下载文档原格式
提升小学五年级数学下册能力解决几何问题的技巧在小学五年级的数学下册中，几何问题占据了重要的位置。
解决几何问题需要学生具备一定的数学思维和解题方法。
本文将介绍提升小学五年级数学下册解决几何问题能力的一些技巧和方法，帮助学生更好地应对几何问题。
一、认识基本图形要提升解决几何问题的能力，首先需要对基本图形有清晰的认识。
在小学五年级，学生已经学过了各种基本图形，如三角形、长方形、正方形等。
学生需要熟悉这些基本图形的定义、特征和性质，能够准确地辨认和描述它们。
通过观察和练习，加深对基本图形的认识，为解决几何问题打下基础。
二、掌握几何术语解决几何问题还需要学生掌握一些几何术语。
例如，学生需要了解线段、直线、射线的定义，并能够正确地运用这些术语描述几何图形。
此外，学生还需要了解角的概念，如顶角、对顶角、邻补角等。
熟练掌握几何术语可以帮助学生更好地理解和解决几何问题。
三、刻画几何关系解决几何问题需要学生善于刻画几何关系。
在解决几何问题时，学生需要观察几何图形之间的位置关系、大小关系、相似关系等。
通过刻画几何关系，学生可以从整体把握问题，更好地理解和解决问题。
例如，当遇到平行线问题时，学生可以通过观察线段之间的位置关系来判断是否平行；当遇到相似三角形问题时，学生可以通过观察角度和边长的关系来确定是否相似。
四、灵活运用平移、旋转、翻折等操作解决几何问题还需要学生具备灵活运用平移、旋转、翻折等操作的能力。
通过对几何图形的平移、旋转、翻折等操作，可以改变图形的位置或形状，从而帮助解决问题。
例如，当遇到寻找相同图形问题时，学生可以通过将图形进行平移、旋转、翻折等操作，来找到相同的图形。
五、多思考多实践在提升解决几何问题的能力过程中，多思考多实践是非常重要的。
学生需要积极思考几何问题的解题思路和方法，并多做相关的习题和实践。
通过多思考多实践，可以帮助学生加深对几何问题的理解和掌握，提高解决问题的能力。
总结起来，提升小学五年级数学下册解决几何问题的能力需要学生进行多方面的努力。
五年级几何练习题有哪些常见的解题技巧在五年级的数学学习中，几何部分是一个重要的内容。
面对各种各样的几何练习题，掌握一些常见的解题技巧可以帮助同学们更加轻松地应对，提高解题的效率和准确性。
一、认真审题解题的第一步是认真审题。
在拿到一道几何练习题时，要仔细阅读题目中的文字描述，观察所给的图形，弄清楚题目所给出的条件和要求解决的问题。
比如，题目中给出的是一个长方形的长和宽，还是三角形的底和高，或者是圆的半径等等。
同时，要注意题目中的关键词，如“面积相等”“周长相同”“最大”“最小”等，这些关键词往往是解题的关键。
二、画图辅助画图是解决几何问题的一个非常有效的方法。
通过画出准确的图形，可以将抽象的问题直观化，帮助我们更好地理解题意。
在画图时，要尽量按照题目所给的条件和比例来画，标注出已知的长度、角度等信息。
例如，对于求三角形面积的问题，如果题目中没有给出图形，我们可以自己画出一个三角形，并标注出底和高；对于求组合图形面积的问题，我们可以将组合图形分解成几个基本图形，分别画出并标注相关信息。
三、牢记公式几何中有很多重要的公式，如长方形的面积＝长×宽，正方形的面积＝边长×边长，三角形的面积＝底×高÷2，平行四边形的面积＝底×高，梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，圆的面积＝π×半径²，圆的周长＝2×π×半径等等。
同学们一定要牢记这些公式，并能够熟练地运用。
在解题时，要根据题目所给的条件，选择合适的公式进行计算。
四、等量代换在一些几何问题中，会涉及到多个图形之间的关系，这时候可以运用等量代换的方法来解题。
例如，已知一个长方形和一个正方形的周长相等，长方形的长是 8 厘米，宽是 6 厘米，求正方形的边长。
