【初数】几何专题课程(共9讲)_第01讲_中点类辅助线作法

学员编号：年级：初三课时数： 3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：授课类型T-同步讲解C-专题T-能力提升星级★★★★★★★★教学目标1.掌握三角形的内角和定理；2.了解三角形三边的关系，并且能进行简单的应用；3.学习用三角形边、角的关系进行简单的计算和证明；4.学习分析问题、解决问题的能力。

授课时间教学内容——几何问题之中点题型5.掌握三角形的内角和定理；6.了解三角形三边的关系，并且能进行简单的应用；7.学习用三角形边、角的关系进行简单的计算和证明；8.学习分析问题、解决问题的能力。

知识结构一.中点有关联想归类：1.等腰三角形中遇到底边上的中点，常联想“三线合一”的性质；2.直角三角形中遇到斜边上的中点，常联想“斜边上的中线，等于斜边的一半”；3.三角形中遇到两边的中点，常联想“三角形的中位线定理”；4、两条线段相等，为全等提供条件（遇到两平行线所截得的线段的中点时，常联想“八字型”全等三角形）；5.有中点时常构造垂直平分线；6.有中点时，常会出现面积的一半（中线平分三角形的面积）；7.倍长中线。

二.与中点问题有关的四大辅助线：1.出现三角形的中线时，可以延长（简称“倍长中线”）；2.出现直角三角形斜边的中点，作斜边中线；3.出现三角形边上的中点，作中位线；4.出现等腰三角形底边上的中点，构造“三线合一” 。

三.几何证明之辅助线构造技巧：1.假如作一条辅助线，能起到什么作用；2.常作那些辅助线能与已知条件联系更紧密，且不破坏已知条件。

一、基础回顾1.线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做这条线段的中点。

2.若点C 是线段AB 的中点，则： ① 从线段来看：12AC BC AB ==； ② 从点与点的相对位置来看：点C 在点A B 、之间，且点A B 、关于点C 对称。

3.三角形的中线：连接三角形的一个顶点和它所对的边的中点所得的线段叫做三角形的中线。

① 一个三角形有三条中线； ② 每条中线平分三角形的面积；③ 三角形的三条中线交于一点，每条中线被该点（重心）分成1:2的两段； ④ 三角形的三条中线把三角形分成六个面积相等的小三角形。

中点模型的构造及应用一、遇到以下情况考虑中点模型：任意三角形或四边形中点或与中点有关的线段出现两个或三个中点考虑三角形中线定理已知直角三角形斜边中点，可以考虑构造斜边中线已知等边、等腰三角形底边中点，可以考虑与顶角连接用“三线合一”有些题目不直接给出中点，我们可以挖掘其中隐含中点，比如等腰三角形、等边三角形、直角三角形、平行四边形、圆中圆心是直径中点等可以出现中点的图形通常考虑用中点模型三角形中线的交点称为重心，它把中线分的线段比为2:1二、中点模型辅助线构造方法分类（一）倍长中线法（构造全等三角形，八字全等）当已知条件中出现中线时，常常将此中线倍长构造全等三角形解决问题。

如图，在∆ABC中，D为BC中点，延长AD到E使AD=DE，连接BE，则有：∆ADC≌∆EDB。

作用：转移线段和角。

（二）倍长类中线法（与中点有关线段，构造全等三角形，八字全等）当已知条件中出现类中线时，常常将此类中线倍长构造全等三角形解决问题。

如图，在∆ABC中，D为BC中点，延长ED到F使ED=DF，连接CF，则有：∆BED≌∆CFD。

作用：转移线段和角。

（三）直角三角形斜边中线法当已知条件中同时出现直角三角形和中点时，常构造直角三角形斜边中线，然后再利用直角三角形斜边的中线性质解决问题。

如下图，在Rt ∆ABC 中，A C B 90∠=︒，D 为AB 中点，则有：12CD AD BD AB ===（四）等腰三角形三线合一当出现等腰三角形时，常隐含有底边中点，将其与顶角连接，可构成三线合一。

在∆中:（1）AC=；（2）CD 平分ACB ∠；（3）AD=，（4）CD AB ⊥ “知二得二”：比如由（2）（3）可得出（1）（4）.也就是说，以上四条语句，任意选择两个作为条件，就可以推出剩下两条。

（五）中位线法当已知条件中同时出现两个及以上中点时，常考虑构造中位线；或出现一个中点，要求证明平行线段或线段倍分关系时也常考虑构造中位线。

2024中考数学核心几何模型重点突破专题01线段的中点模型模型分析【理论基础】如图，已知点M 是线段AB 的中点⇒AB BM AM 21==【模型变式1】双中点求和型如图已知点M 是线段AB 上任意一点，点C 是AM 的中点，点D 是BM 的中点⇒AB CD 21=【证明】点C 是AM 的中点，点D 是BM 的中点MB MD AM CM 21,21==∴MD CM CD +=AB MB AM CD 212121=+=∴AB CD 21=∴【模型变式2】双中点求差型如图点M 是线段AB 延长线上任意一点，点C 是线段AM 的中点，点D 是线段BM 的中点⇒AB CD 21=【证明】点C 是线段AM 的中点，点D 是线段BM 的中点MB MD AM CM 21,21==∴MDCM CD -=)(212121MB AM MB AM CD -=-=∴AB CD 21=∴【模型总结】两中点之间的线段，等于原线段的一半。

