人教课标版高中数学选修1-1：《命题及其关系》教案-新版

命题及其关系辅导教案学生姓名性别年级学科数学授课教师上课时间年月日第（）次课共（）次课课时：2课时教学课题人教版选修1-1 第一章命题及其关系同步教案教学目标知识目标： 1. 理解命题的概念，了解命题“若p,则q”的形式及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.2. 理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.能力目标：掌握命题之间的相互关系情感态度价值观：通过合作与交流，让学生体会数学的理性与严谨，感受探索的乐趣教学重点与难点重点：四个命题与充分必要条件的理解与判定难点：充要条件的判定教学过程（一）命题知识梳理1. 命题的定义：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。

其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题。

2. 四种命题：（一）四种命题的形式原命题：“若，则”；逆命题：“若，则”；实质是将原命题的条件和结论互相交换位置；否命题：“若非，则非”，或“若，则”；实质是将原命题的条件和结论两者分别否定；逆否命题：“若非，则非”，或“若，则”；实质是将原命题的条件和结论两者分别否定后再换位或将原命题的条件和结论换位后再分别否定。

（二）四种命题之间的关系（三）四种命题之间的真假关系表原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真假假假假假例题精讲【题型一、命题的定义】【例1】判断下列语句是否为命题？若是，判断其真假.(1) ；(2) 时, ；(3) 你是男生吗？(4) 求证：是无理数.【方法技巧】对于命题真假的判断应根据已学习过的已有定义、定理、公理及已有结论等进行。

【题型二、命题的四种形式】【例2】写出下列的命题的逆命题，否命题和逆否命题，并判断它们的真假.(1)在中，若,则；(2)直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；(3)当时，若, 则.【方法技巧】①一般地，先将命题改写成“如果…，那么…”的形式，再写出其他命题形式；某些命题存在大前提，写其它命题时应注意保留.②互为逆否命题的两个命题是等价的，同为真或同为假，因此在判定真假时，只需判定二者中的一个．巩固训练1.下列语句中是命题的是（）A．B．{0}∈N C．元素与集合 D．真子集2.判断下列语句是否是命题。

最新人教版高中数学选修1-1《命题》教学设计教学设计整体设计命题是逻辑学的基础知识，数学学科包含了大量的命题。

了解命题的概念，对于掌握具体的数学学科知识有很大帮助。

教材的设计与学生已学知识密切联系，使学生在复旧知识的同时研究新知识，学以致用，体现了数学学科特有的连续性及知识的环环相扣特点。

并能使学生对已学过的数学知识系统化、明晰化。

教材内容从小处入手，以基础题目作为引例，使学生可以更快地进入角色，避免空泛地讲解数学知识，枯燥无味，能促进知识、方法、思维和情感的融合，能让学生充分体会数学的魅力。

教材分析课时分配：1课时教学目标：知识与技能：了解命题的概念，会判断一个命题的真假，并会将一个命题改写成“若p，则q”的形式，体会命题的逻辑性。

过程与方法：通过学生对命题的判定，总结命题的概念，培养学生的自主研究能力；引导学生研究判断命题的真假性，复巩固以前所学内容，提高学生掌握知识的牢固性和熟练程度；教会学生改写命题，能从新知识的角度解释所学内容，提高学生对旧知识的理解程度。

情感、态度与价值观：培养学生严谨缜密的思维惯，深化学生对数学意义的理解，激发研究兴趣，认识数学的科学价值、应用价值和文化价值；通过探究研究培养学生互助合作的研究惯，形成良好的思维品质和锲而不舍的钻研精神。

重点难点：教学重点为命题的改写，教学难点为命题概念的理解。

教学过程：引入新课：提出问题教师提出以下问题：下列语句的表达形式有什么特点？你能判断它们的真假吗？1)若直线a∥b，则直线a和直线b无公共点；2)2＋4＝7；3)垂直于同一条直线的两个平面平行；4)若x2＝1，则x＝1；5)两个全等的三角形面积相等；6)3能被2整除。

活动设计：先让学生根据以前所学知识进行思考，然后小组讨论交流，教师巡视指导，并注意与学生的交流和指导。

学情预测：学生可能认为这些知识较为简单，能较轻松地完成判断。

教师提问：这些语句的表达形式有何特点？它们的正确性如何？学情预测：学生能判定出它们都是陈述句，(2)(4)(5)(6)可以能正确判定，(1)(3)可能会出错。

第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系（夏琳）一、教学目标1.核心素养培养数学抽象，形成逻辑推理能力．2.学习目标（1）了解命题及其逆命题、否命题与逆否命题．（2）命题的四种形式．3.学习重点了解命题及其逆命题、否命题与逆否命题．4.学习难点明白四种命题之间的关系，会利用两个命题互为逆否命题的关系判别命题的真假．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务任务：阅读教材P1－P4，思考：如何判断命题的真假？四种命题之间有什么关系？2．预习自测1．判断下列语句中哪些是命题？是真命题还是假命题？（1）空集是任何集合的子集；（2）对数函数是增函数吗？（3）2x<15；解：（1）真命题（2）疑问句，不是命题（3）不能判断真假，不是命题2.将下列命题改写成“若p，则q”的形式.（1）两条直线相交有且只有一个交点；（2）对顶角相等；（3）全等的两个三角形面积也相等.解：（1）若两条直线相交，则有且只有一个交点；（2）若两个角是对顶角，则这两个角相等；（3）若两个三角形全等，则它们的面积相等.3．命题“若a>b,则a-1>b-1”的逆否命题是（）A.若a-1≤b-1,则a≤bB.若a<b,则a-1<b-1C.若a-1>b-1,则a>bD.若a≤b,则a-1≤b-1答案：A解析：命题“若p,则q”的逆否命题为“若q,则p”.（二）课堂设计1．知识回顾在生活中，我们接触了哪些具体的命题？请大家阅读教材P2中所列举的6个命题例子，并试着列举生活与学习中的命题例子．2．问题探究问题探究一命题的含义1.什么是命题？思考：三位科学家由伦敦去苏格兰参加会议，越过边境不久发现了一只黑羊．“真有意思，苏格兰的羊都是黑的”天文学家谈论道．“这种推断不可靠”数学家应道．我们只能得出”在苏格兰有一些羊是黑色的”这样的结论．逻辑学家马上接着说我们真正有把握的不过是”在苏格兰至少有一个地方有至少一只黑羊”如何判断这些话的真假呢?阅读下列语句，你能判断它们的真假吗？（1）矩形的对角线相等；（2）3>12；（3）3>12吗？（4）8是24的约数；（5）两条直线相交，有且只有一个交点；（6）他是个高个子.探究：学生自我举出一些命题，并判断它们的真假.想一想：请大家根据以上结论，思考什么叫做命题？一般地，在数学中用语言、符号或式子表达的，可以__________________叫做命题（proposition），其中判断为真的语句叫做__________（true proposition），判断为假的语句叫做__________（false proposition）．说明：（1）并不是任何语句都是命题，只有那些能判断真假的语句才是命题．一般来说，疑问句、祈使句、感叹句都不是命题；也就是说，判断一个语句是不是命题关键是看它是否符合“是陈述句”和“可以判断真假”这两个条件.。

四种命题（一）课标导示1.知识与技能：了解四种命题的概念，能判断四种命题的真假；注意命题的否定与否命题的区别；会用反证法证明简单问题。

2.过程与方法：利用多媒体教学，多让学生举命题的例子，并写出四种命题3.情感、态度与价值观：（1）通过学生的举例，培养他们的辨析能力；（2）以及培养他们的分析问题和解决问题的能力（二）教学重点与难点重点：（1）会写四种命题并会判断命题的真假；（2）四种命题的关系难点：（1）命题的否定与否命题的区别；（2）写出原命题的逆命题、否命题和逆否命题；（3）用反证法证明简单问题（三）教学过程设计1．引入课题问题一：下列四个命题中，命题（1）与命题（2）、（3）、（4）的条件与结论之间分别有什么关系？（1）若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数（2）若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数（3）若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数（4）若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数有问题一通过学生讨论可以得到：2.定义：原命题、逆命题、否命题和逆否命题问题二：若原命题为“若P则q”则它的逆命题为—————；否命题为—————；逆否命题为——————问题三：若（1）是原命题则（2）（3）（4）分别为（1）的什么命题呢？原命题与逆命题、否命题和逆否命题的关系是什么呢？问题四：在问题一中若（1）是真命题则（2）是————————（3）是————————（4）是————————（用真、假命题填空）问题五：命题的否定与原命题的否命题的区别是什么？问题六：完成下列表格：3：有问题五可以得到以下结论：（1）两个命题互为逆否命题，他们有相同的真假性；（2）两个命题为互逆命题或互否命题，他们的真假性没有关系；（3）原命题与他的逆否命题等价；否命题与逆命题等价若P 则q 若q 则p互 逆 ————————————|互 |互——————————— 互 逆若﹁P 则﹁q 若﹁q 则﹁p 4：例题分析例1：已知命题P ：若a ∈A ，则b ∈B ，写出命题P 的否定与命题P 的否命题目的：命题的否定是否定命题的结论，而命题的否命题是对原命题的条件和结论分别进行否定，因此在解题时应分请命题的条件和结论例2：把命题“同位角相等两直线平行”写成“若P 则q ”的形式，并写出它的否命题 和逆否命题，并判断其真假例3：若p > 0，q > 0，p3 + q3 = 2 试用反证法证明 p + q ≦ 2四：小结1：（1）两个命题互为逆否命题，他们有相同的真假性；（2）两个命题为互逆命题或互否命题，他们的真假性没有关系；（3）原命题与他的逆否命题等价；否命题与逆命题等价若P 则q 若q 则p互 逆 ————————————|互 |互——————————— 互 逆若﹁P 则﹁q 若﹁q 则﹁p2：反证法证题的一般步骤：（1）假设命题的结论不成立，即假设命题结论的反面成立（2）从这个结论出发，经过推理论证，得出矛盾（3）有矛盾判断假设不成立，从而肯定命题的结论成立3：在命题中含有“否定式、至少、至多”等均可用反证法证题五：课堂评价本节课共分两课时，学生在判断命题的真假时还有一定的困难，还不能用反证法证题，需通过大量的练习才行。

