当前位置：文档之家 › 同济大学---高数上册知识点

同济大学---高数上册知识点

  • 格式：docx
  • 大小：30.75 KB
  • 文档页数：14

高等数学上册复习要点」、函数与极限(一)函数1、函数定义及性质(有界性、单调性、奇偶性、周期性)；2、反函数、复合函数、函数的运算；3、初等函数：幕函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数；4、函数的连续性与间断点；函数f(x)在X o连续> lim f(x)二f(x°)X T X o‘第一类：左右极限均存在•间断点可去间断点、跳跃间断点.第二类：左右极限、至少有一个不存在•无穷间断点、振荡间断点5、闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定理及其推论.(二)极限1、定义1)数列极限limX n=a= PEA。

，m N EN,x/n>N, x^ a < sn T°o2)函数极限lim f (x) = A= * > 0,我> 0, %,当0^|x-x°|"时，f(x)-A —X r X o左极限：f(X0) = lim f (X) 右极限：f(X。

)= lim f (x) X T X o I X olim f (x)二 A 存在二 f (x0) = f(x 0 )X _；Xo2、 极限存在准则 1)夹逼准则:1) y^ X^ Z n ( n - n °)2) 单调有界准则：单调有界数列必有极限.3、 无穷小(大)量 1)定义：若lim 〉二0则称为无穷小量；若lim 〉八：则称为无穷大量2)无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k 阶无穷小2) lim y n = lim z n = a 丿 n ^^n -^clim x n二 an 》：：Th1：~ ：二： o(： ) •Th2 -〜：，〜 ,lim 一存在， a rlim —= alim —(无穷小代换)4、 求极限的方法 1) 单调有界准则； 2) 夹逼准则；3) 极限运算准则及函数连续性; 4)两个重要极限：「 sin x 彳 a) li 叫 1b)X r ° x1lim (1 x)xX r 0lim (V -)^ ex 』： xa) x ~ si n x 〜tan x 〜arcs in x 〜arcta nx1-cosx 〜—Xb)c)e x -1 〜x ( a x -1 〜xln a )xd)In (1 x)〜x ( log a (1 X)〜厂In ae) (1 x) ： _ 1 〜：x导数与微分 （一）导数函数 f （x ）在 X o 点可导二 f_（X o ）=f （X o ）2、 几何意义：f （X 。

）为曲线y= f （x ）在点x o ,f （X o ）处的切线的斜率.3、 可导与连续的关系：4、 求导的方法1） 导数定义； 2） 基本公式； 3） 四则运算；4） 复合函数求导（链式法则）； 5） 隐函数求导数；左导数： f Himf(x)—f(x)XTXC TX - X 0右导数： f (X 0^limf(x)—f(x)XTX 。

X — X 0x >x o定义：f （xo“”1、6）参数方程求导；7）对数求导法. 5、高阶导数1）定义：歸—2n(n)k (k) (n_k)2) Leibniz 公式：uvC nu vk=0（二）微分1） 定义：y 二 f （X 。

X ）- f （x 。

）= A x o （ x ），其中 A 与：x 无关.2） 可微与可导的关系：可微= 可导，且dy 二f （x Q y x= f （x g ）dx三、微分中值定理与导数的应用1、 Rolle 罗尔定理：若函数f (x)满足：1)f(x) C[a,b] ； 2)f(x) D(a,b) ； 3)f(a)=f(b)； 贝S ： (a,b),使f ( J = 0. 2、 Lagrange 拉格朗日中值定理 * :若函数f (x)满足：1) f (x) C[a,b] ；2 ) f (x) D(a,b)；则.(a,b),使f(b)- f(a) = f ( )(b-a).3、 Cauchy 柯西中值定理：若函数f (x), F (x)满足：1) f(x),F(x) C[a,b] ； 2) f(x),F(x) D(a,b) ；3)F(x)=0,x (a,b)（三） Taylor 公式 （四） 单调性及极值1、 单调性判别法：f(x)・ C ［a,b ］ , f(x)・ D(a,b)，则若f (x) 0，则f (x)单调增加；则若f (x) ” 0，则f (x)单调减少.则 (a,b),使f(b)- f(a) F(b)-F (a)f () F()中值定理洛必达法则2、 极值及其判定定理：a) 必要条件：f(x)在X 。

