同济大学《高等数学》上册答案 (2)

第一章1-4节 1、计算下列极限7）2382lim 222+--+→x x x x x分析：本题分子分母同时趋近于0，根据表达式的形式，考虑利用约分将趋于0的项约去。

解：原式6)1(lim )4(lim 14lim )2)(1()2)(4(lim2222=-+=-+=---+=→→→→x x x x x x x x x x x x 9）)sin(sin sin lima x ax a x --→分析：本题分子分母同时趋于0，但不能约分，利用复合函数求极限，通过变量替换进行求解 解一：令0,,,→→+=-=u a x u a x a x u 时则。

a uua a u u u a a u u a a uau a u a u a u a u u u u u cos )2cos42sinsin (cos lim ]2cos2sin 2)2sin 21(sin [cos lim ]sin )1(cos sin [cos lim sin sin sin cos cos sin limsin sin )sin(lim020000=-=-+=-+=-+=-+=→→→→→原式 解二：利用三角函数的和差化积，以及等价替换a ax ax a x a x a x a x a x ax cos 22cos 2lim )sin(2sin 2cos2lim=--⋅+⋅=--+=→→原式11）6)1(lim )4(lim 14lim 4lim 020202230=++-=++-=++-→→→→t t t t t t t t t t t t t t t (应该为4) 13）31)312(lim 2lim )312)(4()4(2lim )312)(4(9)12(lim 4312lim44444=++=++--=++--+=--+→→→→→x x x x x x x x x x x x x x本题利用了分子有理化 2、计算下列极限 1）nnn arctan lim∞→解：因为2arctan 01π<→∞→n ，n，n 而时，无穷小与有界函数之积仍然为无穷小，所以原式n nn arctan 1lim∞→==0 2）0sin 1lim 1sin lim=+=+∞→∞→n n nn n n n n 3）1arctan 11arctan 11lim arctan arctan lim =+-=+-∞→∞→xxxx x x x x x x 第一章1-5节 1、计算下列极限 2）βαβαββααβα==→→x x x x x x x x sin sin lim sin sin lim00解法2：原式βαβα==→x x x 0lim5）212cos122sin 21lim 2cos 2sin 22sin 2lim sin cos 1lim 0200=⋅⋅=⋅=-→→→x x x x x x xx x x x x x 解法2：原式2121lim 20=⋅=→x x x x7）πππππ-=-=-=-=-→→→→uu u u u u x x u u u x 0001lim tan lim )1(tan lim 1tan lim分析：本题利用了变量替换和等价替换 9）2)2(21lim )12(coslim 222-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-∞→∞→x x x x x x分析：∞→x 时，02→x 。

第二章　导数与微分2.2　课后习题详解习题2-1　导数概念1．设物体绕定轴旋转，在时间间隔[0，t]上转过角度θ，从而转角θ是t的函数：θ＝θ(t)．如果旋转是匀速的，那么称为该物体旋转的角速度．如果旋转是非匀速的，应怎样确定该物体在时刻t 0的角速度？解：物体在时间间隔上的平均角速度在时刻t 0的角速度2．当物体的温度高于周围介质的温度时，物体就不断冷却．若物体的温度T 与时间t 的函数关系为T ＝T(t)，应怎样确定该物体在时刻t 的冷却速度？解：物体在时间间隔上平均冷却速度[,]t t t +∆在时刻t 的冷却速度3．设某工厂生产x件产品的成本为函数C(x)称为成本函数，成本函数C(x)的导数在经济学中称为边际成本．试求（1）当生产100件产品时的边际成本；（2）生产第101件产品的成本，并与（1）中求得的边际成本作比较，说明边际成本的实际意义．即生产第101件产品的成本为79.9元，与（1）中求得的边际成本比较，可以看出边际成本的实际意义是近似表达产量达到x单位时再增加一个单位产品所需的成本．4．设f(x)＝10x2，试按定义求．解：5．证明证：6．下列各题中均假定存在，按照导数定义观察下列极限，指出A表示什么：以下两题中给出了四个结论，从中选出一个正确的结论：7．设则f(x)在x＝1处的（ ）．A．左、右导数都存在B．左导数存在，右导数不存在C．左导数不存在，右导数存在D．左、右导数都不存在【答案】B【解析】 故该函数左导数存在，右导数不存在．8．设f(x)可导，，则f(0)＝0是F(x)在x＝0处可导的（ ）．A．充分必要条件B ．充分条件但非必要条件C ．必要条件但非充分条件D ．既非充分条件又非必要条件【答案】A 【解析】　当f(0)＝0时，，反之当时，f(0)＝0，为充分必要条件．9．求下列函数的导数：10．已知物体的运动规律为s ＝t 3m ，求这物体在t ＝2s 时的速度．解：11．如果f(x)为偶函数，且f ＇(0)存在，证明f ＇(0)＝0．证：f(x)为偶函数，得．因为所以f ＇(0)＝0．。

