直线与圆锥曲线综合

二轮专题——直线与圆锥曲线的位置关系综合应用【目标】掌握直线与圆锥曲线的位置关系，并会综合应用知识处理相关问题。

【重点】直线与圆锥曲线中的最值、值域、参数范围问题，定点、定值以及探究性问题。

【难点】圆锥曲线与三角、函数与方程、不等式、数列、平面向量等知识的的综合应用. 【知识与方法】圆锥曲线中的定点、定值、最值问题是圆锥曲线的综合问题，解决此类问题需要较强的代数运算能力和图形认识能力，要能准确地进行数与形的语言转换和运算，推理转换，并在运算过程中注意思维的严密性，以保证结果的完整.解决圆锥曲线综合题，关键是熟练掌握每一种圆锥曲线的定义、标准方程、图形与几何性质，注意挖掘知识的内在联系及其规律，通过对知识的重新组合，以达到巩固知识、提高能力的目的.1.在几何问题中，有些几何量与参数无关，这就构成了定值问题，解决这类问题一种思路是进行一般计算推理求出其结果；另一种是通过考查极端位置，探索出“定值”是多少，然后再进行一般性证明或计算，即将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角形式，证明该式是恒定的。

如果试题以客观题形式出现，特殊方法往往比较奏效。

2.对满足一定条件曲线上两点连结所得直线过定点或满足一定条件的曲线过定点问题，设该直线（曲线）上两点的坐标，利用坐标在直线（或曲线）上，建立点的坐标满足的方程（组），求出相应的直线（或曲线），然后再利用直线（或曲线）过定点的知识加以解决。

3.解析几何的最值和范围问题，一般先根据条件列出所求目标的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法、不等式法、单调性法、导数法以及三角函数最值法等求出它的最大值和最小值或值域. 当题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，可考虑利用数形结合法解. 【基础训练】1、若实数x 、y 满足x 2+y 2-2x+4y=0，则x-2y 的最大值是（ ）A 、5B 、10C 、9D 、5+25 2、若关于x 的方程)2(12-=-x k x有两个不等实根，则实数k 的取值范围是（ ）A 、)33,33(-B 、)3,3(-C 、⎥⎦⎤⎝⎛-0,33D 、⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡⋃⎥⎦⎤ ⎝⎛--33,2121,33 3、已知P 、Q 分别在射线y=x(x>0)和y=-x(x>0)上，且△POQ 的面积为1，（0为原点），则线段PQ 中点M 的轨迹为（ ）A 、双曲线x 2-y 2=1 B 、双曲线x 2-y 2=1的右支 C 、半圆x 2+y 2=1(x<0) D 、一段圆弧x 2+y 2=1(x>22)4、一个等边三角形有两个顶点在抛物线y 2=20x 上，第三个顶点在原点，则这个三角形的面积为5、椭圆191622=+yx在第一象限上一动点P ，若A(4，0)，B(0，3)，O(0，0)，则APBOS 四边形的最大值为题型一、最值及值域问题例1.【广东省梅州市2013届高三总复习质检】已知F 1，F 2分别是椭圆C ：22221(0)y x a b ab+=>>的上、下焦点，其中F 1也是抛物线C 1：24x y =的焦点，点M 是C 1与C 2在第二象限的交点，且15||3MF =。

第十七讲 直线与圆锥曲线的综合问题1．(中点弦)(2013·课标全国卷Ⅰ)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )A.x 245＋y 236＝1 B.x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1D.x 218＋y 29＝1 【解析】 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21b2＝1， ①x 22a 2＋y22b 2＝1. ②①－②得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)a 2＝－(y 1－y 2)(y 1＋y 2)b 2. ∴y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 2). ∵x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝－2，∴k AB ＝b 2a 2.而k AB ＝0－(－1)3－1＝12，∴b 2a 2＝12，∴a 2＝2b 2，∴c 2＝a 2－b 2＝b 2＝9，∴b ＝c ＝3，a ＝32， ∴E 的方程为x 218＋y 29＝1.【答案】 D2．(直线与抛物线位置关系)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 过F 且与C 交于A ，B 两点．若|AF |＝3|BF |，则l 的方程为( )A ．y ＝x －1或y ＝－x ＋1B ．y ＝33(x －1)或y ＝－33(x －1) C ．y ＝3(x －1)或y ＝－3(x －1) D ．y ＝22(x －1)或y ＝－22(x －1) 【解析】 设直线AB 的倾斜角为θ，由题意知p ＝2，F (1,0)，|AF ||BF |＝3.又1|F A |＋1|FB |＝2p ，∴13|BF |＋1|BF |＝1，∴|BF |＝43，|AF |＝4，∴|AB |＝163. 又由抛物线焦点弦公式：|AB |＝2p sin 2θ，∴163＝4sin 2θ， ∴sin 2θ＝34，∴sin θ＝32，∴k ＝tan θ＝±3.故选C.【答案】 C3．(几何最值)已知椭圆x 24＋y 2b 2＝1(0＜b ＜2)与y 轴交于A ，B 两点，点F 为该椭圆的一个焦点，则△ABF 面积的最大值为( )A ．1B ．2C ．4D ．8【解析】 不妨设点F 的坐标为(4－b 2，0)，而|AB |＝2b ，∴S △ABF ＝12×2b ×4－b 2＝b 4－b 2＝b 2(4－b )2≤b 2＋4－b 22＝2(当且仅当b 2＝4－b 2，即b 2＝2时取等号)．故△ABF 面积的最大值为2. 【答案】 B图5－3－14．(椭圆与双曲线)(2013·浙江高考改编)如图5－3－1，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是________．【解析】 由椭圆可知|AF 1|＋|AF 2|＝4，|F 1F 2|＝2 3. 因为四边形AF 1BF 2为矩形， 所以|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2＝12，所以2|AF 1||AF 2|＝(|AF 1|＋|AF 2|)2－(|AF 1|2＋|AF 2|2)＝16－12＝4，所以(|AF 2|－|AF 1|)2＝|AF 1|2＋|AF 2|2－2|AF 1|·|AF 2|＝12－4＝8，所以|AF 2|－|AF 1|＝22， 因此对于双曲线有a ＝2，c ＝3， 所以C 2的离心率e ＝c a ＝62.【答案】625．(参数的范围)(2013·安徽高考)已知直线y ＝a 交抛物线y ＝x 2于A ，B 两点，若该抛物线上存在点C ，使得∠ACB 为直角，则a 的取值范围为________．