典例分析【例1】已知线段AB=10cm ，点C 是直线AB 上一点，BC=4cm ，若M 是AC 的中点，N 是BC 的中点，则线段MN 的长度是（）A ．7cm B ．3cm C ．7cm 或3cm D ．5cm【例2】如图，点C 是线段AB 上一点，AC <CB ，M 、N 分别是AB 和CB 的中点，8AC =，5NB =，则线段MN =__________．【例3】如图，已知点,,A B C 在同一直线上，,M N 分别是,AC BC 的中点．（1）若20,8AB BC ==，求MN 的长；（2）若,8AB a BC ==，求MN 的长；（3）若,AB a BC b ==，求MN 的长；（4）从（1）（2）（3）的结果中能得到什么结论？模型演练一、单选题1．（2021·内蒙古·中考真题）已知线段4AB =，在直线AB 上作线段BC ，使得2BC =．若D 是线段AC 的中点，则线段AD 的长为（）A ．1B ．3C ．1或3D ．2或32．点C 在线段AB 上，下列条件中不能确定点C 是线段AB 中点的是（）A ．AC BC =B ．AC BC AB +=C ．2AB AC =D ．12BC AB =3．如图，C 、D 是线段AB 上的两点，且D 是线段AC 的中点．若AB=10cm ，BC=4cm ，则BD 的长为（）A ．6cmB ．7cmC ．8cmD ．9cm4．如图，C ，D 是线段AB 上的两点，E 是AC 的中点，F 是BD 的中点，若EF ＝8，CD ＝4，则AB 的长为（）A ．10B ．12C ．16D ．18二、填空题5．如图，点D 是线段AB 的中点，C 是线段AD 的中点，若AB ＝8cm ，则CD ＝___cm ．6．在直线上取A ，B ，C 三点，使得AB ＝9cm ，BC ＝4cm ，如果O 是线段AC 的中点，则线段OA 的长为_____．7．如图所示，B 、C 是线段AD 上任意两点，M 是AB 的中点，N 是CD 的中点，若MN ＝7cm ，BC ＝3cm ，则AD 的长为_____cm ．8．如图，C ，D 两点将线段AB 分为三部分，AC ∶CD ∶DB ＝3∶4∶5，且AC ＝6．M 是线段AB 的中点，N 是线段DB 的中点．则线段MN 的长为____________．三、解答题9．（2022·安徽·宣城市第六中学一模）如图所示，已知C ，D 是线段AB 上的两个点，点M 、N 分别为AC 、BD 的中点(1)若AB =16cm ，CD =6cm ，求AC +BD 的长和M ，N 的距离；(2)如果AB =m ，CD =n ，用含m ，n 的式子表示MN 的长10．已知线段AB 如图所示，延长AB 至C ，使BC ＝AB ，反向延长AB 至D ，使AD ＝BC ．点M 是CD 的中点，点N 是AD 的中点．(1)依题意补全图形；(2)若AB 长为10，求线段MN 的长度．11．已知点B 、D 在线段AC 上，（1）如图，若20AC =，8AB =，点D 为线段AC 的中点，求线段BD 的长度；（2）如图，若1134BD AB CD ==，AE BE =，13EC =，求线段AC 的长度．12．如图，点C 为线段AB 上一点，AB =30，且AC -BC =10．（1）求线段AC 、BC 的长．（2）点P 从A 点出发，以1个单位/秒的速度在线段AB 上向B 点运动，设运动时间为t 秒（20t <），点D 为线段PB 的中点，点E 为线段PC 的中点，若CD =25DE ，试求点P 运动时间t 的值．（3）若点D 为直线AB 上的一点，线段AD 的中点为E ，且12AD BD CE -=，求线段AD 的长．13．如图，线段AB ＝20，BC ＝15，点M 是AC 的中点．（1）求线段AM 的长度；（2）在CB 上取一点N ，使得CN ：NB ＝2：3．求MN 的长．14．如图，点C 在线段AB 上，8,6AC cm CB cm ==，点,M N 分别是AC BC ，的中点．()1求线段MN 的长;()2若C 为线段AB 上任一点，满足AC CB a +=，其它条件不变，猜想MN 的长度，并说明理由;()3若C 在线段AB 的延长线上，且满足,,AC BC b M N -=分别为AC BC ，的中点，猜想MN 的长度，请画出图形，写出你的结论，并说明理由;()4请用一句简洁的话，描述你发现的结论．参考答案与详细解析典例分析【例1】已知线段AB=10cm ，点C 是直线AB 上一点，BC=4cm ，若M 是AC 的中点，N 是BC 的中点，则线段MN 的长度是（）A ．7cmB ．3cmC ．7cm 或3cmD ．5cm【答案】D【分析】先根据题意画出图形，再利用线段的中点定义求解即可．【解析】解：根据题意画图如下：∵10,4AB cm BC cm ==，M 是AC 的中点，N 是BC 的中点，∴1115222MN MC CN AC BC AB cm =+=+==；∵10,4AB cm BC cm ==，M 是AC 的中点，N 是BC 的中点，∴1115222MN MC CN AC BC AB cm =-=-==．故选：D ．【例2】如图，点C 是线段AB 上一点，AC <CB ，M 、N 分别是AB 和CB 的中点，8AC =，5NB =，则线段MN =__________．