高中数学 专题5.4 平面向量的综合应用(讲+练)(原卷版+解析版)

1.设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，4=BC ，AC AB AC AB -=+，则=AM _______. 【答案】2 【解析】=AM 1111422222AB AC AB AC CB +=-==⨯=. 2.若点G 为△ABC 的重心，且AG ⊥BG ，则sin C 的最大值为________．【答案】353.设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA OB OC OD +++等于 _______.【答案】OM 4【解析】本题需要将,,,,用OM 表达，则需利用向量的加法和减法法则（平行四边形或三角形法则）寻找他们之间的关系。

由图可知,,-=+=,+=,+=所以OM -+++=+++4,因为ABCD 为平行四边形，所以有BM =-=，则OM 4=+++.4.在ABC ∆中，若2AB AB AC BA BC CA CB =⋅+⋅+⋅,则ABC ∆是_______三角形 【答案】直角5.在ABC ∆中， AD 是BC 边上的高，给出下列结论：①0)(=-⋅； AD AC AB ≥+； ③B AB AD=；其中结论正确的个数是_______. 【答案】3【解析】∵AD BC ⊥，∴0AD BC ⋅=， ①()0AD AB AC AD CB ⋅-=⋅=；②取BC 中点M ，2AB AC AM +=，而||||AM AD ≥，∴||2AB AC AD +=； ③||cos ||||ADAC AC CAD AD AD ⋅=∠=，||sin ||AB B AD =，所以B AB AD=； 所以正确的个数为3个.6.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线:10l x ky -+=与圆22:4C x y +=相交于, A B 两点，OM OA OB =+．若点M 在圆C 上，则实数k =_______.【答案】07.抛物线2:8C x y =与直线22y x =-相交于,A B 两点,点P 是抛物线C 上不同,A B 的一点,若直线,PA PB 分别与直线2y =相交于点,Q R ,O 为坐标原点,则OR OQ ⋅的值是_______.Q ARB2O yxJ P【答案】20【解析】由抛物线2:8C x y =与直线22y x =-联立方程得216160x x -+=，设112200(,),(,),(,)A x y B x y P x y .所以121216,16x x x x +==.所以直线PA:100010()y y y y x x x x --=--.令y=2．100010(22)42(2)x y x xx x y -+-=-+.即100010(22)4(,2)2(2)x y x x Q x y -+--+.同理200020(22)4(,2)2(2)x y x x R x y -+--+.所以OR OQ ⋅0221200000122120120(22)4(22)()16442(2)()(2)x x y x x y x x x x x x y x x y -+--+++=+-++++2002001644864420284y y y y -+=+=-+ 8.已知向量a 与b 的夹角为θ，定义b a ⨯为a 与b 的“向量积”，且b a ⨯是一个向量，它的长度θsin b a b a =⨯，若(2,0)u =，(1,3)u v -=-，则=+⨯)(v u u _______. 【答案】32 【解析】试题分析：由题意()(1,3)v u u v =--=，则(3,3)u v +=，3cos ,2u u v <+>=， 得1sin ,2u u v <+>=，由定义知1()sin ,223232u u v u u v u u v ⨯+=+<+>=⨯⨯= 9.直线y x m =+与圆2216x y 交于不同的两点M ，N ，且3MN OM ON ≥+，其中O 是坐标原点，则实数m 的取值范围是_______. 【答案】[22,22]-10在Rt △ABC 中，CA ＝CB ＝2，M ，N 是斜边AB 上的两个动点，且MN 2CM CN ⋅的取值范围为 ． 【答案】322CM CN ≤⋅≤【解析】根据题意可以C 为原点建立平面直角坐标系，则(2,0),(0,2)A B ，直线AB 方程为：2x y +=，可设点1122(,2),(,2)M x x B x x --，由MN ==211x x -=，由21212111111(2)(2)(1)(2)(1)222CM CN x x x x x x x x x x ⋅=+--=++--=-+，又101x ≤≤，结合二次函数的图象可得：322CM CN ≤⋅≤． 11.已知a 、b 是平面向量，若(2)a a b ⊥-，(2)b b a ⊥-，则a 与b 的夹角是_______. 【答案】3π 【解析】∵(2)a a b ⊥-, ∴22.0a a b -=. ∵(2)b b a ⊥-, ∴220b ab -=. 设a 与b 的夹角为θ, cos ab a b θ=,则2222cos 0a ab a a b θ-=-=, 2222cos 0b ab b a b θ-=-=. ∴22cos a a b θ=，22cos b a b θ=.若0a =或0b =，则a =0b =，此时，（A ）、（B ）、（C ）、（D ）都正确.若0a ≠且0b ≠，解方程组得到1cos 2θ=.∴3πθ= 12.定义域为[,]a b 的函数()y f x =图象的两个端点为,A B ，(,)M x y 是()f x 图象上任意一点，其中(1)()x a b R λλλ=+-∈，向量(1)ON OA OB λλ=+-，若不等式MN k ≤恒成立，则称函数()f x 在[,]a b 上“k 阶线性近似”.若函数1y x x=+在[1,2]上“k 阶线性近似”，则实数k 的取值范围为_______.【答案】32⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭由定义域为[,]a b 的函数()y f x =图象的两个端点为,A B ，(,)M x y 是()f x 图象上任意一点，其中(1)()x a b R λλλ=+-∈知：01λ≤≤，令2t λ=-，则[1,2]t ∈，所以211222t t λλ-+=+-在2]t ∈递减，2,2]t ∈2132222λλ-≤+≤-，即32130222λ-≤--≤从而21132132222222MN λλλλ+-⎛⎫=+=--≤ ⎪--⎝⎭，不等式MN k ≤恒成立，则k ≥32213.在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 的坐标为(3,)a ，a ∈R ，点P 满足OP OA λ=，λ∈R ，||||72OA OP ⋅=，则线段OP 在x 轴上的投影长度的最大值为 ．【答案】24 【解析】试题分析：点A 的坐标为(3,)a ，则||3OA ≥，又OP OA λ=，则,,O P A 三点共线，||||72OA OP =，则72||||OP OA =，设OP 与x 轴夹角为θ，则OP 在x 轴上的投影长度为||cos OP θ=23216||||||OP OA OA =24≤，即线段OP 在x 轴上的投影长度的最大值为24． 14.如图：内接于⊙O 的△ABC 的两条高线AD 、BE 相交于点H,过圆心O 作OF ⊥BC 于 F ，连接AF 交OH 于点G ，并延长CO 交圆于点I.(1) 若AH OF λ=,试求λ的值； (2)若OB y OA x CH +=,试求y x +的值；(3)若O 为原点，点B 的坐标为(－4,－3)，点C 的坐标为C(4,－3),试求点G 的轨迹方程. 【答案】（1）21=λ;（2）2=+y x ;（3）925)2(22=++y x （3-≠y ）. 【解析】∵CI 为直径 ∴∠IAC 和∠IBC 均为直角 ∴AI ∥BE,BI ∥AD ∴四边形AIBH 为平行四边形（1）1122OF IB AH AH λ===∴21=λ （2）OH OB BH OB IA =+=+ 而IA OA OI OA CO =-=-∴OH OB BH OB IA OB OA OC =+=+=++ ∴CH OA OB =+而CH xOA yOB =+∴2=+y x。

专题5.4 平面向量的综合应用一、考情分析1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．2.会用向量方法解决简单的力学问题及其他一些实际问题.二、经验分享考点一 向量在平面几何中的应用 (1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：(2)用向量方法解决平面几何问题的步骤平面几何问题――→设向量向量问题――→运算解决向量问题――→还原解决几何问题。

考点二 向量在解析几何中的应用向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述．它主要强调向量的坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答，坐标的运算是考查的主体。

考点三 向量与相关知识的交汇平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)、解析几何结合，常通过向量的线性运算与数量积，向量的共线与垂直求解相关问题。

三、题型分析重难点题型突破1 平行与垂直例1、.已知单位向量a →,b →的夹角为45°，k a b →→-与a →垂直，则k =__________. 【答案】22【解析】由题意可得：211cos 452a b →→⋅=⨯⨯=， 由向量垂直的充分必要条件可得：0k a b a →→→⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭，即：2202k a a b k →→→⨯-⋅=-=，解得：22k =. 故答案为：22． 【变式训练1-1】、（山东省德州一中2018-2019学年期中）若，且，则实数的值是（ ）A ．-1B ．0C ．1D ．-2【答案】D 【解析】由得，，∴，故．【变式训练1-2】、（河北省示范性高中2019届联考）已知向量a ，b 满足2(1,2)a b m +=，(1,)b m =，且a 在b 25，则实数m =（ ） A 5B ．5±C ．2 D ．2±【答案】D【解析】向量a ，b 满足()21,2a b m +=，()1,b m =，所以0,2m a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，22m a b ⋅=，()2225cos 152m b a m θ=+=，所以42516160m m --=，即()()225440m m +-=， 解得2m =±.重难点题型突破2 平面向量与三角形例2、已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个动点，若动点P 满足OP ―→＝OA ―→＋λ(AB ―→＋AC ―→)，λ∈(0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心【答案】C【解析】由原等式，得OP ―→－OA ―→＝λ(AB ―→＋AC ―→)，即AP ―→＝λ(AB ―→＋AC ―→)，根据平行四边形法则，知AB ―→＋AC ―→＝2AD ―→(D 为BC 的中点)，所以点P 的轨迹必过△ABC 的重心．故选C.【变式训练2-1】、在△ABC 中，(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2，则△ABC 的形状一定是________三角形．( ) A . 等边 B . 等腰 C . 直角 D . 等腰直角 【答案】C .【解析】 由(BC →＋BA →)·AC →＝|AC|2，得AC →·(BC →＋BA →－AC →)＝0，即AC →·(BC →＋BA →＋CA →)＝0，2AC →·BA →＝0，∴AC →⊥BA →，∴A ＝90°.又根据已知条件不能得到|AB →|＝|AC →|，故△ABC 一定是直角三角形． 【变式训练2-2】、已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个动点，若动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →＋AC →)，λ∈(0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A . 内心B . 外心C . 重心D . 垂心 【答案】C .【解析】 由原等式，得OP →－OA →＝λ(AB →＋AC →)，即AP →＝λ(AB →＋AC →)，根据平行四边形法则，知AB →＋AC →是△ABC 的中线AD(D 为BC 的中点)所对应向量AD →的2倍，∴点P 的轨迹必过△ABC 的重心．【变式训练2-3】、如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O . 若6AB AC AO EC ⋅=⋅，则ABAC的值是___________．【答案】3.【解析】如图，过点D 作DF //CE ，交AB 于点F ，由BE =2EA ，D 为BC 的中点，知BF =FE =EA ,AO =OD ．()()()3632AO EC AD AC AE AB AC AC AE =-=+-，()223131123233AB AC AC AB AB AC AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫=+-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22223211323322AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=-+=-+= ⎪⎝⎭， 得2213,22AB AC =即3,AB AC =故3ABAC= 重难点题型突破3 平面向量与三角函数结合例3．（河北省保定市2018-2019学年期末调研）过ABC ∆内一点M 任作一条直线，再分别过顶点,,A B C 作l 的垂线，垂足分别为,,D E F ，若0AD BE CF ++=恒成立，则点M 是ABC ∆的（ ）A ．垂心B ．重心C ．外心D ．内心【答案】B【解析】因为过ABC ∆内一点M 任作一条直线，可将此直线特殊为过点A ，则0AD =，有0BE CF +=. 如图：则有直线AM 经过BC 的中点，同理可得直线BM 经过AC 的中点，直线CM 经过AB 的中点， 所以点M 是ABC ∆的重心，故选B 。

