7 第七讲 平行四边形的判定

平行四边形判定方法平行四边形是一种特殊的四边形，拥有特定的性质和判定方法。

在这篇文章中，我将详细介绍平行四边形的定义、性质和判定方法，并提供一些实例来帮助读者更好地理解。

首先，让我们来定义平行四边形。

平行四边形是一种具有两对平行边的四边形。

这意味着它的两对边是严格平行的，永远不会相交。

此外，平行四边形的对角线相互平分，并且交点将对角线分成两个相等的部分。

平行四边形具有许多重要的性质，其中一些可以用来确定一个四边形是否为平行四边形。

1. 边的对应角相等：如果一个四边形的对应边之间的夹角相等，则它是一个平行四边形。

换句话说，如果两个对应边的夹角相等，则它们是平行的。

2. 对边互补：如果一个四边形的两对相对边之间的夹角互补（总和为180度），则它是一个平行四边形。

3. 对角线平分：在一个平行四边形中，对角线相互平分，这意味着它们相交的点将两条对角线分成相等的部分。

基于上述性质，我们有一些判定方法可以用来判断一个四边形是否为平行四边形。

1. 检查边的对应角：找到四边形的两条对应边，计算它们之间的夹角。

如果它们相等，则这个四边形是一个平行四边形。

2. 检查对边相加是否为180度：找到四边形的两对相对边，计算它们之间的夹角。

如果两对夹角之和为180度，则这个四边形是一个平行四边形。

3. 检查对角线是否相互平分：找到四边形的两条对角线，计算它们的交点。

如果交点将两条对角线分成相等的部分，则这个四边形是一个平行四边形。

现在，让我们通过一些实例来应用上述判定方法。

实例1：判断以下四边形是否为平行四边形。

[插入四边形示意图]根据判定方法1，我们计算对应边之间的夹角。

夹角A = 夹角C = 60度夹角B = 夹角D = 120度根据计算结果可知，对应边之间的夹角不相等，因此这个四边形不是一个平行四边形。

实例2：判断以下四边形是否为平行四边形。

[插入四边形示意图]根据判定方法2，我们计算相对边之间的夹角的和。

夹角A + 夹角C = 60度+ 120度= 180度夹角B + 夹角D = 120度+ 60度= 180度根据计算结果可知，两对相对边之间的夹角和相等，因此这个四边形是一个平行四边形。

