geometric 几何算法

推荐计算⼏何的开源库CGAL
计算机的优势在于复杂的计算，但是⼏何学要处理的不仅仅是计算，⽽且⼏何学中会涉及很多⼏何基元（geometric prmitives），在编写程序、实现算法的时候，这些基本的⼏何基元会影响你程序的可移植性以及后续代码的改进。

⽽且在由于计算机存储的舍⼊误差（round off error），精确计算对于计算机来说需要额外处理，如果不做另外的处理，也许你很难⽤计算机判断三条直线是否交于⼀点。

⽽且假设数据精度有限，则计算⼏何相应的算法都需要根据精度作调整。

这些复杂的问题，让做研究的⼈头痛不已，开源库CGAL便是为了解决这个问题。

这个开源库是⽤C++写的，因此代码的适⽤性很好，虽然继承以及模板造成了代码的阅读难度增加，但是使⽤起来确实⽐较⽅便。

它提供基础的2维、3维甚⾄d维的⼏何基元，如vector, segment, line, plane等等。

提供的算法有基本的计算⼏何⽅⾯的重要算法，如2/3d convex hull, 2/3d triangluation, 2/3d alpah shape， mesh，以及polygon等相关的算法。

另外该库也提供基础的搜索数据结构，其使⽤的数据结构类似于Kd tree，但提供的功能更丰富，更适合于计算⼏何⽅⾯的操作。

常用的几何相似度算法
几何相似度算法是计算机视觉领域中非常重要的一部分。

不同的相似度算法计算的结果不同，因此选择适当的算法对于解决具体问题非常重要。

下面将介绍几种常用的几何相似度算法。

1. 欧几里得距离：欧几里得距离是一种衡量两个向量之间距离的方法。

计算两点之间的欧几里得距离，我们需要将每个向量的坐标差的平方相加，然后取平方根即可。

2. 曼哈顿距离：曼哈顿距离是一种衡量两个向量之间距离的方法。

计算两点之间的曼哈顿距离，我们需要将每个向量的坐标差的绝对值相加，然后求和即可。

3. 余弦相似度：余弦相似度是一种衡量两个向量之间夹角的方法。

计算两个向量之间的夹角，我们需要使用两个向量之间的点乘除以它们的模长的乘积。

4. 皮尔森相关系数：皮尔森相关系数是一种衡量两个向量之间相关程度的方法。

计算两个向量之间的相关程度，我们需要计算它们的协方差除以它们的标准差的乘积。

5. Jacard相似度：Jacard相似度是一种衡量两个集合之间相似度的方法。

计算两个集合之间相似度，我们需要计算它们的交集除以它们的并集的大小。

这些几何相似度算法都有它们的优点和缺点，根据具体问题的需求选择适合的算法非常重要。

通过比较这些算法的计算效率和结果准确性，我们可以找到最适合具体问题的算法。

在实际应用中，我们需要根据具体问题的需求，选择最适合的几何相似度算法，以达到最佳的计算效果。

QR码图像几何校正算法的研究黄珂;薛月菊;陈瑶;陈汉鸣;李鸿生【摘要】When QR code images are filmed by the camera, the deviation of shooting angle will cause the collected QR code images generate geometric distortion and bring difficulties to QR code recognition. Local threshold method and mathe-matical morphology are used to binarize the collected QR code images which appears uneven illumination. Harris corner detection algorithm and convex hull algorithm are combined to find the outline of the QR code and the point on the out-line, using corner detection algorithm of this paper to find the corner of QR code. Finally, using perspective transformation algorithm to recover the distorted image, the results show that this method is effective to solve the problem of geometric distortion of the QR code.%用摄像机拍摄QR码图像时，由于拍摄角度的偏差，可能造成所采集到的QR码图像产生几何失真的情况，给QR码的识别带来了困难。

辛几何算法辛几何算法，也称为TBB，由德国数学家巴贝奇（Johann Martin HeinrichTBB）在20世纪50年代发明，它是一种用于快速求解一维与多维最优化问题的数值算法。