2020年高考数学一轮复习讲练测（浙江版）第五章 平面向量、数系的扩充与复数的引入第04讲 平面向量的应用---讲1. 会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.2.高考预测：（1）以考查向量的共线、数量积、夹角、模为主，基本稳定为选择题或填空题，难度中等以下； （2）以平面图形为载体，借助于向量的坐标形式等考查数量积、夹角、垂直的条件等问题；也易同三角函数、解析几何等知识相结合，以工具的形式出现．力学方面应用的考查较少. 3.备考重点：（1）理解有关概念是基础，掌握线性运算、坐标运算、数量积运算的方法是关键；（2）解答与平面几何、三角函数、解析几何等交汇问题时，注意运用数形结合的数学思想，将共线、垂直等问题，通过建立平面直角坐标系，转换成利用坐标运算求解问题.知识点1．平面向量在几何中的应用1. 平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线． 2．共线向量定理：向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b ＝λa . 3. 向量共线的充要条件的坐标表示若1122()()a x y b x y ==，，，，则a b ∥⇔12210x y x y =-. 4. 设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则： （1）a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2. （2）a ⊥b ⇔a 1b 1＋a 2b 2＝0.【典例1】（2019·浙江高考模拟）如图，,C D 是以AB 直径的圆O 上的动点，已知2AB =，则•AC BD 的最大值是（ ）A ．12B C ．2D 1【答案】A 【解析】如图，先将C 视为定点，设∠CAB ＝θ，θ∈[0，2π），则AC=2cos θ，连接CB ，则CB ⊥AC ，过O 作AC 的平行线交圆O 于E ，交BC 于M ，且M 为垂足， 又知当D 、C 在AB 同侧时，•AC BD 取最大值， 设D 在OE 的投影为N ，当C 确定时，M 为定点，则当N 落在E 处时，MN 最大，此时•AC BD 取最大值， 由向量的几何意义可知，•AC BD =AC MN ，最大时为AC ME ，又OM=OB cos θ, ∴1ME =-cos θ，∴•AC BD 最大为ACME =2cos θ2cos θ1?cos θ11?cos θ222+-⎡⎤-≤⨯=⎢⎥⎣⎦,当且仅当cos θ=12时等号成立，即θ=3π， ∴ •AC BD 的最大值为12.故选A. 【思路点拨】1.本题考查向量数量积的几何意义，考查了数形结合思想，解题关键是找到数量积取得最大时的D 的位置，当题目中有多个动点时，可以先定住一个点，是常用的手段. 本题先将C 视为定点，过点O 作AC 的平行线交圆O 于点E ，交BC 于M ，且M 为垂足，设D 在OE 的投影为N ，由向量的几何意义可知，•AC BD =ACMN ，只需当N 落在E 处时，MN 最大，求得•AC BD =2cos θ1?cos θ-，再由θ∈[0，2π）求得最值即可. 2.涉及求最值问题，往往有两种思路，一是利用几何图形的特征确定最值状态，二是利用函数观点，建立函数关系，求函数的最值.【变式1】（2019·浙江高三期中）已知向量，满足，，若对任意实数x 都有，则的最小值为______【答案】【解析】 如图，由，知在上的投影为2，即，，对任意实数x 都有，．由摄影定理可得，．设，取，可得P 在直线BC 上，线段OP 的最小值为O 到直线BC 的距离， 当时，．故答案为：．【典例2】（2019·四川高考模拟（文））直线x y a +=与圆C ：()2212x y -+=交于A ，B 两点，向量CA ，CB 满足CA CB CA CB +=-，则实数a 的取值集合为______.【答案】{1+ 【解析】由CA ，CB 满足CA CB CA CB +=-，得CA CB ⊥，圆C ：()2212x y -+=的圆心为()1,0，，点C 到直线x y a +=的距离为1，由1d ==，得1a =.故实数a 的取值集合为{}12,12-+. 【思路点拨】根据条件可以得到CA CB ⊥，从而得出点C 到直线x y a +=的距离为1，进而利用点到直线的距离公式求出a .【变式2】（2019·江苏高考模拟）在平面直角坐标系xOy 中，已知()11,A x y ，()22,B x y 为圆221x y +=上两点，且121212x x y y +=-．若C 为圆上的任意一点，则CA CB 的最大值为______．【答案】32【解析】因为C 为圆x 2+y 2＝1上一点，设C （sin θ，cos θ），则()()1122sin ,cos ,sin ,cos CA x y CB x y θθθθ=--=--，∵()11,A x y ，()22,B x y 为圆221x y +=上两点，∴222211221,1x y x y +=+=，又121212x x y y +=-，∴()()2212121212CA CB x x y y x x sin y y cos sincos θθθθ⋅=+-+-+++()()2212121)2x x y y θϕ=++++ 222211*********)2x y x y x x y y θϕ=++++++ 1sin()2θϕ=-+，其中1212tan y y x x ϕ+=+，∵sin()θϕ+∈[﹣1，1]，∴当sin()θϕ+＝1时，CA CB ⋅的最大值为32． 故答案为：32．考点1 平面向量与几何图形【典例3】（2019·江苏高考模拟）在平面四边形ABCD中，，，．若，则的最小值为____．【答案】【解析】如图，以的中点为坐标原点，以方向为轴正向，建立如下平面直角坐标系.则，，设，则，，因为所以，即：整理得：，所以点在以原点为圆心，半径为的圆上.在轴上取，连接可得，所以，所以由图可得：当三点共线时，即点在图中的位置时，最小.此时最小为.【总结提升】向量与平面几何综合问题的解法(1)坐标法把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决． (2)基向量法适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解． 【变式3】（2019·北京高考模拟（理））如图，在菱形ABCD 中，3π∠=B ，4AB =.（1）若P 为BC 的中点，则·PA PB = ______（2）点P 在线段BC 上运动，则|PA PB +|的最小值为___________ 【答案】0， 23【解析】（1）菱形ABCD 中，∠B 3π=，AB ＝4，P 为BC 的中点，∴BP ＝2，AP ＝3 ∴AP 2+BP 2＝AB 2，即AP ⊥BP 则PA •PB =0（2）∵点P 在线段BC 上运动， 可设BP ＝x ，M 为AB 中点 则|PA PB +|＝2|PM | △BPM 中，PM 22212222x x ⎛⎫=+-⨯⨯= ⎪⎝⎭x 2-2x +4， ∵0≤x ≤4，当x ＝1时，PM 3|PA PB +|＝2|PM |的最小值为3故答案为：0，3考点2 平面向量与平面解析几何【典例4】（2018·浙江省杭州第二中学高考模拟）已知点为单位圆上的动点，点为坐标原点，点在直线上，则的最小值为__________．【答案】2. 【解析】 设，，则，所以．又，故． 令，则，又， 当即时等号成立，故，填．【总结提升】向量在解析几何中的作用(1)载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题时关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题．(2)工具作用：利用a ⊥b ⇔a ·b ＝0；a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)，可解决垂直、平行问题，特别是向量垂直、平行的坐标表示在解决解析几何中的垂直、平行问题时经常用到．【变式4】（2019·天津实验中学高考模拟（文））已知A ，B 是圆O ：224x y +=上的两个动点，2AB =，5233OC OA OB =-.若M 是线段AB 的中点，则OC OM ⋅的值为__.【答案】3 【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则11(,)OA x y =，22(,)OB x y =，1212,22x x y y OM ++⎛⎫= ⎪⎝⎭，()2121,AB x x y y =--，所以1212525252,,333333OC OA OB x x y y ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭. 由2AB =，得()()2221214x x y y -+-=， ① 又A ，B 在圆O 上，所以22114x y +=，22224x y +=， ② 联立①②得12122x x y y +=， 所以121212125252,,333322x x y y OC OM x x y y ++⎛⎫⎛⎫⋅=--⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化简并整理，得()()()222211221212511632x y x y x x y y +-+++ 511442632=⨯-⨯+⨯ 3=.优解：由条件易知OAB ∆为正三角形. 又由M 为AB 的中点， 则1OM (OA OB)2=+， 所以152()233OC OM OA OB OA OB ⎛⎫⋅=+⋅- ⎪⎝⎭22152||||233OA OA OB OB ⎛⎫=+⋅- ⎪⎝⎭3=.【典例5】（2018·全国高考真题（理））设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为的直线与C 交于M ，N 两点，则=（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8 【答案】D 【解析】根据题意，过点（–2，0）且斜率为的直线方程为，与抛物线方程联立，消元整理得：，解得，又， 所以，从而可以求得，故选D.【思路点拨】该题考查的是有关直线与抛物线相交求有关交点坐标所满足的条件的问题，在求解的过程中，首先需要根据题意确定直线的方程，之后需要联立方程组，消元化简求解，从而确定出，之后借助于抛物线的方程求得，最后一步应用向量坐标公式求得向量的坐标，之后应用向量数量积坐标公式求得结果，也可以不求点M、N的坐标，应用韦达定理得到结果.【变式5】（2018·浙江高二期末）设F，B分别为椭圆的右焦点和上顶点，O为坐标原点，C是直线与椭圆在第一象限内的交点，若，则椭圆的离心率是A．B．C．D．【答案】A【解析】根据，由平面向量加法法则，则与交点为的中点，故，联立椭圆、直线方程，可得，则可得故选：A．考点3 平面向量与三角函数【典例6】（2018·浙江省杭州第二中学高考模拟）如图，在边长为1的正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心，AB为半径的圆弧（在正方形内，包括边界点）上的任意一点，则的取值范围是________；若向量，则的最小值为_________.【答案】【解析】如图，以A为原点，以AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，结合题意，可知，所以，因为，所以，所以，所以的范围是；根据，可得，即，从而可以求得，所以，因为，所以，所以当取得最大值1时，同时取得最小值0，这时取得最小值为，所以的最小值是.【思路点拨】首先根据图形的特征，建立适当的平面直角坐标系，根据正方形的边长，得到，并设出点，利用终点坐标减去起点坐标，得到对应向量的坐标利用向量数量积坐标公式求得结果；再者就是利用向量相等得到坐标的关系，将其值转化为对应自变量的函数关系，结合自变量的取值范围，求得最小值.【变式6】如图，在xoy 平面上，点)0,1(A ，点B 在单位圆上，θ=∠AOB （πθ<<0）（1）若点)54,53(-B ，求)42tan(πθ+的值；（2）若OC OB OA =+，四边形OACB 的面积用θS 表示，求S ⋅+θ的取值范围.【答案】（1）-3，（2）120+≤⋅+<S θ.【解析】（1）由于)54,53(-B ，θ=∠AOB ，所以53cos -=θ，54sin =θ253154cos 1sin 2tan =-=+=θθθ ，于是)42tan(πθ+321212tan12tan1-=-+=-+=θθ. （2）θS θθsin sin 11=⨯⨯=，由于)0,1(=OA ,)sin ,(cos θθ=OB ，所以)sin ,cos 1(θθ+=+=OB OA OC ，θθθcos 1sin 0)cos 1(1+=⨯++⨯=⋅OC OA ，则 S ⋅+θ1)4sin(21cos sin ++=++=πθθθ（πθ<<0）， 由于4544ππθπ<+<，所以1)4sin(22≤+<-πθ，所以120+≤⋅+<OC OA S θ. 考点4 平面向量与数列问题【典例7】（2019·江苏高考模拟）在ABC ∆中，已知AB 边上的中线1CM =，且1tan A ，1tan C，1tan B成等差数列，则AB 的长为________. 23【解析】因为1tan A ，1tan C ，1tan B 成等差数列， 所以211tan tan tan C A B =+，即2cos cos cos sin()sin sin sin sin sin sin sin sin C A B A B CC A B A B A B+=+==，所以2sin 2cos sin sin C C A B =，由正弦定理可得2cos 2c C ab=，又由余弦定理可得222cos 2a b c C ab +-=，所以222222a b c c ab ab+-=，故2222a b c +=， 又因为AB 边上的中线1CM =，所以1CM =，因为()12CM CA CB =+， 所以22222422cos CMCA CB CA CB CA CB CA CB C =++⋅=++，即22224232c b a ab c ab=++⋅=，解23c =. 即AB 23. 故答案为33【思路点拨】 先由1tan A ，1tan C ，1tan B成等差数列，结合正弦定理与余弦定理，得到2222a b c +=，再由AB 边上的中线1CM =，()12CM CA CB =+，得到22224232c b a ab c ab=++⋅=，进而可求出结果. 【变式7】（2017·浙江高考模拟）设数列{}n x 的各项都为正数且11x =. ABC ∆内的点()*n P n N∈均满足n P AB ∆与n P AC ∆的面积比为2:1，若()112102n n n n nPA x PB x PC ++++=，则4x 的值为( ) A ．15 B ．17 C ．29 D ．31 【答案】A 【解析】由()112102n n n n n P A x P B x P C ++++=得()11212n n n n n P A x P C x P B +++=- ， 设()21n n nP D x PC =+ 以线段n n P A P D 、 作出平行四边形n AEDP ，如图， 则111,22n n n n n n n P E P A P D P E x P B P B ++==-∴=， 12PnAE n PnABSx S+∴= ， 121n n n n P C P C AE x P D ==+∴1,12PnAC PnAC PnADPnAEnS S SSx ==+则()112122PnAC n PnABn S x Sx +==+即1121121n n n n x x x x ++=+∴+=+，（）， 则{}1n x + 构成以2为首项，以2为公比的等比数列，所以3412216x +=⨯= ，所以415x =； 故选A ．。

