已知是椭圆的两个焦点,P为C上一点,O为坐标原点.

2
单位)是方程 x 4 x 5 0 的根 . 复数w u 3i （u R ）满足 w z 2 5 ， 求 u 的取值范围
6、已知ΔABC的角A、B、C所对的边分别是a、 n . b、c，设向量 m (a, b) ，，(sin B,sin A)
12、设等差数列{ an }的前n项和 为 s n ，公比是正数的等比数列{ b n } 的前n项和为 Tn ， a1 1, b1 3, a3 b3 17, T3 S3 12, 求{an },{bn} 已知 的通项公式.
y 2x 13、已知实数x、y满足 y 2 x x 3
，求ABC的面积。
2、如图，为了解某海域海底构造，在 海平面内一条直线上的A，B，C三点 BC 进行测量，已知 AB 50m， 120m ，于A 处测得水深 AD 80m，于B处测得水 深 BE 200m，于C处测得水深 CF 110m ， 求∠DEF的余弦值。
3、已知等差数列{ an }中
23、若函数f(x)=a-x-a(a>0且a 1) 有两个零点，则实数a的取值范 围是 .
x
24、若曲线 f ( x) ax ln x 存在垂直 于 y 轴的切线，则实数a取值范围 是_____________.
3
25、等比数列 an 的前n项和为 s n ，且 4 a1 ，2 a2，a3 成等差数列。若 a1 =1， 则 s4 = ？
则当k=
时， f (ak ) 0.
17、若圆 x y 4 与圆 的公共弦长为 2 3 ，则a=________.
2 2
x 2 y 2 2ay 6 0(a 0)
18、已知椭圆 的左焦 点为 F，右顶点为A，点B在椭圆 上，且BF x 轴， 直线交 y 轴于P 点．若 AP 2PB ，则椭圆的离心率 是 多少？

15.圆锥曲线选填题一、选择题1．(2021年高考全国甲卷理科)已知12,F F 是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且121260,3F PF PF PF ∠=︒=，则C 的离心率为 ( )A ．2B ．2C D 2．(2021年高考全国乙卷理科)设B 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点，若C 上的任意一点P 都满足||2PB b ≤，则C 的离心率的取值范围是 ( )A ．⎫⎪⎪⎣⎭B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．⎛ ⎝⎦D ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦3．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)已知A 为抛物线C :y 2=2px (p >0)上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p = ( )A ．2B ．3C ．6D ．94．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线分别交于,D E 两点，若ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为 ( ) A ．4B ．8C ．16D ．325．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)设双曲线C ：22221x y a b-=(a >0，b >0)左、右焦点分别为F 1，F 2，离P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P ．若△PF 1F 2的面积为4，则a = ( )A ．1B ．2C ．4D ．86．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)设O 为坐标原点，直线2x =与抛物线C ：22(0)y px p =>交于D ，E 两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为 ( )A ．1,04⎛⎫⎪⎝⎭ B ．1,02⎛⎫⎪⎝⎭C ．(1,0)D ．(2,0)7．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科)双曲线C ：2242x y -=1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若=PO PF ，则△PFO 的面积为( )A．4B．2C．D．8．(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)设F 为双曲线:C 22221x y a b-=()0,0a b >>的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222x y a +=交于P ，Q 两点，若PQ OF =，则C 的离心率为( )ABC ．2D9．(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)若抛物线()220y px p =>的焦点是椭圆2213x y p p+=的一个焦点，则p = ( )A ．2B ．3C ．4D ．810．(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)已知椭圆C 的焦点为1(1,0)F -，2(1,0)F ，过2F 的直线与C 交于A ，B 两点．若222AF F B =，1AB BF =，则C 的方程为( )A ．2212x y += B ．22132x y += C ．22143x y += D ．22154x y +=11．