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高等数学A试卷A解答

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1 南京工业大学 高等数学A-2试卷（A）解答

2012--2013学年 第 二 学期 使用班级 江浦12级

一、选择题(本大题共5小题, 每小题3分, 总计15分)

1、)(C 2、()A 3、)(B 4、()D 5、)(B

二、填空题（本大题共5小题, 每小题3分，总计15分)

1、221xxy ⒉、 1 3、2 4、43 5、 2

三、解答下列各题(本大题共4小题，每小题7分，总计28分,每题要有必要的解题步骤)

1、设函数6),,(zyxyzzxxyzyxf，问在点)0,4,3(P处沿怎样的方向l，f的变化率最大？并求其最大的变化率。

解:)6,2,3()1,1,1()0,4,3(Pyxzxzygradf

f沿方向(3,2,6)l的变化率最大； ……4分

其最大的变化率为(3,4,0)7Pfgradfl。 ……3分

2、设22(,)yzfxyx，其中(,)fuv具有二阶连续偏导数，求xz、yxz2。

解:1222zyxffxx， ……3分

2111222122221112(2)(2)zyxyfffyffxyxxxx

22111222223142(1)yyfxyfffxxx ……4分

3、计算二次积分110sinxxdxydyy。

解：111000sinsinyxxxdxydydyydxyy（交换积分顺序） ……2分

120(1cos1)ydy ……3分

1(1cos1)3 ……2分

4、计算Lxds，其中L为由直线yx及抛物线2yx所围成的区域的整个边界。

解：L由1L和2L两段组成，其中1:(01)Lyxx；22:(01)Lyxx，于是 2 12LLLxdsxdsxds112200111(2)xdxxxdx ……4分

11200214xdxxxdx1(55621)12 ……3分

四、解答下列各题(本大题共4小题，每小题7分，总计28分,每题要有必要的解题步骤)

1、求曲面32xyezz在点)0,2,1(处的切平面方程和法线方程。

解：令(,,)23,zFxyzzexy点)0,2,1(处的切平面的法向量为

(1,2,0)(1,2,0)(,,)(2,2,1)2(2,1,0)zxyznFFFyxe； ……3分

切平面方程为：042yx； ……2分

法线方程为：0221zyx. ……2分

2、求函数2),(22yxyxf在区域}14),{(22yxyxD上的最大值和最小值。

解:令,02,02yyfxxf 得驻点（0，0）， ……2分

);,(yxL)14(22222yxyx，

022xxLx，0212yyLy，01422yxL，

可能极值点 （0，2），（0，-2），（1，0），（-1，0）， ……3分

(0,0)2f，2)2,0()2,0(ff，3)0,1()0,1(ff

函数2),(22yxyxf在区域}14),{(22yxyxD上的最大值和最小值分别为3和-2。 ……2分

3、设是由曲线2, (0z2)0,zyx绕z轴旋转而成的曲面，写出的方程并计算24(1)(81)ydzdxzydxdy，其中取下侧。

解： 的方程是22zxy(0z2)； ……2分

不封闭， 设1为222,(2)zxy的上侧，则

212222004(1)(81)2ydzdxzydxdydvddrrdz， 3 （或2200[]2zDdvdxdydzzdz） ……2分

124(1)(81)2(81)24xyxyDDydzdxzydxdyydxdydxdy ……2分

故24(1)(81)242ydzdxzydxdy。 ……1分

4、求幂级数21021nnxn在收敛域(1,1)内的和函数，并求级数01(21)4nnn的和。

解：设210()21nnxsxn，2201(),11nnSxxxx， ……2分

20111()dln,1121xxSxxxxx ， ……3分

210011112()2()ln3(21)4(21)22nnnnsnn。 ……2分

五、应用题(本题8分)

质点P沿着以AB为直径的半圆周，从点(1,2)A运动到点(3,4)B的过程中受变力F作用(见图)。F的大小等于点P与原点O之间的距离，其方向垂直于线段OP且与y轴正向的夹角小于2，求变力F对质点P所作的功。