它是由简单而又高效的方式，将复杂的最优化问题简化为几何问题，以解决非常复杂的最优化问题，并使最优化效率大大提高。

辛几何算法更多地应用于工程和科学领域，包括电子和计算机技术、金融、系统动力学、运输、社会网络分析等。

这是一种优化算法，用来解决有约束的优化问题，称为最优化问题。

它的特点是可以有效地求解复杂的最优化问题，在科学和工程领域有广泛的应用。

辛几何算法的基本原理是通过迭代的方式，将最优化问题转换为一维或多维几何函数的最优化问题。

算法将搜索空间分割成多个子空间，并以此形成一个网格。

算法根据节点位置上的信息更新梯度，并使用梯度下降法来最小化或最大化函数值。

在每次迭代中，算法确定一个最佳的向量，以搜索最大或最小的值，从而达到最佳值。

辛几何算法的优点在于它简单、高效、耗时短，可以有效求解复杂的最优化问题，并可以并行执行，比其他算法更有效率。

此外，算法还可以自定义搜索空间，可以在有限的搜索空间中快速找到最优解，同时可以设置一些约束条件来达到更好的搜索效果。

辛几何法有一些不同的变种，如坐标轴算法、拉格朗日梯度计算方法、差分进化法以及多重搜索算法。

它们的不同之处在于它们具有不同的优化策略，可以选择不同的搜索策略来求解最优化问题。

辛几何算法的主要缺点是有些情况下可能会产生“假收敛”，也就是在给定的搜索空间中，算法无法找到全局最优解，而是被限制在局部最优解上。

此外，算法也存在软性约束不能很好地解决的问题，如等式约束。

辛几何算法是一种非常强大的优化算法，可以广泛用于各种复杂的最优化问题，如求解工程、科学和金融等领域的最优化问题。

它的准确性和效率被用来解决复杂的优化问题，并已经应用于很多领域。

`estimategeometrictransform`是MATLAB中的一个函数，用于估计几何变换矩阵，以对图像进行几何校正。

这个函数通常用于图像处理和计算机视觉任务中，尤其是在处理具有几何畸变的图像时。

函数的基本语法如下：```scss[T, E] = estimategeometrictransform(I)```其中，`I`是输入图像，`T`是估计得到的几何变换矩阵，`E`是包含估计误差的向量。

让我们详细解释一下这个函数的作用和工作原理。

首先，你需要理解什么是几何变换矩阵。

在图像处理中，几何变换矩阵是一种表示图像在几何形状上变化的数学表达式。

例如，如果图像在水平方向上发生了平移，那么对应的变换矩阵就有一个非零的列向量对应这个平移。

现在，让我们来解释一下`estimategeometrictransform`函数是如何工作的。

这个函数首先对输入图像进行一些预处理步骤，比如减去均值以消除光照影响等。

然后，它使用一种基于机器学习的算法（可能是深度学习模型）来学习输入图像和输出图像之间的映射关系，从而估计出几何变换矩阵。

这个映射关系通常是通过训练一个神经网络模型得到的。

在估计出几何变换矩阵后，你可以使用这个矩阵对其他图像进行几何校正。

例如，你可以将校正后的图像与原始图像进行比较，以评估校正的效果。

此外，你还可以使用这个变换矩阵来对其他图像进行透视变换等操作。

总的来说，`estimategeometrictransform`函数在图像处理和计算机视觉领域中发挥着重要的作用。

它可以帮助我们处理具有几何畸变的图像，提高图像的质量和准确性。

随着深度学习和机器学习技术的发展，这个函数的应用范围和效果也在不断扩大和提升。

最后，值得注意的是，虽然`estimategeometrictransform`函数是一个非常有用的工具，但它并不是万能的。

在实际应用中，你可能需要结合其他算法和技术来处理更复杂的图像问题。

等几何分析法的程序设计流程The process of program design using geometric analysis methods involves several steps that help in formulating a solution to a given problem. This approach combines the principles of geometry with computational thinking to develop algorithms that solve geometric problems. In this response, I will discuss the various stages involved in the program design process using geometric analysis, highlighting the importance of each step and providing insights from different perspectives.The first step in program design using geometric analysis is problem understanding and analysis. This stage involves carefully examining the problem statement and understanding the geometric aspects involved. It is crucial to identify the key geometric properties, relationships, and constraints that need to be considered in the solution. By gaining a deep understanding of the problem, programmers can effectively develop algorithms that utilize geometric concepts to achieve the desired outcome.Once the problem is well-understood, the next step is algorithm design. This involves devising a plan or a set of instructions that outline how the problem will be solved. Geometric analysis methods often require breaking down complex problems into simpler subproblems. Algorithms can be designed to handle each subproblem individually and then combine the results to obtain the final solution. This step requires creativity and logical thinking to come up with efficient and accurate algorithms.After designing the algorithms, the next stage is implementation. This involves translating the algorithmic plan into actual code using a programming language. The code should accurately reflect the logical steps outlined in the algorithm design phase. It is important to choose an appropriate programming language and utilize relevant libraries or frameworks that support geometric operations. Additionally, the code should be well-structured, modular, and easy to understand for future maintenance and enhancements.Testing and debugging form the subsequent phase in the program design process. This step involves running the program with various test cases to ensure its correctness and efficiency. Geometric analysis methods often involve numerical computations, which can introduce errors due to rounding or approximation. Thorough testing helps identify and fix such issues. Debugging is an iterative process that involves locating and eliminating errors in the code. It requires attention to detail and a systematic approach to identify and resolve any issues that arise during testing.Documentation is an essential aspect of program design using geometric analysis. This step involves creating clear and concise documentation that describes the problem, the algorithm design, the implementation details, and any assumptions made. Documentation helps in understanding the program's functionality and aids in future maintenance or modifications. It also facilitates collaboration among team members and enables knowledge sharing.Finally, the last step in the program design process is optimization and refinement. This step focuses on improvingthe efficiency and performance of the program. Geometric analysis methods often involve complex calculations, and optimizing the code can significantly enhance its speed and resource usage. Techniques such as algorithmic improvements, data structure optimizations, and parallelization can be employed to refine the program's performance. It is important to strike a balance between optimization and maintaining code readability and maintainability.In conclusion, the program design process using geometric analysis encompasses several stages, including problem understanding, algorithm design, implementation, testing and debugging, documentation, and optimization.Each step plays a crucial role in developing a robust and efficient solution. By following this process, programmers can leverage geometric concepts and computational thinkingto solve complex problems in various domains, such as computer graphics, computer-aided design, and robotics.。