平行四边形判定方法
平行四边形是一种特殊的四边形，具有一些独特的性质。

在几何学中，我们经常需要判定一个四边形是否为平行四边形，本文将介绍几种判定平行四边形的方法。

首先，我们可以通过四边形的对边是否平行来判定它是否为平行四边形。

如果一个四边形的对边是平行的，那么它就是一个平行四边形。

这是平行四边形的最基本的判定方法，也是最直观的方法之一。

其次，我们可以通过四边形的对角线是否相等来判定它是否为平行四边形。

如果一个四边形的对角线相等，那么它就是一个平行四边形。

这个方法常用于菱形和正方形的判定，因为菱形和正方形都是特殊的平行四边形。

另外，我们还可以通过四边形的内角是否相等来判定它是否为平行四边形。

如果一个四边形的内角相等，那么它就是一个平行四边形。

这个方法常用于矩形和正方形的判定，因为矩形和正方形都是特殊的平行四边形。

最后，我们可以通过四边形的对边是否相等和对角线是否平分对角来判定它是否为平行四边形。

如果一个四边形的对边相等且对角线平分对角，那么它就是一个平行四边形。

这个方法常用于菱形的判定，因为菱形具有这样的特点。

在实际问题中，我们可以根据需要选择合适的方法来判定一个四边形是否为平行四边形。

有时候，我们需要结合多种方法来进行判定，以确保结果的准确性。

总之，判定一个四边形是否为平行四边形，需要我们熟练掌握几种方法，并在实际问题中灵活运用。

希望本文介绍的方法能够对大家有所帮助。

平行四边形的性质与判定一、平行四边形的性质1.对边平行且相等：平行四边形的对边分别平行且相等。

2.对角相等：平行四边形的对角线互相平分，且对角线交点将平行四边形分为两个相等的三角形，这两个三角形的角相等。

3.对角线互相平分：平行四边形的对角线互相平分，即平行四边形的对角线交点是对角线中点的两倍。

4.相邻角互补：平行四边形的相邻角互补，即它们的和为180度。

5.对边角相等：平行四边形的对边角相等，即平行四边形的对边上的角相等。

6.对角线所在的平行线间的距离相等：平行四边形的对角线所在的平行线间的距离相等。

二、平行四边形的判定1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

4.对角线互相平分的四边形是平行四边形。

5.相邻角互补的四边形是平行四边形。

6.对边角相等的四边形是平行四边形。

7.对角线所在的平行线间的距离相等的四边形是平行四边形。

8.矩形：矩形是四个角都是直角的平行四边形。

9.菱形：菱形是四条边都相等的平行四边形。

10.正方形：正方形是四个角都是直角且四条边都相等的平行四边形。

四、平行四边形的应用1.计算平行四边形的面积：平行四边形的面积可以通过底边长乘以高得到。

2.证明平行四边形的性质：利用平行四边形的性质证明四边形的形状或关系。

3.解决实际问题：应用平行四边形的性质解决生活中的实际问题，如设计图形、计算面积等。

知识点：__________习题及方法：1.习题：已知ABCD是平行四边形，AB=6cm，AD=4cm，求BC和CD 的长度。

答案：BC和CD的长度分别为6cm和4cm。

解题思路：根据平行四边形的性质，对边相等，所以BC=AD=4cm，CD=AB=6cm。

2.习题：在平行四边形ABCD中，∠B=60°，求∠D的度数。

答案：∠D的度数为120°。

解题思路：根据平行四边形的性质，相邻角互补，所以∠D=180°-∠B=120°。

鉴识平行四边形的基本方法怎样鉴识一个四边形是平行四边形呢 ?下面举例予以说明 .一、运用“两条对角线互相均分的四边形是平行四边形”判别例 1 如图 1,在平行四边形 ABCD 中,E、F 在对角线 AC 上,A D 且 AE =CF ,试说明四边形 DEBF 是平行四边形 .E解析:由于已知条件与对角线有关，故考虑运用“两条对角线互相均分的四边形是平行四边形”进行鉴识 .为此 ,需连接 BD.解：连接 BD 交 AC 于点 O.OF B C图 1由于四边形 ABCD 是平行四边形 ,因此 AO =CO,BO=DO . 又 AE= CF,因此 AO -AE=CO -CF ,即 EO= FO .因此四边形 DEBF 是平行四边形 .二、运用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”鉴识例 2 如图 2，是由九根完满同样的小木棒搭成的图形，请A F E你指出图中所有的平行四边形，并说明原由 .解析:设每根木棒的长为 1 个单位长度，则图中各四边形的B C D边长即可求得，故应试虑运用“两组对边分别相等的四边形是平图 2行四边形”进行鉴识 .解：设每根木棒的长为 1 个单位长度，则AF = BC=1, AB= FC=1,因此四边形 ABCF 是平行四边形 .同样可知四边形 FCDE 、四边形 ACDF 都是平行四四边形 .由于 AE=DB=2, AB=DE=1,因此四边形 ABDE 也是平行四边形.D C 三、运用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”判F别E 例 3 如图 3，E、F 是四边形 ABCD 的对角线 AC 上的两A B点，AE=CF,DF =BE,DF ∥BE，试说明四边形 ABCD 是平行四边图 3形.解析: 题目给出的条件都不能够直接鉴识四边形 ABCD 是平行四边形，但仔细观察可知，由已知条件可得△ ADF ≌△CBE，由此即可获得鉴识平行四边形所需的“一组对边平行且相等”的条件 .解：由于 DF∥BE，因此∠ AFD =∠CEB .由于 AE =CF,因此 AE+ EF= CF+ EF ，即 AF= CE .又 DF = BE, 因此△ ADF ≌△CBE，因此 AD=BC，∠DAF =∠BCE，因此 AD ∥BC .因此四边形 ABCD 是平行四边形 .1四、运用 “两组对边分别平行的四边形是平行四边形 ”鉴识 例 4 如图 4，在平行四边形 ABCD 中，∠ DAB 、∠BCD 的均分线分别交 BC 、AD 边于点 E 、F ，则四边形 AECF 是平行 四边形吗？为什么？AF1 3D解析：由平行四边形的性质易得 AF ∥EC ，又题目中给出 的是有关角的条件，借助角的条件可获得平行线，故本题应试2B E C虑运用 “两组对边分别平行的四边形是平行四边形 ”进行鉴识 . 图 4解：四边形 AECF 是平行四边形 .原由：由于四边形 ABCD 是平行四边形，因此 AD ∥BC ， ∠DAB =∠BCD ，因此 AF ∥EC .又由于∠ 1= 1 2∠DAB ，∠2= 1 2∠BCD ，因此∠ 1=∠2.由于 AD ∥BC ，因此∠ 2=∠3， 因此∠ 1=∠3，因此 AE ∥CF. 因此四边形 AECF 是平行四边形 .判断平行四边形的五种方法平行四边形的判断方法有： （1）证两组对边分别平行； （2）证两组对边分别相等； （3）证一组对边平行且相等； （4）证对 角线互相均分； （5）证两组对角分别相等。

