3.4基本不等式

3．4．1基本不等式（1）【教学目标】1学会推导并掌握基本不等式, 理解这个基本不等式的几何意义, 并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；2．过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式；3．情态与价值：通过本节的学习, 体会数学来源于生活, 提高学习数学的兴趣 【教学重点】应用数形结合的思想理解不等式, 并从不同角度探索不等式2a bab +≤的证明过程； 【教学难点】 基本不等式2a bab +≤等号成立条件 【教学过程】 1.课题导入 基本不等式2a bab +≤的几何背景： 探究：如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标, 会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的, 颜色 的明暗使它看上去象一个风车, 代表中国人民热情好客。

2 合作探究（1）问题 1：你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？（教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关。

系）提问2:我们把“风车”造型抽象成图在正方形ABCD 中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的长为a 、b , 那么正方形的边长为多少？面积为多少呢？ 生答：22a b +, 22a b +提问3：那4个直角三角形的面积和呢？ 生答：2ab 提问4：好, 根据观察4个直角三角形的面积和正方形的面积, 我们可得容易得到一个不等式, 222a b ab +≥。

什么时候这两部分面积相等呢？生答：当直角三角形变成等腰直角三角形, 即a b =时, 正方形EFGH 变成一个点, 这时有222a b ab +=结论：（板书）一般地, 对于任意实数 a 、b , 我们有222a b ab +≥, 当且仅当a b =时,等号成立。

提问5：你能给出它的证明吗？ (学生尝试证明后口答,老师板书)证明: 222222(),()0,()0,a b ab a b a b a b a b a b +-=-≠->=-=当时，当时, 所以 222a b ab +≥ 注意强调 当且仅当a b =时, 222a b ab +=(2)特别地,如果0,0,,a b a b a b a b ab >>+≥用和分别代替、可得2,也可写成(0,0)2a bab a b +≤>>,引导学生利用不等式的性质推导 (板书,请学生上台板演):要证:(0,0)2a bab a b +≥>> ① 即证 a b +≥ ② 要证②,只要证 a b +- 0≥ ③要证③,只要证 ( - )2 0≥ ④ 显然, ④是成立的,当且仅当a b =时, ④的等号成立 (3)观察图形3.4-3,得到不等式①的几何解释 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数2a b ab +≤探究：课本中的“探究”在右图中, AB 是圆的直径, 点C 是AB 上的一点, AC=a,BC=b 。

过点C 作垂直于AB 的弦DE, 连接AD 、BD 。

你能利用这个图形得出基本不等式2a bab +≤的几何解释吗？易证Ｒt △A ＣD ∽Ｒt △D ＣB , 那么ＣD 2＝ＣA ·ＣB 即ＣD ＝ab . 这个圆的半径为2ba +, 显然, 它大于或等于CD , 即ab ba ≥+2, 其中当且仅当点C 与圆心重合, 即a ＝b 时, 等号成立. 因此：基本不等式2a bab +≤几何意义是“半径不小于半弦” 评述：1.如果把2ba +看作是正数a 、b 的等差中项, ab 看作是正数a 、b 的等比中项, 那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.即学即练:1若0a b <<且1a b +=, 则下列四个数中最大的是 （ ）Ａ．12Ｂ．22a b + Ｃ．2ab Ｄ．a2 a ,b 是正数, 则2,,2a babab a b++三个数的大小顺序是 （ ） Ａ．22a b ab ab a b +≤≤+ Ｂ．22a b abab a b+≤≤+ Ｃ．22ab a bab a b +≤≤+ Ｄ．22ab a bab a b +≤≤+ 答案 B C 例题分析：(1)xyy x x y y x ⋅≥+2＝2即x y y x +≥2.(2)x ＋y ≥2xy ＞0 x 2＋y 2≥222y x ＞0 x 3＋y 3≥233y x ＞∴（x ＋y ）（x 2＋y 2）（x 3＋y 3）≥2xy ·222y x ·233y x ＝８x 3y 3 即（x ＋y ）（x 2＋y 2）（x 3＋y 3）≥８x 3y 3.变式训练：Ｘ＞0, 当Ｘ取何值时Ｘ+x1有最小值, 最小值是多少 解析：因为Ｘ＞0, Ｘ+x1≥2x x •1=2 当且仅当Ｘ=x1时即x=1时有最小值2 点评：此题恰好符合基本不等式的用法, 1正2定3相等 可以具体解释每一项的意思。

