八年级数学下册第19章矩形、菱形与正方形19.3正方形练习2(无答案)(新版)华东师大版

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第4题图OFE DCBA八年级下数学第19章 矩形、菱形与正方形测试题（时限:100分钟 满分：100分）一、选择题（本大题共12小题，每小题2分，共24分)1.□ABCD 中，∠A 比∠B 大40°，则∠C 的度数为( ）A. 60° B 。

70° C. 100° D 。

110° 2.□ABCD 的周长为40cm ，△ABC 的周长为25cm,则对角线AC 长为（ ） A 。

5cm B 。

6cm C 。

8cm D 。

10cm3。

在□ABCD 中，∠A ＝43°，过点A 作BC 和CD 的垂线，那么这两条垂线的夹角度为（ ) A. 113° B. 115° C 。

137° D 。

90° 4。

如图，在□ABCD 中，EF 过对角线的交点O ，AB ＝4，AD ＝3,OF ＝1。

3,则四边形BCEF 的周长为（ ）A. 8。

3 B 。

9。

6 C. 12.6D. 13。

65.下列命题:①一组对边平行，另一组对边相等的四边形 是平行四边形；②对角线互相平分的四边形是平行四边形；③在四边形ABCD 中,AB ＝AD,BC ＝DC ，那么这个四边形ABCD 是平行四边形；④一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形.其中正确命题的个数是（ ）A. 0个B. 1个C. 3个 D 。

１９ ３㊀正方形一㊁旧知链接１．菱形有哪些性质？２．什么样的四边形是菱形？３．什么样的平行四边形是菱形？二㊁新知速递１．正方形的性质：（１）正方形的四条边都㊀㊀㊀㊀㊀，四个角都是㊀㊀㊀㊀㊀；（２）两条对角线互相㊀㊀㊀㊀㊀；（３）正方形的对角线与边的夹角的度数是㊀㊀㊀㊀㊀．２．正方形的判定：（１）有一个角是直角的㊀㊀㊀㊀㊀是正方形；（２）有一组邻边相等的㊀㊀㊀㊀㊀是正方形；（３）有一个角是直角有一组邻边相等的㊀㊀㊀㊀㊀是正方形．１．下列命题是真命题的是（㊀㊀）．㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀Ａ 矩形的对角线互相垂直Ｂ 菱形的对角线相等Ｃ 正方形的对角线相等且互相垂直Ｄ 四边形的对角线互相平分２．在四边形ＡＢＣＤ中，Ｏ是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（㊀㊀）．Ａ ＡＣ＝ＢＤ，ＡＢʊＣＤ，ＡＢ＝ＣＤＢ ＡＤʊＢＣ，øＡ＝øＣＣ ＡＯ＝ＢＯ＝ＣＯ＝ＤＯ，ＡＣʅＢＤＤ ＡＯ＝ＣＯ，ＢＯ＝ＤＯ，ＡＢ＝ＢＣ第十九单元㊀矩形、菱形与正方形３．如图１９－３－１４所示，Ｅ是正方形ＡＢＣＤ的边ＡＤ上任意一点，ＥＦʅＢＤ于点Ｆ，ＥＧʅＡＣ于点Ｇ，若ＡＢ＝１０ｃｍ，则四边形ＥＦＯＧ的周长是㊀㊀㊀㊀㊀．图１９－３－１４基础训练１．矩形㊁正方形㊁菱形的共同性质是（㊀㊀）．㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀Ａ 对角线相等Ｂ 对角线互相垂直Ｃ 对角线互相平分Ｄ 每一条对角线平分一组对角２．下列说法中，正确的是（㊀㊀）．Ａ 有两边相等的平行四边形是菱形Ｂ 有一个角是直角的四边形是矩形Ｃ 四个角相等的菱形是正方形Ｄ 两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形３．如图１９－３－１５，正方形ＡＢＣＤ中，ＣＥʅＭＮ，øＭＣＥ＝３５ʎ，那么øＡＮＭ是（㊀㊀）．Ａ ４５ʎＢ ５５ʎＣ ６５ʎＤ ７５ʎ图１９－３－１５㊀㊀㊀图１９－３－１６㊀㊀㊀图１９－３－１７４．如图１９－３－１６所示，在四边形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＤ＝ＤＡ，对角线ＡＣ与ＢＤ相交于点Ｏ．若不增加任何字母与辅助线，要使得四边形ＡＢＣＤ是正方形，则还需增加的一个条件是㊀㊀㊀㊀㊀．５．如图１９－３－１７正方形ＡＢＣＤ中，ＡＣ是对角线，Ｅ是ＢＣ延长线上一点，ＣＥ＝ＡＣ，则øＥ＝㊀㊀㊀度．拓展提高６．如图１９－３－１８，正方形ＡＢＣＤ的对角线ＡＣ㊁ＢＤ交于点Ｏ，øＯＣＦ＝øＯＢＥ．试猜想ＯＥ与ＯＦ的大小关系，并说明理由．图１９－３－１８㊀㊀７．如图１９－３－１９，在四边形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝ＢＣ，对角线ＢＤ平分øＡＢＣ，Ｐ是ＢＤ上一点，过点Ｐ作ＰＭʅＡＤ，ＰＮʅＣＤ，垂足分别为Ｍ，Ｎ．（１）求证：øＡＤＢ＝øＣＤＢ；（２）若øＡＤＣ＝９０ʎ，求证：四边形ＭＰＮＤ是正方形．发散思维８．如图１９－３－２０，正方形ＡＢＣＤ中，ＡＣ是对角线，ＡＥ平分øＢＡＣ，试猜想ＡＢ㊁ＡＣ㊁ＢＥ之间的关系，并证明你的猜想．图１９－３－２０。