nx.random_geometric_graph的用法一、概述nx.random_geometric_graph 是 NetworkX 的一种生成随机图的函数，主要基于平面上点的几何距离来连接节点，也称为基于几何距离的随机图生成器。

其生成的随机图常被用于测试网络算法和进行实验。

二、函数定义```python nx.random_geometric_graph(n, radius, dim=2, pos=None, p=2, periodic=False, seed=None)```参数：- n ：图中节点的数量 - radius ：表示点之间的最大距离。

- dim ：表示空间的大小，例如dim=2表示空间为二维平面。

- pos ：表示节点的位置，默认随机生成。

- p ：好像是一个距离指数，决定边的形成情况，当p → ∞ 时，该随机图趋近于完全图，反之则趋近于星形图。

- periodic ：表示是否使用周期性边界。

- seed ：为随机数生成器设置一个种子。

返回值：生成一个随机图。

三、基本用法1.用法一：简单使用只需要指定节点的数量、半径以及维数即可得到这个随机图。

```python import networkx as nxn = 50 radius = 0.2 G =nx.random_geometric_graph(n, radius) ```2.用法二：搭配pos参数使用pos 表示节点的位置，可以指定节点在二维平面上分布的位置。

可以利用 numpy 库生成一些二维坐标作为参数传递，这种情况下我们不需要再指定维数和半径。

下面是一个例子：```python import numpy as np import matplotlib.pyplot as pltpos = np.random.rand(n, 2) # 在二维平面中随机生成n个坐标 G = nx.random_geometric_graph(n,pos=pos) nx.draw(G, pos, node_size=20,node_color='blue') plt.show() ```我们可以发现，节点在正方形的边界内随机分布，没有直接相连的节点。

几何间隔法
几何间隔法是一种在机器学习中用于分类或聚类问题的算法。

它基于几何间隔的概念，通过在特征空间中找到最优的超平面来划分不同的类别或簇。

在几何间隔法中，每个样本点都会被表示为一个向量，其中包含了其在特征空间中的坐标。

算法的目标是找到一个超平面，使得不同类别的样本点在该超平面上的投影尽可能地远离该超平面，并且不同类别之间的几何间隔最大化。

具体操作上，几何间隔法首先会根据已有的训练样本点，构建一个最优的超平面，这个超平面相当于对特征空间进行了分类或聚类。

然后，通过该超平面将新的样本点进行分类或聚类。

几何间隔法的关键步骤包括：
1. 计算几何间隔：通过计算样本点到超平面的距离，得到几何间隔的概念。

2. 构建最优超平面：通过最大化几何间隔，找到一个最优的超平面，使得样本点在其上的投影尽可能远离该超平面。

3. 分类或聚类：使用最优超平面将新的样本点进行分类或聚类。

几何间隔法有多种不同的具体实现方法，包括支持向量机（Support Vector Machine，SVM）和最大间隔聚类
（Maximum Margin Clustering，MMC）等。

几何间隔法的优点是可以处理高维数据、具有较强的泛化能力和鲁棒性。

但在处理大规模数据时，计算几何间隔可能会变得
很复杂和耗时。

此外，几何间隔法对于非线性可分的数据问题可能无法有效处理。

因此，在实际应用中，需要根据具体问题选择合适的几何间隔法算法或结合其他方法进行处理。

提高视线转率精度的一种改进方法2007年8月第35卷第4期现代防御技术MODERNDEFENCETECHNOLOGYAug.2007V ol_35No.4四导航,制导与控制提高视线转率精度的一种改进方法.王男,张奕群(中国航天科工集团公司二院二部,北京100854)摘要:视线转率算法的改进是提高视线转率精度的重要途径之一.提出了一种计算视线转率的修正的几何算法,并利用该算法改进了O/一卢滤波器,改进的O/一卢滤波器具有更高的精度,其性能与Kalman滤波器相当,但算法更简单,可靠.仿真结果验证了该方法的有效性. 关键词:视线转率;修正的几何算法;改进的O/一口滤波器;精度中图分类号:TJ765.1;TN713文献标识码:A文章编号:1009—086X(2007)-04-0064—05AnImprovedMethodforEnhancingAccuracyofLOSRateW ANGNan,ZHANGYi—qun (TheSecondSystemDesignDepartmentoftheSecondResearchAcademyofCASIC,Beijin g100854,China)Abstract:ImprovementofthealgorithmofLOSrateisoneofimportantapproachestoenhance thecomputingaccuracyofLOSrate.AmodifiedgeometricalgorithmbasedontheO/一8filterisputforward. HighercomputingaccuracyandcomparativeperformancewithKalmanfilterareexhibitedw