(2018年高考数学课标Ⅲ卷（理）)设12,F F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点，Q 是坐标原点，过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ，若1PF =，则C 的离心率为 ( )A B ．2C D 12．(2018年高考数学课标Ⅱ卷（理）)已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为的直线上，12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为 ( )A ．23B ．12C ．13D ．1413．(2018年高考数学课标Ⅱ卷（理）)双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>( ) A ．y = B ．y =C ．y x =D ．y = ()14．(2018年高考数学课标卷Ⅰ（理）)已知双曲线22:13x C y -=,O 为坐标原点，F 为C 的右焦点,过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为,M N ．若OMN ∆为直角三角形,则MN = ( )A ．32B ．3 C．D ．415．(2018年高考数学课标卷Ⅰ（理）)设抛物线2:4C y x =的焦点为F ．过点()2,0-且斜率为23的直线与C 交于,M N 两点，则FM FN = ( )A ．5B ．6C ．7D ．816．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科)已知为抛物线的焦点,过作两条互相垂直的直线,,直线与交于两点,直线与交于两点,则的是小值为 ( )A ．B ．C ．D ．17．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知椭圆，的左、右顶点分别为，，且以线段为直径的圆与直线相切，则的离心率为 ( )A ．B ．C ．D ．18．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知双曲线的一条渐近线方程为,且与椭圆有公共焦点，则的方程为 ( )A ．B ．C ．D ． 19．(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科)若双曲线(，)的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的离心率为 ( )A ．2BCDF 2:4C y x =F 1l 2l 1l C ,A B 2l C ,D E AB DE +161412102222:1x y C a b+=()0a b >>1A 2A 12A A 20bx ay ab -+=C 33313()2222:10,0x y C a b a b-=>>2y x =221123x y +=C 221810x y -=22145x y -=22154x y -=22143x y -=C :22221x y a b-=0a >0b >()2224x y -+=C20．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科)已知O 为坐标原点,F 是椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点,A B、分别为C 的左、右顶点.P 为C 上一点,且PF x ⊥轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ,与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点,则C 的离心率为 ( ) A ．13B ．12C ．23D ．3421．(2016高考数学课标Ⅱ卷理科)已知12,F F 是双曲线2222:1x y E a b-=的左，右焦点，点M 在E 上，1MF 与x 轴垂直，211sin 3MF F ∠=,则E 的离心率为 ( ) AB ．32CD ．222．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于,A B 两点，交C 的准线于,D E 两点．已知AB =DE =C 的焦点到准线的距离为 ( ) (A )2(B )4(C )6(D )823．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科)已知方程222213-x y m n m n-=+表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( )(A )(1,3)-(B)(1-(C )(0,3)(D)24．(2015高考数学新课标2理科)已知,A B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，ABM ∆为等腰三角形，且顶角为120︒，则E 的离心率为 ( )AB ．2CD25．(2015高考数学新课标1理科)已知00(,)M x y 是双曲线C ：2212x y -=上的一点，12,F F 是C 上的两个焦点，若120MF MF •<，则0y 的取值范围是 ( )A ．B ．C ．(3-，3) D ．()26．(2014高考数学课标2理科)设F 为抛物线C :y x 23=的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ．B两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为 ( ) ABC ．6332D ．9427．(2014高考数学课标1理科)已知抛物线:的焦点为,准线为,是上一点,是直线与的一个交点,若,则= ( ) A ．B ．C ．3D ．228．(2014高考数学课标1理科)已知是双曲线:的一个焦点,则点到的一条渐近线的距离为 ( )AB ．3CD ．29．(2013高考数学新课标2理科)设抛物线2:2(0)C y px p =≥的焦点为F ，点M 在C 上，||5MF =，若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则C 的方程为 ( )A ．24y x =或28y x =B ．22y x =或28y x =C ．24y x =或216y x =D ．22y x =或216y x =30．(2013高考数学新课标1理科)已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交椭圆于A ．B 两点。