【答案】4【分析】根据中点的性质可得BC 的长，根据线段的和差可得AB 的长，根据中点的性质可得BM 的长，再根据线段的和差可得MN 的长．【解析】由N 是CB 的中点，NB =5，得：BC =2NB =10．由线段的和差，得：AB =AC +BC =8+10=18．∵M 是AB 的中点，∴1118922MB AB ==⨯=，由线段的和差，得：MN =MB -NB =9-5=4，故答案为：4.【例3】如图，已知点,,A B C 在同一直线上，,M N 分别是,AC BC 的中点．（1）若20,8AB BC ==，求MN 的长；（2）若,8AB a BC ==，求MN 的长；（3）若,AB a BC b ==，求MN 的长；（4）从（1）（2）（3）的结果中能得到什么结论？【答案】（1）10；（2）12a ；（3）12a ；（4）线段MN 的长度等于线段AB 的一半，与B 点的位置无关.【分析】（1）先求解,AC 再利用中点的含义求解,,MC NC 再利用线段的差可得答案；（2）先利用含a 的代数式,AC 再利用中点的含义，用含a 的代数式,,MC NC 再利用线段的差可得答案；（3）先利用含,a b 的代数式,AC 再利用中点的含义，用含,a b 的代数式,,MC NC 再利用线段的差可得答案；（4）由（1）（2）（3）总结出结论即可.【解析】解：（1）20,8AB BC ==，,M N 分别是,AC BC 的中点，1128,14,4,22AB BC AC MC AC NC BC ∴+======14410.MN MC NC ∴=-=-=（2）,8AB a BC ==，,M N 分别是,AC BC 的中点，1118,4,4,222AB BC AC a MC AC a NC BC ∴+==+==+==1144.22MN MC NC a a ∴=-=+-=（3）,AB a BC b ==，,M N 分别是,AC BC 的中点，11111,,,22222AB BC AC a b MC AC a b NC BC b ∴+==+==+==1111.2222MN MC NC a b b a ∴=-=+-=（4）由（1）（2）（3）的结果中可得：线段MN 的长度等于线段AB 的一半，与B 点的位置无关.模型演练一、单选题1．（2021·内蒙古·中考真题）已知线段4AB =，在直线AB 上作线段BC ，使得2BC =．若D 是线段AC 的中点，则线段AD 的长为（）A ．1B ．3C ．1或3D ．2或3【答案】C【分析】先分C 在AB 上和C 在AB 的延长线上两种情况，分别画出图形，然后运用中点的定义和线段的和差进行计算即可．【解析】解：如图：当C 在AB 上时，AC =AB -BC =2,∴AD =12AC =1如图：当C 在AB 的延长线上时，AC =AB +BC =6,∴AD =12AC =3故选C ．2．点C 在线段AB 上，下列条件中不能确定点C 是线段AB 中点的是（）A ．AC BC=B ．AC BC AB +=C ．2AB AC =D ．12BC AB =【答案】B【分析】根据线段中点的定义，结合选项一一分析，排除答案．显然A 、C 、D 都可以确定点C 是线段AB 中点．【解析】解：A 、AC =BC ，则点C 是线段AB 中点；B 、AC +BC =AB ，则C 可以是线段AB 上任意一点；C 、AB =2AC ，则点C 是线段AB 中点；D 、BC =12AB ，则点C 是线段AB 中点．故选：B ．3．如图，C 、D 是线段AB 上的两点，且D 是线段AC 的中点．若AB=10cm ，BC=4cm ，则BD的长为（）A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm 【答案】B【分析】利用线段和的定义和线段中点的意义计算即可．【解析】∵AB=AC+BC，且AB=10，BC=4，∴AC=6，∵D是线段AC的中点，∴AD=DC=12AC=3，∴BD=BC+CD=4+3=7，故选B．4．如图，C，D是线段AB上的两点，E是AC的中点，F是BD的中点，若EF＝8，CD＝4，则AB的长为（）A．10B．12C．16D．18【答案】B【分析】由已知条件可知，EC+FD=EF-CD=8-4=4，又因为E是AC的中点，F是BD的中点，则AE+FB=EC+FD，故AB=AE+FB+EF可求．【解析】解：由题意得，EC+FD=EF-CD=8-4=4，∵E是AC的中点，F是BD的中点，∴AE=EC，BF=DF∴AE+FB=EC+FD=4，∴AB=AE+FB+EF=4+8=12．故选：B．二、填空题5．如图，点D是线段AB的中点，C是线段AD的中点，若AB＝8cm，则CD＝___cm．【答案】2【分析】由点D是线段AB的中点，C是线段AD的中点，可得14CD AB，即可求得答案．【解析】解：∵点D是线段AB的中点，∴12AD AB=，∵C是线段AD的中点，∴12CD AD=，∴1182cm44CD AB==⨯=，故答案为：2．6．在直线上取A，B，C三点，使得AB＝9cm，BC＝4cm，如果O是线段AC的中点，则线段OA的长为_____．【答案】2.5cm或6.5cm【分析】分两种情况：①当点C在线段AB上时，②当点C在线段AB的延长线上时，线求出AC，根据线段中点的定义求出OA．