高考数学一轮复习 圆的方程课时作业41 文 北师大

课后限时集训(四十四)(建议用时：60分钟) A 组 基础达标一、选择题1．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程是( ) A ．x 2＋(y －2)2＝1 B ．x 2＋(y ＋2)2＝1 C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1 D ．x 2＋(y －3)2＝1A [设圆心为(0，a )， 则1－02＋2－a2＝1，解得a ＝2，故圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.故选A ．]2．方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞ B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0C ．(－2,0)D ．⎝⎛⎭⎪⎫－2，23 D [方程化简为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋(y ＋a )2＝1－a －3a 24表示圆，则1－a －3a 24＞0，解得－2＜a ＜23.]3．(2019·广东六校模拟)圆(x －2)2＋y 2＝4关于直线y ＝33x 对称的圆的方程是( ) A ．(x －3)2＋(y －1)2＝4 B ．(x －2)2＋(y －2)2＝4 C ．x 2＋(y －2)2＝4 D ．(x －1)2＋(y －3)2＝4 D [设所求圆的圆心为(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧b 2＝33×a ＋22，b a －2＝－3，∴⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3，∴圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝4.]4．(2019·湖南长沙模拟)圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的点到直线x －y ＝2距离的最大值是( )A ．1＋ 2B ．2C ．1＋22D ．2＋2 2A [将圆的方程化为(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心坐标为(1,1)，半径为1，则圆心到直线x －y ＝2的距离d ＝|1－1－2|2＝2，故圆上的点到直线x －y ＝2距离的最大值为d ＋1＝2＋1，选A ．]5．(2019·山西晋中模拟)半径为2的圆C 的圆心在第四象限，且与直线x ＝0和x ＋y ＝22均相切，则该圆的标准方程为( )A ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝4 B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝2 C ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝4 D ．(x －22)2＋(y ＋22)2＝4C [设圆心坐标为(2，－a )(a ＞0)，则圆心到直线x ＋y ＝22的距离d ＝|2－a －22|2＝2，所以a ＝2，所以该圆的标准方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝4，故选C ．]二、填空题6．圆C 的圆心在x 轴上，并且经过点A (－1,1)，B (1,3)，若M (m ，6)在圆C 内，则m 的取值范围为________．(0,4) [设圆心为C (a,0)，由|CA |＝|CB |得 (a ＋1)2＋12＝(a －1)2＋32.所以a ＝2. 半径r ＝|CA |＝2＋12＋12＝10.故圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝10.由题意知(m －2)2＋(6)2＜10，解得0＜m ＜4.]7．若圆C 经过坐标原点和点(4,0)，且与直线y ＝1相切，则圆C 的方程是________．(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝254[由已知可设圆心为(2，b )，由22＋b 2＝(1－b )2＝r 2，得b ＝－32，r 2＝254.故圆C 的方程为(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝254.]8．(2018·宜昌模拟)已知圆C ：x 2＋y 2＋kx ＋2y ＝－k 2，当圆C 的面积取最大值时，圆心C 的坐标为________．(0，－1) [圆C 的方程可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k 22＋(y ＋1)2＝－34k 2＋1.所以，当k ＝0时圆C 的面积最大，此时圆C 坐标为(0，－1)．]三、解答题9．求适合下列条件的圆的方程．(1)圆心在直线y ＝－4x 上，且与直线l ：x ＋y －1＝0相切于点P (3，－2)； (2)过三点A (1,12)，B (7,10)，C (－9,2)．[解] (1)法一：设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则有⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4a ，3－a 2＋－2－b 2＝r 2，|a ＋b －1|2＝r ，解得a ＝1，b ＝－4，r ＝2 2. 所以圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.法二：过切点且与x ＋y －1＝0垂直的直线为y ＋2＝x －3，与y ＝－4x 联立可求得圆心为(1，－4)．所以半径r ＝1－32＋－4＋22＝22，所以所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.(2)设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧1＋144＋D ＋12E ＋F ＝0，49＋100＋7D ＋10E ＋F ＝0，81＋4－9D ＋2E ＋F ＝0.解得D ＝－2，E ＝－4，F ＝－95.