可导，若X 。

为f(x)的极值点，贝“「(Xo) = O.b) 第一充分条件：f (x)在X 。

的邻域内可导，且f 〈X o ) = O ，则①若当X ：； X 。

时，f (X) 0，当X X 。

时，f (X )“ 0 ,则X 。

为极大值点；②若当X ” X 。

时，f(x)"，当X X o 时，「(X )。

，则X o 为极小值点；③若在X o 的 两侧f (X )不变号，则X 0不是极值点.C)第二充分条件：f (X)在X 。

处二阶可导，且「(X o )=。

，厂(X o )=。

，则 ①若f (X 。

)。

，则X o 为极大值点；②若「(X 。

)•。

，则X o 为极小值点.3、 凹凸性及其判断，拐点1) f (X)在区间 I 上连续，若一 X I ,X2T, f(Xl 2X2):： f (Xl) 2f (X2)，则称 f(x)在x+x f(x)+f(x)区间I 上的图形是凹的；若一 X i ,X 2, I, f (丄訂) 七-，则称f(x)在区间I 上的图形是凸的.2) 判定定理：f(x)在［a,b ］上连续，在(a,b)上有一阶、二阶导数，则 a) 若一 x (a,b), f (x) ^,则f (x)在［a,b ］上的图形是凹的； b)若- x (a,b), f (X )。

,则f (x)在［a,b ］上的图形是凸的.3) 拐点：设y 二f (x)在区间I 上连续，X o 是f (x)的内点，如果曲线y 二f (x)经 过点(x 。

，f (x 。

))时，曲线的凹凸性改变了，则称点(x 。

，f (x 。

))为曲线的拐点. (五) 不等式证明1、 利用微分中值定理;2、 利用函数单调性；3、 利用极值(最值). (六) 方程根的讨论1、 连续函数的介值定理;2、 Rolle 定理；3、 函数的单调性；4、 极值、最值；5、 凹凸性. (七) 渐近线lim f (x) = b ，则y = b 为一条水平渐近线;X —四、不定积分 (一)概念和性质1、 原函数：在区间I 上，若函数F(x)可导，且F 〈x)二f(x)，则F(x)称为f (x)的一个原函数.2、 不定积分：在区间I 上，函数f(x)的带有任意常数的原函数称为 f(x)在 区间I 上的不定积分.3、 基本积分表(P188, 13个公式)；4、 性质(线性性).1、铅直渐近线:匹5)七，则XY 为一条铅直渐近线;2、水平渐近线:换元积分法1、第一类换元法(凑微分)：.f 「(x)「(x)dx ・ f (u)dJ u 「(x )2、第二类换元法(变量代换：三角代换、倒代换、根式代换等)：f(x)dx 二 I f[ (t)] (t)dt(三)分部积分法：.udv 二uv- .vdu (反对幕指三，前U 后v '(四)有理函数积分1、 “拆”；2、 变量代换(三角代换、倒代换、根式代换等)五、定积分(一)概念与性质：nlim/ f( J为函数f(x)在区间［a,b］上连续，则 ［a,b ］，使bbJ f(x)dx i f(x)dx= f(E)(b-a) (平均值：f(©)= -------- )b - (二) 微积分基本公式(N — L 公式)b 1、 定义：a f(x)dx 二 2、 性质：(7条)，性质7 (积分中值定理)1、x变上限积分：设门(X)二f(t)dt，则"(X)二f (x)ad :(x)推广：:、f(t)dt= f[ W(x)- f 卜(x沪r(x)b2、 N — L 公式：若 F(x)为 f(x)的一个原函数，则 j f (x)dx= F(b)- F(a)a(三) 换元法和分部积分bp 1、 换元法：J f(x)dx= f f [毋(t)]L(t)dta ot 2、 分部积分法：「udv 二'uv -b vdu aa (四) 反常积分1、 无穷积分：亠- tf f (x)dx = lim J f (x)dxt b bf (x)dx lim f (x)dx t )-： ： t-:: o -::f(x)dx f(x)dx f (x)dx o2、 瑕积分：b bf (x)dx 二 lim f (x)dx (a 为瑕点)b tf (x)d^ lim f (x)dx (b 为瑕点)t —- b两个重要的反常积分：+ E , p 兰 1:dxP二 a—P1) a x p J pj P _ 1b dx b dx2) a (x - a)q a (b - x)q+ QO (b- a)" 1-q欢迎您的下载，资料仅供参考!致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习课件等等打造全网一站式需求。

