与双垂直图形有关的圆专题训练

圆的对称性压轴题六种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】1【考点一利用弧、弦、圆心角的关系求解】【考点二利用弧、弦、圆心角的关系求证】【考点三利用垂径定理求值】【考点四利用垂径定理求平行弦问题】【考点五垂径定理的推论】【考点六垂径定理的实际应用】【过关检测】15【典型例题】【考点一利用弧、弦、圆心角的关系求解】1(2023·陕西西安·西安市庆安初级中学校联考模拟预测)如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，AC=AD，∠AOD=70°，则∠BCO的度数是()A.30°B.35°C.40°D.55°【变式训练】1(2023·全国·九年级专题练习)如图，点A，B，C在⊙O上，∠BAC=40°，则∠BOC的度数为()A.20°B.80°C.50°D.100°2(2023春·安徽合肥·九年级校考阶段练习)下列说法：①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径垂直于弦；③过直线上两点和直线外一点，可以确定一个圆；④圆是轴对称图形，直径是它的对称轴．其中正确的个数是()A.0B.1C.2D.3【考点二利用弧、弦、圆心角的关系求证】1(2023·全国·九年级专题练习)如图，已知⊙O 的半径OA ，OB ，C 在AB �上，CD ⊥OA 于点D ，CE ⊥OB 于点E ，且CD =CE ，求证：AC=BC．【变式训练】1(2023春·广东惠州·九年级校考开学考试)已知：如图，在⊙O 中，∠ABD =∠CDB ．求证：AB =CD ．2(2023秋·河北秦皇岛·九年级统考期末)如图，A 、B 是⊙O 上的两点，C 是弧AB 中点．求证：∠A =∠B ．【考点三利用垂径定理求值】1(2023秋·辽宁葫芦岛·九年级统考期末)如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，连接AD ，若AB =10，CD =6，则弦AD 的长为．【变式训练】1(2023秋·广东惠州·九年级校考阶段练习)已知⊙O的半径为13cm，弦AB的长为10cm，则圆心O 到AB的距离为cm．2(2023·浙江·九年级假期作业)“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问：径几何？”转化为现在的数学语言就是：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，AE=1寸，CD=10寸．则直径AB的长为寸．【考点四利用垂径定理求平行弦问题】1(2023秋·天津和平·九年级校考期末)⊙O半径为5，弦AB∥CD，AB=6，CD=8，则AB与CD间的距离为()A.1B.7C.1或7D.3或4【变式训练】1(2023·全国·九年级专题练习)在半径为10的⊙O中，弦AB=12，弦CD=16，且AB∥CD，则AB 与CD之间的距离是．2(2023春·甘肃武威·九年级校联考阶段练习)⊙O的半径为13cm，AB、CD是⊙O的两条弦，AB⎳CD，AB=24cm，CD=10cm，求AB和CD之间的距离．【考点五垂径定理的推论】1(2023·新疆喀什·统考二模)某公路隧道的截面为圆弧形，设圆弧所在圆的圆心为O，测得其同一水平线上A、B两点之间的距离为12米，拱高CD为4米，则⊙O的半径为米．【变式训练】1(2023·浙江·九年级假期作业)如图是一位同学从照片上前切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线交于A ，B 两点，他测得“图上”圆的半径为10厘米，AB =16厘米．则“图上”太阳从目前所处位置到完全跳出海平面，升起厘米．2(2023春·江苏无锡·九年级校联考期末)《九章算术》中卷九勾股篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？转化为数学语言：如图，OD 为⊙O 的半径，弦AB ⊥OD ，垂足为C ，CD =1寸，AB =1尺(1尺=10寸)，则此圆材的直径长是寸．【考点六垂径定理的实际应用】1(2023春·安徽亳州·九年级专题练习)如图，⊙O 的直径AB 与弦CD 交于点E ，CE =DE ，则下列说法错误的是()A.CB =BDB.OE =BEC.CA =DAD.AB ⊥CD【变式训练】1(2023春·九年级单元测试)下列说法正确的是()①平分弧的直径垂直平分弧所对的弦②平分弦的直径平分弦所对的弧③垂直于弦的直线必过圆心④垂直于弦的直径平分弦所对的弧A.②③B.①③C.②④D.①④2(2023·四川攀枝花·校联考二模)下列说法中正确的说法有( )个①对角线相等的四边形是矩形②在同圆或等圆中，同一条弦所对的圆周角相等③相等的圆心角所对的弧相等④平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧⑤到三角形三边距离相等的点是三角形三个内角平分线的交点A.1B.2C.3D.4【过关检测】一、单选题1(2023·上海普陀·统考二模)下列关于圆的说法中，正确的是()A.过三点可以作一个圆B.相等的圆心角所对的弧相等C.平分弦的直径垂直于弦D.