2019-2020学年北京北京八年级上数学期末试卷

第1页 共12页 ◎ 第2页 共12页 2019-2020学年北京北京八年级上数学期末试卷

一、解答题

1. 若分式−2𝑥+9𝑥−1值为正整数，则𝑥的值为________.

2. 已知𝑐𝑎+𝑏=𝑎𝑏+𝑐=13，则𝑏𝑐+𝑎=________ .

3. 若𝑥，𝑦为变量，𝑚，𝑛为参数，则关于𝑦的一元一次方程(𝑛−1)𝑥𝑚−2+(𝑚−2)𝑦𝑚+𝑛−5=8的解为________.

4. 若𝑥2−3𝑥+1=0，则3𝑥2−233𝑥+8+4𝑥2+1=________ .

5. 若关于𝑥的方程4𝑥+3𝑥−5−𝑚𝑥+35−𝑥=1无解，则𝑚的值为________.

6. 如果关于𝑥，𝑦的方程组{𝑎𝑥−5𝑦=62𝑥+3𝑦=𝑏有无穷多组解，请比较𝑎和𝑏的大小关系：________（填写𝑎>𝑏,𝑎=𝑏,𝑎<𝑏中的一个）

7. 若关于𝑥的一元一次不等式组{2(𝑥−3)≥3(𝑥−1)𝑚𝑥≥𝑥+1的解为𝑥≤−5，则𝑚的值为________.

8. 有两个行向量（行矩阵）：𝐴=(1−𝑘，+2𝑘)和𝐵=(𝑥−𝑦，𝑥+𝑦)，无论𝑘取何值，总能保证𝐴×𝐵𝑇=2成立，则𝑥的值为________.

9. 已知关于𝑥，𝑦的方程组{2𝑎𝑥−𝑦=2𝑎+5𝑥+𝑦=2𝑎+4的解为正整数（解得𝑥，𝑦均为正整数），且𝑎为整数，则𝑎=________ .

10. 若𝑥满足2+2𝑥2+1𝑥≥0，则𝑥的取值范围是________.

11. 已知𝑏𝑎+𝑎𝑏=3，则𝑎4+𝑎2𝑏2+𝑏4𝑎4+𝑎3𝑏+𝑎𝑏3+𝑏4的值为________.

12. 求(20112−2017)(20112+4019)2008×2010×2014=________．

13. 已知行列式满足以下关系：|𝑎2−21|≤|34𝑏2|≤|1−33𝑎|，则𝑎+4𝑏的绝对值的最大值是________.

14. 若𝑥满足|𝑥−3|−|𝑥+1|<2，则𝑥的取值范围是________.

15. 若将关于𝑥的分式2𝑥2+3𝑥+1𝑥4−𝑥，化成部分分式为𝐴𝑥+𝐵𝑥−1+𝐶𝑥+𝐷𝑥2+𝑥+1，则𝐴+𝐵+𝐶+𝐷=________．

16. 已知𝑎，𝑏，𝑐均不为0，且3𝑎−2𝑏2𝑎−𝑏=𝑏−5𝑐𝑏−2𝑐=−𝑐+3𝑎𝑐−𝑎，则𝑎𝑏=________．

17. 已知𝑥，𝑦满足(3−213)×(𝑥𝑦)=(3𝑘−13𝑘+1)和(2 1)×(𝑥𝑦)=3，则𝑘的值为________.

18. 已知𝑎，𝑏满足𝑎≠−2, 𝑏≠−2，设𝑀=𝑎𝑎+2+𝑏𝑏+2，𝑁=1𝑎+2+1𝑏+2，则下面叙述正确的有________ .

①𝑎𝑏=1时，𝑀<2𝑁；②𝑎𝑏=2时，𝑀=2𝑁；

③𝑎+𝑏=0时，𝑀⋅𝑁≤0；④𝑎𝑏=2且𝑎+𝑏>0时，𝑀𝑁>1.

19. 已知关于𝑥的不等式{5(𝑥−1)≤3𝑥+7𝑥+7<2𝑥+3𝑘只有3个整数解，则𝑘的取值范围是________.

20. 对于数𝑥，符号[𝑥] 表示不超过𝑥的最大整数，暨[𝑥]≤𝑥<[𝑥]+1．若关于𝑥的方程[𝑥+2|𝑎|5]=4有正整数解，则𝑎的取值范围是________.