A． B． C． D．
14．(多选)已知椭圆 的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l1与过F2的直线l2交于点M，设M的坐标为(x0，y0)，若l1⊥l2，则下列结论正确的有（）
A． B．
C． D．
三、填空题
15．已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点 与双曲线 的左焦点重合，若两曲线相交于 ， 两点，且线段 的中点是点 ，则该双曲线的离心率等于______.
3．椭圆 的左、右焦点分别为 ，过焦点 的倾பைடு நூலகம்角为 直线交椭圆于 两点，弦长 ，若三角形 的内切圆的面积为 ，则椭圆的离心率为（）
A． B． C． D．
4．已知直线 垂直于抛物线 的对称轴，与E交于点A，B（点A在第一象限），过点A且斜率为 的直线与E交于另一点C，若 ，则p=（ ）
A． B．
C． D．
5．已知方程 表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是（）
A． B．
C． D．
6．已知椭圆C： 的长轴长为4，若点P是椭圆C上任意一点，过原点的直线l与椭圆相交于M、N两点，记直线PM、PN的斜率分别为 ，当 时，则椭圆方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知椭圆C：x2＋ ＝1(b>0，且b≠1)与直线l：y＝x＋m交于M，N两点，B为上顶点．若BM＝BN，则椭圆C的离心率的取值范围是（）
33．设椭圆 的的焦点为 是C上的动点，直线 经过椭圆的一个焦点， 的周长为 ．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求 的最小值和最大值．
34．写出适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）两个焦点在坐标轴上，且经过 和 两点；
（2）过点 ，且与椭圆 有相同的焦点．
35．已知动点 到直线 的距离与到定点 的距离的差为 ．动点 的轨迹设为曲线 ．

2023-2024学年浙江省温州市新力量联盟高二（上）期中数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．直线l ：x +2y +2＝0在y 轴上的截距是（ ） A ．﹣1B ．1C ．﹣2D ．22．圆C 1：(x −4)2+y 2=4与圆C 2：x 2+(y −3)2=16的位置关系是（ ） A ．相离B ．相交C ．内切D ．外切3．若{a →，b →，c →}构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）A ．c →+b →，b →，b →−c →B ．a →，a →+b →，a →−b →C ．a →+b →，a →−b →，c →D ．a →+b →，a →+b →+c →，c →4．正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为D 1C 1，BB 1的中点，则异面直线AE 与FC 所成角的余弦值为（ ）A ．√515B ．4√515 C ．−2√515D ．2√5155．直线l ：y ＝﹣2x +1在椭圆y 22+x 2=1上截得的弦长是（ ）A ．√103B ．2√53C ．8√59D ．5√236．点P 是圆C ：（x +1）2+（y ﹣2）2＝1上的动点，直线l ：（m ﹣1）x +my +2＝0是动直线，则点P 到直线l 的距离的最大值是（ ） A ．4B ．5C ．6D ．77．已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若PF 1⊥PF 2，且∠PF 2F 1＝60°，则C 的离心率为（ ） A ．1−√32B ．2−√3C ．√3−12D ．√3−18．已知E ，F 是圆C ：x 2+y 2﹣2x ﹣4y +1＝0的一条弦，且CE ⊥CF ，P 是EF 的中点，当弦EF 在圆C 上运动时，直线l ：x ﹣y ﹣3＝0上存在两点A ，B ，使得∠APB ≥π2恒成立，则线段AB 长度的最小值是（ ） A ．2√2B ．4√2C ．6√2D ．8√2二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）9．已知直线l 的方向向量是a →，两个平面α，β的法向量分别是m →，n →，则下列说法中正确的是（ ） A ．若a →∥m →，则l ⊥α B ．若a →⋅m →=0，则l ⊥α C ．若m →∥n →，则α⊥βD ．若m →⋅n →=0，则α⊥β10．已知点M 椭圆C ：4x 2+9y 2＝36上一点，椭圆C 的焦点是F 1，F 2，则下列说法中正确的是（ ） A ．椭圆C 的长轴长是9B ．椭圆C 焦距是2√5C ．存在M 使得∠F 1MF 2＝90°D ．三角形MF 1F 2的面积的最大值是2√511．已知两点A （﹣5，﹣1），B （0，4）点P 是直线l ：y ＝2x ﹣1上的动点，则下列结论中正确的是（ ） A ．