圆的直径所在的直线是它的对称轴2(2023·浙江·模拟预测)已知弦AB把圆周分成1:3两部分，则弦AB所对圆心角的度数为()A.90°B.270°C.90°或270°D.45°或135°3(2023·全国·九年级专题练习)如图，线段CD是⊙O的直径，CD⊥AB于点E，若AB长为16，OE 长为6，则⊙O半径是()A.5B.6C.8D.104(2023秋·浙江台州·九年级统考期末)如图，CD是⊙O的直径，弦AB垂直CD于点E，连接AC，BC，AD，BD，则下列结论不一定成立的是()A.AE=BEB.CE=OEC.AC=BCD.AD=BD5(2023·浙江衢州·统考二模)一次综合实践的主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径？小聪同学所在的学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A，B，C，D四点，利用刻度尺量得该纸条宽为3.5cm，AB=3cm，CD=4cm．请你帮忙计算纸杯的直径为()A.4cmB.5cmC.6cmD.7cm6(2023春·九年级单元测试)AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于E ，且CD =6cm ，OE =4cm ，则AB =．7(2023春·北京海淀·九年级101中学校考阶段练习)如图，AB 是⊙O 的直径，BC=CD=DE，∠AOE =78°，则∠COB 的度数是．-8(2023春·九年级单元测试)半径为5的⊙O 内有一点P ，且OP =4，则过点P 的最短的弦长是，最长的弦长是．9(2023·河南南阳·校联考二模)已知半径为5的圆O 中有一条长度为8的弦AB ，分别以A ，B 为圆心，长度大于4为半径作圆弧交于点M ，N ，连接MN ，点C 为直线MN 与圆O 的交点，点D 为直线MN 与弦AB 的交点，则CD 的长度为．10(2023·浙江·九年级专题练习)图1是小文家的木马玩具，图2是木马玩具底座水平放置的示意图，点O 是AB所在圆的圆心，OA =OB ，点A ，点B 离地高度均为15cm ，水平距离AB =90cm ．则OA =cm ．当半径OA 转到竖直位置时，木马就有翻倒的风险，为安全起见，点B 离地高度应小于cm ．三、解答题11(2023秋·河北邢台·九年级校联考期末)如图，AB 是⊙O 的直径，BC=CD，∠COD =50°，求∠AOD 的度数．12(2023·江苏·九年级假期作业)如图，OA=OB，AB交⊙O于点C，D，OE是半径，且OE⊥AB于点F．(1)求证：AC=BD．(2)若CD=8，EF=2，求⊙O的半径．13(2023春·全国·九年级专题练习)如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，AE=2，CD=8．(1)求⊙O的半径长；(2)连接BC，作OF⊥BC于点F，求OF的长．14(2023·河北衡水·校考模拟预测)图1是某种型号圆形车载手机支架，由圆形钢轨、滑动杆、支撑杆组成．图2是它的正面示意图，滑动杆AB的两端都在圆O上，A、B两端可沿圆形钢轨滑动，支撑杆CD的底端C固定在圆O上，另一端D是滑动杆AB的中点，(即当支架水平放置时直线AB平行于水平线，支撑杆CD垂直于水平线)，通过滑动A、B可以调节CD的高度．当AB经过圆心O时，它的宽度达到最大值10cm，在支架水平放置的状态下：(1)当滑动杆AB的宽度从10厘米向上升高调整到6厘米时，求此时支撑杆CD的高度．(2)如图3，当某手机被支架锁住时，锁住高度与手机宽度恰好相等(AE=AB)，求该手机的宽度．15(2023春·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市第十七中学校校考阶段练习)如图1，AB 是⊙O 的弦，点C 在⊙O 外，连接AC 、BC 分别交⊙O 于D 、E ，AC =BC(1)求证：CD =CE ．(2)如图2，过圆心O 作PQ ∥AB ，交⊙O 于P 、Q 两点，交AC 、BC 于M 、N 两点，求证：PM =QN ．(3)如图3，在(2)的条件下，连接EO 、AO ，∠EON +∠CAO =120°，若CD =112，NQ =32，求弦BE 的长．圆的对称性压轴题六种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】1【考点一利用弧、弦、圆心角的关系求解】【考点二利用弧、弦、圆心角的关系求证】【考点三利用垂径定理求值】【考点四利用垂径定理求平行弦问题】【考点五垂径定理的推论】【考点六垂径定理的实际应用】【过关检测】15【典型例题】【考点一利用弧、弦、圆心角的关系求解】1(2023·陕西西安·西安市庆安初级中学校联考模拟预测)如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，AC=AD，∠AOD=70°，则∠BCO的度数是()A.30°B.35°C.40°D.55°【答案】B【分析】首先由AC=AD，∠AOD=70°可得∠AOC=∠AOD=70°，再由OB=OC可得出∠OBC=∠AOC=35°．∠OCB=12【详解】解：∵在⊙O中，AC=AD，∠AOD=70°∴∠AOC=∠AOD=70°，∵OB=OC，∠AOC=35°，∴∠OBC=∠OCB=12故选：B．