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C-C计算延迟时间和嵌入维数

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function lambda_1=lyapunov_wolf(data,N,m,tau,P)
% 该函数用来计算时间序列的最大Lyapunov 指数--Wolf 方法
% m: 嵌入维数
% tau:时间延迟
% data:时间序列
% N:时间序列长度
% P:时间序列的平均周期,选择演化相点距当前点的位置差，即若当前相点为I，则演化相点只能在|I－J|>P的相点中搜寻
% lambda_1:返回最大lyapunov指数值
min_point=1 ; %&&要求最少搜索到的点数
MAX_CISHU=5 ; %&&最大增加搜索范围次数
%FL YINGHAWK
% 求最大、最小和平均相点距离
max_d = 0; %最大相点距离
min_d = 1.0e+100; %最小相点距离
avg_dd = 0;
Y=reconstitution(data,N,m,tau); %相空间重构
M=N-(m-1)*tau; %重构相空间中相点的个数for i = 1 : (M-1)
for j = i+1 : M
d = 0;
for k = 1 : m
d = d + (Y(k,i)-Y(k,j))*(Y(k,i)-Y(k,j));
end
d = sqrt(d);
if max_d < d
max_d = d;
end
if min_d > d
min_d = d;
end
avg_dd = avg_dd + d;
end
end
avg_d = 2*avg_dd/(M*(M-1)); %平均相点距离
dlt_eps = (avg_d - min_d) * 0.02 ; %若在min_eps～max_eps中找不到演化相点时，对max_eps的放宽幅度
min_eps = min_d + dlt_eps / 2 ; %演化相点与当前相点距离的最小限
max_eps = min_d + 2 * dlt_eps ; %&&演化相点与当前相点距离的最大限
% 从P+1～M-1个相点中找与第一个相点最近的相点位置(Loc_DK)及其最短距离DK DK = 1.0e+100; %第i个相点到其最近距离点的距离Loc_DK = 2; %第i个相点对应的最近距离点的下
标
for i = (P+1):(M-1) %限制短暂分离，从点P+1开始搜索
d = 0;
for k = 1 : m
d = d + (Y(k,i)-Y(k,1))*(Y(k,i)-Y(k,1));
end
d = sqrt(d);
if (d < DK) & (d > min_eps)
DK = d;
Loc_DK = i;
end
end
% 以下计算各相点对应的李氏数保存到lmd()数组中
% i 为相点序号，从1到(M-1)，也是i-1点的演化点；Loc_DK为相点i-1对应最短距离的相点位置，DK为其对应的最短距离
% Loc_DK+1为Loc_DK的演化点，DK1为i点到Loc_DK+1点的距离，称为演化距离
% 前i个log2（DK1/DK）的累计和用于求i点的lambda值
sum_lmd = 0 ; % 存放前i个log2（DK1/DK）的累计和
for i = 2 : (M-1) % 计算演化距离
DK1 = 0;
for k = 1 : m
DK1 = DK1 + (Y(k,i)-Y(k,Loc_DK+1))*(Y(k,i)-Y(k,Loc_DK+1));
end
DK1 = sqrt(DK1);
old_Loc_DK = Loc_DK ; % 保存原最近位置相点
old_DK=DK;
% 计算前i个log2（DK1/DK）的累计和以及保存i点的李氏指数
if (DK1 ~= 0)&( DK ~= 0)
sum_lmd = sum_lmd + log(DK1/DK) /log(2);
end
lmd(i-1) = sum_lmd/(i-1);
% 以下寻找i点的最短距离：要求距离在指定距离范围内尽量短，与DK1的角度最小point_num = 0 ; % &&在指定距离范围内找到的候选相点的个数
cos_sita = 0 ; %&&夹角余弦的比较初值——要求一定是锐角
zjfwcs=0 ;%&&增加范围次数
while (point_num == 0)
% * 搜索相点
for j = 1 : (M-1)
if abs(j-i) <=(P-1) %&&候选点距当前点太近，跳过！
continue;
end
%*计算候选点与当前点的距离
dnew = 0;
for k = 1 : m
dnew = dnew + (Y(k,i)-Y(k,j))*(Y(k,i)-Y(k,j));
end
dnew = sqrt(dnew);
if (dnew < min_eps)|( dnew > max_eps ) %&&不在距离范围，跳过！
continue;
end
%*计算夹角余弦及比较
DOT = 0;
for k = 1 : m
DOT = DOT+(Y(k,i)-Y(k,j))*(Y(k,i)-Y(k,old_Loc_DK+1));
end
CTH = DOT/(dnew*DK1);
if acos(CTH) > (3.14151926/4) %&&不是小于45度的角，跳过！
continue;
end
if CTH > cos_sita %&&新夹角小于过去已找到的相点的夹角，保留cos_sita = CTH;
Loc_DK = j;
DK = dnew;
end
point_num = point_num +1;
end
if point_num <= min_point
max_eps = max_eps + dlt_eps;
zjfwcs =zjfwcs +1;