第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系一、教学目标1.核心素养培养数学抽象，形成逻辑推理能力．2.学习目标（1）了解命题及其逆命题、否命题与逆否命题．（2）命题的四种形式．3.学习重点了解命题及其逆命题、否命题与逆否命题．4.学习难点明白四种命题之间的关系，会利用两个命题互为逆否命题的关系判别命题的真假．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务任务：阅读教材P1－P4，思考：如何判断命题的真假？四种命题之间有什么关系？2．预习自测1．判断下列语句中哪些是命题？是真命题还是假命题？（1）空集是任何集合的子集；（2）对数函数是增函数吗？（3）2x<15；解：（1）真命题（2）疑问句，不是命题（3）不能判断真假，不是命题2.将下列命题改写成“若p，则q”的形式.（1）两条直线相交有且只有一个交点；（2）对顶角相等；（3）全等的两个三角形面积也相等.解：（1）若两条直线相交，则有且只有一个交点；（2）若两个角是对顶角，则这两个角相等；（3）若两个三角形全等，则它们的面积相等.3．命题“若a>b,则a-1>b-1”的逆否命题是（）A.若a-1≤b-1,则a≤bB.若a<b,则a-1<b-1C.若a-1>b-1,则a>bD.若a≤b,则a-1≤b-1答案：A解析：命题“若p,则q”的逆否命题为“若q,则p”.（二）课堂设计1．知识回顾在生活中，我们接触了哪些具体的命题？请大家阅读教材P2中所列举的6个命题例子，并试着列举生活与学习中的命题例子．2．问题探究问题探究一命题的含义1.什么是命题？思考：三位科学家由伦敦去苏格兰参加会议，越过边境不久发现了一只黑羊．“真有意思，苏格兰的羊都是黑的”天文学家谈论道．“这种推断不可靠”数学家应道．我们只能得出”在苏格兰有一些羊是黑色的”这样的结论．逻辑学家马上接着说我们真正有把握的不过是”在苏格兰至少有一个地方有至少一只黑羊”如何判断这些话的真假呢?阅读下列语句，你能判断它们的真假吗？（1）矩形的对角线相等；（2）3>12；（3）3>12吗？（4）8是24的约数；（5）两条直线相交，有且只有一个交点；（6）他是个高个子.探究：学生自我举出一些命题，并判断它们的真假.想一想：请大家根据以上结论，思考什么叫做命题？一般地，在数学中用语言、符号或式子表达的，可以__________________叫做命题（proposition），其中判断为真的语句叫做__________（true proposition），判断为假的语句叫做__________（false proposition）．说明：（1）并不是任何语句都是命题，只有那些能判断真假的语句才是命题．一般来说，疑问句、祈使句、感叹句都不是命题；也就是说，判断一个语句是不是命题关键是看它是否符合“是陈述句”和“可以判断真假”这两个条件.（2）一个命题要么为真,要么为假．但不能同时既真又假,也不能模棱两可,无法判断其真假．（3）一个命题，一般可用一个小写英文字母表示，如：p 、q 、r 等． 问题探究二 命题的四种形式1.将一个命题改写成“若p ，则q ”的形式：在数学中，具有“若p 则q ”这种形式的命题是常见的，我们把这种形式命题中的p 叫做命题的 ，q 叫做命题的 ．数学中有一些命题虽然表面上不是“若p 则q ”的形式，但是把它的表述作适当改变，也可以写成“若p 则q ”的形式．这样条件和结论就很清楚了． 2.四种命题的概念：原命题 逆命题 否命题 逆否命题若p 则q交换原命题的条件和结论，所得的命题是_______；同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是_______；为了书写简便，常常把条件p 和结论q 的否定，分别记作“_______”和“_______”；交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是_______．这些结论用于写一个命题的逆命题、否命题与逆否命题十分方便． 问题探究三 四种命题的相互关系与真假四种命题的相互关系图：原命题若p 则q 否命题若┐p 则┐q逆命题若q 则p逆否命题若┐q 则┐p互为逆否互逆否互为逆否互互逆否互一般地，四种命题的真假性，有且仅有下面四种情况：原命题 逆命题 否命题 逆否命题 真 真 真 真 真 假 假 真 假 真 真 假 假假假假四种命题的真假关系：__________和__________互为逆否命题；__________和__________互为逆否命题 互为逆否的两个命题真假__________：互逆或互否的两个命题真假__________．3．课堂总结【知识梳理】命题真假的判定：对于命题真假的判定，关键是分清命题的条件与结论，只有将条件与结论分清，再结合所涉及的知识才能正确地判断命题的真假．【重难点突破】掌握原命题和逆否命题，否命题和逆命题的等价性，当一个命题直接判断真假性不容易进行时，可以转而判断其逆否命题的真假．4．随堂检测1.命题“若a>b,则2a>2b-1”的逆否命题是________【知识点：四种命题】答案：若2a≤2b-1,则a≤b互换条件与结论,并进行否定,得其逆否命题“若2a≤2b-1,则a≤b”.2.给定下列命题：①“若k>0,则方程x2+2x-k=0有实数根”的逆否命题;②若f(x)=cos x,则f(x)为周期函数;③“若A=B,则sin A=sin B”的逆命题;④“若xy=0,则x,y中至少有一个为零”的否命题.其中真命题的序号是________.【知识点：四种命题】答案：①②④解析：对于①,因为Δ=4-4(-k)=4+4k>0,所以原命题为真.所以①是真命题.显然②是真命题.③的逆命题：“若sin A=sin B,则A=B”.是假命题.④的否命题：“若xy≠0,则x,y都不为零”.是真命题.3.“在△ABC中,若∠C=90°,则∠A,∠B全是锐角”的否命题为（）A.在△ABC中,若∠C≠90°,则∠A,∠B全不是锐角B.在△ABC中,若∠C≠90°,则∠A,∠B不全是锐角C.在△ABC中,若∠C≠90°,则∠A,∠B中必有一个钝角D.以上均不对【知识点：四种命题】答案：B解析：否命题条件与结论分别是原命题的条件与结论的否定,故选B.【误区警示】解答本题易出现选A 的错误,导致出现这种错误的原因是混淆了“全是”的否定是“不全是”,而非“全不是”.4.写出命题“若a,b 都是奇数,则a +b 是偶数”的逆命题,否命题及逆否命题,并判断它们的真假. 【知识点：命题真假的判断】解：逆命题：若a +b 是偶数,则a,b 都是奇数,是假命题; 否命题：若a,b 不都是奇数,则a +b 不是偶数,是假命题; 逆否命题：若a +b 不是偶数,则a,b 不都是奇数,是真命题. （三）课后作业 ★基础型自主突破1．已知a ，b ，c ∈R ，命题“若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2≥3”的否命题是( )A ．若a ＋b ＋c ≠3，则a 2+b 2+c 2<3 B ．若a ＋b ＋c ＝3，则a 2+b 2+c 2<3 C ．若a ＋b ＋c ≠3，则a 2+b 2+c 2³3 D ．若a 2+b 2+c 2³3，则a ＋b ＋c ＝3【知识点：四种命题】 答案：A.解析：由于一个命题的否命题既否定条件又否定结论，因此原命题的否命题为“若a ＋b ＋c ≠3，则a 2+b 2+c 2<3”．2．命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是（ ） A ．若α≠π4，则tan α≠1 B ．若α＝π4，则tan α≠1 C ．若tan α≠1，则α≠π4 D ．若tan α≠1，则α＝π4 【知识点：四种命题】 答案：C解析：命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠π4”．3．命题“若a >－3，则a >－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为________． 【知识点：命题真假的判断】 答案：2个解析：由a >－3⇒a >－6，但由a >－6 a >－3，故真命题为原命题及原命题的逆否命题． 4．对于命题“若数列{a n }是等比数列，则a n ≠0”，下列说法正确的是________．(填序号) ①它的逆命题是真命题；②它的否命题是真命题； ③它的逆否命题是假命题；④它的否命题是假命题． 【知识点：命题真假的判断】 答案：④5．命题“若m ＞1，则mx 2－2x ＋1＝0无实根”的等价命题是________________． 【知识点：四种命题】答案：若mx 2-2x +1=0有实根，则m ≤16．在命题“若数列{n a }是等比数列，则n a ≠0”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为________．【知识点：命题真假的判断】 答案：2个解析：原命题为真命题，故其逆否命题为真命题，它的逆命题与否命题均为假命题． 7．写出命题“已知集合A ，B ，若A ∪B ≠B ，则A 不是B 的子集．”的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假． 【知识点：命题真假的判断】答案：逆命题：已知集合A ，B ，若A 不是B 的子集，则A ∪B ≠B ，真命题； 否命题：已知集合A ，B ，若A ∪B ＝B ，则A ⊆B ，真命题． 逆否命题：已知集合A ，B ，若A ⊆B ，则A ∪B ＝B ，真命题． 8．将下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并判断真假． (1)等腰梯形的两条对角线相等； (2)平行四边形的两条对角线互相垂直．答案：(1)若一个梯形是等腰梯形，则它的两条对角线相等．真命题． (2)若一个四边形是平行四边形，则它的两条对角线互相垂直．假命题． 【知识点：命题真假的判断】 ★★能力型师生共研9．若命题p的逆命题是q，命题q的否命题是x，则x是p的（）A．逆命题B．否命题C．逆否命题D．以上判断都不正确【知识点：四种命题之间的关系】答案：C 根据四种命题的关系，结合具体的例子可知，命题p与命题x是互为逆否命题10．若a，b∈R，且220a b+≠，则下列命题：①a，b全为0；②a，b不全为0；③a，b全不为0；④a，b至少有一个不为0.其中真命题的个数为（）A．0B．1C．2D．3【知识点：四种命题的真假】答案：C解析：②④为真命题．11．命题“对于正数a，若a＞1，则lg a＞0”及其逆命题、否命题、逆否命题四种命题中真命题的个数为（）A．0B．1C．2D．4【知识点：四种命题的真假】解：D.原命题“对于正数a，若a＞1，则lg a＞0”是真命题；逆命题“对于正数a，若lg a＞0，则a＞1”是真命题；否命题”对于正数a，若a≤1，则lg a≤0”是真命题；逆否命题“对于正数a，若lg a≤0，则a≤1”是真命题．12．下列四个命题：①“若xy＝0，则x＝0且y＝0”的逆命题；②“正方形是矩形”的否命题；③若“ac2＞bc2，则a＞b”的逆命题；④若m＞2，则不等式x2－2x＋m＞0.其中真命题的个数为（）A．0B．1C．2D．3【知识点：四种命题的真假】答案：C 命题①的逆命题是“若x＝0且y＝0，则xy＝0”，为真命题；命题②的否命题是“若一个四边形不是正方形，则它不是矩形”，为假命题；命题③的逆命题是“若a＞b，则ac2＞bc2”，为假命题；命题④为真命题，当m＞2时，方程x2-2x+m=0的判别式Δ＜0，对应二次函数图象开口向上且与x轴无交点，所以函数值恒大于0.13．命题“若函数f(x)=loga x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数，则loga2<0”的逆否命题是__________________．【知识点：四种命题】答案：若log a2≥0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数．14．已知命题“若m－1＜x＜m＋1，则1＜x＜2”的逆命题为真命题，则m的取值范围是________．【知识点：四种命题之间的关系】答案：[1,2]解析：由已知得，若1＜x＜2成立，则m－1＜x＜m＋1也成立．∴1112mm≤⎧⎨≥⎩－＋∴1≤m≤2.15．给出下列语句：①空集是任何集合的真子集；②函数y＝ax＋1是指数函数吗？③一个数不是正数就是负数；④老师写的粉笔字真漂亮！⑤若x∈R，则x2＋4x＋5＞0；⑥作△ABC≌△A1B1C1.其中为命题的序号是________，为真命题的序号是________．【知识点：四种命题的真假】答案：①③⑤解析：①是命题，且是假命题，因为空集是任何非空集合的真子集；②该语句是疑问句，不是命题；③是命题，且是假命题，因为数0既不是正数，也不是负数；④该语句是感叹句，不是命题；⑤是命题，因为x2+4x+5=(x+2)2+1>0恒成立，所以是真命题；⑥该语句是祈使句，不是命题．16．给出以下命题：①“正多边形都相似”的逆命题；②“若m＞0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题．其中为真命题的是________．【知识点：四种命题的真假】 答案：②解析：①逆命题是“若两个多边形相似，则这两个多边形为正多边形”．假命题． ②∵Δ＝1＋4m ，若m ＞0，则Δ＞0， ∴x 2＋x －m ＝0有实根，即原命题为真命题． ∴逆否命题也为真命题． ★★★探究型多维突破 17．给出下列命题：①在△ABC 中，若∠A >∠B ，则sin A >sin B ； ②函数y ＝x 3在R 上既是奇函数又是增函数； ③函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝a 至多有一个交点；④若将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，则得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象．其中正确命题的序号是（ ） A ．①② B ．①②③ C ．①③④ D ．①②③④【知识点：命题的真假】 答案：B解析：①②③正确．18．命题“若a >0，则二元一次不等式x ＋ay －1≥0表示直线x ＋ay －1＝0的右上方区域(包含边界)”的条件p ：________，结论q ：_________.它是________命题(填“真”或“假”) 【知识点：命题 命题真假判断】答案：二元一次不等式x ＋ay －1≥0；表示直线x ＋ay －1＝0的右上方区域(包含边界)；真 19．命题“2230ax ax -->不成立”是真命题，则实数a 的取值范围是________． 【知识点：命题的真假；数学思想：转化与化归】 答案：[3,0]-解析：2230ax ax --≤恒成立，当0a =时，30-≤成立；当0a ≠时，24120a a a <⎧⎨∆=+≤⎩得30a -≤<；30a ∴-≤≤ 20．若方程x 2＋2px －q ＝0(p ，q 是实数)没有实数根，则p ＋q ＜14. (1)判断上述命题的真假，并说明理由．(2)试写出上述命题的逆命题，并判断真假，说明理由． 【知识点：命题的真假；数学思想：转化与化归】 解：(1)上述命题是真命题．由题意，得方程的判别式Δ＝4p 2＋4q ＜0，得q ＜－p 2，∴p ＋q ＜p －p 2＝－(p －12)2＋14≤14，∴p ＋q ＜14.(2)逆命题：如果p ，q 是实数，p ＋q ＜14，则方程x 2＋2px －q ＝0没有实数根．逆命题是假命题，如当p ＝1，q ＝－1时，p ＋q ＜14，但原方程有实数根x ＝－1. （四）自助餐1．下列语句中命题的个数为________． ①空集是任何非空集合的真子集． ②三角函数是周期函数吗？ ③若x ÎR .，则x 2＋4x ＋7>0. ④指数函数的图象真漂亮！【知识点：命题的判断；数学思想：逻辑推理】 答案：2个解析：①是命题；②是疑问句，故不是命题；③是命题；④是感叹句，所以不是命题． 2．在空间中，下列命题正确的是________．(填序号) ①平行直线的平行投影重合； ②平行于同一直线的两个平面平行； ③垂直于同一平面的两个平面平行； ④垂直于同一平面的两条直线平行．【知识点：命题真假的判断；数学思想：转化与化归】 解：④3．命题“若a ，b 都是奇数，则a +b 是偶数”的逆否命题是 ．解：若a+b不是偶数，则a，b不都是奇数4．有下列四个命题，其中真命题有________．(填序号)①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题．【知识点：命题真假的判断；数学思想：转化与化归】答案：①③解析：①的逆命题显然成立；②的否命题为“如果三角形不全等，则它们的面积不相等”，由三角形的面积公式可知②的否命题为假命题；③的逆命题中，因方程x2＋2x＋q＝0有实根，则Δ＝4－4q≥0，即q≤1，故③的逆命题为真命题；④的逆否命题与命题④同真假，④是假命题．5．命题“各位数字之和是3的倍数的正整数，可以被3整除”的逆否命题是________________；逆命题是____________；否命题是_______________．【知识点：四种命题；数学思想：逻辑推理】答案：不能被3整除的正整数，其各位数字之和不是3的倍数；能被3整除的正整数，它的各位数字之和是3的倍数；各位数字之和不是3的倍数的正整数，不能被3整除6．有下列四个命题：①“若xy＝1，则x、y互为倒数”的逆命题；②“相似三角形的周长相等”的否命题；③“若b≤－1，则方程x2-2bx+b2+b=0有实根”的逆否命题；④若“A∪B＝B，则A⊇B”的逆否命题．其中真命题有________．(填序号)【知识点：四种命题及其关系；数学思想：转化与化归】答案：①③7．给出下列命题：（1）命题“若b2﹣4ac＜0，则方程ax2+bx+c=0（a≠0）无实根”的否命题（2）命题“△ABC中，AB=BC=CA，那么△ABC为等边三角形”的逆命题（3）命题“若a＞b＞0，则＞＞0”的逆否命题（4）“若m＞1，则mx2﹣2（m+1）x+（m﹣3）＞0的解集为R”的逆命题其中真命题的序号为．【知识点：命题及其关系；数学思想：转化与化归】答案：（1）（2）（3）解析：命题“若b2﹣4ac＜0，则方程ax2+bx+c=0（a≠0）无实根”的否命题为“若b2﹣4ac≥0，则方程ax2+bx+c=0（a≠0）有实根”为真命题；命题“△ABC中，AB=BC=CA，那么△ABC为等边三角形”的逆命题为“若△ABC为等边三角形，那么AB=BC=CA”为真命题；命题“若a＞b＞0，则＞＞0”为真命题，故其逆否命题也为真；由于“mx2﹣2（m+1）x+（m﹣3）＞0的解集为R”⇔m＜﹣，故“若m＞1，则mx2﹣2（m+1）x+（m﹣3）＞0的解集为R”的逆命题为“若mx2﹣2（m+1）x+（m﹣3）＞0的解集为R，则m ＞1”为假命题8．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．(1)当m>14时，方程mx2-x+1=0无实根；(2)平行于同一平面的两条直线平行．【知识点：命题的形式，命题真假判断；数学思想：转化与化归】解：(1)命题可改写为：若m>14，则mx2－x＋1＝0无实根．因为当m>14时，Δ＝1－4m<0，所以是真命题．(2)命题可改写为：若两条直线平行于同一平面，则它们互相平行．因为平行于同一平面的两条直线可能平行、相交或异面，所以是假命题9．写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题．（1）若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形；（2）若在二次函数y=ax2+bx+c中，b2﹣4ac＜0，则该函数图象与x轴有公共点．【知识点：四种命题；数学思想：逻辑推理】解：（1）逆命题：若四边形是圆的内接四边形，则该四边形的对角互补；否命题：若四边形的对角不互补，则该四边形不是圆的内接四边形；逆否命题：若四边形不是圆的内接四边形，则该四边形的对角不互补．（2）逆命题：若二次函数y=axx2+bx+c的图象与x轴有公共点，则b2﹣4ac＜0；否命题：若在二次函数y=ax2+bx+c中，b2﹣4ac≥0，则该函数图象与x轴无公共点；逆否命题：若二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴无公共点，则b2﹣4ac≥0．10．命题：已知a、b为实数，若关于x的不等式x2+ax+b£0有非空解集，则a2-4b³0，写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假．【知识点：命题真假的判断；数学思想：逻辑推理】解：逆命题：已知a 、b 为实数，若a 2－4b ≥0，则关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0有非空解集． 否命题：已知a 、b 为实数，若关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0没有非空解集，则a 2－4b <0. 逆否命题：已知a 、b 为实数，若a 2－4b <0，则关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0没有非空解集． 原命题、逆命题、否命题、逆否命题均为真命题．11．设有两个命题：p ：x 2－2x ＋2≥m 的解集为R ；q ：函数f (x )=-(7-3m )x 是减函数，若这两个命题中有且只有一个是真命题，求实数m 的取值范围．【知识点：命题真假的判断；数学思想：转化与化归】解：若命题p 为真命题，则m ≤1；若命题q 为真命题，则7－3m >1，即m <2。

