华师大版九年级(上) 中考题单元试卷：第23章 一元二次方程(09)

易错题解析不少同学在解决一元二次方程有关问题时，忽视隐含条件、思考不周而导致各种各样的缺误，下面分类剖析一下错解的原因，希望同学们引以为戒．一、忽视方程的同解性例１．解方程：)1(3)1(2+=+x x 错解：由原方程得：x+1=3 ∴x=2．剖析：上面的解法错在方程的两边同除以为零的x+1，违背了方程的同解原理，造成失根． 正确的解法为；0)1(3)1(2=+-+x x ，(x+1)(x －2)=0，∴2,121=-=x x ．二、忽视方程的定义例１．已知一元二次方程0)12(22=+--k k kx 有两个不相等的实数根， 则k 的取值范围是 ．错解：令△＝224)12(k k --＞０，即－4k+1＞0，解得41<k ．∴当41<k 时，原方程有两个不等的实数根．剖析：这里忽视了二次项系数o k ≠的隐含条件 故本题的正确答案为：41<k 且o k ≠． 三、忽视有根的前提条件例３．关于x 方程012)2(2=+++-k x k x 的两实数根为1x 与2x ，若112221=+x x ，求实数k 的值．错解：由根与系数的关系得：12,22121+=+=+k x x k x x ．∵2212221)(x x x x +=+－２21x x ＝１１，∴11)12(2)2(2=+-+k k ，∴092=-k ，解得：3±=k ．剖析：关于x 的二次方程的两实数根的平方和为１１，首先要保证它有实数根为前提．所以，此解忽视了判别式△≥０这一隐含条件．本题中，当k=3时，原方程为0752=+-x x ， △ ＝－３＜０，故只取k=－3．四、忽视方程根多样性例４．已知实数a 、b 满足条件025,02522=+-=+-b b a a ，则=+abb a ．错解：由已知条件可知，a 、b 为方程0252=+-x x 的两根，∴a+b=5，ab=2，=+ab b a 22122252)(22=⨯-=-+ab ab b a ．剖析：本题就a 、b 的关系有两种情况：一是a 、b 为方程0252=+-x x 的两根，此时 △ ＞０．可知a ≠b ．二是a=b 同样能使已知两式同时成立．而上述解法只考虑了a ≠b 的情形，却忽视了第二种情况a =b ．当a =b 时，=+abb a ２． 本题的正确解答为：当a ≠b 时，=+a b b a 221；当a=b 时，=+abb a ２．五、忽视方程根的符号例5．已知一元二次方程0152=++x x 的两根为21,x x ，求2112x x x x +的值． 错解：由根与系数的关系，得31,352121=-=+x x x x ，所以原式＝221121x x x x x x +＝335212121-=+x x x x x x ． 剖析：∵31,352121=-=+x x x x ，∴0021<<x x 且．∴2112x x x x +≠221121x x x x x x +，因此，原式＝221121x x x x x x --＝－335212121=+x x x x x x ． 六、忽视条件的等价性例６．若一元二次方程0562=-+-m x x 的两实数根都大于２，求m 的取值范围 错解：设方程的两实数根为21,x x ，则m x x x x -==+5,62121，∵2,221>>x x ，所以⎪⎩⎪⎨⎧>>+≥∆4402121x x x x ，即⎪⎩⎪⎨⎧>->≥--45460)5(436m m ，解得－４≤m ＜１． 剖析：由2,221>>x x ，可以推出4,42121>>+x x x x ，但反过来，由4,42121>>+x x x x 却推不出2,221>>x x ，即它们之间不等价．两实数根都大于２的充要条件是△≥０且0)2()2(21>-+-x x 且0)2)(2(21>--x x ，解得－４≤m ＜－３．七、忽视隐含条件例７． 已知关于x 的方程=-+--112)21(2x m x m ０有两个不等的实根，求m 的取值范围．错解：∵方程有两个不等的实根，∴△＝0)21(4)12(2>-++-m m ，得m ＜2．又∵1－２m ≠0，∴m ≠21． 剖析：本题求解时注意了a 及△，但忽视了1+m 这一隐含条件下：m+1≥0． 故正确的答案应是－1≤m ＜2且m ≠21． 23.2 一元二次方程的解法（3）——公式法【知能点分类训练】知能点1 一元二次方程的求根公式 1．一元二次方程12x 2+x =3中，•a=•____，•b=•_____，•c=•_____，•则方程的根是________． 2．一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的求根公式是________． 3．用公式法解方程:（1）2x 2－3x+1=0； （2）2y （y －1）+3=（y+1）2．4．