【点睛】此题考查了弧与圆心角的关系、等腰三角形的性质及三角形外角的性质，掌握数形结合思想的应用是解题的关键．【变式训练】1(2023·全国·九年级专题练习)如图，点A，B，C在⊙O上，∠BAC=40°，则∠BOC的度数为()A.20°B.80°C.50°D.100°【答案】B【分析】根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可得出答案．【详解】解：∵∠BAC =40°，∴∠BOC =2∠BAC =2×40°=80°，故选：B ．【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角与圆心角的关系，熟知同弧所对的圆周角等于圆心角的一半是解本题的关键．2(2023春·安徽合肥·九年级校考阶段练习)下列说法：①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径垂直于弦；③过直线上两点和直线外一点，可以确定一个圆；④圆是轴对称图形，直径是它的对称轴．其中正确的个数是()A.0 B.1 C.2 D.3【答案】B【分析】根据圆心角、弧、弦的关系定理判断①，根据垂径定理的推论判断②；根据不共线的三点共圆可判断③；根据轴对称图形的定义判断④．【详解】解：①同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故错误；②平分弦不是直径的直径垂直于弦，故错误；③过直线上两点和直线外一点，可以确定一个圆，正确；④圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴，故错误，正确的只有1个，故选：B ．【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，垂径定理的推论，轴对称图形的对称轴，圆的性质，熟练掌握定义与性质是解题的关键．【考点二利用弧、弦、圆心角的关系求证】1(2023·全国·九年级专题练习)如图，已知⊙O 的半径OA ，OB ，C 在AB �上，CD ⊥OA 于点D ，CE ⊥OB 于点E ，且CD =CE ，求证：AC=BC．【答案】见解析【分析】根据角平分线的判定定理可得∠AOC =∠BOC ，然后根据弧、弦和圆心角的关系证明即可．【详解】证明：∵CD =CE ，CD ⊥OA ，CE ⊥OB ，∴∠AOC =∠BOC ，∴AC=BC．【点睛】本题主要考查了角平分线的判定定理以及弧、弦和圆心角的关系等知识，准确证明∠AOC =∠BOC 是解题关键．【变式训练】1(2023春·广东惠州·九年级校考开学考试)已知：如图，在⊙O 中，∠ABD =∠CDB ．求证：AB =CD ．【答案】见解析【分析】根据∠ABD =∠CDB ，可知AD =BC ，则有AD +AC =BC +AC ，由此可得AB =CD，进而可证AB =CD ．【详解】证明：∵∠ABD =∠CDB ，∴AD=BC，∴AD +AC=BC +AC，∴AB=CD，∴AB =CD ．【点睛】本题考查圆心角、弧、弦之间的关系，即在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，能够熟练掌握圆心角、弧、弦之间的关系是解决本题的关键．2(2023秋·河北秦皇岛·九年级统考期末)如图，A 、B 是⊙O 上的两点，C 是弧AB 中点．求证：∠A =∠B ．【答案】见解析【分析】连接OC ，通过证明△AOC ≌△BOC (SAS )即可得结论．【详解】证明：如图，连接OC ，∵C 是AB的中点，∴AC=BC ，∴∠AOC =∠BOC ，在△AOC 和△BOC 中，OA =OB∠AOC =∠BOC OC =OC，∴△AOC ≌△BOC (SAS )，∴∠A =∠B ．【点睛】本题考查弧、弦、圆心角的关系，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是利用全等三角形的判定和性质解决问题，属于中考常考题型．【考点三利用垂径定理求值】1(2023秋·辽宁葫芦岛·九年级统考期末)如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，连接AD ，若AB =10，CD =6，则弦AD 的长为．【答案】310【分析】由题意易得DE =12CD =3,OD =5，根据勾股定理可求OE 的长，然后问题可求解．【详解】解：连接OD ，∵AB 是⊙O 的直径，AB =10，∴OD =OB =12AB =5，∵CD ⊥AB ，CD =6，∴DE =12CD =3,∠DEO =90°，∴OE=OD2-DE2=4，∴AE=OA+OE=5+4=9，∴AD=DE2+AE2=92+32=310,故答案为310．【点睛】本题主要考查垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．【变式训练】1(2023秋·广东惠州·九年级校考阶段练习)已知⊙O的半径为13cm，弦AB的长为10cm，则圆心O 到AB的距离为cm．【答案】12【分析】过点O作OH⊥AB于点H，由垂径定理得到BH=12AB=5cm，在Rt△BOH中，利用勾股定理即可得到圆心O到AB的距离．