所以所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －95＝0.10．如图，等腰梯形ABCD 的底边AB 和CD 长分别为6和26，高为3. (1)求这个等腰梯形的外接圆E 的方程；(2)若线段MN 的端点N 的坐标为(5,2)，端点M 在圆E 上运动，求线段MN 的中点P 的轨迹方程．[解] (1)由已知可知A (－3,0)，B (3,0)，C (6，3)，D (－6，3)，设圆心E (0，b )． 由|EB |＝|EC |，得(0－3)2＋(b －0)2＝(0－6)2＋(b －3)2， 解得b ＝1，r 2＝(0－3)2＋(1－0)2＝10， 所以圆的方程为x 2＋(y －1)2＝10.(2)设P (x ，y )，由已知得M (2x －5,2y －2)， 代入x 2＋(y －1)2＝10， 得(2x －5)2＋(2y －3)2＝10，化简得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝52.B 组 能力提升1．点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1A [设M (x 0，y 0)为圆x 2＋y 2＝4上任一点，PM 中点为Q (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋42，y ＝y 0－22，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2.代入圆的方程得(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4， 即(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.]2．(2019·辽宁锦州月考)如果圆(x －a )2＋(y －a )2＝8上总存在到原点的距离为2的点，则实数a 的取值范围是( )A ．(－3，－1)∪(1,3)B ．(－3,3)C ．[－1,1]D ．[－3，－1]∪[1,3]D [圆(x －a )2＋(y －a )2＝8的圆心(a ，a )到原点的距离为|2a |，半径r ＝22，由圆(x －a )2＋(y －a )2＝8上总存在点到原点的距离为2，得22－2≤|2a |≤22＋2，∴1≤|a |≤3，解得1≤a ≤3或－3≤a ≤－1.∴实数a 的取值范围是[－3，－1]∪[1,3]．故选D.]3．已知点P (2,2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点，则点M 的轨迹方程为________．(x －1)2＋(y －3)2＝2 [圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16，所以圆心为C (0,4)，半径为4.设M (x ，y )，则CM →＝(x ，y －4)，MP →＝(2－x,2－y )．由题设知CM →·MP →＝0，故x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0. 即(x －1)2＋(y －3)2＝2.由于点P 在圆C 的内部，所以点M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2.]4．已知以点C ⎝⎛⎭⎪⎫t ，2t (t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O 和点A ，与y 轴交于点O和点B ，其中O 为原点．(1)求证：△OAB 的面积为定值；(2)设直线y ＝－2x ＋4与圆C 交于点M ，N ，若|OM |＝|ON |，求圆C 的方程． [解] (1)因为圆C 过原点O ，所以|OC |2＝t 2＋4t2.设圆C 的方程是(x －t )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －2t 2＝t 2＋4t 2，令x ＝0，得y 1＝0，y 2＝4t；令y ＝0，得x 1＝0，x 2＝2t ，所以S △OAB ＝12|OA |·|OB |＝12×|2t |×⎪⎪⎪⎪⎪⎪4t ＝4，即△OAB 的面积为定值． (2)因为|OM |＝|ON |，|CM |＝|CN |， 所以OC 垂直平分线段MN . 因为k MN ＝－2，所以k OC ＝12.所以2t ＝12t ，解得t ＝2或t ＝－2.当t ＝2时，圆心C 的坐标为(2,1)，|OC |＝5， 此时，C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝15＜5，圆C 与直线y ＝－2x ＋4相交于两点． 符合题意，此时，圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5. 当t ＝－2时，圆心C 的坐标为(－2，－1)， |OC |＝5，此时C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝95＞ 5. 圆C 与直线y ＝－2x ＋4不相交， 所以t ＝－2不符合题意，舍去． 所以圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5. 即为x 2＋y 2－4x －2y ＝0.。

半径：________
2.点与圆的位置关系 点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：
(1)若M(x0，y0)在圆外，则_(x_0_－_a_)_2＋__(_y0_－__b_)2_＞_r_2_． (2)若M(x0，y0)在圆上，则_(x_0_－_a_)_2＋__(_y0_－__b_)2_＝_r_2_．
答案：B
10
考点三 与圆有关的轨迹方程 [综合性]
[例3] 已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2，0)，B(1，1)为圆内一点，P， Q为圆上的动点．
(1)求线段AP中点的轨迹方程； (2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．
解析：(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2， 2y)．因为P点在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.故线段AP中点的轨迹方程 为(x－1)2＋y2＝1.
