数学的对称美及其在中学数学解题中的应用
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轮换对称性在中学数学中的应用【摘要】数学的对称美使我们在解题中更简便,更有效.在解题时,可以根据问题的特点去发掘潜在的对称关系或构造某种对称性,使问题得到巧妙快捷的解决,数学中绚丽多彩的对称美,给我们提供了种种奇妙的解法,同时也给我们带来美的享受.在数学学习中要有意识地利用数学问题的对称性特征,去考察数学对象、思考数学问题,形成数学思维的对称方法和解题策略。
当前,不少同学认为数学就是一堆呆板的公式和复杂的图形,这是没有真正理解数学的精彩、美妙和趣味。
其实数学也是一种美学.“哪里有数学,哪里就有美”.例如数学中的对称性,不仅具有美感,而且具有应用价值.所谓对称美是指某一事物或对象的两个部分的对等性,给人以美的感受。
在数学学习中要有意识地利用数学问题的对称性特征,去考察数学对象、思考数学问题,形成数学思维的对称方法和解题策略.轮换对称的概念在数学中有着广泛而重要的应用,如果在求解问题的过程中注意到轮换对称性,并且恰当地利用轮换对称性,则可以减少一些繁琐的计算,化难为易,提高解题效率,达到事半功倍的效果。
1、轮换对称性的相关定义与性质轮换对称性的相关定义与性质如下:如果把一个代数式中的字母按照某个秩序排列,然后依次把第一个字母换成第二个字母,把第二个字母换成第三个字母,……,把最后一个字母换成第一个字母,我们称这种变换字母的方法叫做轮换。
如果把一个代数式中的字母对调,所得的代数式和原来的代数式恒等,那么,就说原来的代数式关于这些字母对称,原来的代数式就是关于这些字母的对称式。
如果一个函数f(x1,x2)=f(x2,x1),则称该函数是对称函数.如果通过轮换后所得的代数式与原来的代数式恒等,那么,就把原来的代数式叫做关于这些字母的轮换对称式。
如果轮换对称式中各项的次数相等,那么,就把这样的代数式叫做齐次轮换对称式。
轮换对称式的和、差、积、商也是轮换对称式。
齐次轮换对称式的和、差、积、商也是齐次轮换对称式。
对称性在数学教学中的应用在数学教学中利用数学问题的对称性不仅有助于找到简洁优美的解法,也有利于学生思维水平的提高。
更重要的是可以在学习数学的同时欣赏数学美,正如古代哲学家普洛克拉斯曾说:“哪里有数学,哪里就有美。
”而对称美是数学美的基本内容和重要体现,因此在数学教学中,教师要有意识地揭示数学中的对称美,培养学生的美感,利用对称性提高学生解决问题的能力。
本文以例题为主,主要论述对称性在函数,几何等方面的应用,让学生充分认识对称性的作用,认识对称美。
运用对称性可以锻炼学生的思维,拓展学生的视野,丰富学生的想象,提高学习效果。
一、对称的概念“对称”一词,译自希腊语,其含义是“和谐”“美观”,原义指“在一些物品的布置时出现的般配与和谐”。
我国老一辈数学家段学复教授也说过:“对称,照字面来讲,就是两个东西相对而又相称(或者说相仿、相等)。
因此,把这两个东西互换一下,好像没动一样。
”在现实世界中,形式上和内容上的对称性,广泛地存在于客观事物之中,既有轴对称、中心对称、镜面对称等等的空间对称,又有周期、节奏和旋律的时间对称。
对称美,作为数学美的主要表现形式之一,其数学的实质就是自然物的和谐性在量和量的关系上最直观的表现,是组元的一个构形在其自同构变换群作用下具有的不变性。
从狭义上说,对称是指通常意义下的几何对称和代数对称;从广义上讲,对称还包含对偶、匀称等方面的内容,及各种数学概念、公式、定理间的对称思想。
二、函数中的对称性问题1.函数自身的对称性。
(1)利用奇偶函数的对称性解题。
众所周知,奇函数的图像关于原点对称,偶函数的图像关于y轴对称,只要掌握这些知识的内涵,就能得到处理这些问题的思路把看似复杂的问题简单化。
例1设(fx)是R上的奇函数,且(fx+3)=-(fx),当0≤时(fx)=x,求(f2008)。
解:因为y=(fx)是定义在R上的奇函数,所以点(0,0)是其对称中心,又(fx+3)=-(fx)=(f-x)=(f0-x),所以直线是y=(fx)的对称轴,故y=(fx)是周期为6的周期函数,所以(f2008)=(f6×335-2)=f(-2)=-(f3-1)=(f-1)=-(f1)=-1。
初中数学对称教案一、教学目标1. 让学生理解对称的概念,掌握对称的性质和判定方法。
2. 培养学生运用对称知识解决实际问题的能力。
3. 培养学生的观察能力、推理能力和创新能力。
二、教学内容1. 对称的定义和性质2. 对称的判定方法3. 对称在实际问题中的应用三、教学重点与难点1. 重点:对称的定义、性质和判定方法。
2. 难点:对称在实际问题中的应用。
四、教学过程1. 导入:通过展示一些生活中的对称现象,如剪纸、建筑、自然界中的图案等,引导学生关注对称现象,激发学生的学习兴趣。
2. 新课导入:介绍对称的定义和性质,让学生初步理解对称的概念。
3. 实例讲解:通过展示一些具体的对称图形,如正方形、矩形、圆等,引导学生观察、总结对称的性质和判定方法。
4. 练习巩固:让学生运用对称的知识,解决一些实际问题,如对称剪纸、设计对称图案等。
5. 课堂小结:回顾本节课所学内容,总结对称的概念、性质和判定方法,以及对称在实际问题中的应用。