合集下载

同济高数大一上学期知识点

同济高数大一上学期知识点

同济高数大一上学期知识点一、函数与极限1. 函数的定义与性质1.1 函数的概念1.2 奇偶函数与周期函数1.3 反函数与复合函数2. 极限的概念与性质2.1 极限的定义与表达式2.2 极限的唯一性与有界性2.3 极限的四则运算法则2.4 集合与极限的关系3. 无穷大与无穷小3.1 无穷大的定义与性质3.2 无穷小的概念与性质3.3 无穷小的比较与运算3.4 引理与重要极限4. 两个重要的极限4.1 e的极限与自然对数4.2 sin和cos的极限与圆周率二、导数与微分1. 导数的引入1.1 导数的定义与几何意义1.2 导数存在的条件与计算法则2. 导数的运算法则2.1 常数函数与幂函数的导数 2.2 反函数与复合函数的导数 2.3 三角函数的导数2.4 隐函数与参数方程的导数3. 高阶导数与导数的几何意义 3.1 高阶导数的定义与计算 3.2 导数与函数的图象4. 微分与近似计算4.1 微分的定义与性质4.2 微分中值定理与应用4.3 泰勒公式的概念与应用三、一元函数的应用1. 最值与驻点1.1 极值与最值的概念1.2 函数的极值判定1.3 连续函数的最值定理1.4 驻点的概念与判定2. 函数的图象与曲线的参数方程 2.1 函数的图象与曲线2.2 参数方程的概念与性质2.3 参数方程与函数图象的关系 2.4 高阶导数与曲线的凹凸性3. 不定积分与定积分3.1 不定积分的定义与性质3.2 基本积分法与换元积分法 3.3 定积分的定义与几何意义 3.4 牛顿-莱布尼茨公式的应用4. 微分方程4.1 微分方程的基本概念4.2 一阶微分方程的求解4.3 高阶线性微分方程的求解综上所述，本文介绍了同济大学高等数学第一学期的知识点，包括函数与极限、导数与微分、一元函数的应用等。

这些知识点是大一上学期数学学习的基础内容，对建立数学思维和解决实际问题具有重要意义。

通过深入学习这些知识点，可以为后续的高等数学学习打下坚实的基础。

同济高数上知识点总结大一

同济高数上知识点总结大一

同济高数上知识点总结大一同济高数上知识点总结高等数学作为大学中的一门重要基础课程，对于大一学生来说是相对困难的一门课程。

其中，同济大学的高等数学上册，作为全国各大高校普遍采用的教材之一，内容丰富、难度适中。

本文将对同济高数上的知识点进行总结与归纳，帮助大家更好地掌握这门课程。

1. 极限与连续1.1 极限的概念与性质极限的定义及计算方法，无穷小与无穷大的概念，确定极限的四则运算法则，夹逼定理。

1.2 函数的连续性函数极限存在的条件，连续函数的定义，连续函数的运算法则，介值定理及其应用。

2. 导数与微分2.1 导数的概念与性质导数的定义与解释，导数的几何意义，可导与连续的关系，四则运算法则，复合函数求导，反函数求导。

2.2 微分的概念与应用微分的定义与计算方法，微分中值定理，泰勒公式及其应用，函数的单调性与极值点。

3. 不定积分与定积分3.1 不定积分不定积分的定义，基本初等函数与不定积分，分部积分法，换元积分法，有理函数积分。

3.2 定积分定积分的概念与性质，定积分的计算方法，变上限积分，换元积分法，定积分的几何应用。

4. 微分方程4.1 一阶微分方程可分离变量的一阶微分方程，齐次方程，线性方程，伯努利方程，解法与应用。

4.2 高阶线性微分方程高阶线性微分方程的定义、标准形式及其解法，常系数非齐次线性微分方程。

5. 多元函数微分学5.1 多元函数的极限与连续多元函数极限的定义，连续性与可导性的关系，偏导数及其计算方法。

5.2 多元函数的方向导数与梯度方向导数的概念及计算方法，梯度的定义与性质，多元函数极值的判定条件。

总结：同济高数上册内容较为全面，主要包括极限与连续、导数与微分、不定积分与定积分、微分方程以及多元函数微分学等知识点。

通过系统的学习和掌握，可以帮助大家打好高等数学的基础，为后续的学习奠定坚实的基础。

以上是对同济高数上知识点的简要总结与归纳，希望能够对大家的学习有所帮助。

相信通过努力和不断的练习，大家一定能够掌握这门课程，取得优异的成绩。

同济版本高数上第一章部分知识总结

同济版本高数上第一章部分知识总结

一、映射1、映射的概念映射：设X、Y是两个非空集合，如果存在一个法则f，使得对X中每个元素x，在Y中有唯一确定的元素y与之对应，那么称f为从x到y的映射，记作：f：X→Y举例：注意事项：一、无论是定义域还是值域都是非空集合二、定义域内值必须在值域内有对应的数，而值域内可以不一定。