【解析】 设C (x ，x 2)，由题意可取A (－a ，a )，B (a ，a )， 则CA →＝(－a －x ，a －x 2)，CB →＝(a －x ，a －x 2)，由于∠ACB ＝π2，所以CA →·CB →＝(－a －x )(a －x )＋(a －x 2)2＝0，整理得x 4＋(1－2a )x 2＋a 2－a ＝0，即y 2＋(1－2a )y ＋a 2－a ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧－(1－2a )≥0，a 2－a ≥0，(1－2a )2－4(a 2－a )＞0，解得a ≥1.【答案】 [1，＋∞)直线与圆锥曲线的位置关系(2013·天津高考)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，离心率为33，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为433.(1)求椭圆的方程；(2)设A ，B 分别为椭圆的左、右顶点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ，D 两点，若AC →·DB →＋AD →·CB →＝8，求k 的值．【思路点拨】 (1)由离心率和椭圆基本量之间的关系建立方程，得椭圆方程；(2)联立直线与椭圆方程，借助韦达定理，结合向量的坐标运算求解．【自主解答】 (1)设F (－c,0)，由c a ＝33，知a ＝3c .过点F 且与x 轴垂直的直线为x ＝－c ，代入椭圆方程有(－c )2a 2＋y 2b 2＝1，解得y ＝±6b3，于是26b 3＝433，解得b ＝ 2.又a 2－c 2＝b 2，从而a ＝3，c ＝1， 所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.(2)设点C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由F (－1,0)得直线CD 的方程为y ＝k (x ＋1)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 23＋y 22＝1消去y ，整理得(2＋3k 2)x 2＋6k 2x ＋3k 2－6＝0. 由根与系数的关系可得x 1＋x 2＝－6k 22＋3k 2，x 1x 2＝3k 2－62＋3k 2.因为A (－3，0)，B (3，0)，所以AC →·DB →＋AD →·CB →＝(x 1＋3，y 1)·(3－x 2，－y 2)＋(x 2＋3，y 2)·(3－x 1，－y 1) ＝6－2x 1x 2－2y 1y 2＝6－2x 1x 2－2k 2(x 1＋1)(x 2＋1) ＝6－(2＋2k 2)x 1x 2－2k 2(x 1＋x 2)－2k 2 ＝6＋2k 2＋122＋3k 2.由已知得6＋2k 2＋122＋3k 2＝8，解得k ＝±2.1．(1)本题最常见的是计算错误，关键在于细心认真，平时强化计算能力训练．(2)用代数方法研究曲线的性质，关键是方程思想的应用．2．直线与圆锥曲线的位置关系，联立方程，充分利用根与系数的关系建立等式(或不等式)整体代入求解，并注意判别式满足的条件限制，防止增解．变式训练1 (2013·广州调研)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1(－1,0)，且点P (0,1)在C 1上．(1)求椭圆C 1的方程；(2)设直线l 同时与椭圆C 1和抛物线C 2：y 2＝4x 相切，求直线l 的方程． 【解】 (1)椭圆C 1的左焦点为F 1(－1,0)，∴c ＝1， 又点P (0,1)在曲线C 1上，∴0a 2＋1b 2＝1，得b ＝1，则a 2＝b 2＋c 2＝2， 所以椭圆C 1的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由题意可知，直线l 的斜率显然存在且不等于0，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ， 由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝kx ＋m ，消去y 得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0. 因为直线l 与椭圆C 1相切，所以Δ1＝16k 2m 2－4(1＋2k 2)(2m 2－2)＝0. 整理得2k 2－m 2＋1＝0.①由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋m ，消去y 得k 2x 2＋(2km －4)x ＋m 2＝0. 因为直线l 与抛物线C 2相切， 所以Δ2＝(2km －4)2－4k 2m 2＝0，整理得km ＝1.②综合①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝22，m ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－22，m ＝－ 2. 所以直线l 的方程为y ＝22x ＋2或y ＝－22x － 2.定点、定值问题(2013·陕西高考)已知动圆过定点A (4,0)，且在y 轴上截得弦MN 的长为8.(1)求动圆圆心的轨迹C 的方程；(2)已知点B (－1,0)，设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P ，Q ，若x 轴是∠PBQ 的角平分线，证明直线l 过定点．【思路点拨】 (1)设出圆心坐标，利用圆在y 轴上截得的弦长构建方程，求得圆心的轨迹方程．(2)设出直线l 的方程，与曲线C 联立，得关于x 的方程，依据根与系数的关系和x 轴平分∠PBQ ，得P 、Q 两点的坐标关系，进而可证直线l 过定点．【自主解答】 (1)如图a ，设动圆圆心O 1(x ，y )，由题意，|O 1A |＝|O 1M |.图a当O 1不在y 轴上时，过O 1作O 1H ⊥MN 交MN 于H ，则H 是MN 的中点， ∴|O 1M |＝x 2＋42 又|O 1A |＝(x －4)2＋y 2， ∴(x －4)2＋y 2＝x 2＋42.化简得，y 2＝8x (x ≠0)．当O 1在y 轴上时，O 1与O 重合，点O 1的坐标(0,0)也满足方程y 2＝8x ， ∴动圆圆心的轨迹C 的方程为y 2＝8x .(2)证明：如图b ，由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b (k ≠0)，图bP (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 将y ＝kx ＋b 代入y 2＝8x 中， 得k 2x 2＋(2bk －8)x ＋b 2＝0. 其中Δ＝－32kb ＋64>0. 由根与系数的关系得， x 1＋x 2＝8－2bkk 2，①x 1x 2＝b 2k2.②∵x 轴是∠PBQ 的角平分线， ∴y 1x 1＋1＝－y 2x 2＋1， 即y 1(x 2＋1)＋y 2(x 1＋1)＝0，∴(kx 1＋b )(x 2＋1)＋(kx 2＋b )(x 1＋1)＝0， ∴2kx 1x 2＋(b ＋k )(x 1＋x 2)＋2b ＝0，③将①②代入③并整理得2kb 2＋(k ＋b )(8－2bk )＋2k 2b ＝0， ∴k ＝－b ，此时Δ>0，∴直线l 的方程为y ＝k (x －1)，即直线过定点(1,0)．