基于时变时滞动态拓扑的二阶Leader-Following多智能体一致性分析

多智能体系统一致性综述一 引言多智能体系统在20世纪80年代后期成为分布式人工智能研究中的主要研究对象。

研究多智能体系统的主要目的就是期望功能相对简单的智能体系统之间进行分布式合作协调控制，最终完成复杂任务。

多智能体系统由于其强健、可靠、高效、可扩展等特性，在科学计算、计算机网络、机器人、制造业、电力系统、交通控制、社会仿真、虚拟现实、计算机游戏、军事等方面广泛应用。

多智能体的分布式协调合作能力是多智能体系统的基础，是发挥多智能体系统优势的关键，也是整个系统智能性的体现。

在多智能体分布式协调合作控制问题中，一致性问题作为智能体之间合作协调控制的基础，具有重要的现实意义和理论价值。

所谓一致性是指随着时间的演化，一个多智能体系统中所有智能体的某一个状态趋于一致。

一致性协议是智能体之间相互作用、传递信息的规则，它描述了每个智能体和其相邻的智能体的信息交互过程。

当一组智能体要合作共同去完成一项任务，合作控制策略的有效性表现在多智能体必须能够应对各种不可预知的形式和突然变化的环境，必须对任务达成一致意见，这就要求智能体系统随着环境的变化能够达到一致。

因此，智能体之间协调合作控制的一个首要条件是多智能体达到一致。

近年来，一致性问题的研究发展迅速，包括生物科学、物理科学、系统与控制科学、计算机科学等各个领域都对一致性问题从不同层面进行了深入分析，研究进展主要集中在群体集、蜂涌、聚集、传感器网络估计等问题。

目前，许多学科的研究人员都开展了多智能体系统的一致性问题的研究，比如多智能体分布式一致性协议、多智能体协作、蜂涌问题、聚集问题等等。

下面，主要对现有文献中多智能体一致性协议进行了总结，并对相关应用进行简单的介绍。

1.1 图论基础多智能体系统是指由多个具有独立自主能力的智能体通过一定的信息传递方式相互作用形成的系统；如果把系统中的每一个智能体看成是一个节点，任意两个节点传递的智能体之间用有向边来连接的话，智能体的拓扑结构就可以用相应的有向图来表示。