(2)求y－x的最大值和最小值； (3)求x2＋y2的最大值和最小值．
一题多变 (变问题)若例1中条件不变，求P(x，y)到直线3x＋4y＋12＝0的距离
的最大值和最小值．
答案：(1)B
12
反思感悟 建立函数关系式求最值
根据已知条件列出相关的函数关系式，再根据关系式的特征选用基 本不等式、函数单调性等方法求最值．
(3)若M(x0，y0)在圆内，则_(x_0_－_a_)_2＋__(_y_0－__b_)2_＜__r2_．
二、必明2个常用结论
1．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2) ＋(y－y1)(y－y2)＝0.
2．二元二次方程表示圆的条件 对于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆时易忽视D2＋E2－4F＞0这 一条件．

课时跟踪训练(四十一)[基础巩固]一、选择题1．如图是一个几何体的正视图和侧视图，其俯视图是面积为82的矩形．则该几何体的表面积是()A．8 B．20＋8 2C．16 D．24＋8 2[解析]由题意可知，该几何体是底面为直角三角形的直三棱柱，其侧棱为4，故其表面积S表＝2×4＋2×4＋22×4＋12×2×2×2＝20＋8 2.[答案] B2．已知三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1－ABC1的体积为()A.312B.34C.612D.64[解析] V B 1－ABC 1＝V C 1－ABB 1＝13×12×1×1×32＝312. [答案] A3．(2015·全国卷Ⅰ)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有 ( )A ．14斛B ．22斛C ．36斛D ．66斛[解析] 米堆的体积为14×13×π×⎝ ⎛⎭⎪⎫8×42π2×5＝3203π.将π＝3代入上式，得体积为3209立方尺．从而这堆米约有3209×1.62≈22(斛)．[答案] B4．(2017·河北唐山二模)一个几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积为( )A ．24－πB ．24－3πC ．24＋πD ．24－2π[解析] 由三视图可知，该几何体是棱长为2的正方体挖去右下方18球后得到的几何体，该球以顶点为球心，2为半径，则该几何体的表面积为2×2×6－3×14×π×22＋18×4×π×22＝24－π，故选A.[答案] A5．(2017·浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( )A.π2＋1B.π2＋3C.3π2＋1D.3π2＋3[解析] 由几何体的三视图可得，该几何体是由半个圆锥和一个三棱锥组成的，故该几何体的体积V ＝13×12π×3＋13×12×2×1×3＝π2＋1，故选A.[答案] A6．(2017·全国卷Ⅰ)某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都是由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为( )A ．10B ．12C ．14D ．16[解析] 由三视图可知该多面体是一个组合体，下面是一个底面是等腰直角三角形的直三棱柱，上面是一个底面是等腰直角三角形的三棱锥，等腰直角三角形的腰长为2，直三棱柱的高为2，三棱锥的高为2，易知该多面体有2个面是梯形，这些梯形的面积之和为(2＋4)×22×2＝12，故选B. [答案] B 二、填空题7．(2017·天津卷)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为________．[解析] 由正方体的表面积为18，得正方体的棱长为 3.设该正方体外接球的半径为R ，则2R ＝3，R ＝32，所以这个球的体积为4π3R 3＝4π3×278＝9π2.[答案] 9π28．下图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的表面积是________．