完整版电磁场理论复习总结
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完整版电磁场理论复习总结
1.1 标量场和⽮量场
1.2 三种常⽤的正交坐标系
1.3标量场的梯度
哈密顿算符：(⼀e —e —e z)x y z
2.梯度的垄本运算公式
1) VC-0 (C^S)
2) V(Cu)⼆CVw
3) V((/ ⼟巧⼆可肿⼟V7附
4) V(/a T) = Z/V V +T V;/
5) VF(u) = F r(u)Vu
6) V(-) = -l(rV?/-i/Vv)
v v
FF cF
7) ^7(^ v) = —Vw + — Vv
du dv
式中：U育常報；级⽢为半标变最遢載;3”梯度的重要性质
16CJ55 「「⼩
V x V/z = 0
产⽣场的场源所在的空闾位国点称
为源点上记为am或7 场所在的疇间
⾫置点称为场贞「记为(x,y\2｝或⼫
源点到场点的距S?j?=|r-r| 从源点指
向场点的⽮量为^ = r-F
例3求鸥叫哙呻?刃畑％&R⾐⽰对仗」4运算R表⽰对运算.
R^r-r1^J(x-A?)r+(y-/>:
BR 、BR 、BR
—MY臥叫帝M还
W(R) = ARWR = ^-\R
(tri
旳和5 巧\2化砸事=蛰￡⾍=—%专(lii dii fi
r ?S A dS A. A y A z
divA lim ——
V 0 V x y z
divA A x A y A z A
x y z
A e x( A z A y) e y( A x A z) e z(⼊s
y z z x x y
1) V Y C=0
2) Vx(i = A
3) V x(H ±B) —V XJ1±V>.5
4) V x (u = uV y /< + V u K
X B)=2J-V XJ4-J4-V X5
l f ***** 4；
jd' V x Vy - 0
! 7)V (VxJ)-O：
W屜囲焉唉屋?熾常数，址为标量函数「
du
电磁总复习第⼀章⽮量分析l ?Eit ⼗dit ?du
It= 0 r ——+ 0 L ——+&——标量场⼼的梯度.
ex cy cz
V u =
—y
ir rot
A
c'R ex R
_y-y r漁—
R 忑R
VR = -
R
R'
⽮童场的雄度"_R _⼫⼀*的散度恒为零
R ，|r-r'-1.4⽮量场的通量与散度
三. 散度的运算公式])V C-0
2)V(Arl) = )tV^
4) V (u A) =wV .4 + 4 Vw 沐为常数」为标量函数)
- (IA
5) V J(rt) - V// —
du
四、⾼斯定理(散度定理)L v知⼀丄％
物理詳5G穿过⼀封闭曲⾓的总谓呈等于⽮虽散度的休秘分1.5⽮量场的环流与旋度
-------------------- V V
V v ?c A dl rotA nlim --
S 0S
r r r
e x e y e z
ir i
rot A A
x y z
A x A y A z
4-症度计算相关公式:
标葷场的梯度
的旌度恒为零1G:2D3*
酶点
录场点df R
max
三、斯托克斯定理
物理含义；—个⿂量场旋度的⾯税分導于演⽮量沿此由⾯周界的曲线眦四、⽮量场擬度的重要性质
⼙（Vxj^O任意⽮量场I?度的散度等于議1.6亥姆霍兹定理与格林定理
⼀、⽮量场的分类⽮量场有两种不同性质的源：
（1）散度源（标量）（2）旋度源（⽮量）。
任⼀⽮量场，可能是由两种源中的⼀种产⽣的，也可能是由两种源共同产⽣的。
根据⽮量场的散度和旋度值是否为零进⾏分类。1）有源⽆旋场
若⽮虽场申佐某区域'他处姑汁⽫個在某些楼置或整个空间内，有歸*如则称在该区±?v内，场⼾旧为有
源⽆旋壕?P为⽮虽场通虽谓密度；
VxF=0
蛍要性氐萨（F）⽫⼆[严⼾（⼫）曲"
结臨⽆旋场场⽮量沿任诃闭合路径的环流等于零（⽆激涡源
⼏VxVw-0
⽆旋场的旋度始终为6可引⼊标号辅助函数表征⽮戢场即F ⼆-％
例如：静电场Vx￡= O^F—Vp2）⽆源有族场_若⽮量场丙⼫）在某区轍内，处处VJ = O,但在某些位冒或整亍空间内.有VxF=J^0 -则称在该区妳刚场戸㈤为有淀⽆源如说明器式中J为⽮量场漩祸源密度。!V-F-0
童要性质：^F（r） rf5 = [.V F（r）rfr=0
騒⽆散场通过任盍闭合曲⾯的通量等于零（⽆散度源⼋vVxJ = 0
⽆散场的散度始络为0, ⼝I引⼊⽮量函数的貰度表⽰⽆F=VxJ 钏虬1S越4场V-5 =0z>fi=Vxl
3）⽆紅⽆哉场（源⾫所i+论的区域Z外）Vx/ =0=>F - -Vtt
V?w = O
4）有散「有旋场
这样的场可分解为两部分：⽆旋场部分和⽆散场部分⼾（F）⼆京F）+ 和F}=-別（亍）+2（F）
忸- 札
；⽆散场部分 ■**!■■? O.?N ■⼇⼇?■■■?,