二阶多个体系统控制受限下的无碰撞速度一致性问题史玉石;朱建栋;陈腾【摘要】In this paper, for multi-agent systems with the second-order integrator dynamics, the velocity consensus problem with collision avoidance and amplitude constraint of control is investigated. Using a new energy function, a nonlinear control protocol is proposed. Under some conditions, the following three points are achieved; (I) all the agents' velocity vectors reach agreement asymptotically; (ii) there is no collision among the agents; (iii) the amplitude of control input is bounded by an expected value. These contributions generalize the results on consensus to the case of constrained control.%针对具有二阶积分器动态的多个体网络系统,研究了控制输入幅值受限情况下的无碰撞速度一致性问题.利用所给出的一个新的能量函数,提出了一个非线性控制协议,在一定条件下,实现了如下几点:1.每个个体的速度渐近地趋于一致；2.个体之间没有碰撞发生；3.控制输入的幅值不超过期望的界限.将已有的关于无碰撞速度一致性问题的研究成果推广到了控制输入幅值受限的情形.【期刊名称】《南京师大学报（自然科学版）》【年(卷),期】2011(034)004【总页数】6页(P33-38)【关键词】二阶动态系统;无碰撞;控制受限;速度一致性【作者】史玉石;朱建栋;陈腾【作者单位】南京理工大学紫金学院,江苏南京210046;南京师范大学数学科学学院,江苏南京210046;南京师范大学数学科学学院,江苏南京210046【正文语种】中文【中图分类】O231.1近些年来，关于多个体系统运动的一致性问题引起了相关研究人员的极大关注．比如多个运动的智能机器人［1］、无人驾驶的飞机［2］，每个个体自身都有相同的或相似的动态方程，且不同个体之间可能有信息传递发生．它们各自要完成的任务，就是借助从其他个体那里得到信息，通过控制协议使自身的状态渐近地与其他个体的状态趋于一致．人们所要做的就是利用个体自身的动态方程和个体间信息传递的网络拓扑结构，设计控制输入协议，最终实现群体的一致性．因其广泛的实际应用背景，引起了控制理论界的广泛兴趣，并取得了丰硕的研究成果．关于具有一阶动态的多个体系统的一致性问题，比较早的文献可见［3-5］，文献［3］基于有向图对一致性问题建立了一个理论框架，并考虑了切换拓扑及信息传输时滞问题．针对固定拓扑情形，提出了一个线性控制协议，给出闭环系统实现一致性的一个充分条件，即有向图的强连通性．文献［4］则进一步给出了一致性的充要条件，即在有向图中存在有向生成树．文献［5］也给出了等价的结果．根据牛顿第二定律建立的数学模型往往是二阶动态方程，因此对二阶动态多个体系统的研究更具有实际意义．文献［6，7］较早地关注了这类问题，其中文献［6］提出了一种线性一致性协议，文献［7］提出了带有调节参数的控制协议，指出了闭环系统的一致性不仅与信息传输网络的拓扑结构有关，并且与参数的选择有关，得到实现一致性的一个充分条件．文献［8］则把一致性算法应用到了小车的编队控制中．［9］给出了更一般形式的控制协议，得到了一致性的充要条件，通过选择不同的参数，可得到不同形式的一致性状态．文献［10］在［9］的基础上又提出了加权平均一致性协议，并推广了［9］中的相关结果．此外，针对不同的二阶多个体系统模型，出现了许多优秀的研究成果，比如文献［11］考虑了随机切换拓扑情形，给出了新的一致性条件．在文献［12］中，假定位置信息和速度信息的传递网络拓扑可以是不同的，并给出有界的控制协议，使个体最终位置向量和速度分量各自趋于一致．近年来，群集运动的无碰撞一致性问题受到了研究人员的重视．具有相同动态方程的智能群体，通过所设计的控制协议使得智能群体的运动状态渐近地实现一致性，并且在运动的过程中个体之间没有碰撞发生．Tanner等在［13，14］中利用势场法和力学分析技巧，考虑了基于无向信息传输网络的智能群体群集运动控制问题，既涉及到固定拓扑情形，也包括切换拓扑情形．文献［15］基于结构能量函数和一致性协议提出了无向切换网络的群集运动控制算法，并讨论了避障和跟踪问题．文献［16］则利用一个新的能量函数，设计了一个新的群集运动无碰撞控制协议．需要提出的是，对无碰撞的一致性问题，一般考虑的是无向网络，所设计的控制协议也是非线性的．无碰撞的要求在编队控制中同样存在．在实际应用中，控制输入往往受到幅值或能量方面的限制．研究输入受限下的控制问题也更具有实际意义，这也是多年来控制理论领域的一个研究热点．文献［17］对二阶动态多个体系统提出了一个有界控制输入协议，并对输入上界进行了估计，但文中没有涉及无碰撞的要求．能否借鉴［17］中设计有界控制协议的思想在群集控制中设计输入受限的无碰撞一致性协议呢?本文正是围绕这一问题展开研究．关于这方面的研究成果还未见报道．本文对二阶多个体系统，给出了一种控制受限的控制输入协议．根据控制输入的界值，可以设定控制器中的参数，确定系统初值的范围，保证了控制受限下闭环系统实现速度一致性．文中个体系统的不同状态分量信息传递的网络拓扑结构可以是不同的．其中 ri，vi，ui∈Rm，i∈I，m ≥1．ri为个体i的位置向量，vi为个体i的速度向量，ui为控制输入项．个体间位置向量的信息传递网络为无向图G(A)，速度向量的信息传递网络为无向图G(B)，两者之间的拓扑结构不一定相同，即A≠B．因为G(A)，G(B)都是无向网络拓扑，所以A=［aij］，B=［bij］均是对角线上各元素为0，其余元素不全为0的对称矩阵．设计控制输入ui时，只能利用个体i的自身信息及在信息传递网络中所能直接接收的信息．定义1［16］本文所谓的控制受限的无碰撞速度一致性问题即为设计ui，使得整个闭环的网络系统满足(i)速度渐近实现一致，即|vi(t)-vj(t)|→0，t→∞，∀i，j∈I;(ii)个体之间无碰撞发生，即|ri(t)-rj(t)|≠0，∀t∈［0，+∞)，∀i≠j;(iii)控制受限，即|ui(t)|≤M，t∈［0，+∞)，其中M是控制项的幅值上界．为了设计控制协议，首先引入一个引理:引理函数(其中a，d都是常数)及其导数在x≥0时有如下性1考虑由n个个体构成的多个体系统，每个个体的动态方程为如下二阶积分器质: (I)φ(x)当x=0时有最大值时有最小值0，且 x＞d时，φ(x)＜1．1(II)φ(x)关于x的导数为当x＞ d1时，ψ(x)＞0;当时，ψ(x)有最大值时，ψ(x)有最小值图1为函数及其导数当a=1，d=2，1 x∈［0，20］时的图像．证明 (I)因为，不难看出，当且仅当 x=d1时，φ(x)=0，此时φ(x)值最小．又因为0＜a＜d1，所以当 x＞d1时，0＜x-d1＜x+a，则1．而在［0，d］区间内φ(x)为减函数，1因此当x=0时φ(x)有最大值(II)φ(x)的导数为再对其求导，易知ψ(x)在上为增函数，在上为减函数．因此当有最大值，为当x=0时，ψ(x)有最小值为(III)比较的大小，因为0＜a＜d1，则又因为所以本文中假设位置信息传递和速度信息传递的网络G(A)和G(B)的拓扑结构都是固定的，我们提出如下控制协议其中K1，K2＞0，tanh(·)为双曲正切函数，-1≤tanh(·)≤1．向量的双曲正切函数等于每个对应分量的双曲正切函数组成的向量，即若x=(x1，x2，…，xn)T，则tanh(x)=(tanhx1，tanhx2，…，tanhxn)T．从控制协议的形式看，ui只用到了个体自身的信息及网络中所能接收的信息．下面给出本文的主要结果．定理考虑由n个个体组成的多个体系统，每个个体的动态方程由(1)式表示．设位置信息传递网络G(A)为一个完全图，速度信息传递的网络G(B)为一个连通图．假设每个个体的初始位置满足0＜d1初始速度满足，令取K1=，则在控制协议(3)下，定义1所描绘的控制受限的无碰撞速度一致性问题可解．其中证明由于当 j∉Ni(A)时，aij=0，当 j∉Ni(B)时，bij=0，故由引理可知因为l所以再设计Lyapunov函数易知V≥0，对上函数求导，有根据Lasalle不变集原理，闭环系统的状态将收敛到若˙V=0，可得当bij≠0时，(vi-vj)Ttanh(vi-vj)=0，即vi=vj．又因G(B)为连通图，所以若˙V=0，有综之，对有，即速度向量渐近趋于一致．要证明个体之间没有碰撞发生，只需证对∀t≥0，i，j∈I，|ri(t)-rj(t)|不能为0．下面用反证法证明这一结果．假设在某时刻 t1，有某两个个体i1、i2有碰撞发生，即有 |ri1(t1)-ri2(t1)|=0，则有由引理可知将代入上式得又因为，则由引理可知将代入上式得则由(5)和(7)式可知这与V是非增的单调函数矛盾．因此对于任意时刻t和任两个结点i，j∈I，都不存在|ri(t)-rj(t)|=0的情形，所以个体之间是无碰撞的．定理得证．考虑4个个体的拓扑结构，每个个体有如(1)式的二阶动态系统，若位置信息传递网络拓扑结构和速度信息传递网络拓扑结构如图2所示，它们的赋权邻接矩阵分别为则有 n=4，am=0.9，aM=2.8，aA=11.2，bM=5．若令m=2，即位置分量、速度分量和控制输入均为二维的;再令，即，则有1，即有 d1=1，由定理得l=5 即．取 K2=5，则令初始速度为仿真时间为5，图3为ui的仿真结果．可以看出ui取值严格限制在(-50，50)之间，即满足条件|ui|＜50．随着各个个体速度分量趋于一致后，ui的值趋向于0．图4和图5为个体各状态分量随时间变化的仿真结果．由图可以看出4个个体的速度最终趋于一致，且个体间保持一定的距离，无碰撞发生．