我们可以先根据长方形的周长公式求出长方形的周长：（8 ＋ 6）× 2 ＝ 28（厘米），因为正方形的周长和长方形的周长相等，所以正方形的周长也是 28 厘米，再根据正方形的周长公式求出正方形的边长：28 ÷ 4 ＝ 7（厘米）。
轻松解几何题小学五年级下册数学能力提升的高效方法几何学是数学的一个分支，对于小学生来说，掌握几何概念和解题技巧是提升数学能力的重要一环。
在小学五年级下册，几何题的难度逐渐增加，需要学生具备更高的解题能力。
本文将为大家介绍一些轻松解几何题的高效方法，帮助小学五年级学生提升数学能力。
一、理解基本几何概念要解几何题，首先要对几何学的基本概念有清晰的理解。
小学五年级下册涉及的几何概念主要包括：平面图形、面积、周长、相似图形等。
学生需要通过课堂学习和课后复习，牢固掌握这些概念的定义和性质。
同时，还要学会用文字和符号来描述这些几何概念，以便在解题过程中准确表达自己的思想。
二、掌握几何题的解题步骤解几何题需要有一定的解题思路和步骤。
一般来说，解几何题可以按如下步骤进行：1. 仔细阅读题目，理解题意。
弄清楚题目所给的几何图形和条件。
2. 找到已知量和未知量。
根据题目所给的条件，确定已知量和未知量的关系。
3. 运用几何定理和性质，进行推理和分析。
将已知量和未知量进行合理的组合，运用几何定理和性质进行推理和分析。
4. 运用数学方法进行计算。
根据需要，进行计算和推导，解出未知量的值。
5. 检查答案是否符合题意。
将求得的未知量代入原题进行验证，确保答案正确。
三、多做练习，掌握解题技巧在提高解几何题能力的过程中，多做练习是必不可少的。
通过大量的练习，可以巩固几何概念，熟练掌握解题思路和步骤。
同时，还可以积累解题经验，提高解题效率。
在做练习时，可以分为以下几个阶段：1. 初级阶段：从简单的几何题开始做起，重点是熟悉基本概念和解题步骤。
可以选择一些简单的教材习题进行练习，逐步提高解题能力。
2. 中级阶段：在初级阶段的基础上，逐渐增加难度，涉及到更复杂的几何题目。
可以选择一些习题集中的中等难度题目进行练习，培养学生的解题思维和分析能力。
3. 高级阶段：在掌握了基本解题技巧后，可以挑战一些难度较高的几何题目。
可以尝试一些竞赛题目或高年级教材中的难题，进一步提高解题水平。
小学数学几何题有些解答技巧小学数学几何题有哪些解答技巧整个数学知识中，最重要的两类知识就是数字和图形，而图形用数学专业术语来说就是几何，一个由古希腊语演变而来的词汇。
在数学王国中，几何占据半壁江山，是大家在数学考试中必考的知识，也是很多同学非常容易丢分的知识。
如何拿几何高分?苏州名师的关于解答几何题的秘密武器。
几何最主要的考察工程就是图形的周长、面积和体积，而对于我们最常见的根本图形，这些都是有根本计算公式的，也是大家在计算的时候最常用的计算方法。
作为最根底的计算方法，这些公式是一定要烂熟于胸的，做到随时随地都能够丝毫不差的背出来。
比方三角形面积公式：面积=底×高÷2，很多同学在计算时经常忘记最后的除以2，导致计算的错误。
对于这样的情况，就需要大家从本质上了解这个公式是怎么得到的。
能够熟练运用第一种武器，那么简单的几何题目就可以迎刃而解了，但是要想解决其他有些难度的几何题，还需要对第二种武器多加练习。
第二种武器就是需要能够把握解几何题常用的数学思想——转化。
数学转化思想在数和形两方面都有非常广泛的应用，在几何当中，数学转化思想主要用于解决一些不规那么的、不能直接用公式计算的题目，最根本的目的就是将不规那么的图形转化为规那么图形，将不能运用公式的图形转化成能够利用公式计算的图形。
对这个思想有了充分的认识后，几乎90%的数学几何题就能够掌握解题的根本思路了。
当然在几何解题中，不只有一种思想，只是转化思想更常用到。
