物理奥赛复赛模拟试题(五)与答案

物理奥赛复赛模拟试题(五)与答案题1：如图1所示，四个质量均为m 的质点，用同样长度且不可伸长的轻 绳联结成菱形ABCD 。

静止放在水平光滑的桌面上。

若突然给质点A 一个历时极短沿CA 方向的冲击。

当冲击结束的时刻，质点A 的速度为v ，其它质点也获得一定速度。

∠BAD=2a(a<π/4)。

求：此质点系统受冲击后所具有的总动量和总能量。

分析与解答：解题时应把握“对称性”这一特征，应用动量定理求解，注意动量的矢量性。

由对称性知，C 点的速度必定沿CA 方向，设大小为c v 。

D 的速度可以分解为平行于和垂直于分速度，其大小分别为1D v 和 2D v ，同样，B 的速度也类似地分解为平行和垂直于 两个分速度，其大小设为1B v 和2B v ，如图1(1)所示。

根据对称性，必有1B v =1D v （1） 2B v = 2D v （2）由于绳子不可伸长，A 沿DA 的分速度和D 沿DA 的分速度一定相等，C 沿CD 的分速度和D 沿CD 的分速度也相等，即：（3）（4）另一方面，设绳子AD 给质点D 的冲量的大小为，绳子DC 给质点C 的冲量的大小为。

注意到绳子DC 给质点D 的冲量的大小同样也为（各冲量的方向均沿绳子的方向）。

由对称性还可以判定，绳子AB 给质点B 的冲量的大小也是，绳子BC 给质点B 和C 的冲量的大小都是。

根据动量定理，可分别列出关于质点D 平行和垂直于方向以及质点C平行于 方向的关系式如下：（5）（6）（7）由（3）—（7）五式可解出所需的和：（8）（9）（10）由此结果与（1），（2）两式，得此系统的总动量为，方向沿CA 。

此系统的总动能为题2：有一块透明光学材料，由折射率略有不同的许多相互平行的，厚度d=0.1mm 的薄层紧密连接构成，图2表示各薄层互相垂直的一个截面，若最下面一层的折射率为n 0，从它往上数第K 层的折射率为n K =n 0-K v ，其中n 0=1.4,v=0.025，今有一光线以入射角i=60°射向O 点，求此光线在这块材料内能达到的最大深度？分析与解答： 设光线进入材料后的折射角为r ，则根据折射定律有，此光线从最下面一层进入向上数第一层时，入射角为，折射角为，同样根据折射定律有，也即光线从第一层进入第二层时，同样可得综合以上分析可得：因为 ，所以 随着K 的增大而增大，则随着K 的增大而减小，即光线在顺序变化的介质中传播时将偏向折射率变大的方向。

满足上式又当最接近1的K 值即为光线能进入的最深薄层的序号，光线在这个薄层上将发生全反射，然后又逐层返回下面最后射出透明材料。

因此求出能满足下式的K 的最大值因为代入上式得：解得：取小于21.76的最大整数，得K=21，即在n 0上面第21层下表面就是光线能到达的最深处，所以光线在这块透明材料内能达到的最大深度是题3：设法使边长为L 的正方形环在任何情况下均以匀速度v 沿着它的AB 边的方向运动，在其运动的空间区域内有一匀强电场，场强E 垂直于环的运动速度。

运动期间各环始终都在同一平面上，电场E 相对于环平面的倾角为θ。

设环上串有大量小球，这些小球象珠子串在项链上那样被串在环上。

小球的大小可忽略，各个球都带有电量q 。

今在相对于环不动的参照系中设法让这些小球均以匀速u 沿环边运动，各边上相邻两球的间距均为a ，且L 远大于a （参见图3），环是用不导电的线制作的，在相对于环不动的参照系中它有均匀的电荷线密度，正好把全部小球的电荷完全抵消掉。

考虑相对论效应，在一个从其上看环的运动速度为v 的惯性参照系上计算以下各量：1、环路各边上相邻两个小球之间的距离a AB ,a BC ,a CD 和a DA ；2、环路各边净电量（各边上线电荷与小球电荷之和）Q AB ,Q BC ,Q CD 和Q DA ；3、使环与小球系统受到转动作用的电力矩模量M ；4、环与小球系统和电场之间相互作用的电势能W 。

