1.不等式的基本性质

不等式的基本性质不等式是数学中常见的一种数值关系表示方法，它可以描述数字之间的大小关系。

与等式不同，不等式中的符号可以表示大于、小于、大于等于或小于等于的关系。

本文将介绍不等式的基本性质，包括不等式的性质、解不等式的方法以及一些常见不等式的应用。

一、1. 传递性：如果a>b且b>c，那么a>c。

这意味着如果不等式的两个数之间有大小关系，那么这种关系可以传递给第三个数。

2. 加法性：如果a>b，那么a+c>b+c。

这表示在不等式两边同时加上相同的数，不等式的方向不改变。

3. 减法性：如果a>b，那么a-c>b-c。

这表示在不等式两边同时减去相同的数，不等式的方向不改变。

4. 乘法性：如果a>b且c>0，那么ac>bc。

对于两个正数的乘法和两个负数的乘法，不等式的方向不改变。

5. 除法性：如果a>b且c>0，那么a/c>b/c。

对于两个正数的除法和两个负数的除法，不等式的方向不改变。

这些基本性质在解不等式及推导数学证明中有重要的应用，帮助我们简化运算和判断。

二、解不等式的方法要解决不等式，我们需要找出满足不等式条件的数值范围。

以下是常见的解不等式的方法：1. 加减法解不等式：通过加减法改变不等式两边的值，将未知数分离出来，并确定不等式方向。

2. 乘除法解不等式：通过乘除法改变不等式两边的值，将未知数分离出来，并确定不等式方向。

需要注意的是，若乘除以负数，则需要反转不等式的方向。

3. 绝对值不等式的解法：当不等式中含有绝对值时，需要分情况讨论。

通常，将绝对值分为正数和负数两种情况，分别解出不等式。

4. 求解复合不等式：当不等式中存在多个不等关系时，需要将其分解为多个简单的不等式，并找出它们的交集或并集。

解不等式的过程中，保持不等式的严格性是很重要的。

当遇到平方、开方等操作时，需注意方程根与不等式的关系。

三、常见不等式的应用1. 一次不等式：一次不等式是指变量的指数为1的不等式，如ax+b>0。

不等式的性质及解法不等式是数学中的一种重要的数值关系表示形式，与等式相比，不等式更能反映数值大小之间的差异。

在实际问题中，我们经常会遇到需要确定数值范围的情况，而不等式的性质和解法则帮助我们进行准确的数值分析和解决问题。

一、不等式的基本性质1. 传递性：如果 a<b，b<c，则有 a<c。

这一性质表明不等式的关系可以在数轴上进行传递，简化了分析比较的步骤。

2. 加减性：如果 a<b，则有 a±c<b±c。

对于不等式两边同时加减同一个数，不等式的关系保持不变。

3. 乘除性：如果 a<b 并且 c>0，则有 ac<bc；如果 a<b 并且 c<0，则有ac>bc。

这一性质需要注意，当乘以负数时，不等式的关系需要取反。

4. 对称性：如果a<b，则有b>a。

不等式两边的大小关系可以互换。

二、一元不等式的解法1. 加减法解法：通过加减法将不等式转化为更简单的形式。

例如：对于不等式 2x+3>7，我们可以先减去3，得到 2x>4，再除以2，得到x>2，即解集为 x>2。

2. 乘除法解法：通过乘除法将不等式转化为更简单的形式。

同样以不等式 2x+3>7 为例，我们可以先减去3，得到 2x>4，再除以2，得到x>2，即解集为 x>2。

3. 移项解法：利用不等式的基本性质，将所有项移到同一边，得到一个结果。

例如：对于不等式 3(x-2)>4x-7，我们可以先将右边的项移动到左边，得到 3x-6>4x-7，然后将 x 的系数移到一侧，得到 3x-4x>-7+6，化简得到 -x>-1，再乘以 -1，注意需要反转不等式的关系，得到x<1，即解集为 x<1。

4. 系数法解法：当不等式中存在系数时，我们可以通过判断系数的正负来确定解的范围。

例如：对于不等式 2x-3>0，我们观察到系数2>0，说明 x 的取值范围为正数，即解集为 x>3/2。

不等式的基本性质
不等式的基本性质
不等式的基本性质有对称性，传递性，加法单调性，即同向不等式可加性;乘
法单调性;同向正值不等式可乘性;正值不等式可乘方;正值不等式可开方;倒数法则。

