中国石油大学22届高等数学竞赛题

A卷2009—2010学年第一学期《高等数学（2-1）》期末试卷专业班级姓名学号开课系室基础数学系考试日期 2010年1月11日注意事项1．请在试卷正面答题，反面及附页可作草稿纸；2．答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁；3．本试卷共五道大题，满分100分；试卷本请勿撕开，否则作废.一．填空题（共5小题，每小题4分，共计20分）1．21lim()xx x e x →-=.2．()()1200511xx x x e e dx --+-=⎰ .3．设函数()y y x =由方程21x yt e dt x+-=⎰确定，则0x dydx==.4. 设()x f 可导，且1()()xtf t dt f x =⎰，1)0(=f ，则()=x f . 5．微分方程044=+'+''y y y 的通解为 .二．选择题（共4小题，每小题4分，共计16分）1．设常数0>k ，则函数k e x x x f +-=ln )(在),0(∞+内零点的个数为（ ）.(A) 3个; (B) 2个; (C) 1个; (D) 0个. 2． 微分方程43cos2y y x ''+=的特解形式为（ ）.（A ）cos2y A x *=; （B ）cos2y Ax x *=;（C ）cos2sin2y Ax x Bx x *=+; （D ）x A y 2sin *=. 3．下列结论不一定成立的是（ ）. （A ）若[][]b a d c ,,⊆,则必有()()⎰⎰≤badcdxx f dx x f ;（B ）若0)(≥x f 在[]b a ,上可积,则()0baf x dx ≥⎰;（C ）若()x f 是周期为T 的连续函数,则对任意常数a 都有()()⎰⎰+=TT a adxx f dx x f 0;（D ）若可积函数()x f 为奇函数,则()0xt f t dt ⎰也为奇函数. 4. 设()xx e ex f 11321++=, 则0=x 是)(x f 的（ ）. (A) 连续点; (B) 可去间断点;(C) 跳跃间断点; (D) 无穷间断点.三．计算题（共5小题，每小题6分，共计30分） 1．计算定积分230x x e dx-.2．计算不定积分dx x xx ⎰5cos sin .3．求摆线⎩⎨⎧-=-=),cos 1(),sin (t a y t t a x 在2π=t 处的切线的方程.4. 设20()cos()xF x x t dt=-⎰，求)(x F '.5．设n n n n n x nn )2()3)(2)(1( +++=，求nn x ∞→lim .四．应用题（共3小题，每小题9分，共计27分） 1．求由曲线2-=x y 与该曲线过坐标原点的切线及x 轴所围图形的面积.2．设平面图形D 由222x y x +≤与y x ≥所确定，试求D 绕直线2=x 旋转一周所生成的旋转体的体积.3. 设1,a >at a t f t-=)(在(,)-∞+∞内的驻点为 (). t a 问a 为何值时)(a t 最小? 并求最小值.五．证明题（7分）设函数()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导且1(0)=(1)0,()12f f f ==，试证明至少存在一点(0,1)ξ∈, 使得()=1.f ξ'一．填空题（每小题4分，5题共20分）：1． 21lim()xx x e x →-=21e .2．()()1200511x x x x e e dx --+-=⎰e 4.3．设函数()y y x =由方程21x yt e dt x +-=⎰确定，则0x dydx==1-e .4. 设()x f 可导，且1()()x tf t dt f x =⎰，1)0(=f ，则()=x f 221x e.5．微分方程044=+'+''y y y 的通解为xe x C C y 221)(-+=.二．选择题（每小题4分，4题共16分）：1．设常数0>k ，则函数ke x x xf +-=ln )( 在),0(∞+内零点的个数为（ B ）. (A) 3个; (B) 2个; (C) 1个; (D) 0个. 2． 微分方程x y y 2cos 34=+''的特解形式为 （ C ）（A ）cos2y A x *=； （B ）cos2y Ax x *=； （C ）cos2sin2y Ax x Bx x *=+； （D ）x A y 2sin *= 3．下列结论不一定成立的是 （ A ）(A) 若[][]b a d c ,,⊆,则必有()()⎰⎰≤badcdxx f dx x f ;(B) 若0)(≥x f 在[]b a ,上可积,则()0baf x dx ≥⎰;(C) 若()x f 是周期为T 的连续函数,则对任意常数a 都有()()⎰⎰+=TT a adxx f dx x f 0;(D) 若可积函数()x f 为奇函数,则()0xt f t dt ⎰也为奇函数.4. 设()xx e ex f 11321++=, 则0=x 是)(x f 的（ C ）. (A) 连续点; (B) 可去间断点;(C) 跳跃间断点; (D) 无穷间断点. 三．计算题（每小题6分，5题共30分）： 1．计算定积分⎰-232dxe x x .解：⎰⎰⎰----===202020322121,2tt x tde dt te dx ex t x 则设 -------2⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎰--200221dt e te t t -------2 2223210221----=--=e e e t --------22．计算不定积分dx x x x ⎰5cos sin .解：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==⎰⎰⎰x dx x x x xd dx x x x 4445cos cos 41)cos 1(41cos sin --------3C x x x x x d x x x +--=+-=⎰tan 41tan 121cos 4tan )1(tan 41cos 43424 -----------3 3．