高等数学 高等教育出版社--同济大学数学系习题一1、（4）⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-254876131210131311412 （5）原式=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++++++333232131323222121313212111321)(x a x a x a x a x a x a x a x a x a x x x233332323131322322222121311321122111x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x a ++++++++= =j i ij j i x x a ∑=31,2、（1）T B A 23-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡165654111202022242363636333 （2）B AB T -=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101012111101011121121212111 =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101441300101012111202431211 （3）T BA A -2=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡121211121101012111121212111121212111=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡414645233242031211656676444 3、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321321321220011112y y y B y y y z z z ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321321321111110011x x x A x x x y y y ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=552121023111110011230011112BA ⎪⎩⎪⎨⎧++=--=-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∴32133212211321321321321552223552121023xx x z x x x z x x z x x x x x x BA y y y B z z z 或 4、设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=5.14.4251482041015620105B A 则4321414.118562.1515114355158A A A A AB ←←←←⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡= 即1A 工厂总收入158万元，利润55万元，其他类似. 5、设现有人口用矩阵表示为（单位：万人）：)50,80(=A转移矩形⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∆9.01.02.08.0B , 则三年后人口可表示为[]3)(AB B B AB = )09.74,91.55(781.0219.0438.0562.0)50,80(=⎪⎪⎭⎫⎝⎛= 即三年后市区，郊区人口分别为55.91，74.09万人.注：也可以先乘AB ，再计算（AB ）B ，最后算[]B B AB )(.用AB 3计算时，B ，B 2，B 3的每行两数之和为1，最终结果两数之和为130，否则结果错误. 6、记⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=7.015.110506230157182010B A则 T AB )150,5.46,6.47(=即此人每天摄入蛋白质，脂肪，碳水化合物分别为47.6，46.5，150克. 7、⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------------⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------------=22222200002000020000240040000400004111111111*********11111111111111A⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==44442242222)(A A 猜想⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn nn nA 222222222 （*） 用数学归纳法证明①当1=n 时，显然由2A 的表达式知猜想成立. ②设k n =时成立，即{}K K K K k diag A 222222,2,2,2=．当1+=k n 时，22)1(2A A A k k ⋅=+={}k k k k diag 22222,2,2,2{}22222,2,2,2diag =diag{)1(2)1(2)1(2)1(22,2,2,2++++k k k k }. 因此，1+=k n 时，猜想也成立综上：（*）式成立，因此⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------------⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==+111111*********120000200002000022222212nn n n n n A A A ()A nn nnn n n n nn n n n n n n n 2222222222222222222222222222222222=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------------=. 注：简洁算法是()A A E A A n n n 22222==.8、 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=121557331233122A222200003003151551012155735)(x O E A A A f =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+-=∴ 9、（1）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=+521123241302111120221032121T T B A 注：也可用T B A )(+，更易求！ (2)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=54651360556410630201232121311012210)(TTT BA （3）B B A T )(-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=921116521031101221010334100110、设33)(⨯=ij a B ，则⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=000000100010000000100010333231232221333231232221131211323122211211333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a AB a a a a a a a a a a a a a a a BA由AB=BA 可得：,0,,,0,,0323133223221312312221121========a a a a a a a a a a a a⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=∴111211131211a a a a a a B 即任意形如),,(000R c b a a b a c b a∈∀⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡的矩阵都可以和A 相交换. 11、（1）T TT T A A A A A A +∴+=+)(对称T T T T T A A A A A A A A -∴--=-=-)()(反对称（2）)(21)(21T T A A A A A -++=12、AB B B A B AB B T T T T T ==)(13、设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n n a a a a a a A ΛΛΛ1221111，考虑T AA 的对角线上的元素，由nxn T AA 0=可得 0,,2,1,0),(0)2,2(0)1,1(0222212222222121212211=∴==∴∈⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=++=+++A nj i a Ra n n AA a a a AA a a a AA a a a ij ij T nn n n T n T n ΛΘΛΛΛΛΛ元的第元的第元的第14、注意到：n k n n E A A E A E =+++--))((1Λ及n n k n E A E A A E =-+++-))((1Λ（利用0=k A ）．A E n -∴可逆，且11)(--+++=-k n n A A E A E Λ.15、0672=--n E A A⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⇒-=-+=-⇒=-⇒nn n n n n n n n n E E A E A E E A E A E E A A E E A A 129121)2(12)9)(2()6761(6)7(再验证：nn n n n E E A E A E A E A =+⋅⎪⎭⎫⎝⎛+-=⋅⎪⎭⎫⎝⎛-)2(1291216761于是可说E A A 2,+均可逆，且 n n n E A E A E A A 43121)2(,676111+-=+-=-- 说明：对于数a而言，当0672=--a a 时，可以得到12)9)(2(,6)7(-=-+=-a a a a ，矩阵的乘法可类比.16、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==345123101)(ij b B ，易求出AB. 17、⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=αααα2cos 2sin 2sin 2cos 2A猜想 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=ααααn n n n A n cos sin sin cos （*）用数学归纳法证：① 1=n 时成立．② 设1-n 时成立，则n 时，⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⋅=-ααααααααcos sin sin cos )1cos()1sin()1sin()1cos(1n n n n A AA n n ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=ααααn n n n cos sin sin cos 故（*）式成立19、（1）原式T T T T n u u u u uu uu E )(λμμλ+--= T T n uu u u E )(λμμλ-+-=（2）当1≠u u T λ时，由0=-+u u T λμμλ可解出,1uu T λλμ--=则由（1）结果可知此时n T n T n E uu E u E =--))((μμλ，从而T n uu E λ-可逆． 22、22))((B BA AB A B A B A -+-=-+.当BA=AB 即A 、B 可交换时，22))((B A B A B A -=-+. 23、设,),,(),(1T n ij x x x a A Λ==由0=Ax 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++=++)(0)2(0)1(01121211111m x a x a x a x a x a x a n mn m n n n n ΛM ΛΛΛΛ由于n R x ∈是任意的（x 是任意n 维列向量），分别取),,2,1(,)0,,1,,.0(n j e x T j ΛΛΛ===，则,0),,,(21==T mj j j j a a a Ae Λ得到),,,1.(0m i a ij Λ==又j 分别取n ,,2,1Λ时，可得 ),,1;,,1(,0n j m i a ij ΛΛ===，故 .0=A24、设T j ij i e y a A x )0,,1,,0(),(),0,,1,,0()(ΛΛΛΛ====则由⇒=0xAy ,0010)0,,1,,0(111111==⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ijnn nj n in ij i n j a a a aa a a a a a M M ΛΛM M M ΛΛM M MΛΛΛΛ).,,1;,,1(n j m i ΛΛ== 故 .0=A 25、（1） T ij x a A )1,,1,1(),(Λ==则 11111111111nx nn n n nn n n a a a a a a a a Ax ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ΛΛΛΛM ΛΛΛΛ （2）A 的每行元素之和为常数a ，即是ax Ax =.,)()(111x aA x ax A Ax A ---=⇒=∴又0≠a （否则00=⇒=x Ax ，矛盾）x a x A 11=∴-，即A -1每行元素之和皆为a1．27、设),,(1n a a diag A Λ=，)(ij b B =，),(),(ij ij d BA c AB ==则 ,001ij i nj ij i j ij b a b b a b c =⋅+++⋅=ΛΛ（A c ij =Θ的第i 行元素与B 的第j 列对应元素乘积之和）j ij in j ij i ij a b b a b b d =⋅+++⋅=001ΛΛ，令BA AB =得ij ij d c =．即 j ij ij i a b b a =0)(=-⇒ij j i b a an a a ΛΘ1两两不等，即)(j i a a j i ≠≠ B j i b ij ∴≠=∴)(0为对角矩阵．习题二1、按第3行展开00000000051412524232115141311325242252423221514131231a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a D -=25242315141341322524231514134231a a a a a a a a a a a a a a a a ⋅-⋅==0． 2、（1）第2列减去第3列，提出公因数100； （2）化阶梯形；（3）第一行展开，再化阶梯形；（4）第2，3，4列加到第1列提出公因数10.（5）yxx y x y x y y x yx yx x y x yx y x y yx D 111)22(222222+++=+++++= xy x y xx y y x ---+=001)22().(2)]([)22()22(332y x y x y x y x xy x yxy x +-=-+-⋅+=---⋅+=（7）原式 .0221222122212221252321252321252321252321222222222=++++=++++++++++++=d d c c b b a a d d d d c c c cb b b b a a a a3、（1）按第一行展开，再把第2个1-n 阶行列式按最后一行展开000)1(1⋅⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅=+ΛΛy xx yxx xD n1121)1()1(-++--+=n n n y x xxO.22--=n n x y x（2）按第一行展开111)1(-+-⋅=n n n b b b D O )()1(11n n b b Λ+-=．（3）原式＝.)1(!)1(!221)1)(1()1(121)1(2)2)(1(12)1(1111++++++++-++-=-==----=--n n n n n n n n n n n n n n ΛΛNN（4）第1,3至n 行分别减去第2行，再按第1列展开.)!.2(220000100222000012000010022220001--=--=--=n n n D ΛM M M M M ΛΛΛΛM M M M M ΛΛΛ（5）212---=n n n D D D ⇒211----=-n n n n D D D D12312=-=-D D⇒)2(11≥=--n D D n n∴1)2(2⋅-+=n D D n （等差数列）123+=-+=n n 4、（1）略（2）4阶范德蒙行列式的变形. 5、（1）用归纳法．当 2=n 时，,11112121212a a a a a a D ++=++=等式成立．设当k n =时等式成立，即k k k k k k a a a a a a a a a a a a a D ΛΛΛΛΛ3222112121++++=--．当1+=k n 时，1212112111101101111111111111101110111++++++++=+++++=k k k a a a a a a a a D ΛM M M M ΛΛΛM M M M ΛΛΛM M M M ΛΛ,1321121211211211211110000++-+++++++=+=+=k k k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a a a a a a D a a a a D a a a ΛΛΛΛΛΛΛM O M M ΛΛ等式得证．（2）归纳法． 当3=n 时，,)()(11))((0011113132121132321122213123133313213123133313231131213332313213∏≤<≤-++=++++--=----=----==i j j ia aa a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a D结论成立．假设当1-n 时结论成立． 当n 时，n nn n n n nn n n n n a a a a a a a a a a a a D ΛΛM M M MΛΛ32122322213211111----=211231132211233331122111)()(---------+++--=n nn n n n n n n nn n n a a a a a a a a a a a a a a a a ΛΛMMMΛΛ)111111)(()(21231221333311312333311222------------+--=n nn n n n n n n nn n n n n n n aa aa a a aa a aaa a a a a a a a ΛΛM M M ΛΛΛM M M ΛΛ)111)(()(223223333111122-------+--=n nn n n n n n n n aaa a a a a D a a a a ΛΛM M MΛΛ))()())((()(2122112∏∏≤<≤≤<≤-+-++--=ni j j ini j j in n a aa a aa a a a a a ΛΛ.)()(121∏≤<≤-+++=ni j j in a aa a a Λ另一证法参见《 学习指导》．6、利用范德蒙行列式，可得∏-≤<≤---------==11111111111)()().(111)(n i j j i n n n n n n a a x a x a a a x a a xx D ΛΛM M M MΛΛ由于),11(,-≤<≤≠n i j a a j i 故上式为x 的1-n 次多项式，其根分别为.,,,121-n a a a Λ8、用初等变换化为阶梯形即可得秩．9、利用行初等变换化 )()(1-→→A E E A ΛΛ得到1-A ．注：（2）E A 4442=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=O ⇒ 441AA E A A =⇒=⋅-.11、⇒+=⋅B A B A 2A B E A =-)2(⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=-=⇒-9122692683)2(1A E A B 注意左、右乘的区别！12、设.)(1110--+++=n n x c x c c x f Λ由⇒=i i b a f )(⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=----n n O n n n n n b b c c c a a a a a a AC M M M ΛM M M M ΛΛ1111122111111由范德蒙行列式,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⇒≠-=-≤<≤∏n n n i j j i b b A c c a a A M M 11010)(det即n c c ,,0Λ唯一存在，从而)(x f 唯一存在. 13、 当0det ≠A 时, 1)(det *-=A A A())det()(det )(det det *det 11--==⇒A A A A A n ⎪⎭⎫ ⎝⎛==⇒--A A A A n det 1det )(det *det 11Θ.当0det =A 时，0*=AA . 设r A rank =)(，则11000000--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⇒⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=Q Er P A Er PAQ *000*11A Q Er P AA --⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⇒ 0000211=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-C C Er P ，（记)*211⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-C C A Q000021=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒C C Er （1-P Θ可逆） O C O O C =⇒=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒11⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∴⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∴-222100*0*QC C Q A C A Q0*det =∴A （*A Θ中至少有r 行为0行）.14、(1) rank(A)=.)(0||||0||*1*n A rank A A A n n =⇒≠=⇒≠⇒-(2) ,1)(-<n A rank 则A 的1-n 阶子式全为0，从而*A 的任一元素为0，故.0)(*=A rank(3) 当,1)(-=n A rank 则A 中至少有一个1-n 阶子式不为0，即*A 至少有一个元素不为0，故.1)(*≥A rank 反之，.0||0||1)(*==⇒=⇒-=E A AA A n A rank 又存在n 阶可逆矩阵,,Q P 使.0001⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-n E PAQ 又,0**1==-PAA A PAQQ 记⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-21*1B B A Q ，其中2B 为*1A Q -的最后一行，则由,00.0001211=⇒=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-B B B E n 于是,10)()(2*1*≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==-B rank A Q rank A rank 故.1)(*=A rank15、由已知条件知，T A A )(*=，于是||||*A A =．0||||||||||**=⇒=⇒=A A A A E A AA n或.1||±=A 但∑=>=ni ij a A 12,0||（某个),0≠ij a 故.1||=A16、利用⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=---12111212212111112100A A A A A A E A A E A r n r 及例2.21的结论.习题四6、设313322211,,ααβααβααβ+=+=+=，321,,βββ线性无关3),,(321=⇔βββr ，而321,,ααα线性无关3),,(321=⇒αααr ，故只须证：),,(),,(321321αααβββr r =或：),,(),,(321321βββααα→列初等变换．事实上：),,(),,(322132121ααααααα+→+C C),,(),,()2,,()2,,(),,(3211332213213221332212332212313332βββααααααααααααααααααααααα=+++++++++++→→→→-++C C C C C C C3)(),,(321321==∴αααβββr r 321,,βββ∴线性无关．