6. 课后作业:布置一些有关对称的练习题,巩固所学知识。
五、教学策略1. 采用直观演示法,通过展示生活中的对称现象,引导学生关注对称,激发学习兴趣。
2. 采用实例讲解法,让学生通过观察、总结对称的性质和判定方法。
3. 采用练习巩固法,让学生运用对称的知识解决实际问题,提高学生的应用能力。
4. 采用课堂小结法,总结本节课所学内容,帮助学生形成知识体系。
六、教学评价1. 评价学生的对称知识掌握程度,如对称的定义、性质和判定方法。
2. 评价学生运用对称知识解决实际问题的能力。
3. 评价学生的观察能力、推理能力和创新能力。
七、教学反思在教学过程中,要注意关注学生的学习情况,及时调整教学方法,提高教学效果。
同时,要注重培养学生的观察能力、推理能力和创新能力,使学生能够灵活运用对称知识解决实际问题。
谈中学数学中的对称美【摘要】简要论述中学数学阶段,数学中的对称美的体现和应用。
教学中不仅要引导学生在数学形式上去欣赏关注,更重要的是要让学生自觉的运用对称思想去解决某些具体问题,体验对称思想在数学发现和寻求解题突破中的作用。
【关键词】数(式)中几何图形中数学定理中解题中对称的含义比较广泛,从狭义上说,是指通常意义上的几何对称和代数对称;在广义上讲,还包括对偶、匀称、均衡、平衡、不变性、和谐统一等方面的内容。
从这样的角度认识对称,才能领悟数学的美——它是高度严谨和合理而达到的和谐,那是一种令人神怡的内在和谐——这种合理与和谐,是作为数学科学的广义对称。
在中学数学教学内容中,体现了丰富的形与数的形象对称与抽象对称。
中学数学解题方法中也渗透了对称的思想。
对称性是数学美的最重要的特征。
在教学中,如果能提高学生的数学审美能力,必能进一步激发他们学习数学的兴趣,变苦学为乐学,达到事半功倍的效果。
下面简要谈一谈对称性在中学数学中的体现和应用。
1.数(式)中体现出的对称美数(式)中体现出的对称美,主要体现在数(式)的结构上。
例如下列公式中,a+b=b+a,ab=ba,a2-b2=(a+b)(a-b),(a±b)2 = a2±2ab+ b 2 ,a3+b 3 = (a+b)(a2-ab+b2) a与b的位置都具有对称关系,它们在公式中的地位是一样的,公式显得对称而美观。
如果学生能领悟到这点,则有助于他们记忆和运用公式,降低学习难度。
再比如轮换对称式a3+b3+c3-3abc中,a、b、c是对称的,并不是说它们各占30%,也是指它们的地位是平等的,但如果改为a3-b3+c3-3abc,a、b、c就不再对称,但a和c仍是对称的,这些需要我们仔细体会才能领悟。
2.几何图形中的对称美中学数学中学习的两个图形关于某一条直线成轴对称以及轴对称图形、中心对称图形等,是数学对称美的一种极富特色的表现形式。
这些图形匀称美观,所以在日常生活中用途非常广泛。
论数学的对称美在数学学习中的意义摘要:人们对数学美的追求与数学的研究是同步进行的,数学的美,如同音乐家演奏的美妙旋律,画家笔下的精美作品一样。
同样是在表达美,只不过形式不同而已。
本文通过对数学的对称美的研究,希望能引起共鸣,使更多的人来关注数学美学的发展。
关键词:对称美数学思想中图分类号:O1-099 文献标识码:ATalk about the symmetrical American meaning in mathematics is studied of mathematics Summary : People's study on mathematics beautiful pursuit and mathematics is carried on in step , mathematics is beautiful, like the wonderful melody which the musician plays, the exquisite works in the works of the painter are the same. Expressing too beautifully, only forms are different. This text passes the symmetrical and beautiful research to mathematics, hope Yes to cause the sympathetic response, make more persons pay close attention to the development of mathematics aestheticsKeyword: Symmetrical an beautiful Mathematics thought1.引言“万物皆数”这是毕达哥拉斯学派的观点,的确数学的发展与人类社会的发展是密不可分的,人类对文明的追求,正是沿着挖掘事物美这条道路前进的,同样数学的发展也是追求数学美的过程。
