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高考第一轮复习之方法指导——《数列求和的方法》数列求和是高中数学中非常重要的一个概念，也是高考中经常会涉及到的内容。
下面给出一些数列求和的方法指导，希望对高考复习有所帮助。
1.等差数列求和：等差数列是高中数学中最基本的数列之一，求和方法也是最为简单的。
对于一个等差数列：a_1,a_2,a_3,...,a_n，如果首项是a_1，公差是d，则数列的和可以通过如下公式计算：S_n=(n/2)(a_1+a_n)其中，S_n表示数列的和，n表示数列的项数，a_n表示数列的最后一项。
2.等比数列求和：等比数列也是高中数学中常见的数列类型，求和方法相对于等差数列要稍复杂一些。
对于一个等比数列：a_1,a_2,a_3,...,a_n，如果首项是a_1，公比是q，则数列的和可以通过如下公式计算：S_n=(a_1(q^n-1))/(q-1)其中，S_n表示数列的和，n表示数列的项数，q表示数列的公比。
3.等差数列前n项和：如果需要计算等差数列的前n项的和，可以通过使用等差数列求和公式快速计算。
首先，计算数列的首项a_1和最后一项a_n，然后带入求和公式即可。
4.等差数列项数：如果需要计算等差数列的项数n，可以通过反推求解。
首先，计算数列的首项a_1和最后一项a_n，然后使用如下公式：n=(a_n-a_1)/d+1其中，n表示等差数列的项数，a_n表示最后一项，a_1表示首项，d表示公差。
5.等差数列的和等于0：如果一个等差数列的和等于0，可以应用等差数列的性质进行求解。
首先，计算数列的首项a_1和公差d，然后使用等差数列求和公式解方程：n/2(a_1+a_n)=0可得等差数列的项数n。
6.等差数列差数求和：如果需要计算等差数列的差数的和，可以使用差数求和公式进行计算。
该公式是等差数列求和公式的一个变形。
首先，计算差数的和：S_d=(n/2)(a_2-a_1)其中，S_d表示差数的和，n表示数列的项数，a_1表示首项，a_2表示第二项。
§6.4数列求和1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式.2.掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法.考纲展示►考点1公式法求和1.公式法直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和．(1)等差数列的前n项和公式：n a1＋a n n n－1S n＝＝na1＋d.2 2(2)等比数列的前n项和公式：S n＝Error!2．倒序相加法与并项求和法(1)倒序相加法：如果一个数列{a n}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的．(2)并项求和法：在一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n＝(－1)n f(n)类型，可采用两项合并求解．例如，S n＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12)＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050.非等差、等比数列求和的常用方法：倒序相加法；并项求和法．(1)[教材习题改编]一个球从100 m高处自由落下，着地后又跳回到原高度的一半再落下，当它第10次着地时，经过的路程是()A．100＋200×(1－2－9) B．100＋100(1－2－9)C．200(1－2－9) D．100(1－2－9)答案：A(2)[教材习题改编]已知函数f(n)＝n2cos nπ，且a n＝f(n)＋f(n＋1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a100＝________.- 1 -答案：－100解析：因为f(n)＝n2cos nπ＝Error!所以f(n)＝(－1)n·n2，由a n＝f(n)＋f(n＋1)＝(－1)n·n2＋(－1)n＋1·(n＋1)2＝(－1)n[n2－(n＋1)2]＝(－1)n＋1·(2n＋1)，得a1＋a2＋a3＋…＋a100＝3＋(－5)＋7＋(－9)＋…＋199＋(－201)＝50×(－2)＝－100.数列求和的两个易错点：公比为参数；项数的奇偶数．(1)设数列{a n}的通项公式是a n＝x n，则数列{a n}的前n项和S n＝________.答案：S n＝Error!x1－x n解析：当x＝1时，S n＝n；当x≠1时，S n＝.1－x(2)设数列{a n}的通项公式是a n＝(－1)n，则数列{a n}的前n项和S n＝________.答案：S n＝Error!解析：若n为偶数，则S n＝0；若n为奇数，则S n＝－1.1[典题1](1)已知数列{a n}中，a1＝1，a n＝a n－1＋(n≥2)，则数列{a n}的前9项和等于2________．[答案]271[解析]由a1＝1，a n＝a n－1＋(n≥2)，21 可知数列{a n}是首项为1，公差为的等差数列，29 ×9－1 1故S9＝9a1＋×＝9＋18＝27.2 2(2)若等比数列{a n}满足a1＋a4＝10，a2＋a5＝20，则{a n}的前n项和S n＝________.10[答案](2n－1)9[解析]由题意a2＋a5＝q(a1＋a4)，得20＝q×10，故q＝2，代入a1＋a4＝a1＋a1q3＝10，10得9a1＝10，即a1＝.9101－2n9 10故S n＝＝(2n－1)．