其他的数学思想中，数形结合也是比拟常用的一种，在小学高年级和初中的几何题目中比拟常见，就是用代数的方法，将图形的某一段线段表示成数x,通过方程的方法解决几何题目。
详细去解决问题需要的是详细的方法。
那在几何题目上，最主要的方法有哪些呢?这三类几何图形的变换方法贯穿了从小学到高中的几何题目，尤其在平面几何题目中经常遇到，巧用这些方法可以很快完成图形的转化，到达解题的目的。
等积变形就是在保证图形面积不变的'根底上，将图形的形状进展改变，转化为我们想要的图形，能够熟练运用等积变形的方法，可以有效帮助大家提高几何解题能力。
小学数学几何10大“万能”解法数学，作为一个综合性较强的科目，无论对于小初高哪一个阶段的学生来讲都是非常重要的一个科目，也是拉分很大的一个科目，在数学这一科的学习中，能够次次考满分的孩子不少，每次在及格边缘徘徊的孩子也不少，小学阶段作为数学入门的初期阶段，也是孩子们打好数学学习基础的一个重要阶段。
在小学阶段的数学学习中，并不会存在多么高深难懂的知识，一般以基础知识的掌握为主。
孩子们在小学阶段的学习中，重要的是在把握基础知识的同时，锻炼自己的思维能力，开发自己的大脑，能够学会去思考问题。
相对于语文和英语的学习而言，数学的学习更为灵活，所以更加需要孩子们多动脑，多思考，不要死板的学习。
几何题型，作为小学，初中，高中都同样重要的一种题型，在数学学习中占有相当大的分量，从小学三年级开始学习平面几何，到六年级开始学习立体几何，几何的学习不但需要记忆一定的公式，更加需要孩子们有一定的空间思考能力，能够结合已知的图形，去思考未知的问题。
求阴影部分的面积，作为几何题型中常考的内容，是重点题型，也是难点题型。
很多孩子面对这样的几个图形结合的题型，都觉得无法下手，找不到问题的入手点，要知道再难的题型也是由基础一层层叠加构成的，下面，我就将小学阶段几何题型的基础知识，与具体的解答方法分享给我的读者朋友。
01分割法02添辅助线03倍比法04割补平移05等量代换06等腰直角三角形07扩倍、缩倍法08代数法09看外高10概念法怎么样？是不是看了这十种解题方法，感觉几何上的难题忽然就迎刃而解了。
孩子们要知道，数学的学习是要讲究方法与策略的，一味的死记硬背始终不是良方，重要的是孩子们要学会多动脑，多思考。
小学生数学技巧解答几何题和问题数学是小学阶段的基础学科之一，而几何是数学中的一个重要分支。
解答几何题和问题对于小学生来说可能有些困难，但只要掌握了一些基本的技巧，就能够轻松解决这些难题。
本文将分享一些小学生在解答几何题和问题时可以采用的一些数学技巧和方法。
一、理解几何基础知识在解答几何题和问题之前，小学生首先需要掌握一些基本的几何概念和术语，例如点、线段、直线、尺规作图等。
只有理解了这些基础知识，才能更好地应用到解题中。
二、观察图形特征在解答几何题和问题时，小学生需要仔细观察图形的特征，包括线段长度、角的大小、形状等。
通过观察，可以发现一些有用的线索，帮助解决问题。
三、应用几何定理几何学中有许多定理，小学生可以运用这些定理来解答几何题和问题。
例如，直角三角形的斜边平方等于两腰平方之和，等腰三角形的两底角相等等。
掌握这些定理，可以更快地找到解题的思路。
四、使用逻辑推理解答几何题和问题时，小学生可以运用逻辑推理的方法。
先假设一些条件，然后根据这些条件推导出结论。
通过逻辑推理，可以减少计算的步骤，更快地找到解决问题的方法。
五、练习几何题和问题掌握几何技巧需要进行大量的练习。
小学生可以通过课本、练习册或者在线数学学习平台来进行练习。
在练习的过程中，可以发现一些常见的几何题型和解题方法，提高解题的速度和准确性。
六、利用图形工具解答几何题和问题时，小学生可以利用一些图形工具来辅助解题。
例如，可以使用直尺、量角器等来测量和绘制图形。