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高中数学论文题目(一)对原函数存在条件的试探分块矩阵的若干初等运算函数图像中的对称性问题泰勒公式及其应用微分中值定理的证明和应用一元六次方程的矩阵解法‘数学分析’对中学数学的指导作用“1”的妙用“数形结合”在解题中的应用“数学化”及其在数学教学中的实施“一题多解与一题多变”在培养学生思维能力中的应用《几何画板》与数学教学《几何画板》在圆锥曲线中的应用举例Cauchy中值定理的证明及应用Dijkstra最短路径算法的一点优化和改进Hamilton图的一个充分条件HOLDER不等式的推广与应用变量代换在数学中的应用不变子空间与若当标准型之间的关系不等式的几种证明方法及简单应用不等式的证明方法探索不等式证明的若干方法不等式证明中导数有关应用不同型余项泰勒公式的证明与应用猜想,探求,论证彩票中的数学常微分方程的新的可解类型常微分方程在一类函数项级数求和中的应用抽奖活动的概率问题抽屉原理及其应用抽屉原理及其应用抽屉原理思维方式的若干应用初等变换在数论中的应用初等数学命题推广的几种方式传染病模型及其应用从趣味问题剖析概率统计的解题技巧从双曲线到双曲面的若干性质推广从统一方程看抛物线、椭圆和双曲线的关系存贮模型的若干讨论带peano余项的泰勒公式及其应用单调有界定理及其应二次曲线方程的化简二元函数的单调性及其应用二元函数的极值存在的判别方法二元函数极限不存在性之研究反对称矩阵与正交矩阵、对角形矩阵的关系反循环矩阵和分块对称反循环矩阵范德蒙行列式的一些应用方差思想在中学数学中的应用及探讨方阵A的伴随矩阵放缩法及其应用分块矩阵的应用分块矩阵行列式计算的若干方法分析近年三角各种题型,提高学生三角问题解决能力分形几何进入高中数学课程的尝试辅助函数的应用辅助函数在数学分析中的应用辅助元法在中学数学中的应用复合函数的可测性概率的趣味应用概率方法在其他数学问题中的应用概率论的发展简介及其在生活中的若干应用概率论在彩票中的应用概率统计在彩票中的应用概率统计在实际生活中的应用概率在点名机制中的应用概率在中学数学中的应用高等几何知识对初等几何的指导作用高等数学在不等式证明中的应用高观点下的中学数学高阶等差数列的通项,前n项和公式的探讨及应用高中数学教学中的类比推理高中数学开放题及其编制问题高中数学实践“问题解决”的几点思考高中数学研究性学习教学及其设计给定点集最小覆盖快速近似算法的进一步研究及其应用构建数学建模意识培养创新思维构造的艺术关联矩阵的一些性质及其应用n阶矩阵m次方幂的计算及其应用R积分和L积分的联系与区别Schwarz积分不等式的证明与应用Taylor公式的几种证明及若干应用Taylor公式的若干应用Taylor公式的应用Taylor公式的证明及其应用Vandermonde行列式的应用及推广把数学和生活融合起来伴随矩阵的秩和特殊值高中数学论文题目(二)函数的一致连续性及其应用函数定义的发展函数级数在复分析中与在实分析中的关系函数极值的求法函数幂级数的展开和应用函数项级数的收敛判别法的推广和应用函数项级数一致收敛的判别函数最值问题解法的探讨蝴蝶定理的推广及应用化归中的矛盾分析法研究环上矩阵广义逆的若干性质积分中值定理的再讨论积分中值定理正反问题‘中间点’的渐近性基于高中新教材的概率学习基于集合论的中学数学基于最优生成树的海底油气集输管网策略分析级数求和的常用方法与几个特殊级数和级数求和问题的几个转化级数在求极限中的应用极值思想在图论中的应用集合论悖论几个广义正定矩阵的内在联系及其区别几个特殊不等式的巧妙证法及其推广应用几个学科的孙子定理几个重要不等式的证明及应用几个重要不等式在数学竞赛中的应用几何CAI课堂教学软件的设计几何画板与圆锥曲线几何画板在高中数学教学中的应用几类数学期望的求法几类特殊线性非齐次微分方程的特殊解法几种特殊矩阵的逆矩阵求法假设检验与统计推断简单平面三角剖分图拉格朗日中值定理n元上推广立体几何的平面化思考利用导数解题的综合分析与探讨利用级数求极限连锁经营企业效益模型邻接矩阵在判断Hamilton性质中的一些应用人口性别比例的统计和概率分析若干问题的概率解法若干问题的概率论解法的探索三对角行列式及其应用三角函数的解题应用三角函数最值问题的研究高中数学论文题目(三)三种积分概念的极限式定义和确界式定义的比较山核桃造林及管理的数学模型上、下极限的定义、性质及其应用实变方法在经典微积分中的应用实分析计算中的几种方法实际问题解决中数学语言能力的培养实数完备性定理的等价性证明及其应用数学猜想及其培养途径数学的对称美及其在中学数学解题中的应用数学分析中的化归思想数学分析思想在中学数学解题中的应用数学分析在初等数学中的应用数学分析中求极限的方法数学高考内容分布及命题趋向数学归纳法的初探数学归纳法的七种变式及其应用数学归纳法的原理推广及应用数学归纳法及其一些非常见形式和归纳途径数学建模在生物领域的应用(没做)数学建模中的排队论模型数学竞赛的解题策略数学竞赛中的抽屉原理数学竞赛中的图论问题数学开放题的设计与教学建议数学开放性问题的编拟与解决数学课程改革和教师观念的转变数学模型方法在教学中的应用及其价值数学模型在人口问题中的应用数学认知结构与数学教学数学史对数学教育的启示数学史上对方程求根公式的探索及其现代意义数学史在中学数学教学中的运用数学文化在中学数学教学中的渗透数学问题提出与CPFS结构关系的研究数学游戏及其价值数学中的游戏因素及其对于数学的影响四面体中不等式的探究试论四分块矩阵试以斐波那契数列为例谈谈中学生数学兴趣的培养输电阻塞模型的灵敏度分析及算法的改进树在数据结构中的简单应用数理统计在教育管理中的应用数理统计在生产质量管理中的两个应用数列求和问题的探讨交错级数收敛性判别法及应用交通问题中的数学模型解题教学换元思想能力的培养解析几何中的参数观点经济学中蛛网模型的数学分析极限的求法与技巧极值的分析和运用。