§1.1 命题及其关系（第一课时）教学目标：1.理解四种命题的概念，掌握命题形式的表示. 能写出一个简单的命题（原命题）的逆命题、否命题、逆否命题．2.培养学生简单推理的思维能力. 培养观察分析、抽象概括能力和逻辑思维能力．授课类型：新授课教具：多媒体、实物投影仪．教学重点：四种命题的概念．教学难点：由原命题写出另外三种命题．教学方法：读、议、讲、练结合教学．教学准备：自制PowerPoint课件．教学过程：一、引入思考：请判断下列语句的真假，能否看出这些语句的表达形式有什么特点？（1）若直线a∥b，则直线a和直线b无公共点；（2） 2 + 4 = 7；（3）垂直于同一条直线的两个平面平行；（4）若 x2 = 1 , 则 x = 1 ；（5）两个全等的三角形面积相等；（6）3能被2整除.分析得到命题的概念：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．强调判断命题的两个基本条件：①必须是一个陈述句；②可以判断真假．二、讲授新课1、例1 判断下列语句中哪些是命题？是真命题还是假命题？（1）空集是任何集合的子集；（2）若整数a是素数，则a是奇数；（3）指数函数是增函数吗？（4）若平面上两条直线不相交，则这两条直线平行；=-；（5）2（6）x > 15 ．分析加固对命题概念的理解习题：课本P４ 2活动：请同学们列出命题的例子，并判断不同组的命题例子是真命题还是假命题，用实物投影仪投影出同学举的命题的例子，一起判断哪些是真命题哪些是假命题？2、具体分析例1中的命题（2）（4）容易看出其具有“若p，则q”的形式．通常，我们把这种形式的命题中的p叫做命题的条件，q叫做命题的结论．(这种命题也可写成“如果p，那么q”“只要p，就有q”等形式，本章中我们只讨论这种“若p，则q”形式的命题)例2 指出下列命题的条件p和结论q：（1）若整数a能被2整除，则a是偶数；（2）若四边形是菱形，则它的对角线互相垂直且平分．会区分条件p和结论q数学中有一些命题虽然表面上不是“若p，则q”的形式,例如“垂直于同一条直线的两个平面平行”，但是把它的形式作适当改变，就可以写成“若p，则q”的形式：若两个平面垂直于同一条直线，则这两个平面平行．这样，它的条件和结论就很清楚了．例3 将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假：（1）面积相等的两个三角形全等；（2）负数的立方是负数；（3）对顶角相等．习题：Ｐ４３３、思考下列四个命题中，命题（１）与命题（２）（３）（４）的条件和结论之间分别有什么关系？（１）若f (x) 是正弦函数，则f (x) 是周期函数；（２）若f (x) 是周期函数，则f (x) 是正弦函数；（３）若f (x) 不是正弦函数，则f (x) 不是周期函数；（４）若f (x) 不是周期函数，则f (x) 不是正弦函数；分析（１）（２）的互逆命题的概念：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件分别是另一个命题的结论和条件，那么我们就把这样的两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆命题．即若将原命题表示为：若p,则q．则它的逆命题为：若q,则p，即交换原命题的条件和结论即得其逆命题．例：给出命题“同位角相等，两直线平行”写出其逆命题分析: 条件: 同位角相等; 结论：两直线平行．(原命题)条件: 两直线平行; 结论: 同位角相等．(逆命题)探究：如果原命题是真命题，那么它的逆命题一定是真命题吗？、分析（１）（３）的互否命题的概念：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互否命题．其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的的否命题．即若将原命题表示为：若p则q．则它的否命题为：若┐p则┐q，即同时否定原命题的条件和结论，即得其否命题.例：写出命题“同位角相等，两直线平行”的否命题分析: 条件: 同位角相等; 结论：两直线平行．(原命题)条件: 同位角不相等; 结论: 两直线不平行．(否命题) 例：写出命题“若整数a不能被２整除，则a是奇数”的否命题分析: 条件: 整数a不能被２整除结论：a是奇数．(原命题)条件: 整数a能被２整除结论：a不是奇数．（a是偶数．）(否命题) 探究：如果原命题是真命题，那么它的否命题一定是真命题吗？分析（１）（４）的互否命题的概念：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题．其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的的逆否命题．即若将原命题表示为：若p，则q．则它的逆否命题为：若┐q，则┐p，即交换原命题的条件和结论，并且同时否定，则得其逆否命题.例：写出命题“同位角相等，两直线平行”的逆否命题分析: 条件: 同位角相等; 结论：两直线平行．(原命题)条件: 两直线不平行; 结论: 同位角不相等．(逆否命题)归纳总结：强调“互为”的含义．三、练习：Ｐ７四、小结：１、命题的概念，如何判断命题？２、四种命题的概念及其形式，怎样写出一个简单的命题（原命题）的逆命题、否命题、逆否命题．五、作业课本P 9—10 2、３。