高三数学平面向量的应用试题答案及解析1.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2＋y2－6x＋5＝0，点A，B在圆C上，且AB＝2，则的最大值是．【答案】8【解析】设AB中点为M，则.因为圆C：，AB＝2，所以，因此的最大值是8.【考点】直线与圆位置关系2.已知向量满足与的夹角为，，则的最大值为A．B．C．D．【答案】D【解析】设；以OA所在直线为x，O为坐标原点建立平面直角坐标系，∵与的夹角为，则A（4，0），B（2，2），设C（x，y）∵，∴x2+y2-6x-2y+9=0，即（x-3）2+（y-1）2=1表示以（3，1）为圆心，以1为半径的圆，表示点A，C的距离即圆上的点与点A（4，0）的距离；∵圆心到B的距离为，∴的最大值为，故选：D．【考点】１．向量的和与差的模；２．向量加减法的几何意义；３．向量的数量积．3.“平面向量平行”是“平面向量满足”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为当反向时，≠；若平面向量满足，因为=，所以=1，所以=0，所以通项，即平行，所以“平面向量平行”是“平面向量满足”的必要非充分条件，故选B.考点: 平面向量的数量积；平面向量共线；充要条件4.设向量a，b满足|a|＝1，|a－b|＝，a·(a－b)＝0，则|2a＋b|＝________．【答案】2【解析】∵a·(a－b)＝0，∴a2＝a·b＝1，|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝3，∴b2＝4，∴|2a＋b|＝＝＝2．5.已知向量a＝(cosθ，sinθ)，θ∈[0，π]，向量b＝(，－1)．(1)若a⊥b，求θ的值；(2)若|2a－b|<m恒成立，求实数m的取值范围．【答案】（1）（2）(4，＋∞)【解析】解：(1)∵a⊥b，∴cosθ－sinθ＝0，得tanθ＝，又θ∈[0，π]，∴θ＝.(2)∵2a－b＝(2cosθ－，2sinθ＋1)，∴|2a－b|2＝(2cosθ－)2＋(2sinθ＋1)2＝8＋8(sinθ－cosθ)＝8＋8sin(θ－)，又θ∈[0，π]，∴θ－∈[－，]，∴sin(θ－)∈[－，1]，∴|2a－b|2的最大值为16，∴|2a－b|的最大值为4，又|2a－b|<m恒成立，∴m>4.故m的取值范围为(4，＋∞)．6.如图，＝(6,1)，＝(x，y)，＝(－2，－3)，若∥且⊥，则四边形ABCD 的面积S为()A．16B．C．D．【答案】A【解析】由＝(4＋x，y－2)，∥，得x(y－2)－y(4＋x)＝0⇒x＋2y＝0.①由⊥，得(x－2)(6＋x)＋(y－3)(y＋1)＝0⇒x2＋y2＋4x－2y－15＝0.②由①②得或.于是＝(0,4)，＝(－8,0)，此时，S＝||·||＝16；或＝(8,0)，＝(0，－4)，此时，S＝||·||＝16.7.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知向量m＝(cos，sin)，n＝(cos，sin)，且满足|m＋n|＝.(1)求角A的大小；(2)若||＋||＝||，试判断△ABC的形状．【答案】（1）（2）直角三角形【解析】解：(1)由|m＋n|＝，得m2＋n2＋2m·n＝3，即1＋1＋2(cos cos＋sin sin)＝3，∴cosA＝.∵0<A<π，∴A＝.(2)∵||＋||＝||，∴sinB＋sinC＝sinA，∴sinB＋sin(－B)＝×，即sinB＋cosB＝，∴sin(B＋)＝.∵0<B<，∴<B＋<，∴B＋＝或，故B＝或.当B＝时，C＝；当B＝时，C＝.故△ABC是直角三角形．8.设a、b都是非零向量，下列四个条件中，使＝成立的充分条件是()A．|a|＝|b|且a∥b B．a＝－bC．a∥b D．a＝2b【答案】D【解析】∵表示与a同向的单位向量，表示与b同向的单位向量，∴a与b必须方向相同才能满足＝.故选D.9.在△ABC中，若AB＝1，AC＝，|＋|＝||，则＝________.【答案】【解析】易知满足|＋|＝||的A、B、C构成直角三角形的三个顶点，且∠A为直角，于是＝||·cos∠ABC＝1×cos60°＝.10.（2011•浙江）若平面向量α，β满足|α|=1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为，则α和β的夹角θ的范围是_________．【答案】[30°，150°]，或[]【解析】∵||||sinθ=∴sinθ=，∵||=1，||≤1，∴sinθ，∵θ∈[0，π]∴θ∈[30°，150°]，故答案为：[30°，150°]，或[]，11. (2014·黄冈模拟)设a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),若a-b=,θ为a与b的夹角.(1)求θ的值.(2)若f(x)=2sin(θ-x)cos(θ-x)+2sin2(θ-x),求f(x)的单调递增区间.【答案】（1）（2）,k∈Z.【解析】(1)由题意：两式平方相加得：2-2cos(α-β)=1,所以cos(α-β)=,又cosθ==cosαcosβ+sinαsinβ=cos(α-β)=,因为θ∈[0,π],所以θ=.(2)f(x)=2sin(θ-x)cos(θ-x)+2sin2(θ-x)=-2sin+,令2kπ+≤2x-≤2kπ+,k∈Z,解得：kπ+≤x≤kπ+,k∈Z,所以f(x)的单调递增区间为,k∈Z.12. (2012·辽宁)已知两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则下面结论正确的是() A．a∥b B．a⊥bC．|a|＝|b|D．a＋b＝a－b【答案】B【解析】将向量的模相等变为向量的平方相等求解．因为|a＋b|＝|a－b|，所以(a＋b)2＝(a－b)2，即a·b＝0，故a⊥b.13.如图，在△中，已知，，，，，则．【答案】【解析】因为，所以因此【考点】向量表示14.在直角三角形中，=90°，，．若点满足，则．【答案】10【解析】在垂直的条件下，建系求解是最佳选择．以C为坐标原点，AC所在直线为轴，建立直角坐标系，则A(6，0),B（0,4），D（-6,8），因而10.【考点】平面向量的相关知识15.在直角三角形中，=90°，，．若点满足，则．【答案】10【解析】在垂直的条件下，建系求解是最佳选择．以C为坐标原点，AC所在直线为轴，建立直角坐标系，则A(6，0),B（0,4），D（-6,8），因而10.【考点】平面向量的相关知识16.若O是所在平面内的一点，且满足，则一定是（）A．等边三角形B．等腰直角三角形C．直角三角形D．斜三角形【答案】C【解析】由得，即，所以，所以三角形为直角三角形，选C.17.已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边的中点，且＝0，那么() A．B．C．D．【答案】A【解析】∵，∴．∴．故选A．18.设两个向量a＝(λ＋2，λ2－cos2α)和b＝，其中λ，m，α为实数．若a＝2b，则的取值范围是()．A．[－6,1]B．[4,8]C．(－∞，1]D．[－1,6]【答案】A【解析】由a＝2b，得由λ2－m＝cos2α＋2sin α＝2－(sinα－1)2，得－2≤λ2－m≤2，又λ＝2m－2，则－2≤4(m－1)2－m≤2，∴解得≤m≤2，而故－6≤≤1，即选A.19.在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ等于() A．B．C．D．【答案】A【解析】由＝2，可得＝⇒＝＋，所以λ＝. 故选A.20.若平面向量与，，，则与的夹角为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】解法一：令，与的夹角为，则，于是，∴.解法二：注意到与共线且反向，又，∴与共线且同向，故只需求出与的夹角即可，∵，∴，∴.【考点】向量的运算.21.已知向量，，，则向量与的夹角为．【答案】【解析】，∴记所求角为，则，．【考点】向量的夹角22.在直角中,,P为AB边上的点,若,则的取值范围是( )A．B．C．D．【答案】B【解析】根据向量的加法可得, ,又因为,所以,因为,即该三角形为等腰直角三角形,所以根据内积的定义可得,,则,故选B【考点】向量加法内积等腰直角三角形23.已知点A(-1,1)、B(1,2)、C(-2,-1)、D(3,4),则向量在方向上的投影为() A．B．C．-D．-【答案】A【解析】="(2,1)," =(5,5),设,的夹角为θ,则在方向上的投影为||cos θ= ==.故选A.24.在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1).(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长;(2)设实数t满足(-t)·=0,求t的值.【答案】(1) 4,2 (2) -【解析】解:(1)由题设知="(3,5)," =(-1,1),则+="(2,6)," -=(4,4).所以|+|=2,|-|=4.故所求的两条对角线长分别为4,2.(2)由题设知=(-2,-1),-t=(3+2t,5+t).由(-t)·=0,得(3+2t,5+t)·(-2,-1)=0,从而5t=-11,所以t=-.25.已知向量a="(1,2),b=(cos" α,sin α),设m=a+tb(t为实数).(1)若α=,求当|m|取最小值时实数t的值;(2)若a⊥b,问:是否存在实数t,使得向量a-b和向量m夹角的余弦值为,若存在,请求出t;若不存在,请说明理由.【答案】(1) (2) 存在t=1或t=-7满足条件【解析】解:(1)因为α=,所以b=,a·b=,则|m|====,所以当t=-时,|m|取到最小值,最小值为.(2)存在实数t满足条件,理由如下:由条件得=,又因为|a-b|==,|a+tb|==,(a-b)·(a+tb)=5-t,所以=,且t<5,整理得t2+6t-7=0,所以存在t=1或t=-7满足条件.26.设点G是△ABC的重心,若∠A="120°," ·=-1,则||的最小值是()A．B．C．D．【答案】B【解析】令||=a,| |=b,·=-1,∴ab=2,=(+),∴||==≥=(当且仅当a=b=时等号成立).故选B.27.在所在的平面内，点满足，，且对于任意实数，恒有，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，四点共线，以AB所在的直线为x轴，以AB的中垂线为y轴，建立直角坐标系，设AB="4," 以AB所在的直线为x轴，以AB的中垂线为y轴，建立直角坐标系，设AB=4，C（a，b），P（x，0），则A（-2，0），B（2，0），,∵恒有，∴即恒成立，∴判别式△解得即点C在AB的垂直平分线上，∴CA=CB，故选C．【考点】1.向量的数量积；2.正弦定理.28.在△ABC中，N是AC边上一点，且＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为( )A．B．C．1D．3【答案】B【解析】如图，因为＝，所以＝，＝m＋＝m＋，因为B、P、N三点共线，所以m＋＝1，所以m＝，选择B.29.设e1，e2，e3，e4是某平面内的四个单位向量，其中e1⊥e2，e3与e4的夹角为45°，对这个平面内的任意一个向量a＝xe1＋ye2，规定经过一次“斜二测变换”得到向量a1＝xe3＋e4.设向量t1＝－3e3－2e4是经过一次“斜二测变换”得到的向量，则|t|是( )A．5B．C．73D．【答案】A【解析】因为t1＝－3e3－2e4，所以t＝－3e1－4e2.又因为e1⊥e2且e1，e2是平面内的单位向量，所以|t|＝＝530.已知e1，e2是两个单位向量，其夹角为θ，若向量m＝2e1＋3e2，则|m|＝1的充要条件是( )A．θ＝πB．θ＝C．θ＝D．θ＝【答案】A【解析】由|m|＝1，得m2＝1，即(2e1＋3e2)2＝1.展开得，4＋9 ＋12e1·e2＝1，即4＋9＋12cos θ＝1，所以cos θ＝－1.又θ∈[0，π]，∴θ＝π.31.已知G是△ABC的重心,O是空间与G不重合的任一点,若++=λ,则λ=.【答案】3【解析】因为+=,+=,+=,且++=0,所以++=3.32.已知向量a、b的夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝，则|b|＝()A．3B．2C．D．1【答案】A【解析】因为a、b的夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝，所以4a2－4a·b＋b2＝10，即|b|2－2 |b|－6＝0，解得|b|＝3或|b|＝－ (舍)，故选A.33.圆C:x2+y2=1,直线l:y=kx+2,直线l与圆C交于A,B,若|+|<|-|(其中O为坐标原点),则k的取值范围是()A．(0,)B．(-,)C．(,+∞)D．(-∞,-)∪(,+∞)【答案】D【解析】【思路点拨】利用|+|<|-|⇔(+)2<(-)2进行转化.解:由|+|<|-|两边平方化简得·<0,∴∠AOB是钝角,所以O(0,0)到kx-y+2=0的距离小于,∴<,∴k<-或k>,故选D.34.如图,已知=a,=b,任意点M关于点A的对称点为S,点S关于点B的对称点为N.设|a|=1,|b|=2,a与b的夹角为30°,若⊥(λa+b),则实数λ=.【答案】【解析】由题意,AB为△SMN的中位线.所以=2.=2(-)=2(b-a).由⊥(λa+b),得·(λa+b)=0,即2(b-a)·(λa+b)=0,(b-a)·(λa+b)=0,所以-λa2+b2+(λ-1)a·b=0,即-λ+4+1×2×cos30°(λ-1)=0,解得λ=.35.