判别平行四边形的基本方法如何判别一个四边形是平行四边形呢?下面举例予以说明.一、运用“两条对角线互相平分的四边形是平行四边形”判别例1 如图1,在平行四边形ABCD中,E、F在对角线AC上,且AE=CF,试说明四边形DEBF是平行四边形.分析:由于已知条件与对角线有关，故考虑运用“两条对角线互相平分的四边形是平行四边形”进行判别.为此,需连接BD.解：连接BD交AC于点O.因为四边形ABCD是平行四边形,所以AO=CO,BO=DO. 又AE=CF,所以AO-AE=CO-CF,即EO=FO.所以四边形DEBF是平行四边形.二、运用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”判别例2 如图2，是由九根完全一样的小木棒搭成的图形，请你指出图中所有的平行四边形，并说明理由.分析:设每根木棒的长为1个单位长度，则图中各四边形的边长便可求得，故应考虑运用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”进行判别.解：设每根木棒的长为1个单位长度，则AF=BC=1,AB=FC=1,所以四边形ABCF是平行四边形.同样可知四边形FCDE、四边形ACDF都是平行四四边形.因为AE=DB=2,AB=DE=1,所以四边形ABDE也是平行四边形.三、运用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”判别例3 如图3，E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF,DF=BE,DF∥BE，试说明四边形ABCD是平行四边形.分析: 题目给出的条件都不能直接判别四边形ABCD是平行四边形，但仔细观察可知，由已知条件可得△ADF≌△CBE，由此就可得到判别平行四边形所需的“一组对边平行且相等” 的条件.解：因为DF∥BE，所以∠AFD=∠CEB.因为AE=CF,所以AE+EF=CF+EF，即AF=CE.又DF=BE,所以△ADF≌△CBE，所以AD=BC，∠DAF=∠BCE，所以AD∥BC.所以四边形ABCD是平行四边形.四、运用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”判别例4 如图4，在平行四边形ABCD中，∠DAB、∠BCD的平分线分别交BC、AD 边于点E、F，则四边形AECF是平行四边形吗？为什么？分析：由平行四边形的性质易得AF∥EC，又题目中给出的是有关角的条件，借助角的条件可得到平行线，故本题应考虑运用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”进行判别.解：四边形AECF是平行四边形.图1图2AB C DEF图3AB CDEF图41 32理由：因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AD ∥BC ，∠DAB =∠BCD ， 所以AF ∥EC .又因为∠1=21∠DAB ，∠2=21∠BCD ， 所以∠1=∠2.因为AD ∥BC ，所以∠2=∠3， 所以∠1=∠3，所以AE ∥CF . 所以四边形AECF 是平行四边形.判定平行四边形的五种方法平行四边形的判定方法有：（1）证两组对边分别平行；（2）证两组对边分别相等；（3）证一组对边平行且相等；（4）证对角线互相平分；（5）证两组对角分别相等。