1．解题时注意两点：在第(1)问中，不可忽视(0,0)在y 2＝8x 上，注意讨论；第(2)问中，不可缺少Δ＝b 2－4ac ＞0，直线与圆锥曲线的综合问题，要把握好以下几个“不”：①不能缺少“Δ”；②不能忽视直线的斜率；③不能小视“基本”变形；④不能弱化几何证明；⑤不能忘记解题结论．2．(1)定点和定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题，基本思想是使用参数表示要解决的问题，证明要解决的问题与参数无关．在这类试题中选择消元的方向是非常关键的．(2)解圆锥曲线中的定点、定值问题也可以先研究一下特殊情况，找出定点或定值，再视具体情况进行研究.变式训练2 (2013·江西高考)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝32，a ＋b ＝3.(1)求椭圆C 的方程；(2)如图5－3－2所示，A ，B ，D 是椭圆C 的顶点，P 是椭圆C 上除顶点外的任意一点，直线DP 交x 轴于点N ，直线AD 交BP 于点M ，设BP 的斜率为k ，MN 的斜率为m ，证明：2m －k 为定值．图5－3－2【解】 (1)因为e ＝32＝c a ，所以a ＝23c ，b ＝13c . 代入a ＋b ＝3，得c ＝3，a ＝2，b ＝1. 故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明 因为B (2,0)，点P 不为椭圆顶点，则直线BP 的方程为y ＝k (x －2)⎝⎛⎭⎫k ≠0，k ≠±12，① ①代入x 24＋y 2＝1，解得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2－24k 2＋1，－4k 4k 2＋1.直线AD 的方程为y ＝12x ＋1.②①与②联立解得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫4k ＋22k －1，4k 2k －1. 由D (0,1)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2－24k 2＋1，－4k 4k 2＋1，N (x,0)三点共线知－4k4k 2＋1－18k 2－24k 2＋1－0＝0－1x －0，解得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫4k －22k ＋1，0. 所以MN 的斜率为m ＝4k2k －1－04k ＋22k －1－4k －22k ＋1＝4k (2k ＋1)2(2k ＋1)2－2(2k －1)2＝2k ＋14， 则2m －k ＝2k ＋12－k＝12(定值).范围与最值问题 错误!(2013·广东高考)已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点F (0，c )(c >0)到直线l ：x －y －2＝0的距离为322.设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线P A ，PB ，其中A ，B 为切点．(1)求抛物线C 的方程；(2)当点P (x 0，y 0)为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程； (3)当点P 在直线l 上移动时，求|AF |·|BF |的最小值．【思路点拨】 (1)由点到直线的距离求c 的值，得到F (0，c )后可得抛物线的方程；(2)采用“设而不求”策略，先设出A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，结合导数求切线P A ，PB 的方程，代入点P 的坐标，根据结构，可得直线AB 的方程；(3)将|AF |·|BF |转化为关于x 0(或y 0)的函数，再求最值．【自主解答】 (1)依题意，设抛物线C 的方程为x 2＝4cy (c >0)， 由点到直线的距离公式，得|0－c －2|1＋1＝322，解得c ＝1(负值舍去)，故抛物线C 的方程为x 2＝4y . (2)由x 2＝4y ，得y ＝14x 2，其导数为y ′＝12x .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21＝4y 1，x 22＝4y 2，切线P A ，PB 的斜率分别为12x 1，12x 2，所以切线P A 的方程为y －y 1＝x 12(x －x 1)，即y ＝x 12x －x 212＋y 1，即x 1x －2y －2y 1＝0.同理可得切线PB 的方程为x 2x －2y －2y 2＝0.因为切线P A ，PB 均过点P (x 0，y 0)， 所以x 1x 0－2y 0－2y 1＝0，x 2x 0－2y 0－2y 2＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x 1，y ＝y 1和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 2，y ＝y 2为方程x 0x －2y 0－2y ＝0的两组解．所以直线AB 的方程为x 0x －2y －2y 0＝0. (3)由抛物线定义可知|AF |＝y 1＋1，|BF |＝y 2＋1， 所以|AF |·|BF |＝(y 1＋1)(y 2＋1)＝y 1y 2＋(y 1＋y 2)＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧x 0x －2y －2y 0＝0，x 2＝4y ，消去x 并整理得到关于y 的方程为y 2＋(2y 0－x 20)y ＋y 20＝0. 由一元二次方程根与系数的关系得y 1＋y 2＝x 20－2y 0，y 1y 2＝y 20.所以|AF |·|BF |＝y 1y 2＋(y 1＋y 2)＋1＝y 20＋x 20－2y 0＋1.又点P (x 0，y 0)在直线l 上，所以x 0－y 0－2＝0， 即x 0＝y 0＋2，所以y 20＋x 20－2y 0＋1＝2y 20＋2y 0＋5＝2⎝⎛⎭⎫y 0＋122＋92， 所以当y 0＝－12时，|AF |·|BF |取得最小值，且最小值为92.1．(1)第(2)题求过两切点A ，B 的直线方程，即“切点弦所在的直线方程”，求解的依据是“如果两个不同点的坐标满足一条直线的方程，则这个方程就是过上述两点的直线方程”．(2)第(3)题求解的关键运用焦半径公式，将|AF |·|BF |转化为关于y 0的一元函数，配方法求最值．2．范围与最值问题，要根据题意画出图形，通过代数运算细化图形结构，重视数形结合的数学思想的运用，求解的常用方法有两种：(1)几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法．(2)代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或利用基本不等式求最值．