【解析】解：分两种情况：①当点C在线段AB上时，∵AB＝9cm，BC＝4cm，∴AC=AB-BC=9-4=5cm，∵O是线段AC的中点，∴1 2.52OA AC cm==；②当点C在线段AB的延长线上时，∵AB＝9cm，BC＝4cm，∴AC=AB+BC=9+4=13cm，∵O是线段AC的中点，∴1 6.52OA AC cm==；故答案为：2.5cm或6.5cm．7．如图所示，B、C是线段AD上任意两点，M是AB的中点，N是CD的中点，若MN＝7cm，BC＝3cm，则AD的长为_____cm．【答案】11【分析】由已知条件可知，MN＝MB+CN+BC，又因为M是AB的中点，N是CD中点，则AB+CD＝2（MB+CN），故AD＝AB+CD+BC可求．【解析】解：∵MN＝MB+BC+CN，MN＝7cm，BC＝3cm，∴MB+CN＝7﹣3＝4cm，∵M是AB的中点，N是CD的中点，∴AB＝2MB，CD＝2CN，∴AD＝AB+BC+CD＝2（MB+CN）+BC＝2×4+3＝11cm．故答案为：11．8．如图，C，D两点将线段AB分为三部分，AC∶CD∶DB＝3∶4∶5，且AC＝6．M是线段AB的中点，N是线段DB的中点．则线段MN的长为____________．【答案】7【分析】先根据已知条件求出CD，DB的长，再根据中点的定义求出BM，BN的长，进而可求出MN的长．【解析】解：∵AC∶CD∶DB＝3∶4∶5，且AC＝6，∴CD=6÷3×4=8，∴DB=6÷3×5=10，∴AB=6+8+10=24，∵M是线段AB的中点，∴MB=12AB=12×24=12，∵N是线段BD的中点，∴NB=12DB=12×10=5，∵MN=MB-NB，∴MN=12-5=7．故答案为：7．三、解答题9．（2022·安徽·宣城市第六中学一模）如图所示，已知C，D是线段AB上的两个点，点M、N分别为AC、BD的中点(1)若AB=16cm，CD=6cm，求AC+BD的长和M，N的距离；(2)如果AB=m，CD=n，用含m，n的式子表示MN的长【答案】(1)10cm ；11cm ；(2)2m n +．【分析】（1）根据AC +BD =AB -CD 列式进行计算即可求解，根据中点定义求出AM +BN 的长度，再根据MN =AB -（AM +BN ）代入数据进行计算即可求解；（2）根据（1）的求解，把AB 、CD 的长度换成m 、n 即可【解析】(1)∵AB =16cm ，CD =6cm ，∴AC +BD =AB -CD =10cm ，∴MN =AB -（AM +BN ）=AB -12（AC +BD ）=16-5=11（cm ）；(2)∵AB =m ，CD =n ，∴AC +BD =AB -CD =m -n ，∴MN =AB -（AM +BN ）=AB -12（AC +BD ）=m -12（m -n ）=2m n +．10．已知线段AB 如图所示，延长AB 至C ，使BC ＝AB ，反向延长AB 至D ，使AD ＝BC ．点M 是CD 的中点，点N 是AD 的中点．(1)依题意补全图形；(2)若AB 长为10，求线段MN 的长度．【答案】(1)见解析(2)线段MN 的长度为10．【分析】（1）根据题意画出图形；（2）由图，根据线段中点的意义，根据线段的和与差进一步解决问题．【解析】(1)解：补全图形如图所示：；(2)解：由题意知可知AD =AB =BC ，且AB =10，∴AD =AB =BC =10，即CD =30，∵点M 是CD 的中点，点N 是AD 的中点，∴DM =12CD =15，DN =12AD =5，∴MN =DM -DN =10，∴线段MN 的长度为10．11．已知点B 、D 在线段AC 上，（1）如图，若20AC =，8AB =，点D 为线段AC 的中点，求线段BD 的长度；（2）如图，若1134BD AB CD ==，AE BE =，13EC =，求线段AC 的长度．【答案】（1）2；（2）16．【分析】（1）由20AC =，点D 为线段AC 的中点，求得AD=DC=10，由8AB =，可求BD=AD-AB=2；（2）由1134BD AB CD ==，推出34AB BD CD BD ==，，由AE BE =，可用BD 表示3=2AE BE BD =，表示EC=132BD =13，求出2BD =，再求AE=3=可求，AC=AE+EC=16．【解析】（1）∵20AC =，点D 为线段AC 的中点，∴AD=DC=11201022AC =⨯=，∵8AB =，∴BD=AD-AB=10-8=2；（2）∵1134BD AB CD ==，∴34AB BD CD BD ==，，∵AE BE =，∴13=22AE BE AB BD ==，∵EC=313422BE BD DC BD BD BD BD ++=++==13，∴2BD =，∴AE=33=2322BD ⨯=，∴AC=AE+EC=3+13=16．12．如图，点C 为线段AB 上一点，AB =30，且AC -BC =10．（1）求线段AC 、BC 的长．（2）点P 从A 点出发，以1个单位/秒的速度在线段AB 上向B 点运动，设运动时间为t 秒（20t <），点D 为线段PB 的中点，点E 为线段PC 的中点，若CD =25DE ，试求点P 运动时间t 的值．（3）若点D 为直线AB 上的一点，线段AD 的中点为E ，且12AD BD CE -=，求线段AD 的长．