2015-2016学年浙江省杭州市上城区源清中学高一(上)期末数学试卷及答案

XXX2015-2016学年高一上学期期末考试数学试卷 Word版含答案XXX2015-2016学年度第一学期期末考试高一数学一、选择题：本大题共8小题，共40分。

1.设全集 $U=\{1,2,3,4,5,6\}$，集合 $M=\{1,4\}$，$N=\{1,3,5\}$，则 $N\cap (U-M)=()$A。

$\{1\}$ B。

$\{3,5\}$ C。

$\{1,3,4,5\}$ D。

$\{1,2,3,5,6\}$2.已知平面直角坐标系内的点 $A(1,1)$，$B(2,4)$，$C(-1,3)$，则 $AB-AC=()$A。

$22$ B。

$10$ C。

$8$ D。

$4$3.已知 $\sin\alpha+\cos\alpha=-\frac{1}{\sqrt{10}}$，$\alpha\in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$，则 $\tan\alpha$ 的值是（）A。

$-\frac{3}{4}$ B。

$-\frac{4}{3}$ C。

$\frac{3}{4}$ D。

$\frac{4}{3}$4.已知函数 $f(x)=\sin(\omega x+\frac{\pi}{4})$（$x\inR,\omega>0$）的最小正周期为 $\pi$，为了得到函数$g(x)=\cos\omega x$ 的图象，只要将 $y=f(x)$ 的图象（）：A.向左平移 $\frac{\pi}{4}$ 个单位长度B.向右平移$\frac{\pi}{4}$ 个单位长度C.向左平移 $\frac{\pi}{2}$ 个单位长度D.向右平移$\frac{\pi}{2}$ 个单位长度5.已知 $a$ 与 $b$ 是非零向量且满足 $3a-b\perp a$，$4a-b\perp b$，则 $a$ 与 $b$ 的夹角是（）A。