19.3 正方形一、填空题1、如图，E是正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE＝BC，则∠ACE＝ °.2、如图，四边形ABDC是正方形，延长CD到点E，使CE=CB，则∠AEC＝ °.3、如图，正方形ABCD中，点E在BC的延长线上，AE平分∠DAC,则下列结论：①∠E=22.5°；②∠AFC=112.5°；③∠ACE=135°；④AC=CE；⑤AD∶CE=1∶. 其中正确2的有个.4、如图，等边△EDC在正方形ABCD内，连结EA、EB，则∠AEB＝°；∠ACE＝°.5、已知正方形ABCD，以CD为边作等边△CDE，则∠AED的度数是 °.6、如图，四边形ABCD是正方形，E是边CD上一点，若△AFB经过逆时针旋转角θ（0°＜θ＜180°）后，与△AED重合，则θ值为 °第6题图第7题图第8题图第9题图7、已知正方形ABCD中，点E在边DC上，DE = 2，EC = 1，把线段AE绕点A旋转，使点E落在直线BC上的点F处，则F、C两点的距离为___________.8、如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE的和最小，则这个最小值为 .9、如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B'处，点A对应点为A'，且CB'=3，则CN= ；AM的长是 .10、正方形的面积是31，则其对角线长是________.11、如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O1、O2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是 .12、如图，将n个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放，点A1、A2、…、A n分别是正方第1题图第2题图第3题图第4第11题图第12题图第13题图第14题图形的中心，则n个这样的正方形重叠部分的面积和为 .13、边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°得到正方形AB′C′D′，两图叠成一个“蝶形风筝”（如图所示重叠部分），则这个风筝的面积是 . 14、如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45度后得到正方形AB′C′D′，边B′C′与DC交于点O，则四边形AB′OD的周长是 .15、如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CD＝3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连结AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG＝GC；③AG∥CF；④S△FGC＝3．其中正确的结论是 .（填序号）二、解答题16、如图，正方形ABCD中，E、F、G分别是AD、AB、BC上的点，且AE=FB=GC.试判断△EFG的形状，并说明理由.17、E为正方形ABCD内一点，且△EBC是等边三角形，求∠EAD的度数.18、如图，在正方形ABCD中，F是CD的中点，E是BC边上一点，且AF平分∠DAE，求证：AE=EC+CD.。