【答案】（1）20,10；（2）14t =或6t =；（3）AD 的长为：1609或160.【分析】（1）由30AC BC +=，10AC BC -=，再两式相加，即可得到AC ，再求解BC 即可；（2）以A 为原点画数轴，再利用数轴及数轴上线段的中点知识分别表示,,,,,A C B P D E 对应的数，由CD =25DE ，利用数轴上两点之间的距离公式建立绝对值方程，解方程可得答案；（3）以A 为原点画数轴，分三种情况讨论，当D 在A 的左侧，当D 在线段AB 上，当D 在B 的右侧，利用数轴与数轴上线段的中点知识，结合数轴上两点之间的距离分别表示,,AD BD CE ，再利用1,2AD BD CE -=建立方程，解方程即可得到答案．【解析】解：（1）AB =30，30AC BC ∴+=①又AC -BC =10②，①+②得：240,AC =20AC ∴=，10.BC ∴=（2）如图，以A 为原点画数轴，则,,,,A P C B 对应的数分别为：0,,20,30t ，点D 为线段PB 的中点，D ∴对应的数为：()1130+15,22t t =+点E 为线段PC 的中点，E ∴对应的数为：()1120+10,22t t =+1115205,22CD t t ∴=+-=-11111510151052222DE t t t ⎛⎫=+-+=+--= ⎪⎝⎭，CD =25DE ，1255,25t ∴-=152,2t ∴-=1522t ∴-=或152,2t -=-解得：14t =或6t =．由20t <，经检验：14t =或6t =都符合题意．（3）如图，以A 为原点画数轴，设D 对应的数为m ，当D 在A 的左侧时，AD BD -＜0，12AD BD CE ∴-≠，舍去，当D 在AB 上时，线段AD 的中点为E ，E ∴对应的数为：()110,22m m +=此时E 在AC 上，,30,AD m BD m ∴==-120,2CE m =-1,2AD BD CE -=()113020,22m m m ⎛⎫∴--=- ⎪⎝⎭123010,4m m ∴-=-940,4m ∴=160,9m ∴=1609AD ∴=，当D 在B 的右侧时，如图，同理：,30,AD m BD m ==-120,2CE m =-1,2AD BD CE -=()113020,22m m m ∴--=-12060,2m ∴-=120602m ∴-=或12060,2m -=-解得：80m =-（舍去），160,m =160AD ∴=，综上：AD 的长为：1609或160.13．如图，线段AB ＝20，BC ＝15，点M 是AC 的中点．（1）求线段AM 的长度；（2）在CB 上取一点N ，使得CN ：NB ＝2：3．求MN 的长．【答案】（1）52；（2）172【分析】（1）根据图示知AM ＝12AC ，AC ＝AB ﹣BC ；（2）根据已知条件求得CN ＝6，然后根据图示知MN ＝MC +NC ．【解析】解：（1）线段AB ＝20，BC ＝15，∴AC ＝AB ﹣BC ＝20﹣15＝5．又∵点M 是AC 的中点．∴AM ＝12AC ＝12×5＝52，即线段AM 的长度是52．（2）∵BC ＝15，CN ：NB ＝2：3，∴CN ＝25BC ＝25×15＝6．又∵点M 是AC 的中点，AC ＝5，∴MC ＝12AC ＝52，∴MN ＝MC +NC ＝172，即MN 的长度是172．14．如图，点C 在线段AB 上，8,6AC cm CB cm ==，点,M N 分别是AC BC ，的中点．()1求线段MN 的长;()2若C 为线段AB 上任一点，满足AC CB a +=，其它条件不变，猜想MN 的长度，并说明理由;()3若C 在线段AB 的延长线上，且满足,,AC BC b M N -=分别为AC BC ，的中点，猜想MN 的长度，请画出图形，写出你的结论，并说明理由;()4请用一句简洁的话，描述你发现的结论．【答案】()17cm ；()22aMN =，证明解解析；()32bMN =，证明见解析；()4见解析【分析】()1根据“点M 、N 分别是AC 、BC 的中点”，先求出MC 、CN 的长度，再利用MN CM CN =+即可求出MN 的长度即可；()2当C 为线段AB 上一点，且M ，N 分别是AC ，BC 的中点，则存在12MN a =；()3点在AB 的延长线上时，根据M 、N 分别为AC 、BC 的中点，即可求出MN 的长度；()4根据前面的结果解答即可．【解析】解：()1,M N 分别是,AC BC 的中点，8,6AC cm CB cm ==11,22MC AC CN BC ∴==()12MN MC CN AC BC =+=+Q ()18672MN cm \=+=()22aMN =,M N 分别是,AC BC 的中点11,22MC AC CN BC ∴==又MN MC CN =+Q ()122a MN AC BC ∴=+=()32bMN =∵AC BC b -=，∴C 在点B 的右边，如图示：,M N 分别是,AC BC 的中点，AC BC b -=11,22MC AC NC BC ∴==又NM MC NC =-()122b MN AC BC ∴=-=()4只要满足点C 在线段AB 所在直线上，点M N ，分别是AC BC ，的中点．那么MN 就等于AB 的一半。

