高中数学知识点：用坐标方法解决几何问题的“三步曲”

【对点训练】❸ 设某村庄外围成圆形，其所在曲线的方程可 用(x－2)2＋(y＋3)2＝4表示，村外一小路方程可用x－y＋2＝0表 示，则从村庄外围到小路的最短距离是_7_2__2－__2___．
[解析] 从村庄外围到小路的最短距离为圆心(2，－3)到直线 x－y＋ 2＝0 的距离减去圆的半径 2，
即 |122＋＋3＋－21|2－2＝722－2．
易错警示
忽视隐含条件
典例 5 已知圆x2＋y2＋2x＋2y＋k＝0和定点P(1，－1)，若
过点P的圆的切线有两条，则k的取值范围是
C
()
A．(－2，＋∞)
B．(－∞，2)
C．(－2,2)
D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
[错解] 选A．由题意知点P(1，－1)必须在圆的外部，则12＋ (－1)2＋2×1＋2×(－1)＋k＞0，解得k＞－2．答案：A
题型三
直线与圆相交
典例 3 求直线l：3x＋y－6＝0被圆C：x2＋y2－2y－4＝0 截得的弦长．
[分析] 解法一求出直线与圆的交点坐标，解法二利用弦长公 式，解法三利用几何法作出直角三角形，三种解法都可求得 弦长．
[解析] 解法一：由3x2x＋＋yy2－－62＝y－0，4＝0，得交点 A(1,3)，B(2,0)，
当 Δ＜0，即－43＜m＜0 时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点．
方法 2：已知圆的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝4，即圆心为(2,1)， 半径 r＝2．圆心(2,1)到直线 mx－y－m－1＝0 的距离 d＝|2m－11＋－mm2－1|＝ |m1＋－m2|2．
当 d＜2，即 m＞0 或 m＜－43时，直线与圆相交，即直线与圆有两个 公共点，
题型探究

4．2．3直线与圆的方程的应用主要概念：坐标法――建立适当的直角坐标系后，借助代数方法把要研究的几何问题，转化为坐标之间的运算，由此解决几何问题。

一、重点难点本节教材的教学重点是掌握直线和圆的方程在实际生活中的应用，以及用坐标法研究几何问题的基本思想。

难点是如何把一个实际问题转化为数学问题，即数学建模，以及在运用坐标法证明几何问题时，如何能根据具体问题灵活地建立适当的直角坐标系。

二、教材解读本节教材的理论知识有问题提出、题型介绍、思考交流三个板块组成。

第一板块问题提出解读直线与圆的方程在生产、生活实践以及数学中有着广泛的应用。

理解、掌握知识的最终目的在于应用，通过知识的应用，问题的解决，一方面可使学生亲身体验到学习数学的意义和作用，培养学生学习的自觉性；另一方面联系实际的目的就是为了更好地掌握基础知识，增加用数学的意识，培养分析问题和解决问题的能力。

第二板块题型介绍解读直线与圆的方程在实际生活以及平面几何中的应用通过介绍直线与圆的方程在实际生活中的应用，其目的在于让学生了解应用问题就是在已学数学知识的基础上，从实际问题出发，经过去粗取精、抽象概括，把实际问题抽象成数学问题，建立相应的数学模型。

让学生掌握解决实际问题的全过程，提高学生分析问题和解决问题的能力。

通过介绍直线与圆的方程在平面几何中的应用，其目的在于让学生了解坐标法的数学思想，掌握用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”，让学生从另一个角度再次体会“数形结合”的思想方法。

第三板块思考交流解读课本P.138例4中提出：如果不建立坐标系，你能解决这个问题吗？通过让学生思考和解答，试图让学生比较坐标法和几何法在解决这一问题时的优劣，从而发现坐标法在解决一些问题时的优越性。