比如上图中定义域中1到4必然都有对应的数在值域内，但是值域内有5个数，必然会留下一个数，不需要全部对应完毕。

三、对于定义域内部的每个x来说，在值域内对应的值都是有且唯一的，不可“一对多”，而值域内数则可以“多对一”，多个定义域内的值可以同时对应同一个值域内的值。

2、特殊映射满射（X到Y上的映射）：值域中的每一个值都被对应。

根据映射概念可知，既然值域内部值都被对应，相应定义域内部的值也应当都已对应。

而且我们应该知道此时定义域内的值的数量应该等于或许大于值域内值的数量。

单射：定义域内对应值域内的值不同。

即x1≠x2，则f(x)1≠f(x)2一一映射：映射是满射又是单射3、逆映射若将原映射的定义域与值域进行对调，则新构成的映射称作：逆映射。

记作：f−1。

其中，新构成的这个映射，定义域 D f−1=R f，即新的定义域为原映射的值域。

而新的值域则是R f−1=X，因为此时逆映射的定义域需为定义域所在集合全部都是，也就是意味着需要构成逆映射的原映射必须为单射。

若g:X→Y1，f:Y2→Z ，则由g与f可构成复合映射，即：f∘g: X→Z。

这个对应法则确定了一个X到Z的映射，表示 f[g(x)]。

由定义可知，g的值域必须在f的定义域内。

且f∘g与g∘f意义不同。

二、函数1、函数的概念函数：若数集D⊂R，则称映射f:D⊂R为定义在D上的函数，通常简记为：y=f(x),x∈D其中，x称作自变量，y称作因变量，D称作定义域。

注意：一、y=f(x)表示在对应法则f的作用下，定义域内所对应的值，因此写作f(x)。

实际上，y与f(x)的意义一样。

大一同济上册高数(一些重要公式及知识点)

大一同济上册高数(一些重要公式及知识点)

2222 2 n2同济上册高数总结微分公式与积分公式1 (tgx) sec 2x 2(arcsin x)1 x(ctgx) (secx) csc secx x tgx(arccos x) 1 1 x2(cscx) (a x)cscx a xln actgx ( arctgx ) 1 1 x2(log a x)1 x ln a( arcctgx )1 1 x2tgxdxln cos x Cdxcos 2xsec 2xdxtgx Cctgxdx ln sin x C dx csc xdxctgx Csecxdxcscxdx ln secx tgx Cln csc x ctgx C sin xsecx tgxdxsecx C dx1 arctg x C ax a a cscxxctgxdxaxcscx C dx 1 x a22ln C a dxCln ax a dxa2x 22a x a 1ln a xC2a a xshxdx chxdx chx C shx C dxa2x2x arcsin Cadx ln( xxax2a 2) C2I sin n0 xdx 2cos nxdxn 1n 2 nx 2a 2dx x x 2a22 x a ln( x 2a2x 2a 2) C x2 a 2 dx x2a 22 x ln x2 a2x 2a2Cx a2x 2 dxa2 x22arcsinC2a三角函数的有理式积分：2 2Isin x2u2，cos x1 u 22，u tgx，dx 2du2 1 u 1 u 2 1 u两个重要极限：公式1 lim sin x 1公式2 lim (1 x)1 / x ex 0 x x 0有关三角函数的常用公式和差角公式：和差化积公式：sin( cos( tg() sin) costg)coscostgcossinsinsinsinsinsinsin2 sin22 cos2cos2sin2ctg (1 tgctg)ctgtgctg 1ctgcoscoscoscos2cos22sin2cos2sin2三倍角公式: 半角公式：sin(3 α)=3sin-4αsin^3( α) sin( α/2)±=√(1- cosα)/2cos(3 α)=4cos^3( -α3c)os αCos( α/2)=±√(1+cos α)/2降幂公式: 万能公式：sin^2( α)=-(c1os(2 α))/2=versin(2 α)/2 sin α=2tan( α/2)/[1+tan^2( α/2)] cos^2( α)=(1+cos(2 α))/2=covers(2 αc)o/2s α=[1-tan^2( α/2)]/[1+tan^2( α/2)] tan^2( α)=(-1c os(2 α))/(1+cos(2 α)) tan α=2tan( α/2)-/t[a1n^2( α/2)]推导公式tan α+cot α=2/sin2 αt an α-cot α=-2cot2 α1+cos2 α=2cos^2 α1-cos2 α=2sin^2 α1+sin α=(sin α/2+cos α/2)^2正弦定理： asin Absin Bc2 Rsin C余弦定理：c2 a 2 b 2 2ab cosC反三角函数性质：arcsin x arccos x2 arctgx arcctgx2n ( 特别要注意这两个恒等式，证明的话，只需做出左边的函数的导数为 0 即可）高阶导数公式——莱布尼兹（ Leibniz ）公式：(uv)( n)nC k u (n k 0k ) v( k)u ( n)vnu( n 1)vn(n 2!1) u ( n 2) vn(n 1)n k k!1) u( nk )v( k )uv(n)中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理： f (b)f ( a) f ( )( b a)柯西中值定理： f (b) f (a)f ( ) F (b) F (a)F ( )当F( x) x 时，柯西中值定理就是 拉格朗日中值定理。