ithrespecttotheimprovedO/一filter,anditisparticularlyeasierandmorereliable.Thevalidityofthismethodis demonstratedbythesimulationresults.Keywords:LOSrate;modifiedgeometricalgorithm;improvedO/一卢filter;accuracyO引言拦截大气层外目标时,在导弹飞行的末制导段,需要开启轨控发动机及时修正导弹弹道,发动机的开关动作会使导弹产生一定的弹性振动;加之受目标角闪烁噪声等一系列不利因素的影响,控制导弹飞行所需视线转率的计算精度无法满足要求,无法实现精确打击.这就需要提高视线转率计算精度,而视线转率算法的改进是提高其精度的重要途径之目前,视线转率的计算主要有如下3类方法.(1)利用Kalman滤波器估计视线转率这类方法以Lawrence介绍的Kalman滤波器¨最具有代表性.利用这种方法估计得到的视线转率精度较高,但计算量较大,并存在发散的可能.(2)利用弹体和目标的运动学关系计算视线转室比较有代表性的为Ochi介绍的利用弹目相对位置,相对速度和视线转率的几何关系计算视线转率的方法].这种算法计算简单,可靠,但精度依+收稿日期:2006—11—28;修回日期:2006—12—2O基金项目:有作者简介:王男(1981一),男,黑龙江庆安人.硕士,研究方向为导航,制导与控制.通信地址:100854北京市142信箱3O分箱电话:010—68765214王男,张奕群:提高视线转率精度的一种改进方法?65? 赖于弹目相对位置和相对速度的测量精度.当相对位置误差较大时,其计算误差会随着弹目距离的减小而增加,所以这种方法不适用于导弹与目标相对距离较小的情况.(3)利用一滤波器估计视线转率PaulZarchan在其着作中,提到了利用一滤波器估计视线转率的方法.利用这种方法滤波时不会出现发散的现象,但其性能不如Kalman滤波器,所得估值噪声大.如果利用这种方法计算视线转率需要在其基础上作进一步的改进.以上就是这一领域的主要研究现状.总的来说3类方法各有利弊.第1类方法估计精度较高,但计算量较大,并有发散的风险;第2类方法计算精度受弹目相对位置,相对速度误差的影响较大,但计算量较小,跟踪性能好;第3类方法不受相对位置,相对速度误差和姿态角常值误差的影响,计算量小,但所得估值噪声大,跟踪性能差.估计视线转率时,要求精度高,而又简明实用,因此本文提出了一种改进的视线转率计算方法.首先,在几何算法的基础上加入视线角信息,提出了一种利用弹目相对位置,相对速度和视线角计算视线转率的修正几何算法;然后,对一滤波器做出了改进,将修正几何算法输出量作为改进后一滤波器的输入量,消除了修正几何算法中的常值误差,进一步提高了视线转率的计算精度.这种方法比较简单,计算量小,不会出现发散的现象,估计精度与Kalman滤波器相当.1改进方法研究1.1利用弹目相对位置,相对速度和视线角计算视线转率文献[2]介绍的几何算法表达式为j:,(1)g=『'L.~/r+--(+rz)/√+rq—————————————————————一'式中:,,和,,分别为弹目三方向相对位置和相对速度;r=√+r:+2;q和q分别为高低和方位方向视线转率.在其基础上,加入视线角信息,得到修正的几何算法,计算公式推导如Fo在发射惯性坐标系中,以弹目相对位置表示的目标视线角为arcta"赢'…ctan,式中:q和q分别为高低和方位方向目标视线角.将式(2)代入式(1)得q:c.s(VxCOS旷VzSl.ng),(3)..g一_L一,Lj:一(COSgsi'n),g一——_口g+口q,式中:g和q通过姿态角和导引头测量得到的相对视线角解耦得到.下面比较这2种方法的计算精度.修正的几何算法误差计算公式为8=÷8一(_sin△sAqa)8r一孟(8△g+8,(4)8j一,1--~v+l,(v~+sinAqavcosAqa)8r一(8△q+8),式中:8r为弹目相对距离误差;8r为向弹目相对距离误差;8v,8v,8v分别为,y,方向弹目相对速度误差;8△g和8Aq为高低和方位方向相对视线角误差.几何算法误差计算公式为8L,SVy--2rv~)8.一8r,(5)8j=一吉8+吉(一2r,zvx,I8r+考8r.将式(4)和式(5)作比较发现,在这2个公式中,vr'(SAg+8o),v'(SAg+8)和Vx石Vx8r这2项有所不同.下面分析两者的大小.假设8Aq+ 8和8Aq8+8的量级分别为10一rad,10～rad, 10～rad,8r和8r的量级分别为10m,10m,66?现代防御技术2007年第35卷第4期10一m,当弹目距离为10m时,几何算法误差是修正的几何算法误差的10,10,10倍;当弹目相对距离为10m时,几何算法误差是修正的几何算法误差的10,10,10倍.即随着弹目距离的减小,修正的几何算法的优势变得非常明显.1加入2.5km导航误差,±(0.2～0.3)rad目r标角闪烁噪声,分别利用这2种算法计算所得视线转率误差曲线如图1所示..22500§150tlsa高低方向视线转率误差tlsb方位方向视线转率误差图1视线转率误差Fig.1LOSrateestimationerror由图1可以看出,在导弹接近目标时,利用修正的几何算法所得视线转率误差远远小于利用几何算法所得视线转率误差.1.2将修正的几何算法计算的口引入一卢滤波器进行信息融合这种做法的基本思想是:首先利用修正的几何算法计算视线转率,然后将得到的视线转率作为一滤波器输入量进行滤波,得到新的视线转率的估计值.