯ ；(3) 1，√22，12，√24，14⋯ .（4）1，1+3，1+3+5，1+3+5+7，⋯11. 已知数列 2，74，2，⋯ 的通项公式为a n =an 2+b cn.(1) 求这个数列的通项公式；(2) 判断6是不是这个数列中的项？12．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－5n ＋4.(1)求数列{a n }中有多少项是负数？(2)当n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值．一课一练参考答案一. 选择题 1．【答案】A【解析】数列的项数可以是有限的也可以是无限的．数列通项的表示式可以不惟一．例如数列1,0，－1,0,1,0，－1,0…的通项可以是a n ＝sin n π2，也可以是a n ＝cos n ＋3π2等等．2．【答案】D【解析】当n ＝1时，D 不满足，故选D. 3．【答案】A【解析】∵ f (n ＋1)－f (n )＝3(n ∈N *) ∴ f (2)>f (1)，f (3)>f (2)，f (4)>f (3)，…，f (n ＋1)>f (n )，…， ∴ f (n )是递增数列．4．【答案】A【解析】a 1＝1，a 2＝2×1－1＝1，a 3＝2×1－1＝1，a 4＝2×1－1＝1，…，可知a n ＝1(n ∈N *)．5．【答案】C【解析】∵对任意p 、q ∈N *都有a p ＋q ＝a p ＋a q . ∴a 10＝a 8＋a 2＝a 4＋a 4＋a 2＝5a 2＝－30. 6．【答案】A【解析】据题意，由关系式a n ＋1＝f (a n )得到的数列{a n }，满足a n ＋1>a n ，即该函数y ＝f (x )的图象上任一点(x ，y )都满足y >x ，结合图象，只有A 满足，故选A.二. 填空题7．【答案】a n ＝89(10n －1)8．【答案】－143【解析】a n ＋1＝2＋2a n 1－a n ＝21－a n ，a 1＝－2，∴ a 2＝21－a 1＝23，a 3＝21－a 2＝6，a 4＝－25，a 5＝107，a 6＝－143.9.【答案】−1【解析】由题意a 1＝1，a 2＝－a 1＝－1，a 3＝－a 2＝1，a 4＝－a 3＝－1，……，a 2014=−1. 三. 解答题10．【解析】(1) 该数列可改写为−11+1，12+1，−13+1，14+1，⋯∴ 该数列的通项公式为 a n =(−1)n42+1(2) 该数列可改写为11×3，13×5，15×7，17×9，⋯∴ 该数列的通项公式为 a n =1(2n−1)(2n+1)=14n 2−1；(3) 该数列可改写为20，2−12，2−1，2−32，2−2，⋯∴ 该数列的通项公式为 a n =2−n−12.11.【解析】(1) ∵ 数列的前三项分别为2，74，2，且a n =an 2+b cn∴ { a+bc =24a+b2c =29a+b 3c=2，解得{a =1b =3c =2，∴ 这个数列的通项公式为 a n =n 2+32n(2) 令n 2+32n=6，整理得n 2−12n +3=0，解得n =6±√33，不是正整数∴ 6不是这个数列中的项.12．【解析】(1) 令a n ＝n 2－5n ＋4<0，解得1<n <4，∵ n ∈N ＋ ∴ n ＝2，3∴ 数列{a n }中有两项是负数．(2) a n ＝n 2－5n ＋4＝(n －52)2－94，∴ 当n ＝2或3时，a n 取得最小值，最小值为－2.2.2.1.1 等差数列（一） 等差数列的概念与通项公式一课一练一．选择题1. 已知数列3,9,15，……，3(2n －1)，……那么81是它的第几项( )A ．12B ．13C ．14D ．152．若数列{a n }的通项公式为a n ＝－n ＋5，则此数列是( )A ．公差为－1的等差数列B ．公差为5的等差数列C ．首项为5的等差数列D ．公差为n 的等差数列 3．等差数列1，－1，－3，－5，…，－89，它的项数是( )A ．92B ．47C ．46D ．454．若a ≠b ，两个等差数列a ，x 1，x 2，b 与a ，y 1，y 2，y 3，b 的公差分别为d 1，d 2，则d 1d 2等于( ) A.32 B.23 C.43 D.345．等差数列的首项为125，且从第10项开始为比1大的项，则公差d 的取值范围是( )A ．d > 875B ．d < 325 C.875 < d < 325 D.875 < d ≤ 3256．设等差数列{a n }中，已知a 1＝13，a 2＋a 5＝4，a n ＝33，则n 是( )A ．48B ．49C ．50D ．51 二．