存在P （1，1）使|P A |+|PB |最小B ．存在P(12，0)使|P A |2+|PB |2最小C ．存在P （5，9）使|P A |﹣|PB |最小D ．存在P （0，﹣1）使||P A |﹣|PB ||最小12．已知曲线C ：（|x |﹣1）2+（|y |﹣1）2＝8，则（ ） A ．曲线C 上两点间距离的最大值为4√2B ．若点P （a ，a ）在曲线C 内部（不含边界），则﹣3＜a ＜3 C ．若曲线C 与直线y ＝x +m 有公共点，则﹣6≤m ≤6D ．若曲线C 与圆x 2+y 2＝r 2（r ＞0）有公共点，则3≤r ≤3√2 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．直线√3x +y −2=0的倾斜角为 ．14．圆C 1和圆C 2的圆心分别为C 1（1，2），C 2（3，4），半径都为√2，写出一条与圆C 1和圆C 2都相切的直线的方程是 ．15．正四面体ABCD 的所有棱长都是2，E ，F 分别是BC ，DC 的中点，则AE →⋅BF →= ． 16．如图，三角形ABC 中，AB ＝BC ＝4，∠B ＝90°，D 为AC 中点，E 为BC 上的动点，将△CDE 沿DE 翻折到C ′DE 位置，使点C ′在平面ABC 上的射影H 落在线段AB 上，则当E 变化时，二面角C ′﹣DE ﹣A 的余弦值的最小值是 ．四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（10分）已知直线2x ﹣3y ﹣1＝0和直线x +y ﹣3＝0的交点为P ．（1）求过点P且与直线2x﹣y﹣1＝0平行的直线l1的方程；（2）求线段OP（O为原点）的垂直平分线l2的方程．18．（12分）已知圆C的圆心C在直线y＝2x上，且经过A（﹣1，0），B（3，0）两点．（1）求圆C的方程；（2）直线l：mx+y﹣3m﹣1＝0与圆C交于E，F两点，且|EF|=2√3，求实数m的值．19．（12分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，P A⊥平面ABCD，AB⊥AD，AD∥BC，P A＝AB＝AD＝2BC ＝2，E为PD中点．（1）求证：CE∥平面P AB；（2）求直线CE与平面P AC所成角的正弦值．20．（12分）为了保证我国东海油气田海域的海上平台的生产安全，海事部门在某平台O的正东方向设立了观测站A，在平台O的正北方向设立了观测站B，它们到平台O的距离分别为6海里和m（m＞0）海里，记海平面上到观测站A和平台O的距离之比为2的点P的轨迹为曲线C，规定曲线C及其内部区域为安全预警区（如图）．（1）以O为坐标原点，1海里为单位长度，OA所在直线为x轴，OB所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，求曲线C的方程；（2）海平面上有渔船从A出发，沿AB方向直线行驶，为使渔船不进入预警区，求m的取值范围．21．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为2的等边三角形，CC1＝2，∠ACC1＝60°，点D，E分别是线段AC，CC1的中点，二面角C1﹣AC﹣B为直二面角．（1）求证：A1C⊥平面BDE；（2）若点P为线段B1C1上的动点（不包括端点），求锐二面角P﹣DE﹣B的余弦值的取值范围．22．（12分）如图，已知椭圆C 的焦点为F 1（﹣1，0），F 2（1，0），离心率为√22，椭圆C 的上、下顶点分别为A ，B ，右顶点为D ，直线l 过点D 且垂直于x 轴，点Q 在椭圆C 上（且在第一象限），直线AQ 与l 交于点N ，直线BQ 与x 轴交于点M ． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）判定△AOM （O 为坐标原点）与△ADN 的面积之和是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．2023-2024学年浙江省温州市新力量联盟高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．直线l ：x +2y +2＝0在y 轴上的截距是（ ） A ．﹣1B ．1C ．﹣2D ．2解：将x ＝0代入直线方程x +2y +2＝0，可得2y +2＝0，解得y ＝﹣1． 故选：A ．2．圆C 1：(x −4)2+y 2=4与圆C 2：x 2+(y −3)2=16的位置关系是（ ） A ．相离B ．相交C ．内切D ．外切解：圆C 1：（x ﹣4）2+y 2＝4的圆心（4，0），半径为：2； 圆C 2：x 2+（y ﹣3）2＝16的圆心（0，3），半径为：4； 两个圆心的距离为：√32+42=5，两个圆的半径和为：2+4＝6，半径差为：4﹣2＝2， 2＜5＜6； 所以两个圆相交． 故选：B ．3．若{a →，b →，c →}构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）A ．c →+b →，b →，b →−c →B ．a →，a →+b →，a →−b →C ．a →+b →，a →−b →，c →D ．a →+b →，a →+b →+c →，c →解：对于A ，b →=12(c →+b →)+12(b →−c →)，所以c →+b →，b →，b →−c →三个向量共面，故A 错误，对于C ，假设a →+b →，a →−b →，c →三个向量共面，则存在非零实数x ，y ，满足a →+b →=x(a →−b →)+yc →，整理可得(x −1)a →+(−x −1)b →+yc →=0，因为a →，b →，c →不共面，所以x ﹣1＝﹣x ﹣1＝y ＝0，无解，所以假设不成立，则a →+b →，a →−b →，c →三个向量不共面，故C 正确，对于B ，a →=12(a →+b →)+12(a →−b →)，所以a →，a →+b →，a →−b →三个向量共面，故B 错误，对于D ，c →=(a →+b →+c →)−(a →+b →)，所以a →+b →，a →+b →+c →，c →三个向量共面，故D 错误． 