初三数学二模试卷

2024北京燕山初三二模数 学2024年5月一、选择题（共16分，每题2分）第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．中国空间站作为重大创新成果入选“2023全球十大工程成就”．中国空间站轨道高度约为400000m ，将数字400000用科学记数法表示应为A ．0.4×510B ．0.4×610C ．4×510D ．4×610 2．下列几何体中，主视图为三角形的是A ．B ．C ．D ．3．如图，1l ∥2l ，△ABC 的顶点B ，C 分别在1l ，2l 上，∠1＝70°，∠2＝40°，则∠A 的大小为 A ．50° B ．40° C ．30° D ．20°4．在数轴上，点A ，B 在原点O 的两侧，分别表示数a ，3，将点A 向左平移1个单位长度，得到点C ．若CO ＝BO ，则a 的值为A ．－2B ．－1C ．1D ．25．若关于x 的一元二次方程220x x m +−=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是A．1≥m B ．1m > C ．1≥m− D ．1m>− 6．已知一个多边形的内角和等于900º，则该多边形的边数为A ．6B ．7C ．8D ．97．不透明的袋子中装有1个红球和2个黄球，两种球除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么两次摸出的球都是红球的概率是l 2l 121AB CA ．19 B ．29 C ．13 D ．238．如图，AB 是半圆O 的直径，C 是半圆周上的动点(与A ，B 不重合），CD ⊥AB 于点D ，连接OC ．设AD ＝a ，BD ＝b ，CD ＝h ，给出下面三个结论： ① h ≤2a b +；② ||2a b−≤h ；③ 2a b +上述结论中，所有正确结论的序号是 A ．①② B ．②③ C ．①③ D ．①②③ 二、填空题（共16分，每题2分）9．若代数式12x −有意义，则实数x 的取值范围是 ． 10．分解因式：3228a ab −＝ ．11的整数 ．12．在平面直角坐标系xOy 中，若点P (1，y 1)，Q (4，y 2)在反比例函数y ＝k x(0k >)的图象上，则y 1y 2 (填“＞”，“＜”或“＝”) ．13．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，BD 平分∠ABC ，DE ⊥AB 于点E ．若CD ＝3，AB ＝10，则S △ABD＝ ．14．《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺(即图中的ABC )．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．小明同学依照此法测量学校操场边一棵树的高度，如图，点A ，B ，Q 在同一水平线上，∠ABC ＝∠AQP ＝90°，AP 与BC 相交于点D ．测得AB ＝1.2m ，BD ＝0.5m ，AQ ＝9m ，则树高PQ ＝ m ．15．某种兰花种子的发芽率与浸泡时间有关：浸泡时间不足4小时，发芽率约为40％；浸泡时间4到8小时，发芽率会逐渐上升到65％；浸泡时间8到12小时，发芽率会逐渐上升到90％．农科院记录了同一批次该种兰花种子的发芽情况，结果如下表：（第13题）（第14题）(小时”或“8到12小时”)．16．2019年11月26日，联合国教科文组织将每年的3月14日定为“国际数学日”，这个节日的昵称是“π节”，是为了纪念中国南北朝时期杰出的数学家祖冲之而设立的节日． 某校今年“π节”举办了“数学素养”大赛，现有甲、乙、丙三位同学进入了决赛争夺冠军，决赛共分为四轮，规定：(1) 每轮比赛第一名的得分a 的值为 ； (2) 丙同学在第二轮比赛中，获得了第 名．三、解答题（共68分，第17－20题，每题5分，第21题6分，第22－23题，每题5分，第24－26题，每题6分，第27－28题，每题7分） 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17．计算：0(π2024)4sin 605−+︒+−．18．解不等式组：2123≤，.x x x x+−⎧⎪⎨>⎪⎩19．已知340m n +−=，求代数式2226+69m nm mn n ++的值．20．如图，小雯家客厅的电视背景墙是由10块相同的小长方形墙砖砌成的大长方形，已知电视背景墙的高度为1.5m ，求每块小长方形墙砖的长和宽．21．如图，在R t △A B C 中，∠A C B ＝90°，D 为A B 的中点，连接C D ，过点A 作A E ∥D C ，过点C 作CE ∥DA ，AE 与CE 相交于点E ．(1) 求证：四边形ADCE 是菱形；(2) 连接BE ，若AEBC ＝4，求BE 的长．22．在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y kx b =+(0k ≠)的图象经过点A (3，5)，B (0，2)． (1) 求该一次函数的解析式；(2) 当3x <时，对于x 的每一个值，函数3y mx =+ (0m ≠ )的值大于一次函数y kx b =+ (0k ≠ )的值，直接写出m 的取值范围．23．某跳高集训队对16名队员进行了一次跳高测试，对测试成绩数据(单位：cm)进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．a ．测试成绩的频数分布直方图（数据分为四组：150≤x ＜155，155≤x ＜160，160≤x ＜165，165≤x ≤170）：b ．测试成绩在160≤x ＜165这一组的是：162 163 163 164 164 164c ．测试成绩的平均数、中位数、众数：(1) 写出表中m 的值；(2) 队员小锐的成绩是163cm ，他认为“163cm 高于测试成绩的平均数，所以我的成绩高于集训队一半队员的成绩”，他的说法 (填“正确”或“不正确”)，理由是 ；(3) 有两名请假的队员进行了补测，成绩分别为153cm ，171cm ．将这两名队员的成绩与原16名队员成绩并成一组新数据，记新数据的中位数为n ，方差为218s ，原数据的方差为216s ，则m n ，218s 216s (填“＞”，“＜”或“＝”)．AECBD24．如图，⊙O 为四边形ABCD 的外接圆，BD 平分∠ABC ，OC ⊥BD 于点E ． (1) 求证：AD ＝BC ；(2) 延长CO 交⊙O 于点F ，连接AF ，若AD ＝5，sin ∠CBD ＝35，求AF 的长．25．下表是气象台某天发布的某地区气象信息，预报了次日0时至12时气温y (单位：℃)随着时间t (单位：时)的变化情况．气象台对数据进行分析后发现，次日0时至5时，y 与t 近似满足一次函数关系，5时至12时，y 与t 近似满足函数关系y ＝－0.5t 2＋bt ＋c ． 根据以上信息，补充完成以下内容：(1) 在平面直角坐标系xOy 中，补全次日0时至12时气温y 与时间t 的函数图象；(2) 求出次日5时至12时y 与t 满足的函数关系式，并直接写出次日0时至12时的最高气温与最低气温； (3) 某种植物在气温0℃以下持续时间超过 3.5小时，即遭到霜冻灾害，需采取防霜措施，则该植物次日 采取防霜措施(填“需要”或“不需要”)．26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx c =++(0a ≠)的对称轴为x t =．(1) 若3a ＋2b ＝0，求t 的值；(2) 已知点(－1，1y )，(2，2y )，(3，3y )在该抛物线上．若a ＞c ＞0，且3a ＋2b ＋c ＝0，比较1y ，2y ，3y 的大小，并说明理由．27．在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝30°，M 为AB 的中点，D 为线段AB 上的动点，连接CD，将线段CD绕点C 逆时针旋转60°得到线段CE ，连接AE ，CM ．(1) 如图1，点D 在线段AM 上，求证：AE ＝MD ；(2) 如图2，点D 在线段BM 上，连接DE ，取DE 的中点F ，连接AF 并延长交CD 的延长线于点G ，－－－－若∠G ＝∠ACE ，用等式表示线段AE ，AF ，FG 的数量关系，并证明．28．在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为1．对于⊙O 的弦AB 和⊙O 外一点C 给出如下定义：若直线CA ，CB 都是⊙O 的切线，则称点C 是弦AB 的“关联点”． (1) 如图，点A (－1，0)，B 1(12)，B 2(－12)．① 在点C 1(－1，1)，C 2 (－1，C 3 (0中，弦AB 1的“关联点”是 ； ② 若点C 是弦AB 2的“关联点”，直接写出AC ，OC 的长．(2) 已知直线y =+与x 轴，y 轴分别交于点M ，N ，对于线段MN 上一点T ，存在⊙O 的弦PQ ，使得点T 是弦PQ 的“关联点”，记四边形OPTQ 的面积为S ，当点T 在线段MN 上运动时，直接写出S 的最小值和最大值，以及相应的PQ 长．MABCDEF GEDC BA M图1图2参考答案阅卷须知：1．为便于阅卷,本试卷答案中有关解答题的推导步骤写得较为详细，阅卷时,只要考生将主要过程正确写出即可。

初三数学二模试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项是正确的？A. 2x + 3y = 5B. 3x - 2y = 6C. 4x + 5y = 9D. 5x - 4y = 10答案：B2. 计算下列哪个表达式的结果为0？A. 3(x - 2) - 2(x + 1)B. 4(y + 3) + 5(y - 2)C. 2(z - 1) + 3(z + 2)D. 5(w - 3) - 4(w + 1)答案：A3. 以下哪个图形是轴对称图形？A. 平行四边形B. 矩形C. 菱形D. 不规则多边形答案：B4. 以下哪个方程的解是x = 2？A. x^2 - 4x + 4 = 0B. x^2 + 4x + 4 = 0C. x^2 - 2x - 3 = 0D. x^2 + 2x - 3 = 0答案：A5. 以下哪个函数是一次函数？A. y = x^2B. y = 2x + 3C. y = 1/xD. y = x^3答案：B6. 以下哪个选项是正确的？A. √16 = 4B. √9 = 3C. √25 = 5D. √36 = 6答案：A7. 以下哪个选项是正确的？A. 1/2 + 1/3 = 5/6B. 1/2 - 1/3 = 1/5C. 1/2 * 1/3 = 1/6D. 1/2 ÷ 1/3 = 3/2答案：C8. 以下哪个选项是正确的？A. sin(30°) = 1/2B. cos(45°) = √2/2C. tan(60°) = √3D. sin(90°) = √3/2答案：B9. 以下哪个选项是正确的？A. πr^2 = 圆的面积B. 2πr = 圆的周长C. πd = 圆的周长D. 2r = 圆的直径答案：A10. 以下哪个选项是正确的？A. 3x + 2 = 7B. 2x - 3 = 5C. 4x + 1 = 9D. 5x - 6 = 11答案：C二、填空题（每题3分，共30分）11. 计算 (2x + 3)(x - 1) 的结果为 _______。