填空题7．一个直角三角形三边长a 、b 、c 成等差数列，面积为12，则它的周长为__________． 8．等差数列的第3项是7，第11项是－1，则它的第7项是________． 9. 《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列， 上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升． 三． 解答题10．已知等差数列{a n }中，a 15＝33，a 61＝217.（1）求该数列的通项公式；（2）判断153是不是这个数列的项，如果是，是第几项？11．若已知1，x ，y,10成等差数列，求x 、y 的值．12．某地区1997年底沙漠面积为9×105 hm 2. 地质工作者为了解这个地区沙漠面积的变化根据上表所给信息进行预测.(1) 如果不采取任何措施，到2010年年底，这个地区的沙漠面积将大约变成多少hm 2？ (2) 如果从2003年初开始，采取植树造林等措施，每年改造8000 hm 2沙漠，但沙漠面积仍按原有速度增加，那么到哪一年年底，这个地区的沙漠面积将小于8×105hm 2.一课一练参考答案一．选择题 1.【答案】C【解析】a n ＝3(2n －1)＝6n －3，由6n －3＝81，得n ＝14. 2．【答案】A【解析】∵ a n ＝－n ＋5，∴ a n ＋1－a n ＝[－(n ＋1)＋5]－(－n ＋5)＝－1，∴ {a n }是公差d ＝－1的等差数列．3．【答案】C【解析】由条件a 1＝1，d ＝－1－1＝－2，∴ a n ＝1＋(n －1)·(－2)＝－2n ＋3，由－89＝－2n ＋3得n ＝46.4．【答案】C【解析】由题意，得b ＝a ＋3d 1＝a ＋4d 2 ∴ d 1＝b －a 3，d 2＝b －a4，∴ d 1d 2＝b －a 3·4b －a ＝435．【答案】D【解析】由题意⎩⎨⎧a 10>1a 9≤1∴⎩⎨⎧125＋9d >1125＋8d ≤1 ∴875 < d ≤ 325.6．【答案】C【解析】a 1＝13，a 2＋a 5＝2a 1＋5d ＝23＋5d ＝4，∴ d ＝23，又a n ＝a 1＋(n －1)d ＝13＋23(n －1)＝33，∴ n ＝50.二．填空题 7．【答案】12 2【解析】由条件知b 一定不是斜边，设c 为斜边，则⎩⎪⎨⎪⎧2b ＝a ＋c12ab ＝12a 2＋b 2＝c2，解得b ＝42，a ＝32，c ＝5 2 ∴ a ＋b ＋c ＝122．8．【答案】3【解析】设首项为a 1，公差为d ，由a 3＝7，a 11＝－1得，a 1＋2d ＝7，a 1＋10d ＝－1，所以a 1＝9，d ＝－1，则a 7＝3.9. 【答案】6766【解析】设此等差数列为{a n }，公差为d ，则 ⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3a 7＋a 8＋a 9＝4，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝33a 1＋21d ＝4，得⎩⎨⎧a 1＝1322d ＝766∴ a 5＝a 1＋4d ＝1322＋4×766＝6766.三． 解答题10．【解析】 （1）设首项为a 1，公差为d ，则由已知得{a 1+(15−1)d =33a 1+(61−1)d =217，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－23d ＝4∴ a n ＝－23＋(n －1)×4＝4n －27（2）令 a n ＝153，即4n －27＝153，得n ＝45∈N *∴ 153是所给数列的第45项．11．【解析】由已知，x 是1和y 的等差中项，y 是x 和10的等差中项∴ 2x ＝1＋y ………… ① 2y ＝2x ＋10 ………… ② 由①、②解得x ＝4，y ＝7 ∴ x 、y 的值分别为4， 7.12．【解析】（1）从表中数据看，它们基本上是一个等差数列，公差 d 约为2000， ∴ 到2010年底，沙漠面积比原有面积的增加数为a 2010=a 2002+8d =0.26×105 又 原有沙漠面积9×105 hm 2 ∴ 如果不采取任何措施，到2010年底，这个地区的沙漠面积将大约变成9.26×105 hm 2 （2）设经过n 年，这个地区的沙漠面积将小于8×105hm 2.