这需要对一滤波器做出改进,改进后的一滤波器滤波方程如下所示:+;一+g:一(+;T.)],AA.A:+卢『.+L』s(g:一q—n一.)I,(6)式中:为滤波周期:g为目标视线角测量值;q.n为利用修正的几何算法计算得到的视线转率,此时作为改进后的一滤波器的输入量;.>0,M2>0, 且1+M2=1.下面说明误差常值增益,卢,M.和的选取AA.要根据式(6)中篮__二和(一q'n一)1s这2项中误差的大小来决定;Ol=1一A,=,A为滤波器遗忘因子,且0<A<1.1H1这种方法的物理意义是:利用修正的几何算法计算视线转率时,可将误差分为2部分,一部分为常值误差,即视线转率误差趋势项,这是误差的主要部分,另一部分为附着在趋势项上的误差.考虑AAM(q—n—q'n一.)这一项,利用当前周期计算所得视线转率:减去上一周期计算所得视线转率一恰好可以消除误差趋势项,这样一毒一.就是具有较高精度的视线转率增量,显然将其引入Ol一卢滤波器,会提高Ol一滤波器的估计精度.2仿真结果加入弹目相对位置常值偏差2.5km;陀螺输出误差为标准差8×10rad的高斯白噪声;弹体弹性振动引起的惯导姿态扰动0.3(.)/s(3tr);目标角闪烁噪声为±(0.2～0.3)rad,为有色噪声;轨控发动机延迟20ms,姿控发动机延迟5ms.导弹飞行时间设为0～33S.下面分别将利用修正的几何算法,一卢滤波器和改进后的一滤波器估计所得视线转率误差曲线绘制如图2所示.图2中,细实线为利用修正的几何算法计算所得视线转率误差曲线,点划线为利用一滤波器估计所得视线转率误差曲线,粗实线为利用改进后的一滤波器估计所得视线转率误差曲线.由图2可知,改进后的一滤波器估计所得视线转率精度既优于一滤波器,也优于修正的几何算法.利用改进的一滤波器估计所得视线转率控制导弹飞行,100次仿真所得脱靶量如图3所示.王男,张奕群:提高视线转率精度的一种改进方法?67? l一l一2—3—43l0互og,蚶群霉t/sa高低方向视线转率误差.....一一A一【【加…I一一u_W1If32.032.5t/sb方位方向视线转率误差图2视线转率误差Fig.2LOSrateestimationerror图3脱靶量统计曲线Fig.3Statisticalcurveofmissdistance下面将改进后的—JB滤波器与文献[1]中Gk=2r.一——十——』rr测量量为目标视线角g,测量矩阵为H=(1,0),由此建立Kalman滤波器.在不同误差水平情况下分别利用Kalman滤波器和改进的Ot一滤波器估计视线转率,所得视线转率误差情况如下(虚线为利用Kalman滤波器估计所得视线转率误差曲线,实线为利用改进的Ot一卢滤波器估计所得视线转率误差曲线).情况1:设导航误差为2.5km,目标角闪烁噪声1为0.3rad,弹体弹性振动引起的惯导姿态测量误,差为0.3(.)/s,所得视线转率误差曲线如图4所示2_O,1.5兰l_00.5o-o-0.53t/sa高低方向视线转率噪声￡/sb方位方向视线转率噪声图4视线转率误差Fig.4LOSrateestimationerror情况2:设导航误差为2km,目标角闪烁噪声为10.2rad,弹体弹性振动引起的惯导姿态测量误差r为0.3(.)/s,所得视线转率误差曲线如图5所示.情况3:设导航误差为1.5km,目标角闪烁噪声为0,弹体弹性振动引起的惯导姿态测量误差为0.3 (.)/s,所得视线转率误差曲线如图6所示.68?现代防御技术2007年第35卷第4期1.51.OO.5O.O31.532.032.533.Ot/sa高低方向视线转率噪声f/sb方位方向视线转率噪声图5视线转率误差Fig.5LOSrateestimationerrort/sa高低方向视线转率噪声b方位方向位视线转率噪声图6视线转率误差Fig.6LOSrateestimationerror通过以上比较发现,改进的OL一滤波器与Kal- man滤波器滤波效果相当.3结束语在导弹接近目标时,与几何算法相比,修正的几何算法可有效减缓计算误差的增长速度,从而提高了视线转率的计算精度.将修正的几何算法输出量作为改进的OL一口滤波器的输入量计算视线转率,可有效消除修正的几何算法计算所得常值误差,进一步提高了视线转率的计算精度.改进的OL一滤波器与文献[1]中介绍的Kalman滤波器性能相当,但算法更简单,并且不会发散.参考文献:[1][2]LawrenceRV.PrecisionGuidanceAgainstManoeuving Targets[C]∥ProceedingsoftheAmericanControlCon? ference(Seattle,WA),AmericanAutomaticControl Council,V o1.6,1995,PP.4127-4130(PaperFP7-4: 50).OchiY,ItohK,KanaiK.ApplicationofH—InfinityCon? troltOMissleGuidanceandControl[R].AIAA2000—4069.(上接第43页)参考文献:[1][2][3][4]蔡洪,张士峰,张金槐.Bayes试验分析与评估[M].长沙:国防科技大学出版社,2004..JBergerJO.StatisticalDecisionTheoryandBayesianA—nalysis(2ndEdi.)[M].NewY ork:Springer—V erlag,】985.张金槐,贾沛然,唐雪梅,等.远程火箭精度分析与评估[M].长沙:国防科技大学出版社,1994.张士峰,蔡洪.Bayes分析中的多源信息融合问题[J].系统仿真,2000,12(1):54-57.张金槐.多种验前信息源情况下的融合验后分布[J]. 飞行器测控技术,1998,17(3):28—35.一三\一卜s.(c一)/糊一.(o一一\堋。