【详解】解：如图，⊙O的半径为13cm，弦AB的长为10cm，过点O作OH⊥AB于点H，则BH=12AB=5cm，∠BHO=90°，∴OH=OB2-BH2=132-52=12cm，即圆心O到AB的距离为12cm，故答案为：12【点睛】此题考查了垂径定理、勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理的内容是解题的关键．2(2023·浙江·九年级假期作业)“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问：径几何？”转化为现在的数学语言就是：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，AE=1寸，CD=10寸．则直径AB的长为寸．【答案】26【分析】连接OC构成直角三角形，先根据垂径定理，由CD⊥AB得到点E为CD的中点，由CD=10可求出CE的长，再设出圆的半径OC为x，表示出OE，根据勾股定理建立关于x的方程，求解方程可得2x的值，即为圆的直径．【详解】解：连接OC，∵AB⊥CD，且CD=10寸，∴CE=DE=5寸，设圆O的半径OC的长为x，则OC=OA=x，∵AE=1，∴OE=x-1，在Rt△COE中，根据勾股定理得：x2-(x-1)2=52，化简得：x2-x2+2x-1=25，即2x=26，∴AB=26(寸)．故答案为：26．【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线构造直角三角形．【考点四利用垂径定理求平行弦问题】1(2023秋·天津和平·九年级校考期末)⊙O半径为5，弦AB∥CD，AB=6，CD=8，则AB与CD间的距离为()A.1B.7C.1或7D.3或4【答案】C【分析】过O点作OE⊥AB，E为垂足，交CD与F，连OA，OC，由AB∥CD，得到OF⊥CD，根据垂径定理得AE=3，CF=4，再在Rt△OAE中和在Rt△OCF中分别利用勾股定理求出OE，OF，然后讨论：当圆O点在AB、CD之间，AB与CD之间的距离=OE+OF；当圆O点不在AB、CD之间，AB与CD 之间的距离=OE-OF．【详解】解：过O点作OE⊥AB，E为垂足，交CD与F，连OA，OC，如图，∵AB∥CD，∴OF⊥CD，∴AE=BE，CF=DF，而AB=6，CD=8，∴AE=3，CF=4，在Rt△OAE中，OA=5，OE=OA2-AE2=52-32=4；在Rt△OCF中，OC=5，OF=OC2-CF2=52-42=3；当圆O点在AB、CD之间，AB与CD之间的距离=OE+OF=7；当圆O点不在AB、CD之间，AB与CD之间的距离=OE-OF=1；所以AB与CD之间的距离为7或1．故选：C．【点睛】本题考查了垂径定理，即垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．也考查了勾股定理以及分类讨论的思想的运用．【变式训练】1(2023·全国·九年级专题练习)在半径为10的⊙O中，弦AB=12，弦CD=16，且AB∥CD，则AB 与CD之间的距离是．【答案】2或14【分析】由于弦AB与CD的具体位置不能确定，故应分两种情况进行讨论：①弦AB与CD在圆心同侧；②弦AB与CD在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可．【详解】解：①当弦AB与CD在圆心同侧时，如图①，过点O作OF⊥AB，垂足为F，交CD于点E，连接OA，OC，∵AB∥CD，∴OE⊥CD，∵AB=12，CD=16，∴CE=8，AF=6，∵OA=OC=10，∴由勾股定理得：EO=102-82=6，OF=102-62=8，∴EF=OF-OE=2；②当弦AB与CD在圆心异侧时，如图，过点O作OE⊥CD于点E，反向延长OE交AB于点F，连接OA，OC，同理EO=102-82=6，OF=102-62=8，EF=OF+OE=14，所以AB与CD之间的距离是2或14．故答案为：2或14．【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理，解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．2(2023春·甘肃武威·九年级校联考阶段练习)⊙O的半径为13cm，AB、CD是⊙O的两条弦，AB⎳CD，AB=24cm，CD=10cm，求AB和CD之间的距离．【答案】7cm或17cm．【分析】分两种情况进行讨论：①弦AB和CD在圆心同侧；②弦AB和CD在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可．【详解】解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图1∵AB=24cm，CD=10cm，∴AE=12cm，CF=5cm，∵OA=OC=13cm，∴EO=5cm，OF=12cm，∴EF=12-5=7cm；②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图2，∵AB=24cm，CD=10cm，∴AE=12cm，CF=5cm，∵OA=OC=13cm，∴EO=5cm，OF=12cm，∴EF=OF+OE=17cm．