2023北京昌平初三二模数 学本试卷共10页，共100分.考试时长120分钟.考生务必将答案填涂或写在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回.一、单项选择题（每小题2分，共16分）1. 经文化和旅游部数据中心测算，2023年清明节假期（4月5日），全国国内旅游出游2376.64万人次，较去年清明节当日增长22.7%．将23766400用科学记数法表示应为（ ）A. 5237.66410⨯ B. 623.766410⨯ C. 72.3766410⨯ D. 82.3766410⨯2. 图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）A. 三棱锥B. 三棱柱C. 圆柱D. 长方体3. 若实数,a b 在数轴上的对应点的位置如图所示，则以下结论正确的是（ ）A. ||||a b > B. 0ab > C. a b -> D. a b<4. 某餐厅计划推出一个新菜品，在菜品研发阶段研制出A B 、两种味道，为测试哪种味道更符合当地人口味，随机抽取餐厅内的5位当地顾客分别为两种味道的菜品打分，打分情况如下表，下列关系全部正确的是（ ）口味顾客1顾客2顾客3顾客4顾客5A798610B5610109A. 22,A B A B x x S S >= B. 22,A B A B x x S S =>C. 22,A B A B x x S S =< D. 22,A B A B x x S S <<5. 《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆.”度方知圆，感悟数学之美.如图，正方形ABCD 的面积为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形A B C D ''''，若:1:2AB A B ''=，则四边形A B C D ''''的外接圆的半径为（ ）B. 2C. D. 46. 一个不透明的盒子中装有10个除颜色外无其他差别的小球，其中有1个黄球和3个绿球，其余都是红球，从中随机摸出一个小球，恰好是红球的概率为（ ）A.35B.310C.15D.137. 船航行的海岸附近有暗礁，为了使船不触上暗礁，可以在暗礁的两侧建立两座灯塔.只要留心从船上到两个灯塔间的角度不超过一定的大小，就不用担心触礁.如图所示的网格是正方形网格，点,,,,,,A B C D P M N 是网格线交点，当船航行到点P 的位置时，此时与两个灯塔,M N 间的角度（MPN 的大小）一定无触礁危险.那么，对于,,,A B C D 四个位置，船处于___________时，也一定无触礁危险.（ ）A. 位置AB. 位置BC. 位置CD. 位置D8. 《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期，如图，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间．某学校STEAM 小组仿制了一套浮箭漏，通过观察，每2小时记录一次箭尺读数，得到表格如下．供水时间x （小时）02468箭尺读数y （厘米）618304254那么箭尺读数y 和供水时间x 最可能满足的函数关系是（ ）A. 正比例函数关系B. 一次函数关系C. 二次函数关系D. 反比例函数关系二、填空题（每小题2分，共16分）9. 若分式14-x 有意义，则x 的取值范围是___________．10. 分解因式：322x 4x 2x -+=______．11. 分式方程123x x =+的解为________．12. 小的整数 _____．13. 如图，在ABC 中，CD 平分,ACB DE AC ∠⊥若2,1BC DE ==，则BCD S =△___________．14. 不等式4312xx ++<的解集为___________.15. 一个正多边形的内角和是它的外角和的2倍，则这个正多边形是正___________边形.16. 某旅店的客房有两人间和三人间两种，两人间每间200元，三人间每间250元，某学校50人的研学团到该旅店住宿，租住了若干客房.其中男生27人，女生23人.若要求男女不能混住，且所有租住房间必须住满.（1）要想使花费最少，需要___________间两人间；（2）现旅店对两人间打八折优惠，且仅剩15间两人间，此时要想花费最少，需要___________间三人间.三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26每小题6分，第27-28题每小题7分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.17. 计算：11(1|2cos 454-⎛⎫-+-︒+ ⎪⎝⎭.18. 已知2520x x --=，求代数式(21)(21)(1)x x x x +-+-的值．19. 用尺规“三等分任意角”是数学史上一个著名难题，它已经被数学家伽罗瓦用《近世代数》和《群论》证明是不可能的．但对于特定度数的已知角，如90︒角，45︒角等，是可以用尺规进行三等分的．下面是小明的探究过程：已知：如图1，90AOB ∠=︒．求作：射线,OE OG 三等分AOB ∠．作法：如图2，①在射线OB 上取任一点C ；②分别以,O C 为圆心，OC 长为半径画弧，两弧在OB 上方交于点E ，在OB 下方交于点F ，连接CE ；③作直线EF 交OC 于点D ；④以D 为圆心，OD 长为半径作圆，交线段CE 于点G （点G 不与点C 重合）；⑤作射线,OG OE ．所以射线,OG OE 即为所求射线．（1）利用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：OE OC CE ==∵，COE ∴ 为等边三角形．60COE ∴∠=︒．30AOE AOB COE ∴∠=∠-∠=︒．OC 为D 的直径，CGO ∴∠=___________︒．又,OE OC OG EC =⊥ ，OG ∴平分EOC ∠（ ）（填推理的依据）．1302COG EOG COE ∴∠=∠=∠=︒．AOE COG EOG ∴∠=∠=∠．即射线,OE OG 三等分AOB ∠．20. 关于x 的一元二次方程210x kx k -+-=．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根小于0，求k 的取值范围．21. 如图，在菱形ABCD 中，对角线,AC BD 交于点O ，点E 是过点O 作BC 的平行线与过点B 作BD 的垂线（垂足为B ）的交点.（1）求证：四边形OEBC 是平行四边形；（2）连接AE ，求证：四边形AEBO 是矩形.22. 在平面直角坐标系xOy 中，函数(0)ky k x=≠过点(1,3).（1）求这个反比例函数的解析式；（2）当01x <≤时，对于x 的每一个值，函数(0)ky k x=≠的值都大于函数()0y mx m =≠的值，直接写出m 的取值范围.23. 如图，AB 是O 直径，C 是O 上一点，过点A 作直线PA ，使PAC ABC ∠=∠．（1）求证：PA 是O 的切线；（2）点D 是弧BC 中点，连接DO 并延长，分别交,BC PA 于点,E F ，若8BC =，4cos 5PAC ∠=，求线段DF 的长．24. 兴寿镇草莓园是北京最大的草莓基地，通过一颗颗小草莓，促进了农民增收致富，也促进了农旅融合高质量发展．小梅家有一个草莓大棚，大棚的一端固定在离地面高1m 的墙体A 处，另一端固定在离地面高1m 的墙体B 处，记大棚的截面顶端某处离A 的水平距离为m x ，离地面的高度为m y ，测量得到如下数值：/mx 01245/my 18311311383小梅根据学习函数的经验，发现y 是x 的函数，并对y 随x 的变化而变化的规律进行了探究．下面是小梅的探究过程，请补充完整：（1）在下边网格中建立适当的平面直角坐标系，描出表中各组数值所对应的点(),x y ，并画出函数的图象；解决问题：（2）结合图表回答，大棚截面顶端最高处到地面的距离高度为___________m ；此时距离A 的水平距离为___________m ；（3）为了草莓更好的生长需要在大棚内安装补光灯，补光灯采用吊装模式悬挂在顶部，已知补光灯在距离地面1.5m 时补光效果最好，若在距离A 处水平距离1.5m 的地方挂补光灯，为使补光效果最好补光灯悬挂部分的长度应是多少m ？（灯的大小忽略不计）25. 某学校初中各年级进行体质健康测试，为了解学生成绩，从七年级和九年级各随机抽取40名学生的成绩进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息.a .七年级成绩的频数分布直方图如下（数据分成5组：6070,7080x x ≤<≤<，8090,90100,100110x x x ≤<≤<≤≤）b .七年级成绩在8090x ≤<这一组的是：82 82 83 84 85 85 85 87 87 88 88c .七年级、九年级成绩的平均数、中位数如下：平均数中位数七年级87.55m九年级86.2590根据以上信息，回答下列问题：（1）写出表中m 的值；（2）分别对本次抽取的学生的成绩进行等级赋分，不少于90分就可以赋予“优秀”等级，七年级赋予“优秀”等级的学生人数为1p ，九年级赋予“优秀”等级的学生人数为2p ，判断12,p p 大小，并说明理由；（3）该校共有七年级学生310人，不少于80分就可以赋予“良好”等级，估计该校七年级所有学生本次体质健康测试成绩等级为良好及以上的人数为___________（直接写出结果）.26. 在平面直角坐标系xOy 中，点(21)()a m b n +，，，是抛物线222(00)y ax a x c a c =-+≠>，上的点．（1）当1a =时，求抛物线对称轴，并直接写出m 与c 大小关系；（2）若对于任意的24b ≤≤，都有m c n >>，求a 的取值范围．27. 在等边ABC 中，点D 是AB 中点，点E 是线段BC 上一点，连接(),3060DE DEB αα∠=︒≤<︒，将射线DA 绕点D 顺时针旋转α，得到射线DQ ，点F 是射线DQ 上一点，且DF DE =，连接,FE FC .（1）补全图形；（2）求EDF ∠度数；（3）用等式表示,FE FC 的数量关系，并证明.28. 在平面直角坐标系xOy 中，对于点P ，点Q 和直线l ，点P 关于l 的对称点P '，点Q 是直线l 上一点，将线段P Q '绕点P '逆时针旋转90︒得到P K '，如果线段P K '与直线l 有交点，称点K 是点P 关于直线l 和点Q 的“双垂点”.（1）若()2,1P ，点123(1,1),(1,0),(1,2)K K K -中是点P 关于x 轴和点Q 的“双垂点”的是___________；（2）若点()0,5Q ，点,P K 是直线3y x =+上的点，点K 是点P 关于y 轴和点Q 的“双垂点”，求P 点的坐标；（3）点P 在以(0,)t 为圆心，1为半径的圆M 上，直线:2l y x =+，若圆M 上存在点K 是点P 关于直线l 和点Q 的“双垂点”，直接写出t 的取值范围.参考答案一、单项选择题（每小题2分，共16分）题号12345678答案CBDCCABB二、填空题（每小题2分，共16分）题号910111213141516答案x ≠4()221x x -3x=2，3，4均可（答案不唯一）12x >-六1，8三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26每小题6分，第27-28题每小题7分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.17.计算：101(1|2cos 454-⎛⎫-+-︒+ ⎪⎝⎭.124=+-14=++=5．18. 2241x x x=-+-251x x =--，∵2520x x --=，∴252x x -=．∴原式251211x x =--=-=．19. （1）如图所示，（2）证明：OE OC CE ==∵，COE ∴ 为等边三角形．60COE ∴∠=︒．30AOE AOB COE ∴∠=∠-∠=︒．OC 为D 的直径，90CGO ∴∠=︒．又,OE OC OG EC =⊥ ，OG ∴平分EOC ∠（等腰三角形三线合一）（填推理的依据）．1302COG EOG COE ∴∠=∠=∠=︒．AOE COG EOG ∴∠=∠=∠．即射线,OE OG 三等分AOB ∠．故答案为：90，等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线，底边上的高互相重合．20. （2）解：22244(1)(2)b ac k k k ∆=-=--=-，∵()220k -≥， ∴0≥ ∴方程总有两个实数根；（2）解：解方程得x =，∴方程的两个根为121,1x k x =-= ，∵10k -<，1k ∴<．21. （1）证明： 四边形ABCD 是菱形，∴AC BD ⊥，∴90AOD ∠= ∴EOB AOD∠=∠∴AC EB ∥，即OC EB ∥，OE BC ∥，∴四边形OEBC 是平行四边形；（2）证明： 四边形ABCD 是菱形，∴AO OC =，∵OEBC 是平行四边形，∴OC EB =，∴AO EB =，AC EB ∥即EB OA∥∴四边形AEBO 是平行四边形，∴90EBO ∠=︒，∴四边形AEBO 矩形．22. （1）解：∵反比例函数(0)k y k x =≠的图象经过点(1,3)，∴133k =⨯=，∴这个反比例函数解析式为3y x =；（2）03m <<或0m <23. （1）证明∵AB 是O 直径，∴90C ∠=︒，∴90ABC BAC ∠+∠=︒，∵PAC ABC ∠=∠，∴90CAB PAC ∠+∠=︒，∴PA OA ⊥，又∵OA 是O 是半径，∴PA 是O 的切线；（2）解：∵点D 是弧BC 中点，OD 是半径，BC=8，∴OD BC ⊥，142BE BC ==∴90BEO ∠=︒∴C BEO∠=∠∴AC DF ∥，∴AFO PAC ABC ∠=∠=∠，∵4cos 5PAC ∠=，∴4cos cos 5AFO ABC ∠=∠=，∵90BEO ∠=︒∴45BE OB =∴5OB =∴5OA OB OD ===是的∵OA AP⊥∴45AF OF =设4,5,AF k OF k ==则2225(4)(5)k k +=解得53k =，∵8BC =，∴2553OF k ==，∴2540533DF OF OD =+=+=．24. （1）解：描点，连线，函数的图象如图所示，；（2）解：根据图表知，大棚截面顶端最高处到地面的距离高度为4m ；此时距离A 的水平距离为3m ；故答案为：4；3；（3）解：由表格数据可得抛物线函数表达式为：21(3)43y x =--+把 1.5x =代入21(3)43y x =--+得： 3.25y =，∴补光灯悬挂部分的长度为：()3.25 1.5 1.75m -=，答：为使补光效果最好补光灯悬挂部分的长度应是1.75m ．25. （1）解：由条形统计图及知8090x ≤<组的数据可知，将七年级成绩的数据按从小到大顺序排列，第20位和第21位均是87，因此七年级成绩的中位数是87，即m 的值为87；（2）结合图表可知，171017p =+= 九年级该40名学生体质健康测试成绩的中位数是90，∴220p ≥∴12p p <；（3）解：1171031021740++⨯=（人），26. （1）解：当1a =时，抛物线22y x x c =-+，抛物线过点()3m ，，()0c ，， 抛物线的对称轴为212x -=-=，∴点()3m ，比点()0c ，离对称轴水平距离远，且抛物线开口向上，m c ∴>；（2）解：①当0a >时，m c > ，212a a +∴<，221a a ∴<+恒成立，c n > ，2ba ∴>，24b ≤≤ ，2a ∴>；②当102a -≤<时，m c > ，212a a +∴≥，221a a ∴≥+恒不成立，102a ∴-≤<舍去；③当12a <-时，210a +<，m c > ，212a a +∴<，221a a ∴<+恒成立，c n > ，2ba ∴<，24b ≤≤ ，1a ∴<，12a ∴<-，综上所述，2a >或12a <-．27. （1）解：如图所示即为所求，（2）解：∵ABC 是等边三角形，∴60∠=∠=∠=︒A B C ，∵ADQ DEB α∠=∠=，∵射线DA 绕点D 顺时针旋转α，得到射线DQ∴ADF α∠=；∴180BDF α∠=- ；∵DEB α∠=∴18060120BDE αα∠=--=- ∴180(120)60EDF BDF BDE αα∠=∠-∠=---=（3）解：EF FC =，理由如下：在CA 上截取CG ，使CG =CE ，连接EG 、DG ，∵ABC 是等边三角形，∴60ACB ∠=︒，AC BC=∴EGC 是等边三角形，∴60GEC ∠=︒，GE EC=∵60EDF ∠=︒，DF DE=∴DEF 是等边三角形，∴60DEF ∠=︒，DE EF=∴DEF FEG GEC FEG∠+∠=∠+∠即DEG FEC∠=∠∴DEG FEC∆≅∆∴CF DG =，∵AC GC BC EC-=-∴AG BE=∵点D 是AB 的中点，∴AD DB=∵A B∠=∠∴BDE ADG∆≅∆∴DE DG =，∴FE FC =，28. （1）解：如图所示，故答案为：12,K K ．（2）解：根据题意，点P 是直线3y x =+上的点，则点P 关于y 轴的对称点在直线3y x =-+上，由题意可得，点K 在直线3y x =+上，P Q P K ''=且P Q P K ''⊥，如图所示，作P A y '⊥轴于点A ，分别作P C x '⊥轴，KC y ⊥轴，KC 交y 轴于点B ，P C '与KC 交于点C ，∴四边形ABCP '为矩形，∵90QP K AP C ''∠=∠=︒∴QP A KP C''=∠∠又∵,90P Q P K QAP KCP ''''=∠=∠=︒∴QP A KP C'' ≌∴,P A P C QA KC''==∴四边形ABCP '为正方形，设3,()P m m '-+∴(03)(23,,,)A m C m m -+-+∵5(3)2QA KC m m ==--+=+∴(223)K m --+，将点(223)K m --+，代入直线3y x =+中，解得：1m =∴(12)P '，∴(12)P -，（3）解：由（1）可得，K 点的轨迹为垂直于直线l 垂直的一条直线，当0t >时，如图所示，在 M '上找到一点P '，得K 点落在2y x =+上，则当K 的轨迹所在直线k 与M 相切时，t 取得最大值，∵()0,M t ，关于直线2y x =+对称，∴()2,2M t '-如图所示，当K 刚好在直线2y x =+上时，()1,3K ，依题意，QP K ' 是等腰直角三角形，∵直线l 与直线k 垂直，且过点()1,3K ∴直线k 的解析式为4y x =-+∵1r =∴4t =+，如图所示，当0t <时，同理可得t =综上所述，4t ≤≤．。