故选：C ．4．正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为D 1C 1，BB 1的中点，则异面直线AE 与FC 所成角的余弦值为（ ）A ．√515B ．4√515C ．−2√515D ．2√515解：以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中棱长为2，则A （2，0，0），E （0，1，2），F （2，2，1），C （0，2，0）， AE →=（﹣2，1，2），FC →=（﹣2，0，﹣1）， 设异面直线AE 与FC 所成角为θ，则cos θ=|AE →⋅FC →||AE →|⋅|FC →|=23⋅√5=2√515， ∴异面直线AE 与FC 所成角的余弦值为2√515． 故选：D ．5．直线l ：y ＝﹣2x +1在椭圆y 22+x 2=1上截得的弦长是（ ）A ．√103B ．2√53C ．8√59D ．5√23解：联立{y =−2x +1y 22+x 2=1，消去y 并整理得6x 2﹣4x ﹣1＝0，此时Δ＞0，所以直线l 与椭圆有两个交点，不妨设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 由韦达定理得x 1+x 2=23，x 1x 2=−16，则直线l 在椭圆上截得的弦长|AB |=√1+k 2⋅|x 1−x 2|=√1+22⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√5•√(23)2−4×(−16)=5√23． 故选：D ．6．点P 是圆C ：（x +1）2+（y ﹣2）2＝1上的动点，直线l ：（m ﹣1）x +my +2＝0是动直线，则点P 到直线l 的距离的最大值是（ ） A ．4B ．5C ．6D ．7解：圆C ：（x +1）2+（y ﹣2）2＝1，可知圆心C （﹣1，2），半径r ＝1， 上的直线l ：（m ﹣1）x +my +2＝0整理可得m （x +y ）﹣x +2＝0， 可得直线l 恒过定点Q （2，﹣2），当CQ ⊥l 时，P 到直线的距离最大，且为r +|CQ |， 即1+√(−1−2)2+[2−(−2)]2=1+5＝6． 故选：C ．7．已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若PF 1⊥PF 2，且∠PF 2F 1＝60°，则C 的离心率为（ ） A ．1−√32B ．2−√3C ．√3−12D ．√3−1解：F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若PF 1⊥PF 2，且∠PF 2F 1＝60°，可得椭圆的焦点坐标F 2（c ，0），所以P （12c ，√32c ）．可得：c 24a 2+3c 24b 2=1，可得14e 2+34(1e2−1)=1，可得e 4﹣8e 2+4＝0，e ∈（0，1），解得e =√3−1．法二，由题意可得|PF 1|=√3c ，|PF 2|＝c ， ∴2a ＝|PF 1|+|PF 2|=√3c +c ，∴ca =√3+1=√3−1．故选：D ．8．已知E ，F 是圆C ：x 2+y 2﹣2x ﹣4y +1＝0的一条弦，且CE ⊥CF ，P 是EF 的中点，当弦EF 在圆C 上运动时，直线l ：x ﹣y ﹣3＝0上存在两点A ，B ，使得∠APB ≥π2恒成立，则线段AB 长度的最小值是（ ） A ．2√2B ．4√2C ．6√2D ．8√2解：由圆C 的方程化为标准方程：（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝4，可知圆心C（1，2），半径r=√2，又CE⊥CF，P是EF的中点，所以∠CEF＝∠CFE＝45°，|CP|=|EF|2=2√22=√2，所以点P的轨迹方程为：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝2，圆心为点C（1，2），半径R=√2．若直线l：x﹣y﹣3＝0上存在两点A，B，使得∠APB≥π2恒成立，则以AB为直径的圆与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=√2的位置关系为内切或内含．而点C（1，2）到直线l的距离d=|1−2−3|√1+(−1)2=2√2，设AB的中点为M，则|CM|＝d≤|AB| 2，所以|AB|≥2d＝4√2，即|AB|的最小值为4√2．故选：B．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）9．已知直线l的方向向量是a→，两个平面α，β的法向量分别是m→，n→，则下列说法中正确的是（）A．若a→∥m→，则l⊥αB．若a→⋅m→=0，则l⊥αC．若m→∥n→，则α⊥βD．若m→⋅n→=0，则α⊥β解：对于A，若a→∥m→，则l⊥α，故A正确；对于B，若a→⋅m→=0，则l∥α或l⊂α，故B错误；对于C，若m→∥n→，则α∥β，故C错误；对于D，若m→⋅n→=0，则α⊥β，故D正确．故选：AD．10．已知点M椭圆C：4x2+9y2＝36上一点，椭圆C的焦点是F1，F2，则下列说法中正确的是（）A．椭圆C的长轴长是9B．椭圆C焦距是2√5C．存在M使得∠F1MF2＝90°D．三角形MF1F2的面积的最大值是2√5解：椭圆C：4x2+9y2＝36即x29+y24=1，可得a ＝3，b ＝2，故c =√9−4=√5， 所以椭圆C 的长轴长是2a ＝6，A 错； 焦距是2c ＝2√5，B 对；当M 与A 重合时，三角形MF 1F 2的高最大，此时三角形MF 1F 2的面积也最大，面积的最大值是：12×2c×b =12×2√5×2=2√5，故D 对；当M 与A 重合时，∠F 1MF 2＝2∠F 1AO 最大， 而tan ∠F 1AO =√52＞1＝tan45°， 故此时的∠F 1MF 2＝2∠F 1AO ＞90°， 故C 正确． 