19.3 正方形1.菱形、矩形、正方形都具有的性质是( C )(A)对角线相等(B)对角线互相垂直(C)对角线互相平分(D)对角线平分一组对角2.下列命题错误的是( C )(A)对角线互相平分的四边形是平行四边形(B)对角线相等的平行四边形是矩形(C)一条对角线平分一组对角的四边形是菱形(D)对角线互相垂直的矩形是正方形3.已知四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=∠D,如果添加一个条件,即可推出该四边形是正方形,那么这个条件可以是( D )(A)∠D=90° (B)AB=CD(C)AD=BC (D)BC=CD4.如图,把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开,折痕为MN,再过点B折叠纸片,使点A落在MN上的点F处,折痕为BE.若AB的长为2,则FM的长为( B )(A)2 (B)(C) (D)15.能使平行四边形ABCD为正方形的条件是AC=BD且AC⊥BD(答案不唯一) (填上一个条件即可).6.如图,在四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA,对角线AC与BD相交于点O,若不增加任何字母与辅助线,要使四边形ABCD是正方形,则还需增加一个条件是AC=BD或(AB⊥BC)(答案不唯一) .7.如图,正方形ABCD的边长为2,点E在AB边上.四边形EFGB也为正方形,则△AFC的面积为 2 .8.(2018武汉)以正方形ABCD的边AD作等边△ADE,则∠BEC的度数是30°或150°.9.已知:如图,四边形ABCD是正方形,分别过点A,C两点作l1∥l2,作BM⊥l1于M,DN⊥l1于N,直线MB,DN分别交l2于Q,P点.求证:四边形PQMN是正方形.证明:因为PN⊥l1,QM⊥l1,所以PN∥QM,∠PNM=90°.因为PQ∥NM,所以四边形PQMN是矩形.因为四边形ABCD是正方形,所以∠BAD=∠ADC=90°,AB=AD=DC.所以∠1+∠2=90°.又∠3+∠2=90°,所以∠1=∠3.所以△ABM≌△DAN.所以AM=DN.同理AN=DP.所以AM+AN=DN+DP,即MN=PN.所以四边形PQMN是正方形.10.已知:如图,四边形ABCD中,AD∥BC,AD=CD,E是对角线BD上一点,且EA=EC.(1)求证:四边形ABCD是菱形;(2)如果BE=BC,且∠CBE∶∠BCE=2∶3,求证:四边形ABCD是正方形.证明:(1)在△ADE与△CDE中,所以△ADE≌△CDE(S.S.S.),所以∠ADE=∠CDE,因为AD∥BC,所以∠ADE=∠CBD,所以∠CDE=∠CBD,所以BC=CD,因为AD=CD,所以BC=AD,所以四边形ABCD为平行四边形,因为AD=CD,所以四边形ABCD是菱形.(2)因为BE=BC,所以∠BCE=∠BEC,因为∠CBE∶∠BCE=2∶3,所以∠CBE=180°×=45°,因为四边形ABCD是菱形,所以∠ABE=45°,所以∠ABC=90°,所以四边形ABCD是正方形.11.(开放探究题)已知,如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,垂足为点D,AN是△ABC外角∠CAM的平分线,CE⊥AN,垂足为点E.(1)求证:四边形ADCE为矩形;(2)当△ABC满足什么条件时,四边形ADCE是一个正方形?并说明理由.(1)证明:因为AD,AN分别是∠BAC的内角、外角平分线,所以∠BAD=∠CAD,∠CAE=∠MAE.因为∠BAD+∠CAD+∠CAE+∠MAE=180°.所以2∠CAD+2∠CAE=180°.所以∠CAD+∠CAE=90°,即∠DAE=90°,因为AD⊥BC,CE⊥AN,所以∠ADC=∠AEC=∠DAE=90°,所以四边形ADCE是矩形.(2)解:当△ABC是以∠BAC为直角的等腰直角三角形时,四边形ADCE是正方形. 理由如下:因为△ABC是以∠BAC为直角的等腰直角三角形,AD⊥BC,所以∠CAD=∠BAD=45°.∠ACD=45°.所以∠CAD=∠ACD=45°.所以AD=CD.因为四边形ADCE是矩形,所以四边形ADCE是正方形.12.(拓展探究题)如图,四边形ABCD,DEFG都是正方形,连结AE,CG.(1)求证:AE=CG;(2)观察图形,猜想AE与CG之间的位置关系,并证明你的猜想.(1)证明:因为AD=CD,DE=DG,∠ADC=∠GDE=90°,又∠CDG=90°+∠ADG=∠ADE,所以△ADE≌△CDG.所以AE=CG.(2)解:猜想:AE⊥CG.证明:如图,设AE与CG交点为M,AD与CG交点为N.由(1)得△ADE≌△CDG,所以∠DAE=∠DCG.又因为∠ANM=∠CND,所以∠CND+∠DCN=90°,即∠ANM+∠DAE=90°,所以∠AMN=∠ADC=90°.所以AE⊥CG.。