[解析] 该几何体是一个长方体挖去一半球而得，直观图如图所示，(半)球的半径为1，长方体的长、宽、高分别为2、2、1，∴该几何体的表面积为：S ＝16＋12×4π×12－π×12＝16＋π.[答案] 16＋π9．(2017·山东卷)由一个长方体和两个14圆柱体构成的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．[解析] 由三视图可知，该组合体中的长方体的长、宽、高分别为2,1,1，其体积V 1＝2×1×1＝2；两个14圆柱合起来就是圆柱的一半，圆柱的底面半径r ＝1，高h ＝1，故其体积V 2＝12×π×12×1＝π2.故该几何体的体积V ＝V 1＋V 2＝2＋π2. [答案] 2＋π2 三、解答题10．如图，在四边形ABCD 中，∠DAB ＝90°，∠ADC ＝135°，AB ＝5，CD ＝22，AD ＝2，求四边形ABCD 绕AD 旋转一周所成几何体的表面积及体积．[解]由已知得：CE＝2，DE＝2，CB＝5，S表面＝S圆台侧＋S圆台下底＋S圆锥侧＝π(2＋5)×5＋π×25＋π×2×22＝(60＋42)π，V＝V圆台－V圆锥＝13(π·22＋π·52＋22·52π2)×4－13π×22×2＝1483π.[能力提升]11．(2015·全国卷Ⅱ)已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点．若三棱锥O－ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为()A．36π B．64π C．144π D．256π[解析]如图，设点C到平面OAB的距离为h，球O的半径为R，因为∠AOB＝90°，所以S△OAB＝12R2，要使V O－ABC＝13·S△OAB·h最大，则OA，OB，OC应两两垂直，且(V O－ABC )max＝13×12R2×R＝16R3＝36，此时R＝6，所以球O的表面积为S球＝4πR2＝144π.故选C.[答案] C12．(2017·重庆诊断)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.332 B ．2 3 C.532 D ．3 3[解析] 该几何体的直观图是如图所示的不规则几何体ABB 1DC 1C ，其体积是底边边长为2的等边三角形，高为3的正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积减去三棱锥A －A 1C 1D 的体积，即33－13×3×32＝532.[答案] C13．(2017·河南南阳一中四模)球O 为正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的内切球，AB ＝2，E ，F 分别为棱AD ，CC 1的中点，则直线EF 被球O 截得的线段长为________．[解析]设EF与球面交于M，N两点，因为AB＝2，E，F分别为棱AD，CC1的中点，所以EF＝6，OE＝OF＝2，取EF中点O′，则O′F＝62，所以OO′＝(2)2－⎝⎛⎭⎪⎫622＝22.由球O为正方体ABCD－A1B1C1D1的内切球，可得ON＝1，由勾股定理得O′N＝2 2，故MN＝ 2.所以直线EF被球O截得的线段长为 2.[答案] 214．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD＝2，P A＝PC＝22，若在这个四棱锥内放一个球，则此球的最大半径是__________．[解析]由已知得，△P AD，△PDC，△P AB，△PBC都是直角三角形．设内切球的球心为O，半径为R，连接OA，OB，OC，OD，OP ，易知V P －ABCD ＝V O －ABCD ＋V O －P AD ＋V O －P AB ＋V O －PBC ＋V O －PCD ，即13×22×2＝13×22×R ＋13×12×22×R ＋13×12×22×2×R ＋13×12×22×2×R ＋13×12×22×R ，解得R ＝2－2，所以此球的最大半径是2－2.[答案] 2－ 215．如图，在直三棱柱ABC －A ′B ′C ′中，△ABC 为等边三角形，AA ′⊥平面ABC ，AB ＝3，AA ′＝4，M 为AA ′的中点，P 是BC 上一点，且由P 沿棱柱侧面经过棱CC ′到M 的最短路线长为29，设这条最短路线与CC ′的交点为N ，求：(1)该三棱柱的侧面展开图的对角线长； (2)PC 与NC 的长； (3)三棱锥C －MNP 的体积．