2019-2020学年高中数学第一章三角函数1.1.1任意角限时规范训练

2019-2020年高中数学第一章三角函数1.1任意角和蝗制1.1.1任意角自我检测新人教A版必修1．不相等的角的终边位置( )．A．一定不同 B．必定相同C．不一定不相同 D．以上都不对2．已知角α、β的终边相同，则角(α－β)的终边在( )．A．x轴的非负半轴上 B．y轴的非负半轴上C．x轴的非正半轴上 D．y轴的非正半轴上3．终边在直线y＝－x上的所有角的集合是( )．A．{α|α＝k·360°＋135°，k∈Z}B．{α|α＝k·360°－45°，k∈Z}C．{α|α＝k·180°＋225°，k∈Z}D．{α|α＝k·180°－45°，k∈Z}4．设集合A＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}，B＝{β|β＝60°＋k·720°，k∈Z}，C＝{γ|γ＝60°＋k·180°，k∈Z}，则( )．A．C⊆A⊆B B．B⊆A⊆C C．B⊆C⊆A D．C⊆B⊆A5．若α是第三象限角，则180°－α是第__________象限角．6．若2α与20°角的终边相同，则所有这样的角α的集合是__________．7．已知角β的终边在图中阴影部分所表示的范围内(不包括边界)，写出角β的集合．8．若角θ的终边与168°角的终边相同，求0°～360°内与角的终边相同的角．9如图，半径为1的圆的圆心位于坐标原点，点P从点A(1,0)出发，以逆时针方向等速沿单位圆周旋转，已知P在1秒钟内转过的角度为θ(0°<θ<180°)，经过2秒钟达到第三象限，经过14秒钟后又恰好回到出发点A，求θ.参考答案1答案：C解析：终边不相同的角必然是不相等的，但是，不相等的角的终边却是可以相同的，如α＝30°，β＝390°，α≠β，但它们的终边是相同的．故选C.2答案：A解析：∵角α、β的终边相同，∴α＝k·360°＋β，k∈Z，作差，得α－β＝k·360°＋β－β＝k·360°，k∈Z，∴α－β的终边在x轴的非负半轴上，故选A.3答案：D解析：因为直线过原点，它有两个部分，一部分出现在第二象限，一部分出现在第四象限，所以排除A、B，又C项角出现在第三象限，故选D.4答案：B解析：由β＝(2k)·360°＋60°知B⊆A，由α＝(2k)·180°＋60°知A⊆C，故选B.5答案：四解析：∵α是第三象限角，∴k·360°＋180°<α<k·360°＋270°，k∈Z，∴－k·360°－270°<－α<－k·360°－180°，k∈Z，则－k·360°－90°<180°－α<－k·360°，∴－(k＋1)·360°＋270°<180°－α<－(k＋1)·360°＋360°，k∈Z，故180°－α是第四象限角．6答案：{α|α＝k·180°＋10°，k∈Z}解析：2α＝k·360°＋20°，所以α＝k·180°＋10°，k∈Z.7解：在0°～360°的范围内，终边落在阴影部分内的角为30°<α<150°与210°<α<330°，∴所有满足题意的角α为{α|k·360°＋30°<α<k·360°＋150°，k ∈Z}∪{α|k·360°＋210°<α<k·360°＋330°，k∈Z}＝{a|n·180°＋30°<α<n·180°＋150°，n∈Z}．8解：θ＝k·360°＋168°，所以＝k·120°＋56°，k∈Z，令0°≤k·120°＋56°<360°，得k＝0,1,2，故0°～360°内与角终边相同的角的度数为56°，176°，296°.9解：∵0°<θ<180°，且k·360°＋180°<2θ<k·360°＋270°(k∈Z)，则必有k ＝0，于是90°<θ<135°.又∵14θ＝n·360°(n∈Z)，∴，从而，.∴n＝4或5，故.2019-2020年高中数学第一章三角函数1.1任意角和蝗制1.1.1任意角课后集训新人教A版必修基础达标1.下列命题中正确的是（）A.终边在y轴非负半轴上的角是直角B.第二象限角一定是钝角C.第四象限角一定是负角D.若β=α+k·360°（k∈Z）,则α与β终边相同解析：-270°的终边在y轴的非负半轴，但不是直角，故A项不正确.钝角一定是第二象限角,但第二象限角不一定是钝角，如-210°，所以B项不正确.330°是第四象限角，但不是负角，因此C项不正确.D项显然正确.答案：D2.若α是第四象限角，则180°-α是（）A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角解析：由于α是第四象限角，所以k·360°+270°＜α＜k·360°+360°，k∈Z,则-k·360°-180°＜180°-α＜-k·360°-90°为第三象限角.答案：C3.终边与坐标轴重合的角α的集合是( )A.{α|α=k·360°，k∈Z}B.{α|α=k·180°，k∈Z}C.{α|α=k·90°，k∈Z}D.{α|α=k·180°+90°，k∈Z}解析：终边为x轴的角的集合M={α|α=k·180°，k∈Z}，终边为y轴的角的集合P={α|α=k·180°+90°，k∈Z}设终边为坐标轴的角的集合为S，则S=M∪P={α|α=k·180°，k∈Z}∪{α|α=k·180°+90°，k∈Z}={α|α=2k·90°，k∈Z}∪{α|α=(2k+1)·90°，k∈Z}={α|α=n·90°，n∈Z}答案：C4.集合M={x|x=k·90°±45°,k∈Z}与P={x|x=k·45°，k∈Z}之间的关系是（）A.MPB.PMC.M=PD.M∩P=解析：特殊值检验x=90°∈P，但；x=45°∈M且x=45°∈P.故选A.答案：A5.若角α=-20°+k·180°在-720°—360°间，则整数k的取值是___________.解析：当k=-3，-2，-1，0，1，2时符合题目条件，此时对应的角为-560°,-380°,-200°,-20°,160°,340°.答案：-3,-2,-1,0,1,26.与-1 778°角的终边相同且绝对值最小的角是___________.解析：与-1 778°终边相同角为α，则α=-1 778°+k·360°，k∈Z，当k=5时，α=22°,此时α的绝对值最小.答案：22°综合运用7.若角α和β的终边关于y轴对称，则有（）A.α+β=90°B.α+β=90°+k·360°，k∈ZC.α+β=k·360°，k∈ZD.α+β=180°+k·360°，k∈Z解析：若β与α关于y轴对称，则β=180°-α,∴α+β=180°+k·360°，k∈Z.答案：D8.已知角2α的终边在x轴的上方（不与x轴重合），则α的终边在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第一象限或第三象限解析：360°·k＜2α＜360°·k+180°,180°·k＜α＜180°·k+90°.令k=0,1得0°＜α＜90°,180°＜α＜270°.答案：D9.如果角α与35°角的终边相同，角β与-55°角的终边相同，那么α与β之间的关系是（）A.α+β=0°B.α-β=0°C.α+β=k·360°D.α-β=k·360°+90°（k∈Z）解析：由于α与35°角的终边相同，故α=35°+k1·360°,k1∈Z.由于β与-55°角的终边相同，所以，β=-55°+·360°，∈Z.则α-β=90°+(k1-)·360°=90°+k·360°,k∈Z. 答案：D拓展探究10.若今天是星期一,（1）7k(k∈Z)天后的那一天是星期几？（2）7k(k∈Z)天前的那一天是星期几？（3）158天后的那一天是星期几？解：每星期从星期一到星期日，有7天，呈现周期性变化，以7天为一个周期重复出现. (1)∵今天是星期一，∴7k(k∈Z)天后的那一天仍是星期一；（2）∵今天是星期一，∴7k(k∈Z)天前的那一天也是星期一；（3）∵158=7×22+4又∵今天是星期一，∴158天后的那一天是星期五.备选习题11.时钟走过1小时20分，则分针所转过的角的度数为______________,时针所转过的角的度数为______________.解析：由于时针都是顺时针旋转，故分针走1小时20分钟转过的角的度数为-480°，由于时针1小时转过-30°，20分钟转过×(-30°).故时针走过1小时20分，转过的角的度数是-40°.答案：-480° -40°12.把下列各角写成k·360°+α(0°≤α＜360°)的形式，并指出它们所在象限或终边的位置.(1)-135°,(2)-540°,(3)1 110°,(4)765°.答案：(1)-135°=-360°+225°,第三象限.(2)-540°=(-2)×360°+180°,终边在x轴的非正半轴上.(3)1 110°=3×360°+30°,第一象限.(4)765°=2×360°+45°,第一象限.13.写出终边在直线y=x上的角的集合S，并把S中适合不等式-360°≤β≤360°的元素β写出来.解：如右图，画出y=x直线.终边在直线y=x上的角有两个45°、225°，因此得终边在y=x 上的角的集合S={β|β=45°+k·360°，k∈Z}∪{β|β=225°+k·360°，k∈Z}={β|β=45°+k·180°,k∈Z}S中适合-360°≤β≤360°的元素有：45°-2×180°=-315°,45°-1×180°=-135°,45°+0×180°=45°,45°+1×180°=225°.14.如右图，写出终边落在阴影部分（含边界）的角的集合为__________.解析：以x正半轴为始边，两角分别是120°，-45°.答案：{α|-45°+k·360°≤α≤120°+k·360°，k∈Z}15.若α角的终边与60°角的终边相同，在0°—360°间哪些角的终边与角的终边相同. 解析：{α|α=k·360°+60°，k∈Z}，则{α|=120°·k+20°,k∈Z}当k=3m(m∈Z)时，=360°·m+20°,∴终边在第一象限.当k=3m+1(m∈Z)时，=360°·m+140°,∴终边在第二象限.当k=3m+2(m∈Z)时，=360°·m+260°,∴终边在第三象限.答案：在0°—360°间与角终边相同的角有20°,140°,260°.。