$\frac{\pi}{4}$ B。

$\frac{\pi}{3}$ C。

2015-2016学年浙江省杭州二中高一上学期期末考试 数学试卷本试卷分为第Ⅰ卷（选择题和填空题）和第Ⅱ卷（答题卷）两部分,满分100 分,考试时间 100分钟一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{},A a b =，则满足{},,A B a b c ⋃=的集合B 的个数是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．92．函数()2312x f x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点所在区间为（ ）A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)3．已知O 为坐标原点，向量()1,3OA = ,()3,1OB =- ,且2AP PB =,则点P 的坐标为（ ）A ．()2,4-B ．24()33-，C ．71()33，D ．()2,4- 4．若当x R ∈时,函数()xf x a =始终满足0()1f x <≤,则函数1log ay x=的图象大致为（ ）5．已知函数()()2sin1log 3f x x ax a =-+在[)2,+∞单调递减，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(],4-∞B ．[)4,+∞C ．[]4,4- D ．(]4,4- 6．Z k ∈时，sin()cos()sin[(1)]cos[(1)]k k k k παπαπαπα-⋅+++⋅++的值为（ ）A ．－1B ．1C ．±1D ．与α取值有关7．曲线sin (0,0)y A x a A ωω=+>>在区间2[0,]πω上截直线2y =及1y =-所得的弦长相等且不为0，则下列对,A a 的描述正确的是（ ） A ．13,22a A => B ．13,22a A =≤ C ．1,1a A =≥ D ．1,1a A =≤ 8．己知函数233()(1)(log )6(log )1f x x a a x x =--++在[0,1]x ∈内恒为正值，则a 的取值范围是（ ） A ．113a -<<B ．13a < C．a > D．13a <<9．已知函数()y f x =的图像是由sin 2y x =向右平移12π得到，则下列结论正确的是（ ）A ．()()()024f f f <<B ．()()()204f f f <<10． 若[]0,απ∈，,44ππβ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，R λ∈，且3cos 202πααλ⎛⎫---= ⎪⎝⎭则cos 2αβ⎛⎫+⎪⎝⎭的值为 （ ） A ．0B ．12C．2D二、填空题:本大题共6小题，每小题4分，共24分．11．已知幂函数()f x k x α=⋅的图象过点1(,2)2，则k α+=_______．12．已知弧长为2cm π的弧所对的圆心角为4π，则这条弧所在的扇形面积为_______2cm ． 13．已知02x π<<,sin cos 4x x π-=．若1tan tan x x +可表示成ca b π-的形式（,,a b c 为正整数），则a b c ++=_____________．14．下列命题：π；(2)函数2tan x y =的图象的对称中心是Z k k ∈),0,(π；(3)()tan sin f x x x =-在（2,2ππ－）上有3个零点；（4）若//,//a b b c ,则//a c ．其中错误．．的是_____________．15．在锐角ABC ∆中，2AC BC ==，CO xCA yCB =+ （其中1x y +=），函数()||f CA CB λλ=-的||CO的最小值为___________．16．已知函数()211,0,2213,,12x x f x x x ⎧⎡⎫+∈⎪⎪⎢⎪⎣⎭=⎨⎡⎤⎪∈⎢⎥⎪⎣⎦⎩，若存在12x x <，使得12()()f x f x =，则12()x f x ⋅的取值范围为____________．杭州二中2015学年第一学期高一年级期终考试数学答题卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四项中，只有一项是符合题目要求的．二、填空题:本大题共6小题，每小题4分，共24分．11．_____ ______12．___________ 13．___________14．___________ 15．___________ 16．___________三、解答题：本大题共4小题．共46分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）已知集合{}|3327xA x =≤≤，2{|log 1}B x x =<． （1）分别求A B ⋂，A B ⋃；（2）已知集合{}|1C x x a =<<，若A C ⊆，求实数a 的取值范围．18．（本题满分12分）已知点()()11,A x f x ,()()22,B x f x 是函数()()2sin f x x ωϕ=+(0,0)2πωϕ>-<<图象上的任意两点,且角ϕ的终边经过点(1,P ,若12()()4f x f x -=时,12x x -的最小值为3π．(1）求函数()f x 的解析式；(2) 若方程[]23()()0f x f x m -+=,求实数m 的取值范围．19．(本题满分10分）设G 为ABC ∆的重心，过G 作直线l 分别交线段,AB AC (不与端点重合)于Q P ,．若,A P A B A Q A C λμ== ．(1) 求11λμ+的值；(2) 求λμ⋅的取值范围．20．（本题满分14分）已知函数()22f x x x a =--． （1）若函数()y f x =为偶函数，求a 的值； （2）若12a =，求函数()y f x =的单调递增区间； （3）当0a >时，若对任意的[0,)x ∈+∞，不等式()()12f x f x -≤恒成立，求实数a 的取值范围．杭州二中2015学年第一学期高一年级期末考试数学答案二、填空题:本大题共6小题，每小题4分，共24分．11． 0 12．2π 13． 50 14． （1）（3）（4） 1516．31162⎡⎫⎪⎢⎣⎭， 三、解答题：本大题共4小题．共46分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）解：（1）3327x ≤≤ 即13333x ≤≤，13x ∴≤≤，∴{}31≤≤=x x A ，，{}|12A B x x ∴⋂=≤<,{|03}A B x x ⋃=<≤（2）由（1）知{}31≤≤=x x A ，当A C ⊆当C 为空集时，1a ≤当C 为非空集合时，可得 31≤<a 综上所述3a ≤18．（本题满分12分） 解：（1）角ϕ的终边经过点(1,P，tan ϕ=02πϕ-<< ，3πϕ∴=-．由12()()4f x f x -=时,||21x x -的最小值为3π，得23T π=，即223ππω=，3ω∴=．∴()2sin(3)3f x x π=- (2()f x t =，问题等价于方程230t t m -+=在（0，2）仅有一根或有两个相等的根．∵-m = 3t 2 -t ，t ∈(0, 2)． 作出曲线C ：y = 3t 2 -t ，t ∈(0, 2)与直线l ：y = -m 的图象．∵t =16时，y =112-；t = 0时，y = 0；t = 2时，y = 10．∴当 -m =1或0≤-m <10时，直线l 与曲线C 有且只有一个公共点．∴m 的取值范围是：100m -<≤或112m =19．(本题满分10分）解：(Ⅰ)连结AG 并延长交BC 于M,则M 是BC 的中点，设c AC b AB ==,，则)(21)(21AM +=+=， )(3132+== ① 又,AP AB b AQ AC c λλμμ===⋅=⋅， ② u λ-=-=∴，31)31()(31+-=-+=-=λλQ G P ,, 三点共线，故存在实数t ，使t =，11()33b c t c t b λμλ∴-+=- 1313t t λλμ⎧-=-⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩，消t 得：13λλμ-=-，即 113λμ+=或者另一种解法由②式得1,b AP λ=1c AQ μ=， ③ 将③代入①得1133AG AP AQλμ=+．Q G P ,, 三点共线，故11133λμ+=,即 113λμ+=．(Ⅱ)其中231=λ时，λλ312+-有最大值49，211或=λ时，λλ312+-有最小值2， 于是λμ⋅的取值范围是20．（本题满分14分）解：（1）任取x R ∈，则有()()f x f x -=恒成立，即22()2||2||x x a x x a ----=--恒成立（2）当12a =时，222121()12()2||1221()2x x x f x x x x x x ⎧-+≥⎪⎪=--=⎨⎪+-<⎪⎩ 由函数的图像可知，函数的单调递增区间为11,,[1,)2⎛⎤-+∞ ⎥⎝⎦。

2023-2024学年浙江省杭州市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A ＝{x ∈Z |x （x ﹣3）＜0}，B ＝{﹣1，2，3}，则A ∩B ＝（ ） A ．{2}B ．{2，3}C ．{﹣1，1，2，3}D ．∅2．若a ，b ∈R ，则“ab ＞2”是“a ＞√2且b ＞√2”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．函数f(x)=lnx +1x−1的定义域为（ ） A ．（0，+∞）B ．（1，+∞）C ．（