《迭代法的几何理论与方法》课程简介迭代法的几何理论与方法 3.0The Geometric Theory and Method of Some Iterations for linear Equations 2-2预修课程：数学分析，高等代数面向对象：本科生内容简介：本课程主要介绍解线性方程组，特别是解大型稀疏线性方程组的迭代法的几何理论，揭示解线性方程组的Jacobi法，Gauss-Seidel法和SOR法等著名方法的几何本质。

并在此基础上介绍一个有限步终止的解线性方程组的几何方法。

这些理论与方法对解线性方程组的迭代法有了一个新的认识，并为解非线性方程组的研究打下基础并提供新的思路、方法。

推荐教材或主要参考书：《现代数值分析》，李庆扬，易大义，王能超，高等教育出版社，1995年10月．《迭代法的几何理论与方法》教学大纲迭代法的几何理论与方法 3.0The Geometric Theory and Method of Some Iterations for linear Equations 2-2预修课程：数学分析，高等代数面向对象：本科生一、教学目的和基本要求：解线性方程组的理论与方法应用非常广泛，渗透到每个学科和研究领域。

通过本课程的学习，使学生掌握解线性方程组，特别是大型稀疏线性方程组的迭代法，并了解其几何本质，从另一个方面认识迭代法，并由此研究产生新的更好的方法。

解非线性方程组一直是一个较难解决的问题，本课程的学习也为解非线性方程组的研究打下一个基础，提供一个新的方法。

二、主要内容及学时分配：（1）数值计算预备知识（2+2学时）：误差分析，误差估计，有效数字等．（2）解线性方程组直接法简介（4+4学时）：矩阵的三角分解；高斯消去法，平方根法和追赶法等；（3）解线性方程组迭代法（6+6学时）：雅可比迭代法，高斯－塞德尔迭代法和ＳＯＲ法及其收敛性．（4）方程求根（3+3学时）：求解方程f (x) = 0的迭代法及其收敛性分析．（5）向量，矩阵的范数和误差分析（2+2学时）：向量和矩阵的∞－范数，1－范数，2－范数等及其性质；矩阵的条件数及解线性方程组的误差分析．（6）若干解线性方程组迭代法几何理论与实质（8+8学时）：两个基本几何过程；某些著名方法的几何本质（7）解线性方程组的几何方法（5+5学时）：正投射法，降维法等及其收敛性分析．（8）解非线性方程组的几何理论与方法（2+2学时）：解非线性方程组的Newton型迭代法，割线法等的几何实质；若干几何算法．三、教学方式：课堂授课．四、相关教学环节安排：课后作业；上机作业．五、考试方式及要求：闭卷．评分比例：考试 50％；课后作业：20％；上机作业：30％．六、推荐教材或主要参考书：《现代数值分析》，李庆扬，易大义，王能超，高等教育出版社，1995年10月．七、有关说明：没有选修过《数值分析》，《计算方法》等课程的同学（如数学与应用数学专业和统计学专业的部分学生），可以通过学习本课程了解一些数值计算的知识；信息与计算数学专业的同学通过本课程的学习，能对一些计算方法有更深的了解。

几何平均值算法
“嘿，大家好啊，今天咱们来聊聊几何平均值算法。

”
几何平均值是对各变量值的连乘积开项数次方根。

简单来说，就是若干个数值相乘，然后开对应的次方。

比如说，有三个数 2、4、8，那它们的几何平均值怎么算呢？首先，把这三个数相乘，2×4×8=64，然后开 3 次方，也就是 4。

所以这三个数的几何平均值就是 4。

在实际应用中，几何平均值有很多用处呢。

比如说在金融领域，计算平均增长率的时候就经常用到。

举个例子，某公司第一年的利润是 100 万，第二年增长到 120 万，第三年增长到 144 万。

那这三年的平均增长率怎么算呢？我们可以先算出每年的增长率，第一年到第二年是 20%，第二年到第三年是 20%。

然后把这三个数 1、1.2、1.44 求几何平均值，得到的结果大约是 1.2。

再减去 1，就得到平均增长率约为 20%。

再比如，在环境科学中，评估一些指标的长期变化趋势时也会用到几何平均值。

比如监测一个地区的某种污染物浓度，每个月都有不同的数据，通过计算几何平均值，可以更准确地反映出长期的变化情况。

另外，在一些统计分析中，几何平均值也能发挥重要作用。

比如研究不同样本之间的某种特征变化时，它可以提供一种不同于算术平均值的视角。

总之，几何平均值算法虽然看起来可能不太起眼，但在很多领域都有着重要的应用，能帮助我们更准确、全面地分析和理解各种数据和现象。

大家如果在学习和工作中遇到相关问题，可别忘了它哦。