1－2 9- 2 -[点石成金]数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差或等比或可求数列前n项和的数列来求之．考点2分组转化法求和分组求和法若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．1 1 1 1(1)数列1 ，3 ，5 ，…，的前n项和S n＝________________.8 [2n－1＋2n]2 41答案：n2＋1－2n(2)已知数列{a n}中，a n＝Error!设数列{a n}的前n项和为S n，则S9＝________.答案：377[典题2]已知数列{a n}的通项公式是a n＝2·3n－1＋(－1)n·(ln2－ln 3)＋(－1)n n ln 3，求其前n项和S n.[解]由通项公式知，S n＝2(1＋3＋…＋3n－1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)n]·(ln2－ln3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)n n]ln 3，所以当n为偶数时，1－3n n nS n＝2×＋ln 3＝3n＋ln 3－1；1－3 2 2当n为奇数时，1－3n n－1S n＝2×－(ln 2－ln 3)＋ln 31－3 ( －n)2n－1＝3n－ln 3－ln 2－1.2综上知，S n＝Error![点石成金]分组转化法求和的常见类型- 3 -(1)若a n＝b n±c n，且{b n}，{c n}为等差或等比数列，可采用分组转化法求{a n}的前n项和．(2)通项公式为a n＝Error!的数列，其中数列{b n}，{c n}是等比或等差数列，可采用分组转化法求和．[提醒]某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，注意在含有字母的数列中对字母的讨论.在等差数列{a n}中，已知公差d＝2，a2是a1 与a4 的等比中项．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n＝an n＋1，记T n＝－b1＋b2－b3＋b4－…＋(－1)n b n，求T n.2解：(1)由题意知，(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，即(a1＋2)2＝a1(a1＋6)，解得a1＝2.所以数列{a n}的通项公式为a n＝2n.(2)由题意知，b n＝an n＋1＝n(n＋1)．2所以T n＝－1×2＋2×3－3×4＋…＋(－1)n n×(n＋1)．因为b n＋1－b n＝2(n＋1)，可得当n为偶数时，T n＝(－b1＋b2)＋(－b3＋b4)＋…＋(－b n－1＋b n)＝4＋8＋12＋ (2)n4＋2n2 n n＋2＝＝；2 2当n为奇数时，n－1n＋1n＋1 2T n＝T n－1＋(－b n)＝－n(n＋1)＝－.2 2所以T n＝Error!考点3错位相减法求和- 4 -错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数 列的前 n 项和即可用此法来求，如等比数列的前 n 项和公式就是用此法推导的．1 1 1 (1)[教材习题改编]数列 1， ， ，…， 的前 n 项和为________． 1＋2 1＋2＋3 1＋2＋…＋n 2n 答案： n ＋11 2解析：因为 ＝1＋2＋…＋n nn ＋111＝2(，－n ＋1)n所以数列的前 n 项和为1 1 1 1 11112n2×(1－＝2×n ＋1)＝.＋ － ＋ － ＋…＋ －n ＋1) (1－2 23 3 4nn ＋12 4 6 2n(2)[教材习题改编]数列 ， ， ，…， ，…的前 n 项的和为________． 2 22 23 2n n ＋2 答案：4－ 2n －1解析：设该数列的前 n 项和为 S n ， 2 4 6 2n 由题可知，S n ＝ ＋ ＋ ＋…＋ ，①2 22 23 2n 12 4 6 2nS n ＝ ＋ ＋ ＋…＋ ，②2 22 23 24 2n ＋1 ①－②，得12 2 2 222n12n( 2 )1－ S n ＝ ＋ ＋ ＋ ＋…＋ － ＝2－ －，2 22 23 24 2n2n ＋1 2n －1 2n ＋1n ＋2∴S n ＝4－ . 2n －1[典题 3] [2015·山东卷]设数列{a n }的前 n 项和为 S n .已知 2S n ＝3n ＋3. (1)求{a n }的通项公式；(2)若数列{b n}满足a n b n＝log3a n，求{b n}的前n项和T n.[解](1)因为2S n＝3n＋3，所以2a1＝3＋3，故a1＝3，当n≥2时，2S n－1＝3n－1＋3，- 5 -此时2a n＝2S n－2S n－1＝3n－3n－1＝2×3n－1，即a n＝3n－1，所以a n＝Error!1(2)因为a n b n＝log3a n，所以b1＝，3当n≥2时，b n＝31－n log33n－1＝(n－1)·31－n.1所以T1＝b1＝；3当n≥2时，T n＝b1＋b2＋b3＋…＋b n1＝＋[1×3－1＋2×3－2＋…＋(n－1)×31－n]，3所以3T n＝1＋[1×30＋2×3－1＋…＋(n－1)×32－n]，两式相减，得22T n＝＋(30＋3－1＋3－2＋…＋32－n)－(n－1)×31－n32 1－31－n＝＋－(n－1)×31－n3 1－3－113 6n＋3＝－，6 2 × 3n13 6n＋3 所以T n＝－，12 4 × 3n经检验，n＝1时也适合．