第一课时 1.1.1 命题及其关系（一）教学要求：了解命题的概念，会判断一个命题的真假，并会将一个命题改写成“若p，则q”的形式.教学重点：命题的改写.教学难点：命题概念的理解.教学过程：一、复习准备：阅读下列语句，你能判断它们的真假吗？（1）矩形的对角线相等；（2）312>；（3）312>吗？（4）8是24的约数；（5）两条直线相交，有且只有一个交点；（6）他是个高个子.二、讲授新课：1. 教学命题的概念：①命题：可以判断真假的陈述句叫做命题（proposition）. 也就是说，判断一个语句是不是命题关键是看它是否符合“是陈述句”和“可以判断真假”这两个条件.上述6个语句中，（1）（2）（4）（5）（6）是命题.②真命题：判断为真的语句叫做真命题（true proposition）；假命题：判断为假的语句叫做假命题（false proposition）.上述5个命题中，（2）是假命题，其它4个都是真命题.③例1：判断下列语句中哪些是命题？是真命题还是假命题？（1）空集是任何集合的子集；（2）若整数a是素数，则a是奇数；（3）2小于或等于2；（4）对数函数是增函数吗？（5）215x<；（6）平面内不相交的两条直线一定平行；（7）明天下雨.（学生自练→个别回答→教师点评）④探究：学生自我举出一些命题，并判断它们的真假.2. 将一个命题改写成“若p，则q”的形式：①例1中的（2）就是一个“若p，则q”的命题形式，我们把其中的p叫做命题的条件，q叫做命题的结论.②试将例1中的命题（6）改写成“若p，则q”的形式.1③例2：将下列命题改写成“若p，则q”的形式.（1）两条直线相交有且只有一个交点；（2）对顶角相等；（3）全等的两个三角形面积也相等.（学生自练→个别回答→教师点评）3. 小结：命题概念的理解，会判断一个命题的真假，并会将命题改写“若p，则q”的形式.三、巩固练习：1. 练习：教材 P4 1、2、32. 作业：教材P9 第1题第二课时 1.1.2 命题及其关系（二）教学要求：进一步理解命题的概念，了解命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.教学重点：四种命题的概念及相互关系.教学难点：四种命题的相互关系.教学过程：一、复习准备：指出下列命题中的条件与结论，并判断真假：（1）矩形的对角线互相垂直且平分；（2）函数232=-+有两个零点.y x x二、讲授新课：1. 教学四种命题的概念：原命题逆命题否命题逆否命题若p，则q若q，则p若⌝p，则⌝q若⌝q，则⌝p ①写出命题“菱形的对角线互相垂直”的逆命题、否命题及逆否命题，并判断它们的真假.（师生共析→学生说出答案→教师点评）②例1：写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假：（1）同位角相等，两直线平行；（2）正弦函数是周期函数；（3）线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.（学生自练→个别回答→教师点评）2. 教学四种命题的相互关系：①讨论：例1中命题（2）与它的逆命题、否命题、逆否命题间的关系.23 原命题若p 则q 否命题若┐p 则┐q 逆命题若q 则p 逆否命题若┐q 则┐p 互为逆否互逆否互为逆否互互逆否互②四种命题的相互关系图：③讨论：例1中三个命题的真假与它们的逆命题、否命题、逆否命题的真假间关系.④结论一：原命题与它的逆否命题同真假；结论二：两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系.⑤例2 若222p q +=，则2p q +≤.（利用结论一来证明）（教师引导→学生板书→教师点评）3. 小结：四种命题的概念及相互关系.三、巩固练习：1. 练习：写出下列命题的逆命题、否命题及逆否命题，并判断它们的真假.（1）函数232y x x =-+有两个零点；（2）若a b >，则a c b c +>+；（3）若220x y +=，则,x y 全为0；（4）全等三角形一定是相似三角形；（5）相切两圆的连心线经过切点.2. 作业：教材P9页 第2（2）题 P10页 第3（1）题第一课时 1.2.1充分条件与必要条件（一）教学要求：正确理解充分条件、必要条件及充要条件的概念.教学重点：理解充分条件和必要条件的概念. 教学难点：理解必要条件的概念.教学过程：一、复习准备：写出下列命题的逆命题、否命题及逆否命题，并判断它们的真假：（1）若0ab =，则0a =；（2）若0a >时，则函数y ax b =+的值随x 的值的增加而增加.二、讲授新课：1. 认识“⇒”与“”：①在上面两个命题中，命题（1）为假命题，命题（2）为真命题. 也就是说，4 命题（1）中由“0ab =”不能得到“0a =”，即0ab=0a =；而命题（2）中由“0a >”可以得到“函数y ax b =+的值随x 的值的增加而增加”，即0a >⇒函数y ax b =+的值随x 的值的增加而增加.②练习：教材P12 第1题2. 教学充分条件和必要条件：①若p q ⇒，则p 是q 的充分条件（sufficient condition ），q 是p 的必要条件（necessary condition ）.上述命题（2）中“0a >”是“函数y ax b =+的值随x 的值的增加而增加”的充分条件，而“函数y ax b =+的值随x 的值的增加而增加”则是“0a >”的必要条件.②例1：下列“若p ，则q ”形式的命题中，哪些命题中的p 是q 的充分条件？（1）若1x >，则33x -<-；（2）若1x =，则2320x x -+=；（3）若()3x f x =-，则()f x 为减函数；（4）若x 为无理数，则2x 为无理数.（5）若12//l l ，则12k k =.（学生自练→个别回答→教师点评）③练习：P12页 第2题④例2：下列“若p ，则q ”形式的命题中，哪些命题中的q 是p 的必要条件？（1）若0a =，则0ab =；（2）若两个三角形的面积相等，则这两个三角形全等；（3）若a b >，则ac bc >；（4）若x y =，则22x y =.（学生自练→个别回答→教师点评）⑤练习：P12页 第3题⑥例3：判断下列命题的真假：（1）“x 是6的倍数”是“x 是2的倍数”的充分条件；（2）“5x <”是“3x <”的必要条件.（学生自练→个别回答→学生点评）3. 小结：充分条件与必要条件的理解.三、巩固练习：作业：教材P14页 第1、2题5 第二课时 1.2.2充要条件教学要求：进一步理解充分条件、必要条件的概念，同时学习充要条件的概念. 教学重点：充要条件概念的理解.教学难点：理解必要条件的概念.教学过程：一、复习准备：指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件，q 是p 的什么条件？（1）:p a Q ∈，:q a R ∈；（2）:p a R ∈，:q a Q ∈；（3）:p 内错角相等，:q 两直线平行；（4）:p 两直线平行，:q 内错角相等.二、讲授新课：1. 教学充要条件：①一般地，如果既有p q ⇒，又有q p ⇒，就记作p q ⇔. 此时，我们说，p 是q 的充分必要条件，简称充要条件（sufficientand necessary condition ）. ②上述命题中（3）（4）命题都满足p q ⇔，也就是说p 是q 的充要条件，当然，也可以说q 是p 的充要条件.2. 教学典型例题：①例1：下列命题中，哪些p 是q 的充要条件？（1）:p 四边形的对角线相等，:q 四边形是平行四边形；（2）:p 0b =，:q 函数2()f x ax bx c =++是偶函数；（3）:p 0,0x y <<，:q 0xy >；（4）:p a b >，:q a c b c +>+.（学生自练→个别回答→教师点评）②练习教材P14 练习第1、2题③探究：请同学们自己举出一些p 是q 的充要条件的命题来.④例2：已知：O 的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d . 求证：d r =是直线l 与O 相切的充要条件.（教师引导→学生板书→教师点评）3. 小结：充要条件概念的理解.三、巩固练习：1. 从“⇒”、“”与“⇔”中选出适当的符号填空：（1）1x >- 1x >； （2）a b >11a b <； （3）2220a ab b -+= a b =； （4）A ⊆∅ A =∅.2. 判断下列命题的真假：6 （1）“a b >”是“22a b >”的充分条件；（2）“a b >”是“22a b >”的必要条件；（3）“a b >”是“22ac bc >”的充要条件；（4）“5a +是无理数”是“a 是无理数”的充分不必要条件；（5）“1x =”是“2230x x --=”的充分条件.3. 作业：教材P14页 习题第3、4题第一课时 1.3.1简单的逻辑联结词（一）教学要求：通过教学实例，了解逻辑联结词“且”、“或”的含义，使学生能正确地表述相关数学内容.教学重点：正确理解逻辑联结词“且”、“或”的含义，并能正确表述这“p q ∧”、“p q ∨”、这些新命题.教学难点：简洁、准确地表述新命题“p q ∧”、“p q ∨”.教学过程：一、复习准备：1. 讨论：下列三个命题间有什么关系？（1）菱形的对角线互相垂直；（2）菱形的对角线互相平分；（3）菱形的对角线互相垂直且平分.2. 发现：命题（3）是由命题（1）（2）使用联结词“且”联结得到的新命题.二、讲授新课：1. 教学命题p q ∧：①一般地，用联结词“且”把命题p 和命题q 联结起来，就得到一个新命题，记作p q ∧，读作“p 且q ”.②规定：当p ，q 都是真命题时，p q ∧是真命题；当p ，q 两个命题中有一个命题是假命题时，p q ∧是假命题.③例1：将下列命题用“且”联结成新命题，并判断它们的真假：（1）p ：正方形的四条边相等，q ：正方形的四个角相等；（2）p ：35是15的倍数，q ：35是7的倍数；（3）p ：三角形两条边的和大于第三边，q ：三角形两条边的差小于第三边. （学生自练→个别回答→教师点评）④例2：用逻辑联结词“且”改写下列命题，并判断它们的真假：（1）12是48与60的公约数；（2）1既是奇数，又是素数；（3）2和3都是素数.（学生自练→个别回答→学生点评）2. 教学命题p q ∨：7 ①一般地，用联结词“或”把命题p 和命题q 联结起来，就得到一个新命题，记作p q ∨，读作“p 或q ”.②规定：当p ，q 两个命题中有一个命题是真命题时，p q ∨是真命题；当p ，q 两个命题都是假命题时，p q ∨是假命题.例如：“22≤”、“27是7或9的倍数”等命题都是p q ∨的命题.③例3：判断下列命题的真假：（1）34>或34<；（2）方程2340x x --=的判别式大于或等于0；（3）10或15是5的倍数；（4）集合A 是A B ⋂的子集或是A B ⋃的子集；（5）周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等.（学生自练→个别回答→教师点评）3. 小结：“p q ∧”、“p q ∨”命题的概念及真假三、巩固练习：1. 练习：教材P20页 练习第1、2题2. 作业：教材P20页 习题第1、2题.第二课时 1.3.2简单的逻辑联结词（二）教学要求：通过教学实例，了解逻辑联结词“且”、“或”、“非”的含义，使学生能正确地表述相关数学内容.教学重点：正确理解逻辑联结词“且”、“或”、“非”的含义，并能正确表述这“p q ∧”、“p q ∨”、“p ⌝”这些新命题.教学难点：简洁、准确地表述新命题“p q ∧”、“p q ∨”、“p ⌝”.教学过程：一、复习准备：（1）命题“6是自然数且是偶数”是 的形式；（2）命题“3大于或等于2”是 的形式；（3）命题“正数或0的平方根是实数”是 的形式.2. 下列两个命题间有什么关系？（1）7是35的约数；（2）7不是35的约数.二、讲授新课：1. 教学命题p ⌝：①一般地，对一个命题p 全盘否定，就得到一个新命题，记作p ⌝，读作“非p ”或“p 的否定.②规定：若p 是真命题，则p ⌝必是假命题；若p 是假命题，则p ⌝必是真命题. ③例1：写出下列命题的否定，并判断它们的真假：（1）p：tan=是周期函数；y x（2）p：32<；（3）p：空集是集合A的子集；（4）p：若220+=，则,a b全为0；a b（5）p：若,a b都是偶数，则a b+是偶数.（学生自练→个别回答→学生点评）④练习教材P20页练习第3题⑤例2：分别指出由下列各组命题构成的“p q⌝”形式的复∨”、“p∧”、“p q合命题的真假：（1）p：9是质数，q：8是12的约数；（2）p：1{1,2}⊂；∈，q：{1}{1,2}（3）p：{0}∅=；∅⊂，q：{0}（4）p：平行线不相交.2. 小结：逻辑联结词的理解及“p q⌝”这些新命题的正确∨”、“p∧”、“p q表述和应用.三、巩固练习：1. 练习：判断下列命题的真假：（1）23≥.≤；（2）22≤；（3）782. 分别指出由下列命题构成的“p q⌝”形式的新命题的真∨”、“p∧”、“p q假：（1）p：π是无理数，q：π是实数；（2）p：23>，q：8715+≠；（3）p：李强是短跑运动员，q：李强是篮球运动员.3. 作业：教材P20页习题第1、2、3题第一章 1.4全称量词和存在量词及其否定教学要求：了解生活和数学中经常使用的两类量词的含义，并会判断此类命题的真假.教学重点：判断全称命题和特称命题的真假.教学难点：会判断全称命题和特称命题的真假.教学过程：一、复习准备：思考：下列语句是命题吗？⑴与⑶，⑵与⑷之间有什么关系？89 ⑴3x >；⑵21x +是整数；⑶对所有的x R ∈，3x >；⑷对任意一个x Z ∈，21x +是整数.（学生回答——教师点评——引入新课）二、讲授新课：1. 全称量词：短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词. 符号：∀全称命题：含有全称量词的命题. 符号：(),x M p x ∀∈例如：对任意的n Z ∈，21n +是奇数；所有的正方形都是矩形都是全称命题.2. 例1 判断下列全称命题的真假.⑴所有的素数都是奇数； ⑵2,11x M x ∀∈+≥；⑶对每一个无理数x ，2x 也是无理数；⑷每个指数函数都是单调函数. （教师分析——学生回答——教师点评）3. 思考：下列语句是命题吗？⑴与⑶，⑵与⑷之间有什么关系？⑴213x +=；⑵x 能被2 和3 整除；⑶存在一个0x R ∈，使0213x +=； ⑷至少有一个0x Z ∈，0x 能被2 和3 整除. （学生回答——教师点评——引入新课）4. 存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做全称量词. 符号：∃特称命题：含有存在量词的命题. 符号：()00,x M p x ∃∈例如：有的平行四边形是菱形；有一个素数不是奇数.5. 例2 判断下列全称命题的真假.⑴有一个实数0x ，使200230x x ++=； ⑵存在两个相交平面垂直于同一条直线；⑶有些整数只有两个正因数；⑷00,0x R x ∃∈≤；⑸有些数的平方小于0. （教师分析——学生回答——教师点评）6.思考：写出下列命题的否定：⑴所有的矩形都是平行四边形；⑵每一个素数都是奇数.7.全称命题P ：(),x M p x ∀∈，它的否定P ⌝：()00,x M p x ∃∈⌝；特称命题()00:,P x M P x ∃∈，它的否定():,P x M P x ⌝∀∈⌝.8.例3写出下列命题的否定.⑴所有能被3整除的整数都是奇数；⑵每一个四边形的四个顶点共圆； ⑶对任意x Z ∈，2x 的个位数字不等于3；⑷有一个素数含有三个正因数； ⑸有的三角形是等边三角形. （教师分析——学生回答——教师点评）三、巩固练习10 1. 练习：教材26P ，28P 的练习.2. 精讲精练第6练.3. 作业：29P 1，2第二章 2.1.1椭圆及其标准方程教学要求：从具体情境中抽象出椭圆的模型，掌握椭圆的定义，标准方程 教学重点：椭圆的定义和标准方程教学难点：椭圆标准方程的推导教学过程：一、新课导入：取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖画出的轨迹是一个圆.如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？（学生动手，观察结果）思考：移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？经过观察后思考：在移动笔尖的过程中，细绳的长度保持不变，即笔尖到两个定点的距离之和等于常数.二、讲授新课：1. 定义椭圆：把平面内与两个定点12,F F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.2.椭圆标准方程的推导：以经过椭圆两焦点12,F F 的直线为x 轴，线段12F F 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系xOy .设(,)M x y 是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为()20c c >，那么焦点12,F F 的坐标分别为(),0c -，(),0c ，又设M 与12,F F 的距离之和等于2a ，根据椭圆的定义，则有122MF MF a +=，用两点间的距离公式代入，画简后的222221x y a a c+=-，此时引入222b a c =-要讲清楚. 即椭圆的标准方程是()222210x y a b a b +=>>. 根据对称性，若焦点在y 轴上，则椭圆的标准方程是()222210x y a b b a+=>>.两个焦点坐标()()12,0,,0F c F c -. 通过椭圆的定义及推导，给学生强调两个基本的等式：122MF MF a +=和11 222b c a +=3. 例1 写出适合下列条件的椭圆的标准方程：⑴4,1a b ==，焦点在x 轴上；⑵4,15a c ==，焦点在y 轴上；⑶10,25a b c +==（教师引导——学生回答）例2 已知椭圆两个焦点的坐标分别是()()2,0,2,0-，并且经过点53,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，求它的标准方程.（教师分析——学生演板——教师点评） 三、巩固练习：1. 写出适合下列条件的椭圆的标准方程：⑴焦点在x 轴上，焦距等于4，并且经过点()3,26P -； ⑵焦点坐标分别为()()0,4,0,4-，5a =；⑶10,4a c a c +=-=. 2. 作业：40P 第2题.第二章2.1.2椭圆及其标准方程教学要求：掌握点的轨迹的求法，坐标法的基本思想和应用. 教学重点：求点的轨迹方程，坐标法的基本思想和应用. 教学难点：求点的轨迹方程，坐标法的基本思想和应用. 教学过程： 一、复习：1.椭圆的定义，椭圆的焦点坐标，焦距.2.关于椭圆的两个基本等式. 二、讲授新课：1. 例 1 设点,A B 的坐标分别为()()5,0,5,0-，.直线,AM BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是49-，求点M 的轨迹方程.求哪个点的轨迹，设哪个点的坐标，然后找出含有点相关等式. （教师引导——示范书写）2. 练习：1.点,A B 的坐标是()()1,0,1,0-，直线,AM BM 相交于点M ，且直线AM 的斜率与直线BM 的斜率的商是2，点M 的轨迹是什么？ （教师分析——学生演板——教师点评）2.求到定点()2,0A 与到定直线8x =的距离之比为22的动点的轨迹方程.12 （教师分析——学生演板——教师点评）3. 例2 在圆224x y +=上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足.当点P 在圆上运动时，线段PD 的中点M 的轨迹是什么？相关点法：寻求点M 的坐标,x y 与中间00,x y 的关系，然后消去00,x y ，得到点M 的轨迹方程.（教师引导——示范书写） 4. 练习： 1.47P 第7题.2.已知三角形ABC 的一边长为6，周长为16，求顶点A 的轨迹方程. 5.知识小结：①注意求哪个点的轨迹，设哪个点的坐标，然后找出含有点相关等式.②相关点法：寻求点M 的坐标,x y 与中间00,x y 的关系，然后消去00,x y ，得到点M 的轨迹方程. 三、作业： 40P 第4题 精讲精练第8练.第二章2.2椭圆的简单几何性质教学要求：根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形；根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质，画图. 教学重点：通过几何性质求椭圆方程并画图. 教学难点：通过几何性质求椭圆方程并画图. 教学过程： 一、复习：1.椭圆的定义，椭圆的焦点坐标，焦距.2.椭圆的标准方程. 二、讲授新课：1.范围——变量,x y 的取值范围，亦即曲线的取值范围：横坐标a x a -<<；纵坐标b x b -<<.方法：①观察图像法； ②代数方法.2.对称性——既是轴对称图形，关于x 轴对称，也关于y 轴对称；又是中心对称图形.方法：①观察图像法； ②定义法.3.顶点：椭圆的长轴122A A a =，椭圆的短轴122B B b =，椭圆与四个对称轴的交点叫做椭圆的顶点，13 ()()()()1212,0,,0,,0,,0A a A a B b B b --.4.离心率：刻画椭圆的扁平程度.把椭圆的焦点与长轴长的比ca称为离心率.记ce a=.可以理解为在椭圆的长轴长不变的前提下，两个焦点离开中心的程度.5.例题例4 求椭圆221625400x y +=的长轴和短轴的长，离心率，焦点和定点坐标. 提示：将一般方程化为标准方程. （学生回答——老师书写）练习：求椭圆22416x y +=和椭圆22981x y +=的长轴和短轴长，离心率，焦点坐标，定点坐标.（学生演板——教师点评）例5 点(),M x y 与定点()4,0F 的距离和它到直线25:4l x =的距离之比是常数45，求点M 的轨迹. （教师分析——示范书写） 三、课堂练习：①比较下列每组椭圆的形状，哪一个更圆，哪一个更扁？⑴22936x y +=与2211612x y += ⑵22936x y +=与221610x y +=（学生口答，并说明原因）②求适合下列条件的椭圆的标准方程. ⑴经过点()()22,0,0,5P Q -⑵长轴长是短轴长的3倍，且经过点()3,0P ⑶焦距是8，离心率等于0.8 （学生演板，教师点评） ③作业：47P 第4题.第一课时 2.2.1 双曲线及其标准方程教学要求：学生掌握双曲线的定义和标准方程，以及标准方程的推导． 教学重点：双曲线的定义和双曲线的标准方程．教学难点：在与椭圆的类比中获得双曲线的知识，从而培养学生分析、归纳、14 推理等能力． 教学过程： 一、新课导入： 1. 提问：椭圆的定义是什么？椭圆的标准方程是什么？(学生口答，教师板书)2. 在椭圆的标准方程22221x y a b+=中，,,a b c 有何关系，若5,3a b ==，则?c =写出符合条件的椭圆方程。