if zjfwcs > MAX_CISHU %&&超过最大放宽次数，改找最近的点DK = 1.0e+100;
for ii = 1 : (M-1)
if abs(i-ii) <= (P-1) %&&候选点距当前点太近，跳过！
continue;
end
d = 0;
for k = 1 : m
d = d + (Y(k,i)-Y(k,ii))*(Y(k,i)-Y(k,ii));
end
d = sqrt(d);
if (d < DK) & (d > min_eps)
DK = d;
Loc_DK = ii;
end
end
break;
end
point_num = 0 ; %&&扩大距离范围后重新搜索
cos_sita = 0;
end
end
end
%取平均得到最大李雅普诺夫指数
lambda_1=sum(lmd)/length(lmd);
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脑电时间序列的非线性重构

脑电时间序列的非线性重构


假设｛ ： 忌一 １ … ， ） ， Ｎ 是观 测得 到 的某一 时 间序 列 ， 其嵌 入 到‘ 维欧 氏空 间 Ｒ 将 中，得到 一个点 （ 向 或 量） 集 （ ）， 其元 素 记作
Ｘ ，￡ ）＝ （ ＋ 一１ ，ｚ１（ ） ，… ，ｚｌ（ １ ＋ｍ １ ） （ ， ｚ１ （ ） Ｊ ＋ ， Ｈｆ ｒ１ ＋ ） （＿） Ｊ ｆ 一 １ ，… ，Ｎ研 （） １
２ Ｏ
西 南师 范大学 学报 （ 自然科 学版 ）
投 稿 网址 ｈｔ ：／ ｂ ｔｓ ｕ ｃ ｔ ／ ｘ ｘ． ｗ ． ｎ ｐ
第３ ３卷
２ 相 空 间重构 参 数 的确 定
在对原始 数据进 行非线 性重构 的时候 ， 影响 重构效果 的两个 参数 是嵌入 维数 ｍ 和时 间延 迟 ， 最 同时 ，
关键．
１ 非 线性 相 空 间重 构 理 论
对 单非 线性 序列 进行 非线 性重 构 的 目的是 希望 隐含 在序 列 中的各 种信 息 ， 能够 通 过其 高 维重 构显 露 出
来 ， 保持原 有 信息 的连 续性 ．非线性 相 空 间重构 的 理论 基 础是 由 Ｐ ｃ ａｄ和 Ｔａ ｅ ｓ 立 的嵌 入理 论 ． 并 ａｋ ｒ ｋｎ 建
摘 要 ：脑 电信 号 的非 线 性 特 征量 的提 取 以 其非 线 性 重 构 为 基 础 ，对 脑 电 信 号 的 进 行 非 线 性 重 构 的 关 键 是 正 确 选 择 重
构 参 数时 间延 迟 和嵌 入 维 数 ． 确 定 重构 参 数 的 方 法很 多 ，并 各 有 其 优 缺点 ． Ｃ—Ｃ方 法是 一 种 可 以 同时 确 定 最 佳 时 间 延 迟 和最 佳 嵌 入 维 数 的新 方 法 ，以 Ｌ ｒｎ 模 型 数 据 和脑 电时 间序 列 为 计算 对 象 ，对 这种 方 法 进 行 了验 证 与 比较． ｏｅｚ
-Lyapunov指数的计算方法

-Lyapunov指数的计算方法

【总结】Lyapunov指数的计算方法非线性理论近期为了把计算LE的一些问题弄清楚，看了有7～9本书！下面以吕金虎《混沌时间序列分析及其应用》、马军海《复杂非线性系统的重构技术》为主线，把目前已有的LE计算方法做一个汇总！1. 关于连续系统Lyapunov指数的计算方法连续系统LE的计算方法主要有定义方法、Jacobian方法、QR分解方法、奇异值分解方法，或者通过求解系统的微分方程，得到微分方程解的时间序列，然后利用时间序列（即离散系统）的LE求解方法来计算得到。

关于连续系统LE的计算，主要以定义方法、Jacobian方法做主要介绍内容。

（1）定义法定义法求解Lyapunov指数.JPG关于定义法求解的程序，和matlab板块的“连续系统LE求解程序”差不多。

以Rossler系统为例Rossler系统微分方程定义程序function dX = Rossler_ly(t,X)% Rossler吸引子，用来计算Lyapunov指数% a=0.15,b=0.20,c=10.0% dx/dt = -y-z,% dy/dt = x+ay,% dz/dt = b+z(x-c),a = 0.15;b = 0.20;c = 10.0;x=X(1); y=X(2); z=X(3);% Y的三个列向量为相互正交的单位向量Y = [X(4), X(7), X(10);X(5), X(8), X(11);X(6), X(9), X(12)];% 输出向量的初始化，必不可少dX = zeros(12,1);% Rossler吸引子dX(1) = -y-z;dX(2) = x+a*y;dX(3) = b+z*(x-c);% Rossler吸引子的Jacobi矩阵Jaco = [0 -1 -1;1 a 0;z 0 x-c];dX(4:12) = Jaco*Y;求解LE代码：% 计算Rossler吸引子的Lyapunov指数clear;yinit = [1,1,1];orthmatrix = [1 0 0;0 1 0;0 0 1];a = 0.15;b = 0.20;c = 10.0;y = zeros(12,1);% 初始化输入y(1:3) = yinit;y(4:12) = orthmatrix;tstart = 0; % 时间初始值tstep = 1e-3; % 时间步长wholetimes = 1e5; % 总的循环次数steps = 10; % 每次演化的步数iteratetimes = wholetimes/steps; % 演化的次数mod = zeros(3,1);lp = zeros(3,1);% 初始化三个Lyapunov指数Lyapunov1 = zeros(iteratetimes,1); Lyapunov2 = zeros(iteratetimes,1); Lyapunov3 = zeros(iteratetimes,1);for