给定两个长度为1的平面向量和,它们的夹角为90°.如图所示,点C在以O为圆心的圆弧上运动,若=x+y,其中x,y∈R,则xy的范围是.【答案】[0,]【解析】由=x+y,得+2xy·.又||=||=||=1,·=0,∴1=x2+y2≥2xy,得xy≤,而点C在以O为圆心的圆弧上运动,得x,y∈[0,1],于是0≤xy≤.36.已知向量a,b不共线,且=a+4b,=-a+9b,=3a-b,则一定共线的是()A．A,B,D B．A,B,CC．B,C,D D．A,C,D【答案】A【解析】=+=-a+9b+3a-b=2a+8b.∵=a+4b,∴=,∴A,B,D三点共线.37. 如图,平面内有三个向量,,,其中与的夹角为120°,与的夹角为30°,且||=||=1,||=2,若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ的值为( )A ．4B ．5C ．6D ．8【答案】C【解析】过C 作与的平行线与它们的延长线相交,可得平行四边形,由∠BOC=90°,∠AOC=30°,||=2,得平行四边形的边长为2和4,故λ+μ=4+2=6.38. 设A 1,A 2,A 3,A 4,A 5是平面上给定的5个不同点,则使++++=0成立的点M 的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．5 D ．10【答案】B【解析】【思路点拨】类比三角形的“重心”的性质解题.解：在平面中我们知道“三角形ABC 的重心G 满足:++=0”则此题就能很快地答出,点M 即为这5个点连线组成的平面图形的重心,即点M 只有一个.39. 平面内动点P 到点F (1，0)的距离等于它到直线x ＝－1的距离，记点P 的轨迹为曲线Γ. (1)求曲线Γ的方程；(2)若点A ，B ，C 是Γ上的不同三点，且满足＋＋＝0，证明：△ABC 不可能为直角三角形．【答案】（1）y 2＝4x （2）不可能是直角三角形【解析】(1)由条件可知，点P 到点F (1，0)的距离与到直线x ＝－1的距离相等，所以点P 的轨迹是以F (1，0)为焦点，x ＝－1为准线的抛物线，其方程为y 2＝4x . (2)证明：方法一，假设△ABC 是直角三角形，且∠A ＝90°， A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，则 ＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，＝(x 3－x 1，y 3－y 1)，且·＝0， 所以(x 2－x 1)(x 3－x 1)＋(y 2－y 1)(y 3－y 1)＝0. 因为x i ＝(i ＝1，2，3)，y 1≠y 2，y 1≠y 3，所以(y 1＋y 2)(y 1＋y 3)＋16＝0. 又因为＋＋＝0，所以x 1＋x 2＋x 3＝3，y 1＋y 2＋y 3＝0， 所以y 2y 3＝－16，①又＋＋＝4(x 1＋x 2＋x 3)＝12，所以(－y 2－y 3)2＋＋＝12，即＋＋y 2y 3＝6，② 由①②得＋－16＝6，即－22＋256＝0，③因为Δ＝(－22)2－4×256＝－540<0.所以方程③无解，从而△ABC 不可能是直角三角形．方法二，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，由＋＋＝0，得x 1＋x 2＋x 3＝3，y 1＋y 2＋y 3＝0.欲证△ABC 不是直角三角形，只需证明∠A ≠90°. (ⅰ)当AB ⊥x 轴时，x 1＝x 2，y 1＝－y 2，从而x 3＝3－2x 1，y 3＝0， 即点C 的坐标为(3－2x 1，0)．由于点C 在y 2＝4x 上，所以3－2x 1＝0，即x 1＝， 此时A，B，C (0，0)，则∠A ≠90°.(ⅱ)当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为x＝ty＋m(t≠0)，代入y2＝4x，整理得y2－4ty－4m＝0，则y1＋y2＝4t.若∠A＝90°，则直线AC的斜率为－t，同理可得y1＋y3＝－.由y1＋y2＋y3＝0，得y1＝4t－，y2＝，y3＝－4t.由x1＋x2＋x3＝3，可得＋＋＝4(x1＋x2＋x3)＝12.从而＋＋(－4t)2＝12，整理得t2＋＝，即8t4－11t2＋8＝0，④Δ＝(－11)2－4×8×8＝－135<0.所以方程④无解，从而∠A≠90°.综合(ⅰ)(ⅱ)可知，△ABC不可能是直角三角形．40.设D，P为△ABC内的两点，且满足＝ ( ＋)，＝＋，则＝________.【答案】【解析】取BC的中点为P，则＝( ＋)＝，则点D是中线AP的中点，所以＝.41.已知向量a＝，b＝，且x∈.(1)求a·b及|a＋b|；(2)若f(x)＝a·b－2λ|a＋b|的最小值为－，求正实数λ的值．【答案】（1）|a＋b|＝2cos x（2）λ＝【解析】(1)a·b＝cos x·cos－sin x·sin＝cos 2x.∵a＋b＝，∴|a＋b|2＝2＋2＝2＋2＝2＋2cos 2x＝4cos2x.∵x∈，∴cos x≥0.因此|a＋b|＝2cos x.(2)由(1)知f(x)＝cos 2x－4λcos x＝2cos2x－4λcos x－1，∴f(x)＝2(cos x－λ)2－1－2λ2，cos x∈[0,1]．①当0＜λ≤1时，当cos x＝λ时，f(x)有最小值－1－2λ2＝－，解得λ＝.②当λ＞1时，当cos x＝1时，f(x)有最小值1－4λ＝－，λ＝ (舍去)，综上可得λ＝42.已知点，曲线上的动点满足,定点，由曲线外一点向曲线引切线，切点为，且满足.（1）求线段长的最小值；（2）若以为圆心所作的圆与曲线有公共点，试求半径取最小值时圆的标准方程.【答案】（1）；（2）.【解析】本题主要考查圆的标准方程和几何性质、直线的方程、向量的点乘、平面内两点间距离公式等基础知识.考查数形结合的数学思想.考查运算求解能力、综合分析和解决问题的能力.第一问，利用向量的点乘求出点的轨迹方程，数形结合找出，所以，然后配方法求最值；第二问，利用两圆的位置关系列出不等式，用配方法求最值，得到圆心和半径，写出圆的标准方程.试题解析：（Ⅰ）设，则，∴，即点轨迹(曲线)方程为，即曲线是． 2分连∵为切点，，由勾股定理有：．又由已知，故．即：，化简得实数间满足的等量关系为：，即．（4分）∴＝，故当时，即线段长的最小值为 7分（另法）由点在直线：上．∴，即求点到直线的距离．∴（7分）（Ⅱ）设的半径为，∵与有公共点，的半径为1，即且． 8分而， 9分故当时，． 10分此时,． 11分得半径取最小值时的标准方程为． 13分（另法）与有公共点，半径最小时为与外切（取小者）的情形，而这些半径的最小值为圆心到直线的距离减去1，圆心为过原点与垂直的直线与的交点．．又，（10分）解方程组，得．即，∴所求标准方程为．（13分）【考点】1.向量的点乘；2.圆的标准方程；3.勾股定理；4.配方法求最值.43.在中，角的对边分别为向量，,且．（１）求的值；（２）若,,求角的大小及向量在方向上的投影．【答案】（1）；（2），向量在方向上的投影．【解析】（1）由向量数量积坐标形式列式，可求得的值，再利用平方关系可求得的值；（2）先利用正弦定理可求得的值，再利用大边对大角可求得角的大小．由投影的定义可求得向量在方向上的投影．试题解析：(１)由,得, 1分, 2分.. ３分．４分(２)由正弦定理，有, ５分．６分，,７分． 8分由余弦定理，有， 9分或（舍去）． 10分故向量在方向上的投影为 11分． 12分【考点】1、向量数量积、投影；2、三角恒等变换；3、解三角形．44.已知O是锐角△ABC的外接圆圆心，∠A=60°，，则m的值为（）A．B．C．1D．【答案】A【解析】依题意，由得，，，，.故选A.【考点】向量的加减运算、数量积，二倍角的余弦公式.45.在锐角中，、、所对的边分别为、、．已知向量，，且.（1）求角的大小；（2）若，，求的面积．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）先根据平面向量垂直的等价条件得到等式，再利用弦化切的思想求出的值，最终在求出角的值；（2）解法一：在角的大小确定的前提下，利用正弦定理与同角三角函数之间的关系求出和，并利用结合和角公式求出的值，最后利用面积公式求出的面积；解法二：利用余弦定理求出的值，并对的值进行检验，然后面积公式求出的面积.试题解析：（1）因为，所以，则， 4分因为，所以，则，所以 7分（2）解法一：由正弦定理得，又，，，则，因为为锐角三角形，所以， 9分因为， 12分所以 14分解法二：因为，，，所以由余弦定理可知，，即，解得或，当时，，所以，不合乎题意；当时，，所以，合乎题意；所以 14分【考点】正弦定理、余弦定理、同角三角函数的关系、两角和的正弦函数、三角形的面积公式46.如图，ΔABC中，= 600, 的平分线交BC 于D,若AB = 4,且,则AD的长为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据题意，由于ΔABC中，=" 600," 的平分线交BC 于D,若AB = 4,且，则两边同时平方可知，则AD的长为，选B.【考点】向量的几何运用点评：主要是考查了向量的几何运用，加减法几何意义，属于基础题。

高三数学平面向量的应用试题答案及解析1.如图，平行四边形ABCD中，E为CD中点，F在线段BC上，且BC=3BF。

已知，则x的值为___________．【答案】【解析】由题设： ,所以，．,所以，又，所以，所以，答案应填：【考点】平面向量的线性运算．2.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2＋y2－6x＋5＝0，点A，B在圆C上，且AB＝2，则的最大值是．【答案】8【解析】设AB中点为M，则.因为圆C：，AB＝2，所以，因此的最大值是8.【考点】直线与圆位置关系3.设A，B，C是圆x2＋y2＝1上不同的三个点，且·＝0，存在实数λ，μ，使得＝λ＋μ，实数λ，μ的关系为( )A．λ2＋μ2＝1B．＋＝1C．λ·μ＝1D．λ＋μ＝1【答案】A【解析】依题意，＝＝＝1.又＝(λ＋μ)2且·＝0，∴＝λ2＋μ2＋2λμ·＝λ2＋μ2，因此λ2＋μ2＝1.4. .设为两个非零向量、的夹角，已知对任意实数，的最小值为1（）A．若确定，则唯一确定B．若确定，则唯一确定C．若确定，则唯一确定D．若确定，则唯一确定【答案】B【解析】依题意，对任意实数，恒成立，所以恒成立，令，所以，若为定值，则当为定值时二次函数才有最小值.故选B.【考点】平面向量的夹角、模，二次函数的最值，难度中等.5.在平面直角坐标系中，已知向量点满足.曲线，区域.若为两段分离的曲线，则( )A．B．C．D．【答案】A【解析】设，则，，区域表示的是平面上的点到点的距离从到之间，如下图中的阴影部分圆环，要使为两段分离的曲线，则，故选A.【考点】1.平面向量的应用；2.线性规划.6.已知a，b，c是平面向量，下列命题中真命题的个数是()①(a·b)·c＝a·(b·c)；②|a·b|＝|a|·|b|；③|a＋b|2＝(a＋b)2；④a·b＝b·c ⇒a＝cA．1B．2C．3D．4【答案】A【解析】对于①，因为a·b，b·c是两个数，显然，(a·b)·c＝a·(b·c)不一定恒成立；对于②，因为|a·b|＝|a|·|b|·|cosθ|，显然也不恒成立；对于④，由于a·b与b·c是两个具体的数，由两个数不可能产生两个向量相等，于是也不正确；而对于③，由于|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2，而(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2，显然二者是相等的．故选A．7.已知向量m＝(a，b)，n＝(c，d)，p＝(x，y)，定义新运算m⊗n＝(ac＋bd，ad＋bc)，其中等式右边是通常的加法和乘法运算．如果对于任意向量m都有m⊗p＝m成立，则向量p＝________．【答案】(1,0)【解析】∵m⊗p＝m，即(a，b)⊗(x，y)＝(ax＋by，ay＋bx)＝(a，b)，∴，即．由于对任意向量m＝(a，b)，都有(a，b)⊗(x，y)＝(a，b)成立，∴，解得，∴p＝(1,0)．8.已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)．(1)设c＝4a＋b，求(b·c)a；(2)若a＋λb与a垂直，求λ的值；(3)求向量a在b方向上的投影．【答案】（1）0 （2）（3）－【解析】解：(1)∵a＝(1,2)，b＝(2，－2)，∴c＝4a＋b＝(4,8)＋(2，－2)＝(6,6)．∴b·c＝2×6－2×6＝0，∴(b·c)a＝0a＝0.(2)a＋λb＝(1,2)＋λ(2，－2)＝(2λ＋1,2－2λ)，由于a＋λb与a垂直，∴2λ＋1＋2(2－2λ)＝0，∴λ＝.∴λ的值为.(3)设向量a与b的夹角为θ，向量a在b方向上的投影为|a|cosθ.∴|a|cosθ＝＝＝－＝－.9.已知A，B，C是平面上不共线的三点，O是△ABC的重心，动点P满足＝ (＋＋2)，则点P一定为三角形ABC的()A．AB边中线的中点B．AB边中线的三等分点(非重心)C．重心D．AB边的中点【答案】B【解析】设AB的中点为M，则＋＝，∴＝ (＋2)＝＋，即3＝＋2，也就是＝2，∴P，M，C三点共线，且P是CM靠近C点的一个三等分点．10.设a、b是不共线的两个非零向量，(1)若＝2a－b，＝3a＋b，＝a－3b，求证：A、B、C三点共线；(2)若8a＋kb与ka＋2b共线，求实数k的值．【答案】（1）见解析（2）±4【解析】解：(1)∵＝(3a＋b)－(2a－b)＝a＋2b，而＝(a－3b)－(3a＋b)＝－2a－4b＝－2，∴与共线，且有公共端点B.∴A、B、C三点共线．(2)∵8a＋kb与ka＋2b共线，∴存在实数λ，使得(8a＋kb)＝λ(ka＋2b)⇒(8－λk)a＋(k－2λ)b＝0.∵a与b不共线，∴⇒8＝2λ2⇒λ＝±2.∴k＝2λ＝±4.11.（5分）（2011•陕西）设，是向量，命题“若≠﹣，则||=||”的逆命题是（）A．若≠﹣，则||=||”B．若=﹣，则||≠||C．若≠，则||≠||D．||=||，则≠﹣【答案】D【解析】根据所给的原命题，看清题设和结论，把原命题的题设和结论互换位置，得到要求的命题的逆命题．解：原命题是：“若≠﹣，则||=||”它的逆命题是把题设和结论互换位置，即逆命题是：若||=||，则≠﹣，故选D．点评：本题考查四种命题，考查把其中一个看成是原命题，来求出它的逆命题，否命题，逆否命题，本题是一个基础题．12.在中，的对边分别是，已知，平面向量，，且.（1）求△ABC外接圆的面积；（2）已知O为△ABC的外心，由O向边BC、CA、AB引垂线，垂足分别为D、E、F，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由即，可得.