通过使用这些图形工具，可以更好地理解题目和图形，并找到解决问题的方法。
七、多思考多讨论解答几何题和问题是一个思考和探索的过程，小学生可以多观察、多思考，尝试不同的解题思路和方法。
同时，可以与同学或老师进行讨论，交流解题的思路和经验，从中获得启发和帮助。
总结起来，解答几何题和问题需要掌握一些基本的几何知识和技巧。
通过理解几何基础知识、观察图形特征、应用几何定理、使用逻辑推理、练习几何题和问题、利用图形工具以及多思考多讨论等方法，可以帮助小学生更好地解答几何题和问题。
小学数学几何题怎么解_9大图形解法搞定今天小编给大家讲讲9大图形解法搞定小学数学几何易错题，希望可以帮助到大家，一、几何易错知识点01线、角1.直线没有端点，没有长度，可以无限延伸。
2.射线只有一个端点，没有长度，射线可以无限延伸，并且射线有方向。
3.在一条直线上的一个点可以引出两条射线。
4.线段有两个端点，可以测量长度。
圆的半径、直径都是线段。
5.角的两边是射线，角的大小与射线的长度没有关系，而是跟角的两边叉开的大小有关，叉得越大角就越大。
6.几个易错的角边关系：(1)平角的两边是射线，平角不是直线。
(2)三角形、四边形中的角的两边是线段。
(3)圆心角的两边是线段。
7.两条直线相交成直角时，这两条直线叫做互相垂直。
其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。
8.从直线外一点到这条直线所画的垂直线段的长度叫做点到直线的距离。
9.在同一个平面上不相交的两条直线叫做平行线。
02三角形1.任何三角形内角和都是180度。
2.三角形具有稳定的特性，三角形两边之和大于第三边，三角形两边之差小于第三边。
3.任何三角形都有三条高。
4.直角三角形两个锐角的和是90度。
5.两个三角形等底等高，则它们面积相等。
6.面积相等的两个三角形，形状不一定相同。
03正方形面积1. 正方形面积：边长×边长2.正方形面积：两条对角线长度的积÷204三角形、四边形的关系1. 两个完全一样的三角形能组成一个平行四边形。
2.两个完全一样的直角三角形能组成一个长方形。
3.两个完全一样的等腰直角三角形能组成一个正方形。
4.两个完全一样的梯形能组成一个平行四边形。
05圆1.把一个圆割成一个近似的长方形，割拼成的长方形的长相当于圆周长的一半，宽相当于圆的半径。
则长方形的面积等于圆的面积，长方形的周长比圆的周长增加r×2。
2.半圆的周长等于圆的周长的一半加直径。
3.半圆的周长公式：C=pd?2+d或C=pr+2r4.在同一个圆里，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或缩小相同的倍数。
小学生六年级数学学习技巧如何解决简单的立体几何问题数学是一门重要的学科，也是小学生六年级必修的科目之一。
在数学学习中，立体几何是一个重要的内容，它可以帮助我们了解和研究三维空间中的图形和形状。
在解决简单的立体几何问题时，我们可以运用一些学习技巧来提高解题效率。
本文将介绍一些小学生六年级数学学习技巧，以帮助解决简单的立体几何问题。
1. 熟悉立体几何图形的基本概念在解决立体几何问题之前，我们需要熟悉一些立体几何图形的基本概念。
例如，正方体、长方体、圆柱体、圆锥体和球体等。
我们需要了解它们的特点、性质以及它们的表面积和体积的计算公式。
通过熟悉这些基本概念，我们可以更好地理解和解决立体几何问题。
2. 画图辅助解题解决立体几何问题时，画图是一个非常有效的方法。
我们可以根据问题的描述，画出相应的立体图形，以便更好地理解和解决问题。
画图可以帮助我们形象化地看待问题，更容易找到解题的思路和方法。
3. 刻意练习立体几何题目要提高解决立体几何问题的能力，我们需要进行刻意的练习。