i=1:iteratetimestspan = tstart:tstep:(tstart + tstep*steps); [T,Y] = ode45('Rossler_ly', tspan, y);% 取积分得到的最后一个时刻的值y = Y(size(Y,1),:);% 重新定义起始时刻tstart = tstart + tstep*steps;y0 = [y(4) y(7) y(10);y(5) y(8) y(11);y(6) y(9) y(12)];%正交化y0 = ThreeGS(y0);% 取三个向量的模mod(1) = sqrt(y0(:,1)'*y0(:,1));mod(2) = sqrt(y0(:,2)'*y0(:,2));mod(3) = sqrt(y0(:,3)'*y0(:,3));y0(:,1) = y0(:,1)/mod(1);y0(:,2) = y0(:,2)/mod(2);y0(:,3) = y0(:,3)/mod(3);lp = lp+log(abs(mod));%三个Lyapunov指数Lyapunov1(i) = lp(1)/(tstart);Lyapunov2(i) = lp(2)/(tstart);Lyapunov3(i) = lp(3)/(tstart);y(4:12) = y0';end% 作Lyapunov指数谱图i = 1:iteratetimes;plot(i,Lyapunov1,i,Lyapunov2,i,Lyapunov3)程序中用到的ThreeGS程序如下：%G-S正交化function A = ThreeGS(V) % V 为3*3向量v1 = V(:,1);v2 = V(:,2);v3 = V(:,3);a1 = zeros(3,1);a2 = zeros(3,1);a3 = zeros(3,1);a1 = v1;a2 = v2-((a1'*v2)/(a1'*a1))*a1;a3 = v3-((a1'*v3)/(a1'*a1))*a1-((a2'*v3)/(a2'*a2))*a2;A = [a1,a2,a3];计算得到的Rossler系统的LE为———— 0.063231 0.092635 -9.8924Wolf文章中计算得到的Rossler系统的LE为————0.09 0 -9.77需要注意的是——定义法求解的精度有限，对有些系统的计算往往出现计果和理论值有偏差的现象。

融合相空间重构和深度学习的径流模拟预测　

融合相空间重构和深度学习的径流模拟预测　

第34卷第3期2023年5月㊀㊀水科学进展ADVANCES IN WATER SCIENCEVol.34,No.3May 2023DOI:10.14042/ki.32.1309.2023.03.006融合相空间重构和深度学习的径流模拟预测师鹏飞1,2,赵酉键1,徐辉荣3,李振亚4,杨㊀涛1,2,冯仲恺1,5(1.河海大学水灾害防御全国重点实验室,江苏南京㊀210098;2.长江保护与绿色发展研究院,江苏南京㊀210098;3.广东省水利电力勘测设计研究院有限公司,广东广州㊀510000;4.中国科学院南京地理与湖泊研究所中国科学院流域地理学重点实验室,江苏南京㊀210008;5.河海大学水文水资源学院,江苏南京㊀210098)摘要:发展对数据依赖程度低㊁快捷实用和精准的模拟预报技术,可为资料缺乏地区径流模拟预测提供有效的解决办法㊂从数据驱动的角度,提出一种融合相空间重构(PSR)和长短期记忆神经网络(LSTM)的径流预测复合模型PSR-LSTM,在国内外不同气候分区的10个流域(站点)进行验证㊂结果表明:PSR-LSTM 能够提取水文变量的多维子空间特征,并较好预测不同时间尺度的径流变化过程;相较于LSTM,PSR-LSTM 预测未来1㊁3㊁5㊁7㊁9时间步长的纳什效率系数在10个流域平均提高1.49%~9.77%,均方根误差平均降低17.01%~19.72%,对训练数据量的依赖程度相比LSTM 降低25%~33%㊂研究成果可为广大资料短缺流域水文过程模拟和预测提供参考㊂关键词:径流预测;数据驱动;人工智能;相空间重构(PSR);长短期记忆神经网络(LSTM)中图分类号:TV122㊀㊀㊀文献标志码:A㊀㊀㊀文章编号:1001-6791(2023)03-0388-10收稿日期:2022-11-22;网络出版日期:2023-05-23网络出版地址:https :ʊ /kcms2/detail /32.1309.P.20230522.1828.002.html基金项目:国家自然科学基金资助项目(52279009);中央高校基本科研业务费专项经费资助项目(B220201010)作者简介:师鹏飞(1987 ),男,副教授,博士,主要从事流域水文物理规律模拟及水文预报方面研究㊂E-mail:pfshi@水文预警预报对防洪减灾至关重要,受资料条件和科技水平等制约,在监测资料不足的河流,传统水文模型往往无法建立[1]㊂近年来,受气候变化和高强度人类活动共同影响,极端水文事件发生频次及量级远超历史,流域安全风险问题更加突出㊂2021年郑州 7㊃20 洪涝灾害再次凸显及时预警预报的重要性[2]㊂因此,创新水文预报的技术和方法,发展对数据依赖程度低㊁快捷实用和精准的模拟预报技术,对于难以建模的资料缺乏地区具有重要的科学和现实意义㊂基于物理过程的水文模型是常用的径流模拟预测方法,由于建立物理过程模型所需的降水㊁径流㊁蒸散发㊁流域特性㊁断面形状㊁闸阀工况等数据往往难以全部获取,水文过程建模常存在难度[3],在资料稀缺的中小河流域尤为突出㊂另一方面,数据驱动的模拟预测技术正在经历空前的快速发展㊂国际上,Ham 等[4]研究表明,数据驱动的人工智能(AI)模型用于模拟预测ENSO,相比经典动力学模型,纳什效率系数提升显著;Ravuri 