∴AB与CD之间的距离为7cm或17cm．【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用，正确作出辅助线、灵活运用定理是解题的关键，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．【考点五垂径定理的推论】1(2023·新疆喀什·统考二模)某公路隧道的截面为圆弧形，设圆弧所在圆的圆心为O，测得其同一水平线上A、B两点之间的距离为12米，拱高CD为4米，则⊙O的半径为米．【答案】6.5【分析】连接OA，设⊙O的半径为R，利用垂径定理以及勾股定理求解即可．【详解】解：连接OA，设⊙O的半径为R，则OC=R-4，由题意得，OD⊥AB，AB=6，∴AC=BC=12在Rt△AOC中，由勾股定理得R2=62+R-42，解得R=6.5，则⊙O的半径为6.5米．故答案为：6.5．【点睛】本题考查了垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，由勾股定理得出方程是解题的关键．【变式训练】1(2023·浙江·九年级假期作业)如图是一位同学从照片上前切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线交于A，B两点，他测得“图上”圆的半径为10厘米，AB=16厘米．则“图上”太阳从目前所处位置到完全跳出海平面，升起厘米．【答案】16【分析】连接OB，作OD⊥AB于点D，交优弧于点C，利用垂径定理求得AD=BD=8厘米．在Rt△OBD中，利用勾股定理求得OD的长，据此求解即可．【详解】解：连接OB，作OD⊥AB于点D，交优弧于点C，则AD=BD=8厘米．由题意得OB=OC=10厘米，在Rt△OBD中，OD=OB2-BD2=6厘米，∴CD=OD+OC=16厘米，则“图上”太阳从目前所处位置到完全跳出海平面，升起16厘米．故答案为：16．【点睛】本题考查了垂径定理的应用，利用垂径定理构造直角三角形是解题的关键．2(2023春·江苏无锡·九年级校联考期末)《九章算术》中卷九勾股篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？转化为数学语言：如图，OD为⊙O的半径，弦AB⊥OD，垂足为C，CD=1寸，AB=1尺(1尺=10寸)，则此圆材的直径长是寸．【答案】26【分析】连接AO，依题意，得出AC=5，设半径为r，则AO=r，在Rt△AOC中，AO2=AC2+CO2，解方程即可求解．【详解】解：如图所示，连接AO，∵CD=1，AB=10，AB⊥OD，OD为⊙O的半径，∴AC=5，设半径为r ，则AO =r ，在Rt △AOC 中，AO 2=AC 2+CO 2，∴r 2=52+r -1 2，解得：r =13，∴直径为26，故答案为：26．【点睛】本题考查了垂径定理的应用，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键．【考点六垂径定理的实际应用】1(2023春·安徽亳州·九年级专题练习)如图，⊙O 的直径AB 与弦CD 交于点E ，CE =DE ，则下列说法错误的是()A.CB =BDB.OE =BEC.CA =DAD.AB ⊥CD【答案】B【分析】根据垂径定理及其推论判断即可．【详解】解：∵AB 是⊙O 的直径与弦CD 交于点E ，CE =DE ，∴根据垂径定理及其推论可得，点B 为劣弧CD的中点，点A 为优弧CD的中点，AB ⊥CD ∴CB=BD，AC=AD，∴CA =DA但不能证明OE =BE ，故B 选项说法错误，符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查的是垂径定理及其推论，解决本题的关键是熟练掌握垂径定理及其推论：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．【变式训练】1(2023春·九年级单元测试)下列说法正确的是()①平分弧的直径垂直平分弧所对的弦②平分弦的直径平分弦所对的弧③垂直于弦的直线必过圆心④垂直于弦的直径平分弦所对的弧A.②③ B.①③C.②④D.①④【答案】D【详解】根据垂径定理及其推论进行判断．【解答】解：根据垂径定理，①正确；②错误．平分弦(不是直径)的直径平分弦所对的弧；③错误．垂直于弦且平分弦的直线必过圆心；④正确．故选：D．【点评】注意概念性质的语言叙述，有时是专门来混淆是非的，只是一字之差，所以学生一定要养成认真仔细的习惯．2(2023·四川攀枝花·校联考二模)下列说法中正确的说法有( )个①对角线相等的四边形是矩形②在同圆或等圆中，同一条弦所对的圆周角相等③相等的圆心角所对的弧相等④平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧⑤到三角形三边距离相等的点是三角形三个内角平分线的交点A.1B.2C.3D.4【答案】A【分析】根据矩形的判定方法、圆的性质、垂径定理、三角形的有关性质求解即可．【详解】解：①对角线相等的平行四边形是矩形，故错误；②在同圆或等圆中，同一条弦所对的圆周角不一定相等，∵同一条弦所对的圆周角有两种情况，故不正确；③在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故错误；④平分非直径的弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，故错误；⑤到三角形三边距离相等的点是三角形的内心，而内心是角平分线的交点，故正确；故选：A．