有一长方形的桌子，长为3m ，宽为2m ，一长方形桌布的面积是桌面面积的2倍，•且将桌布铺到桌面上时各边垂下的长度相同，则桌布长为_______，宽为______． 5．如果12x 2+1与4x 2－3x －5互为相反数，则x 的值为_______． 知能点2 根的判别式6．一元二次方程212232x xx ++=中，b 2－4ac=______，所以原方程______实数根． 7．写出一个一元二次方程，使它有两个不相等的实数根_________． 8．求出方程x 2－5x=12（x+3）的根的判别式的值，并判断方程根的情况． 9．若方程－34x 2+kx －3=0无实数根，求k 的取值范围． 10．是否存在这样的m 值，使最简二次根式22m m -与42m -同类二次根式？若存在，求出m 的值；•若不存在，请说明理由． 【综合应用提高】11．不解方程，判断下列方程根的情况． （1）－2x 2+3x=－1； （2）12x 2－kx+2（k －1）=0．12．已知a ，b ，c 均是实数，且│a －1│+221b b +++（c+2）2=0，求方程：ax 2+bx+c=0的根．13．阅读并回答问题．求一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根（用配方法）．解：ax 2+bx+c=0，∵a ≠0，∴x 2+b a x+ca=0， 第一步 移项得：x 2+b a x=－c a， 第二步两边同时加上（2b a ）2，得x 2+b a x+（）2=－c a +（2b a）2， 第三步整理得：（x+2b a）2=2244b aca -， 直接开方得x+2b a =±2244b aca -， 第四步 ∴x=242b b aca-±-，∴x 1=22244,22b b ac b b acx a a-+----=． 第五步上述解题过程是否有错误？若有，说明在第几步，指明产生错误的原因，写出正确的过程；若没有，请说明上述解题过程所用的方法．14．关于x 的方程mx 2+3x+1=0有两个实数根，求m 的取值范围．15．已知方程x 2－8xy －9y 2=0，求证：x=－y 或x=9y ． 【开放探索创新】16．m 为何值时，关于x 的一元二次方程mx 2－2（2m+1）x+4m －1=0： （1）有两个相等实数根；（2）有两个不相等的实数根；（3）无实根． 【中考真题实战】17．（福州）解方程4x 2+8x+1=0．18．（泰安）若关于x 的方程kx 2+2x －1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ）． A ．k>－1 B ．k<－1 C ．k ≥－1且k ≠0 D ．k>－1且k ≠019．（烟台）设a ，b ，c 都是实数，且满足（2－a ）2+2a b c -++│c+2│=0，ax 2+bx+c=0，求代数式x 2+x+1的值．20．（上海）关于x 的一元二次方程mx 2－（3m －1）x+2m －1=0，其根的判别式的值为1，求m 的值及该方程的根． 参考答案: 1．121 －3 x 1=－7，x 2=－172．x=242b b ac a-±-，b 2－4ac ≥03．（1）a=2，b=－3，c=1，∵b 2－4ac=9－4×2×1=1>0，∴x=242b b aca-±-，x=3942131224±-⨯⨯±=⨯．∴x 1=1，x 2=． （2）2y 2－2y+3=y 2+2y+1，2y 2－y 2－4y+2=0，y 2－4y+2=0，∴a=1，b=－4，c=2．b 2－4ac=（－4）2－4×1×2=8>0．∴x=242b b aca-±-，x=416848212±-±=⨯，∴x 1=2+，x 2=2－．4．4m 3m 点拨：设垂下的长度为x ，根据题意，（3+2x ）（2+2x ）=12． 5．43 －23点拨：由题意知，互为相反数的两个数之和为0，可得12x 2+1+4x 2－3x －5=0． 6．25 有两个不相等的7．x 2+x －1=08．整理得2x 2－11x －3=0，b 2－4ac=（－11）2－4×（－3）×2=145>0， ∴原方程有两个不相等的实数根．9．若方程－34x 2+kx －3=0无实数根， ∴b 2－4ac=k 2－4×（－34）×（－3）=k 2－9<0，k 2<9，∴－3<k<3．1022m m -42m - ∴2m 2－m=4m －2，2m 2－5m+2=0∴m 1=2，m 2=12． 当m=2时，22m m -=6，42m -=6， 当m=12时，22m m -=110,422222m -=-=-， ∴当m=2时，22m m -与42m -是同类二次根式． 11．（1）原方程可整理为2x 2－3x －1=0，b 2－4ac=9+4×1×2=17>0，∴原方程有两个不相等实数根． （2）b 2－4ac=k 2－4×12×2（k －1）=k 2－4k+4=（k －2）2≥0， ∴原方程有两个不相等实数根或有两个相等的实数根． 