等[5]研究表明,以人工神经网络为代表的机器学习方法,利用历史气象水文时间序列数据即可对洪水进行模拟和实时预测,能够模拟复杂的非线性水文过程,具有精度高㊁时效性强等优点㊂大量研究表明,数据驱动的预报方法不失为一种有效途径㊂长短期记忆神经网络(LSTM)作为一种先进㊁稳定的深度学习算法,被广泛应用在时间序列预测中[6]㊂然而,直接将水文时间序列作为输入,驱动LSTM 进行预测,由于缺乏对水文多维特征复杂信息的挖掘与表征,存在易过度拟合㊁对训练样本量依赖程度高㊁精度不足等问题[7],限制了模拟预测效能,特别是在资料短缺流域㊂如何全面挖掘水文数据中蕴含的水文系统变化规律,提高深度学习算法的径流模拟预测效能,有待深入探究㊂针对上述问题,本研究引入动力系统理论,考虑水文序列的混沌特性,提出基于相空间重构(PSR)的水文变量相空间特征自适应快速挖掘和重建技术,建立基于PSR-LSTM 复合模型的数据驱动模拟技术框架,在㊀第3期师鹏飞,等:融合相空间重构和深度学习的径流模拟预测389㊀国内外不同气候分区的多个流域进行应用验证,以期提升数据驱动模型的模拟预测效能,为资料缺乏地区径流模拟预测提供便捷㊁有效的方法工具㊂1㊀相空间重构和长短期记忆神经网络方法1.1㊀相空间重构方法相空间重构理论最早由Takens 等[8]提出,其目的为在高维相空间中重建混沌吸引子㊂混沌吸引子作为混沌系统的特征之一,体现着混沌系统的规律性(图1)㊂决定系统长期演化任一变量的时间序列,均包含了系统所有变量长期演化信息,因此可由已知的时间序列,恢复并重建原动力系统㊂研究表明,水文序列可视为混沌系统[9],对于某一时间序列X =[x 1,x 2,x 3, ,x N ],在估计出恰当的嵌入维数(m )和延迟时间()后,可以重构相空间,形成N -(m -1)个m 维向量:y 1y 2︙y M éëêêêêêùûúúúúú=x 1,x 1+,x 1+2, ,x 1+(m-1)x 2,x 2+,x 2+2, ,x 2+(m-1)︙x M ,x M +,x M +2, ,x Néëêêêêêùûúúúúú(1)式中:N 为时间序列长度;M 为项点数,M =N -(m -1)㊂图1㊀重构径流时序Lorenz 混沌吸引子示意Fig.1Schematic diagram for reconstruction of the Lorenz attractor series of streamflow1.2㊀最大Lyapunov 指数通过最大Lyapunov 指数(λ>0)可以判断时间序列是否具有混沌特性,目前已经广泛应用在混沌判别和混沌时间序列预测领域中㊂最大Lyapunov 指数可由Wolf 法求解[10]㊂Wolf 法求解最大Lyapunov 指数的计算公式为λ=1t M -t 0ðMi =0ln L iᶄL i(2)式中:L i ᶄ=|X (t i )-X (t i -1)|,L i =|X (t i )-X i (t i )|,X (t i )为相空间重构序列t i 时刻的值;X i (t i )为重构相空间中X (t i )的最邻近点;t 0为初始时刻;t 1为当前时刻;t M 为终点时刻;当λ>0时,认为具有混沌特性㊂1.3㊀长短期记忆神经网络以LSTM㊁循环神经网络(recurrent neural network,RNN)为代表的深度学习算法,因强大的自适应和自学习能力,近年来被广泛应用于电力系统的电力负荷和气象水文要素的预测预报中[11-12]㊂LSTM 通过增加门控机制来控制历史时刻对当前时刻的影响程度,从而解决了RNN 容易产生梯度弥散和梯度爆炸的问题㊂详细介绍可见文献[13]㊂390㊀水科学进展第34卷㊀2㊀PSR-LSTM复合模型构建2.1㊀建模流程资料匮乏地区用于建模的水文变量种类单一㊁样本短缺,难以构建概念性或物理过程模型㊂采用数据驱动模型也面临因特征变量少而陷入过拟合或泛化能力不足的问题㊂针对此,本研究充分挖掘PSR在相空间特征自适应挖掘与重建方面的优势及LSTM在非线性时间序列预测方面的优势,将水文变量信息投映到高维空间中,将重构后的特征向量作为LSTM的特征变量进行建模,构建PSR-LSTM复合模型,以实现快速高效建模,减少数据依赖的同时㊁提高模拟预测精度㊂PSR-LSTM模型分析计算流程如下:(1)数据准备㊂水文过程建模常用数据一般包括降水㊁蒸散发㊁流量㊁水位等时间序列数据(逐日或逐小时)以及下垫面空间数据(DEM㊁地貌㊁植被覆盖㊁水系㊁土壤类型㊁土壤厚度等)㊂考虑水文预报预测快捷建模的需求,结合当前多数中小流域资料短缺的客观实际,本研究仅选取流域中最为常见的水位或流量时间序列用于建模㊂数据前80%作为模型训练集,后20%作为测试集㊂(2)相空间重构㊂考虑仅有径流(水位或流量)数据,属水文 小数据 ,为充分挖掘数据中包含的复杂信息,尽可能全面地考虑水文变量中蕴含的系统规律,采用PSR方法对径流数据进行挖掘分析,获取径流时间序列中蕴含的多维子特征,将一维数据映射到多维相空间中㊂(3)数据标准化㊂对重构后的多维矩阵序列进行归一化处理,范围控制在0~1之间㊂(4)预测模型构建㊂搭建LSTM模型,将基于PSR重构后的每一维特征向量作为LSTM的时间步长输入网络,根据PSR中求取的嵌入维数确定LSTM输入层节点数㊂按批构造实测径流数据,调整超参数确定神经网络的深度,采用Adam优化算法求得模型相对最优解,并在各层之间采用Dropout技术避免模型出现过拟合情况,最后通过反归一化处理得到模型预测值㊂(5)模型效能评价㊂采用纳什效率系数㊁均方根误差㊁洪峰相对误差㊁峰现时间误差等指标进行精度评价,评估模型效能㊂2.2㊀情景模拟分析为分析评估PSR-LSTM模型效能,设置S1㊁S2㊁S3㊁S4和S5共5种情景(表1),其中,S1㊁S2为利用重构后的水文变量进行PSR-LSTM建模的情景,分别采用中等和较少数据量;S3㊁S4和S5为利用原始水文变量进行LSTM建模的情景,分别采用中等㊁较少和较多数据量㊂较多数据量指采用尽可能长的水文时间序列(即表2中序列长度),中等数据量约取较多数据量的80%,较少数据量取60%,通过递减数据量,分析模型训练对数据的依赖程度㊂通过几种情景的对比分析,阐述PSR-LSTM和LSTM模型的预测精度㊁预见期及对数据依赖程度的异同㊂表1㊀不同建模情景对比分析表Table1Comparisons