【点睛】本题是对基础概念的考查，熟记概念是解题关键．【过关检测】一、单选题1(2023·上海普陀·统考二模)下列关于圆的说法中，正确的是()A.过三点可以作一个圆B.相等的圆心角所对的弧相等C.平分弦的直径垂直于弦D.圆的直径所在的直线是它的对称轴【答案】D【分析】利用圆的有关定义及性质分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：A、过不在同一直线上的三个点一定能作一个圆，故错误，不符合题意；B、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故错误，不符合题意；C、平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，故错误，不符合题意；D、圆的直径所在的直线是它的对称轴，正确，符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了确定圆的条件及圆的有关性质，解题的关键是了解有关性质及定义，难度不大．2(2023·浙江·模拟预测)已知弦AB把圆周分成1:3两部分，则弦AB所对圆心角的度数为()A.90°B.270°C.90°或270°D.45°或135°【答案】C【分析】分优弧，劣弧两种情况，求解即可．【详解】解：∵弦AB 把圆周分成1:3两部分，∴劣弧AB 的度数为：360°×14=90°，即：劣弧所对的圆心角的度数为90°，优弧AB 的度数为：360°×34=270°，即：优弧所对的圆心角的度数为270°，∴弦AB 所对圆心角的度数为90°或270°；故选C ．【点睛】本题考查弦，弧，角之间的关系．注意弦分弧为优弧和劣弧两种情况．3(2023·全国·九年级专题练习)如图，线段CD 是⊙O 的直径，CD ⊥AB 于点E ，若AB 长为16，OE 长为6，则⊙O 半径是()A.5B.6C.8D.10【答案】D【分析】连接OB ，由垂径定理可得BE =AE =8，由勾股定理计算即可获得答案．【详解】解：如图，连接OB ，∵线段CD 是⊙O 的直径，CD ⊥AB 于点E ，AB =16，∴BE =AE =12AB =12×16=8，∴在Rt △OBE 中，可有OB =OE 2+BE 2=62+82=10，∴⊙O 半径是10．故选：D ．【点睛】本题主要考查了垂径定理及勾股定理等知识，理解并掌握垂径定理是解题关键．4(2023秋·浙江台州·九年级统考期末)如图，CD 是⊙O 的直径，弦AB 垂直CD 于点E ，连接AC ，BC ，AD ，BD ，则下列结论不一定成立的是()A.AE =BEB.CE =OEC.AC =BCD.AD =BD【答案】B【分析】根据垂径定理对各选项进行逐一分析即可．【详解】解：∵CD 是⊙O 的直径，弦AB 垂直CD 于点E ，∴AE =BE ，AC=BC，AD=BD，∴AC =BC ，AD =BD ，而CE =OE 不一定成立，故选：B ．【点睛】本题考查的是垂径定理，垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．5(2023·浙江衢州·统考二模)一次综合实践的主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径？小聪同学所在的学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A ，B ，C ，D 四点，利用刻度尺量得该纸条宽为3.5cm ，AB =3cm ，CD =4cm ．请你帮忙计算纸杯的直径为()A.4cmB.5cmC.6cmD.7cm【答案】B【分析】设圆心为O ，根据垂径定理可以得到CE =2，AF =1.5，再根据勾股定理构建方程解题即可．【详解】设圆心为O ，EF 为纸条宽，连接OC ，OA ，则EF ⊥CD ，EF ⊥AB ，∴CE =12CD =12×4=2，AF =12AB =12×3=1.5，设OE =x ，则OF =3.5-x ，又∵OC =OA ，∴CE 2+OE 2=AF 2+OF 2，即22+x 2=1.52+3.5-x 2，解得：x =1.5，∴半径OC =22+x 2=2.5，即直径为5cm ，故选B ．【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，构建直角三角形利用勾股定理计算是解题的关键．二、填空题6(2023春·九年级单元测试)AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于E ，且CD =6cm ，OE =4cm ，则AB =．【答案】10cm【分析】由垂径定理可知CE =12CD =3cm ，在Rt △CEO 中由勾股定理可求得OC 即AB 的值．【详解】解：如图：依题意可知OA =OC =12AB ，∵AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于E ，∴CE =12CD =3cm ，在Rt △CEO 中，OC =OE 2+CE 2=42+32=5cm ，∴AB =2OC =10cm ，故答案为：10cm ．