当堂检测：1.下列叙述中正确的是（ ）.（A ）两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数 （B ）两个不等正数的算术平均数大于它们的几何平均数 （C ）若两个数的和为常数, 则它们的积有最大值 （D ）若两个数的积为常数, 则它们的和有最小值 12下面给出的解答中, 正确的是（ ）. （A ）y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2, ∴y 有最小值2（B ）y ＝|sin x |＋4|sin x |≥2|sin x |·4|sin x |＝4, ∴y 有最小值4（C ）y ＝x （－2x ＋3）≤（x －2x ＋32）2＝（－x ＋32）2, 又由x ＝－2x ＋3得x ＝1, ∴当x ＝1时, y 有最大值（－1＋32）2＝1 （D ）y ＝3－x －9x ≤3－2x ·9x＝－3, y 有最大值－33.已知x ＞0, 则x ＋4x＋3的最小值为（ ）.（A ）4 （B ）7 （C ）8 （D ）11 4.设函数f （x ）＝2x ＋1x－1（x ＜0）, 则f （x ）（ ）.（A ）有最大值 （B ）有最小值 （C ）是增函数 （D ）是减函数 1 B 2.D 3 B 4 .A基本不等式第一课时 课前预习学案一、预习目标不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；学会推导并掌握基本不等式, 理解这个基本不等式的几何意义, 并掌握定理。

二、预习内容一般地, 对于任意实数 a 、b , 我们有222a b ab +≥, 当 , 等号成立。

两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数, 字母表示： 。

三、提出疑惑同学们, 通过你的自主学习, 你还有哪些疑惑, 请把它填在下面的表格中课内探究学案教学目标 222a b ab +≥, 不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；学会推导并掌握基本不等式, 理解这个基本不等式的几何意义 教学重点】应用数形结合的思想理解不等式, 并从不同角度探索不等式2a bab +≤的证明过程； 【教学难点】 基本不等式2a bab +≤等号成立条件 合作探究 1 证;222a b ab +≥ 强调：当且仅当a b =时, 222a b ab +=特别地,如果0,0,,a b a b a b a b ab >>+≥用和分别代替、可得2,也可写成(0,0)2a bab a b +≤>>,引导学生利用不等式的性质推导 证明: 结论：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数2a b ab +≤探究2：课本中的“探究”在右图中, AB 是圆的直径, 点C 是AB 上的一点, AC=a,BC=b 。

过点C 作垂直于AB 的弦DE, 连接AD 、BD 。

你能利用这个图形得出基本不等式2a bab +≤的几何解释 练习1若0a b <<且1a b +=, 则下列四个数中最大的是 （ ）Ａ．12 Ｂ．22a b + Ｃ．2abＤ．a 2 a ,b 是正数, 则2,,2a babab a b++三个数的大小顺序是 （ ） Ａ．22a b ab ab a b +≤≤+ Ｂ．22a b abab a b+≤≤+ Ｃ．22ab a bab a b +≤≤+ Ｄ．22ab a bab a b +≤≤+ 答案 B C 例题分析：已知x 、y 都是正数, 求证：(1)yxx y +≥2； ( 2） Ｘ＞0, 当Ｘ取何值时Ｘ+x1有最小值, 最小值是多少 分析：222a b ab +≥, 注意条件a 、b 均为正数, 结合不等式的性质(把握好每条性质成立的条件), 进行变形. 1正2定3相等变式训练：1已知x ＜54, 则函数f （x ）＝4x ＋14x －5的最大值是多少？2 证明：（x ＋y ）（x 2＋y 2）（x 3＋y 3）≥８x 3y 3.分析：注意凑位法的使用。

注意基本不等式的用法。

当堂检测：1.下列叙述中正确的是（ ）.（A ）两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数 （B ）两个不等正数的算术平均数大于它们的几何平均数 （C ）若两个数的和为常数, 则它们的积有最大值 （D ）若两个数的积为常数, 则它们的和有最小值 2下面给出的解答中, 正确的是（ ）. （A ）y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2, ∴y 有最小值2（B ）y ＝|sin x |＋4|sin x |≥2|sin x |·4|sin x |＝4, ∴y 有最小值4（C ）y ＝x （－2x ＋3）≤（x －2x ＋32）2＝（－x ＋32）2, 又由x ＝－2x ＋3得x ＝1, ∴当x ＝1时, y 有最大值（－1＋32）2＝1 （D ）y ＝3－x －9x ≤3－2x ·9x＝－3, y 有最大值－33.已知x ＞0, 则x ＋4x＋3的最小值为（ ）.（A ）4 （B ）7 （C ）8 （D ）11 4.设函数f （x ）＝2x ＋1x－1（x ＜0）, 则f （x ）（ ）.（A ）有最大值 （B ）有最小值 （C ）是增函数 （D ）是减函数答案 1 B 2.D 3 B 4.A课后练习与提高1 已知x 、y 都是正数，求证：① 如果积xy 是定值P ，那么当x=y 时，和x+y 有最小值② 如果和2x y S +1是定值S ，那么当x=y 时，积xy 有最大值4[拓展探究]2. 设a , b , c (0,),∈+∞且a +b +c =1, 求证：111(1)(1)(1)8.a b c---≥答案：1略 2 提示可用a +b +c 换里面的1 , 然后化简利用基本不等式。

§3.4.2 基本不等式的应用【教学目标】1 会应用基本不等式求某些函数的最值,能够解决一些简单的实际问题；2 本节课是基本不等式应用举例。

整堂课要围绕如何引导学生分析题意、设未知量、找出数量关系进行求解这个中心。