求摆线⎩⎨⎧-=-=),cos 1(),sin (t a y t t a x 在2π=t 处的切线的方程. 解：切点为)),12((a a -π-------22π==t dx dy k 2)c o s 1(s i n π=-=t ta ta 1= -------2切线方程为)12(--=-πa x a y 即ax y )22(π-+=. -------24. 设 ⎰-=xdtt x x F 02)cos()(，则=')(x F )cos()12(cos 222x x x x x ---.5．设n n n n n x nn )2()3)(2)(1( +++=，求nn x ∞→lim .解：)1l n (1ln 1∑=+=n i n n i n x ---------2 ⎰∑+=+==∞→∞→101)1ln(1)1ln(lim ln lim dxx n n i x n i n n n --------------2=12ln 211)1ln(1010-=+-+⎰dx x x x x ------------2故 nn x ∞→lim =e e 412ln 2=- 四．应用题（每小题9分，3题共27分） 1．求由曲线2-=x y 与该曲线过坐标原点的切线及x 轴所围图形的面积.解：设切点为),00y x （，则过原点的切线方程为xx y 2210-=，由于点),00y x （在切线上，带入切线方程，解得切点为2,400==y x .-----3 过原点和点)2,4(的切线方程为22xy =-----------------------------3面积dyy y s )222(22⎰-+==322-------------------3或 322)2221(2212042=--+=⎰⎰dx x x xdx s2．设平面图形D 由222x y x +≤与y x ≥所确定，试求D 绕直线2=x 旋转一周所生成的旋转体的体积.解： 法一：21V V V -=[][]⎰⎰⎰---=-----=102212122)1(12)2()11(2dyy ydyy dy y πππ -------6)314(201)1(31423-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=ππππy --------3 法二：V =⎰---12)2)(2(2dxx x x x π⎰⎰----=101022)2(22)2(2dxx x dx x x x ππ ------------------ 5[]⎰--+--=102234222)22(ππdx x x x x x ππππππππ322134213234141201)2(3222232-=-+=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⨯+-=x x ------------- 43. 设1,a >at a t f t-=)(在(,)-∞+∞内的驻点为 (). t a 问a 为何值时)(a t 最小? 并求最小值.解:.ln ln ln 1)(0ln )(a aa t a a a t f t -==-='得由 --------------- 30)(l n 1ln ln )(2e e a a a a a t ==-='得唯一驻点又由------------3.)(,0)(,;0)(,的极小值点为于是时当时当a t e a a t e a a t e a e e e =<'<>'>-----2故.11ln 1)(,)(e e e e t a t e a e e -=-==最小值为的最小值点为--------------1五．证明题（7分）设函数()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导且1(0)=(1)0,()12f f f ==，试证明至少存在一点(0,1)ξ∈, 使得()=1.f ξ'证明：设()()F x f x x =-，()F x 在[0,1]上连续在(0,1)可导，因(0)=(1)=0f f ,有(0)(0)00,(1)(1)11F f F f =-==-=-,--------------- 2又由1()=12f ，知11111()=()-=1-=22222F f ，在1[1]2，上()F x 用零点定理，根据11(1)()=-022F F <，--------------- 2可知在1(1)2，内至少存在一点η，使得1()=0(,1)(0,1)2F ηη∈⊂，,(0)=()=0F F η由ROLLE 中值定理得 至少存在一点(0,)(0,1)ξη∈⊂使得()=0F ξ'即()1=0f ξ'-，证毕. --------------3。

4.设 f(x)在区 [0,1间 ]上连续，则下 不列 正等 确_式 的 _._中 是
1
1
(A) f(x)dx f(t)dt;
(B)
1
f(x)dx
1f(x2)dx2;
0
0
0
0
(C)
1
f(x)dx
1f(x2)dx2;(D)
1
f(x)dx
1
f(sinx)dsin x.
旋转体的体 __积 __为 ___. ___
5.曲 线 zzx2 2 2 y2 y2在 xO 面 y 上的投 _影 ___ 曲 ._
一、
2;
2 (1 x)3 ;
( x 2)ln( x 2)
x C;
x2 ;

3y2 z0
2
二、单项选择（每小题 4 分， 共 20 分） 1.设lxim （ 0 1xx） 12,则有 ___. (A) 1,1; (B) 2,1;
1
1
0 2xf ( x)dx 0 f ( x)dx.

1 1 y2
在x轴的总的分力为
kdy .
(1 y 2 )3
1
y dy y
o
1 y2
•
1
x
1
Fx

0
kdy

y tan t k 4 cos tdt
2 k.
(1 y 2 )3
0
2
1
七. (8分）设函数 f ( x) xe x2，填下表并作图.