【中考专题】中点模型（通关篇）—三种⽅法以微课堂⾼中版奥数国家级教练与四位⾼中特级教师联⼿打造，⾼中精品微课堂。

35篇原创内容公众号线段中点是⼏何部分⼀个⾮常重要的概念，和后⾯学习的中线，中位线等概念有着密切的联系.在⼏何证明题中也屡次出现.那么，如果在题中遇到中点你会想到什么？等腰三⾓形三线合⼀；直⾓三⾓形斜边上的中线等于斜边的⼀半；还是中位线定理？今天我们重点探究“倍长中线”法以及平⾏线间夹中点，延长中线交平⾏的应⽤。

建⽴模型模型⼀倍长中线如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线.当题中出现中线时，我们经常根据需要将AD延长，使延长部分和中线相等，这种⽅法叫做“倍长中线”.如下图：此时，易证△ACD≌EDB，进⽽得到AC=BE且AC//BE.模型⼆平⾏线夹中点如图，AB//CD，点E是BC的中点.可延长DE交AB于点F.平⾏线间夹中点.处理这种情况的⼀般⽅法是：延长过中点的线段和平⾏线我们把这种情况叫做平⾏线间夹中点相交.即“延长中线交平⾏”此时，易证△BEF≌△CED模型三中位线如图，在△ABC中，点D是AB边的中点.可作另⼀边AC的中点，构造三⾓形中位线.如下图所⽰：由中位线的性质可得，DE//BC且DE=1/2BC.模型运⽤例1、如图，在平⾏四边形ABCD中，AD=2AB，点E是BC边的中点.连接AE，DE.求∠AED的度数.分析：本题的证明⽅法有很多，⽐如利⽤“双平等腰”模型等（前⽂已对这种做法做过讲解，不再赘述.链接：课本例题引出的基本图形——双平等腰模型），这⾥主要讲⼀下平⾏线间夹中点的做法.根据平⾏四边形的性质可知，AB//CD，⼜点E是BC中点，构成了平⾏线间夹中点.当题中出现这些条件时，只需将AE延长和DC的延长线相交，就⼀定会得到全等三⾓形，进⽽得到我们需要的结果.证明：如图，延长AE交DC的延长线于点F.∵四边形ABCD是平⾏四边形∴AB//CD，即AB//DF∴∠BAE=∠CFE，∠B=∠FCE⼜∵点E是BC中点∴BE=CE∴△ABE≌△FCE∴CF=AB=CD，AE=FE∴DF=2CD, ⼜∵AD=2CD∴AD=DF,⼜因为点E是AF的中点∴DE⊥AF即∠AED=90°.反思：对于本题，还可以延长AE⾄点F使EF=AE，连接CF.通过证明△ABE≌△FCE得到AB//CF,利⽤经过直线外⼀点有且只有⼀条直线与已知直线平⾏，得到D、C、F三点共线.再证明△DAF 是等腰三⾓形，利⽤等腰三⾓形三线合⼀得到结论.对于第⼆种⽅法，同学们可以⾃⼰尝试.例2、在△ABC中，AB=AC，点F是BC延长线上⼀点，以CF为边，作菱形CDEF，使菱形CDEF与点A在BC的同侧，连接BE，点G是BE的中点，连接AG、DG．（1）如图①，当∠BAC=∠DCF=90°时，直接写出AG与DG的位置和数量关系；（2）如图②，当∠BAC=∠DCF=60°时，试探究AG与DG的位置和数量关系，（3）当∠BAC=∠DCF=α时，直接写出AG与DG的数量关系．分析：由题可知，DE//BF，且点G是BE的中点，满⾜平⾏线间夹中点，所以可将DG延长与BF 相交.证明：（1）AG=DG，且AG⊥DG.如图，延长DG交BF于点H，连接AH，AD.∵四边形CDEF是正⽅形，∴DE//CF即DE//BC∴∠GBH=∠GED，∠GHB=∠GDF⼜∵点G是BF的中点∴GB=GF∴△GBH≌△GDF(AAS)∴GD=GH，BH=DF∵DE=DC，∴BH=CD因为△ABC是等腰直⾓三⾓形∴AB=AC,∠ACD=180°-45°-90°=45°=∠ABC∴△ABH≌△ACD∴AH=AD，∠BAH=∠CAD∴∠DAH=∠CAD+∠CAH=∠BAH+∠CAH=∠BAC=90°∴△DAH是等腰直⾓三⾓形，⼜∵点G是DH的中点∴AG=DG且AG⊥DG.反思：若将正⽅形绕点C旋转任意⾓度，在旋转的过程中，上述结论还成⽴吗？试试看动画链接：/svg.html#posts/16428（选择复制并打开，可操作演⽰动画效果）(2)AG⊥DG，AG=√3DG如图，延长DG交BF于点H，连接AH，AD.