第7讲平行四边形知识点1 一般的平行四边形1. 平行四边形的性质与判定定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.平行四边形的性质：如图，已知▱ABCD.则①AB∥CD，AD∥BC，AB=CD，AD=BC;②∠DAB=∠DCB,∠ADC=∠ABC;③OA=OC,OB=OD.拓展：①平行四边形的邻角互补；②平行四边形具有中心对称性（自身旋转180°后与原图形重合）.平行四边形的判定方法：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.2. 两条平行线之间的距离两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离.如图：AB∥CD，EF⊥CD.EF是平行线AB，CD之间的距离.结论：两条平行线之间的距离处处相等.拓展：同底（等底）等高（同高）的平行四边形面积相等.3. 三角形的中位线图形：D，E分别为△ABC的边AB，AC的中点.定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.（DE）中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半.（DE∥BC，且DE=BC）注：三角形的中位线定理可利用平行四边形的性质与判定进行证明.（见课本P48探究）拓展：梯形的中位线（两腰中点的连线）等于上底加下底和的一半. （连接梯形一条对角线，由中位线定理可证）【典例】1.如图，在四边形ABCD中，AB=CD，E，F分别是AD，BC的中点，连接FE并延长，分别与BA，CD的延长线交于点M，N．求证：∠BME=∠CNE.（提示：取BD的中点H，连接FH，HE作辅助线）2.如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，AE=CF，连接AF，BF，DE，CE，分别交于H、G．求证：（1）四边形AECF是平行四边形．（2）EF与GH互相平分．【方法总结】经典模型：如图，E，F分别是四边形ABCD的边AD，BC的中点，连接FE并延长，分别与BA，CD 的延长线交于点M，N．若AB=CD，则∠BME=∠CNE.方法：要证明线段（或角）相等、两直线平行等，若这两条线段在一个四边形中，一般先判定这个四边形为平行四边形，然后再利用平行四边形的性质去解决.【随堂练习】1.如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交于点O，若S△ABD=10cm2，S△ACD为（）A. 5B. 10C. 20D. 无法确定2.如图所示，在四边形ABCD中，AD=BC，P是对角线BD的中点，M是DC的中点，N 是AB的中点．则△PMN的形状是（）A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 等腰直角三角形D. 任意三角形3.如图，△ABC的周长为19，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为M，若BC=7，则MN的长度为（）A. B. 2 C. D. 34.如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC，若AB=4，AC=6，则BD的长是（）A. 8B. 9C. 10D. 115.如图，△ABC是等边三角形，点P是三角形内的任意一点，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，若△ABC的周长为12，则PD+PE+PF=（）A. 8B. 6C. 4D. 36.如图，在平行四边形ABCD中，AB=6cm，AD=10cm，点P在AD 边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止），在运动以后，以P、D、Q、B四点组成平行四边形的次数有（）A. 1 次B. 2次C. 3次D. 4次知识点2 矩形矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.如图：矩形ABCD.1. 矩形的性质矩形除了具有平行四边形的所有性质外，还具有自己特有的性质，如下：①矩形的四个角都是直角；（∠BAD=∠ADC=∠DCB=∠CBA=90°）②矩形的对角线相等；（AC=BD）③对称性：矩形是一个轴对称图形，它有两条对称轴.（对称轴是对边中点的连线）推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.（在Rt△ADC中，DO为斜边AC的中线，则DO=AC）拓展：若三角形一边上的中线等于该边的一半，则该三角形为直角三角形.2. 矩形的判定矩形的判定方法：①有一个角时直角的平行四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形；③三个角都是直角的四边形是矩形.3. 拓展矩形的两条对角线把矩形分成四个面积相等的等腰三角形.【典例】1.如图，在△ABC中，AC=9，AB=12，BC=15，P为BC边上一动点，PG⊥AC于点G，PH⊥AB于点H．（1）求证：四边形AGPH是矩形；（2）在点P的运动过程中，GH的长度是否存在最小值？若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由．【方法总结】方法：矩形的两条对角线相等，当求其中一条对角线的长（最小值或取值范围）时，可以转化为求另一条对角线的长（最小值或取值范围）.总结：证明一个四边形是不是矩形，有两条证明思路：①直接证明（证明该四边形有3个直角）；②先证该四边形为平行四边形，再证明它是矩形（有一个角相等或对角线相等）.【随堂练习】1.