本文研究具有二阶动态系统的多个体系统，设计有期望幅值界限的控制协议，使得最终所有个体渐近地取得相同的速度向量，且个体两两之间没有碰撞发生．有向网络拓扑结构下的多个体系统控制受限下的协议设计还有待进一步研究．【相关文献】［1］ Fax J A，Murray R M．Information flow and cooperative control of vehicle formations［J］．IEEE Trans Automat Control，2004，49(9):1 465-1 476．［2］ Lian Z T，Deshmukh A．Performance prediction of an unmanned airborne vehicle multi-agent systems［J］．European Journal of Operational Research，2006，172(2):680-695．［3］ Saber R O，Murray R M．Consensus problems in networks of agents with switching topology and time delays［J］．IEEE Trans Automat Control，2004，49(9):1 520-1 533．［4］ Ren W，Beard R W．Consensus seeking in multi-agent systems under dynamically changing interaction topologies［J］．IEEE Trans Automat Control，2005，50(5):655-661．［5］ Lin Z Y，Francis 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第31卷第1期2021年3月湖南工程学院学报Journal of Hunan Institute of EngineeringVol.31.No.1March 2021罗毅平，蔡聪，肖星，林国汉（湖南工程学院电气与信息工程学院，湘潭411104）摘要：针对一类时滞二阶多智能体系统领导跟随模型，研究了在无向拓扑结构下一类二阶多智能体系统领导跟随一致性控制问题.考虑系统内部非线性因素，在给定事件触发策略的条件下，设计了与时滞相关的控制器，通过矩阵不等式等分析技术，利用lyapunov-krasovskii 稳定性定理得到了该系统实现一致性的充分条件.最后，在仿真阶段验证了控制器设计的合理性.关键词：事件触发；二阶多智能体系统；一致性；输入时滞；非线性中图分类号：TP13∶TP18文献标识码：A文章编号：1671-119X （2021）01-0001-07收稿日期：2020-09-26项目基金：国家自然科学基金资助项目（11972156）；湖南省自然科学基金资助项目（2017JJ4004）；湖南省研究生科研创新项目（CX20190958）；湖南省教育厅科研资助项目（19A117）.作者简介：罗毅平（1966-），男，博士，教授，研究方向：复杂网络、多智能体系统.二阶领导跟随多智能体系统事件触发一致性0前言多智能体系统一致性在许多领域有着广泛的应用，如电网［1］、无人机编队［2-3］、生物系统［4］等领域.由于其通信成本低、效率高，受到了大量科研人员的关注，成为了控制领域的研究热点.大量科研人员投入到智能体的研究热潮中，并通过不同的角度、不同的模型充分地研究一阶多智能体系统，并获得了许多成果［5-7］.然而在上述成果中，考虑的都是一阶智能体系统.但在实际应用中，大多数都是二阶甚至高阶系统，仅仅考虑位移一致性是远远不够的，特别是同时受位置和速度控制的智能体，比如编队控制中的无人机，必须同时保证智能体的位移和速度一致，才能精确地保证状态一致.Ren 等［8］也指出二阶智能体系统与一阶系统不同，生成树的存在并不是二阶智能体系统实现一致的充要条件.由此表明，将一阶一致性算法简单地应用在二阶系统上是不合适的，换句话说，从一阶系统扩展到二阶系统，并不是在一阶模型上的简单延伸，因此，研究二阶系统是非常有挑战性的，也是很有必要的.近年来，已有许多学者对二阶多智能系统的一致性控制进行了研究［9-12］，研究内容主要围绕一致性算法展开，一般来说，二阶智能一致性算法分为无领导跟随一致性算法和只有一个领导者的领导跟随一致性算法.例如文献［9-10］，就是通过无领导跟随一致性算法解决了二阶系统达成一致性问题.文献［11-12］讨论了在一个领导者的情况下，跟随者在控制协议作用下追踪领导者，最后与领导者状态达成一致.需要注意的是在上述文献中都是基于多智能体系统是线性的前提下进行研究的.然而，在智能体系统模型中各个智能体内部诸因素之间更多地呈现出一种非线性关系，如在无人机编队控制系统中，各个无人机内部因素肯定是一个非线性因素.因此，研究带有非线性因素的智能体系统是非常有实际意义的.为了解决非线性因素对一致性问题带来的影响，Li 等［13］利用Lipschitz 公式对非线性因素进行线性化处理，最后得出多智能体系统达成二阶一致的充分条件，在Li 的基础上，Wang 等［14］研究了非均匀扰动的二阶非线性系统的一致性问题，提出线性化处理的前提，并不再要求非线性函数满足任何全局Lipschitz 条件，这也大大弱化了线性化处理的要求.这样，线性化处理很快地被湖南工程学院学报2021年引入到多智能体系统控制中，并迅速地产生了大量研究成果.然而，上述研究成果都没有考虑系统中的时延.由于智能体之间需要相互通信，这样智能体之间的信息传输就不可避免的产生时间延迟.时延的产生必将影响系统的稳定性和控制性能.目前，已有许多论文研究了带有时滞的多智能体系统一致性控制问题，如Li等［15］研究离散系统中的步长和时滞参数一致性，给出了系统达成一致的参数集，并证明了该研究结果也适用于具有输入时滞的系统中.需要指出的是，以上分析带有时滞的多智能体一致性控制的文献中，都只是关注一阶系统的一致性.涉及时延二阶系统中的一致性控制这方面的研究很少.Ma等［16］研究在不确定时滞下，二阶智能体系统鲁棒一致性，但仅限于非领导跟随模型.目前，具有时滞的二阶智能体系统仍有许多问题需要更深入地研究.在研究智能体通信时滞的同时，还需要考虑智能体之间信息传输的通道信道容量，由于通信资源是有限的，所以每个智能体与相邻智能体之间的通信不可能一直持续.为了节约通信成本，许多科学家提出采样数据控制.传统的采样系统是通过预先设定采样周期，同步触发控制器更新［17-18］，由于其设计的便利性，得到了广泛应用.传统的采样控制设计重点在于采样周期取值，若采样的周期过短，则会造成通信资源大量浪费，并且产生数据冗余，阻塞信道.相反，周期设定过长，系统的控制性能将大大降低.因此时间触发通信系统的采样周期设定是保守的，资源利用率较低.为了提高通信资源利用率，提出事件触发通信方式来提高通信资源利用率，并减少通信负担［19-20］.不同于时间触发方案，事件触发不需要预先设定触发周期，而是设定一个系统可承受的误差阈值，一旦智能体的局部误差超过这一阈值，控制器才进行更新.这样大大减少了通信资源损耗，并有效地缓解通信通道的阻塞，同时又保证了控制性能.近年来科研人员对事件触发机制进行了充分的研究，并迅速产生大量的成果［21-24］.Liu等［21］基于无向拓扑结构下，提出事件触发机制，研究了一阶系统的平均一致性.Yang等［22］则研究了高阶系统下基于观测器的领导跟踪输出一致性问题，并同时考虑事件触发方案.在二阶系统中，Xie等［23］分别通过集中式事件触发策略和分散式事件触发策略对二阶领导跟随系统的一致性问题进行了研究，然而，Xie等人并没有考虑系统时滞和系统的非线性因素，而现实应用系统中，往往这二者都同时存在，然而在现有的二阶一致性文献中，几乎都没有将二者同时考虑在内，现有的方法可能无法同时处理系统中的时滞与非线性项.受上述启发，本文研究一类同时具有输入时滞和非线性动力学因素的二阶多智能体系统的事件触发一致性控制问题，本文的贡献有三个方面：首先，本文研究的是一类二阶领导跟随模型，在考虑了系统固有的非线性动力学因素基础上，同时考虑输入时滞对系统的影响.其次，针对具有输入时滞和非线性因素的二阶领导跟随模型，获得了实现事件触发策略下该系统一致性的充分条件，并排除了Zeno行为，有效地降低了通信成本.最后，在仿真结果中验证了领导者的加速度设定的大小对系统稳定性产生影响.1预备知识与系统描述1.1图论知识由N个智能体和1个领导者构成的无向拓扑连通图，其中-G=G⋃{0}，其中{}0相当于领导者，而G={V,E}表示N个跟随者所构成的拓扑图，V= {1,2,⋯,N}称为顶点集，如果节点i与j之间存在一条边，则称为i,j相邻.边集E={(i,j)∈V×V;i,j相邻}. A=[]a ij N×N是N个多智能体的邻接矩阵，若i,j相邻，则a ij>0，反之，a ij=0.如果(i,j)∈E，则可以称j 是i的邻居.第i节点的邻居集可以用N i= {j∈V|(j,i)∈E,j≠i}表示.此外我们定义一个度矩阵为D=dig{d1,d2,⋯,d N}.如果领导者{}0能够连接到i，则d i>0，反之，d i<0，其中d i=∑j∈N ia ij，并且定义拉普拉斯矩阵L=D-A.为了方便问题描述，给出以下定义：R n和R n×m 分别代表n维实数矩阵和n×m实数矩阵，I和0分2第1期别表示为合适维度的单位矩阵和零矩阵.1N 表示所有元素为1的列向量，sup 表示最小上确界.1.2系统问题描述领导者的动力学行为：{ẋ0(t )=v 0(t )v̇0(t )=p (t )+f (v 0(t ),t ) （1）跟随者的动力学行为：{ẋi (t )=v i (t )v̇i (t )=u i (t ) + p (t )+f (v i (t ),t ) （2）其中t ∈(-τ,+∞)，x i (t )，v i (t )∈R N ，分别代表跟随多智能体i 的位置、速度状态量.x 0(t )、v 0(t )分别代表领导者的位置、速度状态量.p (t ) ∈R N 代表智能体i 的驱动函数以及u i (t )∈R N代表智能体i 的控制输入.f (v i (t ),t )、f (v 0(t ),t )代表跟随者智能体i 的动力学特性的连续可微非线性向量函数和领导者的动态输入.