所有解答均需用题中给定的量来描述。

注意：物体的电荷量与测量参照系的选择无关。

图3只画出了各矢量之间的相对方向。

略去电磁辐射。

有关的相对论公式如下：（1）设惯性参照系以匀速度v 相对另一参照系S 运动。

两参照系对应的坐标轴彼此平行，t=0时坐标原点重合，速度v 沿x 轴正方向。

若在系测得一个质点以速度沿轴运动，那么在S 系测得该质点的速度应为其方向沿x 轴正方向（相对论速度求和公式）。

（2）如果一个物体的静止长度为，当它以速度v 沿其长度方向相对某观察者运动时，那么该观察者测得此物体长度L 为分析与解答：1、令S 为观察到环路以速度v 运动的实验室参照系，为环路参照系（系的x 轴与v 同向，沿着DA 边的方向，轴则垂直于环路所在平面）。

S 系各轴平行于系各对应轴，S 与系的坐标原点在t=0时重合。

（1）AB 边建立与AB 边上的小球一起运动的参照系，它的各坐标轴与S ，系的坐标轴平行。

相对具有速度u 。

据洛仑兹收缩，测得的AB 边上相邻两个小球之间的距离为， （1）（只要是在相对小球静止的参照系中测得的相邻两球间距，上式对任何一条边均成立。

）据相对论速度求和公式，S 系中的观察者认为AB 边上诸球具有的速度为（2）再据洛仑兹收缩，此观察者将测得AB 边上相邻两球的间距为，（3）将（1），（2）式代入到（3）式，可得：。

（4）（2）CD边对S系中的观察者而言，CD边上小球的速度为，（5）再据洛仑兹收缩有，（6）将（1），（5）式代入到（6）式，便得（7）（3）DA边在系中，令DA边上的某一小球在时刻位于处。

在同一时刻邻近的一个小球应位于，，处。

各球相对于S系的空—时坐标可由洛仑兹变换式给出，，，（8）。

据此，第一个小球在S系中有，，，（9）。

第二个小球则为，，，（10）。

由于，S系中这两个小球之间的距离便为，（11）即得。

（12）（4）BC边重复上述相似的讨论，可得（13）（其实，由于DA，BC边与v垂直，无洛仑兹收缩，故。

）2、在环路参照系中，每一条边线上的电荷量为（14）在此已考虑到L/a为各边上的小球数。

由于电荷是运动不变量，在实验室参照系S中测得的各边线电荷量也为此值。

（1）AB边在实验室参照系中，AB边上各球电荷量之和为（15）此式系由AB边上小球数乘以每一小球电荷量（运动不变量）来获得。

（15）式右边第一项中的分子为S系中观察者测得的运动收缩边长，分母则为相邻小球的间距。

将（4）式代入到（15）式中，可得：（16）将（14）式和（16）式相加，便得AB边上总电荷量。

（17）（2）CD边用相同的方法可得（18）将（14）和（18）式相加，可得（19）（3）BC边和DA边S系中观察者测得这两条边的边长均为L，相邻两球的间距也均为a，因此，（20）将（14）和（20）式相加，可得，（21.1）。

（21.2）3、作用在AB边上的电场力为，（22）作用在CD边上的电场力为，（23）与形成一力偶。

据力偶的力矩表达式，可得（参见图3(1)（24）最后可表达成（25）4、令和分别为AB边上各点和CD边上各点的静电势（指场强为E 的外电场的图3(1)电势——注），那么有， （26）将电势零位（U=0）选在与E 垂直的一个平面上，此平面与AB 边的间距为某一任意量R （见图3(2)），于是（27）但，故， （28）将（17）式代入到（28）式，便得（29）题4：使装着理想单原子气体的箱子骤然以速度ν运动起来，求气体温度的变化。

