人教B版高中数学必修四《3.1 和角公式 3.1.1 两角和与差的余弦》_18

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3。

1。

1 两角和与差的余弦课后导练基础达标1.co ｓ(-15°)的值为（ ) Ａ。

462- B.426- C 。

462+ D ．462+- 解析:cos （—1５°)=ｃos15°=cos(45°—3０°)=ｃos45°·coｓ３0°+ｓi ｎ45°·ｓｉn ３0°=462+. 答案：C2。

cos78°·cos18°＋si ｎ78°·sｉn18°的值为( ） A ．21 B.31 Ｃ。

23 D.33 解析：原式＝c ｏｓ(78°—18°)=cos60°=21． 答案:A３。

化简cos(α+β)·coｓα+si ｎ（α+β)·sinα得（ ) A 。

cos α B.ｃos β C 。

cos （２α+β） D.s ｉn(2α+β) 解析:原式=cos （α＋β-α)=cos β. 答案:B4。

若sin α—sin β＝1-23，ｃｏs α-cos β=-21，则ｃｏs(α—β)的值为( ）A.21Ｂ。

学科：数学
课题：《两角差的余弦公式》
模块: 必修4（人教社B版）
教学目标：
1.四基四能：
（1）让学生经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义。

教学中强调公理化推理、数形结合和模型思想。

重视教学过程中学生体会完整的教与学的过程：发现现象—提出问题—验证—分析—解决—一般化。

（2）学生能从实际情境中发现问题，抽象并提出数学问题，分析和探究两角差余弦公式的推导过程，最后将问题解决。

2. 数学核心素养：
（1）从实际情境中抽象出数学问题，体会用图形进行无字证明的过程，体现了数学抽象和直观想象的数学核心素养。

（2）对两角差的余弦公式能探究出与学过的向量知识有关联，并严谨准确的进行表述，体现逻辑推理的数学核心素养。

（2）针对运算问题，合理选择运算方法，运算求解，用数学语言直观地进行交流，体现数学运算的数学核心素养。

3. 情感态度价值观：
创设情境，让学生主动探究，成为数学学习活动和展示的主体，给学生展示自我的空间，同时要及时给予认可和鼓励，让学生在乐学的氛围中亲历知识的形成过程，并注重知识间的关联，反复巩固所学的知识。

教学重点：通过探索得到两角差的余弦公式。

教学难点：探索过程的组织和适当引导，这里不仅有学习积极性的问题，还
有探索过程必用的基础知识是否已经具备的问题，运用已学知识和方法的能力问题，等等。

教学资源与媒体：传统板书辅助电子白板
教学过程：
（让学生选择一个位置）（动画演示），此时βα-=∠AOB
基于核心素养的“两角差的余弦公式”教学评价表。

第三章三角恒等变换3.1.1 两角和与差的余弦公式（一）预习指导探究cos(α+β)≠cos α+cos β反例：cos =cos( + )≠cos + cos 问题：cos(α+β),cos α,cos β的关系（二）基本概念1.解决思路：探讨三角函数问题的最基本的工具是直角坐标系中的单位圆及单位圆中的三角函数线2.探究：在坐标系中α、β角构造α+β角3.探究：作单位圆，构造全等三角形探究：写出4个点的坐标P 1(1,0),P(cos α,sin α)P 3(cos(α+β),sin(α+β)),P 4(cos(-β),sin(-β)), 5.计算31p P ，42p p 31p P =42p p =6.探究：由31p P =42p p 导出公式[cos(α+β)-1]2+sin 2(α+β)=[cos(-β)-cos α]2+[sin(-β)-sin α]2展开并整理得所以可记为C )(23π63π67.探究：特征①熟悉公式的结构和特点；②此公式对任意α、β都适用③公式记号C )(8.探究：cos(α+β)的公式以-β代β得：公式记号C )(（三）典型例题选讲：例1不查表，求下列各式的值.(1)cos105°（2）cos15°(3)cos (4)cos80°cos20°+sin80°sin20°(5)cos 215°-sin 215°(6)cos80°cos35°+cos10°cos55°例2已知sin α= ，α，cos β= - ,β是第三象限角，求cos （α-β）的值. 103sin 5sin 103cos 554,2135例3：已知cos(2α-β)=- ,sin(α-2β)= ,且，求cos(α+β)的值.例4：cos(α- )=- ,sin( -β)= ,且＜α＜π，0＜β＜，求cos 的值.【课堂练习】1.求cos75°的值2.计算：cos65°cos115°-cos25°sin115°141173440,242912322223.计算：-cos70°cos20°+sin110°sin20°4.sin α-sin β=- ,cos α-cos β= , α(0, ), β(0, ),求cos(α-β)的值.5.已知锐角α，β满足cos α= ,cos(α-β)=- ,求cos β.6.已知cos(α-β)= ,求(sin α+sin β)2+(cos α+cos β)2的值. 2121225313531。