方法2 设 =+++++)()()(133322211ααααααx x x 0 (1) 下证 0321===x x x（1）式332221131)()()(αααx x x x x x +++++⇒=0由321,,ααα线性无关⎪⎩⎪⎨⎧===⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+∴000000321322131x x x x x x x x x 从而133221,,αααααα+++线性无关. 方法3：,110011101),,(),,(321133221⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+++ααααααααα 记 .110011101⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=AA A ∴≠=02det Θ可逆线性无关321321133221,,3),,(),,(ααααααααααααΘ↑==+++∴r r7、（1）432,,αααΘ 线性无关32,αα∴ 线性无关（整体线性无关，则部分也是） 又321ααα，，Θ线性相关1α∴可由32αα，唯一线性表示（定理4.5） （2）反证法，设4α可由321,,ααα线性表示，则),,(),,,(3214321αααααααr r = ①又321,,αααΘ线性相关3),,(321＜r ααα∴ ② 又432,,αααΘ线性无关，有 3),,(432=αααr3),,(),,,(4324321=≥∴αααααααr r ③由①②③知⎩⎨⎧<≥3),,,(3),,,(43214321ααααααααr r 矛盾．10、设),,(),,,(11n n B A ββααΛΛ== 则),,(11n n B A βαβα++=+Λ设r i i αα,,1Λ是A 的一个最大线性无关组，s j j ββ,,1Λ是B 的一个最大线性无关组则s B r r A r ==)(,)(，由于k α可由r i i αα,,1Λ线性表示，k β可由s j j ββ,,1Λ线性表示，）（n k ,,1⋯⋯=n n βαβα+⋯⋯+∴,11可由r i i αα,,1Λ，s j j ββ,,1Λ线性表示，从而),,,(),(1111s r n n r r ββααβαβα⋯⋯⋯⋯≤+⋯⋯+s r +≤ 即).()()(B r A r B A r +≤+12、假设r n -⋯⋯ξξξη,,,,21线性相关r n -⋯⋯ξξξ,,,21Θ线性无关η∴可由r n -⋯⋯ξξ,,1线性表示设 i i rn i k ξη∑-==1),,1(r n i i -=ΛΘξ是0=AX 的解 η∴也是0=AX 的解，从而0=ηA ，但η却是B AX =的解，从而0≠=B A η矛盾． 13、112211)1(+------++++=r n r n r n r n k k k k k x ηηηηΛΛ11122111)()()(+-+---+-+-+-++-+-=r n r n r n r n r n r n k k k ηηηηηηηΛ 令1122111,,+---+-+--=-=-=r n r n r n r n r n ηηαηηαηηαΛ 则0)(1=-=-=+-B B A A r n i i ηηαr n -⋯⋯∴αα,1是0=AX 的解 ①下证：r n -⋯⋯αα,1线性无关02211=+++--r n r n x x x αααΛ0)()(1111=-++-⇔+---+-r n r n r n r n x x ηηηηΛ 0)(1111=---+++⇔+----r n r n r n r n x x x x ηηηΛΛ 11,,,+--r n r n ηηηΛΘ线性无关， .021====∴-r n x x x Λr n -∴αααΛ,,21线性无关. ②由①，②知r n -αααΛ,,21是0=Ax 的基础解系．又1+-r n η是B Ax =的解（非齐次方程的一个特解！）∴111+---+++r n r n r n k k ηααΛ11)1(11+-------+++=r n r n r n r n k k k k ηηηΛΛ是=AX B 的通解．14、032321=+-x x x 的基础解系为,203,02121⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ηη它们就是V 的一组基．注：分别取⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛20,0232x x 得1η，2η． 17、充分性：设),,(,),,(11n T m b b a a ⋯⋯=⋯⋯=βα αβ=A ，则1)()(≤≤αr A r ① 因0,≠βα，不妨设i a ，0≠j b 则A 的第i 行第j 列的元素为i a 0≠j b∴ 1)(≥A r （至少有一个一阶子式不为0） ② ∴ 1)(=A r （由①与②得）必要性：设),,,(21n A αααΛ=， ),,,()(121n r A r αααΛ==， 则n ααΛ1的最大线性无关组只含1个向量，设它为α，)0(≠αΘ α为n αα⋯⋯,1的最大线性无关组 ∴ n αα⋯⋯,1可由α线性表示设ααααααn n k k k ===,,,2211Λ，令),,,(21n k k k Λ=β 则0≠β （否则，由1)(021=====A r n 与αααΛ矛盾．）则),(1n A ααΛ=),,(1ααn k k ⋯=)(21n k ，，k k ⋯=ααβ=． 其中α为1⨯m 向量，β为n ⨯1向量． 18、令⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=T m T A ααM 1， ,1⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=T T m T B βααM则0=Ax 的解都是0=Bx 的解（条件） 显然0=Bx 的解都是0=Ax 的解 （后者比前者少一个方程）)()(B r A r =∴（结构定理4.11）)()(T T B r A r =∴⇒),,(),,(11βααααm m r r ΛΛ= ∴β可由m αα,,1Λ线性表示19、令),,(),,,(11p n B A ββααΛΛ==，则矩阵方程B AX =有解∃⇔矩阵B AP P p n =⨯使得,∃⇔矩阵),(),(,11p n p n P a P ββαΛΛ=⨯使得⇔ 存在矩阵使得,)(p n ij p P ⨯=⎪⎩⎪⎨⎧++=++=n np p pn n p p p p ααβααβΛΛΛΛΛΛΛ1111111 p ββ,,1Λ⇔能由n ααΛ,1线性表示⇔ )()(A rank B A rank =M20、这里A 是实矩阵（否则未必成立，如⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1i A ）考虑0=AX 与0)(=X A A T 的解由===⇒=0)()(0T T T A AX A X A A AX 0知0=AX 的解一定是0)(=X A A T 的解.下证：0=AX A T 的解也是0=AX 的解，设0=AX A T 则0=AX A X T T .AX 是实向量，记⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n a a AX M 1，则0),,()()(22111=+=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n n T a a a a a a AX AX ΛM Λ．0),,(1==∴T n a a AX Λ，即X 是0=AX 的解，从而0)(=X A A T 的解也是0=AX 的解∴ 0)(=X A A T 与0=AX 同解 ∴ )()(A rank A A rank T =（定理4.11）21、有结论，对线性无关组k ββΛ，1，若k ＜n ，则可以从n αα,,1Λ中取一个向量j α，记作1+k β，使11,,+⋯⋯k k βββ线性无关（*），现用该结论证明本题：r Θ＜n ，可以取{}n j αααΛ,1∈ 使j r αββ,1Λ，线性无关 记j r αβ=+1，如果n r =+1，则证毕！如果1+r ＜n ，上述结论（*），可再从n αα,,1Λ中找k α使11+r ββΛ，，k α线性无关，如此进行下去，直到得到n ββΛ，1线性无关，此时从n αα,,1Λ中取了r n -个向量n r ββΛ，1+加入r ββΛ，1，使得n ββΛ，1线性无关（作为n R 的一组基）． P.S ．证明结论（*）向量组n αα,,1Λ不能用r ββΛ，1线性表示，否则由于n r <导致n ααΛ,1线性相关，矛盾∴存在某个j α不能用r ββΛ,1线性表示而k ββΛ,1，j α线性无关，记1+=r j βα即可.22、A 可由1A 线性表示，又1A 可由A 线性表示，于是1A 与A 等价，从而r A rank A rank ==)()(1,由定理4.7 知1A 为A 的最大线性无关组．23．（1）取11,,-m ααΛ的一个最大无关组)(,1个r ir i ααΛ，则r r m m m ==--),,,(),,(1111αααααΛΛ从而ir i ααΛ,1也是m ααΛ,1的最大无关组，显然它不包含m α（ir i αα,1ΛΘ是从11,,-m ααΛ中取出的！）（2）假设结论不成立，则A 有一个最大线性无关组ir i αα,1Λ，不包含m α,则包含在11,,-m ααΛ中，从而m α能表示为ir i αα,1Λ的线性组合，也能表示为11,,-m ααΛ的线性组合，矛盾.习题五2、若λ为A 的特征值，X 为相应的特征向量，即X AX λ=，于是X AX X A 22λλ==，又E A =2，则0)1(22=-⇒=X X X λλ，由于0≠X ，则1012±=⇒=-λλ.5、（反证）若21X X +为A 的属于λ的特征向量，则212121)()(AX AX X X A X X +=+=+λ0)()(22112211=-+-⇒+=X X X X λλλλλλ，由于21,X X 线性无关，则21λλλ==,矛盾. 7、X AX A x A X AX i i λλ==⇒=Λ（i 为自然数）.)()()(101010X f X a X a X a X A a AX a X a X A a A a E a X A f mm m m m m λλλ=++=++=++=⇒ΛΛΛ8、（1）)5)(5)(1(34430241-+-=----=-λλλλλλλE A ，A 的特征值为5,5,1321-===λλλ.（1.1）若求)det(100A ，由上题知A 100的特征值为：1 ， 5100， (-5)100,于是2001001001005)5(51)det(=-⨯⨯=A .（1.2）若求A 100，先将A 对角化：对11=λ，0)(0010011024440240=-⇒⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-X E A E A 的基础解系⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0011X ; 对52=λ，0)5(0021101012404802445=-⇒⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=-X E A E A 的基础解系⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=2122X ; 对53-=λ，0)5(00210101844202465=+⇒⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=+X E A E A 的基础解系⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=1213X .取⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==120210121),,(321X X X P ，则⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-120210505511P ，11110011551551551551500050001-----⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⋅⋅⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⇒⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⇒⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=P P P P P P A P P A AP P Λ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=--100100100110010011005000501501551551P P P P .16、设n 阶正交阵A （n 为奇数）有特征值λ及相应特征向量X ，即X AX λ=，0)1()()(22=-⇒=⋅===X X X X X X AX AX AX A X X X T T T T T T T λλλλ，由于022221≠+++=n T x x x X X Λ，故,112±=⇒=λλ设A 的所有特征值为n λλλ,,,21Λ，则1det 21==A n λλλΛ，由于)1(1n i i ≤≤±=λ且n 为奇数，故必有某个,1=k λ又A E -的特征值为),,2,1(,1n i i Λ=-λ,从而0)1()1()1()det(1=---=-n k A E λλλΛΛ.17、设n n ββααΛΛ,,,11为n R 中两组单位正交基，从n αα,,1Λ到n ββ,,1Λ的过渡矩阵P=B A n n 1111),,(),,(--=记ββααΛΛ，由于A ，B 为正交阵，由正交阵性质知B A P 1-=为正交矩阵.20、（2）A 可逆，由AB BA AB BA BA A A A AB A ,~)()(11⇒==--与BA 有相同特征值.21、由16题证明知A 的特征值为1或-1，由于A 为上三角矩阵，其对角线上元素为特征值，即1±，再利用A 的任两列正交可得A 为对角阵. 另一证法可参见《学习指导》.22、存在正交矩阵Q ，使⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n T AQ Q λλλO 21，令QY X =，则：22111)(n n n T T T T y y Y Y Y AQ Q Y AX X λλλλ++=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==ΛO ，取{}n c λλ,,max 1Λ=，则X cX X Q X Q c Y cY y y c AX X T T T n T ===+≤--11221)()(Λ注：题目中)det(AX X T 应改为AX X T .24.由X AX ⋅==00知21,ξξ为A 的属于0的特征向量,且它们正交.由A 对称知A 的属于3的特征向量3ξ必与21,ξξ正交.现求3ξ.由于021222132132121=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x x x x x x T T ξξ, ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-210201212221得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1223321x x x x ，取⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=1223ξ，则21,ξξ，3ξ为A 的两两正交的三个特征向量，单位化：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=313232,323132,323231321ηηη，得正交阵[]321,,ηηη=Q , 且⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=300AQ Q T ，于是 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=122244244313112221222130012221222131300T Q Q A . 26、设λ为A 的特征值，X 为相应特征向量，则X AX λ=，X AX A X A 22)(λ==，由A A =2得000)(22=⇒=-⇒=-λλλλλX 或1，即A 的特征值为0或1，E+A 的特征值为1或2，故E+A 的所有特征值之积不为0，即0≠+A E ，从而E+A 可逆，或由A E A E E A A E A E A E 21)(2121)21)((12-=+⇒=-+=-+- 27、若B 与A 相似，即存在可逆阵P ，使AP P B 1-=，从而P A P B k k 1-=，因而01==-P A P B m m ，但对角阵Λ不满足0=Λm ，故A 不与对角阵Λ相似. 28、记),,,(21n diag B λλλΛ=则存在可逆阵,P 使k k B P A P B AP P =⇒=--11.设n n A a A a E a A f Λ++=10)(，则))(),(()(111101110111011101n n n nn nn n n nn f f diag a a a a a a a a E a p A P a AP P a E a P A f P λλλλλλλλλλΛΛO ΛO ΛO Λ=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+++=---)(A f ⇒相似于)(),((1n f f diag λλΛ.29、由已知条件，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡010010A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡0112011A ，⇒⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1103110A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⇒⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-300211002100111010303210230321021001110101A A30、由于A 为实对称阵，必与对角阵相似，要使A 与B 相似，只要A 与B 有相同特征值即可，B 的特征值为0,1,2，也为A 的特征值，A 的特征多项式为：λλλλλ---=-=11111)(yy x xE A f ，于是有0)2()1()0(===f f f ，即y x y x y y xx f =⇒=--==0)(11111)0(2 00201010)1(=⇒===x xy y y xx f 或0=y y x y x y y xx f -=⇒=+=---=0)(11111)2(2 31、用21,x x 分别表示市区，郊区居民数量，依题意有3:2:9.015.01.085.0212121=⇒⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡x x x x x x习题六3、存在正交矩阵Q ，变换QY X =将二次型f 化为标准型，即：2222211)(n n T T T y y y Y AQ Q Y AX X f λλλ+++===Λ，取),2,1(n i e Y i Λ==则0==i f λ ),2,1(n i Λ=，（即此时取i Qe X =）.00011=⋅⋅=⇒=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⇒-Q Q A AQ Q n T λλO6、二次型3231212322212245x x x x x x ax x x f --+++=的矩阵 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=a A 11112125，A 正定⇔A 的各阶顺序主子式).3,2,1(,0=>∆k k即,20211112125,011225,05321>⇒>-=----=∆>==∆>=∆a a a故当2>a 时，二次型f 正定.7、设n 阶实对称阵A 的n 个特征值为n λλλΛ,,21，则存在正交矩阵Q ，使T n n T Q Q A AQ Q ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⇒⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=λλλλλλO O 2121 A正定⇒A 的n 个特征值nλλλ,,,21Λ全为正T n n Q Q A ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⇒λλλλλλO O 2121B B A T =⇒，其中Tn Q B ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=λλλO 21为满秩阵. 反之，若有n 阶满秩矩阵B ，使B B A T =.令BX Y =，则：22221)()())((n T T T T T y y y Y Y BX BX BX B X AX X f +++=====Λ，从而对任一0≠X ，有,00>⇒≠=f BX Y 所以f 正定.8、（1）)0(,0≠>=X AX X f T 取i e X =，则).,21(0010)010()(11111，n i a a a a a a a a e f ii nn n in ii i n i ΛM M ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ，=>=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=（2）与（1）类似可证.9、（1）对B A BX X AX X X B A X x f X T T T +⇒>+=+=≠0)()(,0正定（2）K K K T T K A A A A ⇒==)()(对称A 正定A ⇒的特征值n λλλΛΛ,,21全为正k A ⇒的特征值k n k k λλλΛΛ,,21全为正k A ⇒正定（3）设A 的n 个特征值为n λλλΛΛ,,21，则aE A +的n 个特征值为),2,1(,n i a i Λ=+λ，取{}i a λmax >，则),2,1(0n i a i Λ=>+λ即aE A +的n 个特征值全为正aE A +⇒正定.10、f 的矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=3030002aa A ，由标准型23222152y y y f ++=知A 的三个特征值为1，2，5. 由0)3)(3)(2(33002=---+-=--=-λλλλλλa a aa E A 知A 的三个特征值为a a -+3,3,2.于是2=a 或2-，不妨取2=a ，于是⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=320230002A 对⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-=00011000122220001,11E A λ，对应特征向量⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=1101ξ，单位化,212101⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=η 对22=λ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-300210001202100002E A ，对应特征向量⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0012ξ，取22ξη=; 对53=λ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=-0001100012202200035E A ，对应特征向量⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1103ξ，单位化⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=212103η，于是所用正交变换矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=2102121021010Q . 11、二次型f 的标准矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=λλλ111111A ，要f 正定，即要求A 正定，必须A 的各阶主子式：0>∆k ，)3,2,1(=k 即01>=∆λ，011122>-==∆λλλ，10)2()1(11111123>⇔>-+=--=∆λλλλλλ且202>⇔>-λλ. 故当2>λ时，二次型f 为正定. 12、A为正定矩阵，则A为对称矩阵，即,ij ji a a =因此ij j ij i i ji j ji b c a c c a c b ===，从而B 也为对称矩阵.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛===n n n nn n n n n n j iji ij c c c A c c c c c c a a a a a a a a a c c c c a c b B OO O ΛΛΛΛΛΛO21212121222211121121)()(⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⇒n n n n n n n n T x c x c x c A x c x c x c x x x c c c A c c c x x x BX X M ΛM O O Λ2211221121212121),,(),( (1)由于n c c c Λ,,21为非零实数，对021≠⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n x x x X M ，有02211≠⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n n x c x c x c M ，又A 为正定矩阵，则（1）式右端大于0，从而对0≠X ,有0>BX X T ，故B 为正定矩阵.。