[解] (1)该三棱柱的侧面展开图为一边长分别为4和9的矩形，故对角线长为42＋92＝97.(2)将该三棱柱的侧面沿棱BB ′展开，如下图，设PC ＝x ，则MP 2＝MA 2＋(AC ＋x )2.∵MP ＝29，MA ＝2，AC ＝3，∴x ＝2，即PC ＝2.又∵NC ∥AM ，故PC P A ＝NC AM ，即25＝NC 2.∴NC ＝45.(3)S △PCN ＝12×CP ×CN ＝12×2×45＝45.在三棱锥M －PCN 中，M 到面PCN 的距离，即h ＝32×3＝332.∴V C －MNP ＝V M －PCN ＝13·h ·S △PCN ＝13×332×45＝235.16．(2017·全国卷Ⅲ)如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，AD ＝CD .(1)证明：AC ⊥BD ；(2)已知△ADC 是正三角形，AB ＝BD ，若E 为棱BD 上与D 不重合的点，且AE ⊥EC ，求四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积比．[解] (1)证明：取AC 的中点O ，连接BO 、DO ，如图所示．因为AD ＝CD ，所以AC ⊥DO .又由于△ABC 是正三角形，所以AC ⊥BO .从而AC ⊥平面DOB ，故AC ⊥BD .(2)连接EO .由(1)及题设知，∠ADC ＝90°，所以DO ＝AO .在Rt △AOB 中，BO 2＋AO 2＝AB 2.又AB ＝BD ，所以BO 2＋DO 2＝BO 2＋AO 2＝AB 2＝BD 2，故∠DOB ＝90°.由题设知△AEC 为直角三角形，所以EO ＝12AC .又△ABC 是正三角形，且AB ＝BD ，所以EO ＝12BD .故E 为BD 的中点，从而E 到平面ABC 的距离为D 到平面ABC的距离的12，四面体ABCE 的体积为四面体ABCD 的体积的12，即四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积之比为1∶1.[延伸拓展](2017·安徽蚌埠一模)如图所示，用一边长为2的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将表面积为4π的鸡蛋(视为球体)放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋中心(球心)与蛋巢底面的距离为( )A.22＋12B.62＋12C.32D.32＋12[解析] 蛋巢的底面是边长为1的正方形，所以过四个顶点截鸡蛋所得的截面圆的直径为1.因为鸡蛋的表面积为4π，所以球的半径为1，所以球心到截面的距离d ＝1－14＝32，而截面到底面的距离即为三角形的高12，所以球心到底面的距离为32＋12.[答案] D合理分配高考数学答题时间找准目标，惜时高效——合理分配高考数学答题时间经过漫长的第一、第二轮复习，对于各知识点的演练同学们已经烂熟于心，我们把这称为战术上的纯熟。

课时规范练46 圆的方程基础巩固组1.(2018河北涞水月考,5)圆x2+y2-(4m+2)x-2my+4m2+4m+1=0的圆心在直线x+y-4=0上,则圆的面积为()A.9πB.πC.2πD.由m的值而定2.已知点A(-4,-5),B(6,-1),则以线段AB为直径的圆的方程为()A.(x+1)2+(y-3)2=29B.(x-1)2+(y+3)2=29C.(x+1)2+(y-3)2=116D.(x-1)2+(y+3)2=1163.(2018四川阆中中学期中,4)若点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4的内部,则a的取值范围是()A.-1<a<1B.0<a<1C.a<-1或a>1D.a=±14.(2018贵州凯里期末,6)设圆x2+y2-4x+4y+7=0上的动点P到直线x+y-4=0的距离为d,则d的取值范围是()A.[0,3]B.[2,4]C.[3,5]D.[4,6]5.(2018甘肃兰州诊断,7)半径为2的圆C的圆心在第四象限,且与直线x=0和x+y=2均相切,则该圆的标准方程为()A.