8第七章 不可压缩流动的数值方法初步

t u x v y
1. 如果采用FTCS格式
1 2 Re
(7.2.4)
in, 1 in, j j
t
u
n i, j
in1, j in1, j
2 x
v
n i, j
in, j 1 in, j 1
2 y
n n n n n n 1 i 1, j 2i , j i 1, j i , j 1 2i , j i , j 1 2 Re ( x ) ( y ) 2
y
y0,M y y0,0
uin dy const
wall (vx u y ) wall
在j 0的固壁上， wall u y 离散形式 i ,0
wall
yy
wall
i ,1 2 i ,0 i ,1
y 2
其中，虚拟网格点(i, 1)处的 i ,1是未知的 i ,0 0 利用 i ,1 i ,1 ui ,0 2y 0
The Elements of Computational Fluid Dynamics
第七章 不可压缩流动的数值方法
§7.1 基本方程
§7.2 涡量-流函数方法
§7.3 SIMPLE方法
§7.1 基本方程
单一介质不可压缩流动的控制方程 v 0 v t (vv) f p v 运动黏性系数，p代表p / 。 无量纲化形式 u 0 1 u (uu ) f p u t Re 压力场可以相差任一常数而对速度场无影响，为了确定全场压力值，应指定 流场中某一点的压力。 控制方程的特点：不包含压力的时间导数项，表现出椭圆-抛物组合型的特点。 不存在状态方程，压力不具有热力学意义；压力对速度场加以限制，使 连续性方程得到满足。压力场的波动具有无穷大的传播速度，瞬间传遍 全场，以使不可压缩条件在任何时间、任何地点满足。

3. 如果采用Crank-Nicolson格式 1 2 Re uin, j vin, j xin, j xin, j 1 4x yin, j yin, j 1 4x 2 n 2 n 2 n 1 2 n 1 1 x i , j y i , j x i , j y i , j (x) 2 ( y ) 2 (x) 2 2 Re (y ) 2
2 u 2 u v v 2 p 2 x y x y 求解压力的Poisson方程，可以得到压力的分布。
7.2.2 差分格式
数值求解涡量满足的方程（对流-扩散方程）：
(7.2.1) (7.2.2) (7.2.3)
引入涡量方程，消去方程中的压力项 涡量 vx u y (7.2.2)对y求偏导，(7.2.3)对x求偏导，推导出涡量满足的方程为
t u x v y
引入流函数 ，使连续方程自然满足 v, x
1 2 Re
则在Jacobi迭代中，计算 i(,kj1)时， i(k1, 1)与 i(,kj1)均已经得到。 j 1 ) ) i(,kj1) ( i(k1, j i(k1, j i(,kj)1 i(,kj)1 ) h 2i , j 1 1 in, 1 ( in1 j in1 j in, 1 in, 1 ) h 2in, 1 j 1, 1, j j j
目前，不可压缩流动的数值方法不如可压缩流动的数值方法成熟。 求解不可压缩Navier-Stokes方程的困难在于处理“压力-速度”耦合问题。 不可压缩Navier-Stokes方程的一种可能的求解方案： 动量方程和连续方程完全耦合求解。 uin, 1 uin, j j t D (uu )in,j1/2 Gpin, 1/2 j Duin, 1 0 j 其中，D (*)i , j Dx [i (*)] Dy [ j (*)]; Dx (*)i , j (*)i 1/2, j (*)i 1/2, j x (*)i 1, j (*)i , j ; G (*)i , j Dx (*)i Dy (*) j Dy (*)i , j (*)i , j 1/2 (*)i , j 1/2 y (*)i , j (*)i , j 1 1 Lh [uin, 1 uin, j ] f i ,nj1/2 j 2 Re
i ,0
2 i ,1 y 2
(2) 进口边界。 流函数：可以用 0, j 涡量： 0, j
y0, j y0,0
uin ( y )dy，通过适当的数值积分方法计算 y 2
n n n n n n 1, j 2 0, j 1, j 0, j 1 2 0, j 0, j 1
计算二维不可压缩Navier-Stokes方程的有效算法。 基本思想：对Navier-Stokes方程进行变换，写成涡量 流函数的形式。
7.2.1 基本方程
u v 0 x y u u u p 1 2u 2u v u 2 2 x y x Re x y t v v v p 1 2v 2v u v x y y Re x 2 y 2 t
(*)i 1/2, j Lh (*)i , j
; 2 (*)i 1, j 2(*)i , j (*)i 1, j x 2