amongst the modeling scenarios情景建模数据量建模策略数据处理输入项模型输出项S1中等重构变量 水文变量相空间重构m Q t-p PSR-LSTM Q tS2较少重构变量 水文变量相空间重构n Q t-p PSR-LSTM Q tS3中等水文变量 水文变量无Q t-p LSTM Q tS4较少水文变量 水文变量无Q t-p LSTM Q tS5较多水文变量 水文变量无Q t-p LSTM Q t 注:n㊁m为数据的维度;p为预见期长度;Q t为预测水文变量;Q t-p为Q t前移p个步长的输入水文变量㊂㊀第3期师鹏飞,等:融合相空间重构和深度学习的径流模拟预测391㊀2.3㊀模型效能评价指标采用纳什效率系数(E NS)㊁均方根误差(E RMS)㊁洪峰相对误差(E PF)和峰现时间误差对模型效能进行评价,公式如下:E NS=1-ðN j=1[Q s(j)-Q o(j)]2/ðN j=1[Q o(j)-Q o]2(3)E RMS=ðN j=1[Q o(j)-Q s(j)]2/N(4)E PF=[(Q sp-Q op)/Q op]ˑ100%(5)式中:Q s(j)为模拟预测值;Q o(j)为实测值;Q o为实测值的平均值;Q sp和Q op分别为模拟和实测洪峰值㊂E NS 越大㊁E RMS越小,表示模拟精度越高,E NS取值最大为1㊂按照水文情报预报规范要求[14],采用洪峰相对误差㊁峰现时间误差对逐小时尺度的模拟预测结果进行评价,对逐日模拟预测值不予评价㊂3㊀实例分析3.1㊀研究区及数据介绍为充分验证模型的鲁棒性,考虑不同气候分区下流域水文规律的差异性,选取了涵盖中国和澳大利亚湿润区㊁半湿润半干旱区和干旱区共10个流域(站点)进行模型应用验证㊂其中,中国流域数据均来自当地水文局(中心)整编数据,澳大利亚数据来自CSIRO建模者数据集[15],数据可靠性高㊂数据时间尺度为逐日或逐小时,有多次水位/流量上涨过程,具有代表性㊂详见表2㊂表2㊀各区域站点资料Table2Information for each study area气候区站名水文变量流域面积/km2年降水量/mm时间步长数据序列所属河流干旱区403222流量415.2304.5逐日1965 2009年10000个数据澳大利亚Buffalo河A2390523流量485.1396.0逐日1973 2012年10000个数据澳大利亚Morambro Ck河巴音布鲁克流量22483.0276.6逐日1960 2003年8768个数据新疆开都河湿润区G8140040流量47651.01088.0逐日1964 2012年10000个数据澳大利亚Dally河926002A流量333.31621.0逐日1966 2012年10000个数据澳大利亚Dulhunty河229661A流量54.51280.0逐日1975 2013年10000个数据澳大利亚Walshs Ck河信宜水位189.01513.0逐小时2019 2022年8761个数据广东鉴江三都流量2621.21821.0逐小时1980 2018年6135个洪水要素摘录数据江西乐安河半湿润半干旱区610008流量14.1746.0逐日1972 2012年10000个数据澳大利亚Ludlow河三门峡流量9376.0405.0逐日1980 2006年9548个数据黄河干流3.2㊀相空间重构参数估计相空间重构的关键在于估计合适的嵌入维数和延迟时间㊂Kim等[16]提出的基于时间窗口的C-C法被广泛应用,本文采用C-C法估计相空间重构的参数,详见文献[16]㊂利用Wolf法计算的最大Lyapunov指数均大于0,表明径流系列均具备混沌特性,参数估计结果见表3㊂392㊀水科学进展第34卷㊀表3㊀各站点相空间重构参数估计Table 3Parameters of phase space reconstruction parameters for each study area气候区站点wmλ干旱区403222723230.1375A2390523633830.0525巴音布鲁克311630.1220湿润区G8140040403420.1371926002A 1783760.0938229661A 524220.2062信宜1899130.0270三都201520.1564半湿润半干旱区6100081513830.0993三门峡181220.2536注:时间窗口w=(m -1)㊂3.3㊀PSR-LSTM 模型训练及参数设置按照预见期分别为1㊁3㊁5㊁7㊁9个时间步长进行建模㊂建模前,对输入数据进行归一化处理,采用Adam(梯度下降法)作为模型优化器,选择E MS 作为代价函数,检验模型预测值和真实值之间的偏差,E MS 公式如下:E MS=1N ðNi =1(Y i -Y ^i)2(6)式中:E MS 为均方误差;Y i 为真实值;Y ^i为模型预测值㊂滑窗长度㊁滑窗数均为深度学习模型的超参数,据此可将数据按批次放入模型中训练㊂通常将参数设置为2的倍数,可较好符合计算机硬件尺寸阵列(如计算机内存单元为210),提升训练效率㊂基于试错法,将滑窗长度设置为16,每批数据包含128个滑窗㊂3.4㊀模拟结果与分析3.4.1㊀PSR-LSTM 与LSTM 对比考虑到在实际应用中,往往较难获取完整的水文时间序列数据㊂故本文选择中等样本数据量进行模型训练,通过对比PSR-LSTM 和LSTM 模型在S1㊁S3情况下的模拟结果,验证PSR-LSTM 的模型性能㊂图2㊀10个流域PSR-LSTM 与LSTM 预测结果对比分析Fig.2Comparisons between the results simulated by PSR-LSTM and LSTM for all