(x-1)2+(y+2)2=4B.(x-2)2+(y+2)2=2C.(x-2)2+(y+2)2=4D.(x-2)2+(y+2)2=46.已知直线l:x+my+4=0,若曲线x2+y2+2x-6y+1=0上存在两点P,Q关于直线l对称,则m的值为()A.2B.-2C.1D.-17.在平面直角坐标系xOy中,以点(1,0)为圆心且与直线mx-y-2m-1=0(m∈R)相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为.8.若直线l:2ax-by+2=0(a>0,b>0)与x轴相交于点A,与y轴相交于点B,被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4,则|OA|+|OB|(O为坐标原点)的最小值为.9.已知等腰三角形ABC,其中顶点A的坐标为(0,0),底边的一个端点B的坐标为(1,1),则另一个端点C的轨迹方程为.10.已知圆M与y轴相切,圆心在直线y=x上,并且在x轴上截得的弦长为2,则圆M的标准方程为.综合提升组11.设点M(x0,1),若在圆O:x2+y2=1上存在点N,使得∠OMN=45°,则x0的取值范围是()A.[-1,1]B.-C.[-]D.-12.已知点P在圆x2+y2=1上,点A的坐标为(-2,0),O为原点,则的最大值为.13.已知M为圆C:x2+y2-4x-14y+45=0上任意一点,且点Q(-2,3).(1)求|MQ|的最大值和最小值;(2)若M(m,n),求的最大值和最小值.14.已知圆C:x2+y2+2x-4y+3=0.(1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等,求此切线的方程;(2)从圆C外一点P(x1,y1)向该圆引一条切线,切点为M,O为坐标原点,且有|PM|=|PO|,求使|PM|取得最小值时点P的坐标.创新应用组15.(2018安徽定远重点中学月考,16)如图所示,边长为1的正方形PABC沿x轴滚动,点B恰好经过原点.设顶点P(x,y)的轨迹方程是y=f(x),则对函数y=f(x)有下列判断:①若-2≤x≤2,则函数y=f(x)是偶函数;②对任意的x∈R,都有f(x+2)=f(x-2);③函数y=f(x)在区间[2,3]上单调递减;④函数y=f(x)在区间[4,6]上是减函数.其中判断正确的序号是.(写出所有正确结论的序号)16.已知平面区域恰好被面积最小的圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2及其内部所覆盖,则圆C的方程为.参考答案课时规范练46 圆的方程1.B∵圆的方程是x2+y2-(4m+2)x-2my+4m2+4m+1=0,∴圆心坐标是(2m+1,m),∵圆心在直线x+y-4=0上,∴2m+1+m-4=0,解得m=1,∴圆的方程是x2+y2-6x-2y+9=0,即(x-3)2+(y-1)2=1,∴半径r=1,圆的面积S=πr2=π,故选B.2.B由题意知以线段AB为直径的圆的圆心为点,,即(1,-3),其半径为=,故以线段AB为直径的圆的方程是(x-1)2+(y+3)2=29.故选B.3.A∵点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4的内部,∴(1-a)2+(1+a)2<4,解得-1<a<1.故选A.4.C由题得圆的标准方程为(x-2)2+(y+2)2=1,所以圆心坐标为(2,-2),半径为1.所以圆心到已知直线的距离为=4,所以动点P到已知直线的最短距离为4-1=3,最大距离为4+1=5,故选C.5.C设圆心坐标为(2,-a)(a>0),则圆心到直线x+y=2的距离d==2,所以a=2,所以圆C的标准方程为(x-2)2+(y+2)2=4.6.D曲线x2+y2+2x-6y+1=0是圆(x+1)2+(y-3)2=9,若圆(x+1)2+(y-3)2=9上存在两点P,Q关于直线l 对称,则直线l:x+my+4=0过圆心(-1,3),所以-1+3m+4=0,解得m=-1,故选D.7.(x-1)2+y2=2由mx-y-2m-1=0,可得m(x-2)=y+1,由m∈R知该直线过定点(2,-1),从而点(1,0)与直线mx-y-2m-1=0的距离的最大值为=.