13 6n＋3综上知，T n＝－.12 4 × 3n[点石成金]用错位相减法求和的三个注意事项(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形．(2)在写出“S n”与“qS n”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确写出“S n－qS n”的表达式．(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解．[2015·天津卷]已知{a n}是各项均为正数的等比数列，{b n}是等差数列，且a1＝b1＝1，b2＋b3＝2a3，a5－3b2＝7.(1)求{a n}和{b n}的通项公式；(2)设c n＝a n b n，n∈N*，求数列{c n}的前n项和．解：(1)设数列{a n}的公比为q，数列{b n}的公差为d，由题意知q>0.- 6 -由已知，有Error!消去 d ，整理得 q 4－2q 2－8＝0，解得 q 2＝4. 又因为 q >0，所以 q ＝2，所以 d ＝2. 所以数列{a n }的通项公式为 a n ＝2n －1，n ∈N *； 数列{b n }的通项公式为 b n ＝2n －1，n ∈N *. (2)由(1)有 c n ＝(2n －1)·2n －1， 设{c n }的前 n 项和为 S n ，则 S n ＝1×20＋3×21＋5×22＋…＋(2n －3)×2n －2＋(2n －1)×2n －1， 2S n ＝1×21＋3×22＋5×23＋…＋(2n －3)×2n －1＋(2n －1)×2n ， 上述两式相减，得－S n ＝1＋22＋23＋…＋2n －(2n －1)×2n ＝2n ＋1－3－(2n －1)·2n ＝－(2n －3)·2n －3， 所以 S n ＝(2n －3)·2n ＋3，n ∈N *.考点 4 裂项相消法求和裂项相消法(1)把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和． (2)常见的裂项技巧： 1 1 1① ＝ － . n n ＋1 n n ＋1 111 1②＝2(n ＋2).－n n ＋2n11 11③＝2(2n ＋1). －2n －12n ＋12n －11④ ＝ n ＋1－ n . n ＋ n ＋1[考情聚焦] 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求 得其和．裂项相消法求和是历年高考的重点，命题角度凸显灵活多变，在解题中要善于利用裂项相 消的基本思想，变换数列 a n 的通项公式，达到求解目的．主要有以下几个命题角度：- 7 -角度一 1形如 a n ＝ 型n n ＋k[典题 4] [2017·重庆模拟]设 S n 为等差数列{a n }的前 n 项和，已知 S 3＝a 7，a 8－2a 3＝3.(1)求 a n ；1 3 1 (2)设 b n ＝ ，数列{b n }的前 n 项和为 T n ，求证：T n > － (n ∈N *)． S n 4 n ＋1 (1)[解] 设数列{a n }的公差为 d ， 由题意，得Error!解得 a 1＝3，d ＝2，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n ＋1.n n －1(2)[证明] 由(1)，得 S n ＝na 1＋2d ＝n (n ＋2)，111 1 ∴b n ＝＝－ . 2(n ＋2)n n ＋2n∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n －1＋b n1 11 11111＝ n ＋2)]2[( 3 )－1－＋(4 )＋…＋(－n ＋1)＋( －2n －1n11 11＝2( －－n ＋2)，1＋2 n ＋1 1 1 11∴T n ＝－n ＋2)2(1＋－2 n ＋1 1111>2(1＋ － －n ＋1)2 n ＋13 1 ＝ － .4 n ＋1 3 1 故 T n > － . 4 n ＋1 角度二1 形如a n＝型n＋k＋n[典题5][2017·江南十校联考]已知函数f(x)＝x a的图象过点(4,2)，令a n＝1，n∈N*.记数列{a n}的前n项和为S n，则S2 014＝()f n＋1＋f nA. 2 013－1B. 2 014－1C. 2 015－1D. 2 015＋1[答案] C1[解析]由f(4)＝2可得4a＝2，解得a＝，2- 8 -1则f(x)＝x.21 1∴a n＝＝＝－，n＋1 nf n＋1＋f n n＋1＋nS2 014＝a1＋a2＋a3＋…＋a2 014＝( 2－1)＋( 3－2)＋( 4－3)＋…＋( 2 014－2 013)＋( 2 015－2 014)＝2 015－1.角度三n＋1形如a n＝型n2n＋22[典题6]正项数列{a n}的前n项和S n满足：S2n－(n2＋n－1)S n－(n2＋n)＝0.(1)求数列{a n}的通项公式a n；n＋1 5 (2)令b n＝，数列{b n}的前n项和为T n.