定义1二阶领导跟随系统如果满足下列条件就说明该系统（1）（2）达到一致性.lim x →∞x i (t )- x 0(t )=0lim x →∞v i(t )- v 0(t )=0i =1,2,⋯,N引理1对于任意具有合适维度的向量x ,y 以及合适维度的对称正定矩阵Z ，都具有下列不等式：±x T y ≤x T Zx +y T Z -1y引理2具有合适维度的矩阵A 、B 、C 、D ，利用克罗内克积公式，可以得到：（1）(A +B )⊗C =A ⊗C +B ⊗C （2）(A ⊗B )T =A T ⊗B T（3）(A ⊗B )(C ⊗D )=(AC )⊗(BD )引理3舒尔定理：下列对称线性不等式：éëêùûús (x )z (x )z T (x )c (x )>0等价于下列式子：s (x )>0,c (x )-z T(x )s -1(x )z (x )>0c (x )>0,s (x )-z (x )c -1(x )z T (x )>0假设1非线性函数f (v i (t ),t )是连续可微的向量函数，存在一个正的标量ρ，使得满足下列不等式：||f (v i(t ),t )-f (v j(t ),t )≤ρ||v i(t )-v j(t )2主要结果在本篇文章中，将通过设计合适的控制器以及提出集中式事件触发机制来解决在无向连接拓扑图下的二阶领导跟随系统（1）（2）的一致性问题.2.1集中式事件触发控制策略在假设控制器输入时滞为固定常时滞下，提出集中式事件触发策略，智能体在满足事件触发条件时触发通信采样，一般来说，事件触发条件是一个包含全局状态测量误差阈值的不等式，当实际测量误差超过这一阈值便触发控制器更新.其触发函数具体表达式在式（6）中给出.为了解决系统（1）（2）的一致性问题，设计的控制器目的为了解决控制输入常时滞与智能体内部的非线性因素的影响，其具体控制协议如（3）式：u i (t )=κ(∑j ∈Niaij(x j (t k -τ)-x i (t k -τ)+v j (t k -τ)-v i (t k -τ))-b i (x i (t k -τ)-x j (t k -τ)+v i (t k -τ)-v 0(t k -τ)))∀t ∈[t k ，t k +1) （3）其中，κ代表控制增益，且κ>0，τ为大于0的常数，代表控制器输入时滞，a ij >0为智能体i ，j 相连的耦合强度，b i >0以及j ∈N i .t k ,t k +1分别代表第k 次、第k +1触发时刻.T k =t k +1-t k 代表的是采样周期，当t ∈[t k ,t k +1)，每个智能体i 在这一期间广播其状态x i (t k )、x 0(t k )、v i (t k )和x 0(t k )，即在两次相邻触发时刻之间，系统的控制输入保持不变.将（3）式中控制器带入(2)式，设ξi (t )=x i (t )-x 0(t )，ηi (t )=v i (t )-v 0(t ).e 1(t )=ξ(t k )-ξ(t ),e 2(t )=η(t k )-η(t )，其中误差量e 1(t )，e 2(t )∈R N .将误差量代入，并令e (t )=[]e T 1(t ),e T2(t )T，再设置y (t )为[]ξT(t ),ηT (t )T，所以我们得到：ẏ(t )=Cy (t )+Fy (t -τ)+He (t -τ)+F ˉ （4）其中对应的矩阵表达式如下：C =éëêùûú0I N 00F =éëêùûú00-κ(L +B )-κ(L +B )H =éëêùûú00-κ(L +B )-κ(L +B )F ˉ=éëêùûú0f -1N ⊗f 0罗毅平，等：二阶领导跟随多智能体系统事件触发一致性3湖南工程学院学报2021年2.2事件触发机制触发函数：g (t ,e (t ))=e T (t )Qe (t )-k 1∗y T (t )M 1y (t ) -k 2∗y T (t -τ)M 2y (t -τ)-k 3∗e T (t -τ)M 3e (t -τ) （5）触发条件为：g (t ,e (t ))=0（6）在式（5）（6）中，其中k 1、k 2、k 3都是大于0的常数，Q 、M 1、M 2、M 3为合适维度的矩阵.在式（6）中的集中式触发条件，实际上是设定了一个全局状态误差阈值e (t )，也称为系统（1）（2）在一致性下所能忍耐的最大误差值，一旦系统误差超过此值，系统一致性便会被破坏，为了维持系统一致性的稳定，此刻事件机制会迅速触发控制器（3）更新输入，此刻测量误差将重置为0.定理1对于无向连通拓扑下的二阶多智能体系统（1）（2），如果存在正定对称矩阵P ,R ,Q ,W 和矩阵M 1,M 2,M 3，使得下列线性矩阵不等式成立，当触发函数（5）在满足触发条件（6）下将触发控制器（3）更新，该系统达成一致性.J =éëêêùûúúJ 11J 12J 13∗J 22J 23∗∗J 33<0 （7）J 11=C T P +PC +R +τC T WC -τ-1W +PR -1P +τC T WQ -1WC +ρR +ρW +τρQ +2τρP +k 1∗M 1J 12=τC T WF +τ-1W +PF J 13=PH +τC T WHJ 22=-R -τ-1W +τF T WF +τF T WP -1WF +k 2∗M 2J 23=τF T WHJ 33=-Q +τH T WH +τH T WP -1WH +k 3∗M 3上式子中k 1,k 2,k 3均大于0，当g (e (t ),t )渐近于0时，所有跟随者的控制器将会被触发，每个多智能体的控制输入将会被更新.证明：对于闭环系统（4），构造李雅普诺夫函数如下：v (t )=y T (t )Py (t )+∫t -τty T(s )Ry (s )d s +∫t -τt eT(s )Qe (s )d s +∫-τ∫t +θtẏT(s )Wy ̇(s )d s d θ（8）对时间t 求导后再根据Jensen 不等式可得：v̇(t )≤y ̇T (t )Py (t )+y T (t )Py ̇(t )+y (t )Ry (t )-y (t -τ)Ry (t -τ)+e T (t )Qe (t )-e T (t -τ)Qe (t -τ)+τẏT (t )Wy ̇(t )-τ-1(y (t )-y (t -τ))T ∗W ∗(y (t )-y (t -τ)) （9）将（4）式代入（9）式后，根据引理1，并通过假设1和引理2中的克罗内克积公式可以将带有||Fˉ的式子进行转化，最后为了方便计算，设定δ(t )=[]y T (t )y T (t -τ)e T (t -τ)T，化简写成矩阵形式：v̇(t )≤δT (t )J ˉδ(t )+ e T (t )Qe (t )（10）其中J ˉ=éëêêêêùûúúúúJˉ11J 12J 13∗J ˉ22J 23∗∗J ˉ33Jˉ11=C T P +PC +R +τC T WC -τ-1W +PR -1P +τC T WQ -1WC +ρR +ρW +τρQ +2τρPJˉ22=-R -τ-1W +F T WF +τF T WP -1WF Jˉ33=-Q +τH T WH +τH T WP -1WH 在t ∈(t i k ,t i k +1)时，我们可知：e T (t )Qe (t )<k 1∗y T (t )M 1y (t )+k 2∗y T (t -τ)M 2y (t -τ)+k 3∗e T (t -τ)M 3e (t -τ)（11）根据式（11）可以得到v ̇(t )≤δT (t )Jδ(t )≤0，因此闭环系统（4）渐近稳定一致，这也意味着跟随者智能体位移，速度状态与领导者的差值在全局状态误差阈值e (t )范围内，即满足定义1中lim x →∞x i (t )- x 0(t )=0，lim x →∞v i (t )- v 0(t )=0.证明成立.另外需要注意的，除了保证系统（1）（2）在控制器（3）下达成一致性外，还需要确保在时间轴上没有事件的累积点，即没有Zeno 行为，这点可以通过严格采样周期T k 来保证，以下给出定理2.定理2对于二阶多智能体系统（1）（2），假设无向拓扑图论G 是连通的，在任意初始条件下，控制协议（3）与集中式事件触发策略（5）（6）渐进解决了多智能体系统的一致性问题，另外，通过式（12）计算采样周期的最小值，闭环系统不会出现Zeno 行为.θˉ≥{p 1 y (t )+p 2 y (t -τ)+p 3 e (t -τ)}×{ C μ1+ F μ2+ H ε1+ Fˉ}-1（12）4第1期证明如下：我们从触发函数（6）中可以得到：e (t )≤p 1 y (t )+p 2 y (t -τ)+p 3e (t -τ)（13）其中：p 1=λmax (M 3/Q )，p 2=λmax (M 2/Q )，p 3=λmax (M 3/Q )从（5）式中，我们可以得到 ẏ(t )≤ C y (t )+ F y (t -τ)+H e (t -τ)+ Fˉ（14）为了得到采样区间的正下界，计算了t >t k 时的测量误差e (t )的上界，又因为测量误差e ̇(t )<-y ̇(t )， e (t )≤-∫t kt y ̇(t )d s .所以：e (t )≤(t -t k){ C y (t )+ F y (t -τ)+H e (t -τ)+ Fˉ}（15）定义2：μ1=sup t ≥0 y (t )，μ2=sup t ≥0 y (t -τ)，ε1=sup t ≥0 e (t -τ).上式（15）可以变成：e (t )≤(t -t k ){ C μ1+ F μ2+ H ε1+Fˉ}（17）联立式（13）、式（16）可以得到：t -t k ≥{p 1 y (t )+p 2 y (t -τ)+p 3 e (t -τ)}*{ C μ1+ F μ2+ H ε1+ Fˉ}-1（18）3数值仿真在本章节中，主要通过数值仿真来验证该集中式事件触发协议的有效性.该仿真研究的是由1个领导者和5个跟随者构成的多智能体系统，其智能体系统拉普拉斯矩阵L 和局部度B 如下所示.