由(1)知，到2002年年底，该地区的沙漠面积为9.1×105又由题意，采取植树造林措施后，沙漠面积积仍成等差数列变化，且公差约为−6000 ，所以，经过n 年后，沙漠面积变为9.1×105+n ×(−6000)=9.1×105−0.06×105n令9.1×105−0.06×105n <8×105，得n >553又 n ∈N ∗，所以n 的最小值为19，所以到2021年年底，这个地区的沙漠面积将小于8×105hm 2.2.2.2 等差数列（二） 等差数列的基本性质一课一练一．选择题1． 等差数列{a n }中，已知a 3＝10，a 8＝－20，则公差d 等于 ( )A ．3B ．－6 C ． 4D ．－3 2． 在等差数列{a n }中，已知a 4＝2，a 8＝14，则a 15等于 ( )A ．32B ．－32C ．35D ．－353．等差数列{a n }中，a 6＋a 9＝16，a 4＝1，则a 11＝( )A ．64B ．30C ．31D ．154．数列{a n }中，a 2＝2，a 6＝0且数列{1a n ＋1}是等差数列，则a 4等于()A.12B.13C.14D.165．在a 和b 之间插入n 个数构成一个等差数列，则其公差为( )A.b －a nB.a －b n ＋1C.b －a n ＋1D.b －a n －16. 若关于x 的方程x 2－x ＋a ＝0和x 2－x ＋b ＝0(a ≠b )的4个根可组成首项为14的等差数列，则a ＋b 的值为( ) A.38 B.1124 C.1324 D.3172 二． 填空题7．在等差数列{a n }中，已知a m ＋n ＝A ，a m －n ＝B ，，则a m ＝__________. 8．在等差数列{a n }中，a 18＝95，a 32＝123，a n ＝199，则n ＝________. 9．在等差数列{a n }中，若a 3＝7，a 5＝a 2 + 6，则a 6 ＝________. 三． 解答题10．已知{a n }是递增数列，若a 2＋a 4＝16，a 1·a 5＝28，求通项a n ．11．已知三个数成等差数列，它们的和为9，它们的平方和为35，试求这三个数．12．四个数成等差数列，其平方和为94，第一个数与第四个数的积比第二个数与第三个数的积少18，求此四个数．一课一练参考答案一．选择题 1．【答案】B【解析】由等差数列的性质，得a 8－a 3＝(8－3)d ＝5d ，所以d ＝－20－105＝－6.2．【答案】C【解析】由a 8－a 4＝(8－4)d ＝4d ，得d ＝3，所以a 15＝a 8＋(15－8)d ＝14＋7×3＝35. 3．【答案】D【解析】解法一：∵⎩⎪⎨⎪⎧ a 6＋a 9＝16a 4＝1∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋13d ＝16a 1＋3d ＝1∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－5d ＝2∴a 11＝a 1＋10d ＝15.解法二：∵6＋9＝4＋11，∴a 4＋a 11＝a 6＋a 9＝16，∴a 11＝15. 4．【答案】A【解析】令b n ＝1a n ＋1，则b 2＝1a 2＋1＝13，b 6＝1a 6＋1＝1，由条件知{b n }是等差数列，∴b 6－b 2＝(6－2)d ＝4d ＝23，∴d ＝16，∴b 4＝b 2＋2d ＝13＋2×16＝23，∵b 4＝1a 4＋1，∴a 4＝12.5．【答案】C【解析】∵a 1＝a ，a n ＋2＝b ∴公差d ＝a n ＋2－a 1n ＋2－1＝b －an ＋1.6.【答案】D【解析】 ∵ 两个方程中，每个方程的两个根的和都为1∴ 必有一个方程的根为14和34，不妨设方程x 2－x ＋a ＝0的根为 14 和 34，则 14为等差数列的首项，34为等差数列4项中的某一项，又 x 2－x ＋b ＝0的两根和为1，且两根为等差数列中的后3项中的两项，∴ 只有 34为第4项，才能满足中间两项之和为1的条件，∴ 四根的排列顺序为 14，512，712，34 ∴ a ＋b ＝14×34＋512×712＝3172.二． 填空题7．【答案】12(A ＋B )【解析】∵m －n ，m ，m ＋n 成等差数列，又{a n }是等差数列．∴a m －n ，a m ，a m ＋n 成等差数列，∴2a m ＝a m －n ＋a m ＋n ＝A ＋B ，∴a m ＝12(A ＋B )．8．【答案】70【解析】∵ a 32－a 18＝(32－18)d ＝123－95 ∴ d ＝2又a 18＝a 1＋17d ＝95 ∴ a 1＝61∴ a n ＝a 1＋(n －1)d ＝61＋2(n －1)＝199 ∴ n ＝70.9．【答案】13【解析】由a 5＝a 2 + 6 得3d ＝6 ，从而a 6 ＝a 3 +3d ＝13 三． 解答题10．