证明：对于任意的n∈N*，都有T n< .n＋22a2n64 (1)[解]由S2n－(n2＋n－1)S n－(n2＋n)＝0，得[S n－(n2＋n)](S n＋1)＝0.由于{a n}是正项数列，所以S n>0，S n＝n2＋n.于是a1＝S1＝2，当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n.综上，数列{a n}的通项公式为a n＝2n.(2)[证明]由于a n＝2n，n＋1 n＋1故b n＝＝n＋22a2n4n2n＋221 1 1 ＝－.16[ n＋22]n21 1 1 1 1 1 1 1 1 1T n＝－＋…＋n＋22]16[1－＋－＋－＋－32 22 42 32 52 n－1 2 n＋1 2 n21 1 1 1＝16[ n＋22] 1＋－－22 n＋121 1 5<16×( ＝.1＋22)64[点石成金]利用裂项相消法求和的注意事项(1)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项．(2)将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项相1 1 1 1 1 1 1 1等．如：若{a n}是等差数列，则＝d( －a n＋1)，＝2d( －a n＋2).a n a n＋1 a n a n a n＋2 a n- 9 -[方法技巧]非等差、等比数列的一般数列求和，主要有两种思想：(1)转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相消来完成．(2)不能转化为等差或等比的特殊数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和．[易错防范] 1.在应用错位相减法时，注意观察未合并项的正负号；结论中形如a n，a n＋1的式子应进行合并．2．在应用裂项相消法时，要注意消项的规律具有对称性，即前剩多少项则后剩多少项，特别是隔项相消．真题演练集训1．[2016·北京卷]已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和．若a1＝6，a3＋a5＝0，则S6＝________.答案：6解析：设等差数列{a n}的公差为d，由已知，得Error!解得Error!1 所以S6＝6a1＋×6×5d2＝36＋15×(－2)＝6.2．[2015·新课标全国卷Ⅱ]设S n是数列{a n}的前n项和，且a1＝－1，a n＋1＝S n S n＋1，则S n＝________.1答案：－n解析：∵a n＋1＝S n＋1－S n，a n＋1＝S n S n＋1，∴S n＋1－S n＝S n S n＋1.1 1 1 1 ∵S n≠0，∴－＝1，即－＝－1.S n S n＋1 S n＋1 S n1 1又＝－1，∴是首项为－1，公差为－1的等差数列．S1 {S n}1∴＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，S n1∴S n＝－.n3．[2016·山东卷]已知数列{a n}的前n项和S n＝3n2＋8n，{b n}是等差数列，且a n＝b n＋b n- 10 -.＋1(1)求数列{b n}的通项公式；a n＋1n＋1(2)令c n＝，求数列{c n}的前n项和T n.b n＋2n解：(1)由题意知，当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝6n＋5，当n＝1时，a1＝S1＝11，所以a n＝6n＋5.设数列{b n}的公差为d，由Error!得Error!可解得b1＝4，d＝3.所以b n＝3n＋1.6n＋6n＋1(2)由(1)知，c n＝＝3(n＋1)·2n＋1.3n＋3n又T n＝c1＋c2＋…＋c n，所以T n＝3×[2×22＋3×23＋…＋(n＋1)×2n＋1]，2T n＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n＋1)×2n＋2]，两式作差，得－T n＝3×[2×22＋23＋24＋…＋2n＋1－(n＋1)×2n＋2]＝3×41－2n[ －n＋1×2n＋2]4＋＝－3n·2n＋2，1－2所以T n＝3n·2n＋2.4．[2015·新课标全国卷Ⅰ]S n为数列{a n}的前n项和．已知a n＞0，a2n＋2a n＝4S n＋3.(1)求{a n}的通项公式；1(2)设b n＝，求数列{b n}的前n项和．a n a n＋1解：(1)由a2n＋2a n＝4S n＋3，①可知a n＋21＋2a n＋1＝4S n＋1＋3.②②－①，得a n＋21－a2n＋2(a n＋1－a n)＝4a n＋1，即2(a n＋1＋a n)＝a n＋21－a2n＝(a n＋1＋a n)(a n＋1－a n)．由a n＞0，得a n＋1－a n＝2.又a21＋2a1＝4a1＋3，解得a1＝－1(舍去)或a1＝3.所以{a n}是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为a n＝2n＋1.(2)由a n＝2n＋1可知，1 1b n＝＝a n a n＋1 2n＋12n＋3- 11 -1 1 1 ＝ － . 