故所求圆的标准方程为(x-1)2+y2=2.8.3+2由题意可得圆的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=4,其圆心为(-1,2),半径为2,而直线l被圆截得的弦长为4,所以直线过圆心,所以a+b=1,又A-,0,B0, ,所以|OA|+|OB|=+=+(a+b)≥=3+2,当且仅当b=a时等号成立.9.x2+y2=2(除去点(1,1)和点(-1,-1))设C(x,y),根据在等腰三角形中|AB|=|AC|,可得(x-0)2+(y-0)2=(1-0)2+(1-0)2,即x2+y2=2.考虑到A,B,C三点要构成三角形,因此点C不能为(1,1)和(-1,-1).所以点C的轨迹方程为x2+y2=2(除去点(1,1)和点(-1,-1)).10.(x-2)2+(y-1)2=4或(x+2)2+(y+1)2=4设圆M的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,由题意可得解得或所以圆M的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=4或(x+2)2+(y+1)2=4.11.A如图所示,设点A(0,1)关于直线OM的对称点为P,则点P在圆O上,且MP与圆O相切,而点M在直线y=1上运动,圆上存在点N使∠OMN=45°,则∠OMN≤∠OMP=∠OMA,∴∠OMA≥45°,∴∠AOM≤45°.当∠AOM=45°时,x0=±1.∴结合图像知,当∠AOM≤45°时,-1≤x0≤1,∴x0的取值范围为[-1,1].12.6方法1:设P(cos α,sin α),α∈R,则=(2,0),=(cos α+2,sin α),·=2cos α+4.当α=2kπ,k∈Z时,2cos α+4取得最大值,最大值为6.故·的最大值为6.方法2:设P(x,y),x2+y2=1,-1≤x≤1,=(2,0),=(x+2,y),·=2x+4,故·的最大值为6.13.解 (1)由圆C:x2+y2-4x-14y+45=0,可得(x-2)2+(y-7)2=8,所以圆心C的坐标为(2,7),半径r=2.又|QC|==4>2,所以点Q在圆C外,所以|MQ|max=4+2=6,|MQ|min=4-2=2.(2)由题意可知表示直线MQ的斜率,设直线MQ的方程为y-3=k(x+2),即kx-y+2k+3=0,则=k.因为直线MQ与圆C有交点,所以≤2,所以2-≤k≤2+,所以的最大值为2+,最小值为2-.14.解 (1)将圆C的方程配方,得(x+1)2+(y-2)2=2.①当切线在两坐标轴上的截距为零时,设切线方程为y=kx,由=,得k=2±,∴切线方程为y=(2±)x.②当切线在两坐标轴上的截距不为零时,设切线方程为x+y-a=0(a≠0),由=,得|a-1|=2,即a=-1或a=3.∴切线方程为x+y+1=0或x+y-3=0.综上,圆的切线方程为y=(2+)x或y=(2-)x或x+y+1=0或x+y-3=0.(2)由|PO|=|PM|,得+=(x1+1)2+(y1-2)2-2,整理得2x1-4y1+3=0,即点P在直线l:2x-4y+3=0上.当|PM|取最小值时,|PO|取最小值,此时直线PO⊥l,∴直线PO的方程为2x+y=0.解方程组得点P的坐标为-,.15.①②④当-2≤x≤-1,点P的轨迹是以A为圆心,半径为1的圆,当-1≤x≤1时,点P的轨迹是以B为圆心,半径为的圆,当1≤x≤2时,点P的轨迹是以C为圆心,半径为1的圆,当3≤x≤4时,点P的轨迹是以A为圆心,半径为1的圆,∴函数y=f(x)的周期是4.画出函数y=f(x)的部分图像如图所示.①根据图像的对称性可知函数y=f(x)是偶函数,∴①正确.②由图像可知函数的周期是4.∴②正确.③函数y=f(x)在区间[2,3]上单调递增,∴③错误.④函数y=f(x)在区间[4,6]上是减函数,∴④正确.故答案为①②④.16.(x-2)2+(y-1)2=5由题意知,此平面区域表示的是以O(0,0),P(4,0),Q(0,2)所构成的三角形及其内部,所以覆盖它且面积最小的圆是其外接圆.因为△OPQ为直角三角形,所以圆心为斜边PQ的中点(2,1),半径r==,所以圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.。