高等数学第六版上册课后习题答案第一章习题1−11.设A =(−∞,−5)∪(5,+∞),B =[−10,3),写出A ∪B ,A ∩B ,A \B 及A \(A \B )的表达式.解A ∪B =(−∞,3)∪(5,+∞),A ∩B =[−10,−5),A \B =(−∞,−10)∪(5,+∞),A \(A \B )=[−10,−5).2.设A 、B 是任意两个集合,证明对偶律:(A ∩B )C =A C ∪B C .证明因为x ∈(A ∩B )C ⇔x ∉A ∩B ⇔x ∉A 或x ∉B ⇔x ∈A C 或x ∈B C ⇔x ∈A C ∪B C ,所以(A ∩B )C =A C ∪B C .3.设映射f :X →Y ,A ⊂X ,B ⊂X .证明(1)f (A ∪B )=f (A )∪f (B );(2)f (A ∩B )⊂f (A )∩f (B ).证明因为y ∈f (A ∪B )⇔∃x ∈A ∪B ,使f (x )=y⇔(因为x ∈A 或x ∈B )y ∈f (A )或y ∈f (B )⇔y ∈f (A )∪f (B ),所以f (A ∪B )=f (A )∪f (B ).(2)因为y ∈f (A ∩B )⇒∃x ∈A ∩B ,使f (x )=y ⇔(因为x ∈A 且x ∈B )y ∈f (A )且y ∈f (B )⇒y ∈f (A )∩f (B ),所以f (A ∩B )⊂f (A )∩f (B ).4.设映射f :X →Y ,若存在一个映射g :Y →X ,使X I f g =ο,Y I g f =ο,其中I X 、I Y 分别是X 、Y 上的恒等映射,即对于每一个x ∈X ,有I X x =x ;对于每一个y ∈Y ,有I Y y =y .证明:f 是双射,且g 是f 的逆映射:g =f −1.证明因为对于任意的y ∈Y ,有x =g (y )∈X ,且f (x )=f [g (y )]=I y y =y ,即Y 中任意元素都是X 中某元素的像,所以f 为X 到Y 的满射.又因为对于任意的x 1≠x 2,必有f (x 1)≠f (x 2),否则若f (x 1)=f (x 2)⇒g [f (x 1)]=g [f (x 2)]⇒x 1=x 2.因此f 既是单射,又是满射,即f 是双射.对于映射g :Y →X ,因为对每个y ∈Y ,有g (y )=x ∈X ,且满足f (x )=f [g (y )]=I y y =y ,按逆映射的定义,g 是f 的逆映射.5.设映射f :X →Y ,A ⊂X .证明:(1)f −1(f (A ))⊃A ;(2)当f 是单射时,有f −1(f (A ))=A .证明(1)因为x ∈A ⇒f (x )=y ∈f (A )⇒f −1(y )=x ∈f −1(f (A )),所以f −1(f (A ))⊃A .(2)由(1)知f −1(f (A ))⊃A .另一方面,对于任意的x ∈f −1(f (A ))⇒存在y ∈f (A ),使f −1(y )=x ⇒f (x )=y .因为y ∈f (A )且f 是单射,所以x ∈A .这就证明了f −1(f (A ))⊂A .因此f −1(f (A ))=A .6.求下列函数的自然定义域:(1)23+=x y ;解由3x +2≥0得32−>x .函数的定义域为) ,32[∞+−.(2)211xy −=;解由1−x 2≠0得x ≠±1.函数的定义域为(−∞,−1)∪(−1,1)∪(1,+∞).(3)211x xy −−=;解由x ≠0且1−x 2≥0得函数的定义域D =[−1,0)∪(0,1].(4)241x y −=;解由4−x 2>0得|x |<2.函数的定义域为(−2,2).(5)x y sin =;解由x ≥0得函数的定义D =[0,+∞).(6)y =tan(x +1);解由21π≠+x (k =0,±1,±2,⋅⋅⋅)得函数的定义域为 12−+≠ππk x (k =0,±1,±2,⋅⋅⋅).(7)y =arcsin(x −3);解由|x −3|≤1得函数的定义域D =[2,4].(8)xx y 1arctan 3+−=;解由3−x ≥0且x ≠0得函数的定义域D =(−∞,0)∪(0,3).(9)y =ln(x +1);解由x +1>0得函数的定义域D =(−1,+∞).(10)x e y 1=.解由x ≠0得函数的定义域D =(−∞,0)∪(0,+∞).7.下列各题中,函数f (x )和g (x )是否相同？为什么？(1)f (x )=lg x 2,g (x )=2lg x ;(2)f (x )=x ,g (x )=2x ;(3)334)(x x x f −=,31)(−=x x x g .(4)f (x )=1,g (x )=sec 2x −tan 2x .解(1)不同.因为定义域不同.(2)不同.因为对应法则不同,x <0时,g (x )=−x .(3)相同.因为定义域、对应法则均相相同.(4)不同.因为定义域不同.8.设⎪⎩⎪⎨⎧≥<=3|| 03|| |sin |)(ππϕx x x x ,求)6(πϕ,)4(πϕ,)4(πϕ−,ϕ(−2),并作出函数y =ϕ(x )的图形.解216sin |)6(==ππϕ,22|4sin |)4(==ππϕ,22|)4sin(|)4(=−=−ππϕ,0)2(=−ϕ.9.试证下列函数在指定区间内的单调性:(1)xx y −=1,(−∞,1);(2)y =x +ln x ,(0,+∞).证明(1)对于任意的x 1,x 2∈(−∞,1),有1−x 1>0,1−x 2>0.因为当x 1<x 2时,0)1)(1(112121221121<−−−=−−−=−x x x x x x x x y y ,所以函数xx y −=1在区间(−∞,1)内是单调增加的.(2)对于任意的x 1,x 2∈(0,+∞),当x 1<x 2时,有0ln )()ln ()ln (2121221121<+−=+−+=−x x x x x x x x y y ,所以函数y =x +ln x 在区间(0,+∞)内是单调增加的.10.设f (x )为定义在(−l ,l )内的奇函数,若f (x )在(0,l )内单调增加,证明f (x )在(−l ,0)内也单调增加.证明对于∀x 1,x 2∈(−l ,0)且x 1<x 2,有−x 1,−x 2∈(0,l )且−x 1>−x 2.因为f (x )在(0,l )内单调增加且为奇函数,所以f (−x 2)<f (−x 1),−f (x 2)<−f (x 1),f (x 2)>f (x 1),这就证明了对于∀x 1,x 2∈(−l ,0),有f (x 1)<f (x 2),所以f (x )在(−l ,0)内也单调增加.11.设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(−l ,l )上的,证明:(1)两个偶函数的和是偶函数,两个奇函数的和是奇函数;(2)两个偶函数的乘积是偶函数,两个奇函数的乘积是偶函数,偶函数与奇函数的乘积是奇函数.证明(1)设F (x )=f (x )+g (x ).如果f (x )和g (x )都是偶函数,则F (−x )=f (−x )+g (−x )=f (x )+g (x )=F (x ),所以F (x )为偶函数,即两个偶函数的和是偶函数.如果f (x )和g (x )都是奇函数,则F (−x )=f (−x )+g (−x )=−f (x )−g (x )=−F (x ),所以F (x )为奇函数,即两个奇函数的和是奇函数.(2)设F (x )=f (x )⋅g (x ).如果f (x )和g (x )都是偶函数,则F (−x )=f (−x )⋅g (−x )=f (x )⋅g (x )=F (x ),所以F (x )为偶函数,即两个偶函数的积是偶函数.如果f (x )和g (x )都是奇函数,则F (−x )=f (−x )⋅g (−x )=[−f (x )][−g (x )]=f (x )⋅g (x )=F (x ),所以F (x )为偶函数,即两个奇函数的积是偶函数.如果f (x )是偶函数,而g (x )是奇函数,则F (−x )=f (−x )⋅g (−x )=f (x )[−g (x )]=−f (x )⋅g (x )=−F (x ),所以F (x )为奇函数,即偶函数与奇函数的积是奇函数.12.下列函数中哪些是偶函数,哪些是奇函数,哪些既非奇函数又非偶函数？(1)y =x 2(1−x 2);(2)y =3x 2−x 3;(3)2211xxy +−=;(4)y =x (x −1)(x +1);(5)y =sin x −cos x +1;(6)2x x a a y −+=.解(1)因为f (−x )=(−x )2[1−(−x )2]=x 2(1−x 2)=f (x ),所以f (x )是偶函数.(2)由f (−x )=3(−x )2−(−x )3=3x 2+x 3可见f (x )既非奇函数又非偶函数.(3)因为())(111)(1)(2222x f x x x x x f =+−=−+−−=−,所以f (x )是偶函数.(4)因为f (−x )=(−x )(−x −1)(−x +1)=−x (x +1)(x −1)=−f (x ),所以f (x )是奇函数.(5)由f (−x )=sin(−x )−cos(−x )+1=−sin x −cos x +1可见f (x )既非奇函数又非偶函数.(6)因为)(22)()()(x f a a a a x f x x x x =+=+=−−−−−,所以f (x )是偶函数.13.下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数,指出其周期:(1)y =cos(x −2);解是周期函数,周期为l =2π.(2)y =cos 4x ;解是周期函数,周期为2π=l .(3)y =1+sin πx ;解是周期函数,周期为l =2.(4)y =x cos x ;解不是周期函数.(5)y =sin 2x .解是周期函数,周期为l =π.14.求下列函数的反函数:(1)31+=x y ;解由31+=x y 得x =y 3−1,所以31+=x y 的反函数为y =x 3−1.(2)xx y +−=11;解由x x y +−=11得yy x +−=11,所以x x y +−=11的反函数为x x y +−=11.(3)dcx b ax y ++=(ad −bc ≠0);解由d cx b ax y ++=得acy b dy x −+−=,所以d cx b ax y ++=的反函数为a cx b dx y −+−=.(4)y =2sin3x ;解由y =2sin 3x 得2arcsin 31y x =,所以y =2sin3x 的反函数为2arcsin 31x y =.(5)y =1+ln(x +2);解由y =1+ln(x +2)得x =e y −1−2,所以y =1+ln(x +2)的反函数为y =e x −1−2.(6)122+=x x y .解由122+=x x y 得y y x −=1log 2,所以122+=x x y 的反函数为x x y −=1log 2.15.设函数f (x )在数集X 上有定义,试证:函数f (x )在X 上有界的充分必要条件是它在X 上既有上界又有下界.证明先证必要性.设函数f (x )在X 上有界,则存在正数M ,使|f (x )|≤M ,即−M ≤f (x )≤M .这就证明了f (x )在X 上有下界−M 和上界M .再证充分性.设函数f (x )在X 上有下界K 1和上界K 2,即K 1≤f (x )≤K 2.取M =max{|K 1|,|K 2|},则−M ≤K 1≤f (x )≤K 2≤M ,即|f (x )|≤M .这就证明了f (x )在X 上有界.16.在下列各题中,求由所给函数复合而成的函数,并求这函数分别对应于给定自变量值x 1和x 2的函数值:(1)y =u 2,u =sin x ,61π=x ,32π=x ;解y =sin 2x ,41)21(6sin 221===πy ,43)23(3sin 222===πy .(2)y =sin u ,u =2x ,81π=x ,42π=x ;解y =sin2x ,224sin )82sin(1==⋅=ππy ,12sin )42sin(2==⋅=ππy .(3)u y =,u =1+x 2,x 1=1,x 2=2;解21x y +=,21121=+=y ,52122=+=y .(4)y =e u ,u =x 2,x 1=0,x 2=1;解2x e y =,1201==e y ,e e y ==212.(5)y =u 2,u =e x ,x 1=1,x 2=−1.解y =e 2x ,y 1=e 2⋅1=e 2,y 2=e 2⋅(−1)=e −2.17.设f (x )的定义域D =[0,1],求下列各函数的定义域:(1)f (x 2);解由0≤x 2≤1得|x |≤1,所以函数f (x 2)的定义域为[−1,1].(2)f (sin x );解由0≤sin x ≤1得2n π≤x ≤(2n +1)π(n =0,±1,±2⋅⋅⋅),所以函数f (sin x )的定义域为[2n π,(2n +1)π](n =0,±1,±2⋅⋅⋅).(3)f (x +a )(a >0);解由0≤x +a ≤1得−a ≤x ≤1−a ,所以函数f (x +a )的定义域为[−a ,1−a ].(4)f (x +a )+f (x −a )(a >0).解由0≤x +a ≤1且0≤x −a ≤1得:当210≤<a 时,a ≤x ≤1−a ;当21>a 时,无解.因此当210≤<a 时函数的定义域为[a ,1−a ],当21>a 时函数无意义.18.设⎪⎩⎪⎨⎧>−=<=1|| 11|| 01|| 1)(x x x x f ,g (x )=e x ,求f [g (x )]和g [f (x )],并作出这两个函数的图形.