数学来源于实际又服务于实际，新的课程标准越来越注意对学生在数学素养、数学能力方面的要求，要求学生能应用数学知识、观点、方法去处理实际问题，从而把数学的应用与大众生活紧密地结合起来，使数学教学更具有现实意义与教育意义。

x′＝ λx（ λ>0）， 其中区分变换的前后方向是关键． y′＝ μy（μ>0）
课堂练习
1．若点P(x，y)按伸缩系数k向着x轴的伸缩变换后，得到Q(x′，
y′)，则此变换的代数形式是
kx＝ x′ A. y＝ y′ x＝ x′ C. ky＝ y′ x＝ kx′ B. y＝ y′ x＝ x′ D. y＝ ky′
要点一 运用坐标法解决解析几何问题 例 1 如图所示，圆 O1 与圆 O2 的半径都是 1，|O1O2|＝4，过 动点 P 分别作圆 O1、圆 O2 的切线 PM、PN(M、N 分别为 切点)，使得|PM|＝ 2|PN|，试建立适当的坐标系，并求动 点 P 的轨迹方程．
解
以O1O2的中点O为原点，O1O2所在的直线为x轴，
解析 ∵椭圆 x2＋4y2＝16 向着 y 轴进行伸缩变换，伸 缩系数 k＝2，∴伸缩变换 x′＝x，y′＝2y， 1 1 ∴x＝x′，y＝ y′，代入原方程得到 x′2＋4( y′)2＝16， 2 2 ∴x2＋y2＝16.
课堂小结
1．坐标系是现代数学中的重要内容，它在数学发展的历史上 起着划时代的作用．坐标系的创建，在代数和几何之间架 起了一座桥梁．利用坐标系，我们可以方便地用代数的 方法确定平面内一个点的位置，也可以方便地确定空间内
C 在此变换下变为
1 x′＝2x， x＝ 2x′， 解 (1)①由伸缩变换 得 y＝ 3y′. y′＝1y， 3 将其代入 5x＋2y＝ 0， 得到经过伸缩变换后的图形的方程是 5x′ ＋3y′＝0. 经过伸缩变换后，直线仍然是直线． x＝ 2x′， ②将 代入 x2＋y2＝1， y＝ 3y′ x′2 y′2 得到经过伸缩变换后的图形的方程是 ＋ ＝1. 1 1 4 9 经过伸缩变换后，圆变成了椭圆． (2)设 P(x，y)为曲线 C 上任意一点．

高中数学平面几何直角坐标系问题求解方法一、直角坐标系的基本概念和性质直角坐标系是平面几何中常用的坐标系统，由横轴和纵轴组成，相互垂直且交于原点。

在直角坐标系中，每个点都可以用一个有序数对(x, y)表示，其中x表示横坐标，y表示纵坐标。

在直角坐标系中，我们可以通过距离公式计算两点之间的距离。

设点A(x1, y1)和点B(x2, y2)是直角坐标系中的两个点，它们之间的距离可以用以下公式表示：AB = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)二、直线的方程和求解方法1. 一般式方程直线的一般式方程可以表示为Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数，且A和B不能同时为0。

例如，直线2x + 3y - 6 = 0的一般式方程为2x + 3y - 6 = 0。

通过一般式方程，我们可以判断点是否在直线上。

将点的坐标代入一般式方程，若等式成立，则该点在直线上；若不成立，则该点不在直线上。

2. 斜截式方程直线的斜截式方程可以表示为y = kx + b，其中k为斜率，b为截距。

例如，直线y = 2x + 3的斜截式方程为y = 2x + 3。

通过斜截式方程，我们可以得到直线的斜率和截距。

斜率表示直线的倾斜程度，截距表示直线与纵轴的交点。

3. 两点式方程直线的两点式方程可以表示为(y - y1)/(y2 - y1) = (x - x1)/(x2 - x1)，其中(x1, y1)和(x2, y2)是直线上的两个点。

例如，直线过点A(1, 2)和点B(3, 4)，则直线的两点式方程为(y - 2)/(4 - 2) = (x - 1)/(3 - 1)。

通过两点式方程，我们可以得到直线的方程，进而求解与其他直线或曲线的交点。

三、平面几何问题的求解方法1. 直线与直线的交点设直线L1的方程为y = k1x + b1，直线L2的方程为y = k2x + b2。

若L1和L2相交于点P(x0, y0)，则P满足以下条件：k1x0 + b1 = k2x0 + b2k1x0 - k2x0 = b2 - b1(x0, y0)即为直线L1和L2的交点。