2(2n ＋3)2n ＋1设数列{b n }的前 n 项和为 T n ，则T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n1 1 11 1 1 1n＝2[(＝.－5 )＋( 7 )＋…＋(－2n ＋3)]－3 52n ＋132n ＋3课外拓展阅读 数列求和1[典例] 已知数列{a n }的前 n 项和 S n ＝－ n 2＋kn (其中 k ∈N *)，且 S n 的最大值为 8.2 (1)确定常数 k ，并求 a n ；9－2a n(2)求数列{ 2n }的前 n项和 T n .[审题视角]- 12 -1[解析] (1)当 n ＝k ，k ∈N *时，S n ＝－n 2＋kn 取得最大值， 21 1即 8＝S k ＝－ k 2＋k 2＝ k 2，故 k 2＝16，k ＝4.2 2 1 7 当n ＝1时，a 1＝S 1＝－ ＋4＝ ，2 2 9 当n ≥2 时，a n ＝S n －S n －1＝ －n .2 9 当 n＝1时，上式也成立，故 a n ＝ －n .2 9－2a n n (2)因为 ＝ ， 2n 2n －1 23 n －1 n 所以T n ＝1＋ ＋ ＋…＋＋ ，① 2 22 2n －2 2n －13n －1 n 所以2T n ＝2＋2＋ ＋…＋＋ ，② 22n －3 2n －2- 13 -1 1 n②－①，得2T n－T n＝2＋1＋＋…＋－2 2n－2 2n－11 n n＋2＝4－－＝4－.2n－2 2n－1 2n－1n＋2故T n＝4－.2n－1方法点睛9－2a n 1．根据数列前n项和的结构特征和最值确定k和S n，求出a n后再根据{ 2n}的结构特征确定利用错位相减法求T n.在审题时，要审题目中数式的结构特征判定解题方案．2．利用S n求a n时不要忽视当n＝1的情况；错位相减时不要漏项或算错项数．3．可以通过当n＝1,2时的特殊情况对结果进行验证．- 14 -。
高考数学一轮总复习数列与级数的求和公式推导与应用高考数学一轮总复习：数列与级数的求和公式推导与应用数列与级数是高中数学中的重要内容，也是高考数学考试中常见的考点之一。
在高考中，理解、掌握数列与级数的求和公式的推导与应用是解题的关键。
本文将重点介绍数列与级数的求和公式的推导方法，并结合实际应用问题进行解析。
一、数列的求和公式推导1.1 等差数列的求和公式对于等差数列{an}，其中a1为首项，d为公差，n为项数，其前n项和Sn可以用下式表示：Sn = (a1 + an) * n / 2推导过程如下：首先，将数列{an}逆序相加并累加两式，得到：2Sn = (a1 + an) + (a2 + a{n-1}) + (a3 + a{n-2}) + ... + (an + a1)由于等差数列的关系式为an = a1 + (n-1)d，则上式可以简化为：2Sn = (a1 + a1 + (n-1)d) + (a1 + d + a1 + (n-2)d) + (a1 + 2d + a1 + (n-3)d) + ... + (a1 + a1 + (n-1)d)化简后得：2Sn = n(a1 + an)最终得到等差数列的求和公式：Sn = (a1 + an) * n / 21.2 等比数列的求和公式对于等比数列{an}，其中a1为首项，q为公比，n为项数，其前n 项和Sn可以用下式表示：Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)推导过程如下：首先，将Sn与qSn相减得：Sn - qSn = a1 * (1 - q^n) - a1 * q * (1 - q^(n-1))化简后得：Sn(1 - q) = a1(1 - q^n)由于等比数列的关系式为an = a1 * q^(n-1)，则上式可以简化为：Sn(1 - q) = an最终得到等比数列的求和公式：Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)二、数列求和公式的应用2.1 应用一：计算等差数列的前n项和假设某等差数列的首项为a1，公差为d，共有n项。
第04节 数列求和【考纲解读】【知识清单】一．数列求和1. 等差数列的前n 和的求和公式：11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+. 2．等比数列前n 项和公式 一般地，设等比数列123,,,,,n a a a a 的前n 项和是=n S 123n a a a a ++++，当1≠q 时，qq a S n n --=1)1(1或11n n a a qS q -=-；当1q =时，1na S n =（错位相减法）. 3. 数列前n 项和①重要公式：（1）1nk k ==∑123n ++++=2)1(+n n （2）1(21)nk k =-=∑()13521n ++++-=2n（3）31nk k ==∑2333)1(2121⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+++n n n（4）21nk k ==∑)12)(1(613212222++=++++n n n n②等差数列中，m n m n S S S mnd +=++；③等比数列中，n mm n n m m n S S q S S q S +=+=+.对点练习：1.【2017课标1，理4】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】C2. 