1.1.1 命题及其关系教学要求：了解命题的概念，会判断一个命题的真假，并会将一个命题改写成“若p，则q”的形式.教学重点：命题的改写.教学难点：命题概念的理解.教学过程：一、复习准备：阅读下列语句，你能判断它们的真假吗？（1）矩形的对角线相等；>；（2）312>吗？（3）312（4）8是24的约数；（5）两条直线相交，有且只有一个交点；（6）他是个高个子.二、讲授新课：1. 教学命题的概念：①命题：可以判断真假的陈述句叫做命题（proposition）. 也就是说，判断一个语句是不是命题关键是看它是否符合“是陈述句”和“可以判断真假”这两个条件.上述6个语句中，（1）（2）（4）（5）（6）是命题.②真命题：判断为真的语句叫做真命题（true proposition）；假命题：判断为假的语句叫做假命题（false proposition）.上述5个命题中，（2）是假命题，其它4个都是真命题.③例1：判断下列语句中哪些是命题？是真命题还是假命题？（1）空集是任何集合的子集；（2）若整数a是素数，则a是奇数；（3）2小于或等于2；（4）对数函数是增函数吗？x<；（5）215（6）平面内不相交的两条直线一定平行；（7）明天下雨.（学生自练→个别回答→教师点评）④探究：学生自我举出一些命题，并判断它们的真假.2. 将一个命题改写成“若p，则q”的形式：①例1中的（2）就是一个“若p，则q”的命题形式，我们把其中的p叫做命题的条件，q 叫做命题的结论.②试将例1中的命题（6）改写成“若p，则q”的形式.③例2：将下列命题改写成“若p，则q”的形式.（1）两条直线相交有且只有一个交点；（2）对顶角相等；（3）全等的两个三角形面积也相等.（学生自练→个别回答→教师点评）3. 小结：命题概念的理解，会判断一个命题的真假，并会将命题改写“若p，则q”的形式.三、巩固练习：1. 练习：教材P41、2、32. 作业：教材P9第1题原命题若p 则q 否命题若┐p 则┐q 逆命题若q 则p 逆否命题若┐q 则┐p 互为逆否互逆否互为逆否互互逆否互第二课时 1.1.2 命题及其关系（二）教学要求：进一步理解命题的概念，了解命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.教学重点：四种命题的概念及相互关系.教学难点：四种命题的相互关系.教学过程：一、复习准备：指出下列命题中的条件与结论，并判断真假：（1）矩形的对角线互相垂直且平分；（2）函数232y x x =-+有两个零点.二、讲授新课：1.（师生共析→学生说出答案→教师点评）②例1：写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假：（1）同位角相等，两直线平行；（2）正弦函数是周期函数；（3）线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.（学生自练→个别回答→教师点评）2. 教学四种命题的相互关系：①讨论：例1中命题（2）与它的逆命题、否命题、逆否命题间的关系.②四种命题的相互关系图：③讨论：例1中三个命题的真假与它们的逆命题、否命题、逆否命题的真假间关系. ④结论一：原命题与它的逆否命题同真假；结论二：两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系.⑤例2 若222p q +=，则2p q +≤.（利用结论一来证明）（教师引导→学生板书→教师点评）3. 小结：四种命题的概念及相互关系.三、巩固练习：1. 练习：写出下列命题的逆命题、否命题及逆否命题，并判断它们的真假.（1）函数232y x x =-+有两个零点；（2）若a b >，则a c b c +>+；（3）若220x y +=，则,x y 全为0；（4）全等三角形一定是相似三角形；（5）相切两圆的连心线经过切点.2. 作业：教材P9页 第2（2）题 P10页 第3（1）题。