第19章矩形、菱形与正方形一、选择题1.如图，在平行四边形ABCD中，AC平分∠DAB ，AB＝2，则平行四边形ABCD的周长为（）.A. 4B. 6C. 8D. 122.在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O ，则下列说法不正确的是（）.A. AO⊥BOB. ∠ABD＝∠CBDC. AO＝BOD. AD＝CD3.菱形的周长为8cm，高为1cm，则该菱形两邻角度数比为（）A. 3：1B. 4：1C. 5：1D. 6：14.下列性质中，矩形、菱形、正方形都具有的是（）A. 对角线相等B. 对角线互相垂直C. 对角线平分一组对角D. 对角线互相平分5.如图，菱形ABCD的两条对角线相交于点O，若AC=6，BD=4，则菱形ABCD的周长是（）A. 24B. 16C. 2D. 46.（如图，菱形ABCD的周长为24cm，对角线AC、BD相交于O点，E是AD的中点，连接OE，则线段OE 的长等于（）A. 3cmB. 4cmC. 2.5cmD. 2cm7.如图，在矩形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，若OB=4，则BD的长为（）A. 4B. 6C. 8D. 108.下列条件中，不能判定四边形ABCD为菱形的是（）A. AC⊥BD，AC与BD互相平分B. AB=BC=CD=DAC. AB=BC，AD=CD，AC⊥BDD. AB=CD，AD=BC，AC⊥BD9.已知四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AD∥BC，下列判断中错误的是（）A. 如果AB=CD，AC=BD，那么四边形ABCD是矩形B. 如果AB∥CD，AC=BD，那么四边形ABCD是矩形C. 如果AD=BC，AC⊥BD，那么四边形ABCD是菱形D. 如果OA=OC，AC⊥BD，那么四边形ABCD是菱形10.如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，已知下列6个条件：①AB∥DC；②AB=DC；③AC=BD；④∠ABC=90°；⑤OA=OC；⑥OB=OD.则不能使四边形ABCD成为矩形的是( )A. ①②③B. ②③④C. ②⑤⑥D. ④⑤⑥二、填空题11.已知菱形的一条对角线长为6cm，面积为24cm2，则菱形的周长是________ cm．12.矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠AOD=120°，AC+BD=16，则该矩形的面积为________13.如图，正方形CEGF的顶点E、F在正方形ABCD的边BC、CD上，且AB=5，CE=3，连接BG、DG，则图中阴影部分的面积是________14.如图，在△ABC中，点D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点，使四边形AFDE为菱形，应添加的条件是________ （添加一个条件即可）．15.如图，顺次连接矩形ABCD四边的中点得到四边形A1B1C1D1，然后顺次连接四边形A1B1C1D1的中点得到四边形A2B2C2D2，再顺次连接四边形A2B2C2D2四边的中点得到四边形A3B3C3D3，…，已知AB=6，BC=8，按此方法得到的四边形A5B5C5D5的周长为________．16.如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点0，E，F分别为OB，OD上的点，且OE=OF，则由OA=________可以得到四边形AECF是平行四边形，理由是________．17.如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点E、F，AB=2，BC=3，则图中阴影部分的面积为________．18.如图，边长为a的正方形ABCD和边长为b的正方形BEFG排放在一起，O1和O2分别是这两个正方形的中心，则阴影部分的面积为________．