3.1.1两角和与差的余弦公式教学目标：1、通过推导两角差的余弦公式，体会向量与三角函数的联系2、掌握两角和差的余弦，能正确运用这些公式进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等式的证明。

教学重、难点：两角差角的余弦公式的推导一、探究案：单位圆上的点的坐标表示由图可知：==→OP 1( ) , ==→2OP ( )则=⋅→→b a 1||=→a 1||=→b问题1 ： =︒-︒=∠)3045cos(P cos 21OP 问题2 ：由︒︒+︒︒=︒-︒30sin 45sin 30cos 45cos )3045cos(出发，你能推广到对任意的两个角都成立吗？问题3 ：两角差的余弦公式推导在平面直角坐标系xOy 内作单位圆O ，以Ox 为始边分别作角α，β，其终边分别与单位圆交于12,P P 则1(cos ,sin ),P αα2(cos ,sin ),P ββ12O P P αβ∠=-, 所以 12(cos ,sin ),(cos ,sin )OP OP ααββ==12OP OP ⋅=βαβαsin sin cos cos+ 1212||||cos()OP OP OP OP βα⋅=-如果],0[πβα∈-，那么βαθ-=两角差的余弦公式 ：βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-实际上，当βα-为任意角时，由诱导公式总可以找到一个角都可转化)2,0[πθ∈，使)cos(cos βαθ-=。

综上所述，βαβαβαsin sin cos cos )-cos(+= ，对于任意的角βα,都成立。

将上述公式中的β用—β替代，得两角和的余弦公式：cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-注： 1.公式中两边的符号正好相反（一正一负）；2.式子右边同名三角函数相乘再加减，且余弦在前正弦在后；3.式子中α、β是任意的。

4 式子的逆用，变形用二、学习案：例1、用两角和（差）的余弦公式求值(1) 0cos15______=；(2) 0cos75______=；(3) 0cos105______=例2、若β固定，分别用 2π,π 代替α，你将会发现什么结论呢？ (1)cos()___________(2)cos()___________(3)cos()__________(4)cos()___________22πβπβππββ+=-=+=-= 引导同学发现余弦的诱导公式可用C (α±β)公式得到证明：.s i n )2c o s (,s i n )2c o s (,c o s )c o s (ββπββπββπ=--=+-=± 例3、化简，求值（公式逆用）(1) 0000cos110cos20sin110sin 20+；(2) 0000cos23sin 68cos113sin 22+；(3) cos()cos sin()sin αββαββ---。

3.1和角公式3.1.1两角和与差的余弦1.能利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用.(难点)2.能利用两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式.3.能利用两角和与差的余弦公式化简、求值.(重点)[基础·初探]教材整理两角和与差的余弦公式阅读教材P133内容，完成下列问题.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)α，β∈R时，cos(α－β)＝cos αcos β－sin αsin β.()(2)α，β∈R时，cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.()(3)存在实数α，β，使cos(α＋β)＝cos α－cos β成立.( )(4)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos 2α.( ) 【答案】 (1)× (2)√ (3)√ (4)×[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________ 疑问2：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________ 疑问3：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________ 疑问4：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________[小组合作型]A.2－64 B.6－24 C.2＋64 D.－2＋64 (2)化简下列各式：①cos(θ＋21°)cos(θ－24°)＋sin(θ＋21°)sin(θ－24°)；②－sin 167°·sin 223°＋sin 257°·sin 313°.【精彩点拨】 (1)求非特殊角的三角函数值，把非特殊角转化为两个特殊角的和或差，然后利用两角和与差的余弦公式求解.。

3.1.1两角差的余弦公式教学设计 一、教材分析本节课是高中数学必修四第三章两角差的余弦公式的内容，教学安排是第1课时。

在学习本章之前学生已经学习了任意角的三角函数和诱导公式,并学习了 立两角差的余弦公式，通过简单运用，使学生初步理解公式的结构、功能及其运用，同时本节内容也是第三章其他公式的推导基础。

二、学情分析 我班学生是高一年级学生,他们已经熟练掌握了特殊角的特殊值,对求其它特殊角的余弦值产生了浓厚的兴趣.三、教学目标分析1. 知识与技能目标:(1)经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的应用;(2)会推导两角和与差的余弦公式，初步理解公式的结构并能简单运用。