∵四边形CDEF是菱形，∴DE//CF即DE//BC∴∠GBH=∠GED，∠GHB=∠GDF⼜∵点G是BF的中点∴GB=GF∴△GBH≌△GDF(AAS)∴GD=GH，BH=DF∵DE=DC，∴BH=CD因为△ABC是等边三⾓形∴AB=AC,∠ACD=180°-60°-60°=60°=∠ABC∴△ABH≌△ACD∴AH=AD，∠BAH=∠CAD∴∠DAH=∠CAD+∠CAH=∠BAH+∠CAH=∠BAC=60°∴△DAH是等边三⾓形，⼜∵点G是DH的中点∴AG⊥DG.∠DAG=1/2∠DAH=30°∴AG=√3DG动画链接：/svg.html#posts/16429（选择复制并打开，可操作演⽰动画效果）（3）AG⊥DG，DG=AG×tan(α/2)证明：延长DG与BC交于H，连接AH、AD，∵四边形CDEF是菱形，∴DE=DC，DE∥CF，∴∠GBH=∠GED，∠GHB=∠GDE，∵G是BE的中点，∴BG=EG，∴△BGH≌△EGD（AAS），∴BH=ED，HG=DG，∴BH=DC，∵AB=AC，∠BAC=∠DCF=α，∴∠ABC=90°﹣α/2，∠ACD=90°﹣α/2，∴∠ABC=∠ACD，∴△ABH≌△ACD（SAS），∴∠BAH=∠CAD，AH=AD，∴∠BAC=∠HAD=α；∴AG⊥HD，∠HAG=∠DAG=α/2，∴tan∠DAG=tan(α/2)，∴DG=AGtan（α/2）．动画链接：/svg.html#posts/16430（选择复制并打开，可操作演⽰动画效果）反思：在本题的证明中，我们结合题⽬中给出的平⾏线间夹中点这⼀条件，将DG进⾏延长和BC相交，通过全等使问题得证.对于本题我们也可以采⽤倍长中线法进⾏证明.下⾯⽤倍长中线法对第⼀种情况加以证明.证明：如图，延长AG⾄点H，使GH=AG.连接EH，AD，DH.在△ABG和△HEG中BG=EG,∠AGB=∠HGE，AG=HG∴△ABG≌△HEG∴AB=HE，∠ABG=∠HEG∵AB=AC∴AC=HE∵DE//BC∴∠DEG=∠EBC∴∠HED=∠HEB+∠DEG=∠ABG+∠EBC=∠ABC=45°⼜∠ACD=180°-45°-90°=45°∴∠ACD=∠HED在△ACD和△HED中AC=HE，∠ACD=∠HED，DC=DE∴△ACD≌△HEDDA=DH，∠ADC=∠HDE∴∠ADC-∠HDC=∠HDE-∠HDC即∠ADH=∠CDE=90°所以△ADH是等腰直⾓三⾓形⼜因为点G是AH的中点所以DG=AG，DG⊥AG.上⾯我们⽤倍长中线证明了第⼀种情况，请你对第⼆三问加以证明.反思：在本题的证明过程中，容易犯的⼀个错误是，许多同学看到HE经过点C，就说∠HED=45°.⽽这⼀结论是需要证明的.⼩试⾝⼿如图1，在正⽅形ABCD的边AB上任取⼀点E，作EF⊥AB交BD于点F，取FD的中点G，连接EG、CG.易证：EG=CG且EG⊥CG.（1）将△BEF绕点B逆时针旋转90°，如图2所⽰，则线段EG和CG有怎样的数量和位置关系？请直接写出你的猜想.（2）将△BEF绕点B逆时针旋转180°，如图3所⽰，则线段EG和CG⼜有怎样的数量和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明.（3）将△BEF绕点B旋转⼀个任意⾓度α，如图4所⽰，则线段EG和CG有怎样的数量和位置关系？请直接写出结论.前两问较简单，请同学们⾃⾏完成，这⾥只给出第三问的⼏种解法，仅供⼤家参考.解法⼀：如图，延长EG⾄点H，使GH=EG.连接DH，CE，CH.因为点G是DF的中点，所以GF=GD.根据SAS易证△GEF≌△GHDEF=HD且∠GEF=∠GHD，所以EF//DH.分别延长HD与EB交于点K，HD的延长线交BC于点M.如下图：因为EB⊥EF，⽽EF//DH，所以EK⊥HK，即∠BKM=∠MCD=90°.⼜∠BMK=∠CMD.根据三⾓形的内⾓和，可得∠KBM=∠MDC.所以∠EBC=∠HDC.⼜EB=HD，BC=DC所以△EBC≌△HDC.所以CE=CB且∠ECB=∠HCD.所以∠ECB=90°，即△BCE是等腰直⾓三⾓形，⼜因为点G是斜边EB的中点，所以CG⊥GE且CG=GE.⽹址链接：/svg.html#posts/16284（选中并打开⽹址看动态图）解法⼆：如图，延长CG⾄点N，是GN=CG.连接FN，EN，EC.以下过程可参照解法⼀⾃⾏完成解法三：延长FE⾄点P使得EP=EF，连接BP；延长DC⾄点Q，使得CQ=CD，连接BQ.连接FQ，DP。