包装工程第45卷第3期·208·PACKAGING ENGINEERING2024年2月动态场景下基于YOLOv5和几何约束的视觉SLAM算法王鸿宇1，吴岳忠1,2*，陈玲姣1，陈茜1（1.湖南工业大学轨道交通学院，湖南株洲412007；2.湖南省智能信息感知及处理技术重点实验室，湖南株洲412007）摘要：目的移动智能体在执行同步定位与地图构建（Simultaneous Localization and Mapping，SLAM）的复杂任务时，动态物体的干扰会导致特征点间的关联减弱，系统定位精度下降，为此提出一种面向室内动态场景下基于YOLOv5和几何约束的视觉SLAM算法。

方法首先，以YOLOv5s为基础，将原有的CSPDarknet主干网络替换成轻量级的MobileNetV3网络，可以减少参数、加快运行速度，同时与ORB-SLAM2系统相结合，在提取ORB特征点的同时获取语义信息，并剔除先验的动态特征点。

然后，结合光流法和对极几何约束对可能残存的动态特征点进一步剔除。

最后，仅用静态特征点对相机位姿进行估计。

结果在TUM数据集上的实验结果表明，与ORB-SLAM2相比，在高动态序列下的ATE和RPE 都减少了90%以上，与DS-SLAM、Dyna-SLAM同类型系统相比，在保证定位精度和鲁棒性的同时，跟踪线程中处理一帧图像平均只需28.26 ms。

结论该算法能够有效降低动态物体对实时SLAM过程造成的干扰，为实现更加智能化、自动化的包装流程提供了可能。

关键词：视觉SLAM；动态场景；目标检测；光流法；对极几何约束中图分类号：TB486；TP242 文献标志码：A 文章编号：1001-3563(2024)03-0208-10DOI：10.19554/ki.1001-3563.2024.03.024Visual SLAM Algorithm Based on YOLOv5 and Geometric Constraints inDynamic ScenesWANG Hongyu1, WU Yuezhong1,2*, CHEN Lingjiao1, CHEN Xi1(1. School of Railway Transportation, Hunan University of Technology, Hunan Zhuzhou 412007, China;2.Key Laboratory for Intelligent Information Perception and Processing Technology, Hunan Zhuzhou 412007, China)ABSTRACT: When mobile intelligence agent performs the complex task of Simultaneous Localization And Mapping (SLAM), the interference of dynamic objects will weaken the correlation between feature points and the degradation of the system's localization accuracy. In this regard, the work aims to propose a visual SLAM algorithm based on YOLOv5 and geometric constraints for indoor dynamic scenes. First, based on YOLOv5s, the original CSPDarknet backbone network was replaced by a lightweight MobileNetV3 network, which could reduce parameters and speed up operation, and at the same time, it was combined with the ORB-SLAM2 system to obtain semantic information and eliminate a priori dynamic feature points while extracting ORB feature points. Then, the possible residual dynamic feature points were further culled by combining the optical flow method and epipolar geometric constraints. Finally, only static feature points were used for camera position estimation. Experimental results on the TUM data set showed that both ATE and RPE were收稿日期：2023-10-25基金项目：国家重点研发计划项目（2022YFE010300）；湖南省自然科学基金项目（2021JJ50050，2022JJ50051，2023JJ30217）；湖南省教育厅科学研究项目（22A0422，21A0350，21B0547，21C0430）；中国高校产学研创新基金重点项目（2022IT052）；湖南省研究生创新基金项目（CX20220835）*通信作者第45卷第3期王鸿宇，等：动态场景下基于YOLOv5和几何约束的视觉SLAM算法·209·reduced