解⎪⎩⎪⎨⎧>−=<=1|| 11|| 01|| 1)]([x x x e e e x g f ,即⎪⎩⎪⎨⎧>−=<=0 10 00 1)]([x x x x g f .⎪⎩⎪⎨⎧>=<==−1|| 1|| e 1|| )]([101)(x e x x e e x f g x f ,即⎪⎩⎪⎨⎧>=<=−1|| 1|| 11|| )]([1x e x x e x f g .19.已知水渠的横断面为等腰梯形,斜角ϕ=40°(图1−37).当过水断面ABCD 的面积为定值S 0时,求湿周L (L =AB +BC +CD )与水深h 之间的函数关系式,并指明其定义域.图1−37解ο40sin h DC AB ==,又从0)]40cot 2([21S h BC BC h =⋅++ο得h hS BC ⋅−=ο40cot 0,所以h h S L οο40sin 40cos 20−+=.自变量h 的取值范围应由不等式组h >0,040cot 0>⋅−h hS ο确定,定义域为ο40cot 00S h <<.20.收敛音机每台售价为90元,成本为60元.厂方为鼓励销售商大量采购,决定凡是订购量超过100台以上的,每多订购1台,售价就降低1分,但最低价为每台75元.(1)将每台的实际售价p 表示为订购量x 的函数;(2)将厂方所获的利润P 表示成订购量x 的函数;(3)某一商行订购了1000台,厂方可获利润多少？解(1)当0≤x ≤100时,p =90.令0.01(x 0−100)=90−75,得x 0=1600.因此当x ≥1600时,p =75.当100<x <1600时,p =90−(x −100)×0.01=91−0.01x .综合上述结果得到⎪⎩⎪⎨⎧≥<<−≤≤=1600 751600100 01.0911000 90x x x x p .(2)⎪⎩⎪⎨⎧≥<<−≤≤=−=1600 151600100 01.0311000 30)60(2x x x x x x x x p P .(3)P =31×1000−0.01×10002=21000(元).习题1−21.观察一般项x n 如下的数列{x n }的变化趋势,写出它们的极限:(1)n n x 21=;解当n →∞时,n n x 21=→0,021lim =∞→n n .(2)nx n n 1)1(−=;解当n →∞时,n x n n 1)1(−=→0,01)1(lim =−∞→nn n .(3)212nx n +=;解当n →∞时,212n x n +=→2,2)12(lim 2=+∞→nn .(4)11+−=n n x n ;解当n →∞时,12111+−=+−=n n n x n →0,111lim =+−∞→n n n .(5)x n =n (−1)n .解当n →∞时,x n =n (−1)n 没有极限.2.设数列{x n }的一般项nn x n 2cos π=.问n n x ∞→lim =?求出N ,使当n >N 时,x n 与其极限之差的绝对值小于正数ε,当ε=0.001时,求出数N .解0lim =∞→n n x .n n n x n 1|2cos ||0|≤=−π.∀ε>0,要使|x n −0|<ε,只要ε<n 1,也就是ε1>n .取]1[ε=N ,则∀n >N ,有|x n −0|<ε.当ε=0.001时,]1[ε=N =1000.3.根据数列极限的定义证明:(1)01lim 2=∞→nn ;分析要使ε=−221|01|n n ,只须ε12>n ,即ε1>n .证明因为∀ε>0,∃]1[ε=N ,当n >N 时,有ε<−|01|2n ,所以01lim 2=∞→n n .(2)231213lim =++∞→n n n ;分析要使ε<<+=−++n n n n 41)12(21|231213|,只须ε<n 41,即ε41>n .证明因为∀ε>0,∃]41[ε=N ,当n >N 时,有ε<−++|231213|n n ,所以231213lim =++∞→n n n .(3)1lim 22+∞→na n n ;分析要使ε<<++=−+=−+na n a n n a n n a n n a n 22222222)(|1|,只须ε2a n >.证明因为∀ε>0,∃][2εa N =,当∀n >N 时,有ε<−+|1|22na n ,所以1lim 22=+∞→na n n .(4)19 999.0lim =⋅⋅⋅∞→43421个n n .分析要使|0.99⋅⋅⋅9−1|ε<=−1101n ,只须1101−n <ε,即ε1lg 1+>n .证明因为∀ε>0,∃]1lg 1[ε+=N ,当∀n >N 时,有|0.99⋅⋅⋅9−1|<ε,所以19 999.0lim =⋅⋅⋅∞→43421个n n .4.a u n n =∞→lim ,证明||||lim a u n n =∞→.并举例说明:如果数列{|x n |}有极限,但数列{x n }未必有极限.证明因为a u n n =∞→lim ,所以∀ε>0,∃N ∈N ,当n >N 时,有ε<−||a u n ,从而||u n |−|a ||≤|u n −a |<ε.这就证明了||||lim a u n n =∞→.数列{|x n |}有极限,但数列{x n }未必有极限.例如1|)1(|lim =−∞→n n ,但n n )1(lim −∞→不存在.5.设数列{x n }有界,又0lim =∞→n n y ,证明:0lim =∞→n n n y x .证明因为数列{x n }有界,所以存在M ,使∀n ∈Z ,有|x n |≤M .又0lim =∞→n n y ,所以∀ε>0,∃N ∈N ,当n >N 时,有My n ε<||.从而当n >N 时,有εε=⋅<≤=−MM y M y x y x n n n n n |||||0|,所以0lim =∞→n n n y x .6.对于数列{x n },若x 2k −1→a (k →∞),x 2k →a (k →∞),证明:x n →a (n →∞).证明因为x 2k −1→a (k →∞),x 2k →a (k →∞),所以∀ε>0,∃K 1,当2k −1>2K 1−1时,有|x 2k −1−a |<ε;∃K 2,当2k >2K 2时,有|x 2k −a |<ε.取N =max{2K 1−1,2K 2},只要n >N ,就有|x n −a |<ε.因此x n →a (n →∞).习题1−31.根据函数极限的定义证明:(1)8)13(lim 3=−→x x ;分析因为|(3x −1)−8|=|3x −9|=3|x −3|,所以要使|(3x −1)−8|<ε,只须ε31|3|<−x .证明因为∀ε>0,∃εδ31=,当0<|x −3|<δ时,有|(3x −1)−8|<ε,所以8)13(lim 3=−→x x .(2)12)25(lim 2=+→x x ;分析因为|(5x +2)−12|=|5x −10|=5|x −2|,所以要使|(5x +2)−12|<ε,只须51|2|<−x .证明因为∀ε>0,∃εδ51=,当0<|x −2|<δ时,有|(5x +2)−12|<ε,所以12)25(lim 2=+→x x .(3)424lim 22−=+−−→x x x ;分析因为|)2(||2|244)4(2422−−=+=+++=−−+−x x x x x x x ,所以要使ε<−−+−)4(242x x ,只须ε<−−|)2(|x .证明因为∀ε>0,∃εδ=,当0<|x −(−2)|<δ时,有ε<−−+−)4(242x x ,所以424lim22−=+−−→x x x .(4)21241lim 321=+−−→x x x .分析因为|)21(|2|221|212413−−=−−=−+−x x x x ,所以要使ε<−+−212413x x ,只须ε21|)21(|<−−x .证明因为∀ε>0,∃εδ21=,当δ<−−<|)21(|0x 时,有ε<−+−212413x x ,所以21241lim 321=+−−→x x x .2.根据函数极限的定义证明:(1)2121lim 33=+∞→x x x ;分析因为333333||21212121x x x x x x =−+=−+,所以要使ε<+212133x x ,只须ε<3||21x ,即321||ε>x .证明因为∀ε>0,∃321ε=X ,当|x |>X 时,有ε<+212133x x ,所以2121lim 33=+∞→x x x .(2)0sin lim =+∞→x x x .分析因为xx x x x 1|sin |0sin =−.所以要使ε<−0sin x x ,只须ε<x 1,即21ε>x .证明因为∀ε>0,∃21ε=X ,当x >X 时,有ε<−0sin xx ,所以0sin lim =+∞→xx x .3.当x →2时,y =x 2→4.问δ等于多少,使当|x −2|<δ时,|y −4|<0.001？解由于当x →2时,|x −2|→0,故可设|x −2|<1,即1<x <3.要使|x 2−4|=|x +2||x −2|<5|x −2|<0.001,只要0002.05001.0|2|=<−x .取δ=0.0002,则当0<|x −2|<δ时,就有|x 2−4|<0.001.4.当x →∞时,13122→+−=x x y ,问X 等于多少,使当|x |>X 时,|y −1|<0.01?解要使01.034131222<+=−+−x x x ,只要397301.04||=−>x ,故397=X .5.证明函数f (x )=|x |当x →0时极限为零.证明因为|f (x )−0|=||x |−0|=|x |=|x −0|,所以要使|f (x )−0|<ε,只须|x |<ε.因为对∀ε>0,∃δ=ε,使当0<|x −0|<δ,时有|f (x )−0|=||x |−0|<ε,所以0||lim 0=→x x .6.求,)(x x x f =xx x ||)(=ϕ当x →0时的左﹑右极限,并说明它们在x →0时的极限是否存在.证明因为11lim lim )(lim 000===−−−→→→x x x x x x f ,11lim lim )(lim 000===+++→→→x x x x x x f ,)(lim )(lim 00x f x f x x +→→=−,所以极限)(lim 0x f x →存在.因为1lim ||lim )(lim 000−=−==−−−→→→xx x x x x x x ϕ,1lim ||lim )(lim 000===+++→→→x x x x x x x x ϕ,)(lim )(lim 00x x x x ϕϕ+→→≠−,所以极限)(lim 0x x ϕ→不存在.7.证明:若x →+∞及x →−∞时,函数f (x )的极限都存在且都等于A ,则A x f x =∞→)(lim .证明因为A x f x =−∞→)(lim ,A x f x =+∞→)(lim ,所以∀ε>0,∃X 1>0,使当x <−X 1时,有|f (x )−A |<ε;∃X 2>0,使当x >X 2时,有|f (x )−A |<ε.取X =max{X 1,X 2},则当|x |>X 时,有|f (x )−A |<ε,即A x f x =∞→)(lim .8.根据极限的定义证明:函数f (x )当x →x 0时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等.证明先证明必要性.设f (x )→A (x →x 0),则∀ε>0,∃δ>0,使当0<|x −x 0|<δ时,有|f (x )−A |<ε.因此当x 0−δ<x <x 0和x 0<x <x 0+δ时都有|f (x )−A |<ε.这说明f (x )当x →x 0时左右极限都存在并且都等于A .再证明充分性.设f (x 0−0)=f (x 0+0)=A ,则∀ε>0,∃δ1>0,使当x 0−δ1<x <x 0时,有|f (x )−A <ε;∃δ2>0,使当x 0<x <x 0+δ2时,有|f (x )−A |<ε.取δ=min{δ1,δ2},则当0<|x −x 0|<δ时,有x 0−δ1<x <x 0及x 0<x <x 0+δ2,从而有|f (x )−A |<ε,即f (x )→A (x →x 0).9.试给出x →∞时函数极限的局部有界性的定理,并加以证明.解x →∞时函数极限的局部有界性的定理:如果f (x )当x →∞时的极限存在,则存在X >0及M >0,使当|x |>X 时,|f (x )|<M .证明设f (x )→A (x →∞),则对于ε=1,∃X >0,当|x |>X 时,有|f (x )−A |<ε=1.所以|f (x )|=|f (x )−A +A |≤|f (x )−A |+|A |<1+|A |.这就是说存在X >0及M >0,使当|x |>X 时,|f (x )|<M ,其中M =1+|A |.习题1−41.两个无穷小的商是否一定是无穷小？举例说明之.解不一定.例如,当x →0时,α(x )=2x ,β(x )=3x 都是无穷小,但32)()(lim 0=→x x x βα,)()(x x βα不是无穷小.2.根据定义证明:(1)392+−=x x y 当x →3时为无穷小;(2)xx y 1sin =当x →0时为无穷小.证明(1)当x ≠3时|3|39||2−=+−=x x x y .因为∀ε>0,∃δ=ε,当0<|x −3|<δ时,有εδ=<−=+−=|3|39||2x x x y ,所以当x →3时392+−=x x y 为无穷小.(2)当x ≠0时|0||1sin |||||−≤=x xx y .因为∀ε>0,∃δ=ε,当0<|x −0|<δ时,有εδ=<−≤=|0|1sin |||||x xx y ,所以当x →0时xx y 1sin =为无穷小.3.