⽆冀场与⽆散场可以看磴展两科基本的⽮量场，任⼀⽮量场都可以分解为⽆庭场部分与⽆飲场部分上利也就是说，性⼀⽮虽场都可以表⽰为⼀标屋场的梯度与另⼀⽮虽场的龊度之刑.F（F）⼆刁（可⼗￡疔）4
⼀、浚姆崔玆定理
在有限的区域扌内，任⼀⽮量场由它的散度"就度和边界条件（即限定区域V的0]合⾯S上的⽮量场的分布）唯地确定，且可妬为1）⽮駅场户可以⽤⼀亍标虽函数的梯度和⼀个⽮⾢函数的旋度来表⽰。此标量函数由f的散度和⼖在边界$上的法向分呈完全确赶⽽⽮量函数则⼭⼾的真度和⼾在边界⾯S上的切向分量完全确定；2）由于Vx[W（f）]- O t V [V x j（r）J = 0 f周⽽⼀^⼘⽋量场可以衷⽰为-个⽆旋场与⽆啟场之和，即
F（r）= ^（r）+ ^（r）
lV^(r) = O
V^^(7) = VxF(r) = J
3）如果在区域V内⽮量场F的散度与旋度均处处为
0, ±其在边界⾯S上的场分布完全确定；
亥姆霍兹定理在电磁场理论中的査⽂：
⽆旋场部分1
说明:F(r)--Vu(r) + VxJ(r)
已知在电短场中*
「电酋密卧-电浚斋頂/ （⽮⾥F喰⼀地
価》L宙域讪界￥11
1
1) V (中审)_ (X 7⼙)v +⼙1V 审
2) V ?(亦)=年护?⼻⼗亦A
V^>x J+^iVx J 4) V-(^x^)=(Vx.4).4
5) V x(Jx5) = (V 5)J + (5-V )J-(V
6>V (J^)=2x(Vx5)+(3 V )5+Jx(Vxl}+(J-V )J 7Mx(VxJ)-iv^2 -(i V )J 8) Vx(Vxj)-V(V-j)-V\J 9) V^i = 0T V-(V x J) = 0
第⼆章静电场分析2.1电场的基本性质
体电荷M 电荷在某空间休积内连续分布? 休电荷密度定⽂，单位休积内將电荷量“Q(F)=帆学:=穿 ⼧詔 a g = [ p(f >/F “7 &F dv … R .
2、⾯电荷密度 q
s (r^)ds 3、线电荷密度q
l (
V
)dl
S
l
4.点电荷
⼆、库仑定律
描述了真空中两个点电蓟间和互作⽤⼒的规律，其数学表
三、电场强度 定艾:单位正电荷⾐电场中某点受到的作⽤⼒称为该
点 的电场强度。￡=応丘
冲⼠O' M
（刃拧个点电荷产⽣的电场强度（⽮量叠加原
理） ⾵⼫） —= E —v （l ）m 七尺」令叫 '时
R^r-r/
点电荷：爭电荷体体积⾮常⼩.可忽略其休稅时，称为 电荷°点电
荷町看柞是电量屯⽆限集中于⼀个⼏何点上。0 r#0 I 00 r r_ 0
5*点电蓟的占慵数表⽰法：
1）占茵數的定丈和性頂： 设坐标原
点为场点坐标 为；，源点坐标为⼏ （,*内 （D ⼙诞珊） M T ￡V
内）
（3）连
续分怖的电苞源产⽣的电场
元电荷产⽣的社场dE^-^-e,
⽃陀j??*dq =
⼕库电荷分布dq - p. dV
关于“三度"的 ⼀些常⽤公式；Q --------------- O --------------- QI*复合函数的I
［⼆度公式
］
■■- _ -
I 积分变换公式
0(巧=冬％
⼆⼀Vwv 7
dtt ,
Vx J 4(w) = Vwx —
rfw
当F = D （将源点透在坐标原点）时.则有 （S （r -r f
） = t5（r ）
性⿀
① 占函数是⼀个偶附数。 ② a 函数的抽祥性’超?为⼀T 连续函数，则冇 0 阻咖
/（P ） （F 在v 内）
⾼斯公式 f A t￡=[ (V-4)rfr = frf^VUJS Jr J F 例1⼠证明L 沪' （卫是S 甬数"
0 戸在F 外
记住 1
⾎⼙內
结论R F —
|蚩要公式|
***,?***[ S
-w
（ N . < J
（D 单个点电荷产⽣的电场强度
迭式为F ⼀晒⼫ 仏& %⼀仙盘「⼀伽
酩盹
式申：甩表⽰？作⽤在嚳上的静亀⼒g
⼼为真空中介电牯孤f =⼆⼀--10 处
F久线电荷分布dq = p^r 2.2真空中静电场的基本⽅程
帀⾙￡ g ⼼佥借斯定理）静电场是⼀个 Vx￡ - 0 ￡￡?廖=（）（环路定理】有源⽆旋场
斯托克斯处式2Crt1j12ZZ?
如巧V5
b.⾯业荷分布
f 佔肩
电场空间中两点间电位差为：
松⼆⼖⼸眄或陆⼆]『磴
⼆、电位参考点
电位参考点选择原则：1）电位参考点电位⼀般为0；
⑴申.荷分布在有限区域，通常选⽆穷远为电位参考点
炉h= 0 （J B-￥X）
在⽆源区域*% = 0 ⼨电位的拉普拉斯⽅程
例I：半径为⼔的带电导体球.已知球体th位为u, 求空间电位
分布及电场强度分布⼖
解法-导体球是等位体铝r
（2）电荷分布在⽆隈区域⼻;能选⽆穷远点作参考点*否呦积
分将⽆穷⼤*应根据空际情况选取参考点?2）场中任意两点2间的电位建与掺罟点⽆关⼝
3）选择参考点恳可能使电位表达式⽐较简肌.
4>电位参考点可任負选择，但同⼀问题'⼀般共能选取⼀个参考
点.
三、电位的计算公式1、点电荷的电位