故选：BCD ．11．已知两点A （﹣5，﹣1），B （0，4）点P 是直线l ：y ＝2x ﹣1上的动点，则下列结论中正确的是（ ） A ．存在P （1，1）使|P A |+|PB |最小B ．存在P(12，0)使|P A |2+|PB |2最小C ．存在P （5，9）使|P A |﹣|PB |最小D ．存在P （0，﹣1）使||P A |﹣|PB ||最小解：对于A ：设点B 关于直线l 的对称点为C （m ，n ），所以{n+42=2×m+02−1n−4m−0×2=−1，所以{m =4n =2，所以C （4，2），所以|P A |+|PB |≥|AC |，当且仅当P 为AC 与l 交点时满足题意， 又因为AC ：y −2=−1−2−5−4(x −4)，即AC ：y =13x +23， 所以{y =13x +23y =2x −1，所以{x =1y =1，所以P （1，1），故A 正确；对于B ：设P （x ，2x ﹣1），所以（|P A |）2+（|PB |）2＝（x +5）2+（2x ﹣1+1）2+x 2+（2x ﹣1﹣4）2， 所以(|PA|)2+(|PB|)2=10[(x −12)2+194]， 当且仅当x =12时，（|P A |）2+（|PB |）2有最小值，此时2x ﹣1＝0，所以P(12，0)，故B 正确；对于C ：如下图，根据A ，B 与l 的位置关系可判断出|P A |﹣|PB |有最大值，无最小值，故C 错误；对于D ：因为|P A ﹣|PB |≥0，取等号时|P A |＝|PB |，即P 为AB 垂直平分线与l 的交点， 因为AB 垂直平分线方程为y −−1+42=−14−(−1)0−(−5)(x −−5+02)，即y ＝﹣x ﹣1， 所以 {y =−x −1y =2x −1，所以{x =0y =−1，所以P （0，﹣1），故D 正确． 故选：ABD ．12．已知曲线C ：（|x |﹣1）2+（|y |﹣1）2＝8，则（ ） A ．曲线C 上两点间距离的最大值为4√2B ．若点P （a ，a ）在曲线C 内部（不含边界），则﹣3＜a ＜3 C ．若曲线C 与直线y ＝x +m 有公共点，则﹣6≤m ≤6D ．若曲线C 与圆x 2+y 2＝r 2（r ＞0）有公共点，则3≤r ≤3√2解：分x ，y 的符号讨论曲线的形状，画出曲线C ：（|x |﹣1）2+（|y |﹣1）2＝8的图象如图所示：对于A ，曲线C 上两点的最大距离为d =√(1+1)2+(1+1)2+4√2=6√2，故A 错误； 对于B ，在曲线（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝8（x ＞0，y ＞0）中，取y ＝x ，可得x ＝3， 由P （a ，a ）在曲线的内部（不含边界），则﹣3＜a ＜3，故B 正确；对于C ：由图象可得，直线y ＝x +m 与半圆（x +1）2+（y ﹣1）2＝8（x ＜0，y ＞0）相切时，截距m 最大， 由√2=2√2，可得m ＝6或m ＝﹣2（舍去），直线y ＝x +m 与半圆（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝8（x ＞0，y ＜0）相切时，截距m 最小， 由√2=2√2，可得m ＝﹣6或m ＝2（舍去），∴若曲线C 与直线y ＝x +m 有公共点，则﹣6≤m ≤6，故C 正确；对于D ：由线（|x |﹣1）2+（|y |﹣1）2＝8与坐标轴的交点为（0，±(1+√7)），（±（1+√7），0）， 当圆x 2+y 2＝r 2（r ＞0）过点（0，±（1+√7）），（±（1+√7），0）时，r 最小，最小值为1+√7，故D 错误． 故选：BC ．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．直线√3x +y −2=0的倾斜角为 120° ． 解：直线√3x +y −2=0的斜率为−√3， ∴tan α=−√3， ∴α＝120°， 故答案为：120°．14．圆C 1和圆C 2的圆心分别为C 1（1，2），C 2（3，4），半径都为√2，写出一条与圆C 1和圆C 2都相切的直线的方程是 y ＝﹣x +5（或y ＝x ﹣1或y ＝x +3） ．解：圆C 1和圆C 2的圆心分别为C 1（1，2），C 2（3，4），半径都为√2， |C 1C 2|=√(3−1)2+(4−2)2=2√2，两个圆的位置关系是外切，k C 1C 2=4−23−1=1，中点坐标（2，3）， 所以一条公切线方程为：y ﹣2＝﹣（x ﹣3），即y ＝﹣x +5． 设与圆C 1和圆C 2都相切的直线方程为y ＝x +b ，可得√2=|1−2+b|√2，解得b ＝﹣1或b ＝3， 所以公切线方程为：y ＝﹣x +5或y ＝x ﹣1或y ＝x +3． 故答案为：y ＝﹣x +5（或y ＝x ﹣1或y ＝x +3）．15．正四面体ABCD 的所有棱长都是2，E ，F 分别是BC ，DC 的中点，则AE →⋅BF →= 12．解：正四面体ABCD 的所有棱长都是2，E ，F 分别是BC ，DC 的中点， 如图所示：取FC 的中点G ，连接EG ，AG ，在△AEG 中，由于AE =√3，BF =√3，EG =√32，AG =√(12)2+(√3)2=√132，故∠AEG 为异面直线AE 和BF 所成的角； 故cos ＜AE →，AF →＞=cos∠AEG =(√3)2+(√32)2−(√132)22⋅3⋅√32=16； 故AE →⋅AF →=|AE →||AF →|cos ＜AE →，AF →＞=√3×√3×16=12． 故答案为：12．16．