1.1.1 任意角主动成长夯基达标1.下列各角:①-120°;②-240°;③180°;④490°.其中属于第二象限的角是( )A.①②B.①③C.②③D.②④解析:利用β=α+k·360°,k∈Z把角转化为0°—360°间的角.答案:D2.下列各组角中,终边相同的角是( )A.390°与690°B.-330°与750°C.480°与-420°D.300°与-840°解析:若α与β终边相同，则α-β=k·360°,k∈Z.答案:B3.终边在第二象限的角的集合是( )A.(90°,180°)B.［90°,180°］C.{α|k·360°+90°＜α＜k·360°+180°,k∈Z}D.{α|k·360°+90°≤α≤k·360°+180°,k∈Z}解析:A为钝角,D包含终边在x轴负半轴及y轴正半轴的角.答案:C4.在下列各组的两个角中,终边不相同的一组是 ( )A.130°或490°B.180°或-180°C.90°或900°D.-32°或688°解析:利用α-β=k·360°,k∈Z判断即可.答案:C5.下列命题中正确的是( )A.第一象限的角必是锐角B.终边相同的角必相等C.相等角的终边位置必相同D.不相等的角终边位置必不相同解析:可用排除法.如390°角在第一象限,而不是锐角,故排除A；终边相同的角可能相差360°,如390°角与30°角终边相同,但两角不相等,故排除B;390°角与30°角不相等但终边相同,故排除D.答案:C6.α的终边经过点M(0,-3),则α( )A.是第三象限角B.是第四象限角C.既是第三象限又是第四象限角D.不是任何象限角解析:因为点M(0,-3)在y轴负半轴上,因而α的终边不在任何象限.答案:D7.在0°≤α＜360°中，与-510°角的终边相同的角为( )A.150°B.210°C.30°D.330°解析:与-510°角终边相同的角可表示为β=-510°+k·360°,k∈Z.当k=2时,β=210°.答案:B8.集合A={α|α=k·90°-36°,k∈Z},B={β|-180°＜β＜180°},则A∩B等于( )A.{-36°,54°}B.{-126°,144°}C.{-126°,-36°,54°,144°}D.{-126°,54°}解析:A中k分别取-1,0,1,2,x对应-126°,-36°,54°,144°,这些角在(-180°,180°)范围内.答案:C9.若α的终边在第二象限的角平分线上,则α的集合为___________.解析:在0°—360°间,第二象限的角平分线为135°,故终边为第二象限角平分线的角的集合为{α|α=135°+k·360°,k∈Z }.答案:{α|α=135°+k·360°,k∈Z }10.设α是第三象限角,试讨论3α所在的平面区域,并在直角坐标平面上把它们表示出来. 解:∵α是第三象限角,∴180°+k·360°＜α＜270°+k·360°,k∈Z . ∴60°+3k ·360°＜3α＜90°+3k·360°,k∈Z .①当k=3n,n∈Z 时,①式可化为60°+n·360°＜3α＜90°+n·360°,n∈Z ;当k=3n+1,n∈Z 时,①式可化为180°+n·360°＜3α＜210°+n·360°,n∈Z ;当k=3n+2,n∈Z 时,①式可化为300°+n·360°＜3α＜330°+n·360°,n∈Z .它所表示的平面区域如图.11.已知0°＜θ＜360°,θ角的7倍角的终边和θ角的终边重合,求角θ.解:由题意得7θ=k·360°+θ,k∈Z ,则有θ=k·60°.又0°＜θ＜360°,即0°＜k·60°＜360°,k∈Z ,则k 取1,2,3,4,5,∴θ为60°,120°,180°,240°,300°.点评:此题关键是写出式子7θ=k·360°+θ(k∈Z ),然后对k 取适当值.走近高考12.(经典回放)集合A={α|α=6πk ,k∈Z }与B={β|β=3πn +6π,n∈Z }的关系是( )A.A BB.A BC.A=BD.A ⊆B解析:对于A={α|α=6πk ,k∈Z },当k=2n 时,A={α|α=3πn ,n∈Z },当k=2n+1时,A={α|α=3πn +6π,n∈Z }.∴A B.答案:B。

第1课时 任意角1．已知A ＝{第一象限角}，B ＝{锐角}，C ＝{小于90°的角}，那么A ，B ，C 的关系是( )A ．B ＝A ∩C B ．B ∪C ＝CC ．A ⊆CD ．A ＝B ＝C答案 B解析 A ＝{第一象限角}＝{θ|k ·360°<θ<90°＋k ·360°，k ∈Z }，B ＝{锐角}＝{θ|0<θ<90°}，C ＝{小于90°的角}＝{θ|θ<90°}．故选B ．2．已知中学生一节课的上课时间一般是45分钟，那么，经过一节课，分针旋转形成的角是( )A ．120° B．－120° C．270° D．－270°答案 D解析 分针旋转形成的角是负角，故所求分针旋转形成的角是(－360°)×4560＝－270°．A ．3π2和2k π－3π2(k ∈Z )B ．－π5和22π5C ．－7π9和11π9D ．20π3和122π9答案 C解析 11π9＝2π＋－7π9． 4．已知角α的终边过点P ((－2)－1，log 2sin30°)，则角α是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角答案 C解析 ∵(－2)－1＝－12，log 2sin30°＝log 212＝－1，∴点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－1，∴点P 在第三象限，∴角α是第三象限角．5．在与角10030°终边相同的角中，求满足下列条件的角．(1)最大的负角；(2)最小的正角；(3)360°～720°的角．解 (1)与10030°终边相同的角的一般形式为β＝k ·360°＋10030°(k ∈Z )，由－360°<k ·360°＋10030°<0°，得－10390°<k ·360°<－10030°，解得k ＝－28，故所求的最大负角为β＝－50°．(2)由0°<k ·360°＋10030°<360°，得－10030°<k ·360°<－9670°，解得k ＝－27，故所求的最小正角为β＝310°．(3)由360°<k ·360°＋10030°<720°，得－9670°<k ·360°<－9310°，解得k ＝－26，故所求的角为β＝670°．(1)分别写出终边落在OA ，OB 位置上的角的集合；(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．解(1)终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}，终边落在OB位置上的角的集合为{β|β＝－30°＋k·360°，k∈Z}．(2)由图可知，阴影部分角的集合是由所有介于[－30°，135°]之间的所有与之终边相同的角组成的集合，故该区域可表示为{α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}．一、选择题1．下列叙述正确的是( )A．第一或第二象限的角都可作为三角形的内角B．始边相同而终边不同的角一定不相等C．若α是第一象限角，则2α是第二象限角D．钝角比第三象限角小答案 B解析－330°角是第一象限角，但不能作为三角形的内角，故A错误；若α是第一象限角，则k·360°<α<k·360°＋90°(k∈Z)，所以2k·360°<2α<2k·360°＋180°(k∈Z)，所以2α是第一象限角或第二象限角或终边在y轴非负半轴上的角，故C错误；－100°角是第三象限角，它比钝角小，故D错误．2．若角α的终边经过点M(0，－3)，则角α( )A．是第三象限角B．是第四象限角C．既是第三象限角，又是第四象限角D．不是任何象限的角答案 D解析因为点M(0，－3)在y轴负半轴上，所以角α的终边不在任何象限．3．角α＝45°＋k·180°，k∈Z的终边落在( )A．第一或第三象限 B．第一或第二象限C．第二或第四象限 D．第三或第四象限答案 A解析当k为偶数时，α的终边在第一象限；当k为奇数时，α的终边在第三象限，故选A．4．终边在直线y＝－x上的所有角的集合是( )A．{α|α＝k·360°＋135°，k∈Z}B．{α|α＝k·360°－45°，k∈Z}C．{α|α＝k·180°＋225°，k∈Z}D．{α|α＝k·180°－45°，k∈Z}答案 D解析因为直线过原点，它有两部分，一部分在第二象限，一部分在第四象限，所以排除A，B，又C项部分角出现在第三象限，也排除，故选D．5．已知角2α的终边在x轴的上方，那么α是( )A．第一象限角 B．第一或第二象限角C．第一或第三象限角 D．第一或第四象限角答案 C解析因为角2α的终边在x轴的上方，所以k·360°<2α<k·360°＋180°，k∈Z，则有k·180°<α<k·180°＋90°，k∈Z．故当k＝2n，n∈Z时，n·360°<α<n·360°＋90°，α为第一象限角；当k＝2n＋1，n∈Z时，n·360°＋180°<α<n·360°＋270°，α为第三象限角．故选C．二、填空题6．在－180°～360°范围内，与2000°角终边相同的角为________．答案－160°，200°解析∵2000°＝200°＋5×360°，2000°＝－160°＋6×360°，∴在－180°～360°范围内与2000°角终边相同的角有－160°，200°两个．7．已知θ为小于360°的正角，这个角的4倍角与这个角的终边关于x轴对称，那么θ＝________．答案72°，144°，216°，288°解析依题意，可知角4θ与角－θ终边相同，故4θ＝－θ＋k·360°(k∈Z)，故θ＝k·72°(k∈Z)．又0°<θ<360°，故令k＝1，2，3，4得θ＝72°，144°，216°，288°．8．已知角α的终边在图中阴影所表示的范围内(不包括边界)，那么α∈________．答案{α|n·180°＋30°<α<n·180°＋150°，n∈Z}解析在0°～360°范围内，终边落在阴影内的角α的取值范围为30°<α<150°与210°<α<330°，所以所有满足题意的角α的集合为{α|k·360°＋30°<α<k·360°＋150°，k∈Z}∪{α|k·360°＋210°<α<k·360°＋330°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°<α<2k·180°＋150°，k∈Z}∪{α|(2k＋1)180°＋30°<α<(2k＋1)·180°＋150°，k∈Z}＝{α|n·180°＋30°<α<n·180°＋150°，n∈Z}．三、解答题9．记终边在直线y＝x上的角的集合为S．(1)写出集合S；(2)写出S中既是正角又小于等于1080°的角的集合M．解(1)终边在直线y＝x上的角的集合S＝{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝225°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝45°＋k·180°，k∈Z}．(2)由(1)可知，M＝{45°，225°，405°，585°，765°，945°}．10．(1)若α为第三象限角，试判断90°－α的终边所在的象限；(2)若α为第四象限角，试判断α2的终边所在的象限． 解 (1)因为α为第三象限角，所以180°＋k ·360°<α<270°＋k ·360°，k ∈Z ，则－180°－k ·360°<90°－α<－90°－k ·360°，k ∈Z ，所以90°－α的终边在第三象限．(2)由于α为第四象限角，即α∈(k ·360°－90°，k ·360°)(k ∈Z )，所以α2∈(k ·180°－45°，k ·180°)(k ∈Z )． 当k ＝2n ，n ∈Z 时，α2∈(n ·360°－45°，n ·360°)(n ∈Z )，α2是第四象限角； 当k ＝2n ＋1，n ∈Z 时，α2∈(n ·360°＋135°，n ·360°＋180°)(n ∈Z )，α2是第二象限角．综上，可知α2的终边所在的象限是第二或第四象限．。