三、解答题19.如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，CE=CF，∠FDC=30°，求∠BEF的度数．20.已知：如图，D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，若MA=MC，∠BAN=90°，求证：四边形ADCN是矩形．21.已知，如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为A（10，0），C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC边上运动．当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，求点P 的坐标．22.如图，在□ABCD中，BF平分∠ABC交AD于点F，AE⊥BF于点O，交BC于点E，连接EF．（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）连接CF，若∠ABC=60°，AB= 4，AF =2DF，求CF的长．23.已知：如图，菱形花坛ABCD周长是80m，∠ABC=60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD，相交于O点．（1）求两条小路的长AC、BD．（结果可用根号表示）（2）求花坛的面积．（结果可用根号表示）24.如图，在矩形纸片ABCD中，AD=5，AB=3，点为上一点，沿着AE剪下，将它平移至的位置，拼成四边形．（1）当点E与点B的距离是多少时，四边形是菱形？并说明理由；（2）在（1）的条件下，求菱形的两条对角线的长．25.如图，将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点F处，FC交AD于E．（1）求证：△AFE ≌△CDF；（2）若AB=4，BC=8，求图中阴影部分的面积．参考答案一、选择题1. C2. C3. C4. D5. D6. A7. C8. C9.A 10.C二、填空题11.20 12.16 13.8 14.AF=AE 15.516.OC；对角线互相平分的四边形是平行四边形17.3 18.ab三、解答题19.解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD=∠DCF=90°，BC=CD，∵CE=CF，∠FDC=30°，∴△BCE≌△DCF，∴∠EBC=∠FDC=30°，∴∠BEC=60°，∵∠DCF=90°，CE=CF，∴∠FEC=45°，∴∠BEF=∠BEC+∠FEC=60°+45°=105°．20.证明：∵CN∥AB，∴∠DAC=∠NCA，在△AMD和△CMN中，∵，∴△AMD≌△CMN（ASA），∴AD=CN．又∵AD∥CN，∴四边形ADCN是平行四边形．又∵∠BAN=90度，∴四边形ADCN是矩形21.解：过P作PM⊥OA于M．（1）当OP=OD时，OP=5，CO=4，∴易得CP=3，∴P（3，4）；（2）当OD=PD时，PD=DO=5，PM=4，∴易得MD=3，从而CP=2或CP'=8，∴P（2，4）或（8，4）；综上，满足题意的点P的坐标为（3，4）、（2，4）、（8，4），22.（1）证明：∵BF平分∠ABC，∴∠ABF=∠CBF，∵□ABCD，∴AD∥B，∴∠AFB=∠CBF，∴∠ABF=∠AFB，∴AB=AF，∵AE⊥BF，∴∠ABF+∠BAO=∠CBF+∠BEO=90°，∴∠BAO=∠BEO，∴AB=BE，∴AF=BE，∴四边形ABEF是平行四边形，∴□ABEF是菱形（2）解：∵AD=BC，AF=BE，∴DF=CE，∴BE=2CE，∵AB=4，∴BE=4，∴CE=2，过点A作AG⊥BC于点G，∵∠ABC=60°，AB=BE，∴△ABE是等边三角形，∴BG=GE=2，∴AF=CG=4，∴四边形AGCF是平行四边形，∴□AGCF是矩形，∴AG=CF，在△ABG中，∠ABC=60°，AB=4，∴AG=2 。