12．由已知条件│a －1│+221b b +++（c+2）2=0，∴a=1，b=－1，c=－2，∴ax 2+bx+c=0为x 2－x －2=0， ∴x 1=2，x 2=－1． 13．有错误，在第四步．错误的原因是在开方时对b 2－4ac 的值是否是非负数没有进行讨论．正确步骤为：（x+2b a）2=2244b aca -，当b 2－4ac ≥0时，x+2b a =2244b aca - x+2b a =±242b ac a -，x=242b b aca-±-∴x 122244b b ac b b acx -+----=．14．原方程mx 2+3x+1=0有两个实数根．∴b 2－4ac=9－4m ≥0， ∴m ≤94，且m ≠0． 15．∵x 2－8xy －9y 2=0， 把y 看做常数可得：x=228643681022y y y y y ±+±=， ∴x 1=9y ，x 2=－y ．16．b 2－4ac=4（2m+1）2－4m （4m －1）=20m+4． （1）当20m+4=0，即m=－15时，方程有两个相等的实数根． （2）当m>－15且m ≠0时，方程有两个不相等的实数根． （3）m<－15时，原方程无实数根． 17．解：由公式法可得x=12864162323,,2422x x -±--+--∴==⨯．18．D 点拨：注意一元二次方程成立的条件． 19．由（2－a ）2+2a b c -++│c+2│=0，可得a=2，c=－2，b=2．∴ax 2+bx +c=0．即2x 2+2x －2=0，∴x 2+x －1=0，∴x 2+x=1．∴x 2+x+1=1+1=2，即代数式x 2+x+1=1+1=2．20．∵一元二次方程mx 2－（3m －1）x+2m －1=0的判别式的值为1，即[－（3m －1）] 2－4m （2m －1）=1， 解得：m 1=2，m 2=0（舍去）．当m=2时，2x 2－5x+3=0， 解得x 1=32，x 2=1． 23.2一元二次方程的解法练习（2）一、填空题（每空4分，共24分）1. 已知2x =是一元二次方程220x mx ++=的一个解，则m 的值是（ ） A ．-3 B ．3 C ．0D ．0或32. 方程3(3)5(3)x x x -=-的根是( )A.35 B. 3 C. 35和3 D. 35和-3 3. 将方程0982=++x x 左边变成完全平方式后，方程是( )A. 7)4(2=+x B. 25)4(2=+x C. 9)4(2-=+x D. 7)4(2-=+x 4. 生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了110件，如果全组有x 名同学，那么根据题意列出的方程是( )A. x(x+1)= 110B. x(x-1)= 110C. x(x+1)=110×2D. x(x-1)= 110×25. 从一块正方形的木板上锯掉2米宽的长方形木条，剩下的面积是48平方米，则原来这块木板的面积是( )A. 64平方米B. 100平方米C. 81平方米D. 48平方米 6. 在一幅长80厘米，宽50厘米的矩形图画的四周镶一条金色的纸边，制成一幅矩形挂图，如下图所示，如果要使整个挂图的面积是5400平方厘米，设金色纸边的宽为x 厘米，那么满足的方程是( )A ．x 2+130x-1400=0B ． x 2-130x-1400=0C ．x 2-65x-350=0D ．x 2+65x-350=0 二、选择题（每题4分，共24分7. 把方程2(x -3)2=5化成一元二次方程的一般形式是 . 8. 方程250x x -=的根是 .9. 如果－1是方程0422=-+bx x 的一个根，则方程的另一个根是 . 10. 用22cm 长的铁丝，折成一个面积为228cm 的矩形，这个矩形的长是 . 11. 请写出一个根为x =1，另一个根满足1x -<<1的一元二次方程： . 12. 已知()()5312222=-+++y x y x ，则22y x +的值等于 . 三、解答题（共52分）13. （本题20分）按指定的方法解方程：（1）02522=-+）（x （直接开平方法）； （2）0542=-+x x （配方法）（3）x x 3232=+（因式分解法）； （4）01722=+-x x （公式法）.14. （本题8分）对于二次三项式2-1036x x +，小明同学得到如下结论：无论x 取何值，它的值都不可能是10.你是否同意他的说法？请你说明理由.15. （本题12分）某水果经销商上月份销售一种新上市的水果，平均售价为10元／千克，月销售量为1000千克．经市场调查，若将该种水果价格调低至x 元／千克，则本月份销售量y （千克）与x （元／千克）之间满足一次函数关系y kx b =+．且当7x =时，2000y =；5x =时，4000y =．