高中数学第1章三角函数1.1.1任意角课后课时精练新人教A 版必修4A 级：基础巩固练一、选择题1．下列说法正确的个数是( )①终边在x 轴非负半轴上的角是零角；②钝角一定大于第一象限的角；③第二象限的角一定大于第一象限的角；④第四象限角一定是负角．A ．0B ．1C ．2D ．3答案 A解析 ①错，终边在x 轴非负半轴上的角为k ·360°，k ∈Z ，显然不只是零角；②错，390°是第一象限的角，大于任一钝角α(90°<α<180°)；③错，第二象限角中的－210°小于第一象限角中的30°；④错，285°角为第四象限角，但不是负角．故选A.2．已知角α，β的终边相同，则角(α－β)的终边在( )A ．x 轴的非负半轴上B ．y 轴的非负半轴上C ．x 轴的非正半轴上D ．y 轴的非正半轴上答案 A解析 ∵角α，β的终边相同，∴α＝k ·360°＋β，k ∈Z .∴α－β＝k ·360°，k ∈Z ，∴α－β的终边在x 轴的非负半轴上，故选A.3．射线OA 绕端点O 逆时针旋转120°到达OB 位置，由OB 位置顺时针旋转270°到达OC 位置，则∠AOC ＝( )A ．150° B．－150° C．390° D．－390°答案 B解析 各角和的旋转量等于各角旋转量的和．∴120°＋(－270°)＝－150°.故选B.4．若角α和角β的终边关于x 轴对称，则角α可以用角β表示为( )A ．k ·360°＋β(k ∈Z )B ．k ·360°－β(k ∈Z )C ．k ·180°＋β(k ∈Z )D ．k ·180°－β(k ∈Z )答案 B解析 因为角α和角β的终边关于x 轴对称，所以α＋β＝k ·360°(k ∈Z )，所以α＝k ·360°－β(k ∈Z )．故选B.5．若角α为第二象限角，则α3的终边一定不在( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 C解析 因为角α为第二象限角，所以k ·360°＋90°<α<k ·360°＋180°，k ∈Z ，所以k ·120°＋30°<α3<k ·120°＋60°，k ∈Z .对k 进行讨论，当k ＝3n ，k ＝3n ＋1，k ＝3n ＋2(n ∈Z )时，α3的取值范围分别为(n ·360°＋30°，n ·360°＋60°)，(n ·360°＋150°，n ·360°＋180°)，(n ·360°＋270°，n ·360°＋300°)，n ∈Z ，所以α3的终边落在第一或二或四象限，故选C.二、填空题6．从13：00到14：00，时针转过的角为________，分针转过的角为________．答案 －30° －360°解析 经过一小时，时针顺时针旋转30°，分针顺时针旋转360°，结合负角的定义可知时针转过的角为－30°，分针转过的角为－360°.7．若α，β两角的终边互为反向延长线，且α＝－120°，则β＝________.答案 k ·360°＋60°，k ∈Z解析 先求出β的一个角，β＝α＋180°＝60°.再由终边相同角的概念知：β＝k ·360°＋60°，k ∈Z .8．若集合M ＝{x |x ＝k ·90°＋45°，k ∈Z }，N ＝{x |x ＝k ·45°＋90°，k ∈Z }，则M ________N ．(填“”“”)答案解析 M ＝{x |x ＝k ·90°＋45°，k ∈Z }＝{x |x ＝45°·(2k ＋1)，k ∈Z }，N ＝{x |x ＝k ·45°＋90°，k ∈Z }＝{x |x ＝45°·(k ＋2)，k ∈Z }，∵k ∈Z ，∴k ＋2∈Z ，且2k ＋1为奇数，∴M N .三、解答题9．已知角x 的终边落在图示阴影部分区域，写出角x 组成的集合．解 (1){x |k ·360°－135°≤x ≤k ·360°＋135°，k ∈Z }．(2){x |k ·360°＋30°≤x ≤k ·360°＋60°，k ∈Z }∪{x |k ·360°＋210°≤x ≤k ·360°＋240°，k ∈Z }＝{x |2k ·180°＋30°≤x ≤2k ·180°＋60°或(2k ＋1)·180°＋30°≤x ≤(2k ＋1)·180°＋60°，k ∈Z }＝{x |n ·180°＋30°≤x ≤n ·180°＋60°，n ∈Z }．10．已知α，β都是锐角，且α＋β的终边与－280°角的终边相同，α－β的终边与670°角的终边相同，求角α，β的大小．解 由题意可知，α＋β＝－280°＋k ·360°，k ∈Z .∵α，β都是锐角，∴0°<α＋β<180°.取k ＝1，得α＋β＝80°.①∵α－β＝670°＋k ·360°，k ∈Z ，α，β都是锐角，∴－90°<α－β<90°.取k ＝－2，得α－β＝－50°.②由①②，得α＝15°，β＝65°.B 级：能力提升练1．在角的集合{α|α＝k ·90°＋45°，k ∈Z }中，(1)有几种终边不同的角？(2)写出区间(－180°，180°)内的角；(3)写出第二象限的角的一般表示法．解 (1)在α＝k ·90°＋45°中，令k ＝0,1,2,3知，α＝45°，135°，225°，315°.∴在给定的角的集合中，终边不同的角共有4种．(2)由－180°<k ·90°＋45°<180°，得－52<k <32. 又k ∈Z ，故k ＝－2，－1,0,1.∴在区间(－180°，180°)内的角有－135°，－45°，45°，135°.(3)其中第二象限的角可表示为k ·360°＋135°，k ∈Z .2．已知角β的终边在直线3x －y ＝0上．(1)写出角β的集合S ；(2)写出S 中适合不等式－360°<β<720°的元素．解 (1)如图，直线3x －y ＝0过原点，倾斜角为60°，在0°～360°范围内，终边落在射线OA 上的角是60°，终边落在射线OB 上的角是240°，所以以射线OA ，OB 为终边的角的集合为：S 1＝{β|β＝60°＋k ·360°，k ∈Z }，S 2＝{β|β＝240°＋k ·360°，k ∈Z }，所以，角β的集合S ＝S 1∪S 2＝{β|β＝60°＋k ·360°，k ∈Z }∪{β|β＝60°＋180°＋k ·360°，k ∈Z }＝{β|β＝60°＋2k ·180°，k ∈Z }∪{β|β＝60°＋(2k ＋1)·180°，k ∈Z }＝{β|β＝60°＋n ·180°，n ∈Z }．(2)由于－360°<β<720°，即－360°<60°＋n ·180°<720°，n ∈Z .解得－73<n <113，n ∈Z ，所以n ＝－2，－1，0,1,2,3.所以S 中适合不等式－360°<β<720°的元素为：60°－2×180°＝－300°；60°－1×180°＝－120°；60°＋0×180°＝60°；60°＋1×180°＝240°；60°＋2×180°＝420°；60°＋3×180°＝600°.。

...第一章 1.1 1.1.2 弧度制A 级 基础巩固一、选择题1．下列各式正确的是( B ) A ．π2＝90B ．π18＝10° C ．3°＝60πD ．38°＝38π2．2145°转化为弧度数为( D ) A ．163B ．322C ．16π3D ．143π12[解析] 2145°＝2015×π180 rad ＝14312π rad ．3．下列各式不正确的是( C ) A ．－210°＝－7π6B ．405°＝9π4C ．335°＝23π12D ．705°＝47π124．在(0,2π)内，终边与－1035°相同的角是( B ) A ．π3B ．π4C ．π6D ．2π3[解析] ∵－1035°＝45°－3×360°． ∴45°角的终边与－1035°角的终边相同．又45°＝π4，故在(0,2π)内与－1035°角终边相同的角是π4．5．(2016·青岛高一检测)将－1485°化成α＋2k π(0≤α<2π，k ∈Z )的形式是( D ) A ．－π4－8πB ．74π－8π C ．π4－10πD ．74π－10π [解析] ∵－1485°＝－5×360°＋315°， 又2π rad ＝360°，315°＝74π rad ．故－1485°化成α＋2k π(0≤α<2π，k ∈Z )的形式是74π－10π．6．圆的半径变为原来的2倍，弧长也增加到原来的2倍，则( B ) A ．扇形的面积不变 B ．扇形的圆心角不变C ．扇形的面积增大到原来的2倍D ．扇形的圆心角增大到原来的2倍[解析] α＝l r ＝2l2r＝α，故圆心角不变．二、填空题7．扇形AOB ，半径为2 cm ，|AB |＝2 2 cm ，则AB ︵所对的圆心角弧度数为 π2． [解析] ∵|AO |＝|OB |＝2，|AB |＝22，∴∠AOB ＝90°＝π2．8．(2016·山东潍坊高一检测)如图所示，图中公路弯道处AB ︵的弧长l ＝__47_m__.(精确到1m)．[解析] 根据弧长公式，l ＝α＝π3×45≈47(m)．三、解答题9．一个半径为r 的扇形，如果它的周长等于弧所在圆的周长的一半，那么这个扇形的圆心角是多少弧度？是多少度？扇形的面积是多少？[解析] 设扇形的圆心角为θ，则弧长l ＝r θ，∴2r ＋r θ＝πr ，∴θ＝π－2＝(π－2)·(180π)°＝(180－360π)°，扇形的面积S ＝12lr ＝12r 2(π－2)． 10．(1)把310°化成弧度； (2)把5π12rad 化成角度；(3)已知α＝15°、β＝π10、γ＝1、θ＝105°、φ＝7π12，试比较α、β、γ、θ、φ的大小．[解析] (1)310°＝π180 rad×310＝31π18 rad ．(2)5π12 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫180π×5π12°＝75°． (3)解法一(化为弧度)：α＝15°＝15×π180＝π12.θ＝105°＝105×π180＝7π12．显然π12<π10<1<7π12.故α<β< γ<θ＝φ．解法二(化为角度)：β＝π10＝π10×(180π)°＝18°，γ＝1≈57.30°，φ＝7π12×(180°π)°＝105°．显然，15°<18°<57.30°<105°． 故α<β<γ<θ＝φ．B 级 素养提升一、选择题1．若α3＝2k π＋π3(k ∈Z )，则α2的终边在( D )A ．第一象限B ．第四象限C ．x 轴上D ．y 轴上[解析] ∵α3＝2k π＋π3(k ∈Z )，∴α＝6k π＋π(k ∈Z )，∴α2＝3k π＋π2(k ∈Z )． 当k 为奇数量，α2的终边在y 轴的非正半轴上；当k 为偶数时，α2的终边在y 轴的非负半轴上．综上，α2终边在y 轴上，故选D ．2．下列表述中不正确的是( D )A ．终边在x 轴上角的集合是{α|α＝k π，k ∈Z }B ．终边在y 轴上角的集合是{α|α＝π2＋k π，k ∈Z }C ．终边在坐标轴上角的集合是{α|α＝k ·π2，k ∈Z }D ．终边在直线y ＝x 上角的集合是{α|α＝π4＋2k π，k ∈Z }[解析] 终边在直线y ＝x 上角的集合应是{α|α＝π4＋k π，k ∈Z }，D 不正确，其他选项均正确．3．若2弧度的圆心角所对的弧长为4 cm ，则这个圆心角所对的扇形面积是( A ) A ．4 cm 2B ．2 cm 2C ．4π cm 2D ．2π cm 2[解析] 设扇形的半径为r ，则由l ＝|α|r ，得r ＝42＝2(cm)，∴S ＝12|α|r 2＝12×2×22＝4(cm 2)，故选A ．4．一个半径为R 的扇形，它的周长是4R ，则这个扇形所含弓形的面积是( D ) A ．12(2－sin1cos1)R 2 B ．12R 2sin1cos1 C ．12R 2 D ．R 2－R 2sin1cos1[解析] 设弧长为l ，则l ＋2R ＝4R ，∴l ＝2R ，∴S扇形＝12lR ＝R 2.∵圆心角|α|＝l R＝2，∴S 三角形＝12·2R ·sin1·R cos1＝R 2sin1·cos1，∴S 弓形＝S 扇形－S 三角形＝R 2－R 2sin1cos1． 二、填空题5．已知两角和为1弧度，且两角差为1°，则这两个角的弧度数分别是 12＋π360，12－π360 ．