解：由图可知(,),Fyx故所求的功为

ddABABWFdsyxxy ……3分

()(dd)ABBAAByxxy ……3分

312[(1)]Ddxdyxxdx=22 ……2分

六、证明题(本题6分)

设正项级数1nna发散，令12nnsaaa(1,2,)n，证明:级数1(1)nnns收敛。

证明：显然数列nS单调增加，因为1nna发散，所以limnns；

对于交错级数1(1)nnns，因为数列1ns单调减少且1lim0nns，由莱布尼兹定理知级数1(1)nnns收敛。 ……6分

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中北大学高等数学A2019-2020期中考试试题与答案

中北大学高等数学A2019-2020期中考试试题与答案

1 / 6 2019-2020 学年 第 1 学期 第 1 次考试试题与答案

课程名称 高等数学A（1）

1、下列极限不存在的是（ C ）．

（A）1

limsin

xx

x

； （B）limarctan

xx

；

（C）e1

lim

e1x

x

x

； （D

）lim(1)

xxx



．

解析：（A）11

limsinlim1

xxxx

xx



（由于1

0

x，因此11

sin

xx

）

（B）π

limarctan

2

xx



（C）e11e

limlim1

e11exx

xx

xx





，e1

lim1

e1x

x

x



，因此e1

lim

e1x

x

x

不存在．

（D）1

lim(1)lim0

1

xxxx

xx





2、

1

lim1kx

xx



（ A ）．

（A）ek

； （B）ek

；

（C

）1

ek

； （D

）1

ek． 解析：

11

lim1lim1ek

kxx

k

xxxx







．

3、当0x

时，423sincosxxx

与nx

为等价无穷小，则n

（ B ）．

（A）4； （B）6； （C）7； （D）9． 解析：42363

66

00sincoscos

limlim1

xxxxxxx

xx



（sinxx

）

4、关于函数3233

()

(3)(2)xxx

fx

xx

的间断点，下列正确的是（ D ）．

（A）3x

与2x

均为无穷间断点；

（B）3x

与2x

均为可去间断点；

（C）3x

为无穷间断点，2x

为可去间断点；

（D）3x

为可去间断点，2x

为无穷间断点． 解析：3222

33333(3)(1)18

limlimlim

(3)(2)(3)(2)25

xxxxxxxxx

xxxxx





，因此3x

为可去间断点；

当2x

时，分母极限为0，分子极限为非0实数，因此2x

为无穷间断点． 2 / 6 5、设cos0

华南理工大学高等数学统考试卷下2007及解答

华南理工大学高等数学统考试卷下2007及解答

一、选择题（每小题3分，共15分）

1）若,zfxy在点00,xy处可微，则下列结论错误的是（ B ）

A、,fxy在点00,xy处连续

B、,,,xyfxyfxy在点00,xy处连续

C、,,,xyfxyfxy在点00,xy处存在

D、曲面,zfxy在点0000,,,xyfxy处有切平面

2）二重极限22400limxyxyxy值为（ D ）

A、0 B、1 C、12 D、不存在

3）已知曲面的方程为2210zxyz，则2222441xyzdSxy（ B ）

A、2 B、 C、1 D、2

分析：2222222222222211441441441xyxyzxyxydSxydxdyxyxy

2211xydxdy

4）已知直线34:273xyzL和平面:4223xyz则（ B ）

A、L在内 B、L与平行，但L不在内

C、L与垂直 D、L不与垂直，L不与平行

5）用待定系数法求微分方程232yyyx的一个特解时，应设特解的形式y（ B ）

A、2ax B、2axbxc

C、2xaxbxc D、22xaxbxc

二、填空题（每小题3分，共15分） 1）arctanxzy，则dz2222yxdxdyxyxy

2）曲线L为原点到点1,1的直线段，则曲线积分22xyLeds的值等于

21e

3）交换积分次序后，ln10,exdxfxydy10,yeedyfxydx

《高等数学》A试卷A答案

《高等数学》A试卷A答案

《⾼等数学》A试卷A答案

⼀、填空题（每⼩题4分,共20分）： 1

．设ln(y x =

，则1d 2x y dx ==

. 2．曲线sin ,1cos x t t y t =-??=-? 在 2t π

= 处的切线斜率为1.

