2016-2017人教版高中数学选修2-3课件：第二章2.3-2.3.1离散型随机变量的均值

2．3.2 离散型随机变量的方差

1．问题导航

(1)离散型随机变量的方差及标准差的定义是什么？

(2)方差具有哪些性质？两点分布与二项分布的方差分别是什么？

(3)如何计算简单离散型随机变量的方差？

2．例题导读

(1)例4求随机变量的均值和方差、标准差，请试做教材P68练习1题．

(2)例5是均值和方差的实际应用，请试做教材P68练习3题．

1．方差、标准差的定义及方差的性质

(1)方差及标准差的定义：

设离散型随机变量X的分布列为

X x1 x2 „ xi „ xn

P p1 p2 „ pi „ pn

①方差D(X)＝∑ni＝1 (xi－E(X))2pi.

②标准差为________D（X）．

(2)方差的性质：D(aX＋b)＝________a2D(X)．

2．两个常见分布的方差

(1)若X服从两点分布，则D(X)＝________p(1－p)．

(2)若X～B(n，p)，则D(X)＝________np(1－p)．

1．判断(对的打“√”，错的打“×”)

(1)离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定．( )

(2)若a是常数，则D(a)＝0.( )

(3)离散型随机变量的方差反映了随机变量偏离于期望的平均程度．( )

答案：(1)× (2)√ (3)√

2．一批产品中，次品率为13，现连续抽取4次，其次品数记为X，则D(X)的值为( )

A.43 B.83

C.89 D．1

答案：C

3．如果X是离散型随机变量，E(X)＝6，D(X)＝0.5，X1＝2X－5，那么E(X1)和D(X1)分别是( ) A．E(X1)＝12，D(X1)＝1

B．E(X1)＝7，D(X1)＝1

C．E(X1)＝12，D(X1)＝2

D．E(X1)＝7，D(X1)＝2

答案：D

4．已知随机变量X的分布列如下表所示，则X的方差为________.

X 1 3 5

P 0.4 0.1 x

答案：3.56

高中数学-打印版

校对打印版 2.3随机变量的数字特征

2．3.1 离散型随机变量的数学期望

[对应学生用书P34]

设有12个西瓜，其中重5 kg的有4个，重6 kg的有3个，重7 kg的有5个．

问题1：任取一个西瓜，用X表示这个西瓜的重量，试想X可以取哪些值？

提示：X＝5,6,7.

问题2：X取上述值时对应的概率分别是多少？

提示：13，14，512.

问题3：试想每个西瓜的平均重量该如何求？

提示：5×4＋6×3＋7×512＝5×13＋6×14＋7×512.

1．离散型随机变量的均值或数学期望

设一个离散型随机变量X所有可能取的值是x1，x2，…，xn，这些值对应的概率是p1，p2，…，pn则E(X)＝x1p1

＋x2p2＋…＋xnpn叫做这个离散型随机变量X的均值或数学期望(简称期望)，它刻画了这个离散型随机变量的平均取值水平．

2．超几何分布与二项分布的均值

若离散型随机变量X～B(n，p)，则E(X)＝np；若离散型随机变量X服从参数为N，M，n的超几何分布，则E(X)＝nMN.

1．对离散型随机变量均值的理解：

(1)离散型随机变量的均值E(X)是一个数值，是随机变量X本身固有的一个数字特征，它不具有随机性，反映的是随机变量取值的平均水平．

(2)随机变量的分布相同，则它们的均值一定相同；有相同均值的两个分布未必相同；两个不同的分布也可以有相同的均值．

2．离散型随机变量的均值和样本均值之间的区别 高中数学-打印版

校对打印版 随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，而样本平均数是一个随机变量，它随样本的不同而变化．

[对应学生用书P34]

求离散型随机变量的期望

盒中装有5节同牌号的五号电池，其中混有2节废电池．现在无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止，求抽取次数X的分布列及期望．

明确X的取值，并计算出相应的概率，列出分布列后再计算期望．

X可取的值为1,2,3，

2.3 离散型随机变量的均值与方差（第1课时）

一、教学目标

1．核心素养

通过对离散型随机变量的均值的学习，更进一步提高了学生的数学建模能力和数学运算能力．

2．学习目标

（1）通过实例，理解取得有限值的离散型随机变量的均值的概念；

（2）能计算简单离散型随机变量的期望，并能解决一些实际问题.