[解析] 设两个角的弧度分别为x ，y ，因为1°＝π180rad ，所以有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x －y ＝π180，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12＋π360，y ＝12－π360.即所求两角的弧度数分别为12＋π360，12－π360．6．已知θ∈{α|α＝k π＋(－1)k·π4，k ∈Z }，则θ的终边所在的象限是__第一或第二象限__．[解析] 当k 为偶数时，α＝2m π＋π4(m ∈Z )，当k 为奇数时，α＝(2m －1)π－π4＝2m π－5π4(m ∈Z )，∴θ的终边在第一或第二象限． 三、解答题7．如图所示，用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在阴影部分的角的集合．[解析] (1)将阴影部分看成是由OA 逆时针转到OB 所形成．故满足条件的角的集合为 {α|3π4＋2k π<α<4π3＋2k π，k ∈Z }．(2)若将终边为OA 的一个角改写为－π6，此时阴影部分可以看成是OA 逆时针旋转到OB 所形成，故满足条件的角的集合为{α|－π6＋2k π<α≤5π12＋2k π，k ∈Z }．(3)将图中x 轴下方的阴影部分看成是由x 轴上方的阴影部分旋转π rad 而得到，所以满足条件的角的集合为{α|k π≤α≤π2＋k π，k ∈Z }．(4)与第(3)小题的解法类似，将第二象限阴影部分旋转π rad 后可得到第四象限的阴影部分．所以满足条件的角的集合为{α|2π3＋k π<α<5π6＋k π，k ∈Z }．8．如图，圆周上点A 以逆时针方向做匀速圆周运动．已知点A 经过1 min 转过θ(0<θ<π)角，2 min 到达第三象限，14 min 后回到原来的位置，求θ．[解析] 点A 经过2 min 转过2 θ，且π<2θ<3π2，14 min 后回到原位，∴14θ＝2k π(k ∈Z )，θ＝k π7，且π2<θ<34π，∴θ＝47π或57π．C 级 能力拔高集合A ＝{α|α＝n π2，n ∈Z }∪{α|α＝2n π±2π3，n ∈Z }，B ＝{β|β＝23n π，n ∈Z }∪{β|β＝n π＋π2，n ∈Z }，求A 与B 的关系．[解析] 解法一：如图所示．∴BA ．解法二：{α|α＝n π2，n ∈Z }＝{α|α＝k π，k ∈Z }∪{α|α＝k π＋π2，k ∈Z }； {β|β＝2n π3，n ∈Z }＝{β|β＝2k π，k ∈Z }∪{β|β＝2k π±2π3，k ∈Z }比较集合A 、B 的元素知，B 中的元素都是A 中的元素，但A 中元素α＝(2k ＋1)π(k ∈Z )不是B 的元素，所以A B ．。

2019-2020年高中数学第一章三角函数1.1.1任意角课时作业新人教版必修1.把－1 485°化成α＋k·360°(k∈Z，0°≤α<360°)的形式是( )A.45°－4×360°B.－45°－4×360°C.－45°－5×360°D.315°－5×360°答案 D2.若α是第四象限角，则180°－α是( )A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角解析可以给α赋一特殊值－60°，则180°－α＝240°，故180°－α是第三象限角.答案 C3.若α＝45°＋k·180°(k∈Z)，则α的终边在( )A.第一或第三象限B.第二或第三象限C.第二或第四象限D.第三或第四象限答案 A4.已知0°<α<360°，且α的终边与－60°角的终边关于x轴对称，则α＝_____.答案60°5.下列说法中，正确的是______(填序号).①终边落在第一象限的角为锐角；②锐角是第一象限的角；③第二象限的角为钝角；④小于90°的角一定为锐角；⑤角α与－α的终边关于x轴对称.解析终边落在第一象限的角不一定是锐角，如400°的角是第一象限的角，但不是锐角，故①的说法是错误的；同理第二象限的角也不一定是钝角，故③的说法也是错误的；小于90°的角不一定为锐角，比如负角，故④的说法是错误的.答案②⑤6.在与角－2 013°终边相同的角中，求满足下列条件的角.(1)最小的正角；(2)最大的负角；(3)－720°～720°内的角.解(1)∵－2 013°＝－6×360°＋147°，∴与角－2 013°终边相同的最小正角是147°.(2)∵－2 013°＝－5×360°＋(－213°)，∴与角－2 013°终边相同的最大负角是－213°.(3)∵－2 013°＝－6×360°＋147°，∴与－2 013°终边相同也就是与147°终边相同.由－720°≤k·360°＋147°<720°，k∈Z，解得：k＝－2，－1，0，1.代入k·360°＋147°依次得：－573°，－213°，147°，507°.7.已知角x的终边落在图示阴影部分区域，写出角x组成的集合.解(1){x|k·360°－135°≤x≤k·360°＋135°，k∈Z}.(2){x|k·360°＋30°≤x≤k·360°＋60°，k∈Z}∪{x|k·360°＋210°≤x≤k·360°＋240°，k∈Z}＝{x|2k·180°＋30°≤x≤2k·180°＋60°或(2k＋1)·180°＋30°≤x≤(2k＋1)·180°＋60°，k∈Z}＝{x|n·180°＋30°≤x≤n·180°＋60°，n∈Z}.8.如果θ为小于360°的正角，这个角θ的4倍角的终边与这个角的终边重合，求θ的值. 解由题意得4θ＝θ＋k·360°，k∈Z，∴3θ＝k·360°，θ＝k·120°，又0°<θ<360°，∴θ＝120°或240°.能力提升9.集合M＝{x|x＝k·90°＋45°，k∈Z}，N＝{x|x＝k·45°＋90°，k∈Z}则有( )A.M＝NB.M NC.M ND.M∩N＝∅解析∵x＝k·90°＋45°＝2k·45°＋45°＝(2k－1)·45°＋45°，∴x∈M⇒x∈N.又特别地如x＝180°＝3×45°＋45°∈N，但x∈180°∉M，∴M N，故选C.答案 C10.有小于360°的正角，这个角的5倍角的终边与该角的终边重合，这个角的大小是( )A.90°B.180°C.270°D.90°，180°或270°解析由已知：5α＝α＋k·360°(k∈Z)，∴α＝k·90°.又∵0°<α<360°，∴0<k<4.又∵k∈Z，∴k＝1或2或3，∴α＝90°、180°或270°.答案 D11.角α，β的终边关于y 轴对称，若α＝30°，则β＝_______.解析 ∵30°与150°的终边关于y 轴对称，∴β的终边与150°角的终边相同.∴β＝150°＋k ·360°，k ∈Z .答案 150°＋k ·360°，k ∈Z12.12点过14小时的时候，时钟分针与时针的夹角是_____. 解析 时钟上每个大刻度为30°，12点过14小时，分针转过－90°，时针转过－7.5°，故时针与分针的夹角为82.5°.答案 82.5°13.已知角β的终边在直线3x －y ＝0上.(1)写出角β的集合S ；(2)写出S 中适合不等式－360°<β<720°的元素.解 (1)如图，直线3x －y ＝0过原点，倾斜角为60°，在0°～360°范围内，终边落在射线OA 上的角是60°，终边落在射线OB 上的角是240°，所以以射线OA 、OB 为终边的角的集合为：S 1＝{β|β＝60°＋k ·360°，k ∈Z }，S 2＝{β|β＝240°＋k ·360°，k ∈Z }，所以，角β的集合S ＝S 1∪S 2＝{β|β＝60°＋k ·360°，k ∈Z }∪{β|β＝60°＋180°＋k ·360°，k ∈Z }＝{β|β＝60°＋2k ·180°，k ∈Z }∪{β|β＝60°＋(2k ＋1)·180°，k ∈Z }＝{β|β＝60°＋n ·180°，n ∈Z }.(2)由于－360°<β<720°，即－360°<60°＋n ·180°<720°，n ∈Z .解得－73<n <113，n ∈Z ，所以n ＝－2，－1，0，1，2，3. 所以S 中适合不等式－360°<β<720°的元素为：60°－2×180°＝－300°；60°－1×180°＝－120°；60°＋0×180°＝60°；60°＋1×180°＝240°；60°＋2×180°＝420°；60°＋3×180°＝600°.探 究 创 新14.已知α是第二象限角，试确定2α，α2的终边所在的位置. 解 因为α是第二象限角，所以k ·360°＋90°<α<k ·360°＋180°，k ∈Z .所以2k ·360°＋180°<2α<2k ·360°＋360°，k ∈Z ，所以2α的终边在第三或第四象限或在y 轴的负半轴上.因为k ·360°＋90°<α<k ·360°＋180°，k ∈Z ，所以k ·180°＋45°<α2<k ·180°＋90°，k ∈Z ， 所以当k ＝2n ，n ∈Z 时，n ·360°＋45°<α2<n ·360°＋90°， 即α2的终边在第一象限； 当k ＝2n ＋1，n ∈Z 时，n ·360°＋225°<α2<n ·360°＋270°，即α2的终边在第三象限.所以α2的终边在第一或第三象限.2019-2020年高中数学第一章三角函数1.1.1任意角课时训练含解析新人教A 版必修课时目标 1.了解任意角的概念，能正确区分正角、负角与零角.2.理解象限角与终边相同的角的定义．掌握终边相同的角的表示方法，并会判断角所在的象限．1．角(1)角的概念：角可以看成平面内______________绕着____________从一个位置________到另一个位置所成的图形．2.角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是______________．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．3．终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝________________}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与______________的和．一、选择题1．与405°角终边相同的角是( )A ．k ·360°－45°，k ∈ZB ．k ·180°－45°，k ∈ZC ．k ·360°＋45°，k ∈ZD ．k ·180°＋45°，k ∈Z2．若α＝45°＋k ·180° (k ∈Z )，则α的终边在( )A ．第一或第三象限B ．第二或第三象限C ．第二或第四象限D ．第三或第四象限3．设A ＝{θ|θ为锐角}，B ＝{θ|θ为小于90°的角}，C ＝{θ|θ为第一象限的角}，D ＝{θ|θ为小于90°的正角}，则下列等式中成立的是( )A ．A ＝B B ．B ＝CC ．A ＝CD ．A ＝D4．若α是第四象限角，则180°－α是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角5．集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k ·180°2±45°，k ∈Z ， P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k ·180°4±90°，k ∈Z ，则M 、P 之间的关系为( ) A ．M ＝P B ．M PC ．M PD ．M ∩P ＝∅6．已知α为第三象限角，则α2所在的象限是( ) A ．第一或第二象限 B ．第二或第三象限C ．第一或第三象限D ．第二或第四象限二、填空题7．