运用“对称变换”的思想方法解题在中学数学中,对称的问题主要有以下4种形式:1.中心对称:①点关于点的对称;②曲线关于点的对称。
2.轴对称:①点关于直线的对称;②曲线关于直线的对称。
3.平面对称:①点关于平面的对称;②曲线关于平面的对称。
4.多项式对称:①一般轮换对称;②顺序轮换对称。
几何中的轴(面)对称和中心对称是最直观的对称,平面图形绕其内一定点旋转2πnn ∈N *的变换,也是常见的对称变换。
典型例题1定理一:函数y =f x 满足f a +x =f a -x 的充要条件是y =f x 的图像关于直线x =a 对称。
定理二:函数y =f x 满足f a +x -b =b -f a -x 的充要条件是y =f x 的图像关于点a ,b 成中心对称。
定理三:函数y =f x 满足F x =f x +a -f a 为奇函数的充要条件是y =f x 的图像关于点a ,f a 成中心对称(注:若a 不属于x 的定义域,则f a 不存在.依次解答如下问题:(1)设函数y =f x 的图像关于直线x =1对称,若x ≤1时,y =x 2+1,求x >1时y 的解析式;(2)若函数y =x 2+mx +1x的图像关于点0,1 中心对称,求m 的值;(3)已知函数f x 在-∞,0 ∪0,+∞ 上的图像关于点0,1 中心对称,且当x ∈0,+∞ 时f x =x 2+x +1.根据定理二求出f x 在-∞,0 上的解析式;(4)设函数y =f x ,y =g x 在定义域R 上的图像都是关于点a ,b 中心对称,则对于函数y =f x +g x ,y =f x -g x ,y =f x ⋅g x 及y =f xg x ,指出其中一个函数的图像一定关于点成中心对称,再指出其中一个函数的图像可以不关于点中心对称,并分别说明理由;(5)讨论函数f x =x -23 x +53 +x -3 -2x -83的图像的对称性。
数学中的对称美数学的对称美分为两种:一种是数〔式〕的对称性美,要紧表达在数〔式〕的结构上,例如,加法的交换律a+b=b+a,乘法的交换律ab=ba,a与b的位置具有对称关系,然而能够变化的,变化的结果与原来的位置反而形成一种整齐的美感、均衡感,简洁明快,一目了然,从而显示了它的神奇感、奇妙感。
另一种是图形的对称性,整体美、简洁美,图形的对称是指组成图形的部分与部分之间、整体与整体之间的一种统一和谐关系。
例如轴对称图形和中心对称图形等,这些图形匀称美观,因此在日常生活中用途特别广泛,许多建筑师和美术工作者常常采纳一些对称图形,设计出漂亮的装饰图案。
倒影对称的建筑物,对称的图案,是随处可见的。
绘画中利用对称,文学作品中也有对称手法。
在数学中那么表现在几何图形中有点对称、线对称、面对称。
在几何图形中对称的图形给人以美的享受,而不对称的现象中同样存在着美,这确实是黄金分割的美或者更深层次的对称美。
如:一条线段关于它的中点对称,这条线段假设左端点的坐标为0,右端点的坐标为1,那么中点在0.5处。
又如:大概黄金分割点〔在0.618处〕不是对称点,但假设将左端记为A,右端记为B,黄金分割点记为C,那么AC2=AB·BC而且C关于中点的对称点D也是AB的黄金分割点,因为,再进一层看,D又是AC的黄金分割点;C是DB的黄金分割点。
类似地一直讨论下去,这可视为一种连环对称。
现在,设计师和艺术家们差不多利用这一规律创造出了许多令人心碎的建筑和无价的艺术珍宝。
在中学数学中,有关数与形的对称现象极为常见,这种对称有的是形象的,有的是抽象的观念和方法上的对称。
等边三角形是关于它的每条高线的轴对称图形,平行四边形是关于它的两条对角线交点的中心对称图形。
圆锥、圆柱、圆台是关于它的轴截面的对称图形。
代数中常利用来构造一元二次方程,几何中常利用对称思想添加辅助线,数学的对称美已成为人们研究解决问题的重要思想方法,它的作用越来越显得重要。
数学与应用数学专业毕业论文参考选题1.数学教学中思维品质的培养2.“问题解决”和中学数学课程3.浅议勾股定理的发展史4.解题回顾与数学思维品质5.试论数学学法指导6.关于所学创造力培养的探讨7.CAI优化数学教学初探8.浅议数学课的版书设计9.浅谈“最值问题”的解题方法10.怎样发掘数学题中的隐含条件11.数学概念探索式教学12.从一个实际问题谈概率统计教学13.教学媒体在数学教学中的作用14.数学问题解决及其教学15.数学概念课的特征及教学原则16.数学美与解题17.创造性思维能力的培养和数学教学18.教材顺序的教学过程设计创新19.排列组合问题的探讨20.浅谈初中数学教材的思考21.整除在数学应用中的探索22.浅谈协作机制在数学教学中的运用23.课堂标准与数学课堂教学的研究与实践24.浅谈研究性学习在数学教学中的渗透与实践25.关于现代中学数学教育的思考26.在中学数学教学中教材的使用27.情境教学的认识与实践28.浅谈初中代数中的二次函数29.