2023北京丰台初三二模数 学2023. 05考生须知1. 本试卷共8页，共三道大题，28道小题. 满分100分. 考试时间120分钟.2. 在试卷和答题卡上认真填写学校名称、班级、姓名和考号.3. 试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.4. 选择题和作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答.5. 考试结束，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分 选择题一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1. 右图是某几何体的展开图，该几何体是（A ）圆柱（B ）三棱柱（C ）圆锥（D ）球2. 如图，AB ∥CD ，点E 为CD 上一点，AE ⊥BE ，若∠B =55°，则∠1的度数为（A ）35°（B ）45°（C ）55°（D ）65°3. 实数a ，b ，c 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（A ）a ＞c（B ）b ＞1（C ） b ＜c（D ）ac ＞04. 以下图形绕点O 旋转一定角度后都能与原图形重合，其中旋转角最小的是（A ）（B ）（C ）（D ）5. 已知3.52=12.25，3.62=12.96，3.72=13.69，3.82=14.44精确到0.1的近似值是（A ）3.5（B ）3.6（C ）3.7（D ）3.86. 掷一枚质地均匀的硬币m 次，正面向上n 次，则nm的值 1DE ABC（A）一定是12（B）一定不是12（C）随着m的增大，越来越接近12（D）随着m的增大，在12附近摆动，呈现一定的稳定性7. 我国明代数学读本《算法统宗》一书中有这样一道题：一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托，索和竿子各几何？（1托为5尺）其大意为：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长5尺，如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺，那么绳索和竿各长几尺？设绳索长为x尺，竿长为y尺，根据题意列方程组，正确的是（A）5152x yy x-=⎧⎪⎨-=⎪⎩，（B）5152x yx y-=⎧⎪⎨-=⎪⎩，（C）525y xx y-=⎧⎨-=⎩，（D）525x yy x-=⎧⎨-=⎩，8. 下面三个问题中都有两个变量：①如图1，货车匀速通过隧道（隧道长大于货车长），货车在隧道内的长度y与从车头进入隧道至车尾离开隧道的时间x；②如图2，实线是王大爷从家出发匀速散步行走的路线（圆心O表示王大爷家的位置），他离家的距离y与散步的时间x；③如图3，往空杯中匀速倒水，倒满后停止，一段时间后，再匀速倒出杯中的水，杯中水的体积y与所用时间x图1 图2 图3其中，变量y与x之间的函数关系大致符合右图的是（A）①②（B）①③（C）②③（D）①②③第二部分非选择题二、填空题（共16分，每题2分）9.在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是________．隧道ABCO10. 分解因式：2233=x y -________.11. 正十边形的外角和为________°.12. 如图所示，正方形网格中，三个正方形A ，B ，C 的顶点都在格点上，用等式表示三个正方形的面积S A ，S B ，S C 之间的关系________.13. 在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数11y x =（x ＞0）和2ky x=（x ＞0）的图象如图所示，k 的值可以是________（写出一个即可）.14. 若b a -=2，则代数式222+a b aba b a b---的值为________.15. 右图是某书店2022年7月至12月教育类图书销售额占当月全部图书销售额的百分比折线统计图. 小华认为，8月份教育类图书销售额比7月份减少了. 他的结论 （填“正确”或“错误”），理由是 .16.甲地组织20辆汽车装运食品、药品、生活用品三种物资共100吨到乙地. 每辆汽车可装运物资的运载量和每吨所需运费如下表.物资种类食品药品生活用品每辆汽车运载量/吨654每吨所需运费/元120160100如果20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种物资且必须装满，每种物资至少装运1辆车，那么总运费最少的车辆安排方案为：装运食品、药品、生活用品的汽车辆数依次是 ，此时总运费为元.三、解答题（共68分，第17-21，23题，每题5分，第22，24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17. 计算：3112sin 30(1)().2-+- 18. 解方程：1111x x x +=-+.y 1教育类图书销售额占当月全部图书销售额的百分比折线统计图19. 下面是过直线外一点，作已知直线的平行线的两种方法. 请选择一种作法，使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹），并完成证明.20. 已知关于x 的一元二次方程04222=-+-m mx x . （1）求证：该方程总有两个不相等的实数根；（2）选择一个m 的值，使得方程至少有一个正整数根，并求出此时方程的根．21. 如图，在△ABC 中，∠ABC = 90°，点D 为AC 的中点，连接DB ，过点C 作CE ∥DB ，且CE =DB ，连接BE ，DE ．（1）求证：四边形BECD 是菱形；（2）连接AE ，当∠ACB =30°，AB =2时，求AE 的长．22. 某校兴趣小组在学科实践活动中，从市场上销售的A ，B 两个品种的花生仁中各随机抽取30粒，测量其长轴长度，然后对测量数据进行了收集、整理和分析．下面是部分信息.a . 两种花生仁的长轴长度统计表：花生仁长轴长度（mm ）12131415161718192021A 品种花生仁粒数51067200000B 品种花生仁粒数23645442b . 两种花生仁的长轴长度的平均数、中位数、众数、方差如下：平均数中位数众数方差A 品种花生仁a 13.5c 1.4B 品种花生仁17.5b163.9根据以上信息，回答下列问题：（1）兴趣小组的同学在进行抽样时，以下操作正确的是______（填序号）；①从数量足够多的两种花生仁中挑取颗粒大的各30粒；②将数量足够多的两种花生仁分别放在两个不透明的袋子中，摇匀后从中各取出30粒；（2）写出a ，b ，c 的值；（3）学校食堂准备从A ，B 两个品种的花生仁中选购一批做配菜食材，根据菜品质量要求，花生仁大小要均匀，那么兴趣小组应向食堂推荐选购 （填“A ”或“B ”）品种花生仁，理由是 ．23. 在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y kx b =+的图象经过点（2，0），（3，1）．（1）求这个一次函数的表达式；A BCDE（2）当x m >时，对于x 的每一个值，正比例函数y mx =的值大于一次函数y kx b =+的值，直接写出m 的取值范围．24. 如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 是⊙O 的直径，点D 是BC 的中点，点E 是AB 的延长线上的一点，∠BCE =∠BOD ，OD 的延长线交CE 于点F ．（1）求证：CE 是⊙O 的切线；（2）若sin E ＝23，AC ＝5，求DF 的长．25. 学校新建的体育器材室的一面外墙如图1所示，它的轮廓由抛物线和矩形ABCD 构成．数学兴趣小组要为器材室设计一个矩形标牌EFGH ，要求矩形EFGH 的顶点E ，H 在抛物线上，顶点F ，G 在矩形ABCD 的边AD 上．为了设计面积最大的矩形EFGH ，兴趣小组对矩形EFGH 的面积与它的一边FG 的长之间的关系进行研究．图1 图2具体研究过程如下，请补充完整. （1）建立模型：以FG 的中点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系xOy ，通过研究发现，抛物线满足函数关系211224y x x (≤≤）=-+-. 设矩形EFGH 的 面积为S 2m ，FG 的长为a m ，则另一边HG 的长为________m （用含a 的代数式表示），得到S 与a 的关系式为：___________（0＜a ＜4）；HGFE DCBAED BC AOF（2）探究函数：列出S 与a 的几组对应值：a / m…0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5…S /2m …0.490.941.291.501.521.310.82…在下面的平面直角坐标系中，描出表中各组数值对应的点，并画出该函数的图象；（3）解决问题：结合函数图象得到，FG 的长约为_________m 时，矩形面积最大．26. 在平面直角坐标系xOy 中，点（4，3）在抛物线23y ax bx =++（a ≠0）上．（1）求抛物线的对称轴；（2）若点（x 1，5），（x 2，-3）在抛物线上，求a 的取值范围；（3）若点（m ，y 1），（m +1，y 2）在抛物线上，对于任意的m ≥3，都有21y y -≥3，直接写出a 的取值范围．27. 如图，在等边△ABC 中，点D ，E 分别在CB ，AC 的延长线上，且BD=CE ， EB 的延长线交AD 于点F ．（1）求∠AFE 的度数；（2）延长EF 至点G ，使FG=AF ，连接CG交AD 于点H . 依题意补全图形， 猜想线段CH 与GH 的数量关系，并证明．CEDBAF28. 对于⊙W和⊙W的弦PQ，以PQ为边的正方形为PQ关于⊙W的“关联正方形”. 在平面直角坐标系xOy中，已知点T（m，0），点M（m，-1），以点T为圆心，TM的长为半径作⊙T，点N为⊙T上的任意一点（不与点M重合）．（1）当m=0时，若直线y=x+t上存在点在MN关于⊙T的“关联正方形”上，求t的取值范围；（2）若点A在MN关于⊙T的“关联正方形”上，点B（-m+2，3）与点A的最大距离为d，当d取最小值时，直接写出此时m和d的值.参考答案一、选择题（本题共16分，每小题2分）题号12345678答案CACDBDAD二、填空题（本题共16分，每小题2分）9. x ≥510. 3（x +y ）（x -y ）11. 36012. S A +S B =S C （答案不唯一，其他形式相应给分） 13. 2（答案不唯一，k ＞1即可） 14. 215. 错误；理由合理即可16. 9，2，9；11680.三、解答题（共68分，第17-21，23题，每题5分，第22，24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）17.解：原式=1-1-+2. ……4分=2-. ……5分18.解：去分母，得x （x +1）+（x -1）=（x +1）（x -1）.去括号，得x 2+x +x -1=x 2-1. 移项，得2x =0.系数化为1，得x =0. ……4分检验:当x =0时，（x +1）（x -1）≠0. ∴原分式方程的解为x =0. ……5分19.解：选择作法一：正确补全图形； ……2分证明：∵AB = AP ，CB = CQ ，∴PQ ∥l (三角形的中位线定理). 5分2222l选择作法二：正确补全图形； ……2分证明：∵AP = BQ ，AB = PQ ，∴四边形APQB 是平行四边形（ 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ）.∴PQ ∥l (平行四边形的对边平行). ……5分20.（1）证明：∵=b 2-4ac=4m 2-4（m 2-4）=16＞0.∴该方程总有两个不相等的实数根. …3分（2）取m=0,原方程可化为 解得x 1=2，x 2=-2. ……5分（答案不唯一，取符合题意的m 值相应给分） 21.（1）证明：∵CE ∥DB ,且CE =DB , ∴四边形BECD 是平行四边形.……1分∵∠ABC =90°,点D 是AC 边中点， ∴BD=AC=CD . ∴四边形BECD 是菱形. ……2分 （2）证明：∵四边形BECD 是菱形， ∴AC ∥BE ,CD=BE .∵点D 是AC 中点， ∴AD =CD =BE .∵AD ∥BE ,AD =BE . ∴四边形ABED 是平行四边形. ∵∠ACB =30°,∠ABC =90°，∴AB =AC =AD .l∆042=-x 2121EABCDFABCD EO∴四边形ABED 是菱形.∴AE ⊥BD ，AE =2AO .∴∠AOB=90°.∵∠ACB =30°,∴∠CAB =60°.∴∠EAB=∠CAB =30°.∴AO=AB =.∴AE =2AO =. ……5分22.解：（1）②； ……1分（2）a =13.7，b =17.5，c =13； ……4分（3）A ，A 品种花生仁长轴长度方差小，说明该品种花生仁大小更均匀. 6分23.解：（1）∵一次函数的图象经过点（2，0），（3，1），∴解得∴一次函数表达式为. …3分（2） ……5分24.（1）证明：连接OC .∵D 是BC 的中点，∴OD ⊥BC . ……1分∵OC =OB ，∴∠OBC=∠OCB .∵∠BOD=∠BCF ，∴∠BOD+∠OBC=∠BCF+∠OCB .∴∠BCF+∠OCB =90°. ……2分即∠OCE =90°. ∴OC ⊥CE .∵OC ⊙O 的半径，∴CE 是⊙O 的切线. ……3分2123332y kx b =+2031,k b k b ì+=ïïíï+=ïî12k ,b .ì=ïïíï=-ïî2y x =-1≥m .ED B CA O F（2）解：∵∠OCE =90°，sin E=，∴.设OC=2k ，OE=3k ，则BE=OE -OB=k .∴AE=AB+BE=5k .∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB =90°∴∠ACB =∠ODB ，∴AC ∥OF .∴△EOF ∽△EAC . ……4分∴.∵AC =5,∴OF=3. ……5分∵CD=BD ,AO=BO ,∴OD=AC=.∴DF=OF -OD=. ……6分25.解：（1）()，； 2分（2）正确画出该函数的图象； …4分（3）2.3 . ……6分26.解：（1）由题意得抛物线经过点（0，3）和点（4，3），∴抛物线的对称轴. …1分（2）∵抛物线的对称轴，∴.∴抛物线顶点坐标为.3232=OE OC 53==AE OE AC OF1225122116a -+316a S a =-+0422x +==22bx a =-=4b a =-()234,a -∵点，在抛物线上，∴当a ＞0时，，解得；当a ＜0时，，解得.综上所述，或. ……4分（3）或. ……6分27.（1）解：∵等边△ABC ，∴AB =BC ,∠ACB=∠ABC=60°.∴∠ABD=∠BCE=120°.∵CE =BD ，∴△ABD ≌△BCE . ……1分∴∠D=∠E .∵∠DBF=∠CBE ，∴∠D+∠DBF=∠E+∠CBE .即∠AFE=∠ACB=60°. ……2分（2）正确补全图形；……3分CH=GH ； ……4分证明：在EF 上截取FM=FA,连接AM ，CM .∵∠AFE=60°，∴ △AFM 是等边三角形.∴∠FAM=∠AFM=60°，AM=AF=MF .∵△ABC 是等边三角形,∴∠BAC=60°,AB=AC .∴∠BAC -∠MAB=∠FAM -∠MAB .即∠CAM=∠BAF .∴△ACM ≌△ABF . ……5分1(,5)x 2(,3)x 343a ≤--32a ≥345≥a -12≤-a 32a ≥12≤-a 1a ≥1a ≤-M GFAB D CH∴∠AMC=∠AFE=60°.∴∠CMF=∠AMC+∠AMB=120°.∴∠CMF+∠AFE=180°.∴CM ∥HF . ……6分∴.∵FM=AF ，AF=GF ，∴FM=GF .∴CH=GH . ……7分28.解：（1）如图，MN 关于⊙T 的“关联正方形”上的所有点在以C （-1，0）和D （1，0径，以E （-1，-1），F （1，-1）和O （0，0）为圆心，1为半径的五个圆上及圆内.由直线y=x +t 上存在点在MN 关于⊙T的“关联正方形”上，可知：当直线与⊙C 相切时，设切点为G ，交x 轴于点H ，交y 轴于点I ，由CG =，得CH =2，∴OH =OI =3，此时t =3；当直线与⊙F 相切时，设切点为J ，交y 轴于点K ，由OJ =OK ，∴此时t =.综上所述，. ……3分（2）m =1；d . ……7分MF GFCH GH21+2-23≤≤t -1。

2023北京大兴初三二模数 学2023．05考生须知1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分，考试时间120分钟。