若角α与β的终边相同，则α－β的终边落在________．8．经过10分钟，分针转了________度．9．如图所示，终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是______________________________．10．若α＝1 690°，角θ与α终边相同，且－360°<θ<360°，则θ＝________.三、解答题11．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．(1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.12．如图所示，写出终边落在阴影部分的角的集合．能力提升13．如图所示，写出终边落在直线y ＝3x 上的角的集合(用0°到360°间的角表示)．14．设α是第二象限角，问α3是第几象限角？1．对角的理解，初中阶段是以“静止”的眼光看，高中阶段应用“运动”的观点下定义，理解这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转幅度”决定角的“绝对值大小”．2．关于终边相同角的认识一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和． 注意：(1)α为任意角．(2)k ·360°与α之间是“＋”号，k ·360°－α可理解为k ·360°＋(－α)．(3)相等的角，终边一定相同；终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍．(4)k ∈Z 这一条件不能少．第一章 三角函数§1.1 任意角和弧度制1．1.1 任意角答案知识梳理1．(1)一条射线 端点 旋转 (2)逆时针方向旋转 顺时针方向旋转 没有作任何旋转2．第几象限角 3.α＋k ·360°，k ∈Z 整数个周角作业设计1．C 2.A3．D [锐角θ满足0°<θ<90°；而B 中θ<90°，可以为负角；C 中θ满足k ·360°<θ<k ·360°＋90°，k ∈Z ；D 中满足0°<θ<90°，故A ＝D .]4．C [特殊值法，给α赋一特殊值－60°，则180°－α＝240°，故180°－α在第三象限．]5．B [对集合M 来说，x ＝(2k ±1)45°，即45°的奇数倍；对集合P 来说，x ＝(k ±2)45°，即45°的倍数．]6．D [由k ·360°＋180°<α<k ·360°＋270°，k ∈Z ，得k 2·360°＋90°<α2<k 2·360°＋135°，k ∈Z . 当k 为偶数时，α2为第二象限角； 当k 为奇数时，α2为第四象限角．] 7．x 轴的正半轴8．－609．{α|k ·360°－45°≤α≤k ·360°＋120°，k ∈Z }10．－110°或250°解析 ∵α＝1 690°＝4×360°＋250°，∴θ＝k ·360°＋250°，k ∈Z .∵－360°<θ<360°，∴k ＝－1或0.∴θ＝－110°或250°.11．解 (1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角．(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角．(3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是第二象限角．12．解 设终边落在阴影部分的角为α，角α的集合由两部分组成．①{α|k ·360°＋30°≤α<k ·360°＋105°，k ∈Z }．②{α|k ·360°＋210°≤α<k ·360°＋285°，k ∈Z }．∴角α的集合应当是集合①与②的并集：{α|k ·360°＋30°≤α<k ·360°＋105°，k ∈Z }∪{α|k ·360°＋210°≤α<k ·360°＋285°，k ∈Z }＝{α|2k ·180°＋30°≤α<2k ·180°＋105°，k ∈Z }∪{α|(2k ＋1)180°＋30°≤α<(2k ＋1)180°＋105°，k ∈Z }＝{α|2k ·180°＋30°≤α<2k ·180°＋105°或(2k ＋1)·180°＋30°≤α<(2k ＋1)180°＋105°，k ∈Z }＝{α|k ·180°＋30°≤α<k ·180°＋105°，k ∈Z }．13．解 终边落在y ＝3x (x ≥0)上的角的集合是S 1＝{α|α＝60°＋k ·360°，k ∈Z }，终边落在y ＝3x (x ≤0) 上的角的集合是S 2＝{α|α＝240°＋k ·360°，k ∈Z }，于是终边在y ＝3x 上角的集合是S ＝{α|α＝60°＋k ·360°，k ∈Z }∪{α|α＝240°＋k ·360°，k ∈Z }＝{α|α＝60°＋2k ·180°，k ∈Z }∪{α|α＝60°＋(2k ＋1)·180°，k ∈Z }＝{α|α＝60°＋n ·180°，n ∈Z }．14．解 当α为第二象限角时，90°＋k ·360°<α<180°＋k ·360°，k ∈Z ，∴30°＋k 3·360°<α3<60°＋k 3·360°，k ∈Z . 当k ＝3n 时，30°＋n ·360°<α3<60°＋n ·360°，此时α3为第一象限角； 当k ＝3n ＋1时，150°＋n ·360°<α3<180°＋n ·360°，此时α3为第二象限角； 当k ＝3n ＋2时，270°＋n ·360°<α3<300°＋n ·360°，此时α3为第四象限角．综上可知α3是第一、二、四象限角．。

2019-2020年高中数学第一章三角函数 1.1 任意角和弧度制 1.1.2 弧度制自我检测新人教A版必修41．－330°的弧度数是( )．A． B． C． D．2．已知角，，，，其中为第四象限角的是( )．A．α1 B．α2 C．α3 D．α43．终边经过点(a，a)(a≠0)的角α的集合为( )．A. B.C. D.4．一扇形的面积是，半径为1，则该扇形的圆心角是( )．A. B. C. D.5．将－1 480°化为α＋2kπ(0≤α≤2π，k∈Z)的形式是__________．6．在直径为10 cm的轮上有一长为6 cm的弦，P是该弦的中点，轮子以每秒5 rad的角速度旋转，则经过5 s后，点P经过的弧长为__________．7．设两个集合ππ|,Z24kM x x k⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，π|π,Z4N x x k k⎧⎫==-∈⎨⎬⎩⎭，试判断M与N之间的关系．8．2弧度的圆心角所对的弦长为2，试求这个圆心角所夹扇形面积S.9已知扇形AOB的圆心角为120°，半径长为6，求(1) 的长；(2)弓形ABE的面积．参考答案1答案：D解析：利用180°角对应的弧度数为π来求解．设－330°的弧度数为x ，则由，得，故选D.2答案：D解析：α1为第二象限角，α2为第三象限角，α3为第二象限角，α4为第四象限角． 3答案：D解析：本题可以用排除法来解决．A 与B 都是错误的，因为没有写成终边相同的形式，又a 可正也可负，故选D.4答案：C解析：利用l ＝θR ，来计算．∵l ＝θR ，，∴，∴，故选C.5答案： 解析：74161480π=10ππ99-=--+. 6答案：100(cm)解析：l ＝θR ，关键是求出θ的值．θ＝5×5＝25(rad)，点P 所在圆的半径 (cm)．∴l ＝4×25＝100(cm)．7解：∵M 、N 中角的终边如图所示．∴M N .8解：如图：过圆心O 作OM ⊥AB 于M ，则OM 平分∠AOB 的弦AB .∴∠AOM ＝1弧度，AM ＝1.∴扇形半径. .211211=22sin1sin1sin 1S lR =⋅⋅=.9解：(1)∵，∴，∴的长为4π.(2)∵114π612π22OAB S lr ==⨯⨯=扇形，如图所示有1126cos30322OAB S AB OD ∆=⨯⨯=⨯⨯⨯=∴12πOAB OAB OAB S S S ∆=-=-弓形扇形.∴弓形ABE 的面积为.2019-2020年高中数学 第一章 三角函数 1.2 任意角的三角函数 1.2.1任意角的三角函数教案 苏教版必修4教学分析学生已经学过锐角三角函数，它是用直角三角形边长的比来刻画的．锐角三角函数的引入与“解三角形”有直接关系．任意角的三角函数是刻画周期变化现象的数学模型，它与“解三角形”已经没有什么关系了．因此，与学习其他基本初等函数一样，学习任意角的三角函数，关键是要使学生理解三角函数的概念、图象和性质，并能用三角函数描述一些简单的周期变化规律，解决简单的实际问题．本节以锐角三角函数为引子，利用单位圆上点的坐标定义三角函数．由于三角函数与单位圆之间的这种紧密的内部联系，使得我们在讨论三角函数的问题时，对于研究哪些问题以及用什么方法研究这些问题等，都可以从圆的性质(特别是对称性)中得到启发．三角函数的研究中，数形结合思想起着非常重要的作用．利用信息技术，可以很容易地建立角的终边和单位圆的交点坐标、单位圆中的三角函数线之间的联系，并在角的变化过程中，将这种联系直观地体现出来，所以信息技术可以帮助学生更好地理解三角函数的本质；激发学生对数学研究的热情，培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神；通过学生之间、师生之间的交流合作，实现共同探究、教学相长的教学情境．三维目标1．通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义，理解三角函数是以实数为自变量的函数，并从任意角的三角函数定义认识正弦、余弦、正切函数的定义域，理解并掌握正弦、余弦、正切函数在各象限内的符号．2．正确利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值表示出来，即用正弦线、余弦线、正切线表示出来．3．能初步应用定义分析和解决与三角函数值有关的一些简单问题．重点难点教学重点：任意角的正弦、余弦、正切的定义．教学难点：用角的终边上的点的坐标来刻画三角函数；三角函数符号的掌握；利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值用几何形式表示．课时安排2课时教学过程第1课时导入新课我们把角的范围推广了，锐角三角函数的定义还能适用吗？譬如三角形内角和为180°，那么sin200°的值还是三角形中200°的对边与斜边的比值吗？类比角的概念的推广，怎样修正三角函数定义？由此展开新课．另外用“单位圆定义法”单刀直入给出定义，然后再在适当时机联系锐角三角函数，这也是一种不错的选择．推进新课新知探究任意角的三角函数1．任意角的三角函数的定义．角α的终边上任意一点P的坐标是(x，y)，它与原点的距离为r(r>0)，则角α的三角函数定义为：2．各象限角的三角函数值的符号如下图所示．图1三角函数正值口诀：Ⅰ全正，Ⅱ正弦，Ⅲ两切，Ⅳ余弦．教师提示：前面我们对角的概念已经进行了扩充，并且学习了弧度制，知道了角的集合与实数集是一一对应的，在此基础上，我们来研究任意角的三角函数．教师在直角三角形所在的平面上建立适当的坐标系，画出角α的终边；学生给出相应点的坐标，并用坐标表示锐角三角函数．如图2.设锐角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的正半轴重合，那么它的终边在第一象限．在α的终边上任取一点P(x ，y)，它与原点的距离r ＝x 2＋y 2>0.