已知{}n a 为正项等比数列，n S 是它的前n 项和，若116a =，且4a 与7a 的等差中项为98，则5S 的值（ ） A ．29 B ．31 C ．33 D ．35 【答案】B【解析】由题意得479+=4a a ，因此363911+=()6482q q q q ⇒=⇒=舍去负值，因此55116(1)231.112S -==-选B.【考点深度剖析】数列求和是高考重点考查的内容之一，命题形式多种多样，以解答题为主，难度中等或稍难，数列求和问题为先导，在解决数列基本问题后考查数列求和，在求和后往往与不等式、函数、最值等问题综合.考查等差数列的求和多于等比数列的求和，往往在此基础上考查“裂项相消法”、“错位相减法”.【重点难点突破】考点1 数列求和【1-1】已知{}n a 是递增的等差数列，2a ，4a 是方程2560x x -+=的根，则数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和 . 【答案】1422n n n S ++=-【1-2】【2017届浙江嘉兴市高三上基础测试】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，且12n n S ta =-，其中*n N ∈．（1）求实数t 的值和数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足32log n n b a =，求数列11{}n n b b +的前n 项和n T ． 【答案】（1）23=t ，13-=n n a ；（2）12121121+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-n n n ． 【解析】试题分析：（1）由n n a S =可得32t =，2n ≥时由1n n n a S S -=-得数列{}n a 为首项为1，公比为3的等比数列，可得通项公式；（2）化简21n b n =-，则11111()22121n n b b n n +=--+，用裂项相消求和，可得前项和．试题解析： （1）当1=n 时，21111-==ta S a ，得23=t ，从而 2123-=n n a S ,则 2≥n 时，⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=--2123212311n n n n n a a S S a 得 13-=n n a a又01≠a 得31=-n n a a，故数列{}n a 为等比数列，公比为3，首项为1．∴13-=n n a（2）由（1）得 1223-=n n a 得 12-=n b n ∴()()⎪⎭⎫⎝⎛+--=+-=-121121*********n n n n b b n n 得 ⎪⎭⎫⎝⎛+--++-+-=121121513131121n n T n12121121+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=n nn【领悟技法】1．公式法：如果一个数列是等差、等比数列或者是可以转化为等差、等比数列的数列，我们可以运用等差、等比数列的前n 项和的公式来求和.对于一些特殊的数列（正整数数列、正整数的平方和立方数列等）也可以直接使用公式求和.2．倒序相加法：类似于等差数列的前n 项和的公式的推导方法，如果一个数列{}n a 的前n 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n 项和公式即是用此法推导的．3．错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用此法来求，如等比数列的前n 项和公式就是用此法推导的． 若n n n a b c =∙，其中{}n b 是等差数列，{}n c 是公比为q 等比数列，令112211n n n n n S b c b c b c b c --=++++，则n qS =122311n n n n b c b c b c b c -+++++两式错位相减并整理即得.4．裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n 项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为裂项相消法.适用于类似1n n c a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭（其中{}n a 是各项不为零的等差数列，c 为常数）的数列、部分无理数列等.用裂项相消法求和，需要掌握一些常见的裂项方法： （1）()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，特别地当1k =时，()11111n n n n =-++； （21k=，特别地当1k ==（3）()()221111212122121n n a n n n n ⎛⎫==+- ⎪-+-+⎝⎭（4）()()()()()1111122112n a n n n n n n n ⎛⎫==- ⎪ ⎪+++++⎝⎭（5）)()11(11q p qp p q pq <--= 5．分组转化求和法：有一类数列{}n n a b +，它既不是等差数列，也不是等比数列，但是数列{},{}n n a b 是等差数列或等比数列或常见特殊数列，则可以将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比数列或常见的特殊数列，然后分别求和，再将其合并即可.6．