变式训练3 平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)右焦点的直线x＋y －3＝0交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12.(1)求M 的方程；(2)C ，D 为M 上的两点，若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形ACBD 面积的最大值．【解】 (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)，则x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，y 2－y 1x 2－x 1＝－1， 由此可得b 2(x 2＋x 1)a 2(y 2＋y 1)＝－y 2－y 1x 2－x 1＝1.因为x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0，y 0x 0＝12，所以a 2＝2b 2.又由题意知，M 的右焦点为(3，0)，故a 2－b 2＝3. 因此a 2＝6，b 2＝3. 所以M 的方程为x 26＋y 23＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，x 26＋y 23＝1，解得⎩⎨⎧x ＝433，y ＝－33，或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝ 3.因此|AB |＝463. 由题意可设直线CD 的方程为y ＝x ＋n (－533＜n ＜3)，设C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋n ，x 26＋y 23＝1，得3x 2＋4nx ＋2n 2－6＝0. 于是x 3,4＝－2n ±2(9－n 2)3.因为直线CD 的斜率为1， 所以|CD |＝2|x 4－x 3|＝439－n 2.由已知，四边形ACBD 的面积 S ＝12|CD |·|AB |＝8699－n 2，当n ＝0时，S 取得最大值，最大值为863.86所以四边形ACBD面积的最大值为3.2013年山东、广东、湖北、江西等省市都对圆锥曲线中的探索性问题进行了考查，主要涉及曲线是否过定点，是否取最值，探寻某些条件是否存在等等，预测2014年高考仍将以探索性问题为载体，考查圆锥曲线的定点、定值、最值等问题．圆锥曲线中探索性问题的求解策略(12分)设A是单位圆x2＋y2＝1上任意一点，l是过点A与x轴垂直的直线，D是直线l与x轴的交点，点M在直线l上，且满足|DM|＝m|DA|(m>0，且m≠1)．当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标；(2)过原点斜率为k的直线交曲线C于P，Q两点，其中P在第一象限，且它在y轴上的射影为点N，直线QN交曲线C于另一点H，是否存在m，使得对任意的k>0，都有PQ ⊥PH？若存在，请说明理由．【规范解答】(1)如图(1)，设M(x，y)，A(x0，y0)，则由|DM|＝m|DA|(m>0，且m≠1)，可得x＝x0，|y|＝m|y0|，所以x0＝x，|y0|＝1m|y|.①因为A点在单位圆上运动，所以x20＋y20＝1. ②将①式代入②式即得所求曲线C的方程为x2＋y2m2＝1(m>0，且m≠1).2分因为m∈(0,1)∪(1，＋∞)，所以当0<m<1时，曲线C是焦点在x轴上的椭圆，两焦点坐标分别为(－1－m2，0)，(1－m2，0)；4分当m>1时，曲线C是焦点在y轴上的椭圆，两焦点坐标分别为(0，－m2－1)，(0，m2－1)．5分(2)如图(2)、(3)，∀k>0，设P(x1，kx1)，H(x2，y2)，则Q (－x 1，－kx 1)，N (0，kx 1)．直线QN 的方程为y ＝2kx ＋kx 1，将其代入椭圆C 的方程并整理可得(m 2＋4k 2)x 2＋4k 2x 1x＋k 2x 21－m 2＝0.依题意可知此方程的两根为－x 1，x 2，于是由根与系数的关系可得： －x 1＋x 2＝－4k 2x 1m 2＋4k 2，即x 2＝m 2x 1m 2＋4k 2.7分因为点H 在直线QN 上，所以y 2－kx 1＝2kx 2＝2km 2x 1m 2＋4k 2.于是PQ →＝(－2x 1，－2kx 1)，PH →＝(x 2－x 1，y 2－kx 1)＝(－4k 2x 1m 2＋4k 2，2km 2x 1m 2＋4k 2).9分而PQ ⊥PH 等价于PQ →·PH →＝4(2－m 2)k 2x 21m 2＋4k 2＝0， 即2－m 2＝0.由m >0，得m ＝ 2.11分故存在m ＝2，使得在其对应的椭圆x 2＋y 22＝1上，对任意的k >0，都有PQ ⊥PH .12分【阅卷心语】易错提示 (1)本题第(1)问在求解过程中，常因不分m >1和0<m <1致误． (2)本题第(2)问在求解过程中，常因不会表示H 点的坐标致误．防范措施 (1)对于方程x 2A ＋y 2B ＝1(A >0，B >0，A ≠B )而言，A >B 表示焦点在x 轴上的椭圆；A <B 表示焦点在y 轴上的椭圆．(2)对于H 点的求解，结合题设条件可知有两种思路，一种是求直线QN 与椭圆C 的交点；另一种是利用Q 、N 、H 三点共线．就一般题目而言，联立方程组，消元成一元二次方程，利用根与系数的关系及题设条件求解，是解答此类问题的常规思路．1．在抛物线y ＝2x 2上有一点P ，它到A (1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P 的坐标是( )A ．(－2,1)B ．(1,2)C ．(2,1)D ．(－1,2)【解析】 显然点A 在抛物线y ＝2x 2内部．过点A 作准线l 的垂线AH ，垂足为H ，交抛物线于P . 由抛物线定义，|PF |＝|PH |， ∴(|P A |＋|PF |)min ＝|PH |＋|P A |＝|AH |. 将x ＝1代入y ＝2x 2，得y ＝2，∴点P 的坐标为(1,2)． 【答案】 B2．已知A ，B ，C 是椭圆W ：x 24＋y 2＝1上的三个点，O 是坐标原点．(1)当点B 是W 的右顶点，且四边形OABC 为菱形时，求此菱形的面积； (2)当点B 不是W 的顶点时，判断四边形OABC 是否可能为菱形，并说明理由． 【解】 (1)椭圆W ：x 24＋y 2＝1的右顶点B 的坐标为(2,0)．因为四边形OABC 为菱形，所以AC 与OB 相互垂直平分． 所以可设A (1，m )，代入椭圆方程得14＋m 2＝1，即m ＝±32.所以菱形OABC 的面积是 12|OB |·|AC |＝12×2×2|m |＝ 3. (2)假设四边形OABC 为菱形．因为点B 不是W 的顶点，且直线AC 不过原点，所以可设AC 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝kx ＋m ，消y 并整理得 (1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0. 设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则x 1＋x 22＝－4km 1＋4k 2，y 1＋y 22＝k ·x 1＋x 22＋m ＝m1＋4k 2. 所以AC 的中点为M ⎝⎛⎭⎫－4km 1＋4k 2，m 1＋4k 2.因为M 为AC 和OB 的交点，所以直线OB 的斜率为－14k.因为k ·⎝⎛⎭⎫－14k ≠－1，所以AC 与OB 不垂直． 所以四边形OABC 不是菱形，与假设矛盾．所以当点B 不是W 的顶点时，四边形OABC 不可能是菱形．。