过P 作x 轴的垂线，垂足为M ，则线段OM 的长度为x ，线段MP 的长度为y.图2根据初中学过的三角函数定义，我们有sin α＝MP OP ＝y r ，cos α＝OM OP ＝x r ，tan α＝MP OM ＝y x. 怎样将锐角的三角函数推广到任意角的三角函数呢？教师先让学生们相互讨论，并让他们动手画出图形，看看从图形中是否能找出某种关系来．然后提问学生，由学生回答教师的问题，教师再引导学生选几个点，计算一下对应的比值，获得具体认识，并由相似三角形的性质来证明．最后可以发现，由相似三角形的知识，对于确定的角α，这三个比值不会随点P 在α的终边上的位置的改变而改变．也就是说，对于确定的角α，比值y r 和x r 都惟一确定，故正弦、余弦都是角α的函数．当α＝π2＋k π(k∈Z )时，角α的终边在y 轴上，故有x ＝0，这时tan α无意义．除此之外，对于确定的角α(α≠π2＋k π，k∈Z )，比值y x也是惟一确定的，故正切也是角α的函数．sin α、cos α、tan α分别叫做角α的正弦函数、余弦函数、正切函数．以上三种函数都称为三角函数(trigonometric function)．由定义可知，正弦函数、余弦函数、正切函数的值在各象限的符号，如图3所示．图3与学生一起讨论得到以上结论后，教师可以引导学生通过分析三角函数定义中的自变量是什么，对应关系有什么特点，函数值是什么．特别注意α既表示一个角，又是一个实数(弧度数)：“它的终边与单位圆交于点P(x ，y)”包含两个对应关系．从而可以把三角函数看成是自变量为实数的函数．值得注意的是：(1)正弦、余弦、正切、余切、正割、余割都是以角为自变量，以比值为函数值的函数．(2)sin α不是sin 与α的乘积，而是一个比值；三角函数的记号是一个整体，离开自变量的“sin”“tan”等是没有意义的．研究函数我们首先要考虑它的定义域，教师要注意引导学生从定义出发，利用坐标平面内点的坐标的特征得定义域．对于正弦函数sin α＝y r，因为y 恒有意义，即α取任意实数，y 恒有意义，也就是说sin α恒有意义，所以正弦函数的定义域是R ；类似地可写出余弦函数的定义域；对于正切函数tan α＝y x ，因为x ＝0时，y x无意义，即tan α无意义，又当且仅当角α的终边落在纵轴上时，才有x ＝0，所以当α的终边不在纵轴上时，y x恒有意义，即tan α恒有意义，所以正切函数的定义域是α≠π2＋k π(k∈Z )．(由学生填写下表)三角函数的定义告诉我们，各三角函数在各象限内的符号，取决于x ，y 的符号，当点P 在第一、二象限时，纵坐标y>0，点P 在第三、四象限时，纵坐标y<0，所以正弦函数值对于第一、二象限角是正的，对于第三、四象限角是负的(可制作课件展示)；同样地，余弦函数在第一、四象限是正的，在第二、三象限是负的；正切、余切函数在第一、三象限是正的，在第二、四象限是负的．从而完成上面结论的探究．应用示例思路1例1已知角α的终边经过点P(2，－3)，求α的正弦、余弦和正切值．图4解：因为x ＝2，y ＝－3，所以r ＝22＋－2＝13.所以sin α＝y r ＝－313＝－31313，cos α＝x r ＝213＝21313， tan α＝y x ＝－32. 点评：本例是已知角α终边上一点的坐标，求角α的三角函数值问题．可以先根据三角形相似将这一问题化归到单位圆上，再由定义得解.图5的终边与单位圆的交点坐标为(12，－32)．例2见课本本节例2.思路2例1已知角α的终边在直线y ＝－3x 上，则10sin α＋3sec α＝________.活动：要让学生独立思考这一题目，本题虽然是个填空题，看似简单但内含分类讨论思想，教师可以找两个学生来板演这个例题．对解答思路正确的学生给以鼓励，对思路受阻的学生教师要引导其思路的正确性，并适时地点拨学生：假如是个大的计算题应该怎样组织步骤？解析：设角α终边上任一点为P(k ，－3k)(k≠0)，则x ＝k ，y ＝－3k ，r ＝k 2＋－2＝10|k|.(1)当k>0时，r ＝10k ，α是第四象限角，sin α＝y r ＝－3k 10k＝－31010，sec α＝r x ＝10k k ＝10， ∴10sin α＋3sec α＝10×(－31010)＋310＝－310＋310＝0. (2)当k<0时，r ＝－10k ，α为第二象限角，sin α＝y r ＝－3k －10k ＝31010，sec α＝r x ＝－10k k ＝－10， ∴10sin α＋3sec α＝10×31010＋3×(－10)＝310－310＝0. 综合以上两种情况均有10sin α＋3sec α＝0.答案：0点评：本题的解题关键是要清楚当k>0时，P(k ，－3k)是第四象限内的点，角α的终边在第四象限；当k<0时，P(k ，－3k)是第二象限内的点，角α的终边在第二象限内，这与角α的终边在y ＝－3x 上是一致的．例2求函数y ＝sin α＋tan α的定义域．活动：教师让学生先回顾求函数的定义域需要注意哪些特点，并让学生归纳出一些常见函数有意义的要求，根据函数有意义的特征来求自变量的范围．对于三角函数这种特殊的函数在解三角不等式时要结合三角函数的定义进行．求含正切函数的组合型三角函数的定义域时，正切函数本身的定义域往往被忽略，教师提醒学生应注意这种情况．同时，函数的定义域是一个集合，所以结论要用集合形式表示．解：要使函数y ＝sin α＋tan α有意义，则sin α≥0且α≠k π＋π2(k∈Z )．由正弦函数的定义知道，sin α≥0就是角α的终边与单位圆的交点的纵坐标非负． ∴角α的终边在第一、二象限或在x 轴上或在y 轴非负半轴上，即2k π≤α≤π＋2k π(k∈Z )．∴函数的定义域是{α|2k π≤α<π2＋2k π，或π2＋2k π<α≤(2k＋1)π，k∈Z }．点评：本题的关键是弄清楚要使函数式有意义，必须sin α≥0，且tan α有意义，由此推导出α的取值范围就是函数的定义域.知能训练课本本节练习1～6.课堂小结本节课我们给出了任意角三角函数的定义，并且讨论了正弦、余弦、正切函数的定义域，任意角的三角函数实质上是锐角三角函数的扩展，是将锐角三角函数中边的比变为坐标与距离、坐标与坐标的比，记忆方法可用锐角三角函数类比记忆，至于三角函数的定义域可由三角函数的定义分析得到．作业课本习题1.2 1,5,6.设计感想关于三角函数定义法，总的来说就两种：“单位圆定义法”与“终边定义法”．这两种方法本质上是一致的．正因为这样，各种数学出版物中，两种定义方法都有采用．在学习本节的过程中可以与初中学习的三角函数定义进行类比、学习．理解任意角三角函数的定义不但是学好本节内容的关键，也是学好本章内容的关键．在教学中，教师应该充分调动学生独立思考和总结的能力，以巩固对知识的理解和掌握．教师在教学中，始终引导学生紧扣三角函数的定义，善于利用数形结合．在利用三角函数定义进行求值时，应特别强调要注意横向联系，即不仅仅能求出该值，还要善于观察该值与其他三角函数值之间的联系，找出规律来求解．备课资料一、关于余切、正割、余割函数设α是一个任意大小的角，角α的终边与单位圆的交点P(x ，y)，那么除角α的正弦、余弦、正切外，还可定义角α的余切、正割、余割，它们分别是cot α＝x y ，sec α＝r x ，csc α＝ry.角α的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割统称为角α的三角函数． 二、备用习题1．角α的终边经过点P(2a,3a)(a≠0)，则cos α的值是( ) A.1313 B.1312 C ．±1313 D ．±213132．已知tan αcos α>0，且tan αsin α<0，则α在( ) A ．第二象限 B ．第三象限 C ．第四象限 D ．第三、四象限 3．下列各三角函数值中，负值的个数是( )①sin(－660°) ②tan160° ③cos(－740°) ④sin(－420°)cos570° A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4.－－－－＝__________.5．确定下列各式的符号：(1)sin105°cos230°；(2)cos6tan6；(3)tan191°－cos191°. 6．已知tanx>0，且sinx ＋cosx>0，则角x 是第__________象限角． 参考答案：1.D 2.A 3.A 4.325．解：(1)∵105°、230°分别是第二、三象限角， ∴sin105°>0，cos230°<0.∴sin105°cos230°<0. (2)∵3π2<6<2π，∴6是第四象限角．∴cos6>0，tan6<0.∴cos6tan6<0.(3)∵tan191°>0，cos191°<0，∴tan191°－cos191°>0.6．一 解析：由tanx>0，知x 为第一或第三象限角，而当x 是第三象限角时，sinx 与cosx 都取负值，这与sinx ＋cosx>0矛盾，故知角x 是第一象限角．第2课时导入新课思路1.(情境导入)同学们都在一些旅游景地或者在公园中见过大观览车，大家是否想过大观览车在转动过程中，座椅离地面的高度随着转动角度的变化而变化，二者之间有怎样的相依关系呢？由此导入新课．思路2.(复习导入)我们研究了三角函数在各象限内的符号，前面还分析讨论了三角函数的定义域，这些内容的研究，都是建立在任意角的三角函数定义之上的，这些知识在以后我们继续学习“三角”内容时，是经常、反复运用的，请同学们务必在理解的基础上要加强记忆．由三角函数的定义我们知道，对于角α的各种三角函数我们都是用比值来表示的，或者说是用数来表示的，今天我们再来学习正弦、余弦、正切函数的另一种表示方法——几何表示法．我们知道，直角坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关．因此自然产生一个想法是以坐标轴的方向来规定有向线段的方向，以使它们的取值与点的坐标联系起来．推进新课新知探究活动：1.任意角的三角函数的几何表示，即三角函数线． 2．有向线段，有向线段的数量及单位圆来表示三角函数．教师指导学生在平面直角坐标系内作出单位圆，设任意角α的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P(x ，y)，x 轴的正半轴与单位圆相交于A(1,0)，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ；过A 作单位圆的切线，这条切线必平行于y 轴(垂直于同一条直线的两直线平行)，设它与角α的终边或其反向延长线交于点T.教师点拨学生观察线段的方向与点P 的坐标．显然，线段OM 的长度为|x|，线段MP 的长度为|y|，它们都只能取非负值．当角α的终边不在坐标轴上时，我们可以把OM 、MP 都看作带有方向的线段： 如果x>0，OM 与x 轴同向，规定此时OM 具有正值x ；如果x<0，OM 与x 轴正向相反(即反向)，规定此时OM 具有负值x ，所以不论哪一种情况，都有OM ＝x.如果y>0，把MP 看作与y 轴同向，规定此时MP 具有正值y ；如果y<0，把MP 看作与y 轴反向，规定此时MP 具有负值y ，所以不论哪一种情况，都有MP ＝y.引导学生观察OM 、MP 都是带有方向的线段，这种被看作带有方向的线段叫做有向线段． 于是，根据正弦、余弦函数的定义，就有sin α＝y r ＝y 1＝y ＝MP ，cos α＝x r ＝x1＝x ＝OM.