系统的无向拓扑图如图1所示，其中0代表领导者，数字1~5代表跟随者智能体.L =éëêêêêêêêêùûúúúúúúúú5-30-20-33000006-4-2-20-49-300-2-35B =éëêêêêêêêêùûúúúúúúúú200000300000200000200图1智能体系统的无向连接拓扑图为了验证系统（1）（2）在控制协议（3）作用下能够达成一致性，我们设定智能体的初始状态，各智能体的位移分别：x 0(t )=1.2683 ,x 1(t )=2.7346,x 2(t )=-2.432,x 3,(t )=4.8951,x 4(t )=7.1191,x 5(t )=-4.732.各智能体速度分别为：v 0(t )=-2.71,v 1(t )=0.7329,v 2(t )=-3.1691, v 3(t )=4.112,v 4(t )=2.7316,v 5(t )=-8.511对于系统中的非线性参数，我们设定为f (v i (t ),t )=sin(10t )-0.12v i (t )，输入时滞τ=0.01.系统中领导者的加速度p (t )=0.2t sin(10t ).控制器参数k =7.68，定理1中的参数k 1=k 2=k 3=9.4.其仿真图如图2~图5所示.通过仿真验证了本文思路的可行性.Time(sec)Time （sec ）456图2智能体位移状态变化图罗毅平，等：二阶领导跟随多智能体系统事件触发一致性5湖南工程学院学报2021年图3智能体速度状态变化图图4测量误差范数 e (t )变化Time(sec)Time （sec ）456图5事件触发时间间隔图4结束语本文研究的是一类二阶多智能体领导跟随一致性控制问题，给出了该系统达成一致性的充分条件.该系统同时考虑了输入时滞和存在非线性因素的情况，基于李雅普诺夫稳定性理论与矩阵不等式设计了与时滞相关的控制器，并利用事件触发机制，有效地降低了通信成本，提高了资源利用率和系统的控制性能.最后数值仿真验证了该方法的可行性，然而考虑到每个智能体在执行任务供给的能量有限，如何权衡能量的消耗与性能的优化是我们下一步需要进行研究和解决的问题.参考文献［1］Mengchen Z ，Ning W ，Meijuan W ，et al .Design of Self-adaption Protection Scheme for Micro-grid Based on Multi-agent ［J 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Event-Triggered Control ［J ］.Nonlinear Dynamics ，2020，99（3）：2219-2232.［7］Sinha A ，Mishra R K .Consensus in First Order NonlinearHeterogeneous Multi-agent Systems with Event-Based Sliding Mode Control ［J ］.International Journal of Con-trol ，2020，93（4）：858-871.［8］Ren W ，Beard R W .Consensus Seeking in Multiagent Sys-tems Under Dynamically Changing Interaction Topologies ［J ］.IEEE Transactions on Automatic Control ，2005，50（5）：655-661.6第1期［9］Ge S Y，Zhou Y J，Jiang G P，et al.Prescribed-Time Leader-Following Consensus Tracking Control for Second-Order Multi-Agent Systems［C］//2019Chinese Automa-tion Congress（CAC）.2019.DOI：10.1109/CAC48633.2019.8996401.［10］Guo W，Jinhu L，Chen S，et al.Second-Order Tracking Control for Leader-Follower Multi-Agent Flocking in Di-rected Graphs with Switching Topology［J］.Systems&Control Letters，2011，60（12）：1051-1058.［11］Liu K，Ji Z，Ren W.Necessary and Sufficient Condi-tions for Consensus of Second-Order Multiagent Sys-tems Under Directed Topologies Without Global 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Protocol［J］.IEEE Transactions on Automatic Control，2019，64（9）：3780-3787.［17］Yan X S，Wang Q L，Sun C Y，Self-triggered Consensus Control for Linear Multi-Agent Systems With Input Sat-uration［J］.自动化学报英文版，2020，15（1）：150-157.［18］Duan G，Xiao F，Wang L.Hybrid Event-and Time-Trig-gered Control for Double-Integrator Heterogeneous Net-works［J］.Ence China（Information ences），2019，62（2）：73-84.［19］Cameron，Nowzari，et al.Event-Triggered Communica-tion and Control of Networked Systems for Multi-agentConsensus［J］.Automatica，2019，105（105）：1-27.［20］Zhang A，Zhou D，Yang P，et al.Event-Triggered Fi-nite-time Consensus with Fully Continuous Communica-tion Free for Second-Order Multi-Agent Systems［J］.In-ternational Journal of Control Automation&Systems，2019，17（4）：836-846.［21］Liu Z，Chen Z，Yuan Z.Event-Triggered Average-Con-sensus of Multi-Agent System with Weighted and DirectTopology［J］.Journal of Systems Science&Complexi-ty，2012，25（5）：845-855.［22］Yang Q，Li J，Wang B.Leader-Following Output Con-sensus for High-order Nonlinear Multi-agent Systems byDistributed Event-triggered Strategy Via Sampled DataInformation［J］.IEEE Access，2018，7：70799-70810.［23］Xie D，Yuan D，Lu J，et al.Consensus Control of Sec-ond-order Leader-Follower Multi-agent Systems withEvent-Triggered Strategy［J］.Transactions of the Insti-tute of Measurement and Control，2013，35（4）：426-436.Event-triggered Consensus of Second-order Leader-followerMulti-agent SystemLUO Yi-ping，CAI Cong，XIAO Xing，LIN Guo-han（College of Electrical and Information Engineering，Hunan Institute of Engineering，Xiangtan411104，China）Abstract：The problem of leader-following consensus control for a class of second-order multi-agent system in undirected topology is studied.A delay-related controller is designed for the leader-following model of a class of second-order multi-agent system with delay，considering the internal nonlinear factors of the system and under the condition of given event triggering strategy.Through matrix inequality and other analysis tech-niques，sufficient conditions for the consistency of the system are obtained by using lyapunov-KrasovskII sta-bility theorem.Finally，the rationality of controller design is verified in the simulation stage.Keywords：event-triggered；second-order multi-agent system；consensus；time-delay；nonlinear罗毅平，等：二阶领导跟随多智能体系统事件触发一致性7。