四、求导数与积分（每小题 7 分， 共 21 分）
| 1.设y
f(x)由参数方 xy程aacsion33stt所确,定 求dd2xy2

第七章 空间解析几何与向量代数7.11.),,(z y x --； ),,(z y x -； ),,(z y x ---；2.)0,0,(0x ； )0,,(00y x ； 0z z =；3.)914,0,0(； 4.26+； 5.)2,1,0(-； 7.21.)3,1,5(--；2.)1,0,0(±；3.(1))4,1,9(； (2) )13,11,4(--； 4.)17,17,18(-.7.31.(1)15-； (2)1-； (3)9；2.1511arccos ；3.22；2=; ;21cos ;22cos ,21cos =-=-=γβα ;3;43,32πγπβπα=== 5.22; 6.332; 7.23-; 8.3πγ=或32π; 9.b a =或0=⋅b a ; 10.38; 11.)1,0,0(-或)0,22,22(; 12.μλ2=.7.4 1.(1))5,7,3(--; (2))15,21,9(--; 2.29; 3.)32,32,31(-±; 4.230. 7.51.(1))3,2,6(-; 7; (2))(322y x z +=;(3)2224y z x =+; (4)122222=++z y x ; (5)19422=+z x ; x ; (6)1422=-y x ; y ; (7)y a z =-（或y z a =-）; z ;2.21)1()1()3(222=-+++-z y x ;3.9116)34()1()32(222=+++++z y x ; 7.61.016--322=z y ;2.⎩⎨⎧==+0222z a y x ; ⎪⎩⎪⎨⎧==0sin x b z a y ; 3.⎩⎨⎧==+-082222z y x x ; 4.⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===，，，t z t y t x sin 3cos 223cos 223 5.ax y x ≤+22; )0(2a x ax a z ≤≤-≤; 7.71.(1)1; (2)3π; (3)2; (4)1; (5) 270±; (6) 1867; 2. B;3.0325617=---z y x ;4.032=+-+z y x ;5.(1)03=+y x ; (2)029=--z y ;6.214arccos ;7.03-2=-z y x ; 8.0122283=±++z y x ;9.7236±=++z y x ;7.81.⎪⎩⎪⎨⎧+=+==;3112-1t z t y t x ，， 2.0;3. C;4. C;5.)32,32,35(-;6.13431+=-=-z y x ; 7.065111416=+++-z y x ;8.0237=---z y x ;9.⎩⎨⎧=+-=--+;14,0117373117z y x z y x 10.25; 11.4273; 7.9略。

中国石油大学高数(2-2)历年期末试题参考答案2007—2008学年第二学期 高等数学（2-2）期末试卷(A)参考答案一、填空题：1~6小题，每小题4分，共24分. 请将答案写在指定位置上.1. 平面1:0y z -=∏与平面2:0x y +=∏的夹角为3π. 2. 函数22y xz +=在点)2,1(处沿从点)2,1(到点)32,2(+的方向的方向导数为321+.3. 设(,)f x y 是有界闭区域222:a y x D ≤+上的连续函数，则当→a 时，=⎰⎰→Da dxdy y x f a ),(1lim20π)0,0(f .4. 区域Ω由圆锥面222x y z +=及平面1=z 围成，则将三重积分22()f x y dv+⎰⎰⎰Ω在柱面坐标系下化为三次积分为211()πθ⎰⎰⎰rd dr f r rdz.5. 设Γ为由曲线32,,t z t y t x ===上相应于t 从0到1的有向曲线弧，R Q P ,,是定义在Γ上的连续三元函数，则对坐标的(D)37 .10. 曲面积分2z dxdy ⎰⎰∑在数值上等于( C ).(A) 流速场iz v 2=穿过曲面Σ指定侧的流量；(B) 密度为2z =ρ的曲面片Σ的质量；(C) 向量场kz F 2=穿过曲面Σ指定侧的通量；(D) 向量场k z F 2=沿Σ边界所做的功.11．若级数1(2)nn n c x ∞=+∑在 4x =- 处是收敛的，则此级数在1x = 处 ( D )(A)发散； (B)条件收敛； (C)绝对收敛； (D)收敛性不能确定. 12.级数121(1)n pn n -∞=-∑的敛散性为 ( A )(A) 当12p >时，绝对收敛； （B ）当12p >时，条件收敛；(C) 当102p <≤时，绝对收敛； （D ）当102p <≤时，发散.三、解答题：13~20小题，共58分.请将解答过程写在题目下方空白处.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.13. （本题满分6分）设()x y z x y z e -++++=确定(,)z z x y =，求全微分dz .解：两边同取微分 ()(1)()x y z dx dy dz e dx dy dz -++++=⋅-⋅++ ， 整理得 dz dx dy =--.14. （本题满分8分）求曲线2223023540xy z x x y z ⎧++-=⎨-+-=⎩ 在点（1,1,1）处的切线与法平面方程. 