高优指导高考数学一轮复习 第十三章 选修4系列 13.3 不等式选讲课件 文 北师大版选修45

次不等式(组)或一元二次不等式(组)进行求解.
(2)含有多个绝对值符号的不等式,一般可用零点分段法分类讨论求
解.
(3)对于形如|x-a|+|x-b|>m或|x-a|+|x-b|<m(m为正常数)的不等式,利
用实数绝对值的几何意义求解较简便,即利用数形结合法,把绝对值转化
为数轴上的动点x到两个定点a,b的距离之和.
shi)梳理
双基自测
(zì cè)
自测(zì
cè)点评
1.对于绝对值三角不等式,易忽视等号成立的条件.对|a+b|≥|a|-|b|,当且
仅当a≥-b≥0时,等号成立;对|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|,当且仅当|a|≥|b|,且
ab≥0时左边等号成立,当且仅当ab≤0时右边等号成立.
2.解形如|x-a|+|x-b|≥c(c>0)的不等式一般利用零点分段法求解.
(1)对|a-b|≤|a|+|b|当且仅当ab≤0时等号成立.(
)
(2)|a+b|+|a-b|≥|2a|.(
)
(3)|x-a|+|x-b|的几何意义是表示数轴上的点x到点a,b的距离之和.
(
)
(4)用反证法证明命题“a,b,c全为0”时假设为“a,b,c全不为0”.
(
)
(5)若m=a+2b,n=a+b2+1,则n≥m.(
又已知|x|+|y|+|x-1|+|y-1|≤2,
|| + |-1| = 1,
所以|x|+|y|+|x-1|+|y-1|=2,即
|| + |-1| = 1.

考纲解读
通过近几年的高考题可以看出, 本 部分内容的考查主要是在绝对值 不等式的几何意义和解绝对值不 等式两个方面,考查难度一般,试题 题型较为单一 .对于绝对值不等式 的证明一般会结合函数、导数等 内容考查,难度较大,属中高档题.
1.绝对值三角不等式 (1)定理 1:如果 a,b 是实数,则|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当 ab≥0 时,等号成立. 其中不等式|a+b|≤|a|+|b|又称为三角不等式. (2)在|a+b|≤|a|+|b|中用向量 a,b 分别替换实数 a,b,则|a+b|<|a|+|b|的几 何意义是三角形的两边之和大于第三边(a,b 不共线). (3)定理 2:如果 a,b,c 是实数,那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)≥0 时,等号成立.
(������ + 1)2 ≥ (x + 2)2 , ⇔ ������ + 2 ≠ 0, (������ + 1 + ������ + 2)(������ + 1-������-2) ≥ 0, 即 ������ ≠ -2, 解得 x≤- 且 x≠-2.
3 2
3 .设 a=2- 5,b= 5-2,c=5-2 5,则 a ,b ,c 之间的大小关系是 【答案】 c>b>a 【解析】分别由 a<0,b>0,c>0,再由 b 2-c2<0 得 b<c 判断.
5 .设 m 等于|a| ,|b| 和 1 中最大的一个,当|x|>m 时,求证: +
3 .|ax+b| ≤c,|ax+b| ≥c(c>0)型不等式的解法 (1)|ax+b| ≤c(c>0)型不等式的解法是:先化为不等式-c≤ax+b ≤c,再利用 不等式的性质求出原不等式的解集. (2)|ax+b| ≥c(c>0)的解法是:先化为 ax+b ≥c 或 ax+b ≤-c,再进一步利用不 等式的性质求出原不等式的解集.