并项求和法：一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如()()1nn a f n =-类型，可采用两项合并求解．例如，22222210099989721n S =-+-++-()()()100999897215050=++++++=.7. 在利用裂项相消法求和时应注意：(1)在把通项裂开后，是否恰好等于相应的两项之差；(2)在正负项抵消后，是否只剩下了第一项和最后一项，或有时前面剩下两项，后面也剩下两项．对于不能由等差数列、等比数列的前n 项和公式直接求和的问题，一般需要将数列通项的结构进行合理的拆分，转化成若干个等差数列、等比数列的求和．应用公式法求和时，要保证公式使用的正确性，尤其要区分好等差数列、等比数列的通项公式及前n 项和公式．使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．用错位相减法求和时，应注意(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“n S ”与“n qS ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“n n S qS -”的表达式．8. [易错提示] 利用裂项相消法解决数列求和问题，容易出现的错误有两个方面： (1)裂项过程中易忽视常数，如)211(21)2(1+-=+n n n n 容易误裂为112n n -+，漏掉前面的系数12； (2)裂项之后相消的过程中容易出现丢项或添项的问题，导致计算结果错误． 应用错位相减法求和时需注意：①给数列和S n 的等式两边所乘的常数应不为零，否则需讨论； ②在转化为等比数列的和后，求其和时需看准项数，不一定为n . 【触类旁通】【变式一】【2017课标II ，理15】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则11nk kS ==∑ 。
第四节数列求和A组基础题组1.数列{a n},{b n}(n∈N*)都是等差数列,a1=2,b1=8,且a20+b20=50.则{a n+b n}的前20项的和为()A.600B.610C.620D.6302.已知数列{a n}的通项公式是a n=2n-3,则其前20项和为()A.380-B.400-C.420-D.440-3.(2016德州模拟)数列{a n}的通项公式为a n=ncos,其前n项和为S n,则S2016等于()A.1008B.2016C.504D.04.已知函数f(x)=x2+bx的图象在点A(1,f(1))处的切线的斜率为3,数列的前n项和为S n,则S2016的值为()A. B. C. D.5.已知数列{a n}中,a n=-4n+5.等比数列{b n}中,公比q满足q=a n-a n-1(n≥2)且b1=a2,则|b1|+|b2|+|b3|+…+|b n|=()A.1-4nB.4n-1C.D.6.(2016重庆第一次适应性测试)在数列{a n}中,若a1=2,且对任意正整数m,k,总有a m+k=a m+a k,则{a n}的前n项和S n=.7.在数列{a n}中,a2=4,a3=15,若S n为{a n}的前n项和,且数列{a n+n}是等比数列,则S n=.8.(2015课标Ⅱ,16,5分)设S n是数列{a n}的前n项和,且a1=-1,a n+1=S n S n+1,则S n=.9.(2016天津,18,13分)已知{a n}是等比数列,前n项和为S n(n∈N*),且-=,S6=63.(1)求{a n}的通项公式;(2)若对任意的n∈N*,b n是log2a n和log2a n+1的等差中项,求数列{(-1)n}的前2n项和.10.(2016郑州模拟)在公差为d的等差数列{a n}中,已知a1=10,且a1,2a2+2,5a3成等比数列.(1)求d,a n.(2)若d<0,求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|.B组提升题组11.(2016江西高安中学等九校联考)已知数列5,6,1,-5,…,该数列的特点是从第二项起,每一项都等于它的前后两项之和,则这个数列的前16项之和S16等于()A.5B.6C.7D.1612.(2016南昌模拟)已知数列{a n},{b n}满足a1=1,a2=2,b1=2,且对任意的正整数i,j,k,l,当i+j=k+l时,都有a i+b j=a k+b l,则(a1+b1)+(a2+b2)+(a3+b3)+…+(a2017+b2017)]的值为()A.2016B.2017C.2018D.201913.(2016广西高三适应性测试)已知数列{}的前n项和S n=n2,则数列的前n项和T n=.14.已知数列{a n}满足a n+1=+,且a1=,则该数列的前2016项的和等于.15.已知数列{a n}的前n项和S n=-n2+kn(其中k为常数,且k∈N*),且S n的最大值为8.(1)确定常数k,并求a n;(2)求数列的前n项和T n.16.(2016济南模拟)已知公比q不为1的等比数列{a n}的首项a1=,前n项和为S n,且a4+S4,a5+S5,a6+S6成等差数列.