这两条与单位圆有关的有向线段MP 、OM 分别叫做角α的正弦线、余弦线．类似地，我们把OA 、AT 也看作有向线段，那么根据正切函数的定义和相似三角形的知识，就有tan α＝y x ＝ATOA＝AT.这条与单位圆有关的有向线段AT ，叫做角α的正切线(如图6、7)．当角α终边在y 轴的右侧时(图6)，在角α终边上取点T(1，y′)，则tan α＝y′1＝y′＝AT(A 为单位圆与x 轴正半轴的交点)；当角α终边在y 轴的左侧时(图7)，在角α终边的反向延长线上取点T(1，y′)，由于它关于原点的对称点Q(－1，－y′)在角α终边上，故有tan α＝－y′－1＝y′＝AT.图6 图7即总有tanα＝AT.因此，我们把有向线段AT叫做角α的正切线．有向线段MP、OM、AT都称为三角函数线．当角α的终边在不同象限时，其三角函数线如图8所示．图8师生共同讨论探究，最后一致得出以下几点：(1)当角α的终边在y轴上时，余弦线变成一个点，正切线不存在．(2)当角α的终边在x轴上时，正弦线、正切线都变成点．(3)正弦线、余弦线、正切线都是与单位圆有关的有向线段，所以作某角的三角函数线时，一定要先作单位圆．(4)线段有两个端点，在用字母表示正弦线、余弦线、正切线时，要先写起点字母，再写终点字母，不能颠倒；或者说，含原点的线段，以原点为起点，不含原点的线段，以此线段与x轴的公共点为起点．(5)三种有向线段的正负与坐标轴正反方向一致，三种有向线段的数量与三种三角函数值相同．正弦线、余弦线、正切线统称为三角函数线．应用示例例1如图9，α、β的终边分别与单位圆交于点P、Q，过A(1,0)作切线AT，交射线OP 于点T，交射线OQ的反向延长线于点T′，点P、Q在x轴上的射影分别为点M、N，则sinα＝________，cosα＝________，tanα＝________，sinβ＝________，cosβ＝________，tanβ＝________.图9活动：根据三角函数线的定义，可知sin α＝MP ，cos α＝OM ，tan α＝AT ，sin β＝NQ ，cos β＝ON ，tan β＝AT′.答案：MP OM AT NQ ON AT′点评：掌握三角函数线的作法，注意用有向线段表示三角函数线时，字母的书写顺序不能随意颠倒.例2证明恒等式11＋sin 2α＋11＋cos 2α＋11＋sec 2α＋11＋csc 2α＝2. 活动：引导学生总结证明恒等式的方法与步骤，特别地，在证明三角恒等式时，一般地是从较繁的一边推向较简的一边．从方向上来推证三角恒等式主要有三种推证方法，即从左边推向右边；从右边推向左边；左、右两边同推向第三个式子．证法一：设M(x ，y)为角α终边上异于原点的一点，|OM|＝r ，由三角函数定义，有 sin α＝y r ，cos α＝x r ，sec α＝r x ，csc α＝ry .原式左边＝11＋y 2r 2＋11＋x 2r 2＋11＋r 2x 2＋11＋r 2y 2＝r 2r 2＋y 2＋r 2r 2＋x 2＋x 2r 2＋x 2＋y2r 2＋y 2 ＝r 2＋y 2r 2＋y 2＋r 2＋x 2r 2＋x2＝2＝右边． ∴原等式成立．证法二：左边＝11＋sin 2α＋11＋cos 2α＋11＋1cos 2α＋11＋1sin 2α＝11＋sin 2α＋11＋cos 2α＋cos 2α1＋cos 2α＋sin 2α1＋sin 2α ＝1＋sin 2α1＋sin 2α＋1＋cos 2α1＋cos 2α ＝2 ＝右边． ∴左边＝右边． ∴原等式成立．点评：根据本题的特点，被证式的左边比较复杂，故可由左边证向右边. 求证：1＋sec α＋tan α1＋sec α－tan α＝1＋sin αcos α.＝yr ，＝x r ，＝y x ，＝rx .左边＝＋r x ＋y x 1＋r x －y x＝x ＋r ＋yx ＋r －y ＝＋r ＋＋r ＋＋r －＋r ＋＝＋r ＋2＋2－y 2＝2r 2＋2xy ＋2xr ＋2ry2x 2＋2xr ＝＋＋＋＝r ＋yx，知能训练课本本节练习7、8.课堂小结本节课我们学习了有向线段的定义，正弦线、余弦线、正切线的定义，这三种三角函数线都是一些特殊的有向线段，其之所以特殊，一是其与坐标轴平行(或重合)，二是其与单位圆有关，这些线段分别都可以表示相应三角函数的值，所以说它们是三角函数的一种几何表示．三角函数线是利用数形结合的思想解决有关问题的重要工具，利用三角函数线可以解或证明三角不等式，求函数的定义域以及比较大小，三角函数线也是后面将要学习的三角函数的图象的作图工具．作业利用单位圆和三角函数线证明：若α为锐角，则(1)sinα＋cosα>1；(2)sin2α＋cos2α＝1.证明：如图10，记角α与单位圆的交点为P，过P作PM⊥x轴于M，则sinα＝MP，cosα＝OM.图10(1)在Rt△OMP中，MP＋OM>OP，即sinα＋cosα>1.(2)在Rt△OMP中，MP2＋OM2＝OP2，即sin2α＋cos2α＝1.设计感想对于三角函数线，开始时学生可能不是很理解，教师应该充分发挥好图象的直观作用，让学生通过图形来感知、了解三角函数线的定义．在学生理解了正弦线、余弦线、正切线的定义后，教师应引导学生会利用三角函数线来发现、总结、归纳正弦函数、余弦函数、正切函数的性质，以便为了以后更好地学习三角函数的图象和性质打下良好的基础．教师要让学生对三角函数线了解即可，要让学生利用任意角的三角函数线来感知对应的三角函数图象的变化趋势，不要再向深处挖掘，因为三角函数线能解决的问题都可以用三角函数的图象来解决．教师在教学中要搞好师生互动，让学生自己动脑、动手，多启发学生善于发现问题、提出问题、解决问题的能力，让学生学会独立思考和归纳总结知识的能力．备课资料一、一个三角不等式的证明已知θ∈(0，π2)，求证：sin θ<θ<tan θ.证明：如图11，设锐角θ的终边交单位圆于点P ，过单位圆与x 轴正半轴的交点A 作圆的切线交OP 于点T ，过点P 作PM⊥x 轴于点M ，则MP ＝sin θ，AT ＝tan θ，的长为θ，连结PA.图11∵S △OPA <S 扇形OPA <S △OAT ，∴12|OA||MP|<12|OA|2·θ<12|OA||AT|. ∴|MP|<θ<|AT|，则MP<θ<AT ，即sin θ<θ<tan θ. 二、备用习题1．若π4<θ<π2，则sin θ，cos θ，tan θ的大小关系是( )A ．tan θ<cos θ<sin θB ．sin θ<tan θ<cos θC ．cos θ<tan θ<sin θD ．cos θ<sin θ<tan θ 2．若0<α<2π，则使sin α<32和cos α>12同时成立的α的取值范围是( ) A ．(－π3，π3) B ．(0，π3)C ．(5π3，2π)D ．(0，π3)∪(5π3，2π)3．在(0,2π)内，使sinx>cosx 成立的x 的取值范围是__________． 4．设0<β<α<π2，求证：α－β>sin α－sin β.5．当α∈[0,2π)时，试比较sin α与cos α的大小．参考答案：1.D 2.D 3.(π4，5π4)4．证明：如图12，设单位圆与角α、β的终边分别交于P 1、P 2，作P 1M 1⊥x 轴于M 1，作P 2M 2⊥x 轴于M 2，作P 2C⊥P 1M 于C ，连结P 1P 2，图12则sin α＝M 1P 1，sin β＝M 2P 2，α－β＝，∴α－β＝>P 1P 2>CP 1＝M 1P 1－M 1C ＝M 1P 1－M 2P 2＝sin α－sin β，即α－β>sin α－sin β. 5．解：如图13.(1)当0≤α<π4时，设角α的终边与单位圆交于点P 1(x 1，y 1)，此时x 1>y 1，而sin α＝y 1，图13cos α＝x 1，∴cos α>sin α.(2)当α＝π4时，x 1＝y 1，此时sin α＝cos α.(3)当π4<α≤π2时，设角α的终边与单位圆交于点P 2(x 2，y 2)，此时y 2>x 2，而sin α＝y 2，cos α＝x 2，∴sin α>cos α.(4)当π2<α≤π时，sin α≥0，cos α<0，∴sin α>cos α.(5)当π<α<5π4时，设角α的终边与单位圆交于点P 3(x 3，y 3)，此时x 3<y 3<0，而sin α＝y 3，cos α＝x 3，∴sin α>cos α.(6)当α＝5π4时，有sin α＝cos α. (7)当5π4<α≤3π2时，设角α的终边与单位圆交于点P 4(x 4，y 4)，此时y 4<x 4<0，而sin α＝y 4，cos α＝x 4，∴sin α<cos α.(8)当3π2<α<2π时，cos α≥0，sin α<0， ∴cos α>sin α.综上所述，当α∈(π4，5π4)时，sin α>cos α；当α＝π4或5π4时，sin α＝cos α；当α∈[0，π4)∪(5π4，2π)时，sin α<cos α.。

第1课时 三角函数的诱导公式（一）【基础练习】1．化简1－sin 21 180°的结果是( ) A ．cos 100° B ．cos 80° C ．sin 80° D ．cos 10°【答案】B【解析】原式＝1－sin 21 180°＝1－sin 2100°＝cos 2100°＝cos 280°＝cos 80°.故选B ．2．(2018年福建厦门校级月考)已知sin(π＋α)＝35，α是第四象限的角，则cos(α－2π)＝( )A ．45B ．－45C ．±45D ．35【答案】A【解析】由sin(π＋α)＝35，得sin α＝－35，而cos(α－2π)＝cos α且α是第四象限角，所以cos α＝1－sin 2α＝45.故选A ．3．下列等式恒成立的是( ) A ．cos(－α)＝－cos α B ．si n(360°－α)＝sin α C ．tan(2π－α)＝tan(π＋α) D ．cos(π＋α)＝cos(π－α)【答案】D【解析】根据诱导公式可得cos(－α)＝cos α，sin(360°－α)＝－sin α，tan(2π－α)＝tan(－α)＝－tan(π＋α)，可得A ，B ，C 都不正确，再由cos(π＋α)＝－cos α＝cos(π－α)，可得D 正确．故选D ．4．sin 2(2π－α)＋cos(π＋α)·cos(π－α)＋1的值是( ) A ．1 B ．2 C ．0 D ．2sin 2α【答案】B【解析】原式＝sin 2α＋(－cos α)·(－cos α)＋1＝sin 2α＋cos 2α＋1＝1＋1＝2.故选B ．5．化简sin 2α＋π·cos π＋αcos 3－α－π·tan 2α－2π的结果是( ) A ．1 B ．－1 C ．cos α D ．1cos α【答案】A【解析】sin 2α＋π·cos π＋αcos 3－α－π·tan 2α－2π＝sin 2α·－cos α－cos 3α·tan 2α＝sin 2αcos 2α·sin 2αcos 2α＝1.故选A ．6．(2019年江西南昌模拟)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝32，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－α的值为________．【答案】32【解析】因为3π4－α＝π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝32.7．(2019年江苏苏州期末)已知3sin(α－π)＝cos α，则tan(π－α)的值是________． 