2．在答题纸上准确填写学校名称、准考证号，并将条形码贴在指定区域。

3．题目答案一律填涂或书写在答题卡上，在练习卷上作答无效。

4．在答题纸上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。

5．练习结束，请将答题纸交回。

一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）A ．长方体B ．正方体C ．圆柱D ．圆锥2．国家统计局官网显示，2023年第一季度国内生产总值达284997亿元，比去年同一时期增长4.5%．数据28499700000000用科学记数法表示应为（ ）A ．1228.499710⨯B ．132.8499710⨯C ．142.8499710⨯D ．140.28499710⨯3．正六边形的外角和是（ ）A ．180︒B ．360︒C ．540︒D ．720︒4．下列运算结果正确的是（ ）A ．3332b b b ⋅=B ．22()ab ab-=-C ．523a a a ÷=D ．23a a a +=5．实数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）A ．a b<B ．0a b ->C ．0a b +<D ．0ab >6．如图，将一块直角三角板的顶点B 放在直尺的一边DE 上，当DE 与三角板的一边AC 平行时，则ABD ∠的度数为（ ）A ．100︒B ．120︒C ．135︒D ．150︒7．不透明的盒子中装有红、白两色的小球共n （n 为正整数）个，这些球除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球，记录颜色后放回并摇匀，不断重复这一过程．下图显示了用计算机模拟实验的结果．下面有三个推断：①随着实验次数的增加，“摸到红球”的频率总在0.35附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“摸到红球”的概率是0.35；②若盒子中装40个小球，可以根据本次实验结果，估算出盒子中有红球14个；③若再次进行上述摸球实验，则当摸球次数为200时，“摸到红球”的频率一定是0.40．所有合理推断的序号是（ ）A ．①②B ．②C ．①③D ．①②③8．如图1，点P ，Q 分别从正方形ABCD 的顶点A ，B 同时出发，沿正方形的边逆时针方向匀速运动，若点Q 的速度是点P 速度的2倍，当点P 运动到点B 时，点P ，Q 同时停止运动．图2是点P ，Q 运动时，BPQ △的面积y 随时间x 变化的图象，则正方形ABCD 的边长是（ ）A ．2B ．C ．4D ．8二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．若代数式13x -有意义，则实数x 的取值范围是________．10．分解因式：39x x -=________．11．方程组2,25x y x y +=-⎧⎨-=⎩的解是________．12．如果1a b -=，那么代数式22(2)a b a bb a a+--÷的值为________．13．下图是根据A ，B 两城市一周的日平均气温绘制的折线统计图，根据统计图判断日平均气温较稳定的城市是________（填“A ”或“B ”）．14．如图，点B ，E ，C ，F 在一条直线上，//AC DF ，BE CF =，只需添加一个条件即可证明ABC DEF △≌△，这个条件可以是________（写出一个即可）．15．如图，在正方形网格中，A ，B ，C ，D 是网格线交点，AC 与BD 相交于点O ，小正方形的边长为1，则AO 的长为________．16．某公司需要采购甲种原料41箱，乙种原料31箱．现安排A ，B ，C 三种不同型号的卡车来运输这批原料，已知7箱甲原料和5箱乙原料可装满一辆A 型卡车；5箱甲原料和7箱乙原料可装满一辆B 型卡车；3箱甲原料和2箱乙原料可装满一辆C 型卡车．A 型卡车运输费用为一次2000元，B 型卡车运输费用为一次1800元，C 型卡车运输费用为一次1000元．（1）如果安排5辆A 型卡车、1辆B 型卡车、1辆C 型卡车运输这批原料，需要运费________元；（2）如果要求每种类型的卡车至少使用一辆，则运输这批原料的总费用最低为________元．三、解答题（本题共68分，第17-20题每小题5分，第21题6分，第22题5分，第23-24题每小题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17112sin 451(3-︒+．18．解不等式组：2(1)2,1.32x x x x -+-≥<⎧⎪⎨⎪⎩19．在平面直角坐标系xOy 中，函数(0)y kx b k =+≠的图象由函数12y x =的图象平移得到，且经过点(2,0)-．（1）求该函数的解析式；（2）当2x ≥时，对于x 的每一个值，函数y x m =+的值大于函数(0)y kx b k =+≠的值，直接写出m 的取值范围．20．已知：如图，线段AB ．求作：ABC △，使得AC BC =，且30ACB ∠=︒．作法：①分别以点A 和点B 为圆心，AB 长为半径画弧，两弧在AB 的上方交于点D ，下方交于点E ，作直线DE ；②以点D 为圆心，AD 长为半径画圆，交直线DE 于点C ，且点C 在AB 的上方；③连接AC ，BC ．所以ABC △就是所求作的三角形．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接AD ，BD ，AE ，BE ．∵AD BD =，AE BE =，∴DE 是线段AB 的垂直平分线，∴AC =________．∵AB BD AD ==，∴ABD △为等边三角形，∴60ADB ∠=︒．∵AB AB =，∴12ACB ADB ∠=∠（________）（填推理的依据），∴30ACB ∠=︒．21．如图，在ABC △中，AB AC =，AD BC ⊥于点D ，延长DC 到点E ，使CE CD =．过点E 作//EF AD 交AC 的延长线于点F ，连接AE ，DF ．（1）求证：四边形ADFE 是平行四边形；（2）过点E 作EG DF ⊥于点G ，若2BD =，5AE =，求EG 的长．22．已知关于x 的方程2(4)40x m x m -++=．（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若该方程有一个根小于1，求m 的取值范围．23．某中学为普及天文知识，举行了一次知识竞赛（百分制）．为了解七、八年级学生的答题情况，从中各随机抽取了40名学生的成绩，并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a ．七年级学生竞赛成绩的频数分布表：成绩频数频率5060x ≤<20.056070x ≤<4m 7080x ≤<100.258090x ≤<140.3590100x ≤≤100.25合计401.00b ．八年级学生竞赛成绩的扇形统计图：c ．八年级学生竞赛成绩在8090x ≤<这一组的数据是80，80，82，83，83，84，86，86，87，88，88，89，89，89d ．七、八年级学生竞赛成绩的中位数如下：中位数七年级81八年级n根据以上信息，回答下列问题：（1）写出表中m ，n 的值：m =________，n =________；（2）此次竞赛中，抽取的一名学生的成绩为83分，在他所在的年级，他的成绩超过了一半以上被抽取的学生的成绩．他是哪个年级的学生，请说明理由；（3）该校八年级有200名学生，估计八年级竞赛成绩80分及80分以上的学生共有________人．24．如图，AB 是O 的直径，点C 是O 上一点，AD 平分CAB ∠交O 于点D ，过点D 作DE AC ⊥交AC 的延长线于点E ．（1）求证：直线DE 是O 的切线；（2）延长AB 与直线DE 交于点F ，若5AB =，4cos 5AFD ∠=，求DE 的长．25．“急行跳远”是田径运动项目之一．运动员起跳后的腾空路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到落入沙坑的过程中，运动员的竖直高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）近似满足函数关系2()(0)y a x h k a =-+<．某中学一名运动员进行了两次训练．（1）第一次训练时，该运动员的水平距离x 与竖直高度y 的几组数据如下：水平距离/m x 01 1.52 2.53竖直高度/my 00.750.937510.93750.75根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系2()(0)y a x h k a =-+<；（2）第二次训练时，该运动员的竖直高度y 与水平距离x 近似满足函数关系20.25( 2.2) 1.21y x =--+．记该运动员第一次训练落入沙坑点的水平距离为1d ，第二次训练落入沙坑点的水平距离为2d ，则1d ________2d （填“>”“=”或“<”）．26．在平面直角坐标系xOy 中，点(2,1)在抛物线21(0)y ax bx a =++>上．（1）求抛物线的对称轴；（2）已知点0(,)A x m ，点(3,)B n 在抛物线上，若对于01t x t ≤≤+，都有m n <，求t 的取值范围．27．如图，在ABC △中，45B ∠=︒，将线段AC 绕点A 逆时针旋转得到线段AD ，且点D 落在BC 的延长线上，过点D 作DE AC ⊥于点E ，延长DE 交AB 于点F ．（1）依题意补全图形．求证：12BDF CAD ∠=∠；（2）用等式表示线段CD 与BF 之间的数量关系，并证明．28．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(,0)A r -，(,0)B r ．点P 为平面内一点（不与点A ，点B 重合），若ABP △是以线段AB 为斜边的直角三角形，则称点P 为线段AB 的直点．（1）若1r =，①在点111(,)22P -，2(0,1)P ，3(1,1)P --这三个点中，点________是线段AB 的直点；②点P 为线段AB 的直点，点(1,1)C -，求CP 的取值范围；（2）点D 在直线1y x =-上，若点D 的横坐标D x 满足24D x <<，点P 为线段AB 的直点，且1DP =，直接写出r 的取值范围．参考答案一、选择题（本题共16分，每小题2分）题号12345678答案ABBCCDAC二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．x ≠3 10．()()33x x x +-11．13x y =⎧⎨=-⎩．， 12．113．B 14．答案不唯一，如AC =DF ，∠A =∠D 15．10316．（1）12800；（2）12600三、解答题（本题共68分，第17-20题每小题5分，第21题6分，第22题5分，第23-24题每小题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每小题7分）17．解：原式213-………………………………………………………4分4．……………………………………………………………………….…5分18．解：原不等式组为2(1)2,132x x x x -+⎧⎪⎨-⎪⎩＜.①②解不等式①，得0x >．……………………………………………………………………2分解不等式②，得3x ≤．……………………………………………………………………4分∴ 原不等式组的解集为03x <≤．…………………………………………………………5分19．解：（1）∵ 函数(0)y kx b k =+≠的图象平行于函数12y x =的图象，且经过点()2,2， ∴ 1220.k k b ⎧=⎪⎨⎪-+=⎩，…………………………………………………………………2分 解得121.k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ∴该函数的表达式为112y x =+．………………………………………………3分（2）0m ＞．………………………………………………………………………………5分20．（1）补全图形如图所示．……………………………………………………………………………2分（2）BC；……………………………………………………………………………………3分一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．……………………………………5分21．（1）∵EF∥AD，∴∠DAC=∠EFC．∵∠ACD=∠FCE，CD=CE，∴△ACD≌△FCE，∴AD=EF．∵AD∥EF，AD=EF，∴四边形ADFE是平行四边形．…………………………………………………………3分（2）∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD，∵CD=2，∴BD=2．∵CD=CE，∴CE=2，∴DE=4．∵AE=5，∴=AD∴AD=3，∴sin∠AED=ADAE=35．∵四边形ADFE是平行四边形，∴AE∥DF，∴∠EDF=∠AED，∴sin∠EDF=sin∠AED=35．∵EG⊥DF，∴∠EGD=90°，∴sin∠EDF=3=5 EGDE．又∵DE=4，∴EG=125．…………………………………………………………………………………6分22．（1）证明：∵2[(4)]44m m∆=-+-⨯2816m m =-+2(4)0m =-≥…………………………………………………………………………2分∴方程总有两个实数根．…………………………………………………………………3分（2）解：由求根公式，得(4)(4)2m m x +±-=∴14x =，2x m =，…………………………………………………………………………4分依题意可得1m <． ………………………………………………………………………5分23．解：（1）m =0.10，n =85．…………………………………………………………………2分（2）七年级，理由如下：因为被抽取的七年级学生成绩的中位数是81，81<83，所以该生的成绩超过了一半以上被抽取的七年级学生的成绩；因为被抽取的八年级学生成绩的中位数是85，83<85，所以该生的成绩低于一半被抽取的八年级学生的成绩；所以该名学生是七年级学生．……………………………………………………………4分（3）130．…………………………………………………………………………………6分24．证明：（1）连接OD ．∵AD 平分∠CAB ，∴∠BAD =∠CAD ．∵OD =OA ，∴∠ODA =∠OAD ，∴∠ODA =∠CAD ，∴OD ∥AE ，∴∠E +∠ODE =180°．∵DE ⊥AC ．∴∠E =90°，∴∠ODE =90°，∴OD ⊥EF ．又∵点D 在⊙O 上，∴直线DE 是⊙O 的切线．………………………………………………………………3分（2）连接BC 交OD 于点H ．∵AB 为直径，∴∠ACB =90°，∴∠BCE =90°．又∵∠E =90°，∠ODE =90°，∴四边形CEDH 为矩形，∴CH ∥EF ，∴∠ABC =∠F ，∴cos ∠ABC =cos F =45．又∵AB =5，cos ∠ABC=BC AB =45，∴BC =4．∵四边形CEDH 为矩形，∴OH ⊥BC ，∴CH =12BC =2．∵四边形CEDH 为矩形，∴DE =CH =2．……………………………………………………………………………6分25．解：（1）1； ………………………………………………………………………………1分由题意可知，抛物线的顶点为（2，1）．则抛物线解析式为2(2)10y a x a =-+<（）．∵ 当x ＝0时，y ＝0，∴ 20(02)1a =-+，解得 0.25a =-．∴ 抛物线的解析式为20.25(2)1y x =--+．.……………………………………………3分（2）<．……………………………………………………………………………………5分26．解：（1）将点（2，1）代入()210y ax bx a =++＞，得4211a b ++=2b a=-∴2122b a x a a-=-=-=∴抛物线的对称轴为直线1x =．…………………………………………………………2分（2）∵B （3，n ）∴点B 关于对称轴的对称点坐标为()1n -，，∵0a >，∴抛物线开口向上，∵点()()03A x m B n ，，，在抛物线上，且m ＜n ，∴013x -＜＜，∵01t x t +≤≤∴113tt -⎧⎨+⎩＜＜解得12t -＜＜．……………………………………………………………………………6分27．（1）依题意补全图形，如图1． ……….……………………………………………1分图1 图2证明：如图2，过点A 作AG ⊥BD 于点G ．∵AC =AD ，∴∠CAG =∠GAD =12∠CAD ，∵AG ⊥BD ，∴∠ACD +∠CAG =90°．∵DE ⊥AC ，∴∠ACD +∠BDF =90°，∴∠BDF =∠CAG ，∴∠BDF =12∠CAD ．….………………………………………………………………3分（2）如图2，数量关系：CDBF ．证明：过点F 作FH ⊥BC 于点H ．∵AG ⊥BD ，∠B =45°，∴∠BAG =45°．∵∠FAD =∠BAG +∠GAD ，∴∠FAD =45°+∠GAD ．∵∠AFD =∠B +∠BDF ，∴∠AFD =45°+∠BDF ，又∵∠GAD =∠BDF ，∴∠AFD =∠FAD ，∴DF =AD ．∵FH ⊥BC ，∴∠FHD =90°．∵AG ⊥BD ，∴∠AGD =90°，∴∠FHD =∠AGD ．∵∠BDF =∠GAD ，∴△FHD ≌△DGA ，∴FH=GD．在Rt△FHB中，∠B=45°，∴sin B=FHBF,∴FHBF,∵AC=AD，AG⊥CD，∴CD=2DG，∴CD=2FH，∴CDBF．…….………………………………………………………………………7分28．解：（1）①2P；………………………………………………………………………1分②如图：解：∵r=1，∴点A(-1，0），B（1，0）．∵点P为线段AB的直点，∴点P在⊙O上．情况1：连接CO交⊙O于点P，此时CP最短，连接CA，∵C（-1，1），A（-1,0），∴AC=OA=1，CA⊥AO，∴=OC，∴=OC．∵CP=CO-OP，∴=1CP．情况2：延长CO交⊙O于点P'，此时CP'最长．∵CP'=CO+OP'，∴=+1CP'．∴CP11≤CP．………………………………………………………5分（2）r16＜＜r．……………………………………………………………7分解：∵r=1，∴点A(-1，0），B（1，0）．∵点P 为线段AB 的直点，∴点P 在以AB 为直径的⊙O 上，OP =1．如图，连接OC ，OP ．∵C （-1，1），∴=OC ．∴OC >OP∴+OC OP PC OC OP -≤≤∴CP11≤CP。