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)对n∈N*,在a n与a n+1之间插入n个数,使这n+2个数成等差数列,记插入的这n个数的和为b n,求数列{b n}的前n项和T n.答案全解全析A组基础题组1.A由题意知{a n+b n}也为等差数列,所以{a n+b n}的前20项和为S20===600.2.C由a n=2n-3,得其前20项和S20=2(1+2+…+20)-3=2×-3×=420-.3.A易知a1=cos=0,a2=2cosπ=-2,a3=0,a4=4,…….所以数列{a n}的所有奇数项为0,前2016项中所有偶数项(共1008项)依次为-2,4,-6,8,…,-2014,2016.故S2016=0+(-2+4)+(-6+8)+…+(-2014+2016)=1008.4.D因为f'(x)=2x+b,所以f'(1)=2+b=3,所以b=1,所以f(x)=x2+x,所以==-,所以S2016=1-+-+…+-=1-=.5.B由已知得b1=a2=-3,q=-4,∴b n=(-3)×(-4)n-1,∴|b n|=3×4n-1,即{|b n|}是以3为首项,4为公比的等比数列.∴|b1|+|b2|+…+|b n|==4n-1.6.答案n(n+1)解析依题意得a n+1=a n+a1,即有a n+1-a n=a1=2,所以数列{a n}是以2为首项,2为公差的等差数列,a n=2+2(n-1)=2n,S n==n(n+1).7.答案3n--1解析∵{a n+n}是等比数列,∴数列{a n+n}的公比q====3,则{a n+n}的通项为a n+n=(a2+2)·3n-2=6·3n-2=2·3n-1,则a n=2·3n-1-n,∴S n=-=3n--1.8.答案-解析由已知得a n+1=S n+1-S n=S n+1S n,又由a1=-1知S n≠0,则有-=-1,故数列是以-1为首项,-1为公差的等差数列,则=-1+(n-1)×(-1)=-n,所以S n=-.9.解析(1)设数列{a n}的公比为q.由已知,有-=,解得q=2,或q=-1.又由S6=a1·=63,知q≠-1,所以a1·=63,得a1=1.所以a n=2n-1.(2)由题意,得b n=(log2a n+log2a n+1)=(log22n-1+log22n)=n-,即{b n}是首项为,公差为1的等差数列.设数列{(-1)n}的前n项和为T n,则T2n=(-+)+(-+)+…+(-+)=b1+b2+b3+b4+…+b2n-1+b2n==2n2.10.解析(1)由题意得,5a3·a1=(2a2+2)2,将a3=a1+2d,a2=a1+d及a1=10代入,并化简得d2-3d-4=0,解得d=-1或d=4,所以a n=-n+11,n∈N*或a n=4n+6,n∈N*.(2)设数列{a n}的前n项和为S n,因为d<0,所以由(1)得d=-1,a n=-n+11,则当n≤11时,|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=S n=-n2+n;当n≥12时,|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=-S n+2S11=n2-n+110.综上所述,|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=B组提升题组11.C根据题意,这个数列的前8项分别为5,6,1,-5,-6,-1,5,6,易得从第7项起,数字重复出现,所以此数列为周期数列,且周期为6,前6项和为5+6+1+(-5)+(-6)+(-1)=0.又因为16=2×6+4,所以这个数列的前16项之和S16=2×0+7=7.故选C.12.D由题意易知a1+b2=a2+b1,∴b2=2+2-1=3,又b1+a3=a2+b2,∴a3=2+3-2=3,又a3+b2=a2+b3,∴b3=3+3-2=4.同理可得a4=4,b4=5,……,a2017=2017,b2017=2018,所以(a1+b1)+(a2+b2)+(a3+b3)+…+(a2017+b2017)]=(1+2018)×2017]=2019.13.答案解析由题意得==∴=2n-1.∴==,∴T n===.14.答案1512解析因为a1=,a n+1=+,所以a2=1,从而a3=,a4=1,……,即得a n=故数列的前2016项的和S2016=1008×=1512.15.解析(1)当n=k时,S n=-n2+kn取最大值,即8=S k=-k2+k2=k2,故k2=16,因此k=4,从而a n=S n-S n-1=-n(n≥2).又a1=S1=,所以a n=-n(n∈N*).(2)令b n==,则T n=b1+b2+…+b n=1+++…++,所以T n=2T n-T n=2+2++…++-1+++…++=2+1++…+-=4--=4-.16.解析(1)因为a4+S4,a5+S5,a6+S6成等差数列,所以2(a5+S5)=a4+S4+a6+S6,化简得2a6-3a5+a4=0,∴2q2-3q+1=0,解得q=(q=1舍去),故a n=.(2)记插入的n个数为x i(i=1,2,…,n),由(1)及等差数列的性质及前n项和公式可知x1+x n=a n+a n+1,b n==n×,所以T n=1×+2×+3×+…+(n-1)×+n×,①T n=1×+2×+3×+…+(n-1)×+n×,②①-②得T n=+++…+-n=⇒T n==.。