解：两边同时关于x 求导22232350dy dz x y z dx dx dy dz dx dx ⎧+⋅+⋅=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，解得(1,1,1)(1,1,1)9474dy dx dz dx ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以切向量为：91{1,,}1616T =-， 切线方程为： 1111691x y z ---==-；法平面方程为：16(1)9(1)(1)0x y z -+---=，即169240x y z +--=. 15.（本题满分8分）求幂级数0(21)nn n x ∞=+∑的和函数.解：求得此幂级数的收敛域为(1,1)-，0(21)nn n x ∞=+∑02∞==+∑nn nx 0∞=∑nn x ，10122∞∞-===∑∑nn n n nxx nx，设11()∞-==∑n n A x nx ，则10011(),(11);1∞∞-=====-<<-∑∑⎰⎰xxn nn n x A x dx nx dx x x x 21(),1(1)'⎛⎫∴== ⎪--⎝⎭x A x x x即20222()(1)∞===-∑nn x nx xA x x ，0(21)∞=∴+∑n n n x 02∞==+∑nn nx 0∞=∑n n x 22211,(11)(1)1(1)+=+=-<<---x x x x x x .16.（本题满分6分）计算()∑=++⎰⎰I x y z dS ，其中∑为曲面5+=y z 被柱面2225+=xy 所截下的有限部分.解：()∑=++⎰⎰I x y z dS (5)∑=+⎰⎰x dS∑=⎰⎰xdS（∑关于yoz 平面对称，被积函数x 是x 的奇函数）5∑+⎰⎰dS05∑=+⎰⎰dS 222552+≤=⎰⎰x y dxdy 52251252π==.17.（本题满分8分）计算积分222(24)(2)=++-⎰LI xxy dx x y dy，其中L 为曲线22355()()222-+-=x y 上从点(1,1)A 到(2,4)B 沿逆时针方向的一段有向弧.解：4∂∂==∂∂Q P x x y，∴积分与路径无关，选折线AC +CB 为积分路径，其中(2,1)C ，,12:,1,0=≤≤⎧⎨==⎩x x x AC y dy 2,:.,14==⎧⎨=≤≤⎩x dx CB y y y222(24)(2)∴=++-⎰LI x xy dx x y dy222(24)(2)=++-⎰ACx xy dx x y dy 222(24)(2)+++-⎰CBx xy dx x y dy 24221141(24)(8).3=++-=⎰⎰x x dx y dy18.（本题满分8分）计算22()∑=+++⎰⎰I yzdydz y xz dzdx xydxdy，∑是由曲面224-=+y x z与平面0=y 围成的有界闭区域Ω的表面外侧.解：2222,(),,,∂∂∂==+=++=+∂∂∂P Q R P yz Q y x z R xy x z x y z由高斯公式， 22()∑=+++⎰⎰I yzdydz y x z dzdx xydxdy 22()Ω=+⎰⎰⎰x z dxdydz（利用柱面坐标变换cos sin ,θθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩z x y y 则2:02,02,04.θπΩ≤≤≤≤≤≤-r y r ）2224200032.3ππθ-==⎰⎰⎰r d rdr r dy19.（本题满分8分）在第Ⅰ卦限内作椭球面1222222=++cz b y a x 的切平面，使切平面与三个坐标面所围成的四面体体积最小，求切点坐标.解：设切点坐标为),,(0z y x ，则切平面的法向量为000222222{,,}x y z a b c， 切平面方程为0)()()(02020020=-+-+-z z c z y y b y x x a x ，即1202020=++czz b y y a x x ，则切平面与三个坐标面所围成的四面体体积为 22200016a b cV x y z=⋅， 令)1(ln ln ln ),,,(220220220000000-+++++=czb y a x z y x z y x L λλ解方程组⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=++=+=+=+1021021021220220222002020c z b y ax c z z b y y a x x λλλ，得30a x =，30b y =，3c z=，故切点坐标为)3,3,3(c b a .20. (本题满分6分)设(),()f x g x 均在[,]a b 上连续，试证明柯西不等式：22[()][()]bbaaf x dxg x dx ⎰⎰2[()()].baf xg x dx ≥⎰证：设:,.D a x b a y b ≤≤≤≤则22[()][()]bba af x dxg x dx ⎰⎰22()()Df xg y dxdy =⎰⎰（D关于y x=对称）22()()Df yg x dxdy =⎰⎰221[()()2D f x g y dxdy =+⎰⎰22()()]Df yg x dxdy ⎰⎰22221[()()()()]2Df xg y f y g x dxdy =+⎰⎰1[2()()()()]2Df xg x f y g y dxdy ≥⋅⎰⎰[()()()()]Df xg x f y g y dxdy =⋅⎰⎰()()()()b b aaf xg x dx f y g y dy =⎰⎰2[()()]baf xg x dx =⎰.2008—2009学年第二学期 高等数学（2-2）期末试卷(A)参考答案一．