一、不等式的基本性质
1.如果x>y，那么y<X;如果Yy;(对称性)
2.如果x>y，y>z;那么x>z;(传递性)
3.如果x>y，而z为任意实数或整式，那么x+z>y+z,即不等式两边同时加或减
去同一个整式，不等号方向不变;
4.如果x>y，z>0，那么xz>yz ,即不等式两边同时乘以(或除以)同一个大于0
的整式，不等号方向不变;
5.如果x>y，z<0，那么xz<YZ, p 即不等式两边同时乘以(或除以)同一个小于0
的整式，不等号方向改变;<>
6.如果x>y，m>n，那么x+m>y+n;
7.如果x>y>0，m>n>0，那么xm>yn;
8.如果x>y>0，那么x的n次幂>y的n次幂(n为正数)，x的n次幂<Y的N
次幂(N为负数)。

< p>
二、不等式的基本性质的另一种表达方式
1.对称性;
2.传递性;
3.加法单调性，即同向不等式可加性;
4.乘法单调性;
5.同向正值不等式可乘性;
6.正值不等式可乘方;
7.正值不等式可开方;
8.倒数法则。

如果由不等式的基本性质出发，通过逻辑推理，可以论证大量的初等不等式。

不等式的基本性质与解法不等式是数学中常见的描述数量关系的工具，它可以表达两个数、两个量或两个函数之间的大小关系。

在解决实际问题时，不等式的理解和运用至关重要。

本文将介绍不等式的基本性质以及解法，并通过一些例子来进一步说明。

一、不等式的基本性质不等式有以下基本性质：1. 加减性质：对于不等式两边同时加减一个相同的数，不等号的方向不变。

例如：若a < b，则a + c < b + c；若a > b，则a - c > b - c。

2. 乘除性质：对于不等式两边同时乘除一个正数，不等号的方向不变；而若乘除一个负数，则不等号的方向反转。

例如：若a < b，c > 0，则ac < bc；若a > b，c < 0，则ac > bc。

3. 倒置性质：若不等式两边同时倒置（取倒数），不等号的方向也要倒置。

例如：若a < b，则1/a > 1/b；若a > b，则1/a < 1/b。

二、不等式的解法1. 图解法：对于简单的一元一次不等式，我们可以通过图解法来求解。

例如，对于不等式2x + 1 > 5，我们可以先绘制出直线y = 2x + 1和y = 5的图像，然后找到两条直线的交点，交点右侧的区域即为不等式的解集。

2. 转化法：有些不等式可以通过转化为等价的形式来求解。

例如，对于不等式x^2 - 4x + 3 > 0，我们可以将其转化为(x - 1)(x - 3) > 0的形式，然后根据函数图像的正负性来确定解集。

3. 分类讨论法：对于复杂的不等式，我们可以通过分类讨论的方法来求解。

例如，对于不等式|x - 2| < 3，我们可以将其拆解为两个不等式x - 2 < 3和-(x - 2) < 3，并分别求解得到解集，然后取它们的交集。

4. 根据性质求解：我们可以根据不等式的性质来求解。

例如，对于不等式x^2 - 5x + 6 < 0，我们可以分解它为(x - 2)(x - 3) < 0，然后根据乘法性质可知，当x在2和3之间时，不等式成立。

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不等式的三条基本性质
不等式基本性质1：不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变（即原来较大的一边仍然较大，原来较小的一边仍然较小）．不等式基本性质2：不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变（即原来较大的一边仍然较大，原来较小的一边仍然较小）．不等式基本性质3：不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变（即原来较大的一边反而较小，原来较小的一边反而较大）．。