watersheds图2所示为PSR-LSTM 和LSTM 模型在10个流域(站点)模拟效能的纳什效率系数㊂随着预见期的增加,2个模型的E NS 均呈下降趋势,而PSR-LSTM 下降过程更平缓,箱体变化范围PSR-LSTM 较LSTM 更小,表明㊀第3期师鹏飞,等:融合相空间重构和深度学习的径流模拟预测393㊀在不同流域的离散程度更低㊂箱体上延线㊁下延线及内部中位数横线均较LSTM更高,特别是5步长以后,模型效能更优㊂在大部分流域的模拟预测中,PSR-LSTM模型预测精度优于LSTM模型,不同预见期下的E NS中位数(箱图中值线)在10个流域平均提升1.49%~9.77%,E RMS平均降低17.01%~19.72%,详见表4㊂表4㊀S1㊁S3建模情景精度对比Table4Comparison between S1and S3scenarios单位:%气候区站点不同步长各站点E NS提升不同步长各站点E RMS降低1357913579干旱区403222 3.589.06 4.727.1910.817.1412.50 5.8813.6416.67 A23905238.05 3.1117.2729.187.9430.0029.1728.5734.3825.71巴音布鲁克0.540.2511.7913.6426.9228.00 3.13 4.8816.9820.69湿润区G8*******.100.580.3911.74 1.7220.0022.7328.5716.1317.14 926002A0.250.790.69 2.65 5.0710.7112.9017.6516.6717.95信宜0.82 3.0012.8120.2016.2138.4643.9037.0428.0029.03 229661A0 2.73 5.29 4.008.38 5.8813.4612.5011.8612.70三都0 2.420.14 2.487.987.1415.2520.9917.7823.47半湿润半干旱区6100080.34 1.16 4.22 1.60-6.8114.2933.3326.0923.0821.43三门峡 1.200.77 1.16 4.99-4.908.477.04 6.5811.9012.36均值 1.49 2.39 5.859.777.3317.0119.3418.8819.0419.72注:步长表示预见期长度㊂根据不同站点数据情况,单位为逐小时或逐日㊂㊀㊀如表5所示,PSR-LSTM预测未来1㊁3㊁5㊁7时间步长的E PF大部分在许可误差(峰值的20%)内,三门峡站从5步长以后预测均超出许可误差,干旱区㊁半湿润半干旱区站点的9步长预测相对误差超出许可误差㊂整体而言,PSR-LSTM在9个时间步长的E PF平均值,不同流域下较LSTM平均降低0.49%~8.93%㊂在逐小时模拟预测(信宜㊁三都站)的峰现时间方面,PSR-LSTM相比LSTM结果相近,但在三都站的3个步长和5个步长预测中,峰现时间均有1h的提升,其他步长的结果一致㊂表5㊀不同预见期洪峰相对误差/峰现时间误差对比Table5Comparison of flood peak relative error/peak time error in different forecast periods单位:%气候区站点不同步长PSR-LSTM模型效能不同步长LSTM模型效能1357913579E PF降低干旱区403222 3.447.6412.7919.5823.3713.627.5720.3228.8641.098.93 A2390523 5.2510.8613.2919.8320.217.6410.7615.4520.3431.45 3.24巴音布鲁克 5.489.3712.3616.3524.31 6.3811.3814.3518.7828.43 2.29湿润区G8140040 5.427.5611.4316.7619.98 6.717.3814.3217.4325.71 2.08 926002A9.3112.4216.7819.0322.4310.2216.8119.4524.6327.45 3.72信宜 1.54/0h 3.76/0h 5.63/0h8.56/2h9.48/3h 1.63/0h 4.34/0h 6.34/0h8.75/2h10.36/3h0.49 229661A 2.91 6.989.9111.2617.73 5.26 6.4613.2623.433.72 6.66三都 3.42/1h7.64/1h9.83/1h14.35/2h19.28/3h 3.65/1h8.78/2h10.98/2h16.67/2h21.73/3h 1.46半湿润半干旱区6100088.4512.3415.3218.4320.3511.3215.4618.8923.4129.32 4.70三门峡15.7819.8925.4729.3732.8718.7821.3826.5730.7836.23 2.07注:表中信宜站和三都站的h为峰现时间单位,小时㊂394㊀水科学进展第34卷㊀3.4.2㊀PSR-LSTM与LSTM模型对训练数据量的依赖程度通过对比S1㊁S2㊁S3㊁S5等4种建模情景,分析模型对训练数据量的依赖程度,结果见表6和图3㊂表6㊀各流域S1㊁S2㊁S3㊁S5不同预见期精度对比Table6Comparison amongst S1,S2,S3and S5for different leading times prediction气候区站名情景不同步长S2㊁S3情景模型E NS对比13579情景不同步长S1㊁S5情景模型E