再根据，即可求出角A，再根据正弦定理即可得到△ABC外接圆的面积.（2）由O为△ABC的外心，由O向边BC、CA、AB引垂线，垂足分别为D、E、F，由圆心角等于圆周角的两倍，即可得.所以.同理可得其他两个，即可得到结论.（1）由题意，得 2分由于中，， 3分∴ 4分2R= 6分（2）因为O为△ABC的外心，由O向边BC、CA、AB引垂线，垂足分别为D、E、F，所以，故=-----13分【考点】1.向量的数量积.2.三角函数的运算.3.解三角形的知识.13.如图，在直角梯形中，，，，，，P为线段（含端点）上一个动点，设，，对于函数，给出以下三个结论：①当时，函数的值域为；②对任意，都有成立；③对任意，函数的最大值都等于4．④存在实数,使得函数最小值为0 .其中所有正确结论的序号是_________.【答案】②③④【解析】设，，．①时，，值域是；②；③函数的对称轴为，因此当时，取得最大值为；④最小值为，当时，．因此②③④正确．【考点】向量的线性表示，向量的数量积，函数的取值范围与最值．14.已知平面上四点，若，则．【答案】【解析】因为，所以【考点】向量表示15.已知复平面内平行四边形ABCD(A,B,C,D按逆时针排列),A点对应的复数为2+i,向量对应的复数为1+2i,向量对应的复数为3-i.(1)求点C,D对应的复数.(2)求平行四边形ABCD的面积.【答案】（1）4-2i 5（2）7【解析】(1)设点O为原点,因为向量对应的复数为1+2i,向量对应的复数为3-i,所以向量对应的复数为(3-i)-(1+2i)=2-3i,又=+,所以点C对应的复数为(2+i)+(2-3i)=4-2i.又=+=(1+2i)+(3-i)=4+i,=-=2+i-(1+2i)=1-i,所以=+=1-i+(4+i)=5,所以点D对应的复数为5.(2)由(1)知=(1,2),=(3,-1),因为·=||||cosB,所以cosB===,所以sinB=,又||=,||=,所以面积S=||||sinB=××=7.所以平行四边形ABCD的面积为7.16.已知，，，则_________________.【答案】.【解析】由题意知，，即，即.【考点】1.平面向量垂直条件的转化；2.平面向量的数量积17.在Rt△ABC中，，，，则_____．【答案】2【解析】作，则，由题设可知是正三角形，所以.【考点】三角形与向量.18.在直角三角形中，=90°，，．若点满足，则．【答案】10【解析】在垂直的条件下，建系求解是最佳选择．以C为坐标原点，AC所在直线为轴，建立直角坐标系，则A(6，0),B（0,4），D（-6,8），因而10.【考点】平面向量的相关知识19.已知等差数列的前项和为，向量，，，且，则用表示（）．A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意，所以，，在同一条直线上，那么由得，且，解得．选C．【考点】向量中三点共线的性质，向量的线性表示．20.设，向量，，且，则．【答案】【解析】由题意，，，．【考点】向量垂直与向量的模．21.设e1、e2是平面内一组基向量，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则向量e1＋e2可以表示为另一组基向量a、b的线性组合，即e1＋e2＝ma＋nb，则m、n分别为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】∵e1＋e2＝m(e1＋2e2)＋n(－e1＋e2)，∴∴m＝，n＝，即选A.22.已知, , ,则与的夹角的取值范围是______________.【答案】【解析】法一、，设，则，所以点A在以C为圆心为半径的圆上.作出图形如下图所示，从图可知与的夹角的取值范围是.法二、因为，所以，所以点A在以C为圆心为半径的圆上. 作出图形如下图所示，从图可知与的夹角的取值范围是.【考点】向量.23.如图，设，且.当时，定义平面坐标系为-仿射坐标系，在-仿射坐标系中,任意一点的斜坐标这样定义：分别为与轴、轴正向相同的单位向量，若，则记为，那么在以下的结论中，正确的有.（填上所有正确结论的序号）①设、，若，则；②设，则；③设、，若，则；④设、，若，则；⑤设、，若与的夹角，则.【答案】①、③、⑤.【解析】显然①正确；，∵，所以②错误；由得,所以，所以，故③正确；∵，所以④错误；根据夹角公式，又，得，故，即，⑤正确所以正确的是①、③、⑤.【考点】向量的关系.24.已知，则．【答案】【解析】由已知得，，故，．【考点】1、向量的模；2、向量的数量积运算.25.设向量a,b满足|a|=2,b=(2,1),且a与b的方向相反,则a的坐标为.【答案】(-4,-2)【解析】∵b=(2,1),且a与b的方向相反,∴设a=λb=(2λ,λ)(λ<0).∵|a|=2,∴4λ2+λ2=20,λ2=4,λ=-2.∴a=(-4,-2).26.已知点A(-1,1)、B(1,2)、C(-2,-1)、D(3,4),则向量在方向上的投影为() A．B．C．-D．-【答案】A【解析】="(2,1)," =(5,5),设,的夹角为θ,则在方向上的投影为||cos θ= ==.故选A.27.如图所示，设O是△ABC内部一点，且＋＝－2，则△AOB与△AOC的面积之比为________．【答案】【解析】如图所示，设M是AC的中点，则＋＝2.又＋＝－2，∴＝－，即O是BM的中点，∴S△AOB ＝S△AOM＝S△AOC，即＝.28.如图，己知,∠AOB为锐角，OM平分∠AOB，点N为线段AB的中点，，若点P在阴影部分（含边界）内，则在下列给出的关于x、y的式子中，满足题设条件的为（写出所有正确式子的序号）．①x≥0，y≥0；②x－y≥0；③x－y≤0；④x－2y≥0；⑤2x－y≥0．【答案】①③⑤【解析】当点在射线上时,则当点在射线上时,所以，因为点P在阴影部分（含边界）内，所以故应选①③⑤ .【考点】向量表示29.向量a，b，c满足：|a|＝1，|b|＝，b在a方向上的投影为，(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是________．【答案】1＋【解析】由投影公式可得＝b·a＝，∴|b＋a|2＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝4⇒|b＋a|＝2.由(a－c)·(b－c)＝a·b－c·(a＋b)＋c2＝0，整理得＋|c|2＝|c|·|a＋b|cos θ≤2|c|，解不等式＋|c|2－2|c|≤0，得|c|≤1＋，即|c|的最大值为1＋30.在平面直角坐标系中,已知向量a=(-1,2),又点A(8,0),B(n,t),C(ksinθ,t)(0≤θ≤).(1)若⊥a,且||=||(O为坐标原点),求向量.(2)若向量与向量a共线,当k>4,且tsinθ取最大值4时,求·.【答案】(1) =(24,8)或=(-8,-8) (2) 32【解析】(1)可得=(n-8,t),∵⊥a,∴·a=(n-8,t)·(-1,2)=0,得n=2t+8,则=(2t,t).又||=||,||=8.∴(2t)2+t2=5×64,解得t=±8,当t=8时,n=24;当t=-8时,n=-8.∴=(24,8)或=(-8,-8).(2)∵向量与向量a共线,∴t=-2ksinθ+16,tsinθ=(-2ksinθ+16)sinθ=-2k(sinθ-)2+.∵k>4,∴0<<1,故当sinθ=时,tsinθ取最大值,有=4,得k=8.这时,sinθ=,k=8,tsinθ=4,得t=8,则=(4,8),∴·=(8,0)·(4,8)=32.31.如图,平面内的两条相交直线OP1和OP2将该平面分割成四个部分I,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ(不包含边界).设=m+n,且点P落在第Ⅲ部分,则实数m,n满足()A．m>0,n>0B．m>0,n<0C．m<0,n>0D．m<0,n<0【答案】B【解析】由题意及平面向量基本定理易得在=m+n中m>0,n<0,故选B.32.已知O是△ABC所在平面内一点,D为BC边中点,且2++=0,那么() A．=B．=2C ．=3D ．2=【答案】A【解析】由2++=0可知,O 是底边BC 上的中线AD 的中点,故=.33. 设A 1,A 2,A 3,A 4,A 5是平面上给定的5个不同点,则使++++=0成立的点M 的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．5D ．10【答案】B【解析】【思路点拨】类比三角形的“重心”的性质解题.解：在平面中我们知道“三角形ABC 的重心G 满足:++=0”则此题就能很快地答出,点M 即为这5个点连线组成的平面图形的重心,即点M 只有一个.34. 平面内动点P 到点F (1，0)的距离等于它到直线x ＝－1的距离，记点P 的轨迹为曲线Γ. (1)求曲线Γ的方程；(2)若点A ，B ，C 是Γ上的不同三点，且满足＋＋＝0，证明：△ABC 不可能为直角三角形．【答案】（1）y 2＝4x （2）不可能是直角三角形【解析】(1)由条件可知，点P 到点F (1，0)的距离与到直线x ＝－1的距离相等，所以点P 的轨迹是以F (1，0)为焦点，x ＝－1为准线的抛物线，其方程为y 2＝4x . (2)证明：方法一，假设△ABC 是直角三角形，且∠A ＝90°， A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，则 ＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，＝(x 3－x 1，y 3－y 1)，且·＝0， 所以(x 2－x 1)(x 3－x 1)＋(y 2－y 1)(y 3－y 1)＝0. 因为x i ＝(i ＝1，2，3)，y 1≠y 2，y 1≠y 3，所以(y 1＋y 2)(y 1＋y 3)＋16＝0. 又因为＋＋＝0，所以x 1＋x 2＋x 3＝3，y 1＋y 2＋y 3＝0， 所以y 2y 3＝－16，①又＋＋＝4(x 1＋x 2＋x 3)＝12，所以(－y 2－y 3)2＋＋＝12，即＋＋y 2y 3＝6，② 由①②得＋－16＝6，即－22＋256＝0，③因为Δ＝(－22)2－4×256＝－540<0.所以方程③无解，从而△ABC 不可能是直角三角形．方法二，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，由＋＋＝0，得x 1＋x 2＋x 3＝3，y 1＋y 2＋y 3＝0.欲证△ABC 不是直角三角形，只需证明∠A ≠90°. (ⅰ)当AB ⊥x 轴时，x 1＝x 2，y 1＝－y 2，从而x 3＝3－2x 1，y 3＝0， 即点C 的坐标为(3－2x 1，0)．由于点C 在y 2＝4x 上，所以3－2x 1＝0，即x 1＝， 此时A，B，C (0，0)，则∠A ≠90°.(ⅱ)当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为x ＝ty ＋m (t ≠0)，代入y 2＝4x ，整理得y 2－4ty －4m ＝0，则y 1＋y 2＝4t .若∠A ＝90°，则直线AC 的斜率为－t ，同理可得y 1＋y 3＝－. 由y 1＋y 2＋y 3＝0，得y 1＝4t －，y 2＝，y 3＝－4t . 由x 1＋x 2＋x 3＝3，可得＋＋＝4(x 1＋x 2＋x 3)＝12.从而＋＋(－4t)2＝12，整理得t2＋＝，即8t4－11t2＋8＝0，④Δ＝(－11)2－4×8×8＝－135<0.所以方程④无解，从而∠A≠90°.综合(ⅰ)(ⅱ)可知，△ABC不可能是直角三角形．35.已知a，b是单位向量，a·b＝0，若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的取值范围是() A．[－1，＋1]B．[－1，＋2]C．[1，＋1]D．1，＋2【答案】A【解析】由题可知a·b＝0，则a⊥b.又|a|＝|b|＝1，且|c－a－b|＝1，不妨令c＝(x，y)，a＝(1，0)，b＝(0，1)，则(x－1)2＋(y－1)2＝1.又|c|＝，所以根据几何关系可知|c|max＝＋1＝1＋，|c|min＝－1＝－1，故选A.36.在平面斜坐标系xOy中∠xOy＝45°，点P的斜坐标定义为：若＝x0e1＋ye2(其中e1，e2分别为与斜坐标系的x轴，y轴同方向的单位向量)，则点P的坐标为(x0，y)．若F1(－1，0)，F2(1，0)，且动点M(x，y)满足| |＝||，则点M在斜坐标系中的轨迹方程为() A．x－y＝0B．x＋y＝0C．x－y＝0D．x＋y＝0【答案】D【解析】根据已知|e1|＝|e2|＝1，〈e1，e2〉＝45°，故e1·e2＝，＝－e1，＝e1.设＝xe1＋ye2，由||＝||，可得|－|＝|－|，即|－(1＋x)e1－ye2|＝|(1－x)e1－ye2|，两端平方得(1＋x)2＋2(1＋x)y×＋y2＝(1－x)2－2(1－x)y×＋y2，化简整理得x＋y ＝0.37.在△ABC中，若AB＝1，AC＝|＋|＝||，则＝______.【答案】【解析】如图，＋＝，依题意，得||＝||，所以四边形ABDC是矩形，∠BAC＝90°. 因为AB＝1，AC＝，所以BC＝2.cos∠ABC＝＝，＝＝||cos∠ABC＝.38.已知点A(1,3)，B(4，－1)，则与向量同方向的单位向量为()．A．B．C．D．【答案】A【解析】＝(4，－1)－(1,3)＝(3，－4)，∴与同方向的单位向量为＝39.在中，为边上任意一点，为的中点，，则的值为（）A．B．C．D．【答案】【解析】.【考点】平面向量.40.如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝1，∠A＝60°，点M在AB边上，且AM＝AB，则·等于()．A．－B．C．－1D．1【答案】D【解析】＝＋＝＋，＝＋，所以·＝(＋)·(＋)＝2＋2＋＝1＋－·＝－||||cos 60°＝－×1×2×＝1.41.在锐角中，、、所对的边分别为、、．已知向量，，且.（1）求角的大小；（2）若，，求的面积．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）先根据平面向量垂直的等价条件得到等式，再利用弦化切的思想求出的值，最终在求出角的值；（2）解法一：在角的大小确定的前提下，利用正弦定理与同角三角函数之间的关系求出和，并利用结合和角公式求出的值，最后利用面积公式求出的面积；解法二：利用余弦定理求出的值，并对的值进行检验，然后面积公式求出的面积.试题解析：（1）因为，所以，则， 4分因为，所以，则，所以 7分（2）解法一：由正弦定理得，又，，，则，因为为锐角三角形，所以， 9分因为， 12分所以 14分解法二：因为，，，所以由余弦定理可知，，即，解得或，当时，，所以，不合乎题意；当时，，所以，合乎题意；所以 14分【考点】正弦定理、余弦定理、同角三角函数的关系、两角和的正弦函数、三角形的面积公式42.