选修4－5 ⎪⎪⎪不等式选讲第一节绝对值不等式1．绝对值三角不等式定理1：如果a ，b 是实数，则|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当ab ≥0时，等号成立． 定理2：如果a ，b ，c 是实数，那么|a －c |≤|a －b |＋|b －c |，当且仅当(a －b )(b －c )≥0时，等号成立．2．绝对值不等式的解法(1)含绝对值不等式|x |<a 与|x |>a 的解法： 不等式 a >0a ＝0 a <0 |x |<a {}x |－a <x <a ∅∅ |x |>a {}x |x >a 或x <－a{}x |x ∈R 且x ≠0R(2)|ax ＋b |≤c (c ＞0)和|ax ＋b |≥c (c >0)型不等式的解法： ①|ax ＋b |≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c ； ②|ax ＋b |≥c ⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c .1．设a ，b 为满足ab <0的实数，那么( ) A ．|a ＋b |>|a －b | B ．|a ＋b |<|a －b | C ．|a －b |＜||a |－|b || D ．|a －b |<|a |＋|b | 解析：选B ∵ab <0， ∴|a －b |＝|a |＋|b |>|a ＋b |.2．若不等式|kx －4|≤2的解集为{}x |1≤x ≤3，则实数k ＝________. 解析：由|kx －4|≤2⇔2≤kx ≤6.∵不等式的解集为{}x|1≤x≤3，∴k＝2.答案：23．函数y＝|x－4|＋|x＋4|的最小值为________．解析：因为|x－4|＋|x＋4|≥|(x－4)－(x＋4)|＝8，所以所求函数的最小值为8.答案：84．不等式|x＋1|－|x－2|≥1的解集是________．解析：令f(x)＝|x＋1|－|x－2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x≤－1，2x－1，－1<x<2，3，x≥2.当－1<x<2时，由2x－1≥1，解得1≤x<2.又当x≥2时，f(x)＝3>1恒成立．所以不等式的解集为{}x|x≥1.答案：{}x|x≥1考点一绝对值不等式的解法(基础送分型考点——自主练透)[考什么·怎么考]绝对值不等式的解法是每年高考的重点，既单独考查，也与函数的图象、含参问题等的综合考查，难度较小，属于低档题.(1)画出y＝f(x)的图象；(2)求不等式|f(x)|>1的解集．解：(1)由题意得f(x)＝⎩⎨⎧x－4，x≤－1，3x－2，－1<x≤32，－x＋4，x>32，故y＝f(x)的图象如图所示．(2)由f(x)的函数表达式及图象可知，当f(x)＝1时，可得x＝1或x＝3；当f(x)＝－1时，可得x＝13或x＝5.故f(x)>1的解集为{x|1<x<3}，f(x)<－1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪x<13或x>5.所以|f(x)|>1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪x<13或1<x<3或x>5. 2．解下列不等式．(1)|2x＋1|－2|x－1|>0；(2)|x＋3|－|2x－1|<x2＋1.解：(1)法一：原不等式可化为|2x＋1|>2|x－1|，两边平方得4x2＋4x＋1>4(x2－2x＋1)，解得x>14，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x>14.法二：原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x<－12，－(2x＋1)＋2(x－1)>0或⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x ≤1，(2x ＋1)＋2(x －1)>0或⎩⎪⎨⎪⎧x >1，(2x ＋1)－2(x －1)>0.解得x >14，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >14.(2)①当x <－3时，原不等式化为－(x ＋3)－(1－2x )<x2＋1，解得x <10，∴x <－3. ②当－3≤x ≤12时，原不等式化为(x ＋3)－(1－2x )<x2＋1，解得x <－25，∴－3≤x <－25.③当x >12时，原不等式化为(x ＋3)＋(1－2x )<x2＋1，解得x >2，∴x >2.综上可知，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－25或x >2.[怎样快解·准解]绝对值不等式的常见3解法 (1)零点分段讨论法含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段讨论法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)，一般步骤如下：①令每个绝对值符号里的代数式为零，并求出相应的根； ②将这些根按从小到大排序，它们把实数集分为若干个区间；③在所分的各区间上，根据绝对值的定义去掉绝对值符号，求所得的各不等式在相应区间上的解集；④这些解集的并集就是原不等式的解集． (2)利用绝对值的几何意义由于|x －a |＋|x －b |与|x －a |－|x －b |分别表示数轴上与x 对应的点到与a ，b 对应的点的距离之和与距离之差，因此对形如|x －a |＋|x －b |<c (c >0)或|x －a |－|x －b |>c (c >0)的不等式，利用绝对值的几何意义求解更直观．