3 2
.
答案
第十三章
考情概览 考点一 考点二 考点三 考点四 知识梳理 考点五 核心考点 规律总结
-15-
2.(2015江苏,21D)解不等式x+|2x+3|≥2.
关闭
2 或 ������ ≥ - 2 , 解 :原不等式可化为 3������ + 3 ≥ 2, -������-3 ≥ 2 1 解得 x≤-5 或 x≥- .
答案
第十三章
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-17-
方法总结1.解绝对值不等式主要是通过同解变形去掉绝对值符 号转化为一元一次或一元二次不等式(组)进行求解. 2.含有多个绝对值符号的不等式,一般可用零点分段法求解,对于 形如|x-a|+|x-b|>m或|x-a|+|x-b|<m(m为正常数)的不等式,利用实数 绝对值的几何意义求解较简便.
解析
关闭
答案
第十三章
考情概览 知识梳理 双击自测 知识梳理 核心考点 规律总结
-11-
1 2 3 4 5
4.函数y=|x-4|+|x-6|的最小值为
.
关闭
y=|x-4|+|x-6|=|x-4|+|6-x|≥|x-4+6-x|=|2|=2,当且仅当4≤x≤6时等号成立,所
以最小值为2. 2
解析
关闭
答案
解:由|x+1|-|x-3|≤|x+1-(x-3)|=4, |x-3|-|x+1|≤|(x-3)-(x+1)|=4, 可得-4≤|x+1|-|x-3|≤4. (1)若不等式有解,则a<4. (2)若不等式的解集为R,则a<-4. (3)若不等式的解集为⌀,则a≥4.

第4页
数学（理） 新课标·高考二轮总复习
2．绝对值不等式的解法
(1)含绝对值的不等式|x|<a 与|x|>a 的解集
不等式
a>0
a＝0 a<0
|x|<a
{x|－a<x<a}
∅
∅
|x|>a
{x|x∈R
{x|x>a 或 x<－a}
R
且 x≠0}
第5页
数学（理） 新课标·高考二轮总复习
(2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法 ①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c； ②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c 或 ax＋b≤－c. (3)|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型 不等式的解法 ①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结 合的思想；
，
第14页
数学（理） 新课标·高考二轮总复习
又∵5x≥5，－x1≤－1， 所以－1≤a≤5 且 a≠0.
第15页
数学（理） 新课标·高考二轮总复习
类型二 含绝对值不等式的证明 【例 2】 (2011·杭州模拟)已知二次函数 f(x)＝x2＋ ax＋b(a，b∈R)的定义域为[－1,1]，且|f(x)|的最大值为 M. (1)试证明|1＋b|≤M； (2)试证明 M≥12； (3)当 M＝12时，试求出 f(x)的解析式．
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数学（理） 新课标·高考二轮总复习
[解] (1)当 a＝3 时，则 f(x)＝3x－2， ∴|f(x)|<4⇔|3x－2|<4 ⇔－4<3x－2<4⇔－2<3x<6⇔－23<x<2， ∴不等式的解集为{x|－23<x<2}． (2)|f(x)|<4⇔|ax－2|<4 ⇔－4<ax－2<4⇔－2<ax<6， 当 a>0 时，不等式的解集为{x|－2a<x<6a}；

选修4-5
第二节 不等式的证明
主干知识回顾
名师考点精讲
当 1+ab≥0 时, 要证 1+ab< 1 + ������2 1 + ������2, 只需证(1+ab)2<(1+a2)(1+b2), 即证 1+2ab+a2b2<1+a2+b2+a2b2, 即证 2ab<a2+b2, 因为 a≠b, 所以不等式 2ab<a2+b2 成立, 所以原不等式成立.
分析法证明不等式的书写格式 分析法论证“若 A 则 B”这个命题的书写格式是: 要证命题 B 为真, 只需证明 B1 为真,从而有…… 这只需证明 B2 为真,从而又有…… 这只需证明 A 为真, 而已知 A 为真,故命题 B 必为真.
第二节 不等式的证明
选修4-5
第二节 不等式的证明
主干知识回顾
名师考点精讲
-2-
考纲概述
通过一些简单问题了解证明不等式的基本方 法:比较法、综合法、分析法.
考查热点
不等式的综 合法证明 不等式的分 析法证明
考查频 备考指导
次
★★★ ★
熟悉不等式的各种证明方法以及解题步骤,同时要注意 根据不等式的特征确定证明方法.
选修4-5
第二节 不等式的证明
主干知识回顾
名师考点精讲
(2)因为 b2+c2≥2bc,a2≥0, 所以 a2(b2+c2)≥2a2bc. 同理 b2(a2+c2)≥2ab2c, c2(a2+b2)≥2abc2.
①②③相加,
得 2(a2b2+b2c2+c2a2)≥2a2bc+2ab2c+2abc2, 从而 a2b2+b2c2+c2a2≥abc(a+b+c), 由 a,b,c 都是正数,得 a+b+c>0,