多智能体系统自适应跟踪控制赵蕊;朱美玲;徐勇【摘要】The leader-follower tracking problems of second-order multi-agent systems with intrinsic nonlinear dynamics are studied. It assumes that each following agent can access the relative position and velocity information with its neigh-bors, the position and velocity information of the leader is only accessed by a subset of the following agents, and the leader's non-zero reference input cannot be available by any following agents. To track the active leader, a distributed adaptive consensus protocol is proposed for each following agent in the case that the interaction relationship among agents is undi-rected connected graph. The protocol effectively avoids the uncertainty of global information. The consensus tracking problem can be transformed into the stability problem of error system. Based on the theory of Lyapunov stability and matrix theory, it gets the sufficient conditions which guarantee the system to reach a leader-follower tracking consensus. Finally, a simulation example is given to verify the effectiveness of the obtained.%基于带有非线性动态的二阶多智能体系统,研究了在有动态领导者条件下的跟踪一致性问题.假设跟随者只能获取邻居智能体的相对状态信息,只有一部分跟随者可以获得领导者的位置和速度信息,领导者的控制输入非零且不被任何一个跟随者可知.在通信拓扑为无向连通图的条件下,为了避免全局信息的不确定性,设计了分布式自适应控制协议.将系统的一致性问题转化为误差系统的一致性问题,通过Lyapunov稳定性理论和矩阵理论分析得到了该协议使系统达到一致的充分条件.最后用仿真例子证明了设计方法的有效性.【期刊名称】《计算机工程与应用》【年(卷),期】2017(053)018【总页数】5页(P39-43)【关键词】多智能体系统;一致性;分布式控制;自适应控制;领导者【作者】赵蕊;朱美玲;徐勇【作者单位】河北工业大学理学院,天津 300401;河北工业大学理学院,天津300401;河北工业大学理学院,天津 300401【正文语种】中文【中图分类】TP13一致性，是智能体组成的网络系统的一类集体行为，近年来由于它广泛应用在生物系统、传感器网络、无人机编队控制等领域，引起了许多学者的关注，得到了大量研究成果[1-5]。