2. 过程与方法目标:通过公式的推导及其应用， 培养类比推理能力，理解化归思想在三角变换中的应用。

能用余弦的和差角公式进行简单的三角函数式的化简、求值。

3. 情感与价值观:通过观察、对比体会公式的线形美、对称美,体验成功的喜悦。

四、教学重难点分析教学重点:引导学生通过独立探究和讨论交流，导出两角差的余弦公式，为运用这些公式进行简单的恒等变换打好基础。

教学难点:两角差的余弦公式的探究与证明。

五、教学过程分析1. 问题情境:问题1:思考βαβαcos cos )cos(-=-吗?(预设学生行为)设计意图:使学生明确常犯的直觉性错误为什么是错误的,统一对探究目标中的”恒等”方面要求的意义.问题2:如何利用单位圆上的三角函数来推导差角公式?教师活动:让学生动手画图,构造出βα-角,利用学过的三角函数知识探索存在一定的难度,教师要作恰当的引导.设计意图:让学生建立新旧知识的联系,并能从直观上加强对公式结构的认知和理解.问题3:如何利用向量知识来推导差角公式?教师活动:在回顾求角的余弦有哪些方法时,联系向量知识,引导学生用数量积推导差角公式.设计意图:让学生体会向量方法的作用,使他们了解公式的由来,掌握公式的推导和证明.2. 新课讲授:由问题1我们得知βαβαcos cos )cos(-≠-,那么)cos(βα-究竟等于什么呢？方法一:我们用单位圆上的三角函数线来推导差角公式.)cos(βα-表示哪条线段长?设角α的终边与单位圆的交点为P 1,∠POP 1=β,则∠POx=βα-.过点P 作PM 垂直于x 轴,垂足为M,那么OM 就是角βα-的余弦线,即)cos(βα-=OM ,这里就是要用角α、β的正弦线、余弦线来表示OM.过点P 作PA 垂直于OP 1,垂足为A,过点A 作AB 垂直于x 轴,垂足为B,过点P 作PC 垂直于AB,垂足为C.那么,OA 表示βcos ,AP 表示βsin ,并且∠PAC=∠P 1Ox=α.于是,ααsin cos AP OA CP OB BM OB OM +=+=+=αβαβsin sin cos cos +=所以,βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-教师引导学生进一步思考,以上的推理过程中,角α、β、βα-是有条件限制的,即α、β、βα-均为锐角,且βα>,如果要说明此结果是否对任意角α、β都成立,还要做不少推广工作.方法二:用向量方法来推导公式.如图，设角α，β的终边与单位圆的交点分别为A 、B ，向量的夹角θ与α、β有什么关系？根据数量积定义,OB OA ∙ 等于什么？由此可得什么结论？ )sin ,(cos αα=,)sin ,(cos ββ=,βα-=∠AOB .由向量数量积的定义有OB OA ∙)cos()βαβα-=-由向量数量积的坐标表示有:βαβαββααsin sin cos cos )sin ,(cos )sin ,(cos +=⋅=∙.于是有:βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-.引导学生关注两个向量的夹角θ与βα-的联系与区别，并通过观察和讨论搞清楚θπβα±=-k 2.增强学生用数形结合,分类讨论的方法解决问题的意识,感受数学思维的严谨性.两角差的余弦公式::βα-C βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-引导学生观察公式的结构特征,让学生自己说出公式的左边是两角差的余弦,右边是这两角的余弦积与正弦积的和.3. 例题讲解:例1:求︒15cos 的值.学生活动:︒15可以拆成特殊角的差,有案可查种拆法:︒-︒=︒304515或者︒-︒=︒456015.直接套入公式计算就可以了.变式训练:︒︒+︒︒105sin 15sin 105cos 15cos )1()24sin()21sin()24cos()21cos()2(︒-︒++︒-︒+θθθθ例2..)cos(,,135cos ),,2(,54sin 的值求第三象限角已知βαββππαα--=∈= 学生活动:让学生注意到利用同角的平方和关系时,角α、β所在的象限,准确判断它们的三角函数值的符号.本例由学生独立完成.课堂练习:.cos ,2,0,53)cos(,21cos βπβαβαα求已知<<-=+= 4. 课堂小结:(1)两角差的余弦公式的推导及应用;(2)已知一个角的正弦（或余弦）值，求该角的余弦（或正弦）值时, 要注意该角所在的象限，从而确定该角的三角函数值符号.5.教学反思:差角公式的推导还是只应该讲解一个，多补充一个导致时间不够,同时学生掌握多种方法的情绪不高。