2024北京二中初三二模数 学一、选择题（每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．）1. 下列图形是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D.2. 将抛物线25y x =先向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，得到新抛物线的表达式是（ ）A. 25(2)3y x =++B. 25(2)3y x =-+C. 25(2)3y x =--D. 25(2)3y x =+-3. 已知O 的半径为 r ，点P 到圆心的距离为d ．如果d r ≥，那么点P （ ）A. 在圆外B. 在圆外或圆上C. 在圆内或圆上D. 在圆内4. 一个多边形的内角和等于1260︒，则它是（ ）A. 五边形B. 七边形C. 九边形D. 十边形5. 正比例函数y=kx 和反比例函数2k 1y x+=-（k 是常数且k≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是A. B. C. D.6. 若13a a -=-，则221a a +的结果是（ ）A. 7 B. 9 C. ﹣9 D. 117. 如图是30名学生A ，B 两门课程成绩的统计图，若记这30名学生A 课程成绩的方差为21S ，B 课程成绩的方差为22S ，则21S ，22S 的大小关系为（ ）A. 2212s s <B. 2212s s =C. 2212S s >D. 不确定8. 如图①，底面积为230cm 的空圆柱容器内水平放置着由两个实心圆柱组成的“几何体”，现向容器内匀速注水，注满为止，在注水过程中，水面高度()cm h 与注水时间()s t 之间的关系如图②．若“几何体”的下方圆柱的底面积为215cm ，求“几何体”上方圆柱体的底面积为（ ）2cmA. 24B. 12C. 18D. 21二、填空题（本大题共8小题）9. 分解因式：32232x y x y xy -+-= ______10. 如图，身高为1.8米的某学生想测量学校旗杆的高度，当他站在B 处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得AB ＝3米，AC ＝10米，则旗杆CD 的高度是_________米．11. 若分式67x--的值为正数，则x 满足______12. 请写出一个解为34x y =⎧⎨=-⎩，的二元一次方程组，这个方程组可以是_________．13. 若点P 是△ABC 角平分线的交点，且S △ABC ＝30，C △ABC ＝30，则点P 到边AB 的距离是 _____．14. 如图，在ABC 中，AB 的垂直平分线DE 交AC 于点E ，AB AC =，72C ∠=︒，若4AB =，则CE 的长度为________．15. 正六边形内接于圆，则它的边所对的圆周角的度数为______．16. 某超市现有n 个人在收银台排队等候结账．设结账人数按固定的速度增加，收银员结账的速度也是固定的．若同时开放2个收银台，需要20分钟可使排队等候人数为0；若同时开放3个收银台，需要12分钟可使排队等候人数为0．为减少顾客等待结账的时间，需要6分钟内使排队等候人数为0，则需要至少同时开放_______个收银台．三．解答题（共12小题，满分68分）17. 计算：2cos45°﹣|1|＋（13）﹣118. 解不等式组243(2)312x x x +≤+⎧⎨-<⎩．19. 已知关于x 的一元二次方程2(21)20mx m x m --+-=有两个不相等的实数根．（1）求m 的取值范围；（2）若方程有一个根是0，求方程的另一个根．20. 有趣的倍圆问题：校园里有个圆形花坛，春季改造，负责该片花园维护的某班同学经过协商，想把该花坛的面积扩大一倍．他们在图纸上设计了以下施工方案：①在⊙O 中作直径AB ，分别以A 、B 为圆心，大于12AB 长为半径画弧，两弧在直径AB 上方交于点C ，作射线OC 交⊙O 于点D ；②连接BD ，以O 为圆心BD 长为半径画圆；③大⊙O 即为所求作．（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成如下证明：证明：连接CA 、CB在△ABC 中，∵CA ＝CB ，O 是AB 的中点，∴CO ⊥AB （ ）（填推理的依据）设小O 半径长为r∵OB ＝OD ，∠DOB ＝90°∴BD r∴S 大⊙O ＝πr ）2＝ S 小⊙O ．21. 如图，在ABC 中，点D 为AC 边上一点，连结BD 并延长到点E ，过点E 作EF BC ∥交AC 于点F ，交AB 于点G ．（1）若BD DE =，求证：CD DF =；（2）若7025BG GE ACB E =∠=︒∠=︒，，，求∠A 的度数．22. 在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线()230y ax bx a =+-≠，经过点()1,0A -，()4,5B ．（1）求该抛物线的解析式．（2）点P 是x 轴上的动点，过点P 作垂直于x 轴的直线l ，直线l 与该抛物线交于点M ，与直线AB 交于点N ，当PM PN >时，求点P 的横坐标p x 的取值范围．23. 小彬在今年的篮球联赛中表现优异．下表是他在这场联赛中，分别与甲队和乙队各四场比赛中的技术统计．场次对阵甲队对阵乙队得分篮板失误得分篮板失误第一场2110225172第二场2910231150第三场2414316124第四场261052282平均值a 11223.5132（1）小彬在对阵甲队时的平均每场得分a 的值是______分；（2）小彬在这8场比赛的篮板统计数据中，众数是______，中位数是______；（3）如果规定“综合得分”为：平均每场得分1⨯+平均每场篮板 1.2⨯+平均每场失误()1⨯-，且综合得分越高表现越好．利用这种方式，我们可以计算得出小彬在对阵乙队时的“综合得分”是37.1分．请你比较小彬在对阵哪一个队时表现更好，并说明理由．24. 如图1，直线AB 与直线1l ，2l 分别交于C ，D 两点，点M 在直线k 上，射线DE 平分ADM ∠交直线1l 于点Q ，2AC Q C D Q ∠=∠．（1）证明：12l l ∥；（2）如图2，点P 是CD 上一点，射线QP 交直线2l 于点F ，70ACQ ∠=︒．①若15QFD ∠=︒，求出FQD ∠的度数．②点N 在射线DE 上，满足QCN QFD ∠=∠，连接CN ，请补全图形，探究CND ∠与PQD ∠的等量关系，并写出证明过程．25. 小云在学习过程中遇到一个函数21||(1)(2)6y x x x x =-+≥-．下面是小云对其探究的过程，请补充完整：（1）当20x -≤<时，对于函数1||y x =，即1y x =-，当20x -≤<时，1y 随x 的增大而 ，且10y >；对于函数221y x x =-+，20x -≤<当时，2y 随x 的增大而 ，且20y >；结合上述分析，进一步探究发现，对于函数y ，当20x -≤<时，y 随x 的增大而 ．（2）当0x ≥时，对于函数y ，当0x ≥时，y 与x 的几组对应值如下表：x 0121322523L y 0116167161954872L综合上表，进一步探究发现，当0x ≥时，y 随x 的增大而增大．在平面直角坐标系xOy 中，画出当0x ≥时的函数y 的图象．（3）过点(0，)(0)m m >作平行于x 轴的直线l ，结合（1）（2）的分析，解决问题：若直线l 与函数21||(1)(2)6y x x x x =-+≥-的图象有两个交点，则m 的最大值是_________．26. 小云统计了自己所住小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量（单位：千克），相关信息如下：a ．小云所住小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量统计图：b ．小云所住小区5月1日至30日分时段的厨余垃圾分出量的平均数如下：时段1日至10日11日至20日21日至30日平均数100170250（1）该小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量的平均数约为 （结果取整数）（2）已知该小区4月的厨余垃圾分出量的平均数为60，则该小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量的平均数约为4月的 倍（结果保留小数点后一位）；（3）记该小区5月1日至10日的厨余垃圾分出量的方差为21,s 5月11日至20日的厨余垃圾分出量的方差为22s ，5月21日至30日的厨余垃圾分出量的方差为23s ．直接写出222123,,s s s 的大小关系．27. 如图，在等腰△ABC 中，AC ＝BC ，D ，E 分别为AB ，BC 上一点，∠CDE ＝∠A ．（1）如图1，若BC ＝BD ，∠ACB ＝90°，则∠DEC 度数为_________°；（2）如图2，若BC ＝BD ，求证：CD ＝DE ；（3）如图3，过点C 作CH ⊥DE ，垂足为H ，若CD ＝BD ，EH ＝1，求DE －BE 的值．28. 问题探究：（1）如图1，在等边ABC 中，3AB =，点P 是它的外心，则PB ＝ ；（2）如图2，在矩形ABCD 中，3AB =，边BC 上存在点P ，使90APD ∠=︒，求矩形ABCD 面积的最小值；问题解决：（3）如图3，在四边形ABCD 中，3AB =，90A B ∠=∠=︒，45C ∠=︒，边CD 上存在点P ，使60APB ∠=︒，在此条件下，四边形ABCD 的面积是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题（每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．）1. 【答案】B【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别，根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可：把一个图形绕着某一个点旋转180︒，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B．是中心对称图形，故此选项符合题意；C．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；D．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；故选B．2. 【答案】B【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律，即可得出平移后抛物线的解析式．【详解】解：抛物线y=5x2先向右平移2个单位得到解析式：y=5（x-2）2，再向上平移3个单位得到抛物线的解析式为：y=5（x-2）2+3．故选：B．【点睛】此题考查了二次函数图象与几何变换，掌握抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题的关键．3. 【答案】B【分析】直接根据点与圆的位置关系即可得出结论．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有点P 在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d=r；点P在圆内⇔d＜r．【详解】解：∵⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d．如果d≥r，∴P点在圆外或圆上．故选B．【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键．4. 【答案】Cn-⨯=，然后解方程即【分析】设这个多边形的边数为n，根据多边形的内角和定理得到(2)1801260可．【详解】解：设这个多边形的边数为n，n-⨯=，(2)1801260n=，解得9故这个多边形为九边形．故选：C ．【点睛】本题考查了多边形的内角和定理，解题的关键是掌握n 边形的内角和为2180()n -⨯︒．5. 【答案】C【分析】首先判断出反比例函数所在象限，再分情况讨论正比例函数y=kx 所过象限，进而选出答案．【详解】反比例函数2k 1y x+=-（k 是常数且k≠0）中，()2k 1-+＜0，图象在第二、四象限，故A 、D 不合题意，当k ＞0时，正比例函数y=kx 的图象在第一、三象限，经过原点，故C 符合；当k ＜0时，正比例函数y=kx 的图象在第二、四象限，经过原点，故B 不符合；．故选C ．6. 【答案】D【分析】根据完全平方的特征对式子进行整理，即(a-1a )2+2，最后整体代入进行计算可得结果.【详解】解：∵13a a -=-，∴221a a +＝（a ﹣1a ）2+2＝（﹣3）2+2＝9+2＝11，故选：D ．【点睛】本题主要考查了代数式的求值，解题的关键是掌握完全平方公式．7. 【答案】A【分析】根据方差的意义求解．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．【详解】方差体现了某组数据的波动情况，波动越大，方差越大，由图可知，B 课程成绩的波动大，A 课程成绩的波动小，∴2212s s <；故选：A ．【点睛】本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．8. 【答案】A【分析】根据图像，分三个部分：满过“几何体”下方圆柱需18s ，满过“几何体”上方圆柱需()24186s -=，注满“几何体”上面的空圆柱形容器需()422418s -=，再设匀速注水的水流速度为3cm /s x ，根据圆柱的体积公式列方程可得匀速注水的水流速度；设“几何体”下方圆柱的高为cm a ，根据圆柱的体积公式得()3015185a ⋅-=⨯，解得6a =，于是得到“几何体”上方圆柱的高为5cm ，设“几何体”上方圆柱的底面积为2cm S ，根据圆柱的体积公式得()()53052418S ⋅-=⨯-，再解方程即可求解．【详解】解：根据函数图像得到圆柱形容器的高为14cm ，两个实心圆柱组成的“几何体”的高度为11cm ，水从刚满过由两个实心圆柱组成的“几何体”到注满用了：()422418s -=，这段高度为：)14113m (c -=，设匀速注水的水流速度为3cm /s x ，则18303x ⋅=⨯，解得5x =，即匀速注水的水流速度为35cm /s ；“几何体”下方圆柱的高为cm a ，则3015185()a ⋅-=⨯，解得6a =，所以“几何体”上方圆柱的高为)1165m (c -=，设“几何体”上方圆柱的底面积为2cm S ，根据题意得()()53052418S ⋅-=⨯-，解得24S =，即“几何体”上方圆柱的底面积为224cm ，故选：A ．【点睛】本题考查了函数图像的应用：把分段函数图像中自变量与对应的函数值转化为实际问题中的数量关系，然后运用方程的思想解决实际问题是解决本题的关键．二、填空题（本大题共8小题）9. 【答案】()2xy x y --【分析】本题考查了因式分解，运用提公因式法和完全平方公式即可作答．【详解】32232x y x y xy -+-()222xy x xy y =--+()2xy x y =--，故答案为：()2xy x y --．10. 【答案】6【分析】由题意得90ABE ACD ∠=∠=︒，则△ABE ∽△ACD ，根据相似三角形的性质得BE AB CD AC =，即可得．【详解】解：如图：∵BE ⊥AC ，CD ⊥AC ，∴90ABE ACD ∠=∠=︒，∴△ABE ∽△ACD ，∴BE ABCD AC =，∴1.8310CD =，解得：CD ＝6．故答案为：6．【点睛】本题考查了相似三角形，解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质．11. 【答案】7x >【分析】本题考查了分式，解不等式，要使得分数为正数，则分子、分母必须同号，据此作答即可．【详解】根据题意有：67x ->0-，∵60-<，∴70x -<，∴7x >，故答案为：7x >．12. 【答案】17x y x y +=-⎧⎨-=⎩【分析】由题意知，可组的二元一次方程组不唯一，加减是最简单的，所以可给出17x y x y +=-⎧⎨-=⎩的形式．【详解】解：∵1x y +=-，7x y -=∴最简单的二元一次方程组可为17x y x y +=-⎧⎨-=⎩故答案为：17x y x y +=-⎧⎨-=⎩．【点睛】本题考查了二元一次方程组．解题的关键在于按照方程组的解给出正确的方程组的形式．13. 【答案】2【分析】由角平分线的性质可得，点P 到三角形三边的距离相等，即三个三角形的AB 、BC 、CA 的高相等，利用面积公式即可求解．【详解】解：过点P 作PD ⊥AC 于D ，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥BC 于F ，∵P 是三角形三条角平分线的交点，∴PD ＝PE ＝PF ，∵S △ABC ＝30，C △ABC ＝30，∴点P 到边AB 的距离23030⨯==2．故答案为：2．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质和三角形面积的求法，作辅助线是解题的关键．角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．14. 【答案】6-【分析】先根据等边对等角和三角形内角和定理得到36A ∠=︒，再根据线段垂直平分线的性质得到AE BE =，推出36EAB EBA ∠=∠=︒，进而求出36EBC ∠=︒，则72BEC ∠=︒，即可得到BE BC =，证明ABC BCE ∽，设CE x =，则4AE BE BC x ===-，利用相似三角形的性质建立方程444x x x-=-，解方程即可得到答案．【详解】解：∵AB AC =，72C ∠=︒，∴72ABC C ∠=∠=︒，∴18036A ABC C =︒--=︒∠∠∠，∵AB 的垂直平分线DE 交AC 于点E ，∴AE BE =，∴36EAB EBA ∠=∠=︒，∴36EBC ABC EBA A =-=︒=∠∠∠∠，∴18072BEC C EBC C ∠=︒-∠-∠=︒=∠，∴BE BC =，又∵C C ∠=∠，∴ABC BCE ∽，∴BE CE AC BC=，设CE x =，则4AE BE BC AC CE x ===-=-，∴444x x x-=-，∴28164x x x -+=，解得6x =-（不合题意的值舍去），∴6CE =-故答案为：6-．【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理等等，灵活运用所学知识是解题的关键．15. 【答案】30︒或150︒【分析】画出图形，连接,,,OA OB BE AE ，在 AB 上取点G ，连接,AG BG ，由正六边形的性质得出,60AB BC CD DE AE EF AOB =====∠=︒，由圆周角定理得出3120AEB AOB ∠=∠=︒，由圆内接四边形的性质得出180150AGB AEB ∠=︒-∠=︒，即可得出结论．【详解】解：连接,,,OA OB BE AE ，在 AB 上取点G ，连接,AG BG ，如图所示：∵六边形ABCDEF 是正六边形，∴360,=606AB BC CD DE AE EF AOB ︒=====∠=︒，∴3120AEB AOB ∠=∠=︒，∵四边形AEBG 是圆内接四边形，∴180150AGB AEB ∠=︒-∠=︒，即在正六边形的外接圆中，任一边所对的圆周角的度数为30︒或150︒；故答案为：30︒或150︒．【点睛】本题考查了正多边形和圆、圆周角定理、圆内接四边形的性质；熟练掌握正六边形的性质和圆周角定理是解题的关键．16. 【答案】6【分析】设每分钟增加结账人数x 人，每分钟收银员结账y 人，根据题意，得y =2x ，n =60x ．根据为减少顾客等待结账的时间，需要6分钟内使排队等候人数为0的要求，可设开放a 个收银台，则6ay ≥6x +n ，将y 和n 代入，即可求得a 的取值，从而请求解．【详解】解：设每分钟增加结账人数x 人，每分钟收银员结账y 人，根据题意，得2022012312x n y x n y +=⨯⎧⎨+=⨯⎩化简，得y =2x ，n =60x ，∴为减少顾客等待结账的时间，需要6分钟内使排队等候人数为0，设开放a 个收银台，则6ay ≥6x +n ，即6a ·2x ≥6x +60x ，12a ≥66，∵x >0，∴．a ≥112，∵a 是正整数，∴．a ≥6，∴需要至少同时开放6个收银台．故答案为：6．【点睛】本题考查了二元一次方程组和不等式的应用，弄清题意，正确设未知数找到相等关系是解题的关键．三．解答题（共12小题，满分68分）17. 【答案】1【分析】根据特殊角的三角函数值，绝对值的性质、负整数指数幂以及立方根的概念计算即可求解．【详解】2cos45°﹣|1|＋（13）﹣12133=++-133=++-1=．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，绝对值的性质、负整数指数幂以及立方根的定义，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．18. 【答案】-2≤ x <1【分析】先求出每个不等式的解集，然后求出不等式组的解集即可得到答案．【详解】解：243(2)312x x x +≤+⎧⎨-<⎩①②，解不等式①得：2x ≥-，解不等式②得：1x <，∴不等式组的解集为：21x -£<．【点睛】本题主要考查了解不等式组，解题的关键在于能够熟练掌握解一元一次不等式的方法．19. 【答案】（1）14m -＞ 且0m ≠ （2）另一个根为32【分析】（1）由一元二次方程定义和根的判别式与根之间的关系，列不等式组求解即可．（2）将x =0代入原方程，求出m ，再解方程即可．【小问1详解】解：∵2(21)20mx m x m --+-=是一元二次方程，0m ∴≠ ，∵一元二次方程2(21)20mx m x m --+-=有两个不相等的实数，240b ac \D=-＞ ，即：[]2(21)4(2)0m m m ----＞ ，整理得：410m +＞ ，14m \-＞ ，综上所述：14m -＞ 且0m ≠．【小问2详解】∵方程有一个根是0，将x =0代入方程得：20m -= ，2m ∴= ，则原方程为：2230x x -= ，解得：1230,2x x == ，∴方程的另一个根为32．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义以及一元二次方程根的判别式与根的关系：0D Û＞方程有两个不相等的实数根 ， =0D Û方程有两个相等的实数根，0D Û＜方程没有实数根，0D³Û方程有实数根．熟练掌握根的判别式与根的关系是解题关键，一元二次方程的二次项系数不能为0是易错点．20. 【答案】（1）见解析 （2）见解析【分析】（1）按照题意作图即可；（2）先根据三线合一定理得到CO ⊥AB ，然后证明BD r 即可得到S 大⊙O ＝πr ）2＝2S 小⊙O ．【小问1详解】解：如图所示，即为所求；【小问2详解】证明：连接CA 、CB在△ABC 中，∵CA ＝CB ，O 是AB 的中点，∴CO ⊥AB （三线合一定理）（填推理的依据）设小O 半径长为r∵OB ＝OD ，∠DOB ＝90°∴BD r∴S 大⊙O ＝πr ）2＝2S 小⊙O ．【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质与尺规作图，三线合一定理，勾股定理，圆的尺规作图等等，正确理解题意作出图形是解题的关键．21. 【答案】（1）见解析 （2）60︒【分析】（1）根据平行线的性质（两直线平行，内错角相等）可知DBC E ∠=∠，结合已知,BD DE BDC EDF =∠=∠（对顶角相等），可证得BDC EDF ≌ （ASA ），即可根据全等三角形的性质定理证得CD DF =．（2）根据平行线的性质、等腰三角形的性质及三角形内角和定理解答即可．【小问1详解】证明：∵EF BC∥∴E DBC∠=∠在Rt BDC Rt EDF 和中，DBC E BD DEBDC EDF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴EDF BDC ≌ （ASA ）∴CD DF =；【小问2详解】解：∵EF BC∥∴25E DBC ∠=∠=︒又∵BG GE=∴25GBE E ∠=∠=︒∴50ABC GBE DBC ∠=∠+∠=︒在ABC中，∵70ACB ∠=︒∴180180507060A ABC ACB ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，掌握并熟练运用相关的性质定理是解题的关键．22. 【答案】（1）2=23y x x --（2）4p x >或2p x <【分析】（1）将点()1,0A -，()4,5B 代入解析式，利用待定系数法求解；（2）先求出直线AB 的解析式，设()223p p p M x ,x x --，()1p p N x ,x +，则223p p P x M x =--，1p PN x =+，根据PM PN >列出不等式，即可求解．【小问1详解】解： 抛物线()230y ax bx a =+-≠经过点()1,0A -，()4,5B ，∴ 3016435a b a b --=⎧⎨+-=⎩，解得12a b =⎧⎨=-⎩，∴该抛物线的解析式为2=23y x x --．【小问2详解】解：设直线AB 的解析式为y kx t =+．将点()1,0A -，()4,5B 代入，可得045k t k t -+=⎧⎨+=⎩，解得11k t =⎧⎨=⎩，∴直线AB 的解析式为1y x =+．设()223p p p M x ,x x --，()1p p N x ,x +，则223p p P x M x =--，1p PN x =+，PM PN >，∴2231p p p x x x -->+，∴()1310p p x x +⋅-->，10p x +>，∴310p x -->，∴31p x ->或31p x -<-，∴4p x >或2p x <．即点P 的横坐标p x 的取值范围是4p x >或2p x <．【点睛】本题考查待定系数法求一次函数、二次函数解析式，一次函数和二次函数图象上点的坐标的特征，利用绝对值的性质解不等式等，第2问有一定难度，正确求解不等式是解题的关键．23. 【答案】（1）25 （2）10，11（3）小彬在对阵乙队时表现更好，理由见解析【分析】（1）根据平均数的计算方法求解即可；（2）根据众数，中位数的概念求解即可；（3）根据“综合得分”的计算方法求出小彬在对称甲队时的得分，然后比较求解即可．【小问1详解】()21292426425a =+++÷=∴小彬在对阵甲队时的平均每场得分a 的值是25分，故答案为：25．【小问2详解】在这8场比赛的篮板统计数据中，10出现的次数最多，∴众数是10，从小到大排列为：8，10，10，10，12，14，15，17，∴在中间的两个数为10，12∴中位数为1012112+=，故答案为：10，11；【小问3详解】小彬在对称甲队时的“综合得分”为：()25111 1.22136.2⨯+⨯+⨯-=，∵36.237.1<∴小彬在对阵乙队时表现更好．【点睛】此题考查了平均数，众数，中位数，加权平均数的计算，解题的关键是熟练掌握以上计算方法．24. 【答案】（1）见详解 （2）①20︒；②CND PQD ∠=∠或70CND PQD ∠+∠=︒，证明见解答．【分析】（1）根据角平分线的定义以及平行线的判定进行解答即可；（2）①根据平行线的性质，角平分线的定义以及三角形的外角性质进行计算即可；②分两种情况画出相应的图形，根据图形中角的大小关系得出结论．【小问1详解】证明：如图1，DE 平分ADM ∠，12ADE EDM ADM ∴∠=∠=∠，∵2AC Q C D Q ∠=∠，ACQ ADM ∴∠=∠，12l l ∴∥；【小问2详解】解：①12l l ∥，70ADM ACQ ∴∠=∠=︒，DE 平分ADM ∠，1352ADE EDM ADM ∴∠=∠=∠=︒，EDM QFD FQD ∠=∠+∠ ，351520FQD ∴∠=︒-︒=︒；②证明：CND PQD ∠=∠或70CND PQD ∠+∠=︒，理由如下：如图3，12l l ∥，NCQ CTD ∴∠=∠，QCN QFD ∠=∠ ，CTD QFD ∴∠=∠，NT FQ ∴∥，CND PQD ∴∠=∠；如图4，由①可得1352CDQ CQD ACQ ∠=∠=∠=︒，CND CQN QCN ∠=∠+∠ ，QCN QFD ∠=∠，CND CQN QFD ∴∠=∠+∠，35CND QFD ∴∠=︒+∠，即：35CND QFD ︒∠-∠=，35QFD FQC CQD PQD QDM FQD PQD ∠=∠=∠-∠=∠-∠=︒-∠ ，(35)35CND QFD CND PQD ∴∠-∠=∠-︒-∠=︒，70CND PQD ∴∠+∠=︒，综上所述，CND ∠与FQD ∠满足的等量关系为CND PQD ∠=∠或70CND PQD ∠+∠=︒．【点睛】本题考查平行线的性质与判断，掌握平行线的性质和判断方法是解决问题的关键．25. 【答案】（1）减小，减小，减小；（2）见解析； （3）73．【分析】本题考查二次函数与不等式，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．（1）利用一次函数或二次函数的性质解决问题即可．（2）利用描点法画出函数图象即可．（3）观察图象可知，2x =-时，m 的值最大．【小问1详解】当20x -≤<时，对于函数1||y x =，即1y x =-，当20x -≤<时，1y 随x 的增大而减小，且10y >；对于函数221y x x =-+，当20x -≤<时，2y 随x 的增大而减小，且20y >；结合上述分析，进一步探究发现，对于函数y ，当20x -≤<时，y 随x 的增大而减小．故答案为：减小，减小，减小；【小问2详解】函数图象如图所示：【小问3详解】观察图象可知，2x =-时，m 的值最大，最大值172(421)63m =⨯⨯++=，故答案为：73．26. 【答案】（1）173；（2）2.9倍；（3）222123s s s >>【分析】（1）利用加权平均数的计算公式进行计算，即可得到答案；（2）利用5月份的平均数除以4月份的平均数，即可得到答案；（3）直接利用点状图和方差的意义进行分析，即可得到答案．【详解】解：（1）平均数：1[(10010)(17010)(25010)]17330⨯⨯+⨯+⨯=（千克）；故答案为：173；（2）17360 2.9÷=倍；故答案为：2.9；（3）方差反应数据的稳定程度，即从点状图中表现数据的离散程度，所以从图中可知：222123s s s >>；【点睛】本题考查了方差的意义，平均数，以及数据的分析处理，解题的关键是熟练掌握题意，正确的分析数据的联系．27. 【答案】（1）67.5;（2）证明见解析；（3）DE －BE=2．【分析】（1）先根据等腰三角形的性质，得出∠A=∠B=45°=∠CDE ，再根据BC=BD ，可得出∠BDC 的度数，然后可得出∠BDE 的度数，最后根据三角形外角的性质可得出∠DEC 的度数；（2）先根据条件得出∠ACD=∠BDE ，BD=AC ，再根据ASA 判定△ADC ≌△BED ，即可得到CD=DE ；（3）先根据条件得出∠DCB=∠CDE ，进而得到CE=DE ，再在DE 上取点F ，使得FD=BE ，进而判定△CDF ≌△DBE （SAS ），得出CF=DE=CE ，再根据CH ⊥EF ，运用三线合一即可得到FH=HE ，最后得出CE-BE=DE-DF=EF=2HE ，即可得出结论．【详解】（1）解：∵AC=BC ，∠ACB=90°，∴∠A=∠B=45°=∠CDE ，又BC=BD ，∴∠BDC=∠BCD=12(180°-∠B)=67.5°，∴∠BDE=∠BDC-∠CDE=67.5°-45°=22.5°，∴∠DEC=∠B+∠BDE=67.5°；故答案为：67.5；（2）证明：∵AC=BC ，∠CDE=∠A ，∴∠A=∠B=∠CDE ，∵∠CDB=∠A+∠ACD=∠CDE+∠BDE ，∴∠ACD=∠BDE ，又∵BC=BD ，∴BD=AC ，在△ADC 和△BED 中，ACD BDEAC BD A B∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ADC ≌△BED （ASA ），∴CD=DE ；（3）解：∵CD=BD ，∴∠B=∠DCB ，由（2）知：∠CDE=∠B ，∴∠DCB=∠CDE ，∴CE=DE ，如图，在DE 上取点F ，使得FD=BE ，在△CDF 和△DBE 中，DF BECDE B CD BD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CDF ≌△DBE （SAS ），∴CF=DE=CE，又∵CH ⊥EF ，∴FH=HE ，∴DE －BE=DE －DF=EF=2HE=2．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及等腰三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形以及等腰三角形．28. 【答案】（1（2）18（3+【分析】（1）画出图形，根据等边三角形的性质和外心的性质即可作答；（2）如图2中，当以AD 为直径的O 与BC 相切时，切点为P ，此时90APD ∠=︒，AD 的长最小,求出AD 的长即可解决问题；（3）存在．如图3中，如图作等边三角形ABM 的外接圆O ，当直线CD 与O 相切与P 时，四边形ABCD 的面积最大，此时满足条件60APB AMB ∠=∠=︒．想办法求出AD 、AB 即可解决问题．【小问1详解】如图，∵在等边ABC 中，3AB =，∴60B BC AB CW AB ∠=︒====，，，∵点P 是等边ABC 的外心，∴23PB PC WC ==，∴2233PB PC WC ====，【小问2详解】如图，当以AD 为直径的O 与BC 相切时，切点为P ，此时90APD ∠=︒，AD 的长最小．连接OP ．∵O 与BC 相切，∴OP BC ⊥，∵在矩形ABCD 中，OA OP OD ==，∴四边形ABPO ，四边形CDOP 都是正方形，∴AB OP=∴3AB CD AO ===，6BC AD ==，∴矩形ABCD 面积的最小值为：18BC AB ⋅=．【小问3详解】存在．如图，在AB 的右边作等边三角形ABM 的外接圆O ，当直线CD 与O 相切与P 时，四边形ABCD 的面积最大，此时根据圆周角定理可知：满足条件60APB AMB ∠=∠=︒．延长MO 交AB 于E ，过点O 作OF AD ⊥于F ，过点P 作PT BC ⊥于T ，连接OP ，PT 交OM 于R ．TP 的延长线交AD 的延长线于点N ，∵90A B ∠=∠=︒∴180A B ∠+∠=︒，∴AD BC ∥，又∵3AB =，45C ∠=︒，∴CD ==．∵ABM 是等边三角形，圆O 外接等边三角形ABM ，∴EM AB ⊥，结合OF AD ⊥、PT BC ⊥、90A B ∠=∠=︒，即四边形AEOF 、四边形AERN 、四边形BERT 、四边形FORN 是矩形，∴32AE EB NR RT ====，AF EO ==，OM OP ==∵45C ∠=︒，AD BC ∥，90N ∠=︒，∴45NDP C ∠=∠=︒，∴45NPD ∠=︒，即DNPN =，∵OP CD ⊥，∴90DPO ∠=︒，∴18045OPR DPO DPN ∠=︒-∠-∠=︒，∴OR PR ===，∴BT AN ==，32DN PN NR PR ==-==∴AD AN DN =-==，32BC BT CT =+=++=，∴2ABCD AD BC S AB +=⋅=四边形．【点睛】本题考查了四边形综合题、等腰三角形的判定和性质、勾股定理、直线与圆的位置关系、四边形的面积等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用辅助圆解决问题，属于中考压轴题．。