已知点为等边三角形的中心,,直线过点交边于点，交边于点，则的最大值为 .【答案】【解析】以M点为原点，x轴平行于,y轴垂直于，建立直角坐标系，则M（0，0），A（0，）,B（-1，-）,C（1，-），设直线l的方程为y="kx" （0≤k≤）（1），直线AB的方程y-=x（2），联立（1）（2），得P点的坐标为（，），直线AC的方程：y-=-x，（3），联立（1）（3），得Q点的坐标为（，），则=（+1，+）,即=（+1，）=（-1，）,·=（+1）（-1）+（）（）=，因为0≤k≤，所以·=≤=，当且仅当k=0，即直线l平行于x轴时取等号. 故·的最大值是.【考点】1.向量的运算；2.直线方程.43.已知平面向量若函数.（Ⅰ）求函数的最小正周期；（Ⅱ）将函数的图象上的所有的点向左平移1个单位长度，得到函数的图象，若函数在上有两个零点，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）函数的最小正周期为8．（Ⅱ）实数取值范围为．【解析】（Ⅰ）根据平面向量的坐标运算公式，利用三角公式化简得到，由，得到最小正周期为8．（Ⅱ）通过将函数的图像向左平移1个单位后得到函数的表达式，结合函数的图象，建立的不等式，确定得到实数取值范围为．试题解析：解:（Ⅰ）∵函数∴ 1分3分∴∴函数的最小正周期为8． 6分（Ⅱ）依题意将函数的图像向左平移1个单位后得到函数8分函数在上有两个零点，即函数与在有两个交点，如图所示：所以，即所以实数取值范围为． 12分【考点】1、平面向量的坐标运算，2、正弦型函数的图象和性质.44.已知向量，，函数．(Ⅰ)若方程在上有解，求的取值范围；(Ⅱ)在中，分别是A，B，C所对的边，当（Ⅰ）中的取最大值且时，求的最小值．【答案】(Ⅰ)的取值范围；(Ⅱ)的最小值．【解析】（Ⅰ）由向量数量积转化为三角函数，利用倍角公式将角转化为的三角函数，然后利用可以得到，方程在有解，即有根问题，从而转化为求值域；（Ⅱ）由，且，代入，可求出的值，再由，可想到利用余弦定律来解．试题解析：（1），，函数，，当时，，，．（Ⅱ），且，代入，得，，或，而，解得，由余弦定律可得，，．，故．【考点】1、向量数量积，2、三角恒等变换，3、方程的根的问题，4、余弦定理，5、基本不等式．45.如图，ΔABC中，= 600, 的平分线交BC 于D,若AB = 4,且,则AD的长为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据题意，由于ΔABC中，=" 600," 的平分线交BC 于D,若AB = 4,且，则两边同时平方可知，则AD的长为，选B.【考点】向量的几何运用点评：主要是考查了向量的几何运用，加减法几何意义，属于基础题。

2024全国高考真题数学汇编平面向量及其应用章节综合一、单选题1．（2024全国高考真题）已知向量,a b满足1,22a a b ，且2b a b ，则b （）A ．12B C ．2D ．12．（2024全国高考真题）已知向量(0,1),(2,)a b x ，若(4)b b a，则x （）A ．2B ．1C ．1D ．23．（2024全国高考真题）设向量 1,,,2a x x b x，则（）A ．“3x ”是“a b”的必要条件B ．“3x ”是“//a b”的必要条件C ．“0x ”是“a b”的充分条件D ．“1x ”是“//a b”的充分条件4．（2024全国高考真题）在ABC 中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若π3B ，294b ac ，则sin sin A C （）A ．13B ．13C ．2D ．135．（2024北京高考真题）设a ，b 是向量，则“·0a b a b”是“a b 或a b ”的（）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题6．（2024上海高考真题）已知 ,2,5,6,k a b k R ，且//a b ，则k 的值为．7．（2024天津高考真题）在边长为1的正方形ABCD 中，点E 为线段CD 的三等分点，1,2CE DE BE BA BC u u r u u r u u u r ，则；F 为线段BE 上的动点，G 为AF 中点，则AF DG的最小值为．三、解答题8．（2024天津高考真题）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知92cos 5163a Bbc ，．(1)求a ；(2)求sin A ；(3)求 cos 2B A 的值．9．（2024全国高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin 2A A ．(1)求A ．(2)若2asin sin 2C c B ，求ABC 的周长．10．（2024北京高考真题）在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，A 为钝角，7a ，sin 2cos B B ．(1)求A ；(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得ABC 存在，求ABC 的面积．条件①：7b ；条件②：13cos 14B；条件③：sin c A 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．11．（2024全国高考真题）记ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin C B ，222a b c (1)求B ；(2)若ABC 的面积为3c ．参考答案1．B【分析】由2b a b 得22b a b，结合1,22a a b ，得22144164a b b b ，由此即可得解.【详解】因为 2b a b ，所以20b a b ，即22b a b，又因为1,22a a b ，所以22144164a b b b ，从而2b .故选：B.2．D【分析】根据向量垂直的坐标运算可求x 的值.【详解】因为 4b b a ，所以40b b a，所以240b a b即2440x x ，故2x ，故选：D.3．C【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可.【详解】对A ，当a b 时，则0a b，所以(1)20x x x ，解得0x 或3，即必要性不成立，故A 错误；对C ，当0x 时， 1,0,0,2a b ，故0a b，所以a b，即充分性成立，故C 正确；对B ，当//a b时，则22(1)x x ，解得1x ，即必要性不成立，故B 错误；对D ，当1x 时，不满足22(1)x x ，所以//a b不成立，即充分性不立，故D 错误.故选：C.4．C【分析】利用正弦定理得1sin sin 3A C ，再利用余弦定理有22134a c ac ，由正弦定理得到22sin sin A C 的值，最后代入计算即可.【详解】因为29,34B b ac，则由正弦定理得241sin sin sin 93A C B .由余弦定理可得:22294b ac ac ac ，即:22134a c ac，根据正弦定理得221313sin sin sin sin 412A C A C ，所以2227(sin sin )sin sin 2sin sin 4A C A C A C，因为,A C 为三角形内角，则sin sin 0A C ，则sin sin A C .故选：C.5．B【分析】根据向量数量积分析可知0a b a b 等价于a b，结合充分、必要条件分析判断.【详解】因为220a b a b a b ，可得22a b ，即a b ，可知0a b a b 等价于a b ，若a b 或a b ，可得a b ，即0a b a b，可知必要性成立；若0a b a b ，即a b，无法得出a b 或a b ，例如 1,0,0,1a b，满足a b ，但a b 且a b ，可知充分性不成立；综上所述，“0a b a b”是“a b 且a b ”的必要不充分条件.故选：B.6．15【分析】根据向量平行的坐标表示得到方程，解出即可.【详解】//a b ，256k ，解得15k ．故答案为：15．7．43518【分析】解法一：以,BA BC 为基底向量，根据向量的线性运算求BE，即可得 ，设BF BE k u u u r u u r ，求,AF DG u u u r u u u r ，结合数量积的运算律求AF DG 的最小值；解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求BE，即可得 ，设 1,3,,03F a a a，求,AF DG u u u r u u u r ，结合数量积的坐标运算求AF DG 的最小值.【详解】解法一：因为12CE DE ，即13CE BA ，则13BE BC CE BA BC u u u r u u r u u u u r r u u u r ，可得1,13，所以43；由题意可知：1,0BC BA BA BC，因为F 为线段BE 上的动点，设 1,0,13BF k BE k BA k BC k，则113AF AB BF AB k BE k BA k BC，又因为G 为AF 中点，则1111112232DG DA AG BC AF k BA k BC，可得11111113232AF DG k BA k BC k BA k BC22111563112329510k k k k，又因为 0,1k ，可知：当1k 时，AF DG 取到最小值518；解法二：以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，则 11,0,0,0,0,1,1,1,,13A B C D E，可得 11,0,0,1,,13BA BC BE，因为 ,BE BA BC 131，所以43 ；因为点F 在线段1:3,,03BE y x x 上，设 1,3,,03F a a a，且G 为AF 中点，则13,22a G a ，可得 131,3,,122a AF a a DG a，则 22132331522510a AF DG a a a，且1,03a，所以当13a 时，AF DG 取到最小值为518 ；故答案为：43；518 .8．(1)4(3)5764【分析】（1）2,3a t c t ，利用余弦定理即可得到方程，解出即可；（2）法一：求出sin B ，再利用正弦定理即可；法二：利用余弦定理求出cos A ，则得到sin A ；（3）法一：根据大边对大角确定A 为锐角，则得到cos A ，再利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可；法二：直接利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可.【详解】（1）设2,3a t c t ，0t ，则根据余弦定理得2222cos b a c ac B ，即229254922316t t t t ，解得2t （负舍）；则4,6a c .（2）法一：因为B 为三角形内角，所以sin 16B ，再根据正弦定理得sin sin a b A B ，即4sin A sin 4A ，法二：由余弦定理得2222225643cos 22564b c a A bc ，因为 0,πA ，则sin 4A（3）法一：因为9cos 016B ，且 0,πB ，所以π0,2B，由（2）法一知sin 16B，因为a b ，则A B ，所以3cos 4A ，则3sin 22sin cos 24A A A2231cos 22cos 12148A A9157cos 2cos cos 2sin sin 216816864B A B A B A.法二：3sin 22sin cos 24A A A，则2231cos 22cos 12148A A，因为B 为三角形内角，所以sin 16B，所以 9157cos 2cos cos 2sin sin 216864B A B A B A9．(1)π6A(2)2【分析】（1）根据辅助角公式对条件sin 2A A 进行化简处理即可求解，常规方法还可利用同角三角函数的关系解方程组，亦可利用导数，向量数量积公式，万能公式解决；（2）先根据正弦定理边角互化算出B ，然后根据正弦定理算出,b c 即可得出周长.【详解】（1）方法一：常规方法（辅助角公式）由sin 2A A 可得1sin 122A A ，即sin()1π3A ，由于ππ4π(0,π)(,)333A A ，故ππ32A ，解得π6A方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系）由sin 2A A ，又22sin cos 1A A ，消去sin A 得到：224cos 30(2cos 0A A A ，解得cos 2A，又(0,π)A ，故π6A方法三：利用极值点求解设()sin (0π)f x x x x ，则π()2sin (0π)3f x x x，显然π6x时，max ()2f x ，注意到π()sin 22sin(3f A A A A ，max ()()f x f A ，在开区间(0,π)上取到最大值，于是x A 必定是极值点，即()0cos sin f A A A ，即tan 3A ，又(0,π)A ，故π6A方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式）设(sin ,cos )a b A A ，由题意，sin 2a b A A，根据向量的数量积公式，cos ,2cos ,a b a b a b a b，则2cos ,2cos ,1a b a b ，此时,0a b，即,a b 同向共线，根据向量共线条件，1cos sin tan A A A 又(0,π)A ，故π6A方法五：利用万能公式求解设tan 2A t，根据万能公式，22sin 21t A A t整理可得，2222(2(20((2t t t ，解得tan22A t 223tan 13t A t ，又(0,π)A ，故π6A（2）由题设条件和正弦定理sin sin 2sin 2sin sin cos C c B B C C B B ，又,(0,π)B C ，则sin sin 0B C，进而cos 2B ，得到π4B ，于是7ππ12C A B，26sin sin(π)sin()sin cos sin cos 4C A B A B A B B A，由正弦定理可得，sin sin sin a b cA B C ，即2ππ7πsin sin sin6412bc，解得b c 故ABC的周长为2 10．