略论数学教育创新与数学素质提高30.高中数学“分层教学”的初探与实践31.在中学数学课堂教学中如何培养学生的创新思维32.中小学数学的教学衔接与教法初探33.如何在初中数学教学中进行思想方法的渗透34.培养学生创新思维全面推进课程改革35.数学问题解决活动中的反思36.数学:让我们合理猜想37.如何优化数学课堂教学38.数学概念探索启发式教学39.开发创新思维挖掘新潜能—关于数学创新教学的思考与实践40.数学素质教育中—优化教学过程的若干策略41.展现思维过程培养创新意识42.中学数学教学之我见43.实施数学素质教育探析44.构建数学建模意识培养学生创新能力45.浅谈数学教学中培养学生探究性学习策略46.立体几何中辅助线或面的作法47.培养学生的推理能力48.谈数学课堂教学的艺术性49.在开放性问题的教学中培养学生的创新意识50.浅谈数学思维训练的基本方法51.向量的几件法宝在几何中的应用52.浅谈初中生创新精神的培养53.问题意识—数学创造性思维的源泉54.对数学教学中实施创新教育的探讨55.数学教学中的情感教育56.数学教学与学生创新精神的培养57.加强“开放性”问题教学培养学生创新能力58.如何培养学生在数学中的创新能力59.数学课堂教学案例一则—“研究性学习”与“接受性学习”的整合60.浅谈数学课堂教学中的人文教育61.浅谈初中数学教学中培养学生的创新能力62.数学问题解决及其教学63.对数学讲授法的再思考64.浅析数学教学与创新教育65.数学文化的核心—数学思想与数学方法66.漫话探究性问题之解法67.浅论数学教学的策略68.当前初中数学教学存在的问题及其对策69.例谈用“构造法”证明不等式70.数学研究性学习的探索与实践71.数学教学中创新思维的培养72.数学教育中的科学人文精神73.教学媒体在数学教学中的应用74.“三角形的积化和差”课例大家评75.谈谈类比法76.直觉思维在解题中的应用77.数学几种课型的问题设计78.数学教学中的情境创设79.在探索中发展学生的创新思维80.精心设计习题提高教学质量81.对数学教育现状的分析与建议82.创设情景教学生猜想83.反思教学中的一题多解84.在不等式教学中培养学生的探究思维能力85.浅谈数学学法指导86.中学生数学能力的培养87.数学探究性活动的内容、形式及教学设计88.浅谈数学学习兴趣的培养89.浅谈课堂教学的师生互动90.新世纪对初中数学的教材的思考91.数学教学的现代研究92.关于学生数学能力培养的几点设想93.在数学教学中培养学生创新能力的尝试94.联系生活学数学的实践与认识95.怎样钻研数学教材96.与差生的数学交流及提高差生数学成绩方法97.利用习题变换培养思维能力98.谈谈当代数学几种教学模式99.数学研究学习的探索与实践100.浅谈数学新课程标准重点之—数感的培养101.浅谈教学中如何培养学生的数学能力102.浅谈数学教学中的激趣103.创设教育成功的新视角、培养学生数学创新精神104.浅谈数学CAI105.数学CAI应遵循的原则106.培养数学能力的重要性和基本途径107.学生数学创新精神的培养108.浅谈培养学生的空间想象能力109.培养数学能力的重要性和基本途径110.课堂改革与数学中的创新教育111.如何实施中学数学教学中的素质教育112.数学思想方法在初中数学教学中的渗透113.浅谈数学课程的设计114.培养学生学习数学的兴趣115.课堂教学与素质教育探讨116.数学教学要着重培养学生的读书能力117.数学基础知识的教学和基本能力的培养118.初中数学创新教育的实施119.浅谈数学教学中培养学生的数学思维能力120.谈数学教学中差生的转化问题121.谈中学数学概念教学中如何实施探索式教学122.把握学生心理激发数学学习兴趣123.数学教学中探究性学习策略124.论数学课堂教学的语言艺术125.数学概念的教与学126.优化课堂教学推进素质教育127.数学教学中的情商因素128.浅谈创新教育129.培养学生的数学兴趣的实施途径130.论数学学法指导131.学生能力在数学教学中的培养132.浅论数学直觉思维及培养133.论数学学法指导134.优化课堂教学焕发课堂活力135.浅谈高初中数学教学衔接136.如何搞好数学教育教学研究137.关于对数学直觉思维及其培养的几点看法138.多媒体在数学教学中应用的探索139.关于提高数学教学开放度的探索和思考140.论初中数学教学中培养学生的数学能力141.数学后进生是如何形成的142.浅谈研究性学习中的主体性原则143.信息技术与数学教学态度的思考144.发掘解题特色增强学生数学潜能145.浅谈数学学习方法指导146.数学作业批改技巧147.讲授型课如何提高学生的参与能力148.数学应用题赏析149.在数学教学中培养学生的创新能力150.把握特征、掌握方法、努力提高数学教学质量151.谈转化策略在数学解题中的运用152.数学解题中的辩证思维策略153.数学教学中培养学生创新思维能力的体会154.论数学学法指导浅谈数学教学中学生思维品质的培养155.数学实验和现代数学教育156.例谈数学思维能力的培养157.高中数学应用题解题前浅析158.计算机辅助教学现状浅谈159.数学教学中创新思维的培养160.培养学生创新思维能力的途径研究161.谈数学史在中学数学教学中的渗透162.