【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理解直角三角形；解题的关键是熟练掌握相关知识．7(2023春·北京海淀·九年级101中学校考阶段练习)如图，AB 是⊙O 的直径，BC=CD=DE，∠AOE =78°，则∠COB 的度数是．-【答案】34°/34度【分析】先由平角的定义求出∠BOE 的度数，由BC=CD=DE，根据相等的弧所对的圆心角相等可得∠BOC =∠EOD =∠COD =13∠BOE ，即可求解．【详解】∵∠AOE =78°，∴∠BOE =180°-∠AOE =180°-78°=102°，∵BC=CD=DE，∴∠BOC =∠EOD =∠COD =13∠BOE =34°，故答案为：34°．【点睛】此题考查了弧与圆心角的关系．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．8(2023春·九年级单元测试)半径为5的⊙O 内有一点P ，且OP =4，则过点P 的最短的弦长是，最长的弦长是．【答案】 610【分析】过点P 的最短的弦是垂直于OP 的弦，过点P 的最长的弦是直径，利用勾股定理和垂径定理进行求解即可得到答案．【详解】解：如图，OP 在直径AB 上，AB ⊥CD 于点P ，过点P 的最短的弦是垂直于OP 的弦，即CD 的长∵OC =5，OP =4，由勾股定理得：PC =OC 2-OP 2=3，∴CD =2PC =6，∴过点P 的最短的弦长是6；过点P 的最长的弦是直径，即AB 的长，∵AB =5×2=10，．∴过点P 的最长的弦长是10，故答案为：6；10．【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，解题关键是熟练掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．9(2023·河南南阳·校联考二模)已知半径为5的圆O 中有一条长度为8的弦AB ，分别以A ，B 为圆心，长度大于4为半径作圆弧交于点M ，N ，连接MN ，点C 为直线MN 与圆O 的交点，点D 为直线MN 与弦AB 的交点，则CD 的长度为．【答案】2或8【分析】根据作图可知，MN 为AB 的中垂线，则MN 必过圆心O ，连接OA ，利用垂径定理求出OD 的长，分点C 在劣弧AB 上和点C 在优弧AB 上两种情况进行求解即可．【详解】解：由题意，得：MN 是弦AB 的中垂线，D 为AB 的中点，如图，连接OA ,OD ,OB ，则：OA =OB =5,AD =12AB =4，∴OD ⊥AB ，∵CD ⊥AB ，∴O ,C ,D 三点共线，∴OC =5，∴OD =OA 2-AD 2=3；①当点C 在劣弧AB 上时：CD =OC -OD =2；②当点C 在优弧AB 上时：CD =OC +OD =8；故答案为：2或8【点睛】本题考查中垂线的作图，垂径定理．根据作图方法得到MN 是AB 的中垂线，是解题的关键．注意分类讨论．10(2023·浙江·九年级专题练习)图1是小文家的木马玩具，图2是木马玩具底座水平放置的示意图，点O 是AB所在圆的圆心，OA =OB ，点A ，点B 离地高度均为15cm ，水平距离AB =90cm ．则OA =cm ．当半径OA 转到竖直位置时，木马就有翻倒的风险，为安全起见，点B 离地高度应小于cm ．。

11. 如图，AT 切⊙O 于点 A，AB 是⊙O 的直径．若∠ABT＝40°，则∠ATB＝________.
12. 如图，AB 是⊙O 的直径，C，D 是⊙O 上的两点，若∠BCD＝28°，则∠ABD ＝________°.
13. 如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E，若 AB＝8，CD＝6，则 BE＝ ________．
15. 【答案】
【思维教练】(1)证明 AC 是∠DAO 的角平分线即证明∠DAC＝∠OAC，由圆的 性质知 OA＝OC，得∠OCA＝∠OAC，由切线性质得 OC⊥CD，即 OC∥AD， 得∠OCA＝∠CAD，即可得证；(2)①△OCE 内角和为 180°，∠E 已知，由 (1)OC∥AD 得∠COE＝∠DAO，即可求解；②EF＝GE－FG，由∠OCE＝45°，
5. 【答案】A [解析]∵∠A=22.5°， ∴∠COE=45°， ∵☉O 的直径 AB 垂直于弦 CD， ∴∠CEO=90°，CE=DE. ∵∠COE=45°， ∴CE=OE=√22OC=3√2， ∴CD=2CE=6√2，故选 A. 6. 【答案】A 【解析】∵ON⊥AB，AB＝24，∴AN＝A2B＝12，∴在 Rt△AON 中，ON＝ OA2－AN2＝ 132－122＝5. 7. 【答案】B 【解析】∵四边形 ABCD 是圆内接四边形，∠ABC＝105°，∴∠ ADC＝75°，∵ ＝ ，∴∠BAC＝∠DCF＝25°，∴∠E＝∠ADC－∠DCF ＝50°. 8. 【答案】B 【解析】∵∠D 与∠AOC 同对弧 AC，∴∠AOC＝2∠D＝2×32°＝
三、解答题 14. 如图，MP 切⊙O 于点 M，直线 PO 交⊙O 于点 A、B，弦 AC∥MP，求证： MO∥BC.
