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【P.1】第三章 第三節 有理函數之積分(部分分式法)◎部分分式法部分分式法：就是將一個分式化成數個分式的和。
其步驟與原則如下(1)檢查原分式，看分子的次數有沒有比分母低，如果沒有，依照公式=+被除式餘式商式除式除式將原分式化成帶分式的形態(2)將分母作因式分解，按照多項式的性質得知，得到的因式只可能出現下面四種可能①ax b+②2axbx c++③()nax b +④2()naxbx c ++(3)按照下面的形態將原分式化成數個分式的和①所有的因式都是一次不重複的1211221122()()()()n n n n nA A A P x a x b a x b a x b a x b a x b a x b =+++++++++②重複的一次因式122()()()()n n nA A A P x ax b ax b ax b ax b =+++++++③所有的因式都是二次不重複的222111222()()()()n n n P x a x b x c a x b x c a x b x c ++++++ 1122222111222n n n n nA xB A x B A x B a x b x c a x b x c a x b x c +++=+++++++++ ④重複的二次因式2()()nP x ax bx c ++11222222()()n n n A x B A x B A x B ax bx c ax bx c ax bx c +++=+++++++++例題1. 求214x dx x +-⎰Sol ：24(2)(2)x x x -=+- 令21422x A B x x x +=+-+-【等號兩邊同乘24(2)(2)x x x -+-或】⇒1(2)(2)x A x B x +=-++【P.2】令2x =-代入⇒41A -=-14A ∴=令2x =代入⇒43B =34B ∴=∴原式143413()ln 2ln 22244dx x x Cx x =+=++-++-⎰提示： 公式11ln dx ax b C ax ba=+++⎰例題2. 求32232x xdxx x -++⎰Sol ：【因為分子的次數沒有比分母低，所以必須把32232x xx x -++化成帶分式】【利用多項式的除法與公式=+被除式餘式商式除式除式】得32232x x x x -++256332x x x x +=-+++∴原式=256(3)32x x dxx x +-+++⎰【接下來依規定將25632x x x +++化成部分分式】232(1)(2)x x x x ++=++ 設2563212x A Bx x x x +=+++++【等號兩邊同乘232(1)(2)xx x x ++++或】⇒56(2)(1)x A x B x +=+++令1x =-代入⇒1A =令2x =-代入⇒44B B -=-∴=【P.3】∴原式=256(3)32x x dx x x +-+++⎰=14(3)12x dx x x -++++⎰23l n 14l n 22x x x x C=-+++++例題3. 求2326(1)x x dx x +--⎰Sol ：令2326(1)x x x +--=231(1)(1)A B Cx x x ++---【等號兩邊同乘3(1)x -】⇒2226(1)(1)x x A x B x C +-=-+-+2(21)(1)A x x B x C=-++-+2(2)()A xB A x A BC =+-+-+ 【比較係數後，得到下面的聯立方程式】1226A B A A B C =⎧⎪-=⎨⎪-+=-⎩⇒1,4,3A B C ===- ∴2326(1)x x dx x +--⎰23143()1(1)(1)dx x x x -=++---⎰ =123ln 14(1)(1)2x x x K -----+-+提示：2343()(1)(1)dx x x -+--⎰的積分方法(代換法)1u x d u d x=-⇒= 2343()(1)(1)dx x x -+--⎰2343()du u u=-⎰23123(43)42uud u u u----=-=-+⎰1234(1)(1)2x x --=--+-【提示：其實利用綜合除法也可以求,,A B C (比較方便)】A習題3-31. 求32(23)(2)x dxx x -+--⎰2.求237215x dxx x ++-⎰3. 求2323(1)x dx x +-⎰4. 求322232x x dx x x +-+⎰1 2+6-C。
部分分式展开法公式部分分式展开法公式是高等数学中常用的一种技巧，用于将一个分式拆分成多个分式之和的形式。
这种技巧在微积分、复变函数、常微分方程等领域都有广泛的应用。
一、部分分式展开法的基本思想部分分式展开法的基本思想是将一个分式表示成若干个分式之和的形式，其中每个分式的分母是不可约的一次多项式。