【解析】∵a 2＋a 4＝a 1＋a 5＝16，∴由⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 5＝16a 1·a 5＝28，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝2a 5＝14或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝14a 5＝2.又 等差数列{a n }是递增数列 ∴ a 1＝2，a 5＝14. ∴ d ＝a 5－a 15－1＝124＝3∴ a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋3(n －1)＝3n －1. 11．【解析】设这三个数分别为a －d ，a ，a ＋d ，根据题意，得{(a −d )+a +(a +d )=9(a +d)2+a 2+(a −d)2=35，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3d ＝±2.∴这三个数为1,3,5或5,3,1. 【注】等差数列的常见设法(1) 若三个数成等差数列，可设为a －d ，a ，a ＋d ；(2) 若五个数成等差数列，可设为a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ； (3) 若四个数成等差数列，可设为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d .12．四个数成等差数列，其平方和为94，第一个数与第四个数的积比第二个数与第三个数的积少18，求此四个数．【解析】 设四个数为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，则由题意得，(a －3d )2＋(a －d )2＋(a ＋d )2＋(a ＋3d )2＝94，即2a 2＋10d 2＝47…………①又(a －3d )(a ＋3d )＝(a －d )(a ＋d )－18，即8d 2＝18，解得d ＝±32，代入①得a ＝±72，∴ 所求四数为8，5，2，－1或1，－2，－5，－8或－1，2，5，8或－8，－5，－2，1.。

课时作业(二十五)1．已知点P 1(0,0)、P 2(1,1)、P 3(13，0)，则在3x ＋2y －1≥0表示的平面区域内的点是( )A ．P 1、P 2B ．P 1、P 3C ．P 2、P 3D ．P 2答案 C解析 ∵3×0＋2×0－1≥0不成立，3×1＋2×1－1≥0成立，3×13＋2×0－1≥0成立，∴P 2、P 3在3x ＋2y －1≥0表示的区域内，P 1不在该区域内．2．若点A (5，m )在两平行直线6x －8y ＋1＝0及3x －4y ＋5＝0之间，则m 应取的整数为( )A ．－4B ．4C ．－5D ．5 答案 B解析 ∵(30－8m ＋1)(15－4m ＋5)<0，∴318<m <5. ∴m ＝4.3．不等式x 2－y 2≥0表示的平面区域是( )答案 B解析 ∵不等式x 2－y 2≥0可以写成(x ＋y )(x －y )≥0，即⎩⎨⎧x ＋y ≥0x －y ≥0，点(1,0)满足此不等式组，或⎩⎨⎧x ＋y ≤0x －y ≤0，点(－1,0)满足此不等式组．4．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0x ＋3y ≥43x ＋y ≤4所表示的平面区域的面积等于( )A.32 B.23 C.43 D.34答案 C解析 不等式组表示的平面区域是一个三角形，三个顶点的坐标分别是(0，43)，(0,4)，(1,1)，所以三角形的面积S ＝12×(4－43)×1＝43.5．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y ≤12x －y >－1，y ≥0表示的平面区域内整点的个数是( )A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个答案 C6．在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0x －y ＋4≥0x ≤a (a 为常数)表示的平面区域的面积是9，那么实数a 的值为( )A ．32＋2B ．－32＋2C ．－5D ．1答案 D7．完成一项装修工程，木工和瓦工的比例为2∶3，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工资预算2 000元，设木工x 人，瓦工y 人，请工人数的限制条件是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ≤5x 、y ∈N*B.