四色定理

空间四色定理

全文共四篇示例，供读者参考

第一篇示例：

空间四色定理是一种关于地图着色的数学定理，它指出任何平面图都可以用四种颜色进行着色，使得相邻的区域颜色不同。这个定理是对四色定理在三维空间的推广，是由英国数学家哈佛·约瑟夫·萨福德和其学生乔治·法莫斯于1976年首次提出的。

在平面地图着色中，我们可以将地图上的不同区域用不同的颜色进行着色，但是要求相邻的区域颜色不能相同。四色定理指出，任何一个平面图都可以用四种颜色进行着色，使得相邻的区域不会相同，即使图形非常复杂也是如此。

而空间四色定理则是在平面图的基础上推广到了三维空间，也就是说对于任意的三维几何图形或者复杂的几何体，我们也可以用四种颜色进行着色，使得相邻的部分颜色不同。这个定理在实际应用中具有非常广泛的意义，可以被应用于地图着色问题、计算机图形学、密码学等领域。

对于空间四色定理的证明是非常复杂和困难的，因为三维空间的几何形状比平面图形更加复杂，其结构也更为多样化。萨福德和法莫斯在提出这个定理之后，并没有给出详细的证明方法，而是留下了一个给数学家们解决的难题。 直到1982年，美国数学家凯恩·麦克蒂基成功地证明了空间四色定理，他在证明中使用了复杂的数学方法和技巧，包括拓扑学、图论、组合数学等。这个证明过程非常漫长和复杂，耗费了大量的时间和精力。

空间四色定理的证明对于数学领域的发展具有重要的意义，它不仅解决了一个重要的数学难题，而且对于数学的推理和证明方法也有着深远的影响。这个定理的提出和证明，为数学家们提供了一个全新的研究方向，也激发了更多的数学思考和探索。

空间四色定理是一个非常重要的数学定理，它指出了在三维空间中对图形着色的规律，为地图着色问题、计算机图形学等领域提供了有力的理论支持。虽然证明过程非常困难，但是通过数学家们的辛苦努力，最终成功解决了这个难题，为数学领域的发展做出了重要的贡献。希望这个定理能够继续激发更多人对数学的兴趣和热爱，推动数学领域不断发展和进步。

四色定理

四色定理（世界近代三大数学难题之一），又称四色猜想、四色问题，是世界三大数学猜想之一。四色定理

的本质正是二维平面的固有属性，即平面内不可出现交叉而没有公共点的两条直线。很多人证明了二维平面内无

法构造五个或五个以上两两相连区域，但却没有将其上升到逻辑关系和二维固有属性的层面，以致出现了很多伪

反例。不过这些恰恰是对图论严密性的考证和发展推动。计算机证明虽然做了百亿次判断，终究只是在庞大的数

量优势上取得成功，这并不符合数学严密的逻辑体系，至今仍有无数数学爱好者投身其中研究。

中文名 四色定理 外文名 Four color theorem 别 称 四色问题，四色猜想 提出者 格斯里（Francis Guthrie）

提出时间 1852年 应用学科 拓扑学、图论 适用领域范围 地图编辑 类 别 世界近代三大数学难题之一

四色问题简介

四色问题又称四色猜想、四色定理，是世界近代三大数学难题之一。地图四色定理（Four color theorem）

最先是由一位叫古德里（Francis Guthrie）的英国大学生提出来的。

四色问题的内容是“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。”也就是说在不

引起混淆的情况下一张地图只需四种颜色来标记就行。

用数学语言表示即“将平面任意地细分为不相重叠的区域，每一个区域总可以用1234这四个数字之一来标记

而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。”这里所指的相邻区域是指有一整段边界是公共的。如果两个区域只相

遇于一点或有限多点就不叫相邻的。因为用相同的颜色给它们着色不会引起混淆。

发展简史

问题的提出

1852年，毕业于伦敦大学的格斯里（Francis Guthrie）来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现每幅地图

都可以只用四种颜色着色。这个现象能不能从数学上加以严格证明呢？他和他正在读大学的弟弟决心试一试，但

是稿纸已经堆了一大叠，研究工作却是没有任何进展。 [1]