直线与圆锥曲线综合题一般通过直线方程与圆锥曲线方程的联立得到一个关于x 或y 的方程，利用判别式和根与系数的关系求解，但是利用向量或者三角函数有时也很简单，其中利用向量已经成为近年的考查热点，我们首先通过一个题目的三种解法了解三种方法一般过程.引例：已知椭圆22:143x y C +=上一动点Q 关于x 轴的对称点为P ，点D 的坐标为(4,0)，直线PD 交椭圆 C 于点F ，求证：直线QF 经过定点，并求定点的坐标.一、三种解法：解法一（设k 法）： 设11(,)P x y ，则11(,)Q x y -，设22(,)F x y ，显然直线PD 有斜率，设直线PD 的方程为(4)y k x =-，代入22:143x y C +=并整理得： 222(34)3264120k k x k +-+-=.由题意必有0∆>，于是由根与系数关系得：22121222326412,3434k k x x x x k k -+==++，直线QF 方程为212221()y y y y x x x x +-=--，当21210y y x x +≠-， 令0y =有221221()y x x x x y y -=-+，把1122(4),(4)y k x y k x =-=-代入整理得：12121224()8x x x x x x x -+=+-，再将22121222326412,3434k k x x x x k k -+==++代入上式化简得1x =.所以直线QF 过定点(1,0).当21210y y x x +=-时，210y y ==，直线QF 即x 轴，也过定点(1,0).综上直线QF 过定点(1,0).解法二（设λ法）：设11(,)P x y ，则11(,)Q x y -，设22(,)F x y ，直线QF 与x 轴交点为(,0)M m ，则1122(4,),(4,)DP x y DF x y =-=-，1122(,),(,)MQ x m y MF x m y =--=-，设DP DF λ=，MQ MF μ=（由图知1λ≠±），则有121212124(4)()x x y y x m x m y y λλμμ-=-⎧⎪=⎪⎨-=-⎪⎪-=⎩，即1212121244(1)(2)(3)(4)x x y y x x m m y y λλλμμμ=-+⎧⎪=⎪⎨=-+⎪⎪=-⎩ 又11(,)P x y ，22(,)F x y 在22:143x y C +=上， 所以22222222(44)()1(5)431(6)43x y x y λλλ⎧-++=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 2(5)(6)λ-⨯得：22222(44)()144x x λλλλ-+-=-， 21(244)(44)(1)(1)4x λλλλλ-+-+=+-，注意到1λ≠， 上式化简为22441x λλλ-+=+，即22530x λλ-+=， 由(2),(4)知μλ=-，于是(3)即12x x m m λλ=-++，这样我们有2121244(7)(8)2530(9)x x x m m x x λλλλλλ-+=⎧⎪-++=⎨⎪-+=⎩，(7)(8)(9)--得(1)(1)0m λλ+-+=，即(1)(1)0m λ+-=，注意到1λ≠-，所以1m =. 即直线QF 过定点(1,0).解法三（设θ法）：设(2cos ),(2cos ,),(2cos ),P Q F θθθθϕϕ 设直线QF 与x 轴交点为(,0)M m ，又(4,0)D ， 显然 ,,P F D 所在直线有斜率，=，即sin sin 2cos 42cos 4θϕθϕ=--，即sin cos cos sin 2(sin sin )θϕθϕθϕ-=-，即sin()22sincos22θϕθϕθϕ+--=⨯，即2sin cos 22cos sin2222θϕθϕθϕθϕ--+-=⨯， 显然sin 02θϕ-≠，否则,P F 重合，于是cos 2cos22θϕθϕ-+=， 由,,Q F Msin sin 2cos 2cos m m θϕθϕ-=--，于是当sin sin 0θϕ+≠时，2(sin cos cos sin )sin sin m θϕθϕθϕ+=+ 22sin cos2cos22212sincoscos222θϕθϕθϕθϕθϕθϕ+++⨯===+--， 即直线QF 过定点(1,0).当sin sin 0θϕ+=时，210y y ==，直线QF 即x 轴，也过定点(1,0). 综上直线QF 过定点(1,0). 二、三种解法的比较：仔细分析题意，可以发现，题目的条件有三个点在曲线上（考虑到,P Q 的对称，实际上可以看作只有两个点在曲线上），有两个三点共线，现在把三种解法中对于点在曲线上和三点共线的转化作一次比较，我们希望从这个比较中看到它们的优点与缺点，并进一步研究面对具体问题应该如何选择简单的方法，请看下表：三、在一个具体的问题中，如何选用这三种方法呢？下面结合具体的例子谈谈一般规律： 1、当题目条件与结论涉及交点个数，长度，倾斜角与斜率等问题时，一般选用设k 法这个一般方法：例题1：过抛物线24y x =的焦点F 作弦AB ，且||8AB ≤，直线AB 与椭圆22321x y +=交与两个不同的点，求直线AB 倾斜角α的取值范围.解：由已知得(1,0)F ，设直线AB 的方程为(1)y k x =-.由2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩得：22222(2)0k x k x k -++=. 显然0k ≠，22222[2(2)]416(1)0k k k k ∆=+-⋅=+>，所以||8AB ==≤，解得21k ≥. 由22(1)321y k x x y =-⎧⎨+=⎩得：2222(23)4220k x k x k +-+-=，显然223)0k +≠， 4222164(23)(22)8(3)0k k k k ∆=-+-=->，解得23k <.所以1||k ≤1|tan |α≤<[0,)απ∈，所以23[,)(,]4334ππππα∈.2、当题目条件与结论涉诸点共线或者线段之比时，一般选用设λ法：例题2：已知椭圆22:15x C y +=，过右焦点F 作直线l 交椭圆C 于,A B 两点，交y 轴于M 点，,B F 在,A M 之间，求||||||||MB MA BF AF -的值. 解：设12,MA AF MB BF λλ==，则111OM OF OA λλ+=+，221OM OFOB λλ+=+，其中O为坐标原点，设0(0,)M y ，由于(2,0)F ，所以 01112(,)11y A λλλ++，02222(,)11y B λλλ++， 把01112(,)11y A λλλ++代入椭圆22:15x C y +=得：22011121()()1511y λλλ+=++，去分母整理得：2211010550y λλ++-=，同理可得2222010550y λλ++-=，所以12,λλ是方程22010550y λλ++-=的两个根，所以1210.λλ+=-结合图形可知，12||||,||||MA MB AF BF λλ=-=，所以12||||10.||||MB MA BF AF λλ-=+=- 3、遇到求曲线上的点与直线的距离的最值问题、范围问题时，选用设θ法比较简单：例题3：求椭圆22:1916x y C +=上的点与直线:10l x y +=距离的最大值. 解：设(3cos ,4sin )P θθ椭圆22:1916x y C +=上任意一点， P 到直线100x y +-=的距离是d ==当sin()1θϕ+=-时，max d ==所以椭圆C 上的点到椭圆l对于同一个题目，不同的方法计算量可能相差很大，因此要注意选用合理的方法.。