⎩⎨⎧50x ＋40y ≤2 000x y ＝23C.⎩⎨⎧5x ＋4y ≤200x y ＝23x 、y ∈N*D.⎩⎨⎧5x ＋6y <100x y ＝23答案 C8．若点P (m,3)到直线4x －3y ＋1＝0的距离为4，且点P 在不等式2x ＋y <3表示的平面区域内，则m ＝________.答案 －3解析 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧|4m －9＋1|5＝4，m ＋3<3，解得m ＝－3.9．原点O 在直线sin α·x ＋cos α·y －1＝0(其中α∈(0，π2))的________．答案 左下方 解析 数形结合．10．如图所示，阴影部分可用二元一次不等式组表示为________．答案⎩⎪⎨⎪⎧0≤y ≤2y －2x ≤4x ≤011．不等式|x |＋|y |＜3表示的区域内的点的横坐标、纵坐标都是整数的个数有________．答案 13解析 数形结合，穷举法．12．用三条直线x ＋2y ＝2,2x ＋y ＝2，x －y ＝3围成一个三角形，则三角形内部区域(不包括边界)可用不等式表示为________．答案⎩⎪⎨⎪⎧x －y <3x ＋2y <22x ＋y >2解析 数形结合．13．当m ∈________时，点(1,2)和点(1,1)在y －3x －m ＝0的异侧． 答案 (－2，－1)解析 把(1,2)和(1,1)代入y －3x －m 所得到的两个代数式值异号即可，于是(－1－m )(－2－m )<0⇒(m ＋1)(m ＋2)<0.∴－2<m <－1.14．已知点P (－1,2)及其关于原点的对称点均在不等式2x －ky ＋1＞0表示的平面区域内，求k 的取值范围．解析据题意得⎩⎨⎧2×(－1)－2k ＋1>0×1－(－2)·k ＋1>0，即⎩⎪⎨⎪⎧k <－122k ＋3>0，解得－32<k <－12.15．某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产甲种产品1 t 需耗A 种矿石10 t ，B 种矿石5 t ，煤4 t ；生产乙种产品1 t 需耗A 种矿石4 t ，B 种矿石4 t ，煤9 t ．每1 t 甲种产品的利润是600元，每1 t 乙种产品的利润是1 000元．工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A 种矿石不超过300 t ，B 种矿石不超过200 t ，煤不超过360 t ，请列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域．解析 设生产甲、乙两种产品分别为x t ，y t ，利润总额为z 元，那么⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧10x ＋4y ≤3005x ＋4y ≤2004x ＋9y ≤360x ≥0y ≥0，z ＝600x ＋1 000y .作出以上不等式组所表示的平面区域(如图所示)．。

课时作业(九)1．已知等差数列{a n}的通项公式a n＝3－2n，则它的公差为() A．2 B．3C．－2 D．－3答案 C解析可得a n＋1－a n＝－2或a2－a1＝(3－4)－(3－2)＝－2.2．已知数列{a n}满足a1＝2，a n＋1－a n＋1＝0，则数列的通项a n 等于()A．n2＋1 B．n＋1C．1－n D．3－n答案 D3．等差数列－3，－1,1，…，的第1 000项为()A．1 990 B．1 995C．2 010 D．2 015答案 B4．等差数列1，－1，－3，－5，…，－89，它的项数为() A．92 B．47C．46 D．45答案 C5．等差数列20,17,14,11，…中第一个负数项是()A．第7项B．第8项C．第9项D．第10项答案 B6．{a n}是首项a1＝1，公差d＝3的等差数列，若a n＝2 011，则n 等于()A ．671B ．670C ．669D ．668答案 A7．lg(3－2)与lg(3＋2)的等差中项为( ) A ．0B ．lg 3－23＋2C ．lg(5－26)D ．1答案 A解析 等差中项为lg (3－2)＋lg (3＋2)2 ＝lg[(3－2)(3＋2)]2＝lg12＝0. 8．一个首项为23，公差为整数的等差数列，第7项开始的负数，则它的公差是( )A ．－2B ．－3C ．－4D ．－6答案 C9．