上海市金山区2024届初三二模数学试卷（考试时间100分钟，满分150分）一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1.单项式22a b 的系数和次数分别是（）.A 2 和2；.B 2 和3；.C 2和2；.D 2和3．2.下列多项式分解因式正确的是（）.A 222a b a b ；.B 222a b a b ；.C 22323a a a a ；.D 2422a a ．3.如果关于x 的一元二次方程220x x a 有实数根，那么a 的取值范围是（）.A 1a ；.B 1a ；.C 1a ；.D 1a ．4.在气象学上，每天在规定时段采集若干气温的平均数是当天的平均气温，连续5天的平均气温在10C 以上，这5天中的第1个平均气温大于10C 以上的日期即为春天的开始，那么下列表述正确的是（）.A 这5天中每天采集的若干气温中最高气温一定都大于10C ；.B 这5天中每天采集的若干气温中最低气温一定都大于10C ；.C 这5天中每天采集的若干气温的中位数一定都大于10C ；.D 这5天中每天采集的若干气温的众数一定都大于10C ．5.在四边形ABCD 中，//AD BC ，AB AD ，对角线AC 、BD 相交于点O ．下列说法能使四边形ABCD 为菱形的是（）.A AB CD ；.B ACB ACD ；.C BAC DAC ；.D AC BD ．6.下列命题中真命题是（）.A 相等的圆心角所对的弦相等；.B 正多边形都是中心对称图形；.C 如果两个图形全等，那么他们一定能通过平移后互相重合；.D 如果一个四边形绕对角线的交点旋转90 后，所得图形与原来的图形重合，那么这个四边形是正方形．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7.计算：23a a ．8.已知 11f x x，则f．9.已知关于x 2 ，则x．10.不等式1102x 的解集是．11.反比例函数的图像经过点 1,2 ，则这个反比例函数的解析式是．12.从1到10这十个自然数中抽取一个数，这个数是素数的概率是．13.在ABC 中，如果A 和B 互余，那么C ．14.如果正n 边形的内角等于外角的5倍，那么n ．15.如图，已知平行四边形ABCD 中，AB a ，AC b ，E 为AD 上一点，2AE ED ，那么用a 、b 表示AE．16.17.B 落在点18.C ，P 是AB 上的的取值范围是．19.（本题满分10分）计算：212142sin 6023．20.（本题满分10分）解方程：2411x xx x x ．21.如射线1l （1）（2）（3）第22题图2上海中心大厦位于中国上海浦东陆家嘴金融贸易区核心区，是一幢集商务、办公、酒店、商业、娱乐、观光等功能的超高层建筑．它的附近有一所学校的数学兴趣小组在讨论建筑物的高度测量问题，讨论发现要测量学校教学楼的高度可以用“立杆测影”的方法，他们在平地上立一根2米长并且与地面垂直的测量杆，量得影子长为1.6米，同时量得教学楼的影子长为24米，这样就可以计算出教学楼的高度．进而在讨论测量上海中心大厦高度时，由于距离远和周围建筑密集等因素，发现用“立杆测影”的方法不可行，要采用其他方法，经讨论提出两个方案（测角仪高度忽略不计）：方案1：如图1所示，利用计算所得的教学楼（AB ）高度，分别在教学楼的楼顶（点A ）和楼底地面（点B 方案2的长厦的高度．．（1）（2）第23题图第24题图如图，已知：D 是ABC 的边BC 上一点，点E 在ABC 外部，且BAE CAD ，ACD ADCADE ，DE 交AB 于点F ．（1）求证：AB AE ；（2）如果AD AF ，求证：2EF BF AB ．24.（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）①小题4分，第（2）②小题4分）已知：抛物线2y x bx c 经过点 3,0A 、 0,3B ，顶点为P ．（1）求抛物线的解析式及顶点P 的坐标；（2）平移抛物线，使得平移后的抛物线顶点Q 在直线AB 上，且点Q 在y 轴右侧．①若点B 平移后得到的点C 在x 轴上，求此时抛物线的解析式；②若平移后的抛物线与y 轴相交于点D ，且BDQ 是直角三角形，求此时抛物线的解析式．第25题图1第25题图225.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）如图，已知：等腰梯形ABCD 中，//AD BC ，AB DC ，以A 为圆心，AB 为半径的圆与BC 相交于点E ，与CD 相交于点F ，联结AE 、AC 、BF ，设AE 、AC 分别与BF 相交于点G 、H ，其中H 是AC 的中点．（1）求证：四边形AECD 为平行四边形；（2）如图1，如果AE BF ，求ABBC的值；（3）如图2，如果BG GH ，求ABC 的余弦值．=上海市金山区2024届初三二模数学试卷-简答2023学年第二学期模拟检测初三数学试卷参考答案与评分意见一、选择题（本大题6小题，每小题4分，满分24分）1.B ；2.D ；3.A ；4.A ；5.C ；6.D. 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．5a ； 81； 9．-3； 10．x <-2； 11．2y x=−； 12．25； 13．90；14．12； 15．2233b a −； 16. 378； 17． 18．1057BP ≤≤． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．解：原式=(2292−−，-------------------------------------------------------（8分） =9−.--------------------------------------------------------------------------------------（2分） 20．解：()()()241111x xx x x x x x x x x +⋅−−⋅−=−−−----------------------------------------（2分） 224x x x x +−=−220x x −−=-------------------------------------------------------------------------------------（3分） 解得：121,2x x =−=，.------------------------------------------------------------------（2分） 经检验：121,2x x =−=都是原方程的根.----------------------------------------------（2分） 原方程的根是121,2x x =−=.-------------------------------------------------------------（1分）21.解：（1）当销售量为 20 千克时，销售额和成本相等；-----------------------------------（3分） （2）每千克草莓的销售价格是 20 元；-------------------------------------------------------（3分） （3）设11y k x =，222y k x b =+. 由题意，得120400k =，22220020400b k b =⎧⎨+=⎩，解得：120k =，2220010b k =⎧⎨=⎩，∴1l 的解析式是120y x =，2l 的解析式是210200y x =+，---------------------------------（2分） ∵销售利润为2000元，∴()20102002000x x −+=，解得220x =，∴如果销售利润为2000元，那么销售量为220千克.-----------------------------------------（2分）22. 解：（1）教学楼（AB ）的高度为 30 米；--------------------------------------------（4分） （2）方案1.设SH x =米，过点A 作AE ⊥SH ，垂足为点E ，∴∠ABH=∠EHB=∠AEH=90°，∴四边形EHBA 是矩形，∴EA=HB ，EH=AB=30，--（1分） 在Rt △AES 中，∠AES =90°，()cot 10.66730AE SE SAE x =⋅∠=−，-----------------------（1分） 在Rt △BHS 中，∠BHS =90°，cot 10.161BH SH SBH x =⋅∠=，-----------------------------（1分） ∴()10.6673010.161x x −=，---------------------------------------------------------------------（1分） 解得：632x ≈，---------------------------------------------------------------------------------------（1分） ∴上海中心大厦（SH ）的高度为632米. --------------------------------------------------------（1分） 方案2.设SH x =米，在Rt △SHC 中，∠SHC =90°，cot 10.159CH SH SCH x =⋅∠=，--------------------------（1分） 在Rt △SHD 中，∠SHD =90°，cot 10.254DH SH SDH x =⋅∠=，--------------------------（1分） ∴10.25410.15960x x −=，----------------------------------------------------------------------------（2分） 解得：632x ≈，----------------------------------------------------------------------------------------（1分） ∴上海中心大厦（SH ）的高度为632米. -------------------------------------------------------（1分）23.证明：（1）∵∠ACD =∠ADC ，∴AC =AD ，-------------------------------------------------（1分） ∵∠BAE =∠CAD ，∴∠BAC =∠EAD ，-------------------------------------------------------------（1分） ∵∠ACD =∠ADE ， ∴△ABC ≌△AED ，-------------------------------------------------------------------------------------（2分） ∴AB =AE . ------------------------------------------------------------------------------------------------（2分）（2）∵AD =AF ，∴∠ADF =∠AFD ，∴∠DAF =180°-2∠ADF ，-----------------------------（1分） ∵∠ACD =∠ADC ，∴∠CAD =180°-2∠ADC ， ∵∠ADC =∠ADE ，∴∠CAD =∠DAF ，∵∠BAE =∠CAD ，∴∠DAF =∠BAE ，-----------------------------------------------------------（1分） ∵△ABC ≌△AED ，∴AB =AE ， ∴△ABD ≌△AEF ，∴BD =EF ，---------------------------------------------------------------------（1分） ∵∠BDF =180°-2∠ADF ，∴∠BDF =∠BAD ，∵∠B =∠B ，∴△BDF ∽△BAD ，-------（1分） ∴BD BFBA BD=，∴2BD BF AB =⋅，∴2EF BF AB =⋅.-----------------------------------------（2分）24.解：（1）由题意得：9303b c c ++=⎧⎨=−⎩,∴2,3b c =−=−，抛物线的解析式为223y x x =−−，----------------------------------------（2分） ()222314y x x x =−−=−−，顶点P 的坐标是（1，-4）.-------------------------------------（2分） （2）①设直线AB 的解析式是y mx n =+，∴303m n n +=⎧⎨=−⎩，∴1,3m n ==−，∴直线AB 的解析式是3y x =−，-----------------------------------------------------------------（2分）设Q 点的坐标是（t ，t -3），其中t >0，此时抛物线的解析式是()23y x t t =−+−， ∵点B 平移后得到的点C 在x 轴上，∴抛物线向上平移了3个单位， ∴31t −=−，即2t =，--------------------------------------------------------------------------------（1分） ∴此时抛物线的解析式是()2223y x =−+−，即243y x x =−+. ---------------------------（1分） ②抛物线()23y x t t =−+−，与y 轴的交点是D （0，23t t +−），如果∠BDQ=90°，即DQ ⊥y 轴不合题意，------------------------------------------------------（1分） 如果∠BQD=90°，∵∠AOB =90°，AO=BO ，∴∠OAB =∠OBA =45°，∴∠QBD =∠BDQ =45°，∴QB =QD ， 作QE ⊥y 轴，则BE =DE ，∴QE=12BD ，------------------------------------------------------（1分） ∵QE=t ，BD=2t t +，∴()212t t t =+， 解得10t =（不合题意，舍去）或21t =，∴1t =,----------------------------------------------（1分） 此时抛物线的解析式是()2113y x =−+−，即221y x x =−−. ------------------------------（1分） 25.（1）证明：∵AB=AE ，∴∠ABE =∠AEB ，---------------------------------------------------（1分） ∵等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =DC ，∴∠ABC =∠BCD ，----------------------------（1分） ∴∠AEB =∠BCD ，∴.AE ∥DC ，--------------------------------------------------------------------（1分） ∴四边形AECD 为平行四边形.---------------------------------------------------------------------（1分） （2）∵AE ⊥BF ，∴BG =GF ，-----------------------------------------------------------------------（1分） ∵AE ∥DC ，∴12BG BE EG BF EC CF ===，-----------------------------------------------------------（1分）设GE=a ，则CF=2a ， ∵AE ∥DC ，∴AH AGCH CF=，∵AH =CH ，∴AG=CF=2a ，∴AB=AE=3a ，-----------------（1分）在Rt △ABG 中，∠AGB=90°，∴BG =；在Rt △BGE 中，∠BEG=90°，∴BE =，∴BC =，------------------------------------------------------------------------------------------（1分）∴AB BC ==---------------------------------------------------------------------------------（1分） （3）∵AE ∥DC ，∴AH AG GHCH CF HF==，∵AH =CH ，∴GH=HF ，AG =CF ， ∵BG=GH ，∴BG=GH=HF ，∵AE ∥DC ，∴13EG BG BE CF BF BC ===，∴13EG AG =，------（1分）作AI ⊥BC ，垂足为点I ，联结AF ，∵AB=AE ，∴BI=IE ，设AB=x ，BI=a ，则34AG x =，IC=5a ， ∵AB=AF ，∴∠ABG =∠AFH ，∴△ABG ≌△AFH ，∴AG =AH 34x =，∴32AC x =，--（1分） 在Rt △ABI 中，∠AIB=90°，∴22222AI AB BI x a =−=−，在Rt △ACI 中，∠AIC=90°，∴222229254AI AC CI x a =−=−， ∴22229254x a x a −=−，------------------------------------------------------------------------------（1分）∴a x =，在Rt △ABI 中，∠AIB=90°，∴cos a ABC x ∠==-------------------（2分）。