2 (*)i , j 1 2(*)i , j (*)i , j 1 y 2
(*)i , j 1/2
如果对流项采用显式处理，如：用时间方向具有二阶精度的Adams-Bashforth格式离散 D (uu )in,j1/2 1.5 D (uu )in, j 0.5 D (uu )in,j1
2. Poisson方程的解法 在全场联立流函数的二维Poisson方程的差分格式，
1 1 in1 j 2 in, 1 in1j in, 1 2 in, 1 in, 1 1, j 1, j j j
Poisson方程是椭圆型方程，代表物理量在空间的平衡分布过程，必须全场联立求解。
t u x v y
(7.2.4)
in, 1 in, j j
t
数值求解流函数满足的Poisson方程 2 二阶精度的差分格式为
1 1 in1 j 2 in, 1 in1 j in, 1 2 in, 1 in, 1 1, j 1, j j j
x
2
利用
0, j
0 2x n n n n n 2( 1, j 0, j ) 0, j 1 2 0, j 0, j 1 2 x y 2
v0, j
1, j 1, j
(3) 出口边界。假定流动是充分发展的，有 v 2 x outlet x 2 当采用一阶近似时 0,
(3) 出口边界：i M x 当槽道的长度远大于其高度时，边界条件可以认为是充分发展条件， 即物理量（除压力）沿x方向的导数等于零。
在涡量-流函数方法中，边界条件的处理： (1) 固壁边界。固体壁面是流线， 在j 0的固壁上，可以指定 在j M y的固壁上，可以指定
i ,0 0 i,M
(7.2.6)
(x) 2

( y ) 2
in, 1 j
7.2.3 边界条件
图7.1：二维槽道流动的计算域 (1) 固体壁面边界：j 0, j M y
边界条件为 (2) 进口边界：i 0 边界条件为
u wall 0 u inlet uin ( y )
分量形式（假定进口流动方向是水平的） u inlet uin ( y ) v inlet vin ( y ) 0
2. 如果采用迎风格式
in, 1 in, j j
t
n ui, n 2 n ui , j 2 n j x x x i , j x i , j x 2 x 2
2 n 2 n vi, n 2 n vi, n 2 n 1 x i , j y i , j j y j y y i , j y i , j ( x ) 2 ( y ) 2 y 2 y 2 Re () () () () 其中， () , () 2 2 当 0时，一阶迎风格式； 当 1时，二阶迎风格式。
(x)
2

(y )
2
in, 1 j
得到一个具有稀疏五对角系数矩阵的线性方程组。
在实际计算中，常采用迭代法求解。 假定x y h，二维Poisson方程的差分格式简化为 1 4 in, 1的迭代初值 j 几种迭代格式： (1) Jacobi迭代： (2) Gauss-Seidel迭代： 迭代过程中，要对每一个网格点进行扫描，如果扫描的次序为 {[(i, j ), i 0, , M x ], j 0, , M y }
(7.2.4)
u y
(7.2.5) (7.2.6)
满足
2
求解过程：通过(7.2.4)计算涡量； 通过(7.2.6)计算流函数； 通过(7.2.5)计算速度分量。 如果需要计算压力，把x方向的动量方程对x求导数，把y方向的动量方程对y求导数， 二者求和后，利用连续性方程，可以得到压力的Poisson方程，
outlet
x
0
outlet
M
x,Biblioteka j 2 M x 1, j M x 2, j ,
M
x,
j
M x 1, j
1 u Re
为了求解压力Poisson方程，还应补充压力的边界条件。在固壁处， p 利用法向分量作为边界条件，即 p n 1 n u Re