选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）.1. 设三向量,,a b c 满足关系式a b a c ⨯=⨯，则（ D ）. （A ）必有0a =; （B ）必有0b c -=; （C ）当0a ≠时，必有b c =; （D ）必有()a b c λ=- （λ为常数）.2. 直线34273x y z++==--与平面4223x y z --=的关系是（ A ）. （A ）平行，但直线不在平面上; （B ）直线在平面上；（C ）垂直相交; （D ）相交但不垂直.3. 二元函数225,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)xyx y x y f x y x y ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩在点（0，0）处（ A ）(A) 不连续，偏导数存在 (B) 连续，偏导数不存在(C) 连续，偏导数存在 (D) 不连续，偏导数不存在4. 已知2()()x ay dx ydyx y +++为某二元函数的全微分，则=a （ D ）.（A ）1-; （B ）0; （C ）1; （D ）2.5. 设()f u 是连续函数，平面区域2:11,01D x y x -≤≤≤≤-，则22()Df x y dxdy +=⎰⎰（ C ）.（A ）21122()x dx f x y dy-+⎰⎰; （B ）211220()y dy f x y dx-+⎰⎰;（C ）12()d f r rdr ⎰⎰πθ; （D ）120()d f r dr⎰⎰πθ.6. 设a 为常数，则级数1(1)(1cos )nn a n∞=--∑（ B ）.（A ）发散 ; （B ）绝对收敛; （C ）条件收敛; （D ）收敛性与a 的值有关.二．填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分）.1. 设函数222(,,)161218x y zu x y z =+++，向量{1,1,1}n =，点0(1,2,3)P ， 则03.3P u n∂=∂2. 若函数22(,)22f x y x ax xy y =+++在点(1,1)-处取得极值，则常数5.a =-3. L 为圆221x y +=的一周，则22()0.Lx y ds -=⎰4. 设1lim 2n n naa +→∞=，级数211n n n a x ∞-=∑的收敛半径为2.25. 设221()x y f x e dy-=⎰，则111()(1).4xf x dx e -=-⎰6. 设()f x 是以2为周期的周期函数，它在区间(1,1]-上的定义为32,10(),01x f x x x -<≤⎧=⎨<≤⎩， 则()f x 的以2为周期的傅里叶级数在1x =处收敛于3.2三．解答下列各题（本题共7小题，满分44分）.1.（本小题6分）设()f u 是可微函数，(y z f =，求2z z x y x y ∂∂+∂∂. 解题过程是：令yu =，则()y zf u x ∂'=∂，()2zf u y x y∂'=∂，20.z zxy x y∂∂∴+=∂∂2. （本小题6分）计算二重积分2211Dxy dxdy x y +++⎰⎰，其中22{,)1,0}D x y x y x =+≤≥.解题过程是：D 关于x 轴对称，被积函数221xy x y ++关于y 是奇函数，221Dxy dxdy x y∴=++⎰⎰，故2211D xy dxdy x y +++⎰⎰221D xy dxdy x y =++⎰⎰221Ddxdy x y +++⎰⎰122020ln 2.12rdr d r -=+=+⎰⎰πππθ3. （本小题6分） 设曲面(,)z z x y =是由方程31x y xz +=所确定，求该曲面在点0(1,2,1)M -处的切平面方程及全微分(1,2)dz .解题过程是：令3(,,)1F x y z x y xz =+-，23x F x y z '=+，3y F x '=，zF x '=，则所求切平面的法向量为：0{,,}{5,1,1}x y zM n F F F '''==，切平面方程为：560.x y z ++-=23x zF z x y z x F x '∂+=-=-'∂，2y zF zx y F '∂=-=-'∂，0(1,2)5.M M z z dzdx dy dx dy x y ∂∂∴=+=--∂∂ 4. （本小题6分） 计算三重积分22x y dxdydzΩ+，其中Ω是由柱面21y x =-0,0y z ==，4x y z ++=所围成的空间区域. 解题过程是：利用柱面坐标变换，22x y dxdydz Ω+⎰⎰⎰14(cos sin )2000r d r dr dz -+=⎰⎰⎰πθθθ 12300[4(cos sin )]d r r dr =-+⎰⎰πθθθ04141[(cos sin )].3432d =-+=-⎰ππθθθ5. （本小题6分）求(2)x z dydz zdxdy ∑++⎰⎰，其中∑为曲面22(01)z x y z =+≤≤，方向取下侧.解题过程是：补2211,(,){1}.z x y D x y ∑=∈=+≤上：∑与1∑上所围立体为20201, 1.r r z Ω≤≤≤≤≤≤：，θπ 由高斯公式，得1(2)(201)x z dydz zdxdy dxdydz Ω∑+∑++=++⎰⎰⎰⎰⎰上下2211332r d rdr dz ππθ==⎰⎰⎰， (2)x z dydz zdxdy ∑∴++=⎰⎰13(2)2x z dydz zdxdy π∑-++⎰⎰上3012Ddxdy π=--⎰⎰3.22πππ=-=6. （本小题7分） 求幂级数211nn n x n∞=+∑的收敛域及和函数.