四色定理

面对世界三大数学难题之一的四色猜想，我不认为我有把握解决，但是，以下这个新颖独到的证明方法，或许您会有兴趣。有时候，过程比结果更重要。

此证明过程分两步进行，并用两个命题引入最后的结论。

命题一：出现第五种颜色国家的充要条件是这个国家与四个两两相邻的国家都相邻。（这是一个伪命题，不过对于理解以后的证明有帮助）

地图很复杂，国家形状各异，研究起来很困难，所以第一个工作是将地图简化。

先引入一个概念：连线。在地图上每个国家上选一个中心点（为理解方便选国家首都），每两个相临的国家都用一根柔线把它们的中心点连起来，并且这些线都只在这两个相邻国家的国土上经过（因此不一定是直线），现在将所有的国家都忽视掉，地图上只剩下很多中心点和很多的柔线。点就代表国家，线就代表相邻关系。

连线有一个重要特性：可以不相交。这个不难理解。

四个国家两两相邻，用四个点和六条连线可以很清楚的表示出来，如下图：

上图是四点两两相连的最简情况之一，还有一种最简情况是正方行的四边和两条对角线，不过上文所书连线可以不相交，因此否决了后者。想在上图中添加第五个点和以上四点都相连且连线不相交，显然是不可能的。换言之，一个平面内不可能出现五个点两两相连且连线不相交。所以得证，不可能出现第五个国家与四个两两相邻的国家都相邻。也就是说不可能出现五个国家两两相邻。

以上的证明过程没有错误，而推论的局限在于只考虑了相邻不同色的情况，如果国家不相邻也不同色，上面的推论就不适用了。

命题二：出现第五种颜色国家的充要条件是这个国家与四个必不同色的国家都相邻。

引入一个新概念——影响线(影响线很难理解,所以后面会有一个续文专就影响线做介绍。)

影响线——若A，B两国必不同色，它们中心点之间必然存在着一些连线，这些线起到影响双方的作用，若A，B相邻，它们的连线就是影响线。若A，B不相邻，影响他们的线会有很多条。需要找到一条最具有代表性的，并将其命名为影响线。

地图四色定理

地图四色定理最先是由一位叫古德里（Francis Guthrie）的英国大学生提

出来的。德·摩尔根（A，DeMorgan，1806～1871）1852年10月23日致哈密顿

的一封信提供了有关四色定理来源的最原始的记载。他在信中简述了自己证明四

色定理的设想与感受。一个多世纪以来，数学家们为证明这条定理绞尽脑汁，所

引进的概念与方法刺激了拓扑学与图论的生长、发展。1976年美国数学家阿佩

尔（K.Appel）与哈肯（W.Haken）宣告借助电子计算机获得了四色定理的证明，

又为用计算机证明数学定理开拓了前景。以下摘录德·摩尔根致哈密顿信的主要

部分，译自J． Fauve1 and J.Gray（eds.），The History of Mathematics ：

A Reader，pp． 597～598。

德·摩尔根致哈密顿的信（1852年10月23日）

我的一位学生今天请我解释一个我过去不知道，现在仍不甚了了的事实。他说如

果任意划分一个图形并给各部分着上颜色，使任何具有公共边界的部分颜色不

同，那么需要且仅需要四种颜色就够了。下图是需要四种颜色的例子（图1）。

现在的问题是是否会出现需要五种或更多种颜色的情形。就我目前的理解，若四

个不订分割的区域两两具有公共边界线，则其中三个必包围第四个而使其不与任

何第五个区域相毗邻。这事实若能成立，那么用四种颜色即可为任何可能的地图

着色，使除了在公共点外同种颜色不会

现画出三个两两具有公共边界的区域ABC，那么似乎不可能再画第四个区域

与其他三个区域的每一个都有公共边界，除非它包围了其中一个区域（图2）。

但要证明这一点却很棘手，我也不能确定问题复杂的程度一对此您的意见如何

呢？并且此事如果当真，难道从未有人注意过吗？我的学生说这是在给一幅英国

地图着色时提出的猜测。我越想越觉得这是显然的事情。如果您能举出一个简单

的反例来，说明我像一头蠢驴，那我只好重蹈史芬克斯的复辙了。