1、在直角三角形ABC中，若∠C=90°，AC=3，BC=4，则AB的长度为A. 3B. 4C. 5D. 6解析：根据勾股定理，在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。

即AB2 = AC2 + BC2。

代入AC=3，BC=4，计算得AB2 = 32 + 42 = 9 + 16 = 25，所以AB = √25 = 5。

（答案：C）2、下列哪个数不是有理数？A. 1/2B. √2C. -3D. 0.75解析：有理数是可以表示为两个整数之比的数。

A选项1/2是两个整数1和2的比，C选项-3是整数，D选项0.75可以表示为3/4，都是有理数。

而B选项√2无法表示为两个整数的比，是无理数。

（答案：B）3、若关于x的一元二次方程x2 - 2x - k = 0有两个相等的实数根，则k的值为A. -1B. 0C. 1D. 2解析：一元二次方程有两个相等的实数根，意味着判别式Δ=0。

对于方程x2 - 2x - k = 0，其判别式为Δ = (-2)2 - 41(-k) = 4 + 4k。

令Δ=0，解得k = -1。

（答案：A）4、在平行四边形ABCD中，若∠A=120°，AB=2，AD=3，则BD的长度范围是A. (1, 5)B. [1, 5]C. (2, 4)D. [2, 4]解析：在平行四边形中，对角线BD将平行四边形分为两个三角形。

利用余弦定理，在△ABD中，BD2 = AB2 + AD2 - 2ABADcosA。

代入AB=2，AD=3，∠A=120°，计算得BD2 = 4 + 9 - 223(-1/2) = 19 + 6 = 25 - 9 = 16，所以BD = 4为最大值，当BD与AD或AB共线时，BD取最小值2，因此BD的长度范围是[2, 4]。

（答案：D）5、若点P(m, n)在直线y = 2x - 1上，且点P到x轴的距离为3，则m的值为A. 1B. 2C. -1或2D. 1或-2解析：点P到x轴的距离等于其纵坐标n的绝对值，即|n| = 3，所以n = 3或n = -3。

1、若关于x的一元二次方程x2 - 4x + m = 0有两个相等的实数根，则m的值为：A、1B、2C、3D、4（答案：D。

解析：一元二次方程有两个相等的实数根，即判别式Δ=0，对于方程x2 - 4x + m = 0，其判别式为Δ=(-4)2 - 41m = 16 - 4m = 0，解得m=4。

）2、在平行四边形ABCD中，若∠A=60°，则∠C的度数为：A、30°B、60°C、90°D、120°（答案：B。

解析：在平行四边形中，对角相等，即∠A=∠C，所以∠C=60°。

）3、下列四个数中，最小的数是：A、-2/3B、-1/2C、0D、1/3（答案：A。

解析：比较四个数的大小，负数小于正数和零，而在负数中，绝对值大的数实际上更小，因此-2/3 < -1/2 < 0 < 1/3，所以最小的数是-2/3。

）4、若点P(a, b)在直线y=2x-1上，且a=3，则b的值为：A、4B、5C、6D、7（答案：B。

解析：将点P的坐标代入直线方程y=2x-1，得b=2*3-1=5。

）5、一个正方体的棱长为3cm，则它的体积为：A、9cm3B、27cm3C、81cm3D、243cm3（答案：B。

解析：正方体的体积公式为V=a3，其中a为棱长，代入a=3cm，得V=33=27cm3。

）6、下列选项中，能构成直角三角形的是：A、三边长为3，4，5的三角形B、三边长为5，12，13的三角形C、三边长为1，1，√3的三角形D、三边长为2，3，4的三角形（答案：B。