圆锥曲线的综合问题：直线与圆锥曲线的位置关系ZHI SHI SHU LI 知识梳理1．直线与圆锥曲线的位置关系(1)从几何角度看，可分为三类：无公共点，仅有一个公共 点及有两个相异的公共点． (2)从代数角度看，可通过将表示直线的方程代入二次曲线的方程消元后所得一元二次方程解的情况来判断．设直线l 的方程为Ax ＋By ＋C ＝0，圆锥曲线方程f (x ，y )＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，f (x ，y )＝0消元，如消去y 后得ax 2＋bx ＋c ＝0， ①若a ＝0，当圆锥曲线是双曲线时，直线l 与双曲线的渐近线平行；当圆锥曲线是抛物线时，直线l 与抛物线的对称轴平行(或重合)． ②若a ≠0，设Δ＝b 2－4ac .当Δ__＞___0时，直线和圆锥曲线相交于不同两点； 当Δ__＝___0时，直线和圆锥曲线相切于一点； 当Δ__＜___0时，直线和圆锥曲线没有公共点． 2．直线与圆锥曲线相交时的弦长问题(1)斜率为k (k 不为0)的直线与圆锥曲线交于两点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)，则所得弦长|P 1P 2|＝1＋k 2·|x 1－x 2|或|P 1P 2|＝__1＋1k2·|y 1－y 2|___. (2)当斜率k 不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用两点间距离公式)． 3．圆锥曲线的中点弦问题遇到中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝－b 2x 0a 2y 0；在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝b 2x 0a 2y 0；在抛物线y 2＝2px (p ＞0)中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝p y 0.ZHONG YAO JIE LUN重要结论求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型，后计算”(1)定型，就是指定类型．也就是确定圆锥曲线的焦点位置，从而设出标准方程．(2)计算，就是利用待定系数法求出方程中的a 2，b 2或p .另外．当焦点位置无法确定时，椭圆常设为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0)，双曲线常设为mx 2－ny 2＝1(mn >0)，抛物线常设为y 2＝2ax 或x 2＝2ay (a ≠0)．SHUANG JI ZI CE双基自测1．(2019·天津模拟)若双曲线x 23－16y 2p 2＝1(p >0)的左焦点在抛物线y 2＝2px 的准线上，则p ＝( D ) A ．14B ．12C ．2D ．4[解析] 因为双曲线x 23－16y 2p 2＝1(p >0)的左焦点为(－3＋p 216，0)，抛物线y 2＝2px 的准线方程为x ＝－p2，所以－3＋p 216＝－p2，得p ＝4，故选D ． 2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为23，过F 2的直线l交C 于A ，B 两点，若△AF 1B 的周长为12，则C 的方程为( D ) A ．x 23＋y 2＝1B ．x 23＋y 22＝1C ．x 29＋y 24＝1D ．x 29＋y 25＝1[解析] 由椭圆的定义，知|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，|BF 1|＋|BF 2|＝2a ，所以△AF 1B 的周长为|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝12，所以a ＝3.因为椭圆的离心率e ＝c a ＝23，所以c ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝5，所以椭圆C 的方程为x 29＋y 25＝1，故选D ．3．(2019·宁夏模拟)直线l 过抛物线y 2＝－2px (p >0)的焦点，且与该抛物线交于A ，B 两点，若线段AB 的长是8，AB 的中点到y 轴的距离是2，则此抛物线的方程是( B ) A ．y 2＝－12x B ．y 2＝－8x C ．y 2＝－6xD ．y 2＝－4x[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，根据抛物线的定义可知|AB |＝－(x 1＋x 2)＋p ＝8.又AB 的中点到y 轴的距离为2，∴－x 1＋x 22＝2，∴x 1＋x 2＝－4，∴p ＝4，∴所求抛物线的方程为y 2＝－8x .故选B ．4．已知抛物线x 2＝8y 与双曲线y 2a2－x 2＝1(a >0)的一个交点为M ，F 为抛物线的焦点，若|MF |＝5，则该双曲线的渐近线方程为( B ) A ．5x ±3y ＝0 B ．3x ±5y ＝0 C ．4x ±5y ＝0D ．5x ±4y ＝0[解析] 设点M (x 0，y 0)，则有|MF |＝y 0＋2＝5，y 0＝3，x 20＝24，由点M (x 0，y 0)在双曲线y 2a2－x 2＝1上，得y 20a 2－x 20＝1，9a 2－24＝1，a 2＝925，所以双曲线y 2a 2－x 2＝1的渐近线方程为y 2a2－x 2＝0，即3x ±5y ＝0，选B ．5．(2019·桂林模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的半焦距为c ，原点O 到经过(c,0)，(0，b )两点的直线的距离为c2，则椭圆的离心率为( A )A ．32B ．22 C ．12D ．33[解析] 经过(c,0)，(0，b )两点的直线方程为x c ＋yb ＝1，即bx ＋cy －bc ＝0，所以由题设得bcb 2＋c 2＝c2，化简得c 2＝3b 2，得c 2＝3(a 2－c 2)，所以4c 2＝3a 2，所以2c ＝3a ，故椭圆的离心率e ＝c a ＝32.故选A ．6．(2019·温州模拟)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上一点M (－3,4)关于一条渐近线的对称点恰为双曲线的右焦点F 2，则该双曲线的标准方程为__x 25－y 220＝1___.[解析] 由题设知点M (－3,4)与右焦点F 2(c,0)关于直线y ＝ba x 对称，所以－4c ＋3·b a ＝－1，即4b ＝a (c ＋3)①，且线段MF 2的中点(c －32，2)在直线y ＝ba x 上，即2＝b a ·c －32，得b (c －3)＝4a ②.