华东师大版八年级下册第19章矩形、菱形与正方形19．2菱形菱形的性质运用菱形的有关知识进行计算和说理专题练习题1．已知菱形的周长为16 cm，一条对角线长为4 cm，则菱形的4个角分别为() A．30°，150°，30°，150°B．45°，135°，45°，135°C．60°，120°，60°，120°D．以上都不对2．如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM＝CN，MN与AC相交于点O，连结BO.若∠DAC＝28°，则∠OBC的度数为()A．28°B．52°C．62°D．72°3．如图，在菱形ABCD中，点E是AB上的一点，连结DE交AC于点O，连结BO，且∠AED＝50°，则∠CBO＝____度．4．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠CAD，分别交OD，CD于F，E两点，求∠AFO的度数．5．如图，在菱形ABCD中，AB＝13 cm，BC边上的高AH＝5 cm，那么对角线AC的长为____cm.6．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于点H，则DH的长为()A.245 B.125C．5 D．47．如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝6，BD＝10，则菱形ABCD的面积为____．8．如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为10和4时，则阴影部分的面积为____．9．如图，O是菱形ABCD对角线AC与BD的交点，CD＝5 cm，OD＝3 cm, 过点C作CE∥DB，过点B作BE∥AC，CE与BE相交于点E.(1)求OC的长；(2)求四边形OBEC的面积．10．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝44°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连结DF，则∠CDF等于()A．112°B．114°C．116°D．118°11．在菱形ABCD中，∠A＝30°，在同一平面内，以对角线BD为底边作顶角为120°的等腰三角形BDE，则∠EBC的度数为．12．如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB的延长线于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，求证：DF＝BE.13．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，E为BC中点，AE⊥BC，AF⊥CD于点F，CG∥AE，CG交AF于点H，交AD于点G.(1)求菱形ABCD的面积；(2)求∠CHA的度数．14．如图，在菱形ABCD中，F是BC上任意一点，连结AF交对角线BD于点E，连结EC.(1)求证：AE＝EC；(2)当∠ABC＝60°，∠CEF＝60°时，点F在线段BC上的什么位置？请说明理由．15．如图，将两张长为4，宽为1的矩形纸条交叉并旋转，使重叠部分成为一个菱形．旋转过程中，当两张纸条垂直时，菱形周长的最小值是4，那么菱形周长的最大值是____．16．如图1，在菱形ABCD中，点E，F分别为AB，AD的中点，连结CE，CF.(1)求证：CE＝CF；(2)如图2，若H为AB上一点，连结CH，使∠CHB＝2∠ECB，求证：CH＝AH＋AB.答案：1. C2. C3. 504. ∵在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，∴∠BAD＝60°，∵对角线AC，BD相交于点O，∴∠BAC＝∠CAD＝30°，∠DOA＝90°，∵AE平分∠CAD，∴∠OAF＝15°，∴∠AFO 的度数为90°－15°＝75°5. 266. A7. 308. 109. (1)∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴在Rt△OCD中，OC＝CD2－OD2＝52－32＝4 (cm)(2)∵CE∥DB，BE∥AC，∴四边形OBEC为平行四边形，又∵AC⊥BD，即∠COB＝90°，∴平行四边形OBEC为矩形，∵OB＝OD，∴S四边形OBEC＝OB·OC＝4×3＝12(cm2)10. B11. 45°或105°12. 连结AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AC平分∠DAB，CD＝BC，∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE＝CF，∠CFD＝∠CEB＝90°，∴Rt△CDF≌Rt△CBE(HL)，∴DF＝BE13. (1)连结AC，BD，并且AC和BD相交于点O，∵AE⊥BC，且AE平分BC，∴AB＝AC＝BC，∴BE＝12BC＝2，∴AE＝42－22＝23，S＝BC·AE＝4×23＝83，∴菱形ABCD的面积是83(2)∵AC＝AB＝AD＝CD，△ADC是等边三角形，∵AF⊥CD，∴∠DAF＝30°，又∵CG∥AE，AE⊥BC，∴四边形AECG是矩形，∴∠AGH＝90°，∴∠AHC＝∠DAF＋∠AGH＝120°14. (1)连结AC，∵BD也是菱形ABCD的对角线，∴BD垂直平分AC，∴AE＝EC(2)点F是线段BC的中点．理由：在菱形ABCD中，AB＝BC，又∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∵AE＝EC，∴∠EAC＝∠ACE，∵∠CEF＝60°，∴∠EAC＝12∠CEF＝30°，∴∠EAC＝12∠BAC，∴AF是△ABC的角平分线，∵AF交BC于点F，∴AF是△ABC的BC边上的中线，∴点F是线段BC的中点15. 17 216.(1)易证△BCE≌△DCF(SAS)，∴CE＝CF(2)延长BA与CF，交于点G，∵四边形ABCD是菱形，∴∠B＝∠D，AB＝BC＝CD＝AD，AF∥BC，AB∥CD，∴∠G＝∠FCD，∵点F为AD的中点，且AG∥CD，易证△AGF≌△DCF(AAS)，∴AG＝CD，∵AB＝CD，∴AG＝AB，∵△BCE≌△DCF，∴∠ECB＝∠DCF ＝∠G，∵∠CHB＝2∠ECB，∴∠CHB＝2∠G，∵∠CHB＝∠G＋∠HCG，∴∠G＝∠HCG，∴GH＝CH，∴CH＝AH＋AG＝AH＋AB初中数学试卷桑水出品。