如图，三角形ABC 中，AB ＝BC ＝4，∠B ＝90°，D 为AC 中点，E 为BC 上的动点，将△CDE 沿DE 翻折到C ′DE 位置，使点C ′在平面ABC 上的射影H 落在线段AB 上，则当E 变化时，二面角C ′﹣DE ﹣A 的余弦值的最小值是 4√2−5 ．解：过点H 作HG ⊥DE 交DE 于G 点，连接C ′G ，CG ，如下图所示：因为C 在平面ABC 内的射影为H 点，所以C ′H ⊥平面ABC ，所以C ′H ⊥DE ， 又因为HG ⊥DE ，CH ∩HG ＝H ，所以DE ⊥平面CHG ，所以DE ⊥CG ， 所以二面角C ′﹣DE ﹣A 的平面角为∠C ′GH ，且cos ∠C ′GH =HGC′G， 又因为DE ⊥C 'G ，所以DE ⊥CG ，易知C ，G ，H 三点共线，且CG ＝CG ， 则cos ∠C ′GH =HGCG ，在平面ABC 中建立平面直角坐标系如下图所示：设E （0，m ），因为C 在平面ABC 内的射影为H 点，所以可知m ∈（0，2），又D （﹣2，2），C （0，4），所以DE ：y =m−22x +m ，CH ：y =−2m−2x +4， 所以{y =m−22x +m y =−2m−2x +4，所以{x =2(m−2)(4−m)m 2−4m+8y =4m 2−12m+16m 2−4m+8，所以G(2(m−2)(4−m)m 2−4m+8，4m 2−12m+16m 2−4m+8)， 所以cos ∠C ′GH =HG C′G =y G −y H y C −y G=4m 2−12m+16m 2−4m+8−04−4m 2−12m+16m 2−4m+8=4m 2−12m+1616−4m =m 2−3m+44−m，设4﹣m ＝t ∈（2，4），所以cos ∠C ′GH =(4−t)2−3(4−t)+4t =t 2−5t+8t ≥t +8t −5≥2√t ×8t−5＝4√2−5，当且仅当t =8t，即t =2√2，即m =4−2√2时取等号，所以（cos ∠C ′GH ）min ＝4√2−5， 故答案为：4√2−5．四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（10分）已知直线2x ﹣3y ﹣1＝0和直线x +y ﹣3＝0的交点为P ． （1）求过点P 且与直线2x ﹣y ﹣1＝0平行的直线l 1的方程； （2）求线段OP （O 为原点）的垂直平分线l 2的方程． 解：（1）联立方程组{2x −3y −1=0x +y −3=0，得{x =2y =1，∴P （2，1），设l 1：2x ﹣y +m ＝0，代入P （2，1），得4﹣a +m ＝0， 解得m ＝﹣3，∴直线l 1的方程为2x ﹣y ﹣3＝0；（2）∵k OP =1−02−0=12，OP 中点坐标为（1，12），∴OP 的垂直平分线方程为y −12=−2（x ﹣1）， 整理得4x +2y ﹣5＝0，∴线段OP（O为原点）的垂直平分线l2的方程为4x+2y﹣5＝0．18．（12分）已知圆C的圆心C在直线y＝2x上，且经过A（﹣1，0），B（3，0）两点．（1）求圆C的方程；（2）直线l：mx+y﹣3m﹣1＝0与圆C交于E，F两点，且|EF|=2√3，求实数m的值．解：（1）由题意设圆心C（a，2a），半径r＝|AC|＝|BC|，即√(a+1)2+(2a)2=√(a−3)2+(2a)2，解得a＝1，即圆心C（1，2），半径r＝|AC|=√(1+1)2+(2×1)2=2√2，所以圆C的方程为：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝8；（2）由（1）可得圆心C到直线l的距离d=|m+2−3m−1|√1+m2=|1−2m|√1+m2，由题意可得|EF|＝2√r2−d2=2√3，可得d2＝r2﹣3＝8﹣3＝5，所以√1+m2=√5，整理可得：m2+4m+4＝0，解得m＝﹣2．即实数m的值为﹣2．19．（12分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，P A⊥平面ABCD，AB⊥AD，AD∥BC，P A＝AB＝AD＝2BC ＝2，E为PD中点．（1）求证：CE∥平面P AB；（2）求直线CE与平面P AC所成角的正弦值．解：（1）证明：取P A的中点M，连接BM，ME，∵E为PD的中点，∴ME∥AD且ME=12 AD，∵BC∥AD且BC=12 AD，∴ME∥BC且ME＝BC，∴四边形MEBC为平行四边形，∴BM∥CE，又∵CE⊄面P AB，BM⊂面P AB，∴CE∥平面P AB．（2）证明：∵P A ⊥平面ABCD ，DC ⊂平面ABCD ，∴P A ⊥DC ， 过C 作CC ′⊥AD ，交AD 于C ′，则CC ′＝1，C ′D ＝1， ∴CD =√2，又AC =√2，∴AC 2+CD 2＝2+2＝AD 2，∴DC ⊥AC ，又AC ∩P A ＝A ， ∴DC ⊥平面P AC ，又DC ⊂平面PDC ， ∴平面P AC ⊥平面PDC ．取PC 中点F ，连接EF ，则EF ∥DC ， ∴DC ⊥平面P AC ，则EF ⊥平面P AC ， ∴∠ECF 为直线EC 与平面P AC 所成的角， CF =12PC =√32，EF =12CD =√22，∴EC =√34+24=√52， ∴sin ∠ECF =EF CF =√22√52=√105， 即直线EC 与平面P AC 所成角的正弦值为√105．20．（12分）为了保证我国东海油气田海域的海上平台的生产安全，海事部门在某平台O 的正东方向设立了观测站A ，在平台O 的正北方向设立了观测站B ，它们到平台O 的距离分别为6海里和m （m ＞0）海里，记海平面上到观测站A 和平台O 的距离之比为2的点P 的轨迹为曲线C ，规定曲线C 及其内部区域为安全预警区（如图）．（1）以O 为坐标原点，1海里为单位长度，OA 所在直线为x 轴，OB 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系，求曲线C 的方程；（2）海平面上有渔船从A 出发，沿AB 方向直线行驶，为使渔船不进入预警区，求m 的取值范围．