如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，AC=10，F是DE上一点，连接AF，CF，DF=1．若∠AFC=90°，则BC的长度为（）A. 10B. 12C. 14D. 162.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点E，点F分别是AC，BC的中点，D是斜边AB上一点，则添加下列条件可以使四边形DECF成为矩形的是（）A. ∠ACD=∠BCDB. AD=BDC. CD⊥ABD. CD=AC3.矩形ABCD与CEFG如图放置，点B，C，E共线，点C，D，G共线，连接AF，取AF的中点H，连接GH．若BC=EF=2，CD=CE=1，则GH的值为（）A. 1B.C.D.4.如图：点P是Rt△ABC斜边AB上的一点，PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，BC=15，AC=20，则线段EF的最小值为（）A. 12B. 6C. 12.5D. 25知识点3 菱形菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 如图：菱形ABCD.1. 菱形的性质菱形除了具有平行四边形的所有性质外，还具有自己特有的性质，如下：①菱形的四条边都相等；（AB=BC=CD=AD）②菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；（AC⊥BD，AC是∠DAB 和∠DCB的角平分线，BD是∠ADC和∠CBA的角平分线）③对称性：菱形是一个轴对称图形，它有两条对称轴.（对称轴是它的两条对角线所在的直线（AC，BD））2. 菱形的判定菱形的判定方法：①有一组邻边相等的平行四边形是菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形；③四条边相等的四边形是矩形.3. 拓展①菱形的两条对角线把菱形分成四个全等的直角三角形；②菱形的面积等于两对角线乘积的一半.【典例】1.如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AE∥BD，BE∥AC，OE=CD.（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若OE=2，OA=1，求四边形ABCD的面积．【方法总结】方法：判定一个四边形是不是菱形，从2个角度出发：①四边形，直接证明四条边都相等或对角线互相垂直平分；②先证四边形为平行四边形，再证有一组邻边相等或对角线互相垂直. 【随堂练习】1.如图，已知四边形ABCD的四边相等，等边△AMN的顶点M、N分别在BC、CD上，且AM=AB，则∠C为（）A. 100°B. 105°C. 110°D. 120°2.如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F．若BF=12，AB=10，则AE的长为（）A. 10B. 12C. 16D. 183.如图，△ABC是边长为2的等边三角形，将△ABC沿射线BC向右平移到△DCE，连接AD、BD，下列结论错误的是（）A. AD=BCB. BD⊥DEC. 四边形ACED是菱形D. 四边形ABCD的面积为4知识点4 正方形正方形：有一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形. 如图：正方形ABCD.1. 正方形的性质正方形除了具有平行四边形的所有性质外，还具有矩形和菱形的所有性质，如下：①正方形的对边平行且相等；（AB∥CD，AB=CD；BC∥AD，BC=AD）②正方形的四条边都相等；（AB=BC=CD=AD）③正方形的四个角都是直角；（∠BAD=∠ADC=∠DCB=∠CBA=90°）④正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角；（AC=BD，AC⊥BD，OA=OB=OC=OD，AC是∠DAB和∠DCB的角平分线，BD是∠ADC和∠CBA 的角平分线）⑤对称性：正方形是一个轴对称图形，它有四条对称轴.（对称轴是它对边中点的连线和它的两条对角线所在的直线（AC，BD））2. 正方形的判定正方形的判定方法：①有一组邻边相等的矩形是正方形；②有一个角是直角的菱形是正方形.判定正方形的思路图：3. 拓展正形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形.【典例】1.如图，已知四边形ABCD为正方形，AB=，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE．交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．（1）求证：矩形DEFG是正方形；（2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．【方法总结】正方形的证明思路：①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形是菱形；②先判定四边形是菱形，在判定这个菱形是矩形.【随堂练习】1.平行四边形ABCD的对角线交于点O，有五个条件：①AC=BD，②∠ABC=90°，③AB=AC，④AB=BC，⑤AC⊥BD，则下列哪个组合可判别这个四边形是正方形（）A. ①②B. ①③C. ①④D. ④⑤2.如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，得到下面四个结论：①OA=OD；②AD⊥EF；③当∠BAC=90°时，四边形AEDF是正方形；④AE2+DF2=AF2+DE2．其中正确的是（）A. ②③B. ②④C. ②③④D. ①③④3.