(1)2π3A；(2)选择①无解；选择②和③△ABC【分析】（1）利用正弦定理即可求出答案；（2）选择①，利用正弦定理得3B，结合（1）问答案即可排除；选择②，首先求出sin B 式子得3b ，再利用两角和的正弦公式即可求出sin C ，最后利用三角形面积公式即可；选择③，首先得到5c，再利用正弦定理得到sin Csin B ，最后利用三角形面积公式即可；【详解】（1）由题意得2sin cos cos B B B，因为A 为钝角，则cos 0B，则2sin B，则7sin sin sin b a BA A，解得sin A ，因为A 为钝角，则2π3A.（2）选择①7b ，则333sin 714142B，因为2π3A ，则B 为锐角，则3B ，此时πA B ，不合题意，舍弃；选择②13cos 14B ，因为B 为三角形内角，则sin B ，则代入2sin 7B得2147，解得3b ， 2π2π2πsin sin sin sin cos cos sin 333C A B B B B3131335321421414,则1153153sin 7322144ABC S ab C.选择③sin c Ac 5c ，则由正弦定理得sin sin a c A C 5sin C ，解得sin C ，因为C 为三角形内角，则11cos 14C ，则 2π2π2πsin sin sin sin cos cos sin 333B A C C C C3111533321421414，则11sin 7522144ABC S ac B △11．(1)π3B (2)【分析】（1）由余弦定理、平方关系依次求出cos ,sin C C ，最后结合已知sin C B 得cos B 的值即可；（2）首先求出,,A B C ，然后由正弦定理可将,a b 均用含有c 的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程求解.【详解】（1）由余弦定理有2222cos a b c ab C ，对比已知222a b c ，可得222cos 222a b c C ab ab，因为 0,πC ，所以sin 0C ，从而sin2C ，又因为sin C B，即1cos2B ，注意到0,πB ，所以π3B .（2）由（1）可得π3B，cos2C ，0,πC ，从而π4C ，ππ5ππ3412A ，而5πππ1sin sin sin12462A，由正弦定理有5πππsin sin sin1234a b c，从而,a b，由三角形面积公式可知，ABC的面积可表示为21113sin222228ABCS ab C c c，由已知ABC的面积为323338c所以c。

1．向量在平面几何中的应用(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：(2)用向量方法解决平面几何问题的步骤：平面几何问题――→设向量向量问题――→运算解决向量问题――→还原解决几何问题． 2．平面向量在物理中的应用(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似，可以用向量的知识来解决．(2)物理学中的功是一个标量，是力F 与位移s 的数量积，即W ＝F·s ＝|F||s |cos θ(θ为F 与s 的夹角)．3．向量与相关知识的交汇平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)，解析几何结合，常通过向量的线性运算与数量积，向量的共线与垂直求解相关问题． 【知识拓展】1．若G 是△ABC 的重心，则GA →＋GB →＋GC →＝0.2．若直线l 的方程为：Ax ＋By ＋C ＝0，则向量(A ，B )与直线l 垂直，向量(－B ，A )与直线l 平行． 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若AB →∥AC →，则A ，B ，C 三点共线．( √ ) (2)向量b 在向量a 方向上的投影是向量．( × )(3)若a ·b ＞0，则a 和b 的夹角为锐角；若a ·b ＜0，则a 和b 的夹角为钝角．( × ) (4)在△ABC 中，若AB →·BC →<0，则△ABC 为钝角三角形．( × )(5)已知平面直角坐标系内有三个定点A (－2，－1)，B (0，10)，C (8,0)，若动点P 满足：OP →＝OA →＋t (AB →＋AC →)，t ∈R ，则点P 的轨迹方程是x －y ＋1＝0.( √ )1．(教材改编)已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (3,4)，B (5,2)，C (－1，－4)，则该三角形为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰直角三角形答案 B解析 AB →＝(2，－2)，AC →＝(－4，－8)，BC →＝(－6，－6)， ∴|AB →|＝22＋(－2)2＝22，|AC →|＝16＋64＝45， |BC →|＝36＋36＝62， ∴|AB →|2＋|BC →|2＝|AC →|2， ∴△ABC 为直角三角形．2．已知在△ABC 中，|BC →|＝10，AB →·AC →＝－16，D 为边BC 的中点，则|AD →|等于( ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．3答案 D解析 在△ABC 中，由余弦定理可得，AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝BC 2，又AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·cos A ＝－16，所以AB 2＋AC 2＋32＝100，AB 2＋AC 2＝68.又D 为边BC 的中点，所以AB →＋AC →＝2AD →，两边平方得4|AD →|2＝68－32＝36，解得|AD →|＝3，故选D.3．(2017·武汉质检)平面直角坐标系xOy 中，若定点A (1,2)与动点P (x ，y )满足OP →·OA →＝4，则点P 的轨迹方程是____________． 答案 x ＋2y －4＝0解析 由OP →·OA →＝4，得(x ，y )·(1,2)＝4， 即x ＋2y ＝4.4．(2016·银川模拟)已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，b ＝(3，－1)，则|2a －b |的最大值为________． 答案 4解析 设a 与b 夹角为α， ∵|2a －b |2＝4a 2－4a·b ＋b 2 ＝8－4|a||b |cos α＝8－8cos α， ∵α∈[0，π]，∴cos α∈[－1,1]， ∴8－8cos α∈[0,16]，即|2a －b |2∈[0,16]， ∴|2a －b |∈[0,4]． ∴|2a －b |的最大值为4.5．已知一个物体在大小为6 N 的力F 的作用下产生的位移s 的大小为100 m ，且F 与s 的夹角为60°，则力F 所做的功W ＝________ J. 答案 300解析 W ＝F ·s ＝|F ||s |cos 〈F ，s 〉 ＝6×100×cos 60°＝300(J).题型一 向量在平面几何中的应用例1 (1)在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE →＝1，则AB ＝________.(2)已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个动点，若动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →＋AC →)，λ∈(0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A ．内心 B ．外心 C ．重心 D ．垂心 答案 (1)12(2)C解析 (1)在平行四边形ABCD 中，取AB 的中点F ，则BE →＝FD →，∴BE →＝FD →＝AD →－12AB →，又∵AC →＝AD →＋AB →，∴AC →·BE →＝(AD →＋AB →)·(AD →－12AB →)＝AD →2－12AD →·AB →＋AD →·AB →－12AB →2＝|AD →|2＋12|AD →||AB →|cos 60°－12|AB →|2＝1＋12×12|AB →|－12|AB →|2＝1.∴⎝⎛⎭⎫12－|AB →||AB →|＝0，又|AB →|≠0，∴|AB →|＝12. (2)由原等式，得OP →－OA →＝λ(AB →＋AC →)，即AP →＝λ(AB →＋AC →)，根据平行四边形法则，知AB →＋AC →是△ABC 的中线AD (D 为BC 的中点)所对应向量AD →的2倍，所以点P 的轨迹必过△ABC 的重心． 引申探究本例(2)中，若动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，λ∈(0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的________． 答案 内心解析 由条件，得OP →－OA →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，即AP →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，而AB →|AB →|和AC →|AC →|分别表示平行于AB →，AC →的单位向量，故AB →|AB →|＋AC →|AC →|平分∠BAC ，即AP →平分∠BAC ，所以点P 的轨迹必过△ABC 的内心．思维升华 向量与平面几何综合问题的解法 (1)坐标法把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决． (2)基向量法适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解．(1)在△ABC 中，已知向量AB →与AC →满足(AB →|AB →|＋AC →|AC →|)·BC →＝0，且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，则△ABC 为( )A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰非等边三角形D ．三边均不相等的三角形(2)已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|P A →＋3PB →|的最小值为________． 答案 (1)A (2)5解析 (1)AB →|AB →|，AC →|AC →|分别为平行于AB →，AC →的单位向量，由平行四边形法则可知AB →|AB →|＋AC →|AC →|为∠BAC 的平分线．因为(AB →|AB →|＋AC →|AC →|)·BC →＝0，所以∠BAC 的平分线垂直于BC ，所以AB ＝AC .又AB →|AB →|·AC →|AC →|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪AB →|AB →|·⎪⎪⎪⎪⎪⎪AC →|AC →|·cos ∠BAC ＝12，所以cos ∠BAC ＝12，又0<∠BAC <π，故∠BAC ＝π3，所以△ABC 为等边三角形． (2)以D 为原点，分别以DA ，DC 所在直线为x 轴、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC ＝a ，DP ＝y .则D (0,0)，A (2,0)，C (0，a )，B (1，a )， P (0，y )，P A →＝(2，－y )，PB →＝(1，a －y )， 则P A →＋3PB →＝(5,3a －4y )， 即|P A →＋3PB →|2＝25＋(3a －4y )2， 由点P 是腰DC 上的动点，知0≤y ≤a . 因此当y ＝34a 时，|P A →＋3PB →|2的最小值为25.故|P A →＋3PB →|的最小值为5. 题型二 向量在解析几何中的应用例2 (1)已知向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(10，k )，且A 、B 、C 三点共线，当k <0时，若k 为直线的斜率，则过点(2，－1)的直线方程为________________．(2)设O 为坐标原点，C 为圆(x －2)2＋y 2＝3的圆心，且圆上有一点M (x ，y )满足OM →·CM →＝0，则yx ＝________________________________________________________________________. 答案 (1)2x ＋y －3＝0 (2)±3解析 (1)∵AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)， BC →＝OC →－OB →＝(6，k －5)，且AB →∥BC →， ∴(4－k )(k －5)＋6×7＝0， 解得k ＝－2或k ＝11.由k <0可知k ＝－2，则过点(2，－1)且斜率为－2的直线方程为y ＋1＝－2(x －2)，即2x ＋y －3＝0.(2)∵OM →·CM →＝0，∴OM ⊥CM ，∴OM 是圆的切线，设OM 的方程为y ＝kx ， 由|2k |1＋k 2＝3，得k ＝±3，即yx ＝±3.思维升华 向量在解析几何中的“两个”作用(1)载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题的关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题．(2)工具作用：利用a ⊥b ⇔a·b ＝0(a ，b 为非零向量)，a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)，可解决垂直、平行问题，特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较简捷的方法．(2016·合肥模拟)如图所示，半圆的直径AB ＝6，O 为圆心，C 为半圆上不同于A 、B 的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，则(P A →＋PB →)·PC →的最小值为________．答案 －92解析 ∵圆心O 是直径AB 的中点，∴P A →＋PB →＝2PO →，∴(P A →＋PB →)·PC →＝2PO →·PC →， ∵PO →与PC →共线且方向相反，∴当大小相等时，乘积最小．由条件知，当PO ＝PC ＝32时，最小值为－2×32×32＝－92.题型三 向量的其他应用 命题点1 向量在不等式中的应用 例3 已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，x ＋y ≤2，x ≥a ，若OA →＝(x,1)，OB →＝(2，y )，且OA →·OB →的最大值是最小值的8倍，则实数a 的值是________． 