具体而言，对于一个有理函数 $frac{P(x)}{Q(x)}$，如果 $Q(x)$ 可以分解成若干个不可约的一次多项式的乘积，即 $Q(x) = (x - a_1)^{k_1} cdots (x - a_m)^{k_m}$，则我们可以将 $frac{P(x)}{Q(x)}$ 表示成如下形式的分式之和：$$frac{P(x)}{Q(x)} = frac{A_{1,1}}{x - a_1} + cdots +frac{A_{1,k_1}}{(x - a_1)^{k_1}} + cdots + frac{A_{m,1}}{x - a_m} + cdots + frac{A_{m,k_m}}{(x - a_m)^{k_m}}$$其中 $A_{i,j}$ 是待定系数，可以通过比较系数的方法求得。
这样，我们就成功地将一个分式展开成了若干个分式之和的形式，每个分式的分母都是不可约的一次多项式。
二、部分分式展开法的具体步骤部分分式展开法的具体步骤如下：1. 对于一个有理函数 $frac{P(x)}{Q(x)}$，首先将 $Q(x)$ 分解成不可约的一次多项式的乘积形式，即 $Q(x) = (x - a_1)^{k_1} cdots (x - a_m)^{k_m}$。
2. 对于每个不可约的一次多项式 $(x - a_i)^{k_i}$，分别列出如下形式的分式：$$frac{A_{i,1}}{x - a_i} + cdots + frac{A_{i,k_i}}{(x -a_i)^{k_i}}$$其中 $A_{i,j}$ 是待定系数。
部分分式定理
部分分式定理是高等数学中的一个重要概念，它在分式的拆分和求和中起到了关键的作用。
这个定理的应用范围广泛，不仅在数学领域有重要的应用，还在物理、工程等学科中发挥着重要的作用。
在学习部分分式定理的过程中，我们首先需要了解部分分式的定义。
部分分式是指将一个分式拆分成多个简单分式相加的形式。
我们可以使用部分分式定理将一个复杂的分式化简为简单的分式相加，从而更方便地进行计算和研究。
部分分式定理的基本思想是将一个分子次数高于分母的有理函数，分解为若干个次数低于分母的有理函数的和。
具体而言，我们可以通过分解分母的因式来确定每个简单分式的形式，并确定每个简单分式的系数。
通过将这些简单分式相加，我们可以得到原有的复杂分式。
部分分式定理的应用非常广泛。
在微积分中，我们经常使用部分分式定理来计算不定积分。
通过将被积函数进行部分分式分解，我们可以将复杂的积分问题转化为简单的积分问题，从而更方便地求解。
除了微积分中的应用，部分分式定理还在线性代数、离散数学等学科中发挥着重要的作用。
在线性代数中，我们可以使用部分分式定理来求解线性方程组，从而得到方程组的解。
在离散数学中，部分分式定理可以用于求解递推关系式，从而分析数列的性质和行为。
部分分式定理是一项非常重要的数学工具，它在数学和其他学科中都有着广泛的应用。
通过学习和掌握部分分式定理，我们可以更好地理解和应用分式，从而更好地解决问题。
无论是在学习还是工作中，掌握部分分式定理都是非常重要的。
希望通过本文的介绍，读者对部分分式定理有更深入的了解和认识。
[讲稿]部分分式展开法部分分式展开法若F(s)为的s有理分式，则可表示为...... 式中，a(i=0,1,2,,n-1)、b(i=0,1,2,,m)均为实数。
ii若m?n，则B(s)/A(s)为假分式。
若m<n，则B(s)/A(s)为真分式。
若F(s)为假分式，可用多项式除法将F(s)分解为有理多项式与有理真分式之和，即... 式中，c(i=0,1,2,,n-1)为实数。
N(s)为有理多项式，其逆变换为冲激函i 数及其一阶到阶m-n导数之和。
D(s)/A(s)为有理真分式，可展开为部分分式后求逆变换。
例如，-1 则 f(t)=,[F(s)]=若F(s)=B(s)/A(s)为有理真分式，可直接展开为部分分式后求逆变换。
要把F(s)展开为部分分式，必须先求出A(s)=0的根。
因为A(s)为s的n次多项式，...所以A(s)=0有n个根s(i=1,2,n)。
s可能为单根，也可能为重根;可能为实ii 根，也可能为复根。
s又称为F(s)的极点。
F(s)展开为部分分式的具体情况取i决于的上述性质。
本书附录A中介绍了关于有理真分式的部分是展开法，下面将应用部分分式展开法求拉普拉斯逆变换的几种情况归纳如下: F(s)仅有单极点若A(s)=0仅有n个单根，则根据附录A中式(A-2)，无论s是实根还是复i 根，都可将F(s)展开为(1)式中，各部分分式项的系数K为i(2)由于故F(s)单边拉普拉斯逆变换可表示为-1 f(t)=[F(s)]= (3)一，单极点的情况【例1】已知，求F(s)的单边拉氏逆变换(原函数)f(t)。
解 F(s)的分母多项式A(s)=0的两个根分别为s=-2,s=-3。
因此，F(s)的12 部分分式展开为由式(4.3-2)求K和K，得: 1232所以， F(s),,s，2s，3-1-2t-3t于是得 f(t)=,[F(s)]=(3e-2e)ε(t)二，重极点的情况】已知，求的单边拉氏逆变换。