解题过程是：因为1lim nn n a R a →∞+=2211lim 1(1)1n n n n n →∞++==++，故收敛区间为(1,1)-； 1±=x 时，极限21lim 0n n n→∞+≠，级数均是发散的；于是收敛域为(1,1)-，211()n n n S x x n ∞=+=∑1n n nx ∞==∑1nn x n∞=+∑10011n x x n n n x x nx dx dxn ∞∞-==''⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑⎰⎰0111x x x dx x x '⎛⎫=+ ⎪--⎝⎭⎰2ln(1),(1,1).(1)x x x x =--∈--7. （本小题7分）例1 计算22()I xy dS∑=+⎰⎰，∑为立体221x y z +≤≤的边界. 解题过程是： 设12∑=∑+∑，其中1∑为锥面22,01z x y z =+≤≤，2∑为221,1z xy =+≤部分，12,∑∑在xoy 面的投影为:D 221x y +≤.22112z z dS dxdy dxdyx y ⎛⎫∂∂⎛⎫=++= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭，2dS dxdy=，22()I x y dS ∑∴=+⎰⎰122()x y dS ∑=++⎰⎰222()xy dS ∑+⎰⎰22()2Dx y dxdy =+⎰⎰22()Dx y dxdy++⎰⎰22(21)()Dx y dxdy =+⎰⎰2130(21)(21).2d r dr ππθ==⎰⎰四．证明题（8分）.设函数(,)f x y 在(,)-∞+∞内具有一阶连续导数，L 是上半平面(0)y >内的有向分段光滑曲线，其起点为(,)a b ，终点为(,)c d ，记2221()[()1]Ly f xy x y f xy I dx dy y y+-=+⎰， （1）证明曲线积分I 与路径L 无关; （2）当cd ab =时，求I 的值.证明: (1)记21()(,)y f xy P x y y +=，22[()1](,)x yf xy Q x y y -=，;1)()()](]1)([);(1)()](1[])()(2[22322222y xy f xy xy f y xy f y x xy f y x Q xy f xy y xy f y xy f y y x xy f y xy yf y P -'+='⋅+-=∂∂'+-=+-⋅'+=∂∂P Q y x∂∂∴=∂∂成立，积分I 与路径L 无关.（2）由于积分与路径无关，选取折线路径，由点(,)a b 起至点(,)c b ，再至终点(,)c d ，则(,)(,)(,)(,)(,)(,)c b c d a b c b I P x y dx Q x y dy =+⎰⎰21[()][()]cda ccbf bx dx cf cy dy b y=++-⎰⎰ ()()cb cd ab cb c a c c f t dt f t dt b d b -=+++-⎰⎰()().cd ab c a c af t dt ab cd d b d b=-+==-⎰2009—2010学年第二学期 高等数学（2-2）期末试卷(A)参考答案一、填空题（6530⨯=分分）1. 若向量,,a b c 两两互相垂直，且5,12,13a b c ===，则132.a b c ++=2．设函数22sin y z xy x=，求2.z z x y zx y∂∂+=∂∂3. 设函数(,)f x y 为连续函数, 改变下列二次积分的积分顺序：2221212201(,)(,)(,).y xx y dy f x y dx dx f x y dy f x y dy --=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 4. 计算(1,2)2(0,0)7()(2).2y y I e x dx xe y dy e =++-=-⎰5. 幂级数213nnn nx ∞=∑(3,3).-6. 设函数2()()f x x x x πππ=+-<< 的傅里叶级数为：01(cos sin )2n n n a a nx b nx ∞=++∑，则其系数32.3bπ=二、选择题（4520⨯=分分）1．直线11321x y z --==-与平面342x y z +-=的位置关系是( A )(A) 直线在平面内； (B) 垂直； (C) 平行； (D) 相交但不垂直.2.设函数22(,)4()f x y x y x y =---, 则(,)f x y （ C ）(A) 在原点有极小值； (B) 在原点有极大值；(C) 在(2,2)-点有极大值； (D) 无极值.3. 设L 是一条无重点、分段光滑，且把原点围在内部的平面闭曲线，L 的方向为逆时针方向，则22Lxdy ydxx y-=+⎰（ C ） (A) 0； (B)π； (C) 2π； (D) 2π-.4. 设a 为常数，则级数21sin n nan n ∞=⎛ ⎝∑（ B ）(A) 绝对收敛； (B) 发散； (C) 条件收敛； (D) 敛散性与a 值有关.三、计算题 (7+7+7+7+6+8=42分)1. 