(3)数形结合法在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解．[易错提醒]用零点分段法和几何意义求解绝对值不等式时，去绝对值符号的关键点是找零点，将数轴分成若干段，然后从左到右逐段讨论．考点二绝对值三角不等式的应用(重点保分型考点——师生共研)应用绝对值三角不等式证明不等式或求最值是高考的常考内容，难度适中.[典题领悟]1．若对于实数x，y有|1－x|≤2，|y＋1|≤1，求|2x＋3y＋1|的最大值．解：因为|2x＋3y＋1|＝|2(x－1)＋3(y＋1)|≤2|x－1|＋3|y＋1|≤7，所以|2x＋3y＋1|的最大值为7.2．若a≥2，x∈R，求证：|x－1＋a|＋|x－a|≥3.证明：因为|x－1＋a|＋|x－a|≥|(x－1＋a)－(x－a)|＝|2a－1|，又a≥2，故|2a－1|≥3，所以|x－1＋a|＋|x－a|≥3成立．[解题师说]证明绝对值不等式的3种主要方法(1)利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为一般不等式再证明．(2)利用三角不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|进行证明．(3)转化为函数问题，利用数形结合进行证明．[冲关演练]已知x，y∈R，且|x＋y|≤16，|x－y|≤14，求证：|x＋5y|≤1.证明：∵|x＋5y|＝|3(x＋y)－2(x－y)|.∴由绝对值不等式的性质，得|x＋5y|＝|3(x＋y)－2(x－y)|≤|3(x＋y)|＋|2(x－y)|＝3|x ＋y |＋2|x －y |≤3×16＋2×14＝1.即|x ＋5y |≤1成立．考点三 绝对值不等式的综合应用 (重点保分型考点——师生共研)(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|x －2|. (1)求不等式f (x )≥1的解集；(2)若不等式f (x )≥x 2－x ＋m 的解集非空，求m 的取值范围． 解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x ＜－1，2x －1，－1≤x ≤2，3，x ＞2.当x ＜－1时，f (x )≥1无解；当－1≤x ≤2时，由f (x )≥1，得2x －1≥1，解得1≤x ≤2； 当x ＞2时，由f (x )≥1，解得x ＞2. 所以f (x )≥1的解集为{x |x ≥1}．(2)由f (x )≥x 2－x ＋m ，得m ≤|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x .而|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ≤|x |＋1＋|x |－2－x 2＋|x |＝－⎝⎛⎭⎫|x |－322＋54≤54， 当且仅当x ＝32时，|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ＝54.故m 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，54. [解题师说]设函数f (x )中含有绝对值，则 (1)f (x )>a 有解⇔f (x )max >a . (2)f (x )>a 恒成立⇔f (x )min >a .(3)f (x )>a 恰在(c ，b )上成立⇔c ，b 是方程f (x )＝a 的解．[冲关演练]1．(2017·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋4，g (x )＝|x ＋1|＋|x －1|. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥g (x )的解集；(2)若不等式f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]，求a 的取值范围． 解：(1)当a ＝1时，不等式f (x )≥g (x )等价于 x 2－x ＋|x ＋1|＋|x －1|－4≤0. ①当x ＜－1时，①式化为x 2－3x －4≤0，无解；当－1≤x ≤1时，①式化为x 2－x －2≤0，从而－1≤x ≤1； 当x ＞1时，①式化为x 2＋x －4≤0， 从而1＜x ≤－1＋172.所以f (x )≥g (x )的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－1≤x ≤－1＋172. (2)当x ∈[－1,1]时，g (x )＝2.所以f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]，等价于当x ∈[－1,1]时，f (x )≥2. 又f (x )在[－1,1]的最小值必为f (－1)与f (1)之一， 所以f (－1)≥2且f (1)≥2，得－1≤a ≤1. 所以a 的取值范围为[－1,1]． 2．已知函数f (x )＝|2x －a |＋a .(1)当a ＝2时，求不等式f (x )≤6的解集；(2)设函数g (x )＝|2x －1|.