第19章矩形、菱形与正方形19.3 正方形1．在四边形ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，能判定这个四边形为正方形的是()A．AD∥BC，∠B＝∠DB．AC＝BD，AB＝CD，AD＝BCC．OA＝OC，OB＝OD，AB＝BCD．OA＝OB＝OC＝OD，AC⊥BD2．如图，点E是正方形ABCD的对角线BD上的一点，DE≠EB，则图中的全等三角形的对数共有()A．1对B．2对C．3对D．4对3．如图，四边形ABCD是正方形，延长BC至点E，使CE＝CA，连结AE，交CD于点F，则∠AFC的度数是()A．150°B．125°C．135°D．112.5°4．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，则∠BED的度数为____．5．[兰州]在平行四边形ABCD中，对角线AC与DB相交于点O.要使四边形ABCD是正方形，还需添加一组条件．下面给出了四组条件：①AB⊥AD，且AB＝AD；②AB＝BD，且AB⊥BD；③OB＝OC，且OB⊥OC；④AB＝AD，且AC＝BD.其中正确的序号是________．6．[2018·广安]如图，四边形ABCD是正方形，M为BC上的点，连结AM，延长AD至点E，使得AE＝AM，过点E作EF⊥AM，垂足为F.求证：AB＝EF.7．[2018·洛宁县期末]如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连结EB、ED.(1)写出图中所有的全等三角形；(2)延长BE交AD于点F，若∠DEB＝140°，求∠AFE的度数．8．[2018·灵石县期末]如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD是∠ABC的平分线，过点A作AE∥BC交BD的延长线于点E，过点E作EF⊥BC交其延长线于点F.求证：四边形ABFE 是正方形．9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为∠ACB的平分线，DE⊥BC于点E，DF⊥AC 于点F.求证：四边形CEDF是正方形．10．[2018·肥城市期末]如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB＝32，E 为OC上一点，OE＝1，连结BE，过点A作AF⊥BE于点F，与BD交于点G.(1)BE与AG相等吗？若相等，请证明；若不相等，请说明理由；(2)求AF的长．11．[2018·吉林改编]如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、DC上的点，且AF⊥BE，垂足为G.(1)求证：AF＝BE；(2)如图2，在正方形ABCD中，M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA上的点，且MP⊥NQ.MP与NQ是否相等？请说明理由．图1图212．[2018·惠城区期末]如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，点O为AB的中点，过点A作直线AE交DO的延长线于点E，使∠EAB＝∠C，连结BE.(1)求证：BC∥AE；(2)求证：四边形AEBD是矩形；(3)当△ABC满足什么条件时，四边形AEBD是正方形，并说明理由．13．[2018·成都期末]如图，正方形ABCD中，AB＝4，点E是对角线AC上的一点，连结DE.过点E作EF⊥ED，交AB于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连结AG.(1)求证：矩形DEFG是正方形；(2)求AG＋AE的值．14．[宿迁]如图，正方形ABCD的边长为3，点E在边AB上，且BE＝1，若点P在对角线BD上移动，则PA＋PE的最小值是________．参考答案1． D2． C3． D4．45°5．①③④6．证明：∵四边形ABCD为正方形，∴∠B＝90°，AD∥BC，∴∠EAF＝∠BMA.∵EF⊥AM，∴∠AFE＝90°＝∠B，在△ABM 和△EFA 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠EAF＝∠AMB，∠B＝∠AFE＝90°，AM ＝EA ，∴△ABM ≌△EFA (AAS )，∴AB ＝EF .7．解：(1)根据正方形的对称性，正方形ABCD 关于直线AC 成轴对称，所以全等的三角形有：△ADC ≌△ABC ，△ADE ≌△ABE ，△DCE ≌△BCE .