21. 解方程或不等式

（1）解关于𝑥的方程：|𝑥−|2𝑥+1||=3．

（2）解关于𝑥的方程：𝑥+3𝑥+1+𝑥2+3𝑥−2𝑥2+4𝑥+3−2𝑥+7𝑥+3=0．

第3页 共12页 ◎ 第4页 共12页 （3）请用克莱姆法则求解方程：{2𝑥+3𝑦=73𝑥+2𝑦=9．

（4）解关于𝑥，𝑦的方程组：{2𝑥−𝑦=𝑏𝑥−2𝑎𝑦=2𝑏+2．

（5）解关于𝑥,𝑦,𝑧的方程组：{ 1𝑥−2𝑦+2𝑧=31𝑥+1𝑦+1𝑧=51𝑥+3𝑦+1𝑧=7

（6）将行列式|𝑎−1𝑎(𝑎−1)𝑎𝑏−1𝑏(𝑏−1)𝑏𝑐−1𝑐(𝑐−1)𝑐|因式分解．

（7）解关于𝑥的不等式组：{|2𝑥+4|≤2𝑎𝑥−𝑎≤𝑥+2．

22. 在通信系统中，传输的过程一般需要进行加密．一种加密方法是发送方将原有的信息𝑋左乘一个加密矩阵𝐴，作为加密后的信息𝑆发送出去，暨𝑆=𝐴𝑋．接收方在接收到信息𝑆后只需要再左乘一个解密矩阵𝐵，便可得到𝑋，暨𝐵𝑆=𝑋．

（1）现已知𝑋和𝑆都是3×1的列向量（列矩阵），加密矩阵𝐴如下所示，请尝试去解密矩阵𝐵．

𝐴=(132313231)

（2）在发射端可以对𝑋进行多重加密，暨在𝑋左边乘上多个矩阵作为加密后的信息𝑆．例如：三重加密时𝑆=𝐴𝐵𝐶𝑋 ，其中，𝐴，𝐵，𝐶均为可逆的加密方阵．为了对多重加密进行解密，也可以采取相同的方式，在解密端对𝑆左乘一个矩阵𝐷，使得𝐷𝑆=𝑋，根据矩阵逆的定义和性质，𝐷应该为𝐴𝐵𝐶的逆矩阵，暨𝐷=(𝐴𝐵𝐶)−1，求证：(𝐴𝐵𝐶)−1=𝐶−1𝐵−1𝐴−1．

23. 并行计算是计算机科学中最漂亮的工具之一．它的基本原理是：将一个复杂的问题，分成若干个简单的子问题，将这些子问题放在多台计算机上同时进行运算．相比于在一台计算机上完成所有运算，并行运算的运算时间会被大大缩减（多台计算机并行运算的总时间为最后一台计算机完成计算的时间）．并行计算被广泛运用到当今时代的“云计算”场景中．下面举例说明云计算中是如何进行两个𝑛×𝑛的矩阵𝐴和𝐵的乘法运算的，𝐴和𝐵如下所示：

𝐴=(𝑎11⋅𝑎1𝑛⋮⋱⋮𝑎𝑛1⋯𝑎𝑛𝑛),𝐵=(𝑏11⋅𝑏1𝑛⋮⋱⋮𝑏𝑛1⋯𝑏𝑛𝑛)

如果使用一台计算机直接计算𝐴×𝐵，需要进行很多次的乘法运算和很多次的加法运算．但如果把矩阵𝐴和𝐵都拆成更小的矩阵放在多台计算机上进行运算则能节省很多时间，例如，将矩阵𝐴拆成一个个行向量（行矩阵），矩阵𝐵拆成一个个列向量（列矩阵），则可以把矩阵的乘法𝐴×𝐵看成𝑛×𝑛 次独立的行向量乘以列向量的运算．把这些行向量乘以列向量的运算平均分配到𝑘台计算机中运算，则每台计算机最多只用进行[𝑛×𝑛𝑘]+1次行向量乘以列向量的运算，其中[𝑛×𝑛𝑘]表示取𝑛×𝑛𝑘的整数部分．