若a ≠b ，两个等差数列a ，x 1，x 2，b 与a ，y 1，y 2，y 3，b 的公差分别为d 1，d 2，则d 1d 2＝( )A.32B.23C.43D.34答案 C解析 ∵d 1＝b －a 4－1，d 2＝b －a 5－1，∴d 1d 2＝43.10．首项为－24的等差数列，从第10项起为正数，则公差d 的取值范围是( )A ．d >83B ．d <3 C.83≤d <3 D.83<d ≤3答案 D解析 从第10项起为正数，则a 10>0且，a 9≤0，由⎩⎪⎨⎪⎧－24＋9d >0，－24＋8d ≤0，可得83<d ≤3. 11．等差数列2,5,8，…，107共有________项． 答案 3612．{a n }为等差数列，且a 7－2a 4＝－1，a 3＝0，则公差d ＝________. 答案 －12解析 法一 由于a 7－2a 4＝a 1＋6d －2(a 1＋3d )＝－a 1＝－1，则a 1＝1，又由于a 3＝a 1＋2d ＝1＋2d ＝0，解得d ＝－12.法二 a 7＝a 3＋4d ＝4d ，a 4＝a 3＋d ＝d ，代入条件即可得d . 13．首项为18，公差为3的等差数列从第________项开始大于100. 答案 2914．已知一个等差数列的第8，第9，第10项分别为b －1，b ＋1,2b ＋3，则通项公式an ＝________.答案 2n －17解析 由(b －1)＋(2b ＋3)＝2(b ＋1)，可得b ＝0. ∴a 8＝－1，a 9＝1，a 10＝3. ∴d ＝2，a 1＝－15，∴an ＝2n －17.15．已知f (n ＋1)＝f (n )－14(n ∈N*)，且f (2)＝2，则f (101)＝____________.答案 －914解析 ∵{f (n )}为等差数列，公差为－14， ∴f (1)＝f (2)－(－14)＝2＋14＝94.∴f (101)＝f (1)＋100·d ＝94＋100×(－14)＝－914. 16．已知等差数列5,2，－1，…. (1)求数列的第20项； (2)问－112是它的第几项？ (3)数列从第几项开始小于－20? (4)在－20到－40之间有多少项？答案 (1)－52 (2)第40项 (3)从第10项开始 (4)6项 17．有一个阶梯教室，共有座位25排，第一排离教室地面高度为17 cm ，前16排前后两排高度差8 cm ，从17排起，前后两排高度差是10 cm(含16,17排之间高度差)．求最后一排离教室地面的高度．解析 设从第一排起，各排的高度组成数列{a n }，则a 1＝17，∴a 16＝a 1＋15d 1＝17＋15×8＝137.∴a 25＝a 16＋10·d 2＝137＋10×10＝237(cm)． ►重点班·选作题18．一个等差数列{a n }中，a 1＝1，末项a n ＝100(n ≥3)，若公差为正整数，则项n 的取值有________种可能．答案 519．等差数列{a n }中，已知a 1＝13，a 2＋a 5＝4，a n ＝33，求n 的值． 答案 501．(2011·重庆)在等差数列{a n }中，a 2＝2，a 3＝4，则a 10等于( ) A ．12 B ．14 C ．16 D ．18答案 D解析 设{a n }的公差为d ，∵a 2＝2，a 3＝4，∴d ＝a 3－a 2＝2. ∴a 10＝a 2＋(10－2)d ＝2＋8×2＝18.2．已知数列{an }为等差数列，且a 5＝11，a 8＝5，求an . 解析 设公差为d ，则由a 5＝11，a 8＝5，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋4d ＝11，a 1＋7d ＝5， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝19，d ＝－2.∴an ＝19＋(n －1)(－2)，即an ＝－2n ＋21.3．甲虫是行动较快的昆虫之一，下表记录了某种类型的甲虫的爬行速度：(1)间的关系吗？(2)利用建立的模型计算，甲虫1 min 能爬多远？它爬行49 cm 需要多长时间？解析 (1)由题目表中数据可知，该数列从第2项起，每一项与前一项的差都是常数9.8，所以是一个等差数列模型．因为a 1＝9.8，d ＝9.8，所以甲虫的爬行距离s 与时间t 的关系是s ＝9.8t .(2)当t ＝1(min)＝60(s)时，s＝9.8t＝9.8×60＝558(cm)．s＝49(cm)时，t＝s9.8＝494.8＝5 (s)．。

