《矩阵论》复习提纲与习题选讲
Chapter1 线性空间和内积空间
内容总结：
z 线性空间的定义、基和维数；
z 一个向量在一组基下的坐标；
z 线性子空间的定义与判断；
z 子空间的交
z 内积的定义；
z 内积空间的定义；
z 向量的长度、距离和正交的概念；
z Gram-Schmidt 标准正交化过程；
z 标准正交基。
习题选讲：
1、设表示实数域3]x [R R 上次数小于3的多项式再添上零多项式构成 的线性空间（按通常多项式的加法和数与多项式的乘法）。
（1） 求的维数；并写出的一组基；求在所取基下
的坐标；
3]x [R 3]x [R 221x x ++ （2） 在中定义
3]x [R ， ∫−=1
1)()(),(dx x g x f g f n x R x g x f ][)(),(∈ 证明：上述代数运算是内积；求出的一组标准正交基；
3][x R （3）求与之间的距离；
221x x ++2x 2x 1+−（4）证明：是的子空间；
2][x R 3]x [R （5）写出2[][]3R x R x ∩的维数和一组基；
二、 设22R ×是实数域R 上全体22×实矩阵构成的线性空间（按通常矩阵的加 法和数与矩阵的乘法）。
（1） 求22R ×的维数，并写出其一组基；
（2） 在(1)所取基下的坐标； ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡−−3111（3） 设W 是实数域R 上全体22×实对称矩阵构成的线性空间（按通常矩阵
的加法和数与矩阵的乘法）。
证明：W 是22R ×的子空间；并写出W 的维数和一组基；
（4） 在W 中定义内积
， )A B (tr )B ,A (T =W B ,A ∈
求出W 的一组标准正交基；
（5）求与之间的距离； ⎥⎦⎤⎢⎣⎡0331⎥⎦
⎤⎢⎣⎡−1221 （6）设V 是实数域R 上全体22×实上三角矩阵构成的线性空间（按通常矩
阵的加法和数与矩阵的乘法）。
证明：V 也是22R ×的子空间；并写出V 的维数和一组基；
（7）写出子空间的一组基和维数。
V W ∩
Chapter2 线性映射与线性变换
内容总结：
线性映射在基对下的矩阵表示；
矩阵的典型关系：相抵（等价）、相似与相合；
线性变换在基下的矩阵表示；
线性变换在不同基下的矩阵之间的关系——相似；
矩阵的特征值和特征向量的定义与计算；
矩阵可对角化的条件。
习题选讲：
一、 设表示实数域3]x [R R 上次数小于3的多项式再添上零多项式构成 的线性空间（按通常多项式的加法和数与多项式的乘法）。
（1） 求的维数，并写出的一组基；
3]x [R 3]x [R （2） 在(1)所取基下的坐标；
2x 2x 1++ （3）求与之间的距离；
23x 2x 1++2x 2x 1+− （4） 在中定义内积
3]x [R ， ∫−=1
1)()(),(dx x g x f g f n x R x g x f ][)(),(∈ 求出的一组标准正交基;
3][x R (5) 在中定义线性变换3]x [R D ：D ()=)(x f )(x f ′,
n x R x f ][)(∈ 求D 在（1）中所取基下的矩阵表示.
二、设，
⎟⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−=496375254A （1） 求A 的特征多项式和A 的全部特征值；
（2）求A 的全部特征向量；
（3）求每个特征值的代数重数和几何重数；
（4）判断A 是否可对角化。
Chapter3 λ矩阵与矩阵的Jordan 标准形 内容总结：
z λ矩阵的定义与运算；
z λ矩阵的smith 标准形、不变因子、行列式因子和初等因子； z 矩阵的相似的条件；
z 矩阵的Jordan 标准形；
z 最小多项式理论
习题选讲：
一、设，
⎟⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−=496375254A （1） 求A 的特征多项式和A 的全部特征值；
（2） 求A 的行列式因子、不变因子、初等因子；
（3） 写出A 的Jordan 标准形；
（4） 写出A 的最小多项式
（5） 求24A A −。
Chapter4 矩阵的因子分解
内容总结：
矩阵的满秩分解；
矩阵的三角分解；
了解矩阵的QR 分解；
了解矩阵的schur 定理和奇异值分解
习题选讲：
一、（1）已知 ，作出矩阵⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡−=621911432A A 的分解； LU （2）已知 ，作出矩阵⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡−=010*********A A 的满秩分解；
Chapter5 Hermite 矩阵与正定矩阵
Hermite 矩阵的定义和性质；
正定矩阵的定义、性质和判定定理；
矩阵不等式
习题选讲：
一、
（1） 设，其中⎟⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−=2i i i 2i
i i 2A 1i −=，证明: ； 0A >（2） 设，，问： ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=201021113A ⎟⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎜⎝⎛=111112121B B A >吗？ 说明理由； （3） 设均为阶Hermite 矩阵，且，，且B ,A n 0A >0B ≥BA AB =，
证明：；
0AB ≥（4） 设均为阶Hermite 矩阵，且，即B ,A n 0A >A 正定，
证明：AB 相似于实对角矩阵；
（5） 设均为阶Hermite 矩阵，，且；
B ,A n 0A >0AB >证明：；
0B > (6) 证明：若则；
,0A >,0A 1>−