第1课时命题[ 中心必知 ]1．预习教材，问题导入依据以下纲要，预习教材P2～ P4，回答以下问题．察看教材 P2“思虑”中的 6 个语句．(1)这 6 个语句都是陈说句吗？提示：是．(2)可否判断这 6 个语句的真假性？提示：能．2．概括总结，中心必记命题及有关观点定义：用语言、符号或式子表达的，能够判断真假的陈说句命题真命题：判断为真的语句分类假命题：判断为假的语句形式：“若 p，则 q”.此中 p叫做命题的条件，q叫做命题的结论[ 问题思虑 ](1)x>5“”是命题吗？提示：不是．(2)陈说句必定是命题吗？提示：不必定．(3)命题“当x＝ 2 时， x2－3x＋ 2＝ 0”的条件和结论各是什么？提示：条件： x＝2；结论： x2－3x＋ 2＝ 0．(4)“若 p 则 q”形式的命题必定是真命题吗？提示：不必定．(5)数学中的定义、公义、定理、推论是真命题吗？提示：是．[ 课前反省 ](1)命题的定义是：；(2)真、假命题的定义是：；(3)命题的条件和结论的定义是：．[思虑 ]一个语句是命题应具备哪两个因素？提示： (1)是陈说句； (2)能够判断真假．1．判断以下语句中，哪些是命题？( 链接教材 P2－例 1)1(1)函数 f(x)＝x在定义域上是减函数；(2)一个整数不是质数就是合数；(3)3x2－ 2x>1；(4)在平面上作一个半径为 4 的圆；(5)若 sin α＝ cos α，则α＝ 45°；(6)2100是一个大数；(7)垂直于同一个平面的两条直线必定平行吗？(8)若 x∈R，则 x2＋ 2>0.[试试解答 ](1) 是陈说句，且能判断真假，是命题．(2)是陈说句，且能判断真假，是命题．(3)当 x∈R时， 3x2－ 2x 与 1 的大小关系不确立，没法判断其真假，不是命题．(4)不是陈说句，不是命题．(5)是陈说句，且能判断真假，是命题．(6)是陈说句，可是“ 大数” 的标准不确立，所以没法判断其真假，不是命题．(7)不是陈说句，不是命题．(8)是陈说句，且能判断真假，是命题．(1)一个语句是命题应具备两个条件：一是陈说句；二是能够判断真假．一般来说，疑问句、祈使句、叹息句等都不是命题．(2)对于含有变量的语句，要注意依据变量的取值范围，看可否判断真假．若能，就是命题；若不可以，就不是命题．(3)还有一些语句，当前没法判断真假，但从事物的实质而论，这些语句是可鉴别真假的，特别是科学上的一些猜想等，这种语句也叫做命题．(4)数学中的定义、公义、定理和推论都是命题．1．以下语句中是命题的有________． (填序号 )①地球是太阳的一个行星．②甲型 H1N1 流感是如何流传的？③若 x，y 都是无理数，则x＋ y 是无理数．④若直线 l 不在平面α内，则直线l 与平面α平行．⑤60x＋ 9>4.⑥求证：3是无理数．分析：依据命题的观点进行判断．因为②是疑问句，所以②不是命题．因为⑤中自变量x的值不确立，所以没法判断其真假，故不是命题．因为⑥是祈使句，所以不是命题，故填①③④ .答案：①③④2．判断以下语句是不是命题，并说明原因．π(1) 3是有理数；(2)3x2≤ 5；(3)梯形是不是平面图形呢？(4)x2－x＋ 7>0.π解： (1)“3是有理数”是陈说句，而且它是假的，所以它是命题．(2)因为没法判断“ 3x2≤ 5”的真假，所以它不是命题．(3)“梯形是不是平面图形呢？”是疑问句，所以它不是命题．212272(4)因为 x － x＋ 7＝ x－2＋4 >0，所以“ x－ x＋ 7>0”是真的，故是命题．2．把以下命题改写成“若p，则 q”的形式，并指出条件与结论．(链接教材P3－例 2、例 3)(1)等边三角形的三个内角相等；(2)当 a>1 时，函数y＝a x是增函数；(3)菱形的对角线相互垂直．[试试解答 ] (1) 若一个三角形是等边三角形，则它的三个内角相等．此中条件p：一个三角形是等边三角形，结论q：它的三个内角相等．(2)若 a>1，则函数 y＝ a x是增函数．此中条件p： a>1，结论 q：函数 y＝ a x是增函数．(3)若四边形是菱形，则它的对角线相互垂直．此中条件p：四边形是菱形，结论q：四边形的对角线相互垂直．(1)对命题改写时，必定要找准命题的条件和结论，有些命题的形式比较简短，条件和结论不明显，写命题的条件和结论时需要合适加以增补，比如命题“ 对顶角相等”的条件应写成“ 若两个角是对顶角”，结论为“这两个角相等”．(2)在对命题改写时，要注意所表达的条件和结论的完好性，有些命题中，还要注意大前提的写法．比如，命题“在△ ABC 中，若 a>b，则 A>B”中，大前提“在△ ABC 中”是必不行少的．3．将以下命题改写为“若p，则 q”的形式．(1)当 a>b 时，有 ac2>bc2;(2)实数的平方是非负实数；(3)能被 6 整除的数既能被 3 整除也能被 2 整除；(4)已知 x， y 为正整数，当y＝ x＋ 1 时，必有y＝ 4， x＝ 3.22(2)若一个数是实数，则它的平方是非负实数．(3)若一个数能被 6 整除，则它既能被 3 整除也能被 2 整除．(4)已知 x， y 为正整数，若y＝ x＋ 1，则 y＝ 4，x＝ 3.3．判断以下各命题的真假，并说明原因．22(1)若 a >b，则a>b；3(2)在△ ABC 中，当 A>60 °时，必有sin A> 2 ；(3)两个向量相等，它们必定是共线向量；(4)直线 y ＝ x 与圆 (x － 1)2＋ (y ＋ 1)2＝1 相切．[试试解答 ] (1) 假命题．比如，当a ＝－ 3，b ＝1 时， a 2>b 2，但 a>b 不建立．1，不知足 sin A>3 (2)假命题．比如，当 A ＝ 150°时， A>60 °，但 sin A ＝ 22.(3) 真命题．当两个向量相等时，它们的模相等，方向同样，切合共线向量的定义，它们必定是共线向量．(4)假命题．圆心 (1，－ 1)到直线 y ＝ x 的距离为 d ＝ 2>1，所以直线与圆相离．(1)判断一个命题的真假时，第一要弄清命题的结构，即它的条件和结论分别是什么，把它写成 “若 p ，则 q ” 的形式，而后联系其余有关的知识，经过逻辑推理或列举反例来判断．(2)一个命题要么真，要么假，两者必居其一．当一个命题改写成式以后，判断这种命题真假的方法：若由 “p ”经过逻辑推理，得出“ 若 p ，则 q ” 的形“q ”，则可判断 “ 若 p ，则q ” 是真；判断 “ 若 p ，则 q ”是假，只要举一反例即可．4．以下命题中是真命题的是 ()A ．若 3∈ A ， 3∈B ，则 A ∩ B ＝{3} B ．若 x 2＋ x － 2＝0，则 x ＝ 1C ．若函数 f(x)＝ x 2 －x ，则 f(x)有最小值－ 14 D ．若 log 2x<1 ，则 x<2答案： C5．判断以下命题的真假，并说明原因．(1)正方形既是矩形又是菱形；(2)当 x ＝ 4 时， 2x ＋ 1<0 ；(3)若 x ＝ 3 或 x ＝ 7，则 (x －3)(x － 7)＝ 0；(4)一个等比数列的公比大于1 时，该数列必定为递加数列．解： (1)是真命题，由正方形的定义知，正方形既是矩形又是菱形．(2)是假命题， x ＝ 4 不知足 2x ＋ 1<0.(3)是真命题，由 x ＝ 3 或 x ＝ 7 能获得 (x － 3)(x － 7)＝ 0.(4)是假命题，因为当等比数列的首项 a 1<0 ，公比 q>1 时，该数列为递减数列．——————————————[讲堂概括·感悟提升 ]———————————————1．本节课的要点是命题的真假判断，难点是命题的构成形式和命题的真假判断．2．本节课要要点掌握的规律方法(1)将命题改写成“ 若p，则q”的形式，找准命题的条件和结论，见讲 2.(2)判断命题的真假性，见讲 3.3．本节课的易错点是将含有大前提的命题写成“若 p，则 q”的形式时，大前提应保持不变，且不写在条件 p 中．课时达标训练（一）[ 即时达标对点练]题组 1命题的观点1．以下语句中是命题的是()A．周期函数的和是周期函数吗？B．sin 0 °＝ 02C．求 x － 2x＋ 1>0 的解集分析：选 B A 选项是疑问句，C、 D 选项中的语句是祈使句，都不是命题．2．以下语句中：① {0} ∈N；② x2＋ y2＝ 0；③ x2>x；④ { x|x2＋ 1＝ 0} ．此中命题的个数是()A．0B．1C．2D．3分析：选 B①是命题，且是假命题；②、③不可以判断真假，不是命题；④不是陈说句，不是命题．题组 2命题的构成形式3．把命题“末位数字是 4 的整数必定能被 2 整除”改写成“若p，则 q”的形式为_______________________________________ ．答案：若一个整数的末位数字是4，则它必定能被 2 整除4．命题“若a>0，则二元一次不等式x＋ ay－1≥ 0 表示直线x＋ay－ 1＝ 0 的右上方区域( 包括界限 )”的条件 p：________，结论 q：________．它是 ________命题 (填“真”或“假”)．分析： a>0 时，设 a＝ 1，把 (0， 0)代入 x＋ y－ 1≥ 0 得－ 1≥0 不建立，∴ x＋ y－ 1≥ 0 表示直线的右上方地区，∴命题为真命题．答案： a>0二元一次不等式x＋ ay－ 1≥ 0 表示直线x＋ay－ 1＝ 0 的右上方地区 (包括边界) 真5．把以下命题改写成“若p，则 q”的形式，并判断真假，且指出p 和 q 分别指什么．(1)乘积为 1 的两个实数互为倒数；(2)奇函数的图象对于原点对称；(3)与同向来线平行的两个平面平行．解： (1)“若两个实数乘积为1，则这两个实数互为倒数”．它是真命题．p：两个实数乘积为1， q：两个实数互为倒数．(2)“若一个函数为奇函数；则它的图象对于原点对称”．它是真命题．p：一个函数为奇函数；q：函数的图象对于原点对称．(3)“若两个平面与同一条直线平行，则这两个平面平行”．它是假命题，这两个平面也可能订交．p：两个平面与同一条直线平行；q：两个平面平行．题组 3判断命题的真假6．以下命题是真命题的是()A．全部质数都是奇数B．若a> b，则 a>bC．对随意的x∈N，都有 x3>x2建立D．方程 x2＋ x＋1＝ 0 有实根分析：选 B 选项 A错，因为 2是偶数也是质数；选项 B 正确；选项 C 错，因为当 x ＝0 时 x3>x2不建立；选项 D 错，因为＝ 12－4＝－ 3<0 ，所以方程 x2＋ x＋ 1＝ 0 无实根．7．以下命题中真命题有()① mx2＋ 2x－ 1＝ 0 是一元二次方程；②抛物线y＝ ax2＋ 2x－ 1 与 x 轴起码有一个交点；③相互包括的两个会合相等；④空集是任何会合的真子集．A．1个 B．2 个 C．3 个 D．4 个分析：选 A ①中，当 m＝ 0 时，是一元一次方程；②中当＝4＋ 4a<0 时，抛物线与x轴无交点；③是正确的；④中空集不是自己的真子集．8．以下命题中真命题的个数为()①面积相等的三角形是全等三角形；②若 xy＝0，则 |x|＋ |y|＝ 0；③若 a>b，则 a＋c>b＋ c;④矩形的对角线相互垂直．A．1 B．2 C．3D． 4分析：选A①错；②中若x＝ 3，y＝ 0，则xy＝ 0，但 |x|＋ |y|≠ 0，故②错；③正确；④中矩形的对角线不必定相互垂直．9．以下命题：① y＝ x2＋ 3 为偶函数；② 0 不是自然数；③{ x∈N|0<x<12} 是无穷集；④假如a·b＝0，那么a＝ 0，或 b＝ 0.此中是真命题的是________(写出全部真命题的序号)．分析：①为真命题；②③④为假命题．答案：①[ 能力提高综合练]1．设a、b、c是随意非零平面向量，且相互不共线，则：① (a·b)c＝(c·a)b；② |a|－|b|<|a－b|; ③(b·c)a－(c·a)b 不与 c 垂直；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2，是真命题的有()A ．①②B．②③C．③④D．②④分析：选 D①错，数目积不知足联合律；②对，由向量减法的三角形法例可知有|a|－|b|<|a－ b|；③[( b·c)·a－(c·a)·b]·c＝(b·c)(a·c)－(c·a)( b·c)＝0.∴③错；④对．2．已知 a， b 为两条不一样的直线，α ，β 为两个不一样的平面，且a⊥ α，b⊥β，则以下命题中，假命题是()A ．若 a∥ b，则α∥ βB．若α⊥ β，则 a⊥ bC．若 a， b 订交，则α，β订交D．若α，β订交，则a，b 订交分析：选 D由已知a⊥ α，b⊥ β，若α，β订交，a，b有可能异面．23．给出命题“方程x ＋ ax＋ 1＝ 0 没有实数根” ，则使该命题为真命题的 a 的一个值可以是 ()A ． 4B ．2C．0D．－4分析：选C方程无实根时，应知足＝ a2－ 4<0.故a＝0 时合适条件．4．已知以下三个命题：①若一个球的半径减小到本来的1，则其体积减小到本来的1；28②若两组数据的均匀数相等，则它们的标准差也相等；③直线x＋ y＋ 1＝0 与圆x2＋ y2＝ 1相切．2此中真命题的序号为( A ．①②③B ．①②C．①③ D．②③)4 R 31 4 3 分析：选 C 对于命题①，设球的半径为R ，则 3π2 ＝8· 3π R ，故体积减小到原来的 1，命题正确；对于命题②，若两组数据的均匀数同样，则它们的标准差不必定同样，8比如数据： 1， 3， 5 和 3， 3，3 的均匀数同样，但标准差不一样，命题不正确；对于命题③，圆 x 2 ＋y 2＝ 1的圆心(0，0) 到直线x ＋ y ＋1＝ 0 的距离d ＝1＝2，等于圆的半径，所以直线222与圆相切，命题正确．5．以下语句中是命题的有________(写出序号)，此中是真命题的有________( 写出序号 )．①垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？②一个数不是正数就是负数；③大角所对的边大于小角所对的边；④△ ABC 中，若∠ A ＝∠ B ，则 sin A ＝ sin B ；⑤求证方程 x 2＋ x ＋ 1＝0 无实根．分析：①是疑问句， 没有对垂直于同一条直线的两条直线能否平行作出判断，不是命题；②是假命题， 0 既不是正数也不是负数；③是假命题，没有限制在同一个三角形内；④是真命题；⑤是祈使句，不是命题．答案： ②③④④6．若命题“ ax 2－ 2ax － 3>0 不建立”是真命题，则实数 a 的取值范围是 ________．分析： ∵ ax 2－ 2ax － 3>0 不建立，∴ ax 2－ 2ax －3≤ 0 恒建立．当 a ＝0 时，－ 3≤ 0 恒建立；a<0，当 a ≠0 时，则有＝ 4a 2＋ 12a ≤0，解得－ 3≤ a<0. 综上，－ 3≤ a ≤ 0.答案： [－ 3， 0]7．把以下命题改写成“若p ，则 q ”的形式，并判断命题的真假．(1)奇数不可以被 2 整除；(2)当 (a － 1)2 ＋(b － 1)2＝ 0 时， a ＝ b ＝ 1; (3)两个相像三角形是全等三角形；(4)在空间中，平行于同一个平面的两条直线平行．解： (1)若一个数是奇数，则它不可以被 2 整除，是真命题．(2)若 (a － 1)2 ＋(b － 1)2＝ 0，则 a ＝b ＝ 1，是真命题．(3)若两个三角形是相像三角形，则这两个三角形是全等三角形，是假命题．(4)在空间中，若两条直线平行于同一个平面，则这两条直线平行，是假命题．8．已知 A ： 5x － 1>a ， B ：x>1 ，请选择合适的实数 a ，使得利用 A ， B 结构的命题“若p ，则 q ”为真命题．解：若视 A 为 p ，B 为 q ，则命题 “若 p ，则 q ”为 “ 若 x>1＋ a，则 x>1”． 由命题为真 51＋ a命题可知 5 ≥ 1，解得 a ≥ 4；若视 B 为 p ， A 为 q ，则命题 “ 若 p ，则 q ” 为 “若 x>1，则1＋ a 1＋ a x> 5 ”． 由命题为真命题可知 5 ≤ 1，解得 a ≤4.故 a 取任一实数均可利用A ，B 结构出一个真命题，比方这里取a ＝1，则有真命题 “ 若 x>1 ，则 x>2”．5第 2 课时四种命题及四种命题间的相互关系[ 中心必知 ]1． 预习教材，问题导入 依据以下纲要，预习教材P 4～ P 8 的内容，回答以下问题．察看教材 P 4“思虑”中的 4 个命题：(1)这 4 个命题的条件和结论各是什么？