假如一台计算机计算一次加法运算所需要的时间𝑡1=1×10−9秒，计算一次乘法运算需要的时间是𝑡1=3×10−9秒．如果𝑛=104 ，则

（1）完成一次行向量乘以列向量所耗费的时间是多少秒？

（2）如果是用一台计算机，完成𝐴×𝐵运算耗费的总时间是多少秒？

（3）如果要求𝐴×𝐵在1秒之内完成运算，则至少需要几台计算机？

24. 卷积神经网络(𝐶𝑜𝑛𝑣𝑜𝑙𝑢𝑡𝑖𝑜𝑛𝑎𝑖 𝑁𝑒𝑢𝑟𝑎𝑙 𝑁𝑒𝑡𝑤𝑜𝑟𝑘𝑠，𝐶𝑁𝑁)是一类包含卷积计算且具有深度结构的前馈神经网络，是深度学习（𝐷𝑒𝑒𝑝 𝐿𝑒𝑎𝑟𝑛𝑖𝑛𝑔）的代表算法之一，也是人工智能时代开启的标志性算法，已经被广泛应用于图像处理（𝐼𝑚𝑎𝑔𝑒 𝑃𝑟𝑜𝑐𝑒𝑠𝑠𝑖𝑛𝑔）和行为认知(𝐴𝑐𝑡𝑖𝑛𝑔 𝑅𝑒𝑐𝑜𝑔𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛）等场景中．图(𝑎)是一个在图像处理中的卷积神经网络使用案例．图像在计算机中一般用矩阵进行储存，矩阵中的每一个元素值暨代表图像中对应点颜色的深浅．将图像反复经过卷积神经网络中的两种运算：卷积(𝐶𝑜𝑛𝑣𝑜𝑙𝑢𝑡𝑖𝑜𝑛)和池化(𝑃𝑜𝑜𝑙𝑖𝑛𝑔)，便可得到最后的输出结果，用来判断图像中的物体是否属于哪一类．如图30(𝑎)中，经过卷积神经网络，计算机可以自动判断图像是一条狗．

本题是关于池化过程的应用题．池化是卷积神经网络的一个重要过程，其核心思想是用一个数值（记为𝑠）来代替矩阵．例如：对于如下所示的一个3×3的矩阵𝐴，在池化过程中可以使用𝑎11来代替矩阵𝐴．池化用矩阵的乘法就可以实现，如下所示：

𝐴=[𝑎11𝑎12𝑎13𝑎21𝑎22𝑎23𝑎31𝑎32𝑎33]  𝑎11=[100][𝑎11𝑎12𝑎13𝑎21𝑎22𝑎23𝑎31𝑎32𝑎33][100] 

若𝐵是一个行向量（行矩阵）：(𝑏11,𝑏12,𝑏13)，请尝试只用矩阵的乘法求𝐵中所有元素的平均值．进一步的，希望用𝐴中所有元素的平均值，来进行池化过程，请只使用矩阵的乘法实现求𝐴中所有元素的平均值的池化过程．（可以引入新的矩阵，但是不能使用加法、求逆等乘法之外的其他运算）

25. 本题是关于卷积过程的应用题．为了能够更好地引入卷积，我们首先引入矩阵的内积运算（记作⊙），用来表示两个矩阵所有对应项的乘积的和．对于两个𝑛×𝑛的矩阵𝐴和𝐵，如下所示：

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内积运算定义如下：

𝐴⊙𝐵=𝑎11𝑏11+𝑎12𝑏12+⋯𝑎1𝑛𝑏1𝑛+𝑎21𝑏21+⋯+𝑎𝑛𝑛𝑏𝑛𝑛=∑∑𝑎𝑖𝑗𝑛𝑗=1𝑛𝑖=1𝑏𝑖𝑗

图（𝑏）是一个更为简单的两个2×2的矩阵内积运算过程如下：

（1）对于任意两个3×3 的矩阵𝐴和𝐵，若𝐴是单位阵（只有对角线元素为1，其他元素均为0），𝐵的主对角线上所有元素均为1，其他元素均不为0．求𝐴⊙𝐵 .

（2）求证：对于任意三个3×3 内矩阵𝐴、𝐵、𝐶，均有(𝐴+𝐵)⊙𝐶=𝐴⊙𝐶+𝐵⊙𝐶 .

卷积运算可以在内积运算基础上进行定义．对于一个𝑚×𝑚的矩阵𝐴和一个𝑛×𝑛的矩阵𝐵（𝑚≤𝑛）；𝐴与𝐵的卷积运算记作𝐴∗𝐵．定义如下：

图（𝑐）是一个更为直观的2×2矩阵与一个4×4矩阵进行卷积的例子：

（3）已知两个矩阵𝐴=(1001)，𝐵=(123242136763426731)，求𝐴∗𝐵 .