【答案】13【解析】因为3sin(α－π)＝－3sin (π－α)＝－3sin α，所以－3sin α＝cos α，则tan α＝sin αcos α＝－13.所以tan(π－α)＝－tan α＝13.8．求值：(1)sin 1 650°；(2)cos ⎝⎛⎭⎪⎫－28π3.【解析】(1)sin 1 650°＝sin(4×360°＋210°)＝sin 210°＝sin(180°＋30°)＝－sin 30°＝－12.(2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－28π3＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫－10π＋2π3＝cos 2π3 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π3＝－cos π3＝－12.9．已知cos180°＋αsin α＋360°sin 540°＋αsin －α－180°cos －180°－α＝lg1310，求cos π＋αcos α[cos π－α－1]＋cos α－2πcos αcos π－α＋cosα－2π的值．【解析】∵cos180°＋αsin α＋360°sin 540°＋αsin －α－180°cos －180°－α＝－cos αsin αsin 180°＋α－sin 180°＋αcos 180°＋α＝－cos αsin α－sin αsin α－cos α＝－sin α＝lg 1310，∴sin α＝－lg1310＝lg 310＝13.∴cos π＋αcos α[cos π－α－1]＋cos α－2πcos αcos π－α＋cos α－2π＝－cos αcos α－cos α－1＋cos αcos α－cos α＋cos α＝1cos α＋1＋11－cos α＝1－cos α＋1＋cos α1－cos 2α＝2sin 2α＝18. 【能力提升】10．(2018年湖南株洲期中)已知tan(π－α)＝－23，则cos －α＋3sin π＋αcos π－α＋9sin α的值为( )A ．－15B ．－37C ．15D ．37【答案】A【解析】tan(π－α)＝－tan α＝－23，可得tan α＝23，∴cos －α＋3sin π＋αcos π－α＋9sin α＝cos α－3sin α－cos α＋9sin α＝1－3tan α9tan α－1＝1－3×239×23－1＝－15.故选A ． 11．已知角α与角β终边关于y 轴对称，有四个等式：①sin α＝sin(π＋β)；②sinα＝sin β；③cos α＝cos(π＋β)；④cos α＝cos(－β)，其中恒成立的是( )A ．②③B ．①④C ．①③D ．②④【答案】A【解析】设角α终边上一点P (x ，y )，则点P 关于y 轴对称的点为P ′(－x ，y )且点P 与点P ′到原点的距离相等，设为r ，则P ′(－x ，y )在β的终边上，由三角函数的定义得sin α＝y r ，sin β＝y r ，cos α＝x r ，cos β＝－x r，∴sin α＝sin β，cos α＝－cos β.故①④错误，②③正确．故选A ．12．设f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，其中a ，b ，α，β为非零常数．若f (2 018)＝－1，则f (2 019)＝________.【答案】1【解析】∵f (2 019)＝a sin(2 019π＋α)＋b cos(2 019π＋β)＝a sin(π＋2 018π＋α)＋b cos(π＋2 018π＋β)＝－a sin(2 018π＋α)－b cos(2 018π＋β)＝－f (2 018)，又f (2 018)＝－1，∴f (2 019)＝1.13．化简：1＋2sin 280°·cos 440°sin 260°＋cos 800°.【解析】原式＝1＋2sin 360°－80°·cos 360°＋80°sin 180°＋80°＋cos 720°＋80°＝1－2sin 80°·cos 80°－sin 80°＋cos 80°＝sin 280°＋cos 280°－2sin 80°·cos 80°－sin 80°＋cos 80°＝sin 80°－cos 80°2－sin 80°＋cos 80°＝|sin 80°－cos 80°|cos 80°－sin 80°＝sin 80°－cos 80°cos 80°－sin 80°＝－1.。

第一章三角函数1．1任意角和弧度制1.1.1任意角[A组学业达标]1．下列说法中，正确的是() A．第二象限的角都是钝角B．第二象限角大于第一象限的角C．若角α与角β不相等，则α与β的终边不可能重合D．若角α与角β的终边在一条直线上，则α－β＝k·180°(k∈Z)答案：D2．在①160°；②480°；③－960°；④1 530°这四个角中，属于第二象限角的是() A．①B．①②C．①②③D．①②③④答案：C3．下列各角中，与60°角终边相同的角是() A．－300°B．－60°C．600°D．1 380°答案：A4．把－1 485°化成k·360°＋α(0°≤α<360°，k∈Z)的形式是() A．315°－5×360°B．45°－4×360°C．－315°－4×360°D．－45°－10×180°答案：A5．已知A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，则A，B，C关系正确的是()A．B＝A∩C B．B∪C＝CC．A C D．A＝B＝C答案：B6．已知角α＝－3 000°，则与α终边相同的最小正角是________．答案：240°7．角α，β的终边关于y轴对称，若α＝30°，则β＝________．答案：150°＋k·360°，k∈Z8．终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是________．答案：{α|－45°＋k·360°≤α≤120°＋k·360°，k∈Z}9．已知角α＝2 010°.(1)把α改写成k·360°＋β(k∈Z，0°≤β<360°)的形式，并指出它是第几象限角；(2)求θ，使θ与α终边相同，且－360°≤θ<720°.解析：(1)由2 010°除以360°，得商为5，余数为210°.∴取k＝5，β＝210°，α＝5×360°＋210°.又β＝210°是第三象限角，∴α为第三象限角．(2)与2 010°终边相同的角为k·360°＋2 010°(k∈Z)．令－360°≤k·360°＋2 010°<720°(k∈Z)，解得－6712≤k<－3712(k∈Z)．所以k＝－6，－5，－4.将k的值代入k·360°＋2 010°中，得角θ的值为－150°，210°，570°.10．已知集合A＝{α|k·180°＋30°<α<k·180°＋90°，k∈Z}，集合B＝{β|k·360°－45°<β<k·360°＋45°，k∈Z}．求：(1)A∩B；(2)A∪B.解析：由题意可画图．由图可知，A ∩B ＝{θ|30°＋k ·360°<θ<45°＋k ·360°，k ∈Z }，A ∪B ＝{γ|k ·360°－45°<γ<k ·360°＋90°或k ·360°＋210°<γ<k ·360°＋270°，k ∈Z }．[B 组 能力提升]11．若φ是第二象限角，则φ2和90°－φ都不是 ( ) A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角 解析：∵φ是第二象限角，∴k ·360°＋90°<φ<k ·360°＋180°，k ∈Z ，∴k ·180°＋45°<φ2<k ·180°＋90°，k ∈Z ， 即φ2是第一或第三象限角． 而－φ显然是第三象限角，∴90°－φ是第四象限角．故选B.答案：B12．设集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k 2·180°＋45°，k ∈Z ，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k 4·180°＋45°，k ∈Z ，则两集合间的关系是( )A ．M ＝NB ．M NC ．N MD ．M ∩N ＝∅ 解析：法一：由于M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k 2·180°＋45°，k ∈Z ＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k 4·180°＋45°，k ∈Z ＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}，显然M N .法二：由于M 中，x ＝k 2·180°＋45°＝k ·90°＋45°＝45°·(2k ＋1)，2k ＋1是奇数；而N 中，x ＝k 4·180°＋45°＝k ·45°＋45°＝(k ＋1)·45°，k ＋1是整数，因此必有M N .故选B. 答案：B13．已知α的终边与120°角的终边相同，则在－360°～180°之间与α3终边相同的角的集合为________．解析：∵α＝120°＋k ·360°(k ∈Z )，∴α3＝40°＋k ·120°(k ∈Z )． 令－360°<40°＋k ·120°<180°，则－103<k <76(k ∈Z )． ∴k ＝－3，－2，－1，0，1.将它们分别代入40°＋k ·120°可得－320°，－200°，－80°，40°，160°.答案：{－320°，－200°，－80°，40°，160°}14．设角α的终边为射线OP ，射线OP 1与OP 关于y 轴对称，射线OP 2与OP 1关于直线y ＝－x 对称，则以OP 2为终边角的集合是________．解析：依题意，射线OP 1所对应的角γ＝k 1·360°＋180°－α，k 1∈Z ，从而射线OP 2所对应的角β＝m ·360°－90°－(k 1·360°＋180°－α)＝(m －k 1－1)·360°＋90°＋α＝k ·360°＋90°＋α(m ，k 1，k ∈Z )．答案：{β|β＝k ·360°＋90°＋α，k ∈Z }15.写出终边在如图所示直线上的角的集合．解析：由题意得，满足条件的角的集合S ＝{α|α＝60°＋k ·360°，k ∈Z }∪{α|α＝150°＋k ·360°，k ∈Z }∪{α|α＝240°＋k ·360°，k ∈Z }∪{α|α＝330°＋k ·360°，k ∈Z }＝{α|α＝60°＋k ·180°，k ∈Z }∪{α|α＝150°＋k ·180°，k ∈Z }＝{α|α＝60°＋2k ·90°，k ∈Z }∪{α|α＝60°＋(2k ＋1)·90°，k ∈Z }＝{α|α＝60°＋k ·90°，k ∈Z }．16．现在是8点5分，经过2小时15分钟后，钟表上的时针和分针转过的角度分别是多少？此时它们所成的角是多少度？解析：利用钟面分别确定在同一单位时间(1分钟)内分针和时针所转过的角度，进而确定所求的角．时针每小时转过了－360°12＝－30°，即每分钟转过了－0.5°，而分针每分钟转过了－360°60，即－6°.故2小时15分钟后，时针转过了(2×60＋15)×(－0.5°)＝－67.5°，分针转过了(2×60＋15)×(－6°)＝－810°.2小时15分钟后为10点20分，此时分针指向4，时针则由指向10转过了20×(－0.5°)＝－10°，故此时时针和分针所成的角为170°.。