课时作业(八)1．数列1,3,6,10,15，…的递推公式是( ) A ．a n ＋1＝a n ＋n ，n ∈N * B ．a n ＝a n －1＋n ，n ∈N *，n ≥2 C ．a n ＋1＝a n ＋(n ＋1)，n ∈N *，n ≥2 D ．a n ＝a n －1＋(n －1)，n ∈N *，n ≥2 答案 B解析 逐项验证可知B 选项合适．2．已知数列{a n }满足a 1>0，且a n ＋1＝12a n ，则数列{a n }是( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．常数列 D ．摆动数列答案 B解析 由a 1>0，且a n ＋1＝12a n ， 则a n >0，又a n ＋1a n ＝12<1，∴a n ＋1<a n .因此数列{a n }为递减数列．3．已知数列{a n }的项满足a n ＋1＝nn ＋2a n，而a 1＝1，通过计算a 2，a 3，猜想a n 等于( )A.2(n ＋1)2B.2n (n ＋1) C.12n －1 D.12n －1答案 B解析 a 1＝1＝21×2，∵a n ＋1＝n n ＋2a n ，∴a 2＝13＝22×3.同理a 3＝16＝23×4.猜想a n ＝2n (n ＋1).4．已知数列{a n }对任意的p ，q ∈N *满足a p ＋q ＝a p ＋a q ，且a 2＝－6，那么a 10等于( )A ．－165B ．－33C ．－30D ．－21答案 C解析 由题可得，a 2＝a 1＋a 1，所以a 1＝－3，a 10＝a 1＋a 9＝…＝a 1＋a 1＋…＋a 1＝－30.5．数列{a n }中，a 1＝1，对所有的n ≥2，都有a 1·a 2·a 3…a n ＝n 2，则a 3＋a 5等于( )A.259 B.2516 C.6116 D.3115答案 C6．在数列{a n }中，已知a n ＝n ＋cn ＋1(c ∈R )，则对于任意正整数n 有( )A ．a n <a n ＋1B ．a n 与a n ＋1的大小关系和c 有关C ．a n >a n ＋1D ．a n 与a n ＋1的大小关系和n 有关 答案 B解析 ∵a n ＝n ＋c n ＋1＝n ＋1＋c －1n ＋1＝1＋c －1n ＋1，∴a n －a n ＋1＝c －1n ＋1－c －1n ＋2＝c －1(n ＋1)(n ＋2).当c －1>0时，a n >a n ＋1；当c －1<0时，a n <a n ＋1； 当c －1＝0时，a n ＝a n ＋1.7．下列叙述中正确的个数为( ) ①数列a n ＝2是常数列； ②数列{(－1)n·1n }是摆动数列；③数列{n 2n ＋1}是递增数列；④若数列{a n }是递增数列，则数列{a n ·a n ＋1}也是递增数列． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案 C解析 ①②③正确．对于④，如a n 为－2，－1,0,1,2,3，…，即不合要求．8．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝－2n 2＋21n ，则该数列中最大的项为第________项．答案 5解析 ∵f (n )＝－2n 2＋21n ＝－2(n －214)2＋4418(n ∈N *)， ∴n ＝5或6时a n 最大．∵a 5＝55，a 6＝54，∴最大项为第5项．9．函数f (x )定义如下表，数列{x n }满足x 0＝5，且对任意的自然数均有x n ＋1＝f (x n )，则x 2 012＝________.答案解析 由题意可得x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，…的值分别为2,1,5,2,1，…，故数列{x n }为周期为3的周期数列．∴x 2 012＝x 3×670＋2＝x 2＝1.10．已知数列{an }的通项公式是an ＝⎩⎨⎧2－n ， n 是奇数，11＋n －2， n 是偶数.则它的前4项为________．答案 12，45，18，161711．数列{a n }中a 1＝1，a 2＝3，a 2n －a n －1·a n ＋1＝(－1)n －1(n ≥2)，那么a 4＝________.答案 33解析 令n ＝2，得a 22－a 1·a 3＝－1，∴a 3＝10. 令n ＝3代入，得a 23－a 2a 4＝(－1)2，∴a 4＝33.12．在数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＝3，a n ＋2＝3a n ＋1－2a n (n ≥1)，写出此数列的前6项，并猜想数列的通项公式．