如何评价高中生的数学素质163.精心设计习题,努力提高数学教学质量164.实施素质教育,培养创新人才165.数学教学中一题多解的反思166.浅谈初中数学中培养学生的创新能力167.信息技术与数学教学改革168.创建建模意识,培养创新能力169.数学课堂教学中创新思维的培养170.我对概念教学的再认识171.培养学生解题能力的研究172.浅议初中数学的教学原则㈠数学新课改方面1、论研究性学习2、浅谈数学教学中的“问题情境”3、从赌博和概率到抽奖陷阱中的数学4、创新教育背景下的数学教学5、数学问题情境的创设6、让阅读走进数学课堂7、浅谈中学数列中的探索性问题8、关于创新素质教育的研究与思考9、参与、感悟、创新—数学教学中对主体性和创造性的培养10、赋予作业新生命—也谈新课程理念下的数学作业设计11、训练为主线,让学生参与到知识的形成过程中去12、让数学走进生活——浅谈数学教学“生活化”13、如何使数学教学成为教学活动的教学14、数学新课改下的数学科面临的问题15、浅谈数学教学中的生活性和开放性16、在教学中开展研究性学习17、让学生获得终生受益的东西18、课堂教学要重视情境引入19、数学教学中学生探究能力和创造性思维的培养20、构建新理念下的数学课堂教学21、自主学习与创新意识培养的数学课堂教学模式初探22、将研究性学习引入数学课堂教学23、数学教学中的情境创设24、浅谈新课标下中学数学讲评课25、数学课程改革和教师观念的转变26、新课程标准与数学情感领域的教学目标(谈“以人为本”的数学教学设计)27、论素质教育理念中的中学数学教学目标28、在高中数学教育中开展合作交流学习的理论与实践研究29.谈谈培养学生的空间想象力30.培养数学能力的重要性和基本途径31.浅谈数学学习兴趣的培养32. 数学教学的现代研究33. 数学探究性活动的内容、形式及教学设计34. 注重创新性试题的设计35. 生活中处处有数学36. 对数学教育现状的分析与建议37. “问题解决教学”的实践与认识38. “特征信息”的捕捉与解题最优化39. 数学教学中的情境创设40. 浅析课堂教学的师生互动㈡中学数学思想方法方面1、推测和猜想在数学中的应用2、中学数学中的化归方法3、浅谈中学数学中的反证法4、浅谈发展数学思维的学习方法5、数形结合思想在中学数学中的应用6、数学:让我们合理的猜想7、数学的思想和方法8、数学开放题的设计与教学建议9、数学开放性问题的编拟与解决10、论代数中的数学思想和数学方法;11、数形结合在高中数学中的应用12、论数学猜想在数学发明发现中的意义13、对初等数学中函数概念教学的思考14、中学数学中的对称思想及其应用的研究15、论中学数学中的化归与转换的思想及其应用16、中学数学建模教学17.谈谈类比法18.数学教学中如何渗透分类讨论19.代数变形常用技巧及其应用20.观察法及其在数学教育研究中的应用21.课堂教学中培养学生创造能力的尝试㈢数学史方面1、微积分学的发展史2、论数学史的教育价值3、数学史对数学教育的启示4、数学史上对方程求根公式的探索及其现代意义5、数学史在中学数学教学中的运用6、发掘数学史在数学教学中的教育功能㈣数学教育学、心理学方面1、中学数学教育中的素质教育的内涵2、数学创新教育的课堂设计3、关于培养和提高中学生数学学习能力的探究4、学生数学素养的培养初探5、数学中的研究性学习6、数学选择题的利和弊7、数学教学中课堂提问的误区与对策8、中学数学教学中的创造性思维的培养9、直觉思维的训练和培养10、浅论数学能力及其培养11、浅谈初中数学教学中培养学生的创新能力12、数学教学中学生创新能力的培养13、浅谈初中数学教学中如何培养学生的创新能力14、浅谈分层教学在数学教学中的作用15、数学学习中学生自学能力的培养16、中学数学“分层教学与分类指导”探索17、谈中学数学教学中兴趣的培养18、数学高考内容分布及命题趋向19.初探影响解决数学问题的心理因素20.如何处理数学学习中的认知冲突㈤数学文化1、数学文化在中学数学教学中的渗透2、浅谈数学文化3、数学课堂文化建设之我见4、文化视角下的数学教学过程研究5、在高中数学教育中开展数学文化学习的研究㈥数学美1、数学的和谐和统一-----谈论数学中的美2、试论数学中的美3、数学教育与美育4、浅谈数学中的美5、数学教学应重视数学美6、数学的对称美及其在中学数学解题中的应用7、试以斐波那契数列为例谈谈中学生数学兴趣的培养8、浅谈数学与美9、谈中学数学的对称美10、探讨数学的美育价值,激发数学研究的热情1、数学中的研究性学习2、数字危机3、中学数学中的化归方法4、高斯分布的启示5、a2+b2≧2ab的变形推广及应用6、网络优化7、泰勒公式及其应用8、浅谈中学数学中的反证法9、数学选择题的利和弊10、浅谈计算机辅助数学教学11、论研究性学习12、浅谈发展数学思维的学习方法13、关于整系数多项式有理根的几个定理及求解方法14、数学教学中课堂提问的误区与对策15、中学数学教学中的创造性思维的培养16、浅谈数学教学中的“问题情境”17、市场经济中的蛛网模型18、中学数学教学设计前期分析的研究19、数学课堂差异教学20、浅谈线性变换的对角化问题21、圆锥曲线的性质及推广应用22、经济问题中的概率统计模型及应用23、通过逻辑趣题学推理24