由①÷②得4c －3＝c ＋34，得c 2＝25，c ＝5，代入①可得b ＝2a .又c 2＝a 2＋b 2，所以25＝a 2＋(2a )2，所以a 2＝5，从而b 2＝4a 2＝20. 故所求双曲线的标准方程为x 25－y 220＝1.考点1 直线与圆锥曲线的位置关系——自主练透例1 (1)(2019·兰州检测)若直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为( B )A ．至多一个B ．2C ．1D ．0(2)(2019·湖北武汉调研)已知不过原点O 的直线交抛物线y 2＝2px 于A ，B 两点，若OA ，AB 的斜率分别为k OA ＝2，k AB ＝6，则OB 的斜率为( D ) A ．3 B ．2 C ．－2D ．－3(3)已知直线y ＝kx －1与双曲线x 2－y 2＝4的右支有两个交点，则k 的取值范围为( D ) A ．(0，52) B ．[1，52] C ．(－52，52) D ．(1，52) [解析] (1)∵直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，∴4m 2＋n 2＞2，∴m 2＋n 2＜4.∴m 29＋n 24＜m 29＋4－m 24＝1－536m 2＜1， ∴点(m ，n )在椭圆x 29＋y 24＝1的内部，∴过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点有2个，故选B ．(2)由题意可知，直线OA 的方程为y ＝2x ，与抛物线方程y 2＝2px联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，y 2＝2px ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝p 2，y ＝p ，即A (p 2，p )，则直线AB 的方程为y －p ＝6(x －p2)，即y ＝6x －2p ，与抛物线方程y 2＝2px 联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝6x －2p ，y 2＝2px ，得⎩⎨⎧ x ＝2p9，y ＝－2p 3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝p 2，y ＝p ，所以B (2p 9，－2p3)，所以直线OB 的斜率为k OB ＝－2p 32p9＝－3.故选D ．(3)由题意知k >0，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 2－y 2＝4，整理得(1－k 2)x 2＋2kx －5＝0，因为直线y ＝kx －1与双曲线x 2－y 2＝4的右支有两个交点，则联立所得方程有两个不同的正实数根x 1，x 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4k 2＋20(1－k 2)>0，x 1＋x 2＝－2k 1－k2>0，x 1x 2＝－51－k 2>0，解得1<k <52，即k ∈(1，52)，故选D ． 名师点拨 ☞研究直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为研究直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组的解的个数．注意：(1)在没有给出直线方程时，要对直线斜率不存在的情况进行讨论，避免漏解；(2)对于选择题、填空题，常利用几何条件，利用数形结合的方法求解．考点2 直线与圆锥曲线的弦长问题——师生共研例2 (2019·常州模拟)已知抛物线E ：x 2＝2py (p >0)上一点P 的纵坐标为4，且点P 到焦点F 的距离为5. (1)求抛物线E 的方程；(2)如图，设斜率为k 的两条平行直线l 1，l 2分别经过点F 和H (0，－1)，l 1与抛物线E 交于A ，B 两点，l 2与抛物线E 交于C ，D 两点．问：是否存在实数k ，使得四边形ABDC 的面积为43＋4？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．[解析] (1)由抛物线的定义知，点P 到抛物线E 的准线的距离为5. ∵抛物线E 的准线方程为y ＝－p 2，∴4＋p2＝5，解得p ＝2，∴抛物线E 的方程为x 2＝4y . (2)由已知得，直线l 1：y ＝kx ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y ，消去y 得x 2－4kx －4＝0， Δ1＝16(k 2＋1)>0恒成立，|AB |＝1＋k 2·16(k 2＋1)＝4(k 2＋1)．直线l 2：y ＝kx －1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 2＝4y ，消去y 得x 2－4kx ＋4＝0，由Δ2＝16(k 2－1)>0得k 2>1， |CD |＝1＋k 2·16(k 2－1)＝4(k 2＋1)(k 2－1)， 又直线l 1，l 2间的距离d ＝2k 2＋1，∴四边形ABDC 的面积S ＝12·d ·(|AB |＋|CD |)＝4(k 2＋1＋k 2－1)．解方程4(k 2＋1＋k 2－1)＝4(3＋1)，得k 2＝2(满足k 2>1)，∴存在满足条件的k ，k 的值为± 2. 名师点拨 ☞处理弦长问题的两个注意点(1)利用弦长公式求弦长要注意斜率k 不存在的情形，若k 不存在时，可直接求交点坐标再求弦长；(2)涉及焦点弦长时要注意圆锥曲线定义的应用． 〔变式训练1〕(2019·贵阳模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 24＋y 2＝1，点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)是椭圆C 上两个动点，直线OP ，OQ 的斜率分别为k 1，k 2，若m ＝(x 12，y 1)，n ＝(x 22，y 2)，m ·n ＝0.(1)求证：k 1·k 2＝－14；(2)试探求△OPQ 的面积S 是否为定值？并说明理由． [解析] (1)∵k 1，k 2存在，∴x 1x 2≠0，∵m ·n ＝0， ∴x 1x 24＋y 1y 2＝0，∴k 1·k 2＝y 1y 2x 1x 2＝－14. (2)①当直线PQ 的斜率不存在，即x 1＝x 2，y 1＝－y 2时， 由y 1y 2x 1x 2＝－14，得x 214－y 21＝0， 又由P (x 1，y 1)在椭圆上，得x 214＋y 21＝1， ∴|x 1|＝2，|y 1|＝22，∴S △POQ ＝12|x 1||y 1－y 2|＝1.②当直线PQ 的斜率存在时，设直线PQ 的方程为y ＝kx ＋b .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，x 24＋y 2＝1得(4k 2＋1)x 2＋8kbx ＋4b 2－4＝0，Δ＝64k 2b 2－4(4k 2＋1)(4b 2－4)＝16(4k 2＋1－b 2)>0， ∴x 1＋x 2＝－8kb4k 2＋1，x 1x 2＝4b 2－44k 2＋1.