（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）已知该种水果上月份的成本价为5元／千克，本月份的成本价为4元／千克，要使本月份销售该种水果所获利润比上月份增加20％，同时又要让顾客得到实惠．．．．．．．，那么该种水果价格每千克应调低至多少元？［利润＝售价－成本价16. （本题12分）如图，△ABC 中，∠C=90°，AC =8 cm ，BC=4 cm ，一动点P 从C 出发沿着CB 方向以1 cm/s 的速度运动，另一动点Q 从A 出发沿着AC 方向以2cm/s 的速度运动，P 、Q 两点同时出发，运动时间为t(s).（1）当t 为几秒时，△PCQ 的面积是△ABC 面积的14？（2）△PCQ 的面积能否为△ABC 面积的一半？若能，求出t 的值；若不能，说明理由.。

《一元二次方程》单元测试题一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．下列方程中，是一元二次方程的是（）A．x2+2xy＝1B．x2+x+1C．x2＝4D．ax2+bx+c＝0 2．方程2x2+4x﹣3＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A．2，﹣3，﹣4B．2，﹣4，﹣3C．2，﹣4，3D．2，4，﹣3 3．用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣9＝0，可变形为（）A．（x﹣2）2＝9B．（x﹣2）2＝13C．（x+2）2＝9D．（x+2）2＝134．如果关于x的方程x2﹣2x﹣k＝0有实根．那么以下结论正确的是（）A．k＞lB．k＝﹣1C．k≥﹣1D．k＜﹣15．已知k为一元二次方程x2+7x﹣1＝0的一个根，则2k2+14k+2016的值是（）A．2016B．2017C．2018D．20196．用求根公式法解方程x2﹣2x﹣5＝0的解是（）A．x1＝1+，x2＝1﹣B．x1＝2+，x2＝2﹣C．x1＝1+，x2＝1﹣D．x1＝2+，x2＝2﹣7．方程＝5﹣x的解是（）A．x＝3B．x＝8C．x1＝3，x2＝8D．x1＝3，x2＝﹣8 8．设方程x2+x﹣2＝0的两个根为α，β，那么α+β﹣αβ的值等于（）A．﹣3B．﹣1C．1D．39．2020年，新型冠状病毒感染的肺炎疫情牵动着全国人民的心．雅礼中学某学生写了一份预防新型冠状病毒倡议书在微信朋友圈传播，规则为：将倡议书发表在自己的朋友圈，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，以此类推，已知经过两轮传播后，共有931人参与了传播活动，则方程列为（）A．（1+n）2＝931B．n（n﹣1）＝931C．1+n+n2＝931D．n+n2＝93110．已知一元二次方程a（x+m）2+n＝0（a≠0）的两根分别为﹣3，1，则方程a（x+m﹣2）2+n＝0（a≠0）的两根分别为（）A．1，5B．﹣1，3C．﹣3，1D．﹣1，5二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）11．若关于x的方程+3x+5＝0是一元二次方程，则a应满足．12．方程x2＝2020x的解是．13．已知关于x的一元二次方程（a﹣3）x2﹣2x+a2﹣9＝0的常数项是0，则a＝．14．已知x1，x2是关于x的方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0的两个根，且x1+x2＝3，则m的值是．15．用一根20m长的绳子围成一个面积为24m2矩形，则矩形的长与宽分别是．16．关于x的一元二次方程mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣1＝0．其根的判别式的值为1，则该方程的根为．三．解答题（共8小题，满分66分）17．（12分）解方程（1）（2x﹣5）2＝9（2）x2﹣4x＝96（3）x2﹣9x﹣8＝0（4）3（x﹣2）2＝x（x﹣2）18．（6分）今年我国发生了较为严重的新冠肺炎疫情，口罩供不应求，某商店恰好年前新进了一批口罩，若按每个盈利1元销售，每天可售出200个，如果每个口罩的售价上涨0.5元，则销售量就减少10件，问应将每个口罩涨价多少元时，才能让顾客得到实惠的同时每天利润为480元？19．（7分）已知：△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0的两个实数根，第三边BC 的长为5．（1）k为何值时，△ABC是等腰三角形？并求△ABC的周长．（2）k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形？20．