提示： 命题 (1) 的条件： f(x)是正弦函数，结论： f(x)是周期函数；命题 (2)的条件： f(x)是周期函数，结论： f(x)是正弦函数；命题 (3) 的条件： f(x) 不是正弦函数，结论： f(x)不是周期函数；命题 (4)的条件： f(x)不是周期函数，结论：f(x)不是正弦函数．(2)命题 (1) 的条件和结论与命题 (2) 、 (3) 、 (4)的条件和结论之间有什么关系？ 提示： 命题 (1) 的条件和结论分别是命题(2) 的结论和条件；命题(1)的条件和结论分别是命题 (3) 的条件的否认和结论的否认；命题(1)的条件和结论分别是命题 (4)的结论的否认和条件的否认．(3)依据上述四种命题的观点，你能说出此中随意两个命题之间的相互关系吗？提示： 命题 (2)(3) 互为逆否命题；命题 (2)(4) 互为否命题；命题 (3)(4) 互为抗命题．2． 概括总结，中心必记(1)四种命题的观点①互抗命题： 一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，这样的两个命题叫做互抗命题，把此中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的抗命题．这②互否命题：一个命题的条件和结论恰巧是另一个命题的条件的否认和结论的否认，样的两个命题叫做互否命题，把此中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的否命题．③互为逆否命题：一个命题的条件和结论恰巧是另一个命题的结论的否认和条件的否定，这样的两个命题叫做互为逆否命题，把此中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆否命题．(2)四种命题结构(3)四种命题间的相互关系(4)四种命题的真假性一般地，四种命题的真假性，有且仅有下边四种状况：原命题抗命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真假假假假假因为抗命题和否命题也互为逆否命题，所以四种命题的真假性之间的关系以下：①两个命题互为逆否命题，它们有同样的真假性；②两个命题为互抗命题或互否命题，它们的真假性没有关系．[ 问题思虑 ](1)命题“若a≠ 0，则 ab≠ 0”的抗命题、否命题和逆否命题各是什么？提示：抗命题：若ab≠ 0，则 a≠0；否命题：若a＝ 0，则 ab＝ 0；逆否命题：若ab＝ 0，则 a＝ 0．(2)在四种命题中，原命题是固定的吗？提示：不是．原命题是指定的，是相对于其余三种命题而言的，能够把任何一个命题看作原命题，从而研究它的其余命题形式．(3)假如一个命题的抗命题为真命题，这个命题的否命题必定为真命题吗？提示：必定为真命题，因为一个命题的抗命题和否命题互为逆否命题，所以它们的真假性同样．(4)在四种命题中，真命题的个数可能会有几种状况？提示：因为原命题与逆否命题，抗命题和否命题互为逆否命题，它们同真同假，所以真命题的个数可能为 0， 2， 4．[ 课前反省 ](1)四种命题的观点是：；(2)四种命题的条件和结论之间有什么关系？；(3)四种命题的真假性有什么关系？．1．写出以下命题的抗命题、否命题与逆否命题：(1)若 x>－ 2，则 x＋ 3>0;(2)两条对角线相等的四边形是矩形．[试试解答 ] (1) 抗命题：若x＋3>0 ，则 x>－ 2；否命题：若x≤ －2，则 x＋3≤ 0；逆否命题：若x＋3≤ 0，则 x≤ － 2.(2)原命题可写为：若一个四边形的两条对角线相等，则这个四边形是矩形．抗命题：若一个四边形是矩形，则其两条对角线相等；否命题：若一个四边形的两条对角线不相等，则这个四边形不是矩形；逆否命题：若一个四边形不是矩形，则其两条对角线不相等．写出一个命题的其余三种命题的步骤(1)剖析命题的条件和结论；(2)将命题写成“若 p，则 q”的形式；(3)依据抗命题、否命题、逆否命题各自的结构形式写出这三种命题．[注意 ]假如原命题含有大前提，在写出原命题的抗命题、否命题、逆否命题时，一定注意各命题中的大前提不变．1．分别写出以下命题的抗命题、否命题、逆否命题：(1)正数的平方根不等于 0；(2)若 x2＋ y2＝ 0(x， y∈R)，则 x， y 全为 0.解： (1)抗命题：若一个数的平方根不等于0，则这个数是正数；否命题：若一个数不是正数，则这个数的平方根等于0；逆否命题：若一个数的平方根等于0，则这个数不是正数．(2)抗命题：若x， y 全为 0，则 x2＋ y2＝ 0(x， y∈R )；否命题：若x2＋ y2≠ 0(x， y∈R)，则 x，y 不全为 0；逆否命题：若x，y 不全为 0，则 x2＋ y2≠ 0(x， y∈R )．[思虑 1]若原命题为真，则它的抗命题、否命题的真假性是如何的？名师指津：因为原命题的真假性与它的抗命题、否命题的真假性之间没有关系，所以无法判断它的抗命题、否命题的真假性．[思虑 2]若原命题为真，它的逆否命题的真假性如何？名师指津：原命题和它的逆否命题拥有同样的真假性．2．写出以下命题的抗命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假．(1)在△ ABC 中，若 a>b，则 A>B；(2)相等的两个角的正弦值相等；(3)若 x2－ 2x－ 3＝0，则 x＝ 3;(4)若 x∈ A，则 x∈ A∩ B.[试试解答 ] (1) 抗命题：在△ ABC 中，若 A>B，则 a>b.真命题；否命题：在△ ABC 中，若 a≤ b，则 A≤ B，真命题；逆否命题：在△ABC 中，若 A≤ B，则 a≤ b.真命题．(2)抗命题：若两个角的正弦值相等，则这两个角相等．假命题；否命题：若两个角不相等，则这两个角的正弦值也不相等．假命题；逆否命题：若两个角的正弦值不相等，则这两个角不相等．真命题．(3)抗命题：若x＝ 3，则 x2－ 2x－ 3＝ 0.真命题；否命题：若x2－ 2x－ 3≠ 0，则 x≠ 3.真命题；逆否命题：若x≠3，则 x2－ 2x－3≠ 0.假命题．(4)抗命题：若x∈ A∩B，则 x∈ A.真命题；否命题：若x?A，则 x?A∩ B.真命题；逆否命题：若x?A∩ B，则 x?A.假命题．判断一个命题的真假，能够有两种方法：一是分清原命题的条件和结论，直接对原命题的真假进行判断；二是不直接写出命题，而是依据命题之间的关系进行判断，即原命题和逆否命题同真同假，抗命题和否命题同真同假，特别是当命题自己不易判断真假时，往常都经过判断其逆否命题的真假来实现．2．有以下四个命题：(1)“若 x＋ y＝0，则 x，y 互为相反数”的否命题；(2)“若 x>y，则 x2>y2”的逆否命题；(3)“若 x≤ 3，则 x2－ x－ 6>0 ”的否命题；(4)“对顶角相等”的抗命题．此中真命题的个数是()A ． 0B ．1C． 2 D ． 3分析：选为相反数，则B (1) 原命题的否命题与其抗命题有同样的真假性，其抗命题为“ 若x，y互x＋ y＝0”，为真命题； (2)原命题与其逆否命题拥有同样的真假性，而原命题为假命题 (如 x＝0，y＝－ 1)，故其逆否命题为假命题；(3) 该命题的否命题为“若 x>3，则 x2－x－ 6≤ 0”，很明显为假命题； (4)该命题的抗命题是“ 相等的角是对顶角”，明显是假命题．3．在命题“若 a>－ 3，则 a>－6”的抗命题、否命题、逆否命题中假命题个数是________．分析：简单判断，命题“若 a>－ 3，则 a>－6”为真命题，而逆否命题与原命题同真假，从而它的逆否命题也是真命题；它的否命题为“ 若a≤－ 3，则a≤－ 6”，是假命题，而否命题与抗命题同真假，则它的抗命题也是假命题．答案： 2[思虑 ]我们学习了四种命题的关系，那么在直接证明某一个命题为真命题有困难时，该怎么办？名师指津：能够经过证明它的逆否命题为真命题来解决．3．(1) 判断命题“已知a，x 为实数，若对于x 的不等式x2＋ (2a＋1)x＋ a2＋ 2≤ 0 的解集不是空集，则a≥ 1”的逆否命题的真假．(2)( 链接教材P8－例 4)证明：已知函数f(x)是 (－∞，＋∞ )上的增函数， a、b∈R，若 f( a)＋f(b)≥ f(－ a)＋ f(－b)，则 a＋ b≥0.[试试解答 ](1) 法一：原命题的逆否命题：“已知 a，x 为实数，若 a<1 ，则对于 x 的不等式 x2＋ (2a＋1)x＋a2＋ 2≤ 0 的解集为空集．”真假判断以下：22因为抛物线y＝ x ＋ (2a＋1)x＋ a ＋ 2 张口向上，若 a<1，则 4a－7<0.即抛物线 y＝ x2＋ (2a＋ 1)x＋ a2＋ 2 与 x 轴无交点．22所以对于 x 的不等式x ＋ (2a＋ 1)x＋ a ＋ 2≤ 0 的解集为空集．法二：先判断原命题的真假．因为 a， x 为实数，且对于 x 的不等式 x2＋ (2a＋ 1)x＋ a2＋ 2≤0 的解集不是空集，所以＝ (2a＋1) 2－4(a2＋ 2)≥0，即 4a－ 7≥ 0，所以 a≥ 1.所以原命题建立．又因为原命题与其逆否命题等价，所以逆否命题为真．(2) 原命题的逆否命题为“ 已知函数 f( x)是 (－∞，＋∞ )上的增函数， a， b∈R，若 a＋ b<0，则 f(a)＋ f(b)< f(－ a)＋ f(－ b)．”∵当 a＋ b<0 时， a<－ b， b<－ a，又∵ f(x)在 (－∞，＋∞ )上是增函数，∴f(a)< f(－ b)， f(b)<f(－ a)．∴f(a)＋ f(b)<f( －a)＋ f(－ b)，即逆否命题为真命题．∴原命题为真命题．因为原命题和它的逆否命题有同样的真假性，即互为逆否命题的命题拥有等价性，所以我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，能够经过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题．4．证明：若m2＋ n2＝ 2，则 m＋ n≤ 2.证明：将“若 m2＋ n2＝2，则 m＋ n≤ 2”视为原命题，则它的逆否命题为“若m＋n>2，则 m2＋ n2≠ 2”．221212因为 m＋ n>2，则 m ＋ n ≥2(m＋ n) >2× 2 ＝ 2，故原命题的逆否命题为真命题，从而原命题也为真命题．——————————————[讲堂概括·感悟提升 ]———————————————1．本节课的要点是四种命题的观点以及四种命题间的关系，难点是等价命题的应用．2．本节课要要点掌握的规律方法(1)写出原命题的抗命题、否命题和逆否命题，并会判断真假，见讲1和讲 2.(2)用原命题和逆否命题的等价性解决有关问题，见讲 3.3．每一个命题都由条件和结论构成，要分清条件和结论．4．判断命题的真假能够依据互为逆否的命题真假性同样来判断，这也是反证法的理论基础．课时达标训练（二）[ 即时达标对点练]题组 1四种命题的观点1．命题“若a?A，则 b∈ B”的否命题是()A ．若 a?A，则 b?B C．若 b∈ B，则 a?A B．若 a∈A，则 b?B D ．若 b?B，则 a?A分析：选 B命题“ 若p，则q”的否命题是“ 若綈p，则綈q”，“ ∈ ”与“ ?”互为否定形式．2．命题“若x>1，则 x>0”的抗命题是 __________ ，逆否命题是__________．答案：若 x>0，则 x>1若x≤ 0，则x≤ 13．以下命题中：①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形；②正方形的四条边相等；③若一个四边形的四条边相等，则它是正方形．此中互为抗命题的有________；互为否命题的有________；互为逆否命题的有________(填序号 )．答案：②和③①和③①和②题组 2四种命题的真假判断4．以下命题中为真命题的是()A ．命题“若x>y，则 x>|y|”的抗命题2C．命题“若x＝ 1，则 x2＋x－ 2＝ 0”的否命题2D．命题“若x >1 ，则 x>1”的逆否命题分析：选 A对A，即判断：“ 若x>|y|，则x>y” 的真假，明显是真命题．5．命题“若m＝ 10，则 m2＝ 100”与其抗命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题是()A ．原命题、否命题B ．原命题、抗命题C．原命题、逆否命题 D ．抗命题、否命题分析：选 C因为原命题是真命题，所以逆否命题也是真命题．6．命题“若x≠1，则 x2－ 1≠ 0”的真假性为________．分析：可转变为判断命题的逆否命题的真假，因为原命题的逆否命题是：“ 若x2－1＝0，则 x＝ 1”，因为 x2－ 1＝ 0， x＝±1，所以该命题是假命题，所以原命题是假命题．答案：假命题题组 3 等价命题的应用27．判断命题“若m>0，则方程 x ＋ 2x－ 3m＝ 0 有实数根”的逆否命题的真假．∴方程 x2＋2x－ 3m＝ 0 的鉴别式＝12m＋4>0.22又原命题与它的逆否命题等价，所以“若 m>0，则方程 x ＋ 2x－3m＝ 0 有实数根”的逆否命题也为真．8．证明：若a2－ 4b2－2a＋ 1≠ 0，则 a≠2b＋ 1.证明：“ 若 a2－4b2－ 2a＋ 1≠ 0，则 a≠ 2b＋ 1”的逆否命题为：“若 a＝ 2b＋ 1，则 a2－ 4b2－2a＋ 1＝ 0”，当 a＝ 2b＋ 1 时， a2－ 4b2－2a＋ 1＝ (2b＋1) 2－4b2－2(2b＋ 1)＋ 1＝4b2＋ 4b＋ 1－4b2－ 4b－2＋ 1＝ 0，故该命题的逆否命题为真命题，从而原命题也是真命题．[ 能力提高综合练]1．若命题p 的否命题为q，命题 p 的逆否命题为r ，则 q 与 r 的关系是 ()A ．互抗命题B．互否命题C．互为逆否命题D．以上都不正确分析：选 A设p为“ 若A，则B”，那么q为“ 若，则”，r为“ 若，则”．故q 与 r 为互抗命题．2．以下四个命题：①“若xy＝ 0，则 x＝0，且 y＝ 0”的逆否命题；②“正方形是矩形”的否命题；③“若ac2>bc2，则 a>b”的抗命题；④若m>2 ，则不等式x2－ 2x＋m>0.此中真命题的个数为 ()A ． 0B． 1C． 2D． 3分析：选 B命题①的逆否命题是“若x≠0，或y≠ 0，则xy≠0”，为假命题；命题②的否命题是“ 若一个四边形不是正方形，则它不是矩形”，为假命题；命题③的抗命题是“ 若a>b，则 ac2 >bc2”，为假命题；命题④为真命题，当 m>2 时，方程 x2－2x＋ m＝ 0 的鉴别式<0，对应二次函数图象张口向上且与x 轴无交点，所以函数值恒大于0.3．有以下四个命题：①“若 x＋ y＝ 0，则 x、 y 互为相反数”的抗命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若 q≤ 1，则 x2＋2x＋ q＝ 0 有实根”的抗命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题．此中真命题的序号为()A ．①②B．②③C．①③ D ．③④分析：选 C 命题①：“ 若 x， y 互为相反数，则 x＋ y＝ 0”是真命题；命题②：可考虑其抗命题“面积相等的三角形是全等三角形”是假命题，所以命题②是假命题；命题③：“ 若x2＋ 2x＋ q＝ 0 有实根，则q≤ 1”是真命题；命题④是假命题．4．已知原命题“两个无理数的积还是无理数”，则：①抗命题是“乘积为无理数的两数都是无理数”；②否命题是“两个不都是无理数的积也不是无理数”；③逆否命题是“乘积不是无理数的两个数都不是无理数”此中全部正确表达的序号是________．分析：原命题的抗命题、否命题表达正确．逆否命题应为都是无理数”．答案：①②．“ 乘积不是无理数的两个数不5．已知： A 表示点， a， b， c 表示直线，α，β表示平面，给出以下命题：① a⊥α， b?α，若 b∥ α，则 b⊥ a;② a⊥α，若 a⊥ β，则α∥ β；③a? α， b∩ α＝ A， c 为 b 在α上的射影，若 a⊥ c，则 a⊥ b；④ a⊥α，若 b∥ α，c∥ a，则 a⊥ b， c⊥ b.此中抗命题为真的是________．分析：④的抗命题：“ a⊥ α，若 a⊥ b，c⊥ b，则 b∥ α， c∥ a”，而 b，c 能够在α内，故不正确．答案：①②③6．已知命题“若m－1<x<m＋ 1，则 1< x<2”的抗命题为真命题，则m 的取值范围是________．。