根据定义证明:函数xx y 21+=为当x →0时的无穷大.问x 应满足什么条件,能使|y |>104？证明分析2||11221||−≥+=+=x x x x y ,要使|y |>M ,只须M x >−2||1,即21||+<M x .证明因为∀M >0,∃21+=M δ,使当0<|x −0|<δ时,有M xx >+21,所以当x →0时,函数xx y 21+=是无穷大.取M =104,则21014+=δ.当2101|0|04+<−<x 时,|y |>104.4.求下列极限并说明理由:(1)xx x 12lim +∞→;(2)xx x −−→11lim 20.解(1)因为x x x 1212+=+,而当x →∞时x 1是无穷小,所以212lim =+∞→x x x .(2)因为x xx +=−−1112(x ≠1),而当x →0时x 为无穷小,所以111lim 20=−−→x x x .5.根据函数极限或无穷大定义,填写下表:f (x )→A f (x )→∞f (x )→+∞f (x )→−∞x →x 0∀ε>0,∃δ>0,使当0<|x −x 0|<δ时,有恒|f (x )−A |<ε.x →x 0+x →x 0−x →∞∀ε>0,∃X >0,使当|x |>X 时,有恒|f (x )|>M .x →+∞x →−∞解f (x )→A f (x )→∞f (x )→+∞f (x )→−∞x →x 0∀ε>0,∃δ>0,使当0<|x −x 0|<δ时,有恒|f (x )−A |<ε.∀M >0,∃δ>0,使当0<|x −x 0|<δ时,有恒|f (x )|>M .∀M >0,∃δ>0,使当0<|x −x 0|<δ时,有恒f (x )>M .∀M >0,∃δ>0,使当0<|x −x 0|<δ时,有恒f (x )<−M .x →x 0+∀ε>0,∃δ>0,使当0<x −x 0<δ时,有恒|f (x )−A |<ε.∀M >0,∃δ>0,使当0<x −x 0<δ时,有恒|f (x )|>M .∀M >0,∃δ>0,使当0<x −x 0<δ时,有恒f (x )>M .∀M >0,∃δ>0,使当0<x −x 0<δ时,有恒f (x )<−M .x →x 0−∀ε>0,∃δ>0,使当0<x 0−x <δ时,有恒|f (x )−A |<ε.∀M >0,∃δ>0,使当0<x 0−x <δ时,有恒|f (x )|>M .∀M >0,∃δ>0,使当0<x 0−x <δ时,有恒f (x )>M .∀M >0,∃δ>0,使当0<x 0−x <δ时,有恒f (x )<−M .x →∞∀ε>0,∃X >0,使当|x |>X 时,有恒|f (x )−A |<ε.∀ε>0,∃X >0,使当|x |>X 时,有恒|f (x )|>M .∀ε>0,∃X >0,使当|x |>X 时,有恒f (x )>M .∀ε>0,∃X >0,使当|x |>X 时,有恒f (x )<−M .x →+∞∀ε>0,∃X >0,使当x >X 时,有恒|f (x )−A |<ε.∀ε>0,∃X >0,使当x >X 时,有恒|f (x )|>M .∀ε>0,∃X >0,使当x >X 时,有恒f (x )>M .∀ε>0,∃X >0,使当x >X 时,有恒f (x )<−M .x →−∞∀ε>0,∃X >0,使当x <−X 时,有恒|f (x )−A |<ε.∀ε>0,∃X >0,使当x <−X 时,有恒|f (x )|>M .∀ε>0,∃X >0,使当x <−X 时,有恒f (x )>M .∀ε>0,∃X >0,使当x <−X 时,有恒f (x )<−M .6.函数y =x cos x 在(−∞,+∞)内是否有界？这个函数是否为当x →+∞时的无穷大？为什么？解函数y =x cos x 在(−∞,+∞)内无界.这是因为∀M >0,在(−∞,+∞)内总能找到这样的x ,使得|y (x )|>M .例如y (2k π)=2k πcos2k π=2k π(k =0,1,2,⋅⋅⋅),当k 充分大时,就有|y (2k π)|>M .当x →+∞时,函数y =x cos x 不是无穷大.这是因为∀M >0,找不到这样一个时刻N ,使对一切大于N 的x ,都有|y (x )|>M .例如0)22cos()22()22(=++=+ππππππk k k y (k =0,1,2,⋅⋅⋅),对任何大的N ,当k 充分大时,总有N k x >+=22ππ,但|y (x )|=0<M .7.证明:函数x x y 11=在区间(0,1]上无界,但这函数不是当x →0+时的无穷大.证明函数xx y 1sin 1=在区间(0,1]上无界.这是因为∀M >0,在(0,1]中总可以找到点x k ,使y (x k )>M .例如当221ππ+=k x k (k =0,1,2,⋅⋅⋅)时,有22)(ππ+=k x y k ,当k 充分大时,y (x k )>M .当x →0+时,函数xx y 1sin 1=不是无穷大.这是因为∀M >0,对所有的δ>0,总可以找到这样的点x k ,使0<x k <δ,但y (x k )<M .例如可取πk x k 21=(k =0,1,2,⋅⋅⋅),当k 充分大时,x k <δ,但y (x k )=2k πsin2k π=0<M .习题1−51.计算下列极限:(1)35lim22−+→x x x ;解9325235lim 222−=−+=−+→x x x .(2)13lim 223+−→x x x ;解01)3(3)3(13lim 22223=+−=+−→x x x .(3)112lim 221−+−→x x x x ;解02011lim )1)(1()1(lim 112lim 121221==+−=+−−=−+−→→→x x x x x x x x x x x .(4)xx x x x x 2324lim2230++−→;解2123124lim 2324lim 202230=++−=++−→→x x x x x x x x x x .(5)hx h x h 220)(lim −+→;解x h x h x h hx x h x h x h h h 2)2(lim 2lim )(lim 02220220=+=−++=−+→→→.(6))112(lim 2xx x +−∞→;解21lim 1lim 2)112(lim 22=+−=+−∞→∞→∞→x x xx x x x .(7)121lim22−−−∞→x x x x ;解2111211lim 121lim2222=−−−=−−−∞→∞→xx x x x x x x .(8)13lim 242−−+∞→x x x x x ;解013lim 242=−−+∞→x x x x x (分子次数低于分母次数,极限为零).或012111lim 13lim 4232242=−−+=−−+∞→∞→xx x x x x x x x x .(9)4586lim 224+−+−→x x x x x ;解32142412lim )4)(1()4)(2(lim 4586lim 44224=−−=−−=−−−−=+−+−→→→x x x x x x x x x x x x x .(10))12)(11(lim 2xx x −+∞→;解221)12(lim )11(lim )12)(11(lim 22=×=−⋅+=−+∞→∞→∞→x x x x x x x .(11))21 41211(lim n n +⋅⋅⋅+++∞→;解2211)21(1lim )21 41211(lim 1=−−=+⋅⋅⋅++++∞→∞→n n n n .(12)2)1( 321limn n n −+⋅⋅⋅+++∞→;解211lim 212)1(lim )1( 321lim 22=−=−=−+⋅⋅⋅+++∞→∞→∞→n n n n n n n n n n .(13)35)3)(2)(1(lim nn n n n +++∞→;解515)3)(2)(1(lim 3=+++∞→n n n n n (分子与分母的次数相同,极限为最高次项系数之比).或51)31)(21)(11(lim 515)3)(2)(1(lim 3=+++=+++∞→∞→n n n n n n n n n .(14))1311(lim 31xx x −−−→;解)1)(1()2)(1(lim )1)(1(31lim )1311(lim 2122131x x x x x x x x x x x x x x x ++−+−−=++−−++=−−−→→→112lim21−=+++−=→x x x x .2.计算下列极限:(1)2232)2(2lim −+→x x x x ;解因为01602)2(lim 2322==+−→x x x x ,所以∞=−+→2232)2(2lim x x x x .(2)12lim 2+∞→x x x ;解∞=+∞→12lim 2x x x (因为分子次数高于分母次数).(3))12(lim 3+−∞→x x x .解∞=+−∞→)12(lim 3x x x (因为分子次数高于分母次数).3.计算下列极限:(1)xx x 1sin lim 20→;解01sin lim 20=→x x x (当x →0时,x 2是无穷小,而x 1sin 是有界变量).(2)xx x arctan lim ∞→.解0arctan 1lim arctan lim =⋅=∞→∞→x x x x x x (当x →∞时,x1是无穷小,而arctan x 是有界变量).4.证明本节定理3中的(2).习题1−51.计算下列极限:(1)35lim22−+→x x x ;解9325235lim 222−=−+=−+→x x x .(2)13lim 223+−→x x x ;解01)3(3)3(13lim 22223=+−=+−→x x x .(3)112lim 221−+−→x x x x ;解02011lim )1)(1()1(lim 112lim 121221==+−=+−−=−+−→→→x x x x x x x x x x x .(4)xx x x x x 2324lim2230++−→;解2123124lim 2324lim 202230=++−=++−→→x x x x x x x x x x .(5)hx h x h 220)(lim −+→;解x h x h x h hx x h x h x h h h 2)2(lim 2lim )(lim 02220220=+=−++=−+→→→.(6))112(lim 2xx x +−∞→;解21lim 1lim 2)112(lim 22=+−=+−∞→∞→∞→x x xx x x x .(7)121lim22−−−∞→x x x x ;解2111211lim 121lim2222=−−−=−−−∞→∞→x x x x x x x x .(8)13lim 242−−+∞→x x x x x ;解013lim 242=−−+∞→x x x x x (分子次数低于分母次数,极限为零).或012111lim 13lim 4232242=−−+=−−+∞→∞→xx x x x x x x x x .(9)4586lim 224+−+−→x x x x x ;解32142412lim )4)(1()4)(2(lim 4586lim 44224=−−=−−=−−−−=+−+−→→→x x x x x x x x x x x x x .(10))12)(11(lim 2xx x −+∞→;解221)12(lim )11(lim )12)(11(lim 22=×=−⋅+=−+∞→∞→∞→x x x x x x x .(11))21 41211(lim n n +⋅⋅⋅+++∞→;解2211)21(1lim )21 41211(lim 1=−−=+⋅⋅⋅++++∞→∞→n n n n .(12)2)1( 321limnn n −+⋅⋅⋅+++∞→;解211lim 212)1(lim )1( 321lim 22=−=−=−+⋅⋅⋅+++∞→∞→∞→n n n nn n n n n n .(13)35)3)(2)(1(lim n n n n n +++∞→;解515)3)(2)(1(lim 3=+++∞→n n n n n (分子与分母的次数相同,极限为最高次项系数之比).或51)31)(21)(11(lim 515)3)(2)(1(lim 3=+++=+++∞→∞→n n n n n n n n n .(14))1311(lim 31xx x −−−→;解)1)(1()2)(1(lim )1)(1(31lim )1311(lim 2122131x x x x x x x x x x x x x x x ++−+−−=++−−++=−−−→→→112lim21−=+++−=→x x x x .2.计算下列极限:(1)2232)2(2lim −+→x x x x ;解因为01602)2(lim 2322==+−→x x x x ,所以∞=−+→2232)2(2lim x x x x .(2)12lim 2+∞→x x x ;解∞=+∞→12lim 2x x x (因为分子次数高于分母次数).(3))12(lim 3+−∞→x x x .解∞=+−∞→)12(lim 3x x x (因为分子次数高于分母次数).3.计算下列极限:(1)xx x 1sin lim 20→;解01sin lim 20=→x x x (当x →0时,x 2是无穷小,而x 1sin 是有界变量).(2)xx x arctan lim ∞→.解0arctan 1lim arctan lim =⋅=∞→∞→x x x x x x (当x →∞时,x1是无穷小,而arctan x 是有界变量).4.证明本节定理3中的(2).习题1−71.当x →0时,2x −x 2与x 2−x 3相比,哪一个是高阶无穷小？