∵x 1x 24＋y 1y 2＝0， ∴x 1x 24＋(kx 1＋b )(kx 2＋b )＝0，得2b 2－4k 2＝1， ∵原点O 到直线PQ 的距离d ＝|b |1＋k 2，∴S △POQ ＝12·|b |1＋k 2·|PQ |＝12|b |(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2|b |4k 2＋1－b 24k 2＋1＝1.综上可得，△POQ 的面积S 为定值．考点3 中点弦问题——多维探究角度1 利用中点弦确定直线方程例3 已知P (1,1)为椭圆x 24＋y 22＝1内一定点，经过P 引一条弦，使此弦被P 点平分，则此弦所在的直线方程为__x ＋2y －3＝0___.[解析] 易知此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为k .设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则x 214＋y 212＝1①，x 224＋y 222＝1②，①－②得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)4＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)2＝0，∵x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，∴x 1－x 22＋y 1－y 2＝0，∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－12.∴此弦所在的直线方程为y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0.角度2 利用中点弦确定曲线方程例4 过点M (2，－2p )作抛物线x 2＝2py (p >0)的两条切线，切点分别为A ，B ，若线段AB 的中点的纵坐标为6，则抛物线方程为__x 2＝2y 或x 2＝4y ___.[解析] 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，依题意得，y ′＝x p ，切线MA 的方程是y －y 1＝x 1p(x －x 1)，即y ＝x 1p x －x 212p .又点M (2，－2p )位于直线MA 上，于是有－2p ＝x 1p ×2－x 212p ，即x 21－4x 1－4p 2＝0；同理有x 22－4x 2－4p 2＝0，因此x 1，x 2是方程x 2－4x －4p 2＝0的两根，则x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝－4p 2.由线段AB 的中点的纵坐标是6得，y 1＋y 2＝12，即x 21＋x 222p ＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 22p＝12，16＋8p 22p ＝12，解得p ＝1或p ＝2. 角度3 利用中点弦解决对称问题例5 已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ，b >0)上的一点到双曲线的左、右焦点的距离之差为4，若抛物线y ＝ax 2上的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)关于直线y ＝x ＋m 对称，且x 1x 2＝－12，则m 的值为( A ) A ．32B ．52C ．2D ．3[解析] 由双曲线的定义知2a ＝4，得a ＝2，所以抛物线的方程为y ＝2x 2.因为点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在抛物线y ＝2x 2上，所以y 1＝2x 21，y 2＝2x 22，两式相减得y 1－y 2＝2(x 1－x 2)(x 1＋x 2)，不妨设x 1<x 2，又A ，B 关于直线y ＝x ＋m 对称，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－1，故x 1＋x 2＝－12，而x 1x 2＝－12，解得x 1＝－1，x 2＝12，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)的中点为M (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝－14，y 0＝y 1＋y 22＝2x 21＋2x 222＝54，因为中点M 在直线y ＝x ＋m 上，所以54＝－14＋m ，解得m ＝32，选A ． 名师点拨 ☞处理中点弦问题常用的求解方法提醒：中点弦问题常用的两种求解方法各有弊端：根与系数的关系在解题过程中易产生漏解，需关注直线的斜率问题；点差法在确定范围方面略显不足． 〔变式训练2〕(1)(角度1)(2019·江西五市联考)已知直线y ＝1－x 与双曲线ax 2＋by 2＝1(a >0，b <0)的渐近线交于A 、B 两点，且过原点和线段AB 中点的直线的斜率为－32，则ab的值为( A ) A ．－32B ．－233C ．－932D ．－2327(2)(角度3)已知椭圆x 22＋y 2＝1的左焦点为F ，O 为坐标原点．设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，点A 和点B 关于直线l 对称，l 与x 轴交于点G ，则点G 横坐标的取值范围是__(－12，0)___.[解析] (1)由双曲线ax 2＋by 2＝1知其渐近线方程为ax 2＋by 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有ax 21＋by 21＝0①，ax 22＋by 22＝0②，由①－②得a (x 21－x 22)＝－b (y 21－y 22)，整理得y 1＋y 2x 1＋x 2·y 1－y 2x 1－x 2＝－a b ，设AB 的中点为M (x 0，y 0)，则k OM ＝y 0x 0＝2y 02x 0＝y 1＋y 2x 1＋x 2＝－32，又知k AB ＝－1，∴－32×(－1)＝－a b ，∴a b ＝－32，故选A ．(2)设直线AB 的方程为y ＝k (x ＋1)(k ≠0)，代入x 22＋y 2＝1，整理得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0.因为直线AB 过椭圆的左焦点F 且不垂直于x 轴， 所以方程有两个不等实根．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点N (x 0，y 0)， 则x 1＋x 2＝－4k 22k 2＋1，x 0＝12(x 1＋x 2)＝－2k 22k 2＋1，y 0＝k (x 0＋1)＝k2k 2＋1，因为点A 和点B 关于直线l 对称， 所以直线l 为AB 的垂直平分线，其方程为 y －y 0＝－1k(x －x 0)．令y ＝0，得x G ＝x 0＋ky 0＝－2k 22k 2＋1＋k 22k 2＋1＝－k 22k 2＋1＝－12＋14k 2＋2，因为k ≠0，所以－12<x G <0，即点G 横坐标的取值范围为(－12，0)．故填(－12，0)．。