可以多做一些相关的习题，逐步提高自己的解题能力。
通过大量的练习，我们可以熟悉各种类型的题目，从而更好地应对考试和实际问题。
4. 学会运用数学公式解决立体几何问题时，我们需要掌握一些数学公式。
例如，计算正方体的体积可以使用公式 V=a^3，计算圆柱体的表面积可以使用公式S=2πr^2+2πrh。
通过掌握这些公式，我们可以迅速计算出立体几何图形的各种属性，解决问题。
5. 寻找问题的关键信息在解决立体几何问题时，我们需要注意寻找问题的关键信息。
有时问题描述中的一些信息可能是多余或者干扰项，我们需要筛选出与解题有关的关键信息。
通过分析问题，找出关键信息，可以更快地定位解题思路，提高解题效率。
6. 与同学或老师交流讨论数学学习中，交流讨论是一个非常有益的学习方法。
在解决立体几何问题时，我们可以与同学或老师进行交流，分享各自的解题思路和方法。
通过交流讨论，我们可以互相学习，发现问题的不同解法，提高自己的解题能力。
小学三年级解决简单的几何问题几何问题在小学三年级的数学学习中起着重要的作用。
通过解决几何问题，孩子们能够培养空间想象力、逻辑思维以及解决问题的能力。
本文将介绍一些小学三年级解决简单几何问题的方法和技巧。
一、计算图形的周长和面积在解决简单几何问题时，计算图形的周长和面积是重要的一步。
对于正方形、长方形、三角形和圆形等常见图形，我们需要掌握相应的计算公式。
1. 正方形：正方形的四条边长度都相等。
要计算正方形的周长，可以将一条边的长度乘以4。
要计算正方形的面积，可以将任意一条边的长度平方。
2. 长方形：长方形的两组相邻边长度分别相等。
要计算长方形的周长，可以将两组相邻边的长度相加，再乘以2。
要计算长方形的面积，可以将长方形的长度乘以宽度。
3. 三角形：三角形有三条边，三个内角的和为180度。
要计算三角形的周长，可以将三条边的长度相加。
要计算三角形的面积，可以使用海伦公式或底边高的公式。
4. 圆形：圆形的周长称为圆周长，通常用字母C表示。
圆周长的计算公式是C = 2πr，其中r为圆的半径。
而圆的面积称为圆面积，通常用字母A表示。
圆面积的计算公式是A = πr²。
二、判断图形相等与相似在几何问题中，判断图形是否相等或相似是常见的要求。
相等的图形具有完全相同的形状和大小，而相似的图形则具有相似的形状但大小不同。
判断图形是否相等时，我们需要比较它们的边长和内角度数。
如果两个图形的边长和对应的内角度数完全相等，则可以判定它们是相等的。
判断图形是否相似时，我们需要比较它们的对应边长的比例和对应的内角度数。
如果两个图形的对应边长比例相等，并且对应的内角度数也相等，则可以判定它们是相似的。
三、使用直尺和量角器测量图形在解决几何问题时，使用直尺和量角器可以帮助我们精确测量图形的边长和角度。
直尺通常用来测量图形的边长。
将直尺的一端放在图形边线的起点，然后依次移动直尺的另一端到达边线的终点，读取直尺上的刻度值即可得到边长。
一年级几何难题解答攻略几何学作为数学的一个重要分支，通过研究图形的形状、大小、位置等特征，以及它们之间的关系和变换规律，帮助我们理解空间结构和几何问题。
对于一年级学生来说，几何难题可能会成为学习的挑战。
本文将为一年级学生提供一些几何难题解答的攻略，帮助他们提高几何学习的能力。
一、认识基本几何图形首先，一年级学生需要认识并掌握基本的几何图形，如点、线段、直线、射线、角、三角形、四边形等。
他们应该学会观察图形的特征，能够用简单的语言描述图形的形状和大小。
通过与实际生活中的物体相结合，培养他们对几何图形的直观感受和认知。
二、理解几何关系一年级学生需要理解几何图形之间的关系。
比如，他们应该学会识别两条线段之间是平行关系还是垂直关系，识别图形的对称性等。
通过练习，他们可以逐渐培养对几何关系的敏感性，从而更好地应用几何知识解决问题。