（7分）某玩具销售商试销某一品种的玩具（出厂价为每个30元），以每个40元销售时，平均每月可销售100个，现为了扩大销售，销售商决定降价销售，在原来1月份平均销售量的基础上，经2月份的试场调查，3月份调整价格后，月销售额达到5760元，已知该玩具价格每个下降1元，月销售量将上升10个．（1）求1月份到3月份销售额的月平均增长率．（2）求三月份时该玩具每个的销售价格．21．（8分）如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）两根，那么x1+x2＝﹣，x1•x2＝，这就是著名的韦达定理．已知m，n是方程2x2﹣5x﹣1＝0的两根，不解方程计算：（1）+；（2）．22．（8分）目前，某镇正在为小城市建设做着不懈努力，镇政府决定在新城区政府大楼前建设一块个长a米，宽b米的长方形草坪，并计划在该草坪场上修筑宽都为2米的两条互相垂直的人行道（如图）．（1）用含a，b的代数式表示两条人行道的总面积；（2）若已知a：b＝3：2，并且四块草坪的面积之和为2204平方米，试求原长方形的长与宽各为多少米？23．（9分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（8+k）x+8k＝0．（1）证明：无论k取任何实数，方程总有实数根．（2）若，求k的值．（3）若等腰三角形的一边长为5，另两边长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长．24．（9分）阅读探究：“任意给定一个矩形A，是否存在另一个矩形B，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？”（完成下列空格）（1）当已知矩形A的边长分别为6和1时，小亮同学是这样研究的：设所求矩形的两边分别是x和y，由题意得方程组，消去y 化简得：2x2﹣7x+6＝0，∵b2﹣4ac＝49﹣48＞0，∴x1＝，x2＝，∴满足要求的矩形B存在．（2）如果已知矩形A的边长分别为2和1，请你仿照小亮的方法研究是否存在满足要求的矩形B．（3）如果矩形A的边长为m和n，请你研究满足什么条件时，矩形B存在？参考答案一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．解：A、该方程属于二元二次方程，故本选项不符合题意．B、它不是方程，故本选项不符合题意．C、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意．D、当a＝0时，该方程不是关于x的一元二次方程，故本选项不符合题意．故选：C．2．解：方程2x2+4x﹣3＝0的二次项系数是2，一次项系数是4、常数项是﹣3，故选：D．3．解：∵x2﹣4x﹣9＝0，∴x2﹣4x＝9，则x2﹣4x+4＝9+4，即（x﹣2）2＝13，故选：B．4．解：由题意知△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣k）≥0，解得：k≥﹣1，故选：C．5．解：∵k是一元二次方程x2+7x﹣1＝0的一个根，∴x＝k满足该方程，即k2+7k﹣1＝0，解得k2+7k＝1．∴2k2+14k+2016＝2（k2+7k）+2016＝2018故选：C．6．解：△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣5）＝24，x＝＝1±，所以x1＝1+，x2＝1﹣．故选：A．7．解：两边平方，得x+1＝x2﹣10x+25，即x2﹣11x+24＝0，（x﹣3）（x﹣8）＝0，则x﹣3＝0，x﹣8＝0，解得：x＝3或8．检验：当x＝3时，左边＝2，右边＝2，则左边＝右边，则x＝3是方程的解；当x＝8时，左边＝3，右边＝﹣3，则x＝8不是方程的解．总之，方程的解是x＝3．故选：A．8．解：∵α，β是方程x2+x﹣2＝0的两个根，∴α+β＝﹣1，αβ＝﹣2，∴原式＝﹣1﹣（﹣2）＝1．故选：C．9．解：由题意，得n2+n+1＝931，故选：C．10．解：∵一元二次方程a（x+m）2+n＝0（a≠0）的两根分别为﹣3，1，∴方程a（x+m﹣2）2+n＝0（a≠0）中x﹣2＝﹣3或x﹣2＝1，解得：x＝﹣1或3，即方程a（x+m﹣2）2+n＝0（a≠0）的两根分别为﹣1和3，故选：B．二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）11．解：是方程二次项，即a2﹣1＝2，a2＝3，∴a＝±．12．解：∵x2﹣2020x＝0，∴x（x﹣2020）＝0，则x＝0或x﹣2020＝0，解得x1＝0，x2＝2020，故答案为：x1＝0，x2＝2020．13．解：∵关于x的一元二次方程（a﹣3）x2﹣2x+a2﹣9＝0的常数项是0，∴a2﹣9＝0，即a＝3或a＝﹣3，当a＝3时，方程为﹣2x＝0，不符合题意，则a＝﹣3．故答案为：﹣3．14．