设224,(,)(0,0),(,)0,(,)(0,0).xy x y f x y x y x y ⎧≠⎪=+⎨⎪=⎩讨论(,)f x y 在原点(0,0)处是否连续，并求出两个偏导数(0,0)xf '和(0,0)yf '. (7分) 解：令422442,lim (,)lim 1y y ky k x ky f ky y k y y k →→===++，随k 的取值不同，其极限值不同，00lim (,)x y f x y →→∴不存在，故(,)f x y 在原点不连续；00(0,0)(0,0)00(0,0)limlim 0x x x f x f f xx ∆→∆→+∆--'===∆∆， 00(0,0)(0,0)00(0,0)lim lim 0y y y f y f f y y ∆→∆→+∆--'===∆∆.2. 计算222I x y z dxdydzΩ=++其中Ω是由上半球面222z x y =--和锥面22z x y =+所围成的立体 . (7分) 解：作球面坐标变换：sin cos ,sin sin ,cos .x y z ρϕθρϕθρϕ=== 则2sin dxdydz d d d ρϕθϕρ=， :02,0,02.4πθπϕρΩ≤≤≤≤≤≤222I x y z dxdydz Ω=++2234000sin (22).d d d ππθϕϕρπ==-⎰⎰⎰3. 求锥面22z x y =+被柱面222x y x +=所割下部分的曲面面积 .（7分）解：锥面∑：22,(,)xy z x y x y D =+∈=22{2}.x y x +≤22xz x y'=+22yz x y '=+ 22122.xyxyx y D D S dS z z dxdy dxdy ∑''∴==++==⎰⎰4. 计算曲面积分222I y zdxdy z xdydz x ydzdx ∑=++⎰⎰，其中∑是由22z x y =+，221xy +=，0,0,0x y z ===围在第一卦限的立体的外侧表面 . （7分）解：设Ω为∑所围立体，222,,,P z x Q x y R y z ===222,P Q R x y z x y z∂∂∂++=++∂∂∂由Gauss 公式，222I y zdxdy z xdydz x ydzdx ∑=++⎰⎰222()xy z dxdydzΩ=++⎰⎰⎰作柱面坐标变换：cos ,sin ,.x r y r z z θθ=== 则dxdydz rd drdzθ=，2:0,01,0.2r z r πθΩ≤≤≤≤≤≤ 2122205().48r I d rdr r z dz πθπ∴=+=⎰⎰⎰5.讨论级数312ln n n n∞=∑的敛散性. （6分）解：543124ln ln lim lim0,n n n nn nn→∞→∞⋅==312ln n nn ∞=∴∑收敛 .6. 把级数121211(1)(21)!2n n n n xn -∞--=--∑的和函数展成1x -的幂级数.（8分）解：设级数的和函数为()S x ，则 121211(1)()(21)!2n n n n S x x n -∞--=-=-∑2111(1)sin (21)!22n n n x x n --∞=-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭∑，(,).x ∈-∞+∞即111111()sin sin sin cos cos sin2222222x x x x S x ---⎛⎫⎛⎫==+=⋅+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭201(1)1sin 2(2)!2n n n x n ∞=--⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭∑2101(1)1cos 2(21)!2n n n x n +∞=--⎛⎫+⋅ ⎪+⎝⎭∑2201(1)sin (1)2(2)!2nnnn x n ∞=-=⋅-⋅∑212101(1)cos (1),(,).2(21)!2n n n n x x n ∞++=-+⋅-∈-∞+∞+⋅∑四、 设曲线L 是逆时针方向圆周22()()1,()x a y a x ϕ-+-=是连续的正函数，证明：()2()Lxdy y x dx y ϕπϕ-≥⎰. （8分）证明：设22:()()1,D x a y a -+-≤由Green 公式， ()()()LDxdy Q P y x dx dxdy y x y ϕϕ∂∂-=-∂∂⎰⎰⎰1(())()Dx dxdy y ϕϕ=+⎰⎰（而D 关于y x =对称）1(())()Dx dxdy x ϕϕ=+⎰⎰1[2()]22.()D Dx dxdy dxdy x ϕπϕ≥⋅==⎰⎰⎰⎰即 ()2()Lxdyy x dx y ϕπϕ-≥⎰.2010-1011学年第二学期高等数学（2-2）期末考试A 卷参考答案一. 填空题 (共4小题，每小题4分，共计16分) 1．22(1,0)ln(),yz xe x y dz =++=设则dy dx +3 .2．设xy y x y x f sin ),(+-=,则dx x x f dy y⎰⎰11 0),(=)1cos 1(21-.3．设函数21cos ,0()1,0xx f x xx x πππ+⎧<<⎪=-⎨⎪+-≤≤⎩以2π为周期，()s x 为的()f x 的傅里叶级数的和函数，则(3)s π-= 212π+ .4．设曲线C 为圆周222R y x =+,则曲线积分ds x y x C⎰+）—（322=32R π . 二.选择题（共4小题，每小题4分，共计16分）1. 设直线L 为32021030,x y z x y z ++=⎧⎨--+=⎩平面π为4220x y z -+-=,则 （ C ） .(A) L 平行于平面π (B) L 在平面π上(C) L 垂直于平面π (D) L 与π相交，但不垂直 2．设有空间区域2222:x y z R Ω++≤，则222x y z dvΩ++等于（ B ）.