三、解决几何难题的步骤解决几何难题需要一定的思维方法和步骤。
以下是一些建议：1. 仔细阅读问题：学生要仔细阅读问题，明确题目要求和给出的条件。
2. 确定解题思路：根据题目中给出的条件，学生需要确定解题的思路。
可以通过画图、列式子等方式，帮助理清思路。
3. 运用几何知识：根据所学的几何知识，学生可以运用几何定理和属性，分析问题，得出答案。
4. 检查答案：学生在得出答案后，应该反复检查自己的解答是否符合题目要求，是否有逻辑上的错误。
四、解决常见几何难题示例以下是一些常见的一年级几何难题示例，供学生参考：1. 题目：请画一个边长为3个小正方形的大正方形。
解答：学生可以先画一个小正方形，边长为1个单位，然后再在其每个边上再加上2个相同大小的正方形。
2. 题目：请画一个三角形ABC，使得角ABC是直角。
解答：学生可以先画一个任意形状的三角形ABC，然后在边AB和边BC上分别找一个点D和E，使得AD与CE相互垂直并且长度相等。
连接DE，即可得到一个直角三角形ABC。
3. 题目：已知图中矩形ABCD，其中AD=3，AB=2，AC与BD互相垂直，求AC的长度。
小学数学常用解题技巧:解几何题技巧解几何题技巧1.等分图形【均分整体】有些几何问题，只要把大图形均分为若干个小图形，就能找到问题的答案。
例如，下面两图中的正方形分别内接于同一个等腰直角三角形（内接指四个顶点全在三角形的边上）。
已知左图（图4.11）中正方形面积为72平方厘米，求右图（4.12）中正方形的面积。
由于左右两个三角形完全相同，我们不妨把这两个图形进行等分，看看这两个正方形分别与同一个等腰直角三角形有什么样的关系。
等分后的情况见图4.13和图4.14。
积是图4.12的正方形面积是【均分局部】有些几何问题，整体的均分不太方便，或不能够办到，这时可以考虑把它的局部去均分，然后从整体上去观察，往往也能使问题获得解决。
例如图4.15，在正方形ABCD中，画有甲、乙、丙三个小正方形。
问：乙、丙面积之和与甲相比，哪一个大些？大家由前面的“均分整体”已经知道，像甲、乙这样的两个正方形，面积不是相等的。
如图4.16，经过等分，正方形甲的面积等于△ABC面积的一半；正方形丙的面积等于△EDF的一半，正方形乙的面积等于梯形ACFE面积的一半。
这样，一个大正方形ABCD，就划分成了三个局部：等腰直角△ABC；等腰梯形ACFE；等腰直角△EDF。
其中甲、乙、丙的面积分别为各自所在图形的一半，而△EDF的面积加梯形ACFE的面积等于△ADC 的面积，即等于△ABC的面积。
所以，乙、丙面积之和等于甲的面积。
2.平移变换【平移线段】有些几何问题，通过线段的上、下、左、右平移以后，能使问题很快地得到正确的解答。
例如，下面的两个图形（图4.17和图4.18）的周长是否相等？单凭眼睛观察，似乎图4.18的周长比图4.17的要长一些。
但把有关线段平移以后，图4.18就变成了图4.19，其中的线段，有的上移，有的左移，有的右移，它可移成一个正方形。
于是，不难发现两图周长是相等的。
【平移空白或阴影部分】有些求阴影部分或空白部分面积的几何题，采用平移空白部分或平移阴影部分的办法，往往能化难为易，很快使问题求得解答。
例如，计算图4.20中阴影部分的面积。
圆面积”，然后相加，得整个阴影部分的面积。
这显然是很费时费力的。
但认真观察一下就会发现，图4.20左半左上部的空白部分，与右半左上部的阴影部分大小一样，只需将右半左上部的阴影部分，平移到左半左上部的空白部分，所有的阴影部分便构成一个正方形了（如图4.21）。
所以，阴影部分的面积很快就可求得为5×5=25。
又如，一块长30米，宽24米的草地，中间有两条宽2米的走道，把草地分为四块，求草地的面积（如图4.22）。