解：（1）不妨设P （x ，y ），O （0，0），A （6，0）， 因为海平面上到观测站A 和平台O 的距离之比为2， 所以|PA||PO|=2，即√(x −6)2+y 2=2√x 2+y 2， 整理得（x +2）2+y 2＝16，所以曲线C 是以（﹣2，0）为圆心，4为半径的圆， 则曲线C 的方程为（x +2）2+y 2＝16； （2）易知A （6，0），B （0，m ），若过AB 的直线不过坐标原点且不与坐标轴垂直， 此时直线AB 的方程为x6+y m=1(m ＞0)，即mx +6y ﹣6m ＝0（m ＞0），若渔船从A 出发，沿AB 方向直线行驶且不进入预警区， 此时直线AB 与圆C 切， 而圆心C 到直线AB 的距离为4， 即d =|−2m−6m|√m 2+36=4，①又m ＞0，②联立①②，解得m =2√3，综上，满足条件的m 的取值范围为（2√3，+∞）．21．（12分）如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的底面是边长为2的等边三角形，CC 1＝2，∠ACC 1＝60°，点D ，E 分别是线段AC ，CC 1的中点，二面角C 1﹣AC ﹣B 为直二面角． （1）求证：A 1C ⊥平面BDE ；（2）若点P 为线段B 1C 1上的动点（不包括端点），求锐二面角P ﹣DE ﹣B 的余弦值的取值范围．（1）证明：连接AC 1，如图所示：在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四边形AA1C1C为菱形，∴A1C⊥AC1，∵D，E分别为AC，CC1中点，∴DE∥AC1，∴A1C⊥DE，又D为线段AC中点，△ABC是等边三角形，∴BD⊥AC，又二面角C1﹣AC﹣B为直二面角，即平面AA1C1C⊥平面ABC，且平面AA1C1C∩平面ABC＝AC，BD⊂平面ABC，∴BD⊥平面AA1C1C，又A1C⊂平面AA1C1C，∴BD⊥A1C，又BD∩DE＝D，BD⊂平面BDE，DE⊂平面BDE，∴A1C⊥平面BDE；（2）解：∵CA＝CC1＝2，∠ACC1＝60°，∴△ACC1为等边三角形，∴C1D⊥AC，∵平面AA1C1C⊥平面ABC，平面AA1C1C∩平面ABC＝AC，C1D⊂平面ACC1A1，∴C1D⊥平面ABC，则建立以D为坐标原点，以DB，DA，DC1所在直线分别为x，y，z轴的空间直角坐标系D﹣xyz，如图所示：则D （0，0，0），B （√3，0，0），E （0，−12，√32），C 1（0，0，√3）， B 1（√3，1，√3），C （0，﹣1，0），A 1（0，2，√3）， ∴DB →=（√3，0，0），DE →=（0，−12，√32）， C 1B 1→=（√3，1，0），CA 1→=（0，3，√3）， 设P （x ，y ，z ），C 1P →=λC 1B 1→（0＜λ＜1）， 则有(x ，y ，z −√3)=(√3λ，λ，0)，∴x =√3λ，y =λ，z =√3，即P(√3λ，λ，√3)， ∴DP →=(√3λ，λ，√3)， 由（1）得A 1C ⊥平面BDE ，∴平面BDE 的一个法向量CA 1→=（0，3，√3）， 设平面PDE 的法向量n →=(a ，b ，c)，则{n →⋅DE →=−12b +√32c =0n →⋅DP →=√3λa +λb +√3c =0，取c ＝1，则b =√3，a ＝﹣1−1λ，∴平面PDE 的法向量为n →=(−1−1λ，√3，1)， ∴|cos ＜CA 1→，n →＞|=|CA 1→⋅n →||CA 1→|⋅|n →|=4√32√3×√4+(−1−1λ)2=2√2(1λ+12)2+92，∵λ∈（0，1），∴1λ∈(1，+∞)，∴|cos ＜CA 1→，n →＞|=2√2(1λ+12)2+9223，∴|cos ＜CA 1→，n →＞|∈（0，23），故锐二面角P ﹣BD ﹣E 的余弦值的取值范围为（0，23）．22．（12分）如图，已知椭圆C 的焦点为F 1（﹣1，0），F 2（1，0），离心率为√22，椭圆C 的上、下顶点分别为A ，B ，右顶点为D ，直线l 过点D 且垂直于x 轴，点Q 在椭圆C 上（且在第一象限），直线AQ 与l 交于点N ，直线BQ 与x 轴交于点M ． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）判定△AOM （O 为坐标原点）与△ADN 的面积之和是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．解：（1）因为椭圆C 的焦点为F 1（﹣1，0），F 2（1，0）， 所以椭圆C 的半焦距c ＝1， 又椭圆C 的离心率e =c a =√22， 所以椭圆C 的长半轴a =ce =√2， 可得b =√a 2−c 2=1， 则椭圆C 的方程为x 22+y 2=1；（2）由（1）知A （0，1），B （0，﹣1），D(√2，0)， 不妨设Q （x 0，y 0），x 0＞0，y 0＞0， 因为点Q 在椭圆C 上， 所以x 022+y 02=1， 此时直线AQ 的方程为y =y 0−1x 0x +1， 当x =√2时，解得y =√2(y0−1)x 0+1， 即N （√2，√2(y 0−1)x 0+1）， 直线BQ 的方程为y =y 0+1x 0x −1， 当y ＝0时，解得x =x0y 0+1，即M(x 0y 0+1，0)， 易知点N 在x 轴上方， 所以|DN|=√2(y0−1)x 0+1，|OM|=xy 0+1，则S △AOM +S △ADN =12|OM|⋅|OA|+12|DN|⋅|OD|=12|OM|+√22|DN| =12⋅x 0y 0+1+√22(√2(y 0−1)x 0+1)=√22+x 02(y 0+1)+y 0−1x 0 =√22+x 02+2y 02−22x 0(y 0+1)=√22．故△AOM （O 为坐标原点）与△ADN 的面积之和是定值，定值为√22．。