、直觉思维的训练和培养25、用高等数学知识解初等数学题26、浅谈数学中的变形技巧27、浅谈平均值不等式的应用28、浅谈高中立体几何的入门学习29、数形结合思想30、关于连通性的两个习题31、从赌博和概率到抽奖陷阱中的数学32、情感在数学教学中的作用33、因材施教因性施教34、关于抽象函数的若干问题35、创新教育背景下的数学教学36、实数基本理论的一些探讨37、论数学教学中的心理环境38、以数学教学为例谈谈课堂提问的设计原则39、不等式证明的若干方法40、试论数学中的美41、数学教育与美育42、数学问题情境的创设43、略谈创新思维44、随机变量列的收敛性及其相互关系45、数字新闻中数学应用46、微积分学的发展史47、利用几何知识求函数最值48、数学评价应用举例49、数学思维批判性50、让阅读走进数学课堂51、开放式数学教学52、浅谈中学数列中的探索性问题53、论数学史的教育价值54、思维与智慧的共享--从建构主义到讨论法教学55、微分方程组中的若干问题56、由“唯分是举”浅谈考试改革57、随机变量与可测函数58、二阶变系数齐次微分方程的求解问题59、一种函数方程的解法60、积分中值定理的推广及其应用对原函数存在条件的试探分块矩阵的若干初等运算函数图像中的对称性问题泰勒公式及其应用微分中值定理的证明和应用一元六次方程的矩阵解法'数学分析’对中学数学的指导作用“1”的妙用“数形结合”在解题中的应用“数学化”及其在数学教学中的实施“一题多解与一题多变”在培养学生思维能力中的应用《几何画板》与数学教学《几何画板》在圆锥曲线中的应用举例Cauchy中值定理的证明及应用Dijkstra最短路径算法的一点优化和改进Hamilton图的一个充分条件HOLDER不等式的推广与应用n阶矩阵m次方幂的计算及其应用R积分和L积分的联系与区别Schwarz积分不等式的证明与应用Taylor公式的几种证明及若干应用Taylor公式的若干应用Taylor公式的应用Taylor公式的证明及其应用Vandermonde行列式的应用及推广艾滋病传播的微分方程模型把数学和生活融合起来伴随矩阵的秩和特殊值保持函数凸性的几种变换变量代换在数学中的应用不变子空间与若当标准型之间的关系不等式的几种证明方法及简单应用不等式的证明方法探索不等式证明的若干方法不等式证明中导数有关应用不同型余项泰勒公式的证明与应用猜想,探求,论证彩票中的数学常微分方程的新的可解类型常微分方程在一类函数项级数求和中的应用抽奖活动的概率问题抽屉原理及其应用抽屉原理及其应用抽屉原理思维方式的若干应用初等变换在数论中的应用初等数学命题推广的几种方式传染病模型及其应用从趣味问题剖析概率统计的解题技巧从双曲线到双曲面的若干性质推广从统一方程看抛物线、椭圆和双曲线的关系存贮模型的若干讨论带peano余项的泰勒公式及其应用单调有界定理及其应用导数的另外两个定义及其应用导数在不等式证明中的应用导数在不等式证明中的应用导数在不等式证明中的应用等价无穷小在求函数极限中的应用及推广迪克斯特拉(Dijkstra)算法及其改进第二积分中值定理“中间点”的性态对均值不等式的探讨对数学教学中开放题的探讨对数学教学中开放题使用的几点思考对现行较普遍的彩票发行方案的讨论对一定理证明过程的感想对一类递推数列收敛性的讨论多扇图和多轮图的生成树计数多维背包问题的扰动修复多项式不可约的判别方法及应用多元函数的极值多元函数的极值及其应用多元函数的极值及其应用多元函数的极值问题多元函数极值问题二次曲线方程的化简二元函数的单调性及其应用二元函数的极值存在的判别方法二元函数极限不存在性之研究反对称矩阵与正交矩阵、对角形矩阵的关系反循环矩阵和分块对称反循环矩阵范德蒙行列式的一些应用方差思想在中学数学中的应用及探讨方阵A的伴随矩阵放缩法及其应用分块矩阵的应用分块矩阵行列式计算的若干方法分析近年三角各种题型,提高学生三角问题解决能力分形几何进入高中数学课程的尝试辅助函数的应用辅助函数在数学分析中的应用辅助元法在中学数学中的应用复合函数的可测性概率的趣味应用概率方法在其他数学问题中的应用概率论的发展简介及其在生活中的若干应用概率论在彩票中的应用概率统计在彩票中的应用概率统计在实际生活中的应用概率在点名机制中的应用概率在中学数学中的应用高等几何知识对初等几何的指导作用高等数学在不等式证明中的应用高观点下的中学数学高阶等差数列的通项,前n项和公式的探讨及应用高中数学教学中的类比推理高中数学开放题及其编制问题高中数学实践“问题解决”的几点思考高中数学研究性学习的课题选择高中数学研究性学习教学及其设计给定点集最小覆盖快速近似算法的进一步研究及其应用构建数学建模意识培养创新思维构造的艺术关联矩阵的一些性质及其应用关于2004年全国高教杯大学生数学建模竞赛题的探究与拓展关于2循环矩阵的特征值关于Gauss整数环及其推广关于g-循环矩阵的逆矩阵关于不等式在中学的选修的处理关于不等式证明的高等数学方法关于传染病模型的建立与分析关于二重极限的若干计算方法关于反函数问题的讨论关于非线性方程问题的求解关于函数一致连续性的几点注记关于矩阵的秩的讨论_关于两个特殊不等式的推广及应用关于幂指函数的极限求法关于扫雪问题的数学模型关于实数完备性及其应用关于数列通项公式问题探讨关于椭圆性质及其应用地探究、推广关于线性方程组的迭代