已知一个气体原子的质量为m 0，箱子的热容量和导热忽略不计。

分析与解答：设单个气体分子的质量为，气体的摩尔数为γ，以箱子为参照系，则；式中k 为玻尔兹曼常数，是阿伏伽德罗常数，且，代入后得。

说明:与机械运动地应的动能和与热运动对应的分子平均动能之间可以发生转换，同样势能与内能之间也可以发生相互转化。

如国际物理奥赛中曾考过这样一题：给定两个完全相同的球，其中一个放在水平面上，另一个用细线悬挂起来，使这两个球吸收相同的热量，问这两个球的温度是否相同？说明你的理由（忽略各种热量损失）。

球体吸热后，体积膨胀，其中放在水平面上的球的重心升高，需要克服重力做功而消耗一部分热量，而另一个球的重心则会降低，因而对放在水平面上的球而言，用来使球的温度升高的剩余的热量将比另一个球少一点，结果第一个球的温度应稍低于第二个球的温度。

当然这一差别是很小的。

题5：如图5所示，水平放置的截面为矩形的容器被竖直可自由滑动的轻活塞分成左、右两部分，左边盛有水银，水银上方可视为真空，右边充有空气。

活塞开始处于平衡位置且将容器分成长度为L 的两个相同部分。

现在欲使右边气体的温度升高到原来的3倍，活塞将向左移动多少距离（不计水银及容器的热膨胀，器壁光滑且无渗漏）分析与解答：令容器的高为a 宽为b ，开始时水银的高为，由于水银的体积不变，有关系式水银对活塞的压力当活塞平衡时，气体对活塞的压力，pab 应与F 相等，所以有：，显然：，对于右边的气体：，，由理想气体状态方程可得：化简为解得：（舍去）活塞移动的距离为题6：物理学家密立根1911年曾以著名的油滴实验推断出自然界存在基本电荷，并推算出基本电荷的带电量。

下面让我们追溯这个实验过程，并提出问题。

水平放置的平行板电容器两极板间的距离为d ，在上极板的中间开一小孔，使质量为m 的带电油滴从这个小孔落到电容器中。

忽略空气浮力，当电容器上没加电压时，由于空气阻力与速度大小成正比（设比例系数为常数k ），经过一短时间，即可观察到油滴以恒定的速率v 1在空气中缓慢降落。

（1）若在电容器上加电压U （下极板为正），可见到油滴以恒定速率v 2缓慢上升，试求油滴所带电量q。

（设重力加速度为g，电量由d 、U 、K、v1、v2等已知量表示）（2）若电容器上不加电压，油滴在电容器内以恒定速率v1下降时，移动某一竖直距离所需时间为t1;加了电压U后，油滴以恒定速率v2上升同一竖直距离所需时间为t2，则油滴的带电量可表示为A。

试用已知量d、g、U、t1及油滴质量m来表示A的表达式。

（3）若这时把加在电容器上的电压撤除，使油滴以恒定速率下降一段距离；然后向电容器内照射X射线以改变油滴的带电量后，又在电容器上加上电压U，测定该油滴匀速上升同一竖直距离的时间t2，依此类推，多次实验的结果表明总是0.00535s-1的整数倍。

由此可推论：自然界中一定存在基本电荷。

已知该实验中测得的一组数据如下：，，，，并取，试由此计算基本电荷的带电量（取两位有效数字）。

分析与解答：当电容器上未加电压，油滴以速率v1在空气中缓慢降落时，空气阻力为，且重力与空气阻力平衡，即（1）当电容器两端电压U时，油滴受电场力①且向上匀速移动根据受力平衡条件有：②将①式代入②式得：③（2）由于油滴前后下降与上升为同距离，则有：④联立①④得：⑤联立①③⑤得：⑥将⑥式与题中q=A比较，可见：（3）因为，而式中在实验中一定值，所以若发现总是0.00535s-1的整数倍，即可推得电量q 也必有q=ne （其中n 为正整数），即为某基本电荷电量e 的整数倍，故有：即：得：题7：在水平桌面上放置一个半径R=0.5m 的绝缘圆槽，小球可在槽中滑动，槽的宽度远小于其半径，如图7(1)所示。