当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3，求a 的取值范围． 解：(1)当a ＝2时，f (x )＝|2x －2|＋2. 解不等式|2x －2|＋2≤6，得－1≤x ≤3. 因此f (x )≤6的解集为{x |－1≤x ≤3}．(2)当x ∈R 时，f (x )＋g (x )＝|2x －a |＋a ＋|1－2x |≥3， 即⎪⎪⎪⎪x －a 2＋⎪⎪⎪⎪12－x ≥3－a 2. 又⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪x －a 2＋⎪⎪⎪⎪12－x min ＝⎪⎪⎪⎪12－a 2， 所以⎪⎪⎪⎪12－a 2≥3－a 2，解得a ≥2.所以a 的取值范围是[2，＋∞)．1．已知函数f (x )＝|x －4|＋|x －a |(a ∈R)的最小值为a . (1)求实数a 的值； (2)解不等式f (x )≤5.解：(1)f (x )＝|x －4|＋|x －a |≥|a －4|＝a ， 从而解得a ＝2.(2)由(1)知，f (x )＝|x －4|＋|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋6，x ≤2，2，2＜x ≤4，2x －6，x ＞4.故当x ≤2时，由－2x ＋6≤5，得12≤x ≤2，当2<x ≤4时，显然不等式成立， 当x >4时，由2x －6≤5，得4<x ≤112，故不等式f (x )≤5的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12≤x ≤112.2．(2018·石家庄质检)已知函数f (x )＝|x －3|＋|x ＋m |(x ∈R)． (1)当m ＝1时，求不等式f (x )≥6的解集；(2)若不等式f (x )≤5的解集不是空集，求实数m 的取值范围． 解：(1)当m ＝1时，f (x )≥6等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤－1，－(x －3)－(x ＋1)≥6或⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <3，－(x －3)＋(x ＋1)≥6 或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥3，(x －3)＋(x ＋1)≥6，解得x ≤－2或x ≥4，所以不等式f (x )≥6的解集为{x |x ≤－2或x ≥4}． (2)∵|x －3|＋|x ＋m |≥|(x －3)－(x ＋m )|＝|m ＋3|，∴f (x )min ＝|3＋m |，∴|m ＋3|≤5， 解得－8≤m ≤2，∴实数m 的取值范围为[－8,2]．3．(2018·郑州质检)已知函数f (x )＝|2x ＋1|，g (x )＝|x |＋a . (1)当a ＝0时，解不等式f (x )≥g (x )；(2)若存在x ∈R ，使f (x )≤g (x )成立，求实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝0时，由f (x )≥g (x )，得|2x ＋1|≥|x |， 两边平方整理得3x 2＋4x ＋1≥0， 解得x ≤－1或x ≥－13，故原不等式的解集为(－∞，－1]∪⎣⎡⎭⎫－13，＋∞. (2)由f (x )≤g (x )，得a ≥|2x ＋1|－|x |， 令h (x )＝|2x ＋1|－|x |，则h (x )＝⎩⎨⎧－x －1，x ≤－12，3x ＋1，－12＜x ＜0，x ＋1，x ≥0，故h (x )min ＝h ⎝⎛⎭⎫－12＝－12， 所以实数a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫－12，＋∞. 4．已知函数f (x )＝|4x －a |＋a 2－4a (a ∈R)． (1)当a ＝1时，求不等式－2≤f (x )≤4的解集；(2)设函数g (x )＝|x －1|，若对任意的x ∈R ，f (x )－4g (x )≤6恒成立，求实数a 的取值范围．解：(1)f (x )＝|4x －a |＋a 2－4a ， 当a ＝1时，f (x )＝|4x －1|－3.因为－2≤f (x )≤4，所以1≤|4x －1|≤7，即⎩⎪⎨⎪⎧－7≤4x －1≤7，4x －1≥1或4x －1≤－1，解得－32≤x ≤0或12≤x ≤2，因此－2≤f (x )≤4的解集为⎣⎡⎦⎤－32，0∪⎣⎡⎦⎤12，2. (2)因为f (x )－4g (x )＝|4x －a |＋a 2－4a －4|x －1|≤|4x －a ＋4－4x |＋a 2－4a ＝a 2－4a ＋|4－a |，所以a 2－4a ＋|4－a |≤6，当a ≥4时，a 2－4a ＋a －4≤6，得4≤a ≤5， 当a <4时，a 2－4a ＋4－a ≤6，得5－332≤a <4， 所以实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤5－332，5.5．设函数f (x )＝|x ＋2|－|x －1|. (1)求不等式f (x )＞1的解集；(2)若关于x 的不等式f (x )＋4≥|1－2m |有解，求实数m 的取值范围． 