基于输出反馈的分数阶奇异线性多智能体系统领导者-跟随一致性潘欢;胡钢墩;薛丽【期刊名称】《南京信息工程大学学报》【年(卷),期】2018(010)004【摘要】本文主要开展多智能系统领导者-跟随一致性分析,其中每个智能体的动态性能描述为分数阶奇异线性系统.基于系统的输出信息,设计一个输出反馈的控制协议.通过有效的证明,推导出多智能体系统领导者-跟随一致性的充分条件.采用奇异值分解(SVD)技巧,可将一致性条件进一步转换为易于求解的线性矩阵不等式.当通信拓扑图假设为无向连通图时,一致性条件可以简化为相对简单的多个线性矩阵不等式.最后给出一个实例,演示如何求取反馈增益,通过仿真图可以发现本文结果正确、有效.【总页数】6页(P422-427)【作者】潘欢;胡钢墩;薛丽【作者单位】宁夏大学物理与电子电气工程学院,银川,750021;宁夏沙漠信息智能感知重点实验室,银川,750021;宁夏电力能源安全重点实验室,银川,750004;宁夏大学物理与电子电气工程学院,银川,750021;宁夏沙漠信息智能感知重点实验室,银川,750021;宁夏电力能源安全重点实验室,银川,750004;宁夏大学物理与电子电气工程学院,银川,750021;宁夏沙漠信息智能感知重点实验室,银川,750021;宁夏电力能源安全重点实验室,银川,750004【正文语种】中文【中图分类】TP13;O231【相关文献】1.具有和不具有非线性动态的二阶时滞多智能体系统的领导跟随一致性 [J], 李伟勋;陈增强2.时延二阶多智能体系统的领导者-跟随一致性 [J], 何铭凯;黄子轩;柯承宇;朱爱娟3.时延二阶多智能体系统的领导者-跟随一致性 [J], 何铭凯;黄子轩;柯承宇;朱爱娟;4.二阶非线性多智能体系统领导跟随一致性研究 [J], 张振华;彭世国5.具有领导者的非线性分数阶多智能体系统的一致性分析 [J], 朱伟;陈波因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