解析：根据勾股定理，若三角形三边满足a2 + b2 = c2，则为直角三角形。

计算得52 + 122 = 132，所以B选项能构成直角三角形。

）7、若一个圆的半径为r，则其面积S与r的关系为：A、S=πrB、S=2πrC、S=πr2D、S=2πr2（答案：C。

解析：圆的面积公式为S=πr2。

2023北京门头沟初三二模数 学考生须知1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分．考试时间120分钟．2．在试卷和答题卡上准确填写学校和姓名，并将条形码粘贴在答题卡相应位置处．3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．4．在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其它试题用黑色字迹签字笔作答．5．考试结束，将试卷、答题卡和草稿纸一并交回．一．选择题（本题共16分，每小题2分）第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1. 下倒是某几何体的三视图，该几何体是（ ）A. 圆柱B. 圆锥C. 长方体D. 三棱柱2. 如果代数式32x -有意义，那么实数x 的取值范围是（ ）A. 2x ≠ B. 2x > C. 2x ≥ D. 2x ≤3. 实数a b ，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）A. 2a >-B. 1b < C. a b> D. a b->4. 方程组521x y x y +=⎧⎨-=⎩的解为（ ）A. 23x y =⎧⎨=⎩ B. 32x y =⎧⎨=⎩ C. 14x y =⎧⎨=⎩ D. 41x y =⎧⎨=⎩5. 如果数据1234,,,x x x x 的平均数为10，那么数据12341,2,3,4x x x x ++++的平均数是（ ）A. 10B. 11C. 12.5D. 136. 如图，AC 为O 的直径，PA PB ，分别与O 相切于点A B ，，当55ACB ∠=︒时P ∠的大小为（ ）A. 60︒B. 70︒C. 80︒D. 90︒7. 如图，在棋盘上摆放着6枚棋子，分别以正东、正北方向为x 轴、y 轴的正方向建立平面直角坐标系．如果白棋A 的坐标为（1，0），黑棋B 的坐标为（2，1），当放入第4枚黑棋C 时，所有棋子恰好组成轴对称图形，黑棋C 的坐标不可能是（ ）A. （0，1）B. （1，1）C. （－1，2）D. （3，－2）8. 如图，圆柱的侧面积为10m 2．记圆柱的底面半径为x m ，底面周长为l m ，高为h m ．当x 在一定范围内变化时．l 和h 都随x 的变化而变化，则l 与x ，h 与x 满足的函数关系分别是（ ）A. 一次函数关系，二次函数关系B. 反比例函数关系，二次函数关系C. 正比例函数关系，反比例函数关系D. 正比例函数关系，一次函数关系二、填空题（本题共16分，每小题2分）9. 分解因式：m 3﹣mn 2=______．10. 如图所示的网格是正方形网格，点A ，B ，C ，D 是网格线的交点，那么ABC ∠______BCD ∠（填“>”“<”或“=”）．11. 是无理数，且23<<是无理数，请写出一个满足条件的m 值_______．12. 投壶是中国古代一种传统礼仪和宴饮游戏．下表记录了一组游戏参与者的投查结果．投壶次数n 50100150200250300400500投中次数m284672104125153200250投中频率m n0.560.460.480.520.500.510.500.50根据以上数据，估计这组游戏参与者投中的概率约为______（结果精确到0.1）．13. 在平面直角坐标系xOy 中，一次函数()10y kx k =+≠的图象经过点()112,P y -，()221,P y ，且12y y >，则k 的取值范围是_______．14. 如果a b +=，那么代数式2a bb b a b⎛⎫-⋅ ⎪-⎝⎭的值是_______．15. 如图，在ABC 中，CD 是AB 边上的高线，ABC ∠的平分线交CD 于E ，当4BC =，BCE 的面积为2时，DE 的长为______．16. “端午节”是中国的传统佳节，为了传承中华民族传统文化．某学校组织“端午”知识测试．测试的试题由6道判断题组成，被测试人员只要画“√”或画“×”表示出对各题的正误判断即可，每小题判断正确得1分，判断错误得0分．现有甲，乙，丙，丁四位同学对6道试题的判断与得分的结果如下：第1题第2题第3题第4题第5题第6题得分甲√××√××4分乙×√××√×4分丙×√√√×√4分丁×××√××？根据以上结果，可以推断丁的得分是______分．三、解答题（本题共68分，第17～22题每小题5分，第23～26题每小题6分，第27～28题每小题7分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 计算：()0232sin 60π-+--︒．18. 解不等式52124x x +-<，并把它的解集在数轴上表示出来．19. 下面是小亮同学设计的“作三角形一边上的高线”的尺规作图过程．已知：如图，ABC ．求作：线段BP ，使BP AC ⊥于P ．作法：①分别以B ，C 为圆心，大于12BC 的同样长为半径作弧,两弧分别交于点D ，E ，作直线DE ，交BC 于点O ；②以O 为圆心，OB 长为半径作圆，交AC 于点P ；②连接BP ．∴线段BP 为所求的线段．根据小亮同学设计的尺规作图过程（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹》（2）完成下面的证明．证明：连接DB ，DC ，EB ，EC ．∵DB DC =，EB EC =，∴DE 垂直平分线段BC （______）（填推理依据）．∴点O 是线段BC 的中点．∴BC 是O 的直径．∴BPC ∠=______︒（______）（填推理依据）．∴BP AC ⊥．20. 已知关于x 的一元二次方程22210x kx k -+-=．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）如果此方程的一个根为1，求k 的值．21. 如图，在ABCD Y 中，AE BC ⊥于E ，AF CD ⊥于F ，且BE DF =．（1）求证：ABCD Y 是菱形；（2）连接AC ，BD 交于点O ，当3cos 5ACB ∠=，6AC =时，求ABCD Y 的面积．22. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数1y x =+的图象与反比例函数()0ky k x=≠的图象都经过点()1,A m ．（1）求m 的值及反比例函数的表达式；（2）过点()0,n P 作平行于x 轴的直线l ，若直线l 与一次函数1y x =+和反比例函数()0ky k x=≠的图象分别交于点()11,C x y ，()22,D x y ，当12x x <时，直接写出n 的取值范围．23. 门头沟区深挖区域绿水青山教育资源，以区域山水和历史人文资源为素材，开展跨学科实践活动．某校为调研学生的学习成效．举办“跨学科综合实践活动”成果作品比赛．十名评委对每组同学的参赛作品进行现场打分．对参加比赛的甲，乙，丙三组同学参赛作品得分（单位：分）的数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．a ．甲．乙两组同学参赛作品得分的折线图：b．丙组同学参赛作品得分：9 4 9 9 10 9 10 8 8 10c．甲，乙，丙三组同学参赛作品得分的平均数、众数、中位数如下：平均数众数中位数甲组8.699乙组8.6a8.5丙组8.69b根据以上信息，回答下列问题：a_____，b=______；（1）表中=（2）在参加比赛的小组中，如果某组同学参赛作品得分的10个数据的方差越小，则认为评委对该组同学参赛作品的评价越一致．据此推断：在甲，乙两组同学中，评委对______组同学的参赛作品评价更一致（填“甲”或“乙”）（3）如果每组同学的最后得分为去掉十名评委打分中的一个最高分和一个最低分后的平均分，最后得分越高，则认为该组同学的参赛作品越优秀．据此推断：在甲，乙，丙三组同学中，参赛作品最优秀的是______组同学（填“甲”或“乙”或“丙”）．24. 如图是某公园人工湖上的一座拱桥的示意图，其截面形状可以看作是抛物线的一部分．经测量拱桥的跨度AB为12米，拱桥顶面最高处到水面的距离CD为4米．（1）在边长为1的正方形网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描出点A，B，C，并用平滑曲线连接；（2）结合（1）中所画图象，求出该抛物线的表达式；（3）现有一游船（截面为矩形）宽度为4米，顶棚到水面的高度为2.8米．当游船从拱桥正下方通过时，为保证安全，要求顶棚到拱桥顶面的距离应大于0.5米，请判断该游船能否安全通过此拱桥．25. 如图，AB 是O 直径，弦CD AB ⊥于E ，点F 在CD 上，且AF DF =，连接AD ，BC ．（1）求证：FAD B ∠=∠；（2）延长FA 到P ，使FP FC =，作直线CP ．如果AF BC ∥．求证：直线CP 为O 的切线．26. 在平面直角坐标系xOy 中，设二次函数()2210y ax ax a =-+≠的图象为抛物线G ．（1）求抛物线G 的对称轴及其图象与y 轴的交点坐标；（2）如果抛物线G '与抛物线G 关于x 轴对称，直接写出抛物线G '的表达式；（3）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记抛物线G 与抛物线G '围成的封闭区域（不包括边界）为W ．①当3a =时，直接写出区域W 内的整点个数；②如果区域W 内恰有5个整点，结合函数图象，求a 的取值范围．27. 如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，点D 在BC 延长线上，且DC AC =，将ABC 延BC 方向平移，使点C 移动到点D ，点A 移动到点E ，点B 移动到点F ，得到EFD △，连接CE ，过点F 作FG CE ⊥于G ．（1）依题意补全图形；（2）求证：CG FG =；（3）连接BG ，用等式表示线段BG ，EF 的数量关系，并证明．28. 在平衡直角坐标系xOy 中，线段4AB =，点M ，N 在线段AB 上，且2MN =，P 为MN 的中点，如果任取一点Q ，将点Q 绕点P 顺时针旋转180︒得到点Q '，则称点Q '为点Q 关于线段AB 的“旋平点”．（1）如图1，已知()1,0A -，()30B ，，()12Q ，，知果(),Q a b '为点Q 关于线段AB 的“旋平点”，画出示意图，写出a 的取值范围；（2）如图2，O 的半径为3，点A ，B 在O 上，点()10Q ，，如果在直线x m =上存在点Q 关于线段AB 的“旋平点”，求m 的取值范围．参考答案一．选择题（本题共16分，每小题2分）第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．题号12345678答案DADACBBC二、填空题（本题共16分，每小题2分）每小题7分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 【答案】41324=+-+=18. 【答案】解：52124x x +-<2452x x -<+2542x x -<+36x -<2x >-19. （1）解：补全图形如下：（2）解：如图，证明：连接DB ，DC ，EB ，EC ．∵DB DC =，EB EC =，∴DE 垂直平分线段BC （与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上），∴点O 是线段BC 的中点，∴BC 是O 的直径，∴90BPC ∠=︒（直径所对的圆周角是直角），∴BP AC ⊥，故答案为：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；90︒，直径所对的圆周角是直角．20. （1）()()22241140k k ∆=-⨯⨯-=>∴方程有两个不相等的实数根．（2）∵方程的一个根为1∴21210k k -+-=，解得：10k =，22k =．21. （1）∵四边形ABCD 是平行四边形，ABE ADF ∠=∠，AE BC ⊥ 于E ，AF CD ⊥于F ，90AEB AFD ∴∠=∠=︒，又∵BE DF =∴ABE ADF ≌V V ，AB AD ∴=，∴ABCD Y 是菱形；（2）解：ABCD 是菱形，∴AC BD ⊥，,OA OC OB OD ==.∵6AC =3OC ∴=，在Rt BOC 中，3cos ,35ACB OC ∠==5BC ∴=∴由勾股定理得：4OB =8BD ∴=，ABCD Y 的面积为1168=2422AC BD ⨯=⨯⨯．22. （1）∵一次函数1y x =+的图象经过点()1,A m ∴112m =+=，∵反比例函数0ky k x =≠()的图象经过点()1,A m ∴2k =，∴反比例函数的解析式为：2y x =．（2）02n <<或1n <-．23. 【答案】（1）8，9（2）乙（3）丙（1）解：乙组的成绩中8分出现的次数最多，出现了5次，故乙组的众数为8分，即8a =，丙组的得分从小到大排列为：4 8 8 9 9 9 9 10 10 10第5个与第6个得分都为9分，故丙组得分的中位数为：9992b +==，故答案为：8，9；（2）解：甲组得分的方差为：()()()()2222198.64108.6288.6278.62 1.0410⎡⎤-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=⎣⎦，乙组得分的方差为：()()()222188.6598.64108.60.4410⎡⎤-⨯+-⨯+-=⎣⎦，1.040.44> ，∴评委对乙组同学的参赛作品评价更一致，故答案为：乙；（3）解：甲组最后得分为：10948278.6258+⨯+⨯+=，乙组最后得分为：94848.58⨯+⨯=，丙组最后得分为：102948298⨯+⨯+⨯=，98.6258.5>> ，∴参赛作品最优秀的是丙组同学，故答案为：丙．24. （1）以点A 为原点，AB 所在的直线为x 轴，过点A 作垂直于AB 的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示，（2）解：2149y x =-+；（3）由（2）得：当2x =221132424999y x =-⨯=⨯+=，32 2.80.59-> ，故能安全通过．25.（1）证明：AF DF = ，FAD D ∠=∠，又∵AC =ACB D ∠=∠ ，FAD B ∴∠=∠；（2）解：连接OC ，PF BC∥Q ∴EAF B∠=∠∵FAD B D ∠=∠=∠，∴EAF FAD D ∠=∠=∠，∵弦CD AB ⊥于E∴在Rt EAD ∆中，90EAF FAD D ∠+∠+∠=o∴30EAF FAD D ∠=∠=∠=o∴260EFA D ∠=∠=oFP FC =Q ，18060602PCF CPF ︒-︒∴∠=∠==︒，又∵AC =AC260COE D ∴∠=∠=o ，30OCE ∴∠=o9090PCO PCF OCE x x ∴∠=∠+∠=︒-+=︒，∵OC 是O 的半径∴直线CP 为O 的切线．26. （1）解：抛物线G 的对称轴为212ax a -=-=，令x =0,可得y =1,图象与y 轴的交点坐标(0,1)；（2）解：在抛物线G 上取点(,)x y ，其关于x 轴的对称点为(,)x y -，把点(,)x y -代入抛物线G 的解析式得()2210y ax ax a -=-+≠，抛物线G '的表达式为()2210y ax ax a =-+-≠；（3）①当3a =时，抛物线G 的解析式为2361y x x =-+，抛物线G '的解析式为2361y x x =-+-，在同一平面直角坐标系中图象如图：从图中可以得出区域W 内的整点个数为3；②当a >0时，抛物线()2210y ax ax a =-+≠，经过点（1，-3）时，区域W 内恰有5个整点.∴321a a -=-+.解得：4a =∴综合①可得：34a <≤当0a <时，抛物线()2210y ax ax a =-+≠经过点（-1，0）和（1，2）时，区域W 内恰有5个整点∴021,221a a a a =++=-+.解得：1, 1.3a a =-=-∴11.3a -≤≤-解得：34a <≤或113a -≤<-．27. （1）解：如图1（2）证明：∵将ABC ∆延AC 方向平移，使点C 移动到点D ，点A 移动到点E ，点B 移动到点F ，得到EFD ∆∴ABC EFD∆≅∆,.AC ED ACB EDF ∴=∠=∠DC AC = ，90ACB ∠=∴,90DC ED EDF =∠=∴,90DCE DEC DCE DEC ∠=∠∠+∠= ∴45DCE DEC ∠=∠=FG CE ⊥ 于G∴45DCE GFC ∠=∠=CG FG ∴=．（3）猜想EF =．理由：如图，连接AG∵ABC EFD≌∴,BC FD AB EF==∴BC CF FD CF+=+∴BF DC=又∵DC AC=∴BF AC=∵45,90DCE GFC DCE GCA ∠=∠=︒∠+∠=︒∴45GFC GCA ∠=∠=︒又∵由（1）得：CG FG=ACG BFG∴ ≌AG BG ∴=，AGC BGF ∠=∠；∴AGC BGC BGF BGC ∠-∠=∠-∠，即AGB CGF∠=∠∵FG CE ⊥于G∴90AGB CGF ∠=∠=︒AB ∴=，EF ∴=．28. 【答案】（1）如图1，13a -≤≤（2）如图2，11m --£。