NS对比13579干旱区403222A2390523巴音布鲁克S20.7870.5780.4840.4480.410S10.8110.6140.5330.5220.451S30.7830.5630.5090.4870.407S50.8250.6060.5000.4280.465S20.8640.7140.6450.5230.423S10.8720.7290.6520.6020.435S30.8070.7070.5560.4660.403S50.8650.7030.6170.4690.388S20.9270.8040.6830.5960.542S10.9340.8110.6920.6000.561S30.9290.8090.6190.5280.442S50.9340.8130.6640.5440.504湿润区G8140040926002A229661A信宜三都S20.9580.8460.7220.6220.538S10.9720.8680.7630.6760.592S30.9710.8630.7600.6050.582S50.9710.8730.7690.6670.597S20.8060.7670.7350.6860.671S10.8100.7610.7340.6980.684S30.8030.7530.7220.6690.649S50.8080.7550.7290.6800.651S20.8370.6640.5860.5400.527S10.8560.7150.6370.6240.608S30.8560.6960.6050.6000.561S50.8530.7100.6310.6260.594S20.9950.9740.9760.9410.856S10.9930.9860.9790.9660.938S30.9930.9800.9730.9470.909S50.9940.9870.9750.9520.932S20.9680.8480.6980.5020.431S10.9750.8670.7340.5990.475S30.9670.8410.6400.4780.398S50.9700.8510.7170.5800.451半湿润半干旱区610008三门峡S20.8690.7280.6710.6130.588S10.8740.7830.7170.6340.561 S30.8710.7740.6880.6240.602S50.8640.7860.7020.6340.597 S20.6930.4890.4200.3750.318S10.6720.5220.4360.4000.330 S30.6640.5180.4310.3810.347S50.6740.5180.4310.3810.347㊀㊀表6展示了在不同预见期下,各流域S1㊁S2㊁S3和S5情景的E NS系数对比㊂结果表明:①S1和S5在湿润区㊁半湿润半干旱区精度相似,在干旱区3个步长以后,S1的预测精度均优于S5,即PSR-LSTM 在中等样本量下的效能优于较多样本量下的LSTM㊂②S2在部分流域优于S3,在部分流域劣于S3,总体精度基本相当,可认为PSR-LSTM在小样本量下与LSTM在中等样本量下的效能相似㊂总体而言,从10个流域采用的数据量来看,在相似精度条件下,PSR-LSTM对训练样本的依赖程度较LSTM更低,平均降低约25%~33%㊂为展示模拟预报过程,受限于篇幅长度,仅选择三都站作为代表,绘制了各情景下不同预见期长度的洪水模拟预报过程(小时尺度),见图3(图示为验证期结果,20%的数据长度)㊂可以看出:模型在1~7h预见期时对洪峰预测均取得良好效果,在低流量过程情况时预测值偏高,模型预测实际偏安全,满足洪水预报要求㊂对比各预见期不同情景下的洪水预测过程,1~7h中等数据量PSR-LSTM(S1)与较多数据量LSTM (S5)的预测效果相似,在9h预见期PSR-LSTM(S1)预测更优㊂洪峰预测和低流量预测中较少数据量PSR-LSTM(S2)效果与中等数据量LSTM(S3)基本相当,表明数据量减少情况下,PSR-LSTM模型仍能保持预测效果的稳定㊂㊀第3期师鹏飞,等:融合相空间重构和深度学习的径流模拟预测395㊀图3㊀三都站S1㊁S2㊁S3㊁S5情景各预见期长度下洪水模拟过程对比Fig.3Comparison of flood processes under S1,S2,S3and S5scenarios in Sandu station4㊀结㊀㊀论为对资料短缺流域的水文过程进行快捷实用的建模及预测,本文提出了一种融合相空间重构和长短期记忆神经网络的径流预测复合模型PSR-LSTM,建立了包括数据准备㊁相空间重构㊁数据标准化㊁预测模型构建㊁模型效能评价等步骤的数据驱动建模框架,并将模型在10个不同气候分区流域(站点)进行了应用验证,结论如下:(1)得益于PSR挖掘径流数据中的多维复杂信息,PSR-LSTM模型较LSTM模型具有更高的预测精度㊂预测未来1㊁3㊁5㊁7㊁9时间步长的E NS在10个流域平均提高1.49%~9.77%,个别流域在长预见期时最高可达29.18%,均方根误差平均降低17.01%~19.72%,峰值误差平均降低0.49%~8.93%㊂在逐小时预测的峰现时间误差方面,PSR-LSTM较LSTM有少量降低㊂(2)PSR考虑了水文数据中蕴含的系统变化规律,通过挖掘多维子空间特征,有助于减少对历史数据量的依赖程度㊂PSR-LSTM利用较少样本量建模可达到LSTM利用中等样本量的效能,利用中等样本可优于LSTM利用较多样本的效能,建模所需数据量较LSTM减少25%~33%㊂表明PSR-LSTM模型更适用于样本396㊀水科学进展第34卷㊀短缺的流域,对数据缺乏地区的水文预报工作具有参考意义㊂(3)整体而言,在国内外不同气候分区的10个流域(站点)的模拟结果表明,PSR-LSTM能够较好捕捉不同流域水文过程变化规律,具有良好的适用性和鲁棒性㊂需指出的是,本文仅从水文变量自相关角度进行建模,分析了PSR-LSTM相较LSTM的提升效果,一方面为验证PSR的作用,另一方面旨在为无资料或缺资料流域提供参考方法,因此长预见期时,不可避免出现纳什效率系数精度不高的问题㊂在实际应用时,可通过增加和调整特征变量(预报因子)进行建模,以达到更佳效果㊂由于通常需要利用多种水文变量进行建模预报,后续将研究多变量相空间重构法,对多种水文变量(比如增加降雨㊁前期影响雨量㊁蒸散发等)进行相空间重构,最大程度提取水文变量蕴含的复杂信息,以进一步提高模型的预测能力㊂参考文献:[1]雍斌,张建云,王国庆.