答案 18解析 因为OA →＝(x,1)，OB →＝(2，y )，所以OA →·OB →＝2x ＋y ，令z ＝2x ＋y ，依题意，不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示(含边界)，观察图象可知，当目标函数z ＝2x ＋y 过点C (1,1)时，z max ＝2×1＋1＝3，目标函数z ＝2x ＋y 过点F (a ，a )时，z min ＝2a ＋a ＝3a ，所以3＝8×3a ，解得a ＝18.命题点2 向量在解三角形中的应用例4 (2016·合肥模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若20aBC →＋15bCA →＋12cAB →＝0，则△ABC 最小角的正弦值等于( ) A.45 B.34 C.35 D.74答案 C解析 ∵20aBC →＋15bCA →＋12cAB →＝0， ∴20a (AC →－AB →)＋15bCA →＋12cAB →＝0， ∴(20a －15b )AC →＋(12c －20a )AB →＝0， ∵AC →与AB →不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧20a －15b ＝0，12c －20a ＝0⇒⎩⎨⎧b ＝43a ，c ＝53a ，∴△ABC 最小角为角A ， ∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝169a 2＋259a 2－a 22×43a ×53a ＝45，∴sin A ＝35，故选C.命题点3 向量在物理中的应用例5 如图，一质点受到平面上的三个力F 1，F 2，F 3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知F 1，F 2成60°角，且F 1，F 2的大小分别为2和4，则F 3的大小为()A ．27B ．2 5C ．2D ．6答案 A解析 如题图所示，由已知得F 1＋F 2＋F 3＝0，则F 3＝－(F 1＋F 2)，即F 23＝F 21＋F 22＋2F 1·F 2＝F 21＋F 22＋2|F 1|·|F 2|·cos 60°＝28.故|F 3|＝27. 思维升华 利用向量的载体作用，可以将向量与三角函数、不等式结合起来，解题时通过定义或坐标运算进行转化，使问题的条件结论明晰化．(1)函数y ＝sin(ωx ＋φ)在一个周期内的图象如图所示，M 、N 分别是最高点、最低点，O 为坐标原点，且OM →·ON →＝0，则函数f (x )的最小正周期是______．(2)已知在平面直角坐标系中，O (0,0)，M (1,1)，N (0,1)，Q (2，3)，动点P (x ，y )满足不等式0≤OP →·OM →≤1,0≤OP →·ON →≤1，则z ＝OQ →·OP →的最大值为________． 答案 (1)3 (2)3解析 (1)由图象可知，M ⎝⎛⎭⎫12，1，N ()x N ，－1， 所以OM →·ON →＝⎝⎛⎭⎫12，1·(x N ，－1)＝12x N －1＝0，解得x N ＝2，所以函数f (x )的最小正周期是2×⎝⎛⎭⎫2－12＝3. (2)∵OP →＝(x ，y )，OM →＝(1,1)，ON →＝(0,1)，OQ →＝(2,3)， ∴OP →·OM →＝x ＋y ，OP →·ON →＝y ，OQ →·OP →＝2x ＋3y ，即在⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ＋y ≤1，0≤y ≤1条件下，求z ＝2x ＋3y 的最大值，由线性规划知识得，当x ＝0，y ＝1时，z max ＝3.三审图形抓特点典例 (2016·太原一模)已知A ，B ，C ，D 是函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，0＜φ＜π2一个周期内的图象上的四个点，如图所示，A ⎝⎛⎭⎫－π6，0，B 为y 轴上的点，C 为图象上的最低点，E 为该函数图象的一个对称中心，B 与D 关于点E 对称，CD →在x 轴上的投影为π12，则ω，φ的值为( )A ．ω＝2，φ＝π3B ．ω＝2，φ＝π6C ．ω＝12，φ＝π3D ．ω＝12，φ＝π6E 为函数图象的对称中心，C 为图象最低点―――――――――――→作出点C 的对称点MD 、B 两点对称 CD 和MB 对称―――――――――――→CD →在x 轴上的投影是π12BM 在x 轴上的投影OF ＝π12――――――→A (－π6，0)，AF ＝π4―→T ＝π―→ω＝2――――――――→y ＝sin (2x ＋φ)和y ＝sin 2x 图象比较φ2＝π6―→φ＝π3解析 由E 为该函数图象的一个对称中心，作点C 的对称点M ，作MF ⊥x 轴，垂足为F ，如图．B 与D 关于点E 对称，CD →在x 轴上的投影为π12，知OF ＝π12.又A ⎝⎛⎭⎫－π6，0，所以AF ＝T 4＝π2ω＝π4，所以ω＝2.同时函数y ＝sin(ωx ＋φ)图象可以看作是由y ＝sin ωx 的图象向左平移得到，故可知φω＝φ2＝π6，即φ＝π3.答案 A1．在△ABC 中，(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2，则△ABC 的形状一定是( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形答案 C解析 由(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2， 得AC →·(BC →＋BA →－AC →)＝0， 即AC →·(BC →＋BA →＋CA →)＝0， 2AC →·BA →＝0， ∴AC →⊥BA →，∴A ＝90°.又根据已知条件不能得到|AB →|＝|AC →|， 故△ABC 一定是直角三角形．2．(2016·山东)已知非零向量m ，n 满足4|m |＝3|n |，cos 〈m ，n 〉＝13.若n ⊥(t m ＋n )，则实数t 的值为( )A ．4B ．－4 C.94 D ．－94答案 B解析 ∵n ⊥(t m ＋n )，∴n ·(t m ＋n )＝0， 即t m ·n ＋n 2＝0，∴t |m ||n |cos 〈m ，n 〉＋|n |2＝0， 由已知得t ×34|n |2×13＋|n |2＝0，解得t ＝－4，故选B.3．(2016·南宁模拟)已知向量a ＝(cos α，－2)，b ＝(sin α，1)且a ∥b ，则sin 2α等于( )A ．3B ．－3 C.45 D ．－45答案 D解析 由a ∥b 得cos α＋2sin α＝0，∴cos α＝－2sin α，又sin 2α＋cos 2α＝1， ∴5sin 2α＝1，sin 2α＝15，cos 2α＝45，sin 2α＝2sin αcos α＝－cos 2α＝－45.4．(2016·武汉模拟)设△ABC 的三个内角为A ，B ，C ，向量m ＝(3sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，3cos A )，若m·n ＝1＋cos(A ＋B )，则C 等于( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6答案 C解析 依题意得3sin A cos B ＋3cos A sin B ＝1＋cos(A ＋B )，3sin(A ＋B )＝1＋cos(A ＋B )，3sin C ＋cos C ＝1,2sin(C ＋π6)＝1，sin(C ＋π6)＝12.又π6<C ＋π6<7π6，因此C ＋π6＝5π6，C ＝2π3. 5．已知点A (－2,0)，B (3,0)，动点P (x ，y )满足P A →·PB →＝x 2，则点P 的轨迹是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线 答案 D解析 ∵P A →＝(－2－x ，－y )，PB →＝(3－x ，－y )， ∴P A →·PB →＝(－2－x )(3－x )＋y 2＝x 2， ∴y 2＝x ＋6，即点P 的轨迹是抛物线．*6.若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为12，则α与β的夹角θ的取值范围是________． 答案 ⎣⎡⎦⎤π6，5π6解析 如图，向量α与β在单位圆O 内，由于|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为12，故以向量α，β为两边的三角形的面积为14，故β的终点在如图所示的线段AB 上(α∥AB →，且圆心O 到AB 的距离为12)，因此夹角θ的取值范围为⎣⎡⎦⎤π6，5π6.7．在菱形ABCD 中，若AC ＝4，则CA →·AB →＝________. 答案 －8解析 设∠CAB ＝θ，AB ＝BC ＝a ，由余弦定理得：a 2＝16＋a 2－8a cos θ，∴a cos θ＝2， ∴CA →·AB →＝4×a ×cos(π－θ)＝－4a cos θ＝－8.8．已知平面向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为π3.以a ，b 为邻边作平行四边形，则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为______． 答案3解析 ∵|a ＋b |2－|a －b |2＝4a·b ＝4|a ||b |cos π3＝4>0，∴|a ＋b |>|a －b |，又|a －b |2＝a 2＋b 2－2a·b ＝3， ∴|a －b |＝ 3.9．已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的函数f (x )＝13x 3＋12|a |x 2＋a ·b x 在R 上有极值，则向量a 与b的夹角的范围是__________． 答案 ⎝⎛⎦⎤π3，π解析 设a 与b 的夹角为θ. ∵f (x )＝13x 3＋12|a |x 2＋a ·b x ，∴f ′(x )＝x 2＋|a |x ＋a ·b . ∵函数f (x )在R 上有极值，∴方程x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有两个不同的实数根， 即Δ＝|a |2－4a ·b ＞0，∴a ·b ＜a 24，又∵|a |＝2|b |≠0，∴cos θ＝a ·b |a ||b |＜a 24a 22＝12，即cos θ＜12，又∵θ∈[0，π]，∴θ∈⎝⎛⎦⎤π3，π.*10.已知圆C ：(x －2)2＋y 2＝4，圆M ：(x －2－5cos θ)2＋(y －5sin θ)2＝1(θ∈R )，过圆M 上任意一点P 作圆C 的两条切线PE ，PF ，切点分别为E ，F ，则PE →·PF →的最小值是________． 答案 6解析 圆(x －2)2＋y 2＝4的圆心C (2,0)，半径为2，圆M (x －2－5cos θ)2＋(y －5sin θ)2＝1，圆心M (2＋5cos θ，5sin θ)，半径为1， ∵CM ＝5＞2＋1，故两圆相离．如图所示，设直线CM 和圆M 交于H ，G 两点，则PE →·PF →最小值是HE →·HF →，HC ＝CM －1＝5－1＝4，HF ＝HE ＝HC 2－CE 2＝16－4＝23， sin ∠CHE ＝CE CH ＝12，∴cos ∠EHF ＝cos 2∠CHE ＝1－2sin 2∠CHE ＝12，HE →·HF →＝|HE →|·|HF →|·cos ∠EHF ＝23×23×12＝6.11．已知点P (0，－3)，点A 在x 轴上，点Q 在y 轴的正半轴上，点M 满足P A →·AM →＝0，AM →＝－32MQ →，当点A 在x 轴上移动时，求动点M 的轨迹方程．解 设M (x ，y )为所求轨迹上任一点， 设A (a,0)，Q (0，b )(b ＞0)，则P A →＝(a,3)，AM →＝(x －a ，y )，MQ →＝(－x ，b －y )， 由P A →·AM →＝0，得a (x －a )＋3y ＝0.① 由AM →＝－32MQ →，得(x －a ，y )＝－32(－x ，b －y )＝⎝⎛⎭⎫32x ，32(y －b )， ∴⎩⎨⎧x －a ＝32x ，y ＝32y －32b ，∴⎩⎨⎧a ＝－x 2，b ＝y3.∴b ＞0，y ＞0，把a ＝－x 2代入①，得－x2⎝⎛⎭⎫x ＋x 2＋3y ＝0， 整理得y ＝14x 2(x ≠0)．∴动点M 的轨迹方程为y ＝14x 2(x ≠0)．12．已知角A ，B ，C 是△ABC 的内角，a ，b ，c 分别是其所对边长，向量m ＝(23sin A2，cos 2A 2)，n ＝(cos A2，－2)，m ⊥n .(1)求角A 的大小； (2)若a ＝2，cos B ＝33，求b 的长． 解 (1)已知m ⊥n ，所以m·n ＝(23sin A 2，cos 2A 2)·(cos A2，－2)＝3sin A －(cos A ＋1)＝0，即3sin A －cos A ＝1，即sin(A －π6)＝12，因为0<A <π，所以－π6<A －π6<5π6.所以A －π6＝π6，所以A ＝π3.(2)在△ABC 中，A ＝π3，a ＝2，cos B ＝33，sin B ＝1－cos 2B ＝1－13＝63. 由正弦定理知a sin A ＝bsin B ，所以b ＝a ·sin Bsin A ＝2×6332＝423.*13.已知平面上一定点C (2,0)和直线l ：x ＝8，P 为该平面上一动点，作PQ ⊥l ，垂足为Q ，且(PC →＋12PQ →)·(PC →－12PQ →)＝0.(1)求动点P 的轨迹方程；(2)若EF 为圆N ：x 2＋(y －1)2＝1的任意一条直径，求PE →·PF →的最值． 解 (1)设P (x ，y )，则Q (8，y )． 由(PC →＋12PQ →)·(PC →－12PQ →)＝0，得|PC →|2－14|PQ →|2＝0，即(2－x )2＋(－y )2－14(8－x )2＝0，化简得x 216＋y 212＝1.∴动点P 在椭圆上，其轨迹方程为x 216＋y 212＝1.(2)∵PE →＝PN →＋NE →，PF →＝PN →＋NF →， 且NE →＋NF →＝0.∴PE →·PF →＝PN →2－NE →2＝(－x )2＋(1－y )2－1 ＝16(1－y 212)＋(y －1)2－1＝－13y 2－2y ＋16＝－13(y ＋3)2＋19.∵－23≤y ≤2 3.∴当y ＝－3时，PE →·PF →的最大值为19， 当y ＝23时，PE →·PF →的最小值为12－4 3. 综上，PE →·PF →的最大值为19，最小值为12－4 3.。