解因为02lim 2lim 202320=−−=−−→→xx x x x x x x x ,所以当x →0时,x 2−x 3是高阶无穷小,即x 2−x 3=o (2x −x 2).2.当x →1时,无穷小1−x 和(1)1−x 3,(2))1(212x −是否同阶？是否等价？解(1)因为3)1(lim 1)1)(1(lim 11lim 212131=++−++−=−−→→→x x xx x x x x x x x ,所以当x →1时,1−x 和1−x 3是同阶的无穷小,但不是等价无穷小.(2)因为1)1(lim 211)1(21lim 121=+=−−→→x x x x x ,所以当x →1时,1−x 和)1(212x −是同阶的无穷小,而且是等价无穷小.3.证明:当x →0时,有:(1)arctan x ~x ;(2)2~1sec 2x x −.证明(1)因为1tan lim arctan lim 00==→→y yx x y x (提示:令y =arctan x ,则当x →0时,y →0),所以当x →0时,arctan x ~x .(2)因为1)22sin 2(lim 22sin 2lim cos cos 1lim 2211sec lim 202202020===−=−→→→→x xx x x x x x x x x x x ,所以当x →0时,2~1sec 2x x −.4.利用等价无穷小的性质,求下列极限:(1)x x x 23tan lim 0→;(2)m n x x x )(sin )sin(lim 0→(n ,m 为正整数);(3)x x x x 30sin sin tan lim −→;(4))1sin 1)(11(tan sin lim320−+−+−→x x x x x .解(1)2323lim 23tan lim 00==→→x x x x x x .(2)⎪⎩⎪⎨⎧<∞>===→→mn m n m n x x x x mn x m n x 0 1lim )(sin )sin(lim 00.(3)21cos 21lim sin cos cos 1lim sin )1cos 1(sin lim sin sin tan lim 220203030==−=−=−→→→→x x x x x x x x x x x x x x x x .(4)因为32221)2(2~2sin tan 2)1(cos tan tan sin x x x x x x x x x −=⋅−−=−=−(x →0),23232223231~11)1(11x x x x x ++++=−+(x →0),x x x x x ~sin ~1sin 1sin 1sin 1++=−+(x →0),所以33121lim )1sin 1)(11(tan sin lim 230320−=⋅−=−+−+−→→x x x x x x x x x .5.证明无穷小的等价关系具有下列性质:(1)α~α(自反性);(2)若α~β,则β~α(对称性);(3)若α~β,β~γ,则α~γ(传递性).证明(1)1lim =αα,所以α~α;(2)若α~β,则1lim =βα,从而1lim =αβ.因此β~α;(3)若α~β,β~γ,1lim lim lim =⋅=βαγβγα.因此α~γ.习题1−81.研究下列函数的连续性,并画出函数的图形:(1)⎩⎨⎧≤<−≤≤=21 210 )(2x x x x x f ;解已知多项式函数是连续函数,所以函数f (x )在[0,1)和(1,2]内是连续的.在x =1处,因为f (1)=1,并且1lim )(lim 211==−−→→x x f x x ,1)2(lim )(lim 11=−=++→→x x f x x .所以1)(lim 1=→x f x ,从而函数f (x )在x =1处是连续的.综上所述，函数f (x )在[0,2]上是连续函数.(2)⎩⎨⎧>≤≤−=1|| 111 )(x x x x f .解只需考察函数在x =−1和x =1处的连续性.在x =−1处,因为f (−1)=−1,并且)1(11lim )(lim 11−≠==−−−→−→f x f x x ,)1(1lim )(lim 11−=−==++−→−→f x x f x x ,所以函数在x =−1处间断,但右连续.在x =1处,因为f (1)=1,并且1lim )(lim 11==−−→→x x f x x =f (1),11lim )(lim 11==++→→x x x f =f (1),所以函数在x =1处连续.综合上述讨论,函数在(−∞,−1)和(−1,+∞)内连续,在x =−1处间断,但右连续.2.下列函数在指出的点处间断,说明这些间断点属于哪一类,如果是可去间断点,则补充或改变函数的定义使它连续:(1)23122+−−=x x x y ,x =1,x =2;解)1)(2()1)(1(23122−−−+=+−−=x x x x x x x y .因为函数在x =2和x =1处无定义,所以x =2和x =1是函数的间断点.因为∞=+−−=→→231lim lim 2222x x x y x x ,所以x =2是函数的第二类间断点;因为2)2()1(lim lim 11−=−+=→→x x y x x ,所以x =1是函数的第一类间断点,并且是可去间断点.在x =1处,令y =−2,则函数在x =1处成为连续的.(2)x x y tan =,x =k ,2ππ+=k x (k =0,±1,±2,⋅⋅⋅);解函数在点x =k π(k ∈Z)和2ππ+=k x (k ∈Z)处无定义,因而这些点都是函数的间断点.因∞=→xx k x tan lim π(k ≠0),故x =k π(k ≠0)是第二类间断点;因为1tan lim0=→xx x ,0tan lim2=+→x x k x ππ(k ∈Z),所以x =0和2ππ+=k x (k ∈Z)是第一类间断点且是可去间断点.令y |x =0=1,则函数在x =0处成为连续的;令2 ππ+=k x 时,y =0,则函数在2ππ+=k x 处成为连续的.(3)xy 1cos 2=,x =0;解因为函数x y 1cos 2=在x =0处无定义,所以x =0是函数xy 1cos 2=的间断点.又因为xx 1cos lim 20→不存在,所以x =0是函数的第二类间断点.(4)⎩⎨⎧>−≤−=1 31 1x x x x y ,x =1.解因为0)1(lim )(lim 11=−=−−→→x x f x x ,2)3(lim )(lim 11=−=++→→x x f x x ,所以x =1是函数的第一类不可去间断点.3.讨论函数x xx x f n nn 2211lim )(+−=∞→的连续性,若有间断点,判别其类型.解⎪⎩⎪⎨⎧<=>−=+−=∞→1|| 1|| 01|| 11lim )(22x x x x x x x x x f nn n .在分段点x =−1处,因为1)(lim )(lim 11=−=−−−→−→x x f x x ,1lim )(lim 11−==++−→−→x x f x x ,所以x =−1为函数的第一类不可去间断点.在分段点x =1处,因为1lim )(lim 11==−−→→x x f x x ,1)(lim )(lim 11−=−=++→→x x f x x ,所以x =1为函数的第一类不可去间断点.4.证明:若函数f (x )在点x 0连续且f (x 0)≠0,则存在x 0的某一邻域U (x 0),当x ∈U (x 0)时,f (x )≠0.证明不妨设f (x 0)>0.因为f (x )在x 0连续,所以0)()(lim 00>=→x f x f x x ,由极限的局部保号性定理,存在x 0的某一去心邻域)(0x U ο,使当x ∈)(0x U ο时f (x )>0,从而当x ∈U (x 0)时,f (x )>0.这就是说,则存在x 0的某一邻域U (x 0),当x ∈U (x 0)时,f (x )≠0.5.试分别举出具有以下性质的函数f (x )的例子:(1)x =0,±1,±2,21±,⋅⋅⋅,±n ,n1±,⋅⋅⋅是f (x )的所有间断点,且它们都是无穷间断点;解函数x x x f ππcsc )csc()(+=在点x =0,±1,±2,21±,⋅⋅⋅,±n ,n1±,⋅⋅⋅处是间断的,且这些点是函数的无穷间断点.(2)f (x )在R 上处处不连续,但|f (x )|在R 上处处连续;解函数⎩⎨⎧∉∈−=Q Qx x x f 1 1)(在R 上处处不连续,但|f (x )|=1在R 上处处连续.(3)f (x )在R 上处处有定义,但仅在一点连续.解函数⎩⎨⎧∉−∈=Q Q x x x x x f )(在R上处处有定义,它只在x =0处连续.习题1−91.求函数633)(223−+−−+=x x x x x x f 的连续区间,并求极限)(lim 0x f x →,)(lim 3x f x −→及)(lim 2x f x →.解)2)(3()1)(1)(3(633)(223−++−+=−+−−+=x x x x x x x x x x x f ,函数在(−∞,+∞)内除点x =2和x =−3外是连续的,所以函数f (x )的连续区间为(−∞,−3)、(−3,2)、(2,+∞).在函数的连续点x =0处,21)0()(lim 0==→f x f x .在函数的间断点x =2和x =−3处,∞=−++−+=→→)2)(3()1)(1)(3(lim)(lim 22x x x x x x f x x ,582)1)(1(lim)(lim 33−=−+−=−→−→x x x x f x x .2.设函数f (x )与g (x )在点x 0连续,证明函数ϕ(x )=max{f (x ),g (x )},ψ(x )=min{f (x ),g (x )}在点x 0也连续.证明已知)()(lim 00x f x f x x =→,)()(lim 00x g x g x x =→.可以验证] |)()(|)()([21)(x g x f x g x f x −++=ϕ,] |)()(|)()([21)(x g x f x g x f x −−+=ψ.因此] |)()(|)()(21)(00000x g x f x g x f x −++=ϕ,] |)()(|)()(21)(00000x g x f x g x f x −−+=ψ.因为] |)()(|)()([21lim )(lim 00x g x f x g x f x x x x x −++=→→ϕ]|)(lim )(lim |)(lim )(lim [210000x g x f x g x f x x x x x x x x →→→→−++=] |)()(|)()([210000x g x f x g x f −++==ϕ(x 0),所以ϕ(x )在点x 0也连续.同理可证明ψ(x )在点x 0也连续.3.求下列极限:(1)52lim20+−→x x x ;(2)34)2(sin lim x x π→;(3))2cos 2ln(lim 6x x π→;(4)xx x 11lim0−+→;(5)145lim 1−−−→x x x x ;(6)a x a x a x −−→sin sin lim ;(7))(lim 22x x x x x −−++∞→.解(1)因为函数52)(2+−=x x x f 是初等函数,f (x )在点x =0有定义,所以55020)0(52lim220=+⋅−==+−→f x x x .(2)因为函数f (x )=(sin 2x )3是初等函数,f (x )在点4π=x 有定义,所以1)42(sin )4()2(sin lim 334=⋅==→πππf x x .(3)因为函数f (x )=ln(2cos2x )是初等函数,f (x )在点6π=x 有定义,所以0)62cos 2ln(6()2cos 2ln(lim 6=⋅==→πππf x x .(4))11(lim )11()11)(11(lim 11lim000++=++++−+=−+→→→x x x x x x x x x x x x 211101111lim 0=++=++=→x x .(5))45)(1()45)(45(lim 145lim11x x x x x x x x x x x x +−−+−−−=−−−→→)45)(1(44lim1x x x x x +−−−=→214154454lim 1=+−⋅=+−=→x x x .(6)ax a x a x a x a x a x a x −−+=−−→→2sin 2cos 2limsin sin lim a a a a x ax a x a x a x cos 12cos 22sin lim2cos lim =⋅+=−−+=→→.(7))())((lim )(lim 22222222x x x x x x x x x x x x x x x x x x −++−++−−+=−−++∞→+∞→1)1111(2lim )(2lim22=−++=−++=+∞→+∞→xx x x x x x x x .4.求下列极限:(1)xx e 1lim∞→;(2)xx x sin ln lim 0→;(3)2)11(lim xx x+∞→;(4)x x x 2cot 20)tan 31(lim +→;(5)21)63(lim −∞→++x x xx ;(6)xx x x x x −++−+→20sin 1sin 1tan 1lim.解(1)1lim 01lim1===∞→∞→e ee x xx x .(2)01ln )sin lim ln(sin ln lim 00===→→x x x x x x .(3)[]e e xx x x xx ==+=+∞→∞→21212)11(lim )11(lim .。