选修4—5
不等式选讲
-2知识梳理
双基自测
1
2
3
4
1.绝对值三角不等式
(1)定理1:若a,b是实数,则|a+b|≤
时,等号成立;
(2)性质:|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|;
(3)定理2:若a,b,c是实数,则|a-c|≤
(a-b)(b-c)≥0
时,等号成立.
5
|a|+|b|
,当且仅当_______
-22考点1
考点2
考点3
考点4
考点5
对点训练2设函数f(x)=|x+1|-m|x-2|.
(1)若m=1,求函数f(x)的值域;
(2)若m=-1,求不等式f(x)>3x的解集.
解:(1)当m=1时,f(x)=|x+1|-|x-2|.
∵||x+1|-|x-2||≤|(x+1)-(x-2)|=3,
∴-3≤|x+1|-|x-2|≤3,即函数f(x)的值域为[-3,3].
(3)柯西不等式的向量情势:设α,β是两个向量,则|α||β|≥|α·β|,当且
仅当β是零向量或存在实数k,使α=kβ时,等号成立.
-6知识梳理
双基自测
1
2
3
4
5
5.不等式证明的方法
证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法等.
-7知识梳理
双基自测
1
2
3
4
5
1.下列结论正确的打“ ”,错误的打“×”.
所以|x|+|y|+|x-1|+|y-1|=2,即
|| + |-1| = 1,
|| + |-1| = 1.

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2 .不等式
| ������+1 | ≥1 的实数解为 | ������+2 | 3 2
.
【答案】 ������ ������ ≤ - 且 x ≠ -2 【解析】
| ������+1 | ≥1⇔ | ������+2 |
|������ + 1| ≥ |������ + 2| ������ + 2 ≠ 0
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5.重要绝对值不等式 重要绝对值不等式||a|-|b||≤|a± b|≤|a|+|b|. 使用时(特别是求最值)要注意等号成立的条件,即|a+b|=|a|+|b|⇔ab≥0; |a-b|=|a|+|b|⇔ab≤0; |a|-|b|=|a+b|⇔b(a+b)≤0; |a|-|b|=|a-b|⇔b(a-b)≥0; 注:|a|-|b|=|a+b|⇔|a|=|a+b|+|b|⇔|(a+b)-b|=|a+b|+|b|⇔b(a+b)≤0. 同理可得|a|-|b|=|a-b|⇔b(a-b)≥0.
考纲解读
通过近几年的高考题可以看出, 本 部分内容的考查主要是在绝对值 不等式的几何意义和解绝对值不 等式两个方面,考查难度一般,试题 题型较为单一 .对于绝对值不等式 的证明一般会结合函数、导数等 内容考查,难度较大,属中高档题.
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1.绝对值三角不等式 (1)定理 1:如果 a,b 是实数,则|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当 ab≥0 时,等号成立. 其中不等式|a+b|≤|a|+|b|又称为三角不等式. (2)在|a+b|≤|a|+|b|中用向量 a,b 分别替换实数 a,b,则|a+b|<|a|+|b|的几 何意义是三角形的两边之和大于第三边(a,b 不共线). (3)定理 2:如果 a,b,c 是实数,那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)≥0 时,等号成立.

知识点一
知识点一 知识点二
试题
解析
2．若存在实数 x 使|x－a|＋|x －1|≤3 成立，则实数 a 的取 值范围是__[－__2_,_4_] _．
∵ |x－ a|＋ |x－ 1|≥|(x－ a) －(x－1)|＝|a－1|， 要 使 |x－ a|＋ |x－ 1|≤3 有 解，可使|a－1|≤3，
知识点一
知识点一 知识点二
[自测练习] 1．设 a，b 为满足 ab<0 的实 数，那么( B ) A．|a＋b|>|a－b| B．|a＋b|<|a－b| C．|a－b|<||a|－|b|| D．|a－b|<|a|＋|b|
试题
解析
∵ ab<0 ， ∴ |a － b| ＝ |a| ＋ |b|>|a＋b|.
考点二
试题
证明
探究一 比较法证明 不等式 1 ． (2016·莆 田 模 拟 ) 设
因为(a2＋b2)－ ab(a＋b) ＝(a2－a ab)＋(b2－b ab) ＝a a( a－ b)＋b b( b－ a) ＝( a－ b)(a a－b b)
a，b 是非负实数．求证： 1 1 3 3
＝(a 2 －b 2 )(a 2 －b 2 )
知识点二
知识点一 知识点二
4．柯西不等式 设 a，b，c，d 均为实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，等号 当且仅当 ad＝bc 时成立．
易误提醒 (1)在使用作商比较法时易忽视说明分母的符号．
(2)在用综合法证明不等式时，不等式的性质和基本不等式是最 常用的．在运用这些性质时，易忽视性质成立的前提条件．
知识点一
知识点一 知识点二
2．绝对值不等式的解集 (1)含绝对值的不等式|x|<a 与|x|>a 的解集：