解析 a 1＝2，a 2＝3，a 3＝3a 2－2a 1＝3×3－2×2＝5， a 4＝3a 3－2a 2＝3×5－2×3＝9， a 5＝3a 4－2a 3＝3×9－2×5＝17， a 6＝3a 5－2a 4＝3×17－2×9＝33. 可猜想a n ＝2n －1＋1.13．已知a n ＝a (12)n (a 为常数且a ≠0)，试判断{a n }的单调性．下面是一学生的解法，这种解法对吗？如果不对给出你的结论．∵a n －a n －1＝a (12)n －a (12)n －1＝－a (12)n <0， ∴{a n }是递减数列．解析 这种解法误认为a >0，所以不对，对于非零实数a 应讨论a >0和a <0两种情况．∵a n －a n －1＝－a (12)n (n ≥2)， ∴当a >0时，a n －a n －1<0. ∴a n <a n －1.∴{a n }是递减数列； 当a <0时，a n －a n －1>0， ∴a n >a n －1.∴{a n }是递增数列．14．已知数列{a n }：13，－12，35，－23， … (1)写出数列的通项公式； (2)计算a 10，a 15，a 2n ＋1；(3)证明：数列{|a n |} 是递增数列．解析 (1)原数列变形为：13，－24，35，－46，…，分别考查数列的分子，分母与项数n 的关系以及符号相间出现，第一项为正，所以数列的通项公式为a n ＝(－1)n ＋1nn ＋2.(2)当n ＝10，则a 10＝－1012＝－56；当n ＝15时，则a 15＝1517；将a n 中n 换成2n ＋1时，得a 2n ＋1＝2n ＋12n ＋3.(3)令b n ＝|a n |(n ∈N *)， 则b n ＝|(－1)n ＋1n n ＋2|＝n n ＋2. ∵b n ＋1－b n ＝n ＋1(n ＋1)＋2－n n ＋2＝2(n ＋3)(n ＋2)>0.∴b n ＋1>b n .即对一切正整数n ，恒有|a n ＋1|>|a n |成立．因此数列{|a n |}为递增数列．讲评 本题求解时，若与函数的定义，函数相关的性质联系容易理解，a n ＝f (n )即为函数的解析式；a 10＝f (10)，即是函数在n ＝10的函数值；a 2n ＋1＝f (2n ＋1)即为函数代换，将函数中的变量n 换成了2n ＋1；当|a n ＋1|>|a n |时，则数列在n ∈N *时为递增数列，这与函数单调递增定义一样，即对一切正整数n 当n ＋1>n ，都有|a n ＋1|>|a n |，说明数列中每一项大于前一项，即为递增数列．15．数列{an }满足a 1＝1，且an ＋1＋2anan ＋1－an ＝0. (1)写出数列{an }的前5项；(2)由(1)写出数列{an }的一个通项公式；(3)实数199是否为这个数列中的项？若是，应为第几项？ 解析 (1)∵a 1＝1，an ＋1＋2anan ＋1－an ＝0， ∴a 2＋2a 1a 2－a 1＝0，解得a 2＝13. 同理，可以解得a 3＝15，a 4＝17，a 5＝19. ∴数列的前5项为1，13，15，17，19. (2)由以上可得an ＝12n －1.(3)令12n －1＝199，得n ＝50.即199是这个数列的第50项．►重点班·选作题16．已知a n ＝n －98n －99，则这个数列的前30项中最大项和最小项分别是( )A ．a 1，a 30B ．a 1，a 9C ．a 10，a 9D ．a 10，a 30答案 C17．根据下列5个图形及相应的个数的变化规律，试猜测第n 个图中有多少个点．解析 图(1)只有1个点，无分支；图(2)除中间1个点外，有两个分支，每个分支有1个点；图(3)除中间1个点外，有三个分支，每个分支有2个点；图(4)除中间1个点外，有四个分支，每个分支有3个点；…；猜测第n 个图中除中间一个点外，有n 个分支，每个分支有(n －1)个点，故第n 个图中个数为1＋n (n －1)＝n 2－n ＋1.设{a n }是首项为1的正项数列且(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1·a n ＝0(n ∈N *)，求a n .解析 方法一 (累乘法)由(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1a n ＝0，得(a n ＋1＋a n )(na n ＋1－na n ＋a n ＋1)＝0.由于a n ＋1＋a n >0，∴(n ＋1)a n ＋1－na n ＝0. ∴a n ＋1a n＝n n ＋1.∴a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a na n －1＝1×12×23×34×…×n －1n ＝1n .。