3．若1

lim ()x f x →存在，且1

1

1

()2lim ()x x f x x

f x -→=+，则

1()2x f x x e -=-.

4．若01()f x '=，则000(2)()

lim arctan u f x u f x u u

→+--=3.

5．若2lim 8x

x x a x a →∞+??

= ?-??，则a =ln 2.

⼆、选择题（每⼩题4分,共20分）：1．设()232x x f x =+-，则当0x →时（ D ）. （A ）()f x 与x 是等价⽆穷⼩量 （B ）()f x 是⽐x 较低阶的⽆穷⼩量

（C ）()f x 是⽐x 较⾼阶的⽆穷⼩量 （D ）()f x 与x 是同阶但⾮等价⽆穷⼩量

2．若函数()f x 在0x 点存在左、右导数，则()f x 在点0x （ A ）.

（A ）连续 （B ）可导 （C ）不可导 （D ）不连续3．当1x →时，

1

2111

x x e x ---的极限（ C ）. （A ）等于2 （B ）等于0 （C ）不存在但不为∞ （D ）为∞

4．设函数21()1lim n

n x

f x x →∞+=+，讨论()f x 的间断点，其结论为（ A ）.

（A ）存在间断点1x = （B ）存在间断点1x =-

（C ）存在间断点0x = （D ）不存在间断点5．设对任意的x ，总有()()()x f x x ?ψ≤≤，且

[]lim ()()0x x x ψ?→∞

-=，则lim ()x f x →∞

（ C ）.

（A ）存在且等于0 （B ）存在但不⼀定

等于0

（C ）不⼀定存在 （D ）⼀定不存在

三、计算题（本题共4题，共计24分）： 1.（5分）设tan y x y =+，求d y ； 解：(tan )()d y d x y =+22s c 1

高等数学参考解答 (1)

高等数学参考解答 (1)

习题1.1

(A)组

1. 求以下函数的定义域

(1) 232xxxy (2) 241xy (3) 112xxy

2. 求下述函数的反函数

(1) 11xxy (2) 12xy

3. 请回答以下问题

(1) 如果函数)(xfy满足：存在常数NM,，使得MxfN)(，问函数)(xfy是否有界？

(2) 有界函数的图像具有什么特征？

(3) 奇函数的图像具有什么特性？偶函数的图像具有什么特性？

(4) 周期函数的图像具有什么特性？

(5) 单调增、单调减函数的图像分别具有什么特性？

4. 给定函数的图像如下：

试问，(1) 它们对应函数的零点分别是多少？ (2) 函数在y轴上的截距大约是多少？

5. 给定分段函数

010001)sgn(xxxx

试问，这一函数的定义域是什么？试画出这一函数的图像。

解答：

1. (1) 2320xx，从而2x或1x，即 ),2()1,(

(2) 240x 解得 )2,2(

(3) 210x，从而，定义域为：),1()1,1()1,( 2. (1) 由11xxy解出x可得11yxy，因此反函数为：11xxy

(2) 函数值域为：[1,)，对于每一个大于1的函数值，都有两个x与之对应，因此，无反函数

3. (1)有界 (2) 有界函数的图像夹在两条平行于x轴的平行直线之间

(3) 奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称

(4) 周期函数的图像在横轴上以一个周期长度为单位重复出现

(5) 单调增函数的图像随自变量取值的增大而上升，单调减函数的图像随自变量取值的增大而下降

4. (1) 对应函数的零点分别为：3 ,1 ,2x (2) 函数在y轴上的截距大约是6