这只要把丙向甲平移靠拢，把丁向乙平移靠拢，题目也就很快能解答出来了。
（具体解法略）3.旋转变换【旋转成定角】例如下面的题目：“在图4.23中，半径为8厘米的圆的内外各有一个正方形，圆内正方形顶点都在圆周上，圆外正方形四条边与圆都只有一个接触点。
问：“大正方形的面积比小正方形的面积大多少？”按一般方法，先求大、小正方形的面积，再求它们的差，显然是有难度的。
若将小正方形围绕圆心旋转45°，使原图变成图4.24，容易发现，小正方形的面积为大正方形面积的一半。
所以，大正方形面积比小正方形的面积大（8×2）×（8×2）÷2=16×16÷2=128（平方厘米）又如，如图4.25，求正方形内阴影部分的面积。
（单位：厘米）表面上看，题目也是很难解答的。
但只要将两个卵叶片形的阴影部分绕正方形的中心，分别按顺时针和逆时针方向旋转90°，就得到了一个由阴影部分组成的半圆（如图4.26），于是，阴影部分的面积就很容易解答出来了。
（解答略）【开扇式旋转】有些图形相互交错，增加了解答的难度。
若像打开折扇一样，绕着某个定点作“开扇式”旋转，往往会使人顿开茅塞，使问题很快获得解决。
例如，求图4.27的阴影部分的面积（单位：厘米）。
若采用正方形面积减空白部分面积的求法，计算量是很大的。
由于它是由两个形状相同的扇形交叉重叠而成的，我们不妨把右下部的扇形打开，顺时针方向旋转90°，得到图4.28；再继续旋转，得到图4.29。
在图4.29中，阴影部分面积便是半圆面积减三角形面积的差。
所以，阴影部分面积是42×3.14÷2-（4+4）×4×2=25.12-16=9.12（平方厘米）又如，求图4.30阴影部分的面积（单位：厘米）。
将这个图从中间剪开，以o为旋转中心，将右半部分按顺时针方向转到左半部下方，便变成了图4.31。
于是，阴影部分的面积便是半圆面积减去两直角边均为2厘米的一个空白等腰直角三角形面积的差。
即（4÷2）2×3.14÷2-2×2÷2=6.28-2=4.28（平方厘米）4.对称变换【将军饮马】据说古代希腊有一位将军向当时的大学者海伦请教一个问题：从A地出发到河边饮马，再到B地（如图4.32所示），走什么样的路最近？如何确定饮马的地点？海伦的方法是这样的：如图4.33，设L为河，作AO⊥L交L于O点，延长AO至A＇，使A＇O=AO。
连结A＇B，交L于C，则C点就是所要求的饮马地点。
再连结AC，则路程（AC+CB）为最短的路程。
为什么呢？因为A＇是A点关于L的对称点，AC与A＇C是相等的。
而A＇B是一条线段，所以A＇B是连结A＇、B这两点间的所有线中，最短的一条，所以AC+CB=A＇C+CB=A＇B也是最短的一条路了。
这就是海伦运用对称变换，找到的一种最巧妙的解题方法。
运用这种办法，可以巧妙地解决许多几何问题。
【划线均分】通过中心对称图形的对称中心，任意画一条直线，都可以把原图形均分成两个大小、形状完全相同的图形。
利用这一性质，可以使某些较复杂的问题迅速地解答出来。
例如（1）把图形（图4.34）的面积，用一条直线分成相等的两个部分。
解题时，只要把这个图形看成是由两个矩形（长方形）组成的组合图形，而矩形既是轴对称图形，也是中心对称图形，所以只要找出两个对称中心（对角线交点），利用中心对称图形的上述性质，通过两个对称中心作一条直线，就能把它的面积分成相等的两个部分了。
如前页的三种分法都行（如图4.35所示）。
（2）如图4.36，长方形ABCD内有一个以O点为圆心的圆，请画一条直线，同时将长方形和圆分为面积相等的两个部分。
大家知道，长方形和圆都既是轴对称图形，又是中心对称图形。
长方形的对称中心是对角线的交点，圆的对称中心是它的圆心。
根据中心对称图形的上述性质，先找出这两个对称中心O点和P点（如图4.37），再过O、P作直线L，此直线L即是所画的那根直线。