解：(1)函数f (x )可化为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x ≤－2，2x ＋1，－2＜x ＜1，3，x ≥1，当x ≤－2时，f (x )＝－3＜0，不合题意；当－2＜x ＜1时，f (x )＝2x ＋1＞1，得x ＞0，即0＜x ＜1； 当x ≥1时，f (x )＝3＞1，即x ≥1.综上，不等式f (x )＞1的解集为(0，＋∞)．(2)关于x 的不等式f (x )＋4≥|1－2m |有解等价于(f (x )＋4)max ≥|1－2m |，由(1)可知f (x )max ＝3(也可由|f (x )|＝||x ＋2|－|x －1||≤|(x ＋2)－(x －1)|＝3，得f (x )max ＝3)， 即|1－2m |≤7，解得－3≤m ≤4. 故实数m 的取值范围为[－3,4]．6．(2018·东北四市模拟)已知a >0，b >0，函数f (x )＝|x ＋a |＋|2x －b |的最小值为1. (1)证明：2a ＋b ＝2；(2)若a ＋2b ≥tab 恒成立，求实数t 的最大值．解：(1)证明：因为－a <b 2，所以f (x )＝|x ＋a |＋|2x －b |＝⎩⎨⎧ －3x －a ＋b ，x <－a ，－x ＋a ＋b ，－a ≤x ≤b 2，3x ＋a －b ，x >b 2，显然f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，b 2上单调递减，在⎝⎛⎭⎫b 2，＋∞上单调递增，所以f (x )的最小值为f ⎝⎛⎭⎫b 2＝a ＋b 2，所以a ＋b 2＝1，即2a ＋b ＝2. (2)因为a ＋2b ≥tab 恒成立，所以a ＋2b ab≥t 恒成立， a ＋2b ab ＝1b ＋2a ＝12⎝⎛⎭⎫1b ＋2a (2a ＋b ) ＝12⎝⎛⎭⎫5＋2a b ＋2b a ≥12⎝⎛⎭⎫5＋2 2a b ·2b a ＝92. 当且仅当a ＝b ＝23时，a ＋2b ab 取得最小值92， 所以t ≤92，即实数t 的最大值为92. 7．已知函数f (x )＝|x ＋1|－2|x －a |，a >0.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；(2)若f (x )的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，f (x )>1化为|x ＋1|－2|x －1|－1>0.当x ≤－1时，不等式化为x －4>0，无解；当－1<x <1时，不等式化为3x －2>0，解得23<x <1； 当x ≥1时，不等式化为－x ＋2>0，解得1≤x <2.所以f (x )>1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪23<x <2. (2)由题设可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x －1－2a ，x <－1，3x ＋1－2a ，－1≤x ≤a ，－x ＋1＋2a ，x >a .所以函数f (x )的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －13，0，B (2a ＋1,0)，C (a ，a ＋1)，所以△ABC 的面积为23(a ＋1)2. 由题设得23(a ＋1)2>6，故a >2. 所以a 的取值范围为(2，＋∞)．8．已知函数f (x )＝|3x ＋2|.(1)解不等式f (x )<4－|x －1|；(2)已知m ＋n ＝1(m ，n >0)，若|x －a |－f (x )≤1m ＋1n(a >0)恒成立，求实数a 的取值范围． 解：(1)不等式f (x )<4－|x －1|，即|3x ＋2|＋|x －1|<4.当x <－23时，不等式化为－3x －2－x ＋1<4， 解得－54<x <－23； 当－23≤x ≤1时，不等式化为3x ＋2－x ＋1<4， 解得－23≤x <12； 当x >1时，不等式化为3x ＋2＋x －1<4，无解．综上所述，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－54<x <12. (2)1m ＋1n ＝⎝⎛⎭⎫1m ＋1n (m ＋n )＝1＋1＋n m ＋m n ≥4，当且仅当m ＝n ＝12时等号成立． 令g (x )＝|x －a |－f (x )＝|x －a |－|3x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋2＋a ，x <－23，－4x －2＋a ，－23≤x ≤a ，－2x －2－a ，x >a .∴x ＝－23时，g (x )max ＝23＋a ，要使不等式恒成立，只需g (x )max ＝23＋a ≤4， 解得0<a ≤103，所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，103.。

简述不等式的4个基本性质
不等式的基本性质：1、在一个区间上可导，在另一个区间上也可导；2、对于任何实数，都存在至少一个解析式；3、当不等式两边同时乘以或除以一个常数时，所得结果仍然是不等式。

4、如果有增根，那么它们互为相反数。

不等式的解题思路：首先要弄清楚该不等式左右两边到底是什么关系，因此必须从函数的角度考虑问题，即把不等式转化成一般形式，然后再利用各种方法进行求解。

由于不等号两边的关系较复杂，建议大家通过举例来理解和掌握。

在做题过程中，应注意分类讨论的作用，多联想一些与之有关的知识点，能起到事半功倍的效果。