(2)∵四边形ABCD 是正方形，∴DC ＝CB ，∠DCE ＝∠BCE ＝45°，且CE ＝CE ， ∴△DCE ≌△BCE ， ∴∠DEC ＝∠BEC . ∵∠DEB ＝140°， ∴∠DEC ＝∠BEC ＝70°， ∴∠EBC ＝65°， ∵AD ∥BC ，∴∠AFE ＝∠CBE ＝65°.8．证明：∵AE ∥BC ，∠ABC ＝90°， ∴∠ABC ＋∠BAE ＝180°， ∴∠BAE ＝90°. ∵EF ⊥BC 于点F ， ∴∠F ＝90°，∵∠F ＝∠ABC ＝∠BAE ＝90°，∴四边形ABFE是矩形，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝45°，∴∠AEB＝∠EBF＝45°，∴∠ABE＝∠AEB＝45°，∴AB＝AE，∴四边形ABFE是正方形．9．证明：∵CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，∴DE＝DF，∠DFC＝90°，∠DEC＝90°.又∵∠ACB＝90°，∴四边形CEDF是矩形．∵DE＝DF，∴矩形CEDF是正方形．10．解：(1)BE＝AG.证明：∵AF⊥BE，∴∠AFE＝∠OAG＋AEF＝90°.∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，AO＝BO，∴∠AOG＝∠OAG＋∠AGO＝90°，∴∠AEF＝∠AGO.在△AOG和△BOE中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AOG＝∠BOE＝90°，∠AGO＝∠BEO，AO ＝BO ，∴△AOG ≌△BOE (AAS )， ∴AG ＝BE .(2)∵△AOB 是等腰直角三角形，且AB ＝32， ∴BO ＝3. ∵OE ＝1， ∴AE ＝3＋1＝4.由勾股定理得BE ＝32＋12＝10，S △ABE ＝12BE ·AF ＝12AE ·OB ，∴12×10×AF ＝12×4×3， ∴AF ＝6105.11．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴BA ＝AD ，∠BAD ＝∠D ＝90°， ∴∠FAD ＋∠AFD ＝90°. ∵AF ⊥BE ，∴∠AGE ＝90°， ∴∠FAD ＋∠AEG ＝90°， ∴∠AFD ＝∠AEG ， ∴△DAF ≌△ABE (AAS )， ∴AF ＝BE .(2)MP ＝NQ .理由：如答图，过点A 作AF ∥MP 交CD 于点F ，过点B 作BE ∥NQ 交AD 于点E ，得到BEQN 和AFPM ，∴AF ＝MP ，BE ＝NQ .∵AF ∥MP ，BE ∥NQ ，MP ⊥NQ ，∴AF ⊥BE ，∴由(1)得AF ＝BE ，∴MP ＝NQ . 12．解：(1)证明：∵AB ＝AC ， ∴∠CBA ＝∠C . 又∵∠EAB ＝∠C ， ∴∠EAB ＝∠CBA ， ∴BC ∥AE .(2)证明：∵点O 为AB 的中点， ∴BO ＝AO .在△BOD 和△AOE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠DBO＝∠EAO，BO ＝AO ，∠BOD＝∠AOE，∴△BOD ≌△AOE (ASA )，∴BD ＝EA . ∵BC ∥AE ，即BD ∥AE ， ∴四边形AEBD 是平行四边形．又∵在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，∴AD⊥BC，∴∠BDA＝90°，∴四边形AEBD是矩形．(3)当△ABC满足∠BAC＝90°时，四边形AEBD是正方形．理由如下：∵AD是△ABC的角平分线，AB＝AC，∴AD⊥BC，∴∠DBA＝∠BAD＝45°，∴BD＝DA.∵四边形AEBD是矩形，∴四边形AEBD是正方形．13．解：(1)证明：如答图，作EM⊥AD于点M，EN⊥AB于点N.∵四边形ABCD是正方形，∴∠EAD＝∠EAB.∵EM⊥AD于点M，EN⊥AB于点N，∴EM＝EN.∵∠EMA＝∠ENA＝∠DAB＝90°，∴四边形ANEM是正方形，∴∠MEN＝∠DEF＝90°，∴∠DEM＝∠FEN.∵∠EMD＝∠ENF＝90°，∴△EMD≌△ENF，∴ED＝EF，∵四边形DEFG是矩形，∴四边形DEFG是正方形．(2)∵四边形DEFG是正方形，四边形ABCD是正方形，∴DG＝DE，DC＝DA＝AB＝4，∠GDE＝∠ADC＝90°，∴∠ADG＝∠CDE，∴△ADG≌△CDE，∴AG＝CE，∴AE＋AG＝AE＋EC＝AC＝2AD＝4 2.14．10【解析】作出点E关于BD的对称点E′交BC于E′，连结AE′与BD交于点P，此时AP＋PE最小，∵PE＝PE′，∴AP＋PE＝AP＋PE′＝AE′，在Rt△ABE′中，AB＝3，BE′＝BE＝1，根据勾股定理得AE′＝10，则PA＋PE的最小值为10.。