5.割补、拼接、截割【割补】在数学中，把图形的某个部分割下，补到某一个新的位置，往往可以使新的图形，更便于发现数量关系，从而较快地解答出数学题目。
例如，在图4.38中，三个圆的面积都是12.56平方厘米，且三个圆两两相交，三个交点都是圆心，求三块阴影部分的面积。
从表面上看，题目是无法解答的。
但只要仔细观察就能发现，根据轴对称性及割补方法，题目可作如下的解答：如图4.39，将图形1翻折到图形2的位置；再将图形3和4割下来，合并在一起，补到图形5的位置上。
于是，原来的阴影部分就正好拼成了一个半圆。
所以，三块阴影部分的面积是12.56÷2=6.28（平方厘米）【拼接，截割】（1）平面图形的拼接、截割。
拼接和截割，是两个相反的过程。
平面图形的拼接是把两个或两个以上的图形拼接在一起；平面图形的截割，是把一个图形截割成两个或两个以上的图形。
平面几何图形拼接或截割以后，面积和周长的变化有以下规律：①两个或两个以上的图形拼接成一个新的几何图形，它的面积等于原来若干个几何图形的面积之和；而周长却会比原图形周长之和要短。
如果拼接部分的总长度为a，那么拼接后减少的周长就是2a。
②把一个平面几何图形截割以后，各小块图形的面积之和，等于原图形的面积；但截割后各小块几何图形的周长之和，要比原图形的周长要长。
若所有截割部分长度为a，那么截割后增加的长度就是2a。
依据这一规律，可快速地解答一些几何问题。
例如，如图4.40，正方形被均分为大小、形状完全相同的三个长方形，每个长方形周长都是48厘米，求正方形的周长。
解题时，可以把大正方形看成是三个小长方形拼接而成的，三个小长方形的拼接部分，都是小长方形的长，长度等于大正方形的“边长”。
拼接以后的图形（大正方形）的周长，比原来的三个小长方形的周长之和，要减少4个“边长”，而这4个“边长”正好相当于大正方形的周长。
这就是说，三个小长方形的周长之和里，刚好包含有两个大正方形的周长。
所以，正方形的周长是48×3÷2=144÷2=72（厘米）（2）立体图形的拼接、截割。
立体几何图形拼接或截割以后，它的体积和表面积的变化，有以下规律：①两个或两个以上的几何体，拼接成一个新几何体以后，它的体积等于原来若干个几何体体积之和；但是它的表面积却比原来若干个几何体的表面积之和要小。
如果重叠部分为S，那么减少的面积就是2S。
②把一个几何体截割以后，各部分的体积之和等于原几何体体积；但截割后的表面积之和，却大于原几何体的表面积。
如果其中的截割面积为S，那么，增加的表而积就是2S。
依据这一规律，可以较快地解答出某些题目。
例如，如图4.41，把一个棱长为5厘米的正方体木块锯成两个形状大小完全相同的长方体（不计损耗），表面积会增加多少平方厘米？因为正方体木块的截割面积为5×5=25（平方厘米），依据上面的规律可知，表面积会增加25×2=50（平方厘米）又如，把长10厘米、宽6厘米、高5厘米的长方体木块截成形状、大小相同的两个长方体，表面会增加多少平方厘米？由于此题未交代从何处下手截割，所以要分三种情况来解答题目。
①如图4.42左图的截法，表面积会增加。
5×6×2=30×2=60（平方厘米）②如图4.42中图的截法，表面积会增加。
10×6×2=60×2=12（平方厘米）③如图4.42右图的截法，表面积会增加10×5×2=50×2=100（平方厘米）6．扩缩图形【扩图】解题时，将几何图形扩大，有时候能使一时难以解决的问题变得非常简单。
例如，图4.43是一个圆心角为45°的扇形，其中的直角三角形BOC的直角边为6厘米，求阴影部分的面积。
本来，求阴影部分的面积，只要用扇形面积减去直角三角形面积就行了。
但是同学们暂时还未学求扇形半径R的方法，怎么办呢？由扇形的圆心角为45°，我们不妨将其扩大一倍，如图4.44所示。