法求解关于一类非开非闭的商映射的构造关于一类生态数学模型的几点思考关于圆锥曲线中若干定值问题的求解初探关于置信区间与假设检验的研究关于中学数学中的图解方法关于周期函数的探讨哈密尔顿图初探函数的一致连续性及其应用函数定义的发展函数级数在复分析中与在实分析中的关系函数极值的求法函数幂级数的展开和应用函数项级数的收敛判别法的推广和应用函数项级数一致收敛的判别函数最值问题解法的探讨蝴蝶定理的推广及应用化归中的矛盾分析法研究环上矩阵广义逆的若干性质积分中值定理的再讨论积分中值定理正反问题'中间点’的渐近性基于高中新教材的概率学习基于集合论的中学数学基于最优生成树的海底油气集输管网策略分析级数求和的常用方法与几个特殊级数和级数求和问题的几个转化级数在求极限中的应用极限的求法与技巧极值的分析和运用极值思想在图论中的应用集合论悖论几个广义正定矩阵的内在联系及其区别几个特殊不等式的巧妙证法及其推广应用几个学科的孙子定理几个重要不等式的证明及应用几个重要不等式在数学竞赛中的应用几何CAI课堂教学软件的设计几何画板与圆锥曲线几何画板在高中数学教学中的应用几类数学期望的求法几类特殊线性非齐次微分方程的特殊解法几种特殊矩阵的逆矩阵求法假设检验与统计推断简单平面三角剖分图交错级数收敛性判别法及应用交通问题中的数学模型解题教学换元思想能力的培养解析几何中的参数观点经济学中蛛网模型的数学分析居民抵押贷款购房决策模型矩阵变换在求多项式最大公因式中的应用矩阵的单侧逆矩阵方幂的正反问题及其应用矩阵分解矩阵可交换成立的条件与性质矩阵秩的一些性质与某些数学分支的联系矩阵中特征值、特征向量的几个问题的思考具有不同传染率的SI流行病模型的研究均值不等式在初高等数学中的应用均值极限及stolz定理开放性问题编制的原则柯西不等式的推广及其应用柯西不等式的应用与推广柯西不等式的证明及妙用柯西不等式的证明及应用空间曲线积分与曲面积分的若干计算方法空间旋转曲面面积的计算拉格朗日中值定理n元上推广立体几何的平面化思考利用导数解题的综合分析与探讨利用级数求极限连锁经营企业效益模型邻接矩阵在判断Hamilton性质中的一些应用留数定理及应用论辅助函数的运用论概率论的产生及概率对实际问题解释和应用论数学分析课程对中学数学的功能及应用论数学史及其应用罗尔定理的几种类型及其应用幂级数与欧拉公式幂零矩阵的性质和应用幂零矩阵的性质及其应用幂零矩阵的性质及其应用模糊集合与经典集合的简单比较模糊数学在学校教学评估中应用平面和空间中的Pick定理齐次马尔柯夫链在教学评估中的应用浅谈导数在中学数学教学中的应用浅谈分类讲座及其解题应用浅谈极值问题及其解法浅谈在解题中构造“抽屉浅谈中学生数学解题能力的培养求极限的若干方法求极值的若干方法全概率公式的推广与应用全概率公式的优化及应用人口性别比例的统计和概率分析。
数学的对称美及其在中学数学解题中的应用作者:吴延雷
来源:《新课程·中旬》2016年第07期
摘要:数学的美在数学研究的过程中展现给人们数学的美,如同音乐的美妙旋律,漂亮
精美画作一样,以不同的形式将美展示出来.通过对数学的对称美的研究,希望更多的人能关
注数学美的发展,体味数学的魅力,同时通过对中学数学中对称性问题的研究希望对数学教学工作起到帮助作用.
关键词:对称美;数学研究;中学数学
一、对称性起源
世界万物都是对立统一的,都包含有矛盾的两个方面,这两个方面是对立的.同一种包含
有对立和对称的性质反映在数学上就是对称性.
早在远古时期,人们已经认识到了对称性,注意到的是普遍存在于自然界的空间对称,例如,镜像对称、中心对称等.随着人力文明的发展,对称性渐渐地融入人类生活的方方面面.在建筑、音乐、文学等领域都得到了充分体现,建筑方面:北京紫禁城、古罗马斗兽场等;音乐中的交响曲;文学中的众多古诗词,如“明月松间照,清泉石上流.”对称性正式进入科学领域大约是在古希腊时期:化学中的分子对称;物理学中的对称性;数学中的几何对称、函数对称等.
二、对称的概念
所谓对称,是指组成某种事物或对象的两部分的对等性,是统一性的特殊表现.当然,这
里所讲的对称主要包含两个方面的内容,一是视角情况下的图形,这集中体现了一些函数的坐标变量关系,这种图形比较直观;另外是关于数学概念与定理方面的对称思想.在数学中,用
自同构对应笼统的来解释对称性.一般的,设集合S有一个到自身的变换f,S的元素之间定义了某种关系“*”,a,b∈S在变换f之下的像a′、b′∈S,如果a、b之间具有关系“*”,则a′、b′
之间仍保持关系“*”,即a′*b′就称变换f是集合S关于关系“*”的一个自同构对应.设S是一个给定的集合,P是S的一个子集,如果S有一个自同构对应f,使得对p的任意元素x,仍有f (x)∈P,则称集合P是对称的.在几何学中,对称是图形的一种性质或指两个合同图形间一
种特殊位置关系,包括中心对称、轴对称、平面对称三种.
三、数学对称性主要内容
对称在艺术、自然界、科学上的例子是屡见不鲜的,自然界的对称可以从亚原子微粒结构到整个宇宙结构的每一个尺度上找到。
在中学数学中,对称性最直观的表现是几何图形,但对称不仅表现在几何图形上,在数学表达式中也大量存在,多项式存在对称性,函数的奇偶性同
样是对称的体现,在曲线与方程中同样也存在对称性的应用.下面就介绍一下数学中常见的对称.。