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知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根 15. 如图，已知：AB 是⊙O 的直径，点 C 在⊙O 上，CD 是⊙O 的切线，AD⊥CD 于点 D.E 是 AB 延长线上一点，CE 交⊙O 于点 F，连接 OC，AC. (1)求证：AC 平分∠DAO. (2)若∠DAO＝105°，∠E＝30°. ①求∠OCE 的度数． ②若⊙O 的半径为 2 2，求线段 EF 的长．

第24章 圆
专题技能训练(二) 2.垂径定理的四种应用技巧
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1．如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标是(10，0)，点 B 的 坐标是(8，0)，点 C，D 在以 OA 为直径的半圆 M 上， 且四 边形 OCDB 是平行四边形．求点 C 的坐标．
2．[中考·嘉兴]如图，在⊙O 中，弦 AB＝1，点 C 在 AB 上移动， 连接 OC，过点 C 作 CD⊥OC 交⊙O 于点 D，则 CD 的最大 值为________．
【点拨】连接 OD，如图．设 OD＝x，
∵CD⊥OC，∴∠OCD＝90°，
∴CD＝ OD2－OC2＝ x2－OC2.
当 OC 的值最小时，CD 的值最大，
4．一些不便于直接测量的圆形孔道的直径可以用如下方法测 量．如图，把一个直径为 10 mm 的小钢球紧贴在孔道边缘， 测得小钢球顶端离孔道外端的距离 为 8 mm，求这个孔道的直径 AB.
解：如图，连接 OA，过点 O 作 OD⊥AB 于点 D，则 AB＝2AD. ∵小钢球的直径是 10 mm，∴小钢球的半径是 5 mm. ∵小钢球顶端离孔道外端的距离为 8 mm，∴OD＝3 mm. 在 Rt△AOD 中， ∵AD＝ OA2－OD2＝ 52－32＝4(mm)， ∴AB＝2AD＝2×4＝8(mm)．
设 OA＝r m，则 OD＝OC－DC＝(r－2.4)m. 在 Rt△AOD 中，OA2＝AD2＋OD2， 即 r2＝3.62＋(r－2.4)2，解得 r＝3.9. 在 Rt△OHN 中，OH＝ ON2－NH2＝ 3.92－322＝3.6(m)． ∴FN＝DH＝OH－OD＝3.6－(3.9－2.4)＝2.1(m)． ∵2.1m＞2m，∴此货船能顺利通过这座拱桥．

DON(AAS)．∴AP＝ON.∴AP＝PC＝ON，∴ON＝1AC. 2
∠FBD＝90°，∴∠ADC＝∠FDB.∴∠ADF＝∠CDB，∴AF＝BC.∴AF＝BC＝8.∵∠DAF＝90°， ∴DF＝10.∴⊙O 的半径为 5.
(4)如图，若点M为AC的中点，求证：ME⊥BD；
【解析】延长ME交BD于点H.∵AB⊥CD，∴∠AEC＝90°.∵点M 为AC的中点，∴AM＝ME＝MC，∴∠A＝∠MEA.∵∠MEA＝∠BEH， ∴∠A＝∠BEH.∵∠C＝∠B，∠A＋∠C＝90°，∴∠BEH＋∠B＝90°， ∴EH⊥BD，即ME⊥BD.
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(5)如图，若ON⊥BD于点N，求证：ON＝ 2 AC.
【解析】过点 O 作 OP⊥AC 于点 P，连接 OA，OC，OB，OD，BC，∵OP⊥AC，ON⊥BD，∴
∠AOP＝1∠AOC，AP＝CP，∠DON＝1∠BOD.由(2)得∠AOC＋∠BOD＝180°，∴∠AOP＋∠DON
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＝1 (∠AOC＋ ∠BOD)＝ 90°. ∵∠AOP＋ ∠OAP＝ 90°，∴∠ OAP＝ ∠DON， ∴△OAP≌△ 2
【解析】连接BC，∵AB⊥CD，∴∠EBC＋∠ECB＝ 90°.∵∠AOC＝2∠ABC，∠BOD＝2∠BCD，∴∠AOC＋∠BOD ＝180°.∴∠AOD＋∠BOC＝180°，∴∠BOC＝40°.
Hale Waihona Puke (3)如图，若AD＝6，BC＝8，求⊙O的半径；
【解析】连接 DO 并延长，交⊙O 于点 F，连接 BD，AF，BF.∵∠DAE＝∠DFB，∠AED＝ ︵︵
第二十四章 圆
专题28 圆中两垂直弦的问题
武汉专版·九年级上册
1．在⊙O中，AB⊥CD于点E. (1)如图，若AE＝DE，求证：CE＝BE；