专题4-几何辅助线专题详解专题4-几何辅助线专题详解 (1)一、辅助线添加策略 (3)策略1 按定义添辅助线 (3)策略2 按基本模型添辅助线 (3)二、添加辅助线的方法及举例 (4)方法1 求角思想及模型 (4)第一类：方程思想求角度 (4)第二类：转化思想求角度 (5)第三类：整体思想求角度 (7)第四类：数学模型—角平分线模型 (8)第五类：数学模型—对顶三角形模型 (9)第六类：分类讨论思想求角度 (9)方法2 关于中点的辅助线 (10)第一类：已知中点 (10)第二类：证中点 (14)方法3 截长补短法 (18)方法4 作垂线构造全等求点的坐标 (20)方法5 关于角平分线的辅助线 (22)第一类：角平分线上的点向两边作垂线 (22)第二类：过边上的点向两边作垂线 (24)第三类：过平分线上的点作一条边平行线构造等腰三角形 (27)第四类：利用角平分线的性质，在角两边截长补短 (28)方法6 等腰三角形的辅助线 (29)第一类：分类讨论思想 (30)第二类：“三线合一”作辅助线 (33)第三类：构造等腰三角形 (35)方法7 等边三角形的辅助线 (44)第一类：构造30°的直角三角形 (44)第二类：作平行线构造等边三角形 (47)第三类：共顶点的等边三角形 (50)一、辅助线添加策略三角形是基础几何图形，是一切几何图形证明的基础。

在求证几何图形时，往往需要添加辅助线构成新图形，进而形成新关系，使分散的条件集中，建立已知与未知的桥梁，把问题转化为常规问题去解决，则是三角形证明中的常规策略。

添加辅助线有二种常见策略：按定义添加辅助线、按基本模型添加辅助线。

策略1 按定义添辅助线（1）角平分线性质：角平分线上的点到两边的距离相等。

利用这个性质，常见辅助线为：取角平分线上一点，向角的两边作垂线。

（2）垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等。

利用这个性质，常见辅助线为：取垂直平分线上一点，连接该点与线段的两个端点。

初中数学平面几何之------中点问题口诀：三角形中两中点，连接则成中位线。

三角形中有中线，延长中线等中线。

在三角形中，如果已知一点是三角形某一边上的中点，那么首先应该联想到三角形的中线、中位线、加倍延长中线及其相关性质（直角三角形斜边中线性质、等腰三角形底边中线性质），然后通过探索，找到解决问题的方法。

（一）、中线把原三角形分成两个面积相等的小三角形即如图1，AD是ΔABC的中线，则SΔABD =SΔACD=SΔABC（因为ΔABD与ΔACD是等底同高的）。

例1．如图2，ΔABC中，AD是中线，延长AD到E，使DE=AD，DF是ΔDCE的中线。

已知ΔABC的面积为2，求：ΔCDF的面积。

解：因为AD是ΔABC的中线，所以SΔACD =SΔABC=×2=1，又因CD是ΔACE的中线，故SΔCDE =SΔACD=1，因DF是ΔCDE的中线，所以SΔCDF =SΔCDE=×1=。

∴ΔCDF的面积为。

（二）、由中点应想到利用三角形的中位线例2．如图3，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，BA、CD的延长线分别交EF的延长线G、H。

求证：∠BGE=∠CHE。

证明：连结BD，并取BD的中点为M，连结ME、MF，∵ME是ΔBCD的中位线，∴ME CD，∴∠MEF=∠CHE，∵MF是ΔABD的中位线，∴MF AB，∴∠MFE=∠BGE，∵AB=CD，∴ME=MF，∴∠MEF=∠MFE，从而∠BGE=∠CHE。

（三）、由中线应想到延长中线例3．图4，已知ΔABC中，AB=5，AC=3，连BC上的中线AD=2，求BC的长。

解：延长AD到E，使DE=AD，则AE=2AD=2×2=4。

在ΔACD和ΔEBD中，∵AD=ED，∠ADC=∠EDB，CD=BD，∴ΔACD≌ΔEBD，∴AC=BE，从而BE=AC=3。

在ΔABE中，因AE2+BE2=42+32=25=AB2，故∠E=90°，∴BD===，故BC=2BD=2。