解：∵x1，x2是关于x的方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0的两个根，且x1+x2＝3，∴m﹣1＝3，∴m＝4．故答案为：4．15．解：设矩形的长为xm，则宽为m，依题意，得：x•＝24，整理，得：x2﹣10x+24＝0，解得：x1＝6，x2＝4．∵x≥，∴x≥5，∴x＝6，＝4．故答案为：6m，4m．16．解：根据题意△＝（3m﹣1）2﹣4m（2m﹣1）＝1，解得m1＝0，m2＝2，而m≠0，∴m＝2，此时方程化为2m2﹣5x+3＝0，（2x﹣3）（x﹣1）＝0，∴x1＝，x2＝1．故答案为x1＝，x2＝1．三．解答题（共8小题，满分66分）17．解：（1）（2x﹣5）2＝9，2x﹣5＝±3，所以x1＝1，x2＝4；（2）x2﹣4x＝96，x2﹣4x﹣96＝0，（x﹣12）（x+8）＝0所以x1＝12，x2＝﹣8；（3）x2﹣9x﹣8＝0，∵a＝1，b＝﹣9，c＝﹣8，△＝（﹣9）2﹣4×1×（﹣8）＝113，∴x＝，所以x1＝，x2＝；（4）3（x﹣2）2＝x（x﹣2）3（x﹣2）2﹣x（x﹣2）＝0，（x﹣2）（3x﹣6﹣x）＝0，所以x1＝2，x2＝3．18．解：设应将每个口罩涨价x元，则每天可售出（200﹣10×）件，依题意，得：（1+x）（200﹣10×）＝480，化简，得：x2﹣9x+14＝0，解得：x1＝2，x2＝7．又∵要让顾客得到实惠，∴x＝2．答：应将每个口罩涨价2元时，才能让顾客得到实惠的同时每天利润为480元．19．解：（1）∵△ABC是等腰三角形；∴当AB＝AC时，△＝b2﹣4ac＝0，∴（2k+3）2﹣4（k2+3k+2）＝0，4k2+12k+9﹣4k2﹣12k﹣8＝0，方程无解，k不存在；当AB＝BC时，即AB＝5，∴5+AC＝2k+3，5AC＝k2+3k+2，解得k＝3或4，∴AC＝4或6∴△ABC的周长为14或16；（2）∵△ABC是以BC为斜边的直角三角形，BC＝5，∴AB2+AC2＝25，∵AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0的两个实数根，∴AB+AC＝2k+3，AB•AC＝k2+3k+2，∴AB2+AC2＝（AB+AC）2﹣2AB•AC，即（2k+3）2﹣2（k2+3k+2）＝25，解得k＝2或﹣5（不合题意舍去）．故k为2时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形．20．解：（1）设1月份到3月份销售额的月平均增长率为x，由题意得：40×100（1+x）2＝5760∴（1+x）2＝1.44∴1+x＝±1.2∴x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍去）∴1月份到3月份销售额的月平均增长率为20%．（2）设三月份时该玩具的销售价格在每个40元销售的基础上下降y元，由题意得：（40﹣y）（100+10y）＝5760∴y2﹣30y+176＝0∴（y﹣8）（y﹣22）＝0∴y1＝8，y2＝22当y＝22时，3月份该玩具的销售价格为：40﹣22＝18＜30，不合题意，舍去∴y＝8，3月份该玩具的销售价格为：40﹣8＝32元∴3月份该玩具的销售价格为32元．21．解：∵m，n是方程2x2﹣5x﹣1＝0的两根，∴m+n＝，mn＝﹣．（1）+＝＝＝﹣10；（2）＝＝＝．22．解：（1）∵两条人行横道的长分别为a米和b米，宽均为2米，∴人行横道的面积为：2a+2b﹣4；（2）∵a：b＝3：2，∴设a＝3x，则b＝2x，根据题意得：（3x﹣2）（2x﹣2）＝2204解答：x＝20或x＝﹣（舍去）∴3x＝60，2x＝40，答：原长方形的长与宽各为60米和40米．23．解：（1）∵△＝（8+k）2﹣4×8k＝（k﹣8）2，∵（k﹣8）2≥0，∴△≥0，∴无论k取任何实数，方程总有实数根；（2）∵x1+x2＝8+k，x1•x2＝8k，，（x1+x2）2＝x+x+2x1•x2，∴（8+k）2＝68+16k，解得：k＝±2（3）解方程x2﹣（8+k）x+8k＝0得x1＝k，x2＝8，①当腰长为8时，则k＝8，8+5＝13＞8周长＝8+8+5＝21；②当底边为8时，∴k＝5，∴周长＝5+5+8＝18．24．解：（1）利用求根公式可知：x1＝＝，x2＝＝2．故答案为：；2．（2）设所求矩形的两边分别是x和y，根据题意得：，消去y化简得：2x2﹣3x+2＝0．∵b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×2×2＝﹣7＜0，∴该方程无解，∴不存在满足要求的矩形B．（3）设所求矩形的两边分别是x和y，根据题意得：，消去y化简得：2x2﹣（m+n）x+mn＝0．∵矩形B存在，∴b2﹣4ac＝[﹣（m+n）]2﹣4×2mn≥0，∴（m﹣n）2≥4mn．故当m、n满足（m﹣n）2≥4mn时，矩形B存在．。