如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE=DF，AE，BF相交于点O，下列结论①AE=BF；②AE⊥BF；③AO=OE；④S△AOB=S四边形DEOF中，正确结论的个数为（）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个4.如图，正方形ABCD的边长为4，点E是正方形外一动点，∠AED=45°，P为AB的中点，当E运动时，线段PE的最大值为（）A. 4B.C. 2+2D. 2+2知识点4 中点四边形1. 中点四边形：顺次连接四边形各边中点所得的四边形，我们称之为中点四边形.如图，点E，F，G，H分别为四边形ABCD各边的中点，则四边形EFGH为中点四边形.2. 常见中点四边形①四边形的中点四边形为平行四边形；②矩形的中点四边形为菱形；③菱形的中点四边形为矩形；④正方形的中点四边形为正方形；⑤等腰梯形的中点四边形为菱形；⑥对角线相等的中点四边形为菱形；⑦对角线互相垂直的中点四边形为矩形.【典例】1.观察探究，解决问题．在四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA 的中点，顺次连接E、F、G、H得到的四边形EFGH叫做中点四边形．（1）如图，求证：中点四边形EFGH是平行四边形；（2）请你探究并填空：①当四边形ABCD变成平行四边形时，它的中点四边形是_______________；②当四边形ABCD变成矩形时，它的中点四边形是__________________；③当四边形ABCD变成正方形时，它的中点四边形是________________；【方法总结】总结：依次连接四边形各边中点所得到的新四边形的形状与原四边形对角线的关系有关.①若两对角线相等，新四边形为菱形；②若两对角线互相垂直，新四边形为矩形；③若两对角线相等且互相垂直，新四边形为正方形.【随堂练习】1.已知E、F、G、H四点分别是平行四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，若四边形EFGH是菱形，则下列结论：①∠A=90°；②AB=BC；③AC=BD；④AC⊥BD.其中正确的是（）A. ①②B. ①③C. ②④D. ③④2.某花木场有一块如等腰梯形ABCD的空地（如图），各边的中点分别是E、F、G、H，用篱笆围成的四边形EFGH场地的周长为40cm，则对角线AC的长度为（）A. 20cmB. 15cmC. 10cmD. 5cm3. 如图，任意四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，对于四边形EFGH的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（）A. 当E，F，G，H是各边中点，且AC=BD时，四边形EFGH为菱形B. 当E，F，G，H是各边中点，且AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形C. 当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH可以为平行四边形D. 当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH不可能为菱形综合运用1.在一次数学课上，张老师出示了一个题目：“如图，▱ABCD的对角线相交于点O，过点O作EF垂直于BD交AB，CD分别于点F，E，连接DF，BE．请根据上述条件，写出一个正确结论．”其中四位同学写出的结论如下：小青：OE=OF；小何：四边形DFBE是正方形；小夏：S四边形AFED=S四边形FBCE；小雨：∠ACE=∠CAF．这四位同学写出的结论中不正确的是__________.2.如图，在四边形ABCD中，AC=BD=9，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，EG2+FH2=____________.3.如图，在△ABC中，F是BC边的中点，D是AC边上一点，E是AD的中点，直线FE交BA的延长线于点G，若AB=DC=2，∠FEC=45°，求FE的长度．（提示：取BD的中点H，连接FH，HE作辅助线）4.如图，等边△ABC的边长是2，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF=BC，连接CD和EF．（1）求证：四边形CDEF是平行四边形；（2）求四边形BDEF的周长．5.在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD上，CF=AE，连接BF，AF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若AF平分∠BAD，且AE=3，DE=4，求矩形BFDE的面积．6.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O．过点C作BD的平行线，过点D 作AC的平行线，两直线相交于点E．（1）求证：四边形OCED是矩形；（2）若CE=1，DE=2，求菱形ABCD的面积．7.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D，F分别是AC，AB的中点，CE∥DB，BE∥DC. （1）求证：四边形DBEC是菱形；（2）若AD=3，DF=1，求四边形DBEC面积．8.如图，在矩形ABCD中，AD=6，DC=8，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，DA上，AH=2，连接CF．（1）若DG=2，求证：四边形EFGH为正方形；（2）若DG=6，求△FCG的面积．21。