多智能体的一致性问题的研究报多智能体的一致性问题的研究报告指导老师：唐斌报告人：黄建安多智能体技术应用综述多智能体系统是由多个可计算的智能体组成的集合，其中每一个智能体是一个物理或抽象的实体，并能通过感应器感知周围的环境和效应器作用于自身，并能与其他智能体进行通讯的实体。

作用于自身，并能与其他智能体进行通讯的实体。

多智能体技术是通过采用各智能体间的通讯、合作、协调、调度、管理以及控制来表述实际系统的结构、功能及行为特性。

近年来，随着应用的需要和技术的发展，多智能体的协调控制在世界范围内掀起了研究的热潮。

智能体的分布式协调控制能力是多智能体系统的基础，是发挥多智能体系统优势的关键，也是整个系础，是发挥多智能体系统优势的关键，也是整个系统智能性的体现。

作为多智能体协调控制的问题的基础，一致性问题主要是研究如何基于多智能体系统中个体之间有限的信息交换，来设计的算法，使得所有的智能体的状态达到某同一状态的问题。

一致性协议问题作为智能体之间相互作用、传递信息的规则，它描述了每个智能体和与其相邻的智能体的信息交换过程。

多智能体的一致性问题的发展：1995年，Vicsek等人提出了一个经典的模型来模拟粒子涌现出的一致性行为的现象，并且通过仿真得到了一些很实用的结果。

之后，Jadbabaie等人首先应用矩阵方法对该模型进行了理论分析，发现只要再网络保持连通时，系统最终会趋于一致。

然后，有理论最早提出了一致性问题的理论框架，设计了最一般的一致性算法，发现网络的代数连通度表征了系统收敛的速度，给出了算法达到平均一致性的条件，并将结果扩展到时滞的对称一致性算法。

进一步，Ren与Beard等提出了一致性搜索问题并给出了理论分析。

Moreeau应用凸性收敛进行了理论分析并给出了存在时滞的不对称一致性算法收敛结果。

经过以上大量的研究分析表明，当网络为固定拓扑结构时，只要网络保持连通，连续一致性算法最终会趋于一致；当网络为切换拓扑结构时，如果在有限时间内，存在有网络拓扑结构的并组成的序列，并且所有这些图的并都保持连通，则一致性算法最终也会收敛到一致。