【九年级】初三上册第23章一元二次方程(1)检测题(华师大含答案)第23章一元二次方程检测题（时间：90分钟，满分：100分）一、（每小题3分，共30分）1.在以下方程式中：①; ②；③；④（）；⑤=-1．一元二次方程的个数是（）a、 1b.2c.3d.42.方程的根是（）a、不列颠哥伦比亚省。

3．要使方程+是关于的一元二次方程，则（）a、 b。

c．且d．且4.如果是，则值为（）a．b．c．d．5.如果关于的一元二次方程有实根，那么（）a．b．c．d．6.因季节变化打折销售的商品，按原价25%的折扣销售，将损失25元，按原价10%的折扣销售，将获得20元。

那么这种商品的原价是（）a．500元b．400元c．300元d．200元7.利华机械厂4月份生产了10000个零件。

如果5月和6月的平均月增长率为，•，那么第二季度将总共生产零件（）a．100万个b．160万个c．180万个d．182万个8.如果一种商品在两次降价后的零售价格是降价前的价格，则每次平均降价（）a．b．c．d．9.一元二次方程的根的情况是（）a．有两个不相等的实数根b．有两个相等的实数根c、没有真正的根D.无法确定10．已知分别是三角形的三边，则方程的根的情况是（）a、没有真正的根B，只有一个真正的根c．有两个相等的实数根d．有两个不相等的实数根二、问题（每个子问题3分，共24分）11．若是关于的一元二次方程，则不等式的解集是________．12.如果方程的一个根已知，那么___13．若，则________．14.如果（是关于的一元二次方程），则____15．若且，则一元二次方程必有一个定根，它是_______．16.如果矩形的长度为，宽度为，正方形的面积等于矩形的面积，则正方形的边长为___17．若两个连续偶数的积是224，则这两个数的和是__________．18.如果一元二次方程的一个根是1，方程的另一个根是三、解答题（共46分）19.（6点）定义实数范围内的运算“”，其规则是：求方程（43）的解20.（6分）求证：关于的方程有两个不相等的实数根．21.（6点）在矩形的四个角上剪下四个长度和宽度相同的小正方形，使左图（图中阴影部分）的面积为原始矩形面积的80%，并计算剪下的小正方形的边长22．（6分）若方程的两根是和，方程的正根是，试判断以为边长的三角形是否存在．若存在，求出它的面积；若不存在，说明理由．23.（6点）已知两个方程（of）之和为，两者之差为1，•式中为方程三条边的长度△（1）求方程的根；（2）试判断△的形状．24.（8分）一家服装厂生产了一批西服。

第23章 同步练习●阶段性内容回顾1．只含有________未知数，并且未知数的______方程叫一元二次方程．2．方程的解是使方程左右两边__________．3．一元二次方程的一般形式是___________．4．解方程的指导思想是：（1）•______________________，•（2）•________________，•使高次的转化为__________________，多元的转化为__________________．5．解一元二次方程的一般方法有_________________，_________________，_________．6．直接开方法的理论依据是________，它的适应类型是_________，其中x 可以是___________，也可以是___________．7．因式分解法的理论论据是_____________________，利用因式分解法解一元二次方程时，必须使方程的一边是_____________________，另一边必须是_______________．8．配方法：任何一个形如x+bx 的代数式，都可以通过加________________________的方法配成完全平方式，把方程转化为_______________________的形式来解方程．9．配方法的步骤是：（1）_________________________________________；（2）二次项系数化为__________________________；（3）___________________________________；（4）配成_________________________；（5）___________________________________．10．方程（x －a ）=b 能直接开方的条件是____________，当________时，方程有两个不相等的实数根；当__________时，方程有两个相等的实数根；当b________时，•方程无实根．11．一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的求根公式是__________．12．求根公式的导出是利用了________法，所以两种解方程的方法的实用范围都是_________，问题的关键都是__________．