同济大学高数上习题答案同济大学高数上习题答案高等数学作为理工科学生必修的一门课程，对于大多数学生来说是一座难以逾越的高山。

而同济大学的高数上课程更是以其难度和复杂性而著称。

为了帮助同学们更好地理解和掌握高数上的知识，我整理了一些习题答案，希望能对同学们的学习有所帮助。

第一章：函数与极限1. 设函数 f(x) = 3x^2 - 2x + 1，求 f(-1) 的值。

答案：将 x = -1 代入函数 f(x) 中，得到 f(-1) = 3(-1)^2 - 2(-1) + 1 = 6。

2. 求函数 f(x) = x^3 - 2x + 1 的极限lim(x→2) f(x)。

答案：将 x = 2 代入函数 f(x) 中，得到 f(2) = 2^3 - 2(2) + 1 = 5。

3. 求函数f(x) = √(x + 1) 的定义域。

答案：由于函数中有根号，要使函数有意义，需要满足x + 1 ≥ 0，即x ≥ -1。

所以定义域为 [-1, +∞)。

第二章：导数与微分1. 求函数 f(x) = x^2 - 3x + 2 的导数。

答案：对函数 f(x) 进行求导，得到 f'(x) = 2x - 3。

2. 求函数 f(x) = e^x 的导数。

答案：对函数 f(x) 进行求导，得到 f'(x) = e^x。

3. 求函数 f(x) = ln(x^2 + 1) 的导数。

答案：对函数 f(x) 进行求导，得到 f'(x) = 2x / (x^2 + 1)。

第三章：微分中值定理与泰勒展开1. 利用微分中值定理证明函数 f(x) = x^3 - x 在区间 [0, 1] 上存在一个点 c，使得 f'(c) = 2c - 1。

答案：由微分中值定理可知，存在一个点 c 属于 (0, 1)，使得 f'(c) = (f(1) - f(0)) / (1 - 0) = 2c - 1。

2. 求函数 f(x) = sin(x) 在x = π/4 处的泰勒展开式。

同济高等数学第三版上册答案详解同济大学高等数学第三版上册是比较有名的一本数学教材，最新出版的三版包含了更多的知识和技能。

下面是同济高等数学第三版上册答案详解：第一章：实数和函数1.练习题：1、设x与y为实数，请计算：（1）（2x-3)/(x+2y) = 2x/ (x+2y) - 3/ (x+2y)（2）x+|y|-2y = x-y+2（|y|-|y|）=x-y2、如果a>0,b>0，那么：（1）1/a +1/b = 1/a + 1/b =(ab)/ab=1（2）(a-b)/ab = a/ab - b/ab = (a/b) -13、D=(a +b )2 /4，那么，D/(ab)= (a+b)2/4(ab) =(a+b)/2 2.定理：1、对任何实数x，均有：x-x=02、若a＞b，则a-b＞03、若a＞0，b＞0，则a/b＞1第二章：多项式、函数和系数1.练习题：1、如果a+b=3,且a*b=2，那么：（1）a2 +b2 = 9+4=13（2）a3 + b3 = 8+1=92、若多项式P(x)=2x3+7x2-3x+20，则：（1）P（1）= 2*1^3+7*1^2-3*1+20=26（2）P（-2）=2*(-2)^3+7*(-2)^2-3*(-2)+20=-182.定理：1、若系数a+b=3，则a*b=3-a2、若多项式P(x)=ax3 +bx2 +cx +d，则P(x+h)=a(x+h)3 +b(x+h)2 +c(x+h) +d第三章：极坐标与向量1.练习题：1、如果向量m=(-2,4)，则（1）|m|=根号(-2)^2+4^2=根号20=4.47213（2）m方向的极坐标r=4.47213，O=45°2、若向量m=(3,-3)，则（1）向量m的极坐标r=根号3^2 +(-3)^2 =根号18 =4.24264，\theta=135°（2）向量m在极坐标中的表示法为(4.24264,135°)2.定理：1、若向量a=(a1,a2)和向量b=(b1,b2)，则向量a+b=(a1+b1,a2+b2)2、若向量a=(a1,a2)，则|a|=根号a1^2 +a2^2。