2
1．绝对值三角不等式 定理 1：如果 a，b 是实数，则|a＋b|≤__|a_|_＋__|b_|_，当且仅当__a_b_≥_0__时，等
号成立． 定理 2：如果 a，b，c 是实数，那么__|a_－__c_|_≤_|a_－__b_|_＋__|b_－__c_|__，当且仅当
___(a_－__b_)_(_b_－__c)_≥_0____时，等号成立．
成(2)在立区问间题D上中存的在实参数数x使范不等围式问f(x题)<B. 成立,等价于在区间D上f(x)min<B.
求最值的思路:①利用基本不等式和不等式的相关性
质解决;②将函数解析式用分段函数形式表示,作出函
数图象,求得最值;③利用性质“||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|”
求最值.
8
1．基本不等式 定理 1：设 a，b∈R，则 a2＋b2≥2ab，当且仅当 a＝b 时，等号成立． 定理 2：如果 a，b 为正数，则a＋2 b≥ ab，当且仅当 a＝b 时，等号成立． 定理 3：如果 a，b，c 为正数，则a＋3b＋c≥_3__a_b_c_，当且仅当 a＝b＝c 时， 等号成立． 定理 4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果 a1，a2，…，an 为 n 个正 数，则a1＋a2＋n …＋an≥n a1a2…an，当且仅当 a1＝a2＝…＝an 时，等号成立．
∅
∅
|x|>a
___{_x_|_x＞__a_或__x_＜__－__a_}__ {x∈R|x≠0}
R
(2)|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c(c＞0)型不等式的解法: ①|ax＋b|≤c⇔___－__c≤_a_x_＋_b_≤_c___； ②|ax＋b|≥c⇔___a_x_＋_b_≥_c或__a_x_＋_b_≤_－_c________.

3 2
������-1-2������ (������ < -1), (2)由题设可得 f (x)= 3������ + 1-2������ (-1 ≤ ������ ≤ ������), -������ + 1 + 2������ (������ > ������), 所以函数 f (x)的图象与 x 轴围成的三角形的三个顶点分别为 A ������������������的面积为 (2������ + 1)2 3 2������- 1 3 2������-1 3
选修4-5
第一节 绝对值不等式
主干知识回顾 名师考点精讲
-11-
【参考答案】(1)当 a=1 时,f (x)>1 化为|x+1|-2|x-1|-1>0. 当 x≤-1 时,不等式化为 x-4>0,无解; 当-1<x<1 时,不等式化为 3x-2>0,解得 <x<1;
3 2
当 x≥1 时,不等式化为-x+2>0,解得 1≤x<2. 所以 f (x)>1 的解集为 ������| < ������ < 2 .
,
当 0<a ≤3 时,f (3)=6-a+ , 由������(3) < 5 得
������
1
1+ 5 2
<a ≤3.
综上,a 的取值范围是
1+ 5 5+ 21 2
,
2
.
选修4-5
第一节 绝对值不等式
主干知识回顾 名师考点精讲
-13-
考点 2 与绝对值不等式相关的参数的取值范围
典例 3 (2015· 南昌一模) 已知函数 f (x)=x|x-a|(a∈R). (1)若 a=2,解关于 x 的不等式 f(x)<x; (2)若对任意的 x∈(0,4],都有 f (x)<4,求 a 的取值范围. 【解题思路】(1)利用零点分区间讨论法去掉绝对值;(2)去绝对值后利用分离参数法将问题转化为函数最值, 再利用导数、数形结合法等求解最值.