by more than 90% on average under high dynamic sequences compared with ORB-SLAM2, and the processing of one frame in the tracking thread took only 28.26 ms on average compared with the same type of systems of DS-SLAM and Dyna-SLAM, while guaranteeing localization accuracy and robustness. The algorithm can effectively reduce the interference caused by dynamic objects to the real-time SLAM process. It provides a possibility for more intelligent and automatic packaging process.KEY WORDS: visual SLAM; dynamic scene; target detection; optical flow method; epipolar geometric constraints视觉SLAM（Simultaneous Localization and Mapping）技术在包装行业的应用日益广泛，其通过分析相机捕获的图像信息，实现对环境的实时感知和三维重建。

常用的几何相似度算法
几何相似度是计算两个形状或物体之间相似程度的数学方法。

在计算机视觉和计算机图形学中，几何相似度经常被用来衡量图像或模型之间的相似度。

下面是一些常用的几何相似度算法：
1. 欧氏距离相似度：欧氏距离是两个点之间的距离，因此可以用来计算两个形状之间的距离。

欧氏距离相似度是通过计算两个形状之间的欧氏距离来衡量它们之间的相似程度。

2. 坐标轴对齐的包围盒相似度：坐标轴对齐的包围盒是一个矩形或盒子，它的边缘与坐标轴平行。

通过将两个形状的包围盒进行比较，可以计算它们之间的相似程度。

3. 形状匹配相似度：形状匹配是将两个形状进行比较，以确定它们之间的相似程度。

这种方法通常使用特征提取和特征匹配算法。

4. 光流相似度：光流是描述图像中像素随时间移动的向量场。

通过计算两个图像之间的光流场，可以计算它们之间的相似度。

5. 像素相似度：像素相似度是比较两个图像之间像素级别的相似度。

这种方法通常使用像素比较和灰度直方图等算法。

这些几何相似度算法在计算机视觉和计算机图形学中得到广泛
应用，可以帮助我们在处理图像和模型时，快速有效地计算它们之间的相似程度。

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计算机辅助几何设计CAGDComputer-Aided Geometric Design CAGDCAGDComputer-Aided Geometric DesignCG （Computer Graphics）计算机图形学的发展主要原因主要原因：：图形设备昂贵图形设备昂贵、、功能简单功能简单，，基于图形的应用软件缺乏应用软件缺乏。

计算机图形学的研究内容为此，必须建立图形所描述的场景的几何表示，再几何表示计算机辅助几何设计计算机图形学的研究内容与应用Entertainment Industry: Movie industryEntertainment Industry: GameCAD : Product designCAD : Architectural DesignSIGGRAPHGeometric ModelingComputational Geometry）计算几何（《数学辞海第四卷）数学辞海》》第四卷CAGDComputer-Aided Geometric Design计算机辅助几何设计CAGD的研究对象初等解析曲线曲面自由型曲线曲面CAGD计算机执行计算和处理程序CAGD 的核心问题中，核心的问题是计算机表示 核心的问题是计算机表示对形状数学描述的要求CAGD的发展主线矢函数方法与Coons方法以上两者都存在形状控制与连接问题Bézier方法éBézier/xdjyjx/tuxing /Chapter3/Bezier/CG_Txt_3_202.htmBézier曲面片B样条方法B样条方法较成功地解决了局部形状控制问题，并在参数连续性基础上解决了连接问题。

M P(0.5)P(1)P(0)B2..P (0)P (1),,P(1)P1P 0P 2P 3P(0)P(μ)......P mP nP(t)B0B1B2B32/)()1(2/)()0(6/)4()1(6/)4()0(1302321210B B P B B P B B B P B B B P −=′−=′++=++=/xdjyjx/tuxing/Chapter3/BSpline/CG_Txt_3_204.htmB样条曲面片NURBS方法NURBS 方法提出NURBS 方法方法，，即非均匀有理B 样条方法主要是为了找到既与描述自由型曲线曲面的B 样条方法相统一相统一，，又能精确表示二次曲线弧与二次曲面的数学方法数学方法。