黄河源区水文预报的关键科学问题[J].水科学进展,2023,34(2):159-171.(YONG B, ZHANG J Y,WANG G Q.Key scientific issues of 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Compared to LSTM,the Nash efficiency coefficient of PSR-LSTM in predictions of future1to9timesteps is increased by an average of1.49%to9.77%over the ten river basins;the root mean square error is reduced by an average of 17.01%to19.72%.The dependency on the amount of training data is reduced by25%to33%for PSR-LSTM compared to LSTM.The research findings obtained in this study provide insights into hydrological simulation and pre-diction in data-scarce river basins.Key words:streamflow prediction;data-driven;artificial intelligence;Phase Space Reconstruction(PSR);Long Short-Term Memory(LSTM)networks∗The study is financially supported by the National Natural Science Foundation of China(No.52279009)and the Fundamental Re-search Funds for the Central Universities,China(No.B220201010).。

基于相空间重构和高斯过程回归的短期负荷预测

基于相空间重构和高斯过程回归的短期负荷预测

基于相空间重构和高斯过程回归的短期负荷预测顾熹;廖志伟【摘要】According to the chaotic features of load series,a new forecasting method combining phase space reconstruction and Gaussian process regression is proposed.Firstly,two parameters of time series (delay time and delay window) are earned at the same time by means of the C-C method.Secondly,the reconstructed series of the separate load as well as the multi-variable model considering load and other influence factors are established.Then,the load sample is trained by GPR models using both single and composite kernel function and the optimal hyper-parameters are calculated,with which the 24-hour daily loads are predicted.Finally,the forecasting consequence of the single load model is contrasted with SVM model and the multi-variable GP model.Prediction results indicate that the model using multi-variable and composite kernel function achieves better effects and the new method is not only feasible but also satisfies the requirements of the engineering precision.%基于负荷时间序列的混沌特性,提出了一种结合相空间重构(PSR)和高斯过程回归(GPR)的短期负荷预测方法.首先采用C-C方法确定时间序列的延迟时间和嵌入维度,分别建立单变量和多变量的相空间重构模型.然后,分别运用单一与组合核函数的GP模型对负荷样本进行训练,根据最优超参数对24 h的日负荷进行预测.最后将预测结果与支持向量机模型以及多变量GP模型进行比较.结果显示,多变量组合核函数GP模型取得了更好的预测结果,验证了所提出的基于PSR和GPR的预测方法的可行性.【期刊名称】《电力系统保护与控制》【年(卷),期】2017(045)005【总页数】7页(P73-79)【关键词】相空间重构;高斯过程回归;C-C方法;短期负荷预测;组合核函数【作者】顾熹;廖志伟【作者单位】华南理工大学电力学院,广州广东510640;华南理工大学电力学院,广州广东510640【正文语种】中文电力系统短期负荷是一个受多种外在因素(如气象、社会经济、节假日等)影响的多维非线性系统。