3．学习重点

离散型随机变量的期望的概念、公式及其应用.

4．学习难点

灵活利用公式求期望.

二、教学设计

1．预习任务

任务1

阅读教材P60－P63，思考：何为加权平均、权数？随机变量的均值（数学期望）的定义是什么？它反应了什么？

任务2

根据数学期望的计算过程，可得到它的什么性质？

任务3

何为两点分布？如果随机变量服从两点分布，则其数学期望有什么特点？

任务4

随机变量均值与样本的平均值有何联系与区别？

2．预习自测

1．已知X的分布列为

X －1 0 1

P 0.5 0.3 0.2

则E(X)等于( )

A．0.7 B．0.61 C．－0.3 D．0

2．设E(X)＝10，E(Y)＝3，则E(3X＋5Y)＝( )

A．45 B．40 C．30 D．15 3．若X～B(4，12)，则E(X)的值为( )

A．4 B．2 C．1 D.12

（二）课堂设计

1．知识回顾

（1）何为离散型随机变量．

（2）离散型性随机变量的分布列．

（3）何为样本平均值？怎么计算？．

（4）我们预习本课的数学期望是怎么定义的？怎么计算？

2.创设情境 引入新知

前面我们学习了离散性随机变量分布列的概念，研究了一些简单离散型随机变量的分布，建立了二项分布、超几何分布等应用广泛的概率模型.离散型随机变量的分布列刻画了随机变量取值的概率规律，但往往还需要进一步了解离散型随机变量取值的特征.

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复习回顾

1 .离散型随机变量 X 的均值

均值反映了离散型随机变量取值的平均水平.

2 . 两种特殊分布的均值

（1）若随机变量X服从两点分布，则EX=p.

（2）若X~B(n，p) ，则EX=np. niii=1EX=xp

数学期望是离散型随机变量的一个特征数，

它反映了离散型随机变量取值的平均水平，表示

了随机变量在随机实验中取值的平均值，所以又

常称为随机变量的平均数、均值.

今天，我们将对随机变量取值的稳定与

波动、集中与离散的程度进行研究. 2.3.2离散型随机变

量的方差

（1）了解离散型随机变量的方差、标准差的

意义；

（2）会根据离散型随机变量的分布列求出方

差或标准差

. 知识与技能 教学目标 过程与方法

了解方差公式“D(aξ+b)=a2Dξ”，以及

“若ξ~Β(n，p)，则Dξ=np(1-p)”，并会应用

上述公式计算有关随机变量的方差 .

情感、态度与价值观

承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体

现数学的文化功能与人文价值.

教学重难点

重 点 离散型随机变量的方差、标准差.

难 点 比较两个随机变量的期望与方差的大小，从而解决实际问题 . 思考

要从两名同学中挑选出一名，代表班级参加射

击比赛. 根据以往的成绩记录，

第一名同学击中目标靶的环数X1的分布列为

X1 5 6 7 8 9 10

P 0.03 0.09 0.20 0.31 0.27 0.10

第二名同学击中目标靶的环数X2的分布列为

X2 5 6 7 8 9

P 0.01 0.05 0.20 0.41 0.33

根据已学知识，可以从平均中靶环数来比较两

名同学射击水平的高低，即通过比较X1和X2的均值

来比较两名同学射击水平的高低. 通过计算

E(X1)=8，E(X2)=8，

发现两个均值相等，因此只根据均值不

能区分这两名同学的射击水平. 思考

除平均中靶环数外，还有其他刻画两名

同学各自射击特点的指标吗？