1.1.1 命题学习目标：1.了解命题的概念．(难点)2.理解命题的构成形式，能将命题改写为“若p ，则q ”的形式．(重点)3.能判断一些简单命题的真假．(难点，易错点)[自 主 预 习·探 新 知]1．命题的定义与分类(1)命题的定义：在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．(2)命题定义中的两个要点：“可以判断真假”和“陈述句”．我们学习过的定理、推论都是命题．(3)分类命题⎩⎪⎨⎪⎧真命题：判断为真的语句假命题：判断为假的语句思考1：(1)“x －1＝0”是命题吗？(2)“命题一定是陈述句，但陈述句不一定是命题”这个说法正确吗？ [提示] (1)“x －1＝0”不是命题，因为它不能判断真假．(2)正确．根据命题的定义，命题一定是陈述句，但陈述句中只有能够判断真假的才是命题．2．命题的结构(1)命题的一般形式为“若p ，则q ”．其中p 叫做命题的条件，q 叫做命题的结论． (2)确定命题的条件和结论时，常把命题改写成“若p ，则q ”的形式． 思考2：命题“实数的平方是非负数”的条件与结论分别是什么？ [提示] 条件是“一个数是实数”，结论是：“它的平方是非负数”．[基础自测]1．思考辨析(1)一个命题不是真命题就是假命题． ( ) (2)一个命题可以是感叹句． ( ) (3)x >5是命题．( )[解析] 根据命题的定义知(1)正确，(2)、(3)错误． [答案] (1)√ (2)× (3)× 2．下列语句是命题的是( ) ①三角形内角和等于180°；②2>3； ③一个数不是正数就是负数；④x >2； ⑤2018央视狗年春晚真精彩啊！ A ．①②③B ．①③④C．①②⑤ D．②③⑤A[①、②、③是陈述句，且能判断真假，因此是命题，④不能判断真假，⑤是感叹句，故④、⑤不是命题．]3．下列命题中，真命题共有( )【导学号：97792000】①面积相等的三角形是全等三角形；②若xy＝0，则|x|＋|y|＝0；③若a>b，则a＋c>b＋c；④矩形的对角线互相垂直．A．1个B．2个C．3个D．4个A[①、②、④是假命题，③是真命题．][合作探究·攻重难]A．x2－1＝0 B．2＋3＝8C．你会说英语吗？D．这是一棵大树(2)下列语句为命题的有________．①x∈R，x>2；②梯形是不是平面图形呢？③22 018是一个很大的数；④4是集合{2,3,4}中的元素；⑤作△ABC≌△A′B′C′.[解析](1)A中x不确定，x2－1＝0的真假无法判断；B中2＋3＝8是命题，且是假命题；C不是陈述句，故不是命题；D中“大”的标准不确定，无法判断真假．(2)①中x有范围，可以判断真假，因此是命题；②是疑问句，不是命题；③是陈述句，但“大”的标准不确定，无法判断真假，因此不是命题；④是陈述句且能判断真假，因此是命题；⑤是祈使句，不是命题．[答案](1)B (2)①④感叹句等都不是命题对于含变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断其真假，若能，就是命题；若1．判断下列语句是不是命题，并说明理由．(1)函数f(x)＝3x(x∈R)是指数函数；(2)x2－3x＋2＝0；(3)若x∈R，则x2＋4x＋7>0.(4)垂直于同一条直线的两条直线一定平行吗？(5)一个数不是奇数就是偶数；(6)2030年6月1日上海会下雨．[解](1)是命题，满足指数函数的定义，为真命题．(2)不是命题，不能判断真假．(3)是命题．当x∈R时，x2＋4x＋7＝(x＋2)2＋3>0能判断真假．(4)疑问句，不是命题．(5)是命题，能判断真假．(6)不是命题，不能判断真假．改为“若p则q”的形式，则p是________，q是________.【导学号：97792001】(2)把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．①函数y＝lg x是单调函数；②已知x，y为正整数，当y＝x＋1时，y＝3，x＝2；③当abc＝0时，a＝0且b＝0且c＝0.[思路探究] 解决此类题目的关键是找到命题的条件和结论，然后用适当的形式改写成“若p，则q的形式”．[解析](1)命题的条件是“弦的垂直平分线”，结论是“经过圆心并且平分弦所对的弧”．因此p是“一条直线是弦的垂直平分线”，q是“这条直线经过圆心并且平分弦所对的弧”．[答案]一条直线是弦的垂直平分线这条直线经过圆心且平分弦所对的弧．(2)①若函数是对数函数y＝lg x，则这个函数是单调函数．②已知x，y为正整数，若y＝x＋1，则y＝3，x＝2.③若abc＝0，则a＝0且b＝0且c＝0.2．把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式． (1)当1a >1b时，a <b ；(2)垂直于同一条直线的两个平面互相平行； (3)同弧所对的圆周角不相等． [解] (1)若1a >1b，则a <b ；(2)若两个平面垂直于同一条直线，则这两个平面平行； (3)若两个角为同弧所对的圆周角，则它们不相等．1．如何判断一个命题是真命题？提示：根据命题的条件，利用定义、定理、性质论证命题的正确性． 2．如何判断一个命题是假命题？ 提示：举出一个反例即可．给定下列命题： ①若a >b ，则2a >2b；②命题“若a ，b 是无理数，则a ＋b 是无理数”是真命题； ③直线x ＝π2是函数y ＝sin x 的一条对称轴；④在△ABC 中，若AB →·BC →>0，则△ABC 是钝角三角形． 其中为真命题的是________．[思路探究] 命题――――――――→严格的逻辑推理真命题―――――→恰当的反例假命题 [解析] 对于①，根据函数f (x )＝2x的单调性知①为真命题．对于②，若a ＝1＋3，b ＝1－3，则a ＋b ＝2不是无理数，因此②是假命题． 对于③，函数y ＝sin x 的对称轴方程为x ＝π2＋k π，k ∈Z ，故③为真命题．对于④，因为AB →·BC →＝|AB →||BC →|cos(π－B )＝－|AB →||BC →|cos B >0，故得cos B <0，从而得B 为钝角，所以④为真命题．[答案] ①③④1．下列语句不是命题的个数为( )①2<1；②x <1；③若x <1，则x <2；④函数f (x )＝x 2是R 上的偶函数． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3B [语句①、③、④都能判断真假，是命题，语句②不能判断真假，不是命题．] 2．命题“平行四边形的对角线既互相平分，也互相垂直”的结论是( ) A ．这个四边形的对角线互相平分 B ．这个四边形的对角线互相垂直C ．这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直D ．这个四边形是平行四边形C [把命题改写成“若p ，则q ”的形式后可知C 正确．故选C.] 3．下列命题是真命题的为( )【导学号：97792002】A ．若a >b ，则1a <1bB ．若b 2＝ac ，则a ，b ，c 成等比数列 C ．若|x |<y ，则x 2<y 2D ．若a ＝b ，则a ＝bC [对于A ，若a ＝1，b ＝－2，则1a >1b，故A 是假命题．对于B ，当a ＝b ＝0时，满足b 2＝ac ，但a ，b ，c 不是等比数列，故B 是假命题． 对于C ，因为y >|x |≥0，则x 2<y 2是真命题．对于D ，当a ＝b ＝－2时，a 与b 没有意义，故D 是假命题．]4．命题“关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0有两个不等实数解”为真命题，则实数a 的取值范围为________．(－∞，0)∪(0,1) [由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0Δ＝4－4a >0，解得a <1，且a ≠0.]5．把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并判断其真假． (1)末位数字是0的整数能被5整除； (2)偶函数的图象关于y 轴对称； (3)菱形的对角线互相垂直.【导学号：97792003】[解] (1)若一个整数的末位数字是0，则这个整数能被5整除，为真命题． (2)若一个函数是偶函数，则这个函数的图象关于y 轴对称，为真命题． (3)若一个四边形是菱形，则它的对角线互相垂直，为真命题．。