(A) 432R π (B) 4R π (C) 434R π (D) 42R π 3．下列级数中，收敛的级数是（ C ）.(A)∑∞=+-1)1()1(n nnn n (B) ∑∞=+-+11)1(n nn n(C) nn e n -∞=∑13(D)∑∞=+1)11ln(n n nn4. 设∑∞=1n na 是正项级数，则下列结论中错误的是（ D ）（A ） 若∑∞=1n na 收敛，则∑∞=12n na 也收敛 （B ）若∑∞=1n na 收敛，则11+∞=∑n n na a 也收敛（C ）若∑∞=1n na 收敛，则部分和nS 有界 （D ）若∑∞=1n na 收敛，则1lim 1<=+∞→ρnn n a a 三．计算题（共8小题，每小题8分，共计64分） 1．设函数f 具有二阶连续偏导数，),(2y x y xf u +=，求yx u ∂∂∂2.解：212f xyf xu+=∂∂)()(22222121211212f f x f f x xy xf yx u++++=∂∂∂221221131)2(22f f x xy yf x xf++++=2．求函数y x xy z +-=23在曲线12+=x y 上点（1,2）处，沿着曲线在该点偏向x 轴正向的切线方向的方向导数.解：曲线⎩⎨⎧+==1:2x y xx L 在点(1,2)处的切向量)2,1(=T ，)2,1(51=T52cos ,51cos ==βα13|)16(|,11|)13(|)2,1()2,1()2,1(2)2,1(=+=∂∂=-=∂∂xy yzy x z 函数在点（1,2）沿)2,1(=T 方向的方向导数为5375213511|)2,1(=⨯+=∂T3．计算,)(2dxdy y x D⎰⎰+其中}4),({22≤+=y xy x D .解dxdy xy dxdy y xdxdy y x y x y x D⎰⎰⎰⎰⎰⎰≤+≤+++=+4422222222)()(223000d r dr πθ=+⎰⎰ =π84. 设立体Ω由锥面22z x y =+及半球面2211z x y =+--围成.已知Ω上任一点(),,x y z 处的密度与该点到x y o 平面的距离成正比（比例系数为0K >），试求立体Ω的质量. 解：由题意知密度函数||),,(z k z y x =ρ 法1：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤Ωϕπϕπθcos 204020r ：质量M =⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=dxdydz z k dxdydz z y x ||),,(ρk =drr r d d ϕϕϕθϕππsin cos 2cos 204020⎰⎰⎰ 76kπ= . 法2：222222:1,:11D x y x y z x y ⎧+≤⎪Ω⎨+≤≤--⎪⎩(,,)||M x y z dxdydz k z dxdydzρΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰22111076r rkk d dr ππθ+-==⎰⎰⎰.法3：1222017||(1(1)).6kM k z dxdydz z z dz z z dz πππΩ==+--=⎰⎰⎰⎰⎰5．计算曲线积分⎰+++-=Cyx dyx y dx y x I 22)()(，其中C 是曲线122=+y x 沿逆时针方向一周.解：⎰++-=Cdyx y dx y x I 1)()(dxdy y Px Q y x ⎰⎰≤+∂∂-∂∂=122)(π2])1(1[122=--=⎰⎰≤+dxdy y x .6. 计算第二类曲面积分⎰⎰∑++dxdy zx xydxdz xyzdydz 2，其中∑为球面1222=++z y x的外侧．解：利用高斯公式，dxdydz x x yz dxdy zx xydxdz xyzdydz ⎰⎰⎰⎰⎰Ω∑++=++)()(22dxdydz x yz ⎰⎰⎰Ω+=)(dxdydz x ⎰⎰⎰Ω+2dxdydzz y x ⎰⎰⎰Ω+++=)(310222.154sin 31104020πϕϕθππ==⎰⎰⎰dr r d d 7．求幂级数nn x n ∑∞=+111的和函数 .解:幂级数的收敛半径1=R ，收敛域为)1,1[-0≠x 时，1111)(+∞=∑+=n n x n x xS =01x nn x dx ∞=∑⎰01x n n x dx ∞==∑⎰0ln(1)1xxdx x x x==----⎰0=x 时，0)0(=S ，⎪⎩⎪⎨⎧=⋃-∈---=∴00)1,0()0,1[)1ln(1)(x x xx x S四．证明题（本题4分）证明下列不等式成立：π≥⎰⎰Dx y dxdy ee ，其中}1|),{(D 22≤+=y x y x .证明：因为积分区域关于直线x y =对称， ⎰⎰⎰⎰=DDyxxy dxdy e edxdy e e⎰⎰=∴D x y dxdy e e 21）（⎰⎰⎰⎰+D D y xxy dxdy ee dxdy e e =π=≥+⎰⎰⎰⎰dxdy dxdy e e e e D y xx y 221(21）五．应用题（本题8分）设有一小山，取它的底面所在平面为xoy 坐标面，其底部所占的区域为},75:),{(22≤-+=xy y x y x D 小山的高度函数为.75),(22xy y x y x h +--= （1）设),(0y x M 为区域D 上一点，问),(y x h 在该点沿平面上什么方向的方向导数最大？若记此方向导数的最大值为),(0y x g ，试写出),(0y x g 的表达式。