13．用求根公式解方程的一般步骤是：（1）___________；（2）求出b 2－4ac•的值．•当________时，方程可求解；若________，则方程无解．（3）直接利用公式__________，求出x ．14．•一元二次方程根的判别式是△=•_________，•它能判断根的情况的依据是________．15．对于一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）：（1）当b 2－4ac_______0方程有两个不相等的实数根．（2）当b 2－4ac_______0方程有两个相等的实数根．（3）当b 2－4ac_______0方程无实数根．●阶段性内容巩固一、填空题:1．把方程（x）（）+（2x+1）2=0化为一元二次方程的一般形式是_______，•其中二次项系数是_________，一次项系数是_________，常数项是_________．2．关于x 的方程（a －1）x 2+（a 2－1）x+2=0是一元二次方程的条件是______．3．方程（x －2）2=3（x －2）的解是__________．4．已知方程mx 2+x －2=0的一个根是1，则另一个根是______，m 值为______．5．已知a －b+c=0成立，则方程ax 2+bx+c=0必有一根是_________． 二、选择题:6．用直接开方法解方程（x －1）2=4，得到方程的根为（ ）．⇔⇔⇔1412A ．x=3B ．x 1=3，x 2=－1C ．x 1=1，x 2=－3D ．x 1=x 2=37．解方程（2x －1）2=3（2x －1）的最适当的方法是（ ）．A ．直接开方法B ．因式分解法C ．配方法D ．公式法8．方程（x －3）（x －1）=3的根是（ ）．A ．x 1=3，x 2=1B ．x 1=1，x 2=2C ．x 1=0，x 2=4D ．x 1，x 2=－9．下列方程中，有一根是1的是（ ）．A ．3x2+2x －1=0 B ．4x2－3x －1=0 C ．x 2－x －=0 D ．x （x+1）=1 10．一元二次方程2x 2－3x=1的根的情况是（ ）．A ．有两个不相等的实数根;B ．无实数根;C ．有两个相等的实数根;D ．无法判断三、解答题:11．用适当的方法解方程．（1）（x ）（）=16； （2）（x －1）2=（x －1）2；（3）2x 2－x=1； （4）（x 2－2x ）2－5（x 2－2x ）－6=0．12．已知关于x 的方程（k+1）x 2+（2k －1）x+k+3=0有实数根，求k 的值．答案:【阶段性内容回顾】1232121．1个 最高次数是2 整式2．相等的未知数的值3．ax 2+bx+c=0（a ≠0）4．降次 消元 一次方程 一元方程5．直接开方法 因式分解法 配方法6．平方根的定义 （x －a ）=b （b ≥0） 一个代数式 一个非负数7．两个因式的积等于0，则这两个因式至少有一个等于0 0 乘积式8．一次项系数一半的平方 可以直接开方9．（1）常数项移到等号的另一侧（2）1（3）方程两边加上一次项系数一半的平方（4）（x+a ）2=b 的形式 （5）直接开方10．b ≥0 b>0 b=0 b<011．x= （b 2－4ac ≥0） 12．配方 b 2－4ac ≥0，配方13．（1）把方程化为一般式（2）b 2－4ac ≥0 b 2－4ac<0 （3）x= （b 2－4ac ≥0） 14．b 2－4ac 平方根的意义15．（1）> （2）= （3）<【阶段性内容巩固】1．5x 2+4x －1=0 5 4 －12．a ≠13．x 1=2，x 2=54．－2 1 点拨：利用方程根的定义．5．－ 点拨：由两个式的形式可知，当x=－时，ax 2+bx+c=0可变为a －b+c=0． 6．B 点拨：一个数的平方根有两个，且这两个数互为相反数．7．B8．C 点拨：要把原方程整理成一般形式，再求解．9．B 点拨：把x=1代入方程，左右两边相等的其根为1．10．A11．（1）原方程整理得x 2=18，∴x 1，x 2=－．（2）用因式分解法． （x －1）2－（x －1）2=0， （x －1+x －1）（x －1－x+1）=0， 2b a-2b a-±12121412121212∴x 1=，x 2=0． （3）用公式法2x 2－x －1=0．x=． ∴x 1=1，x 2=－． （4）设x 2－2x=y ，则原方程可化为y 2－5y －6=0， 利用求根公式得y 1=6，y 2=－1．当y 1=6时，x 2－2x=6，∴x 1，x 2=1；当y 1=－1时，x 2－2x=－1；∴x 3=x 4=1，∴原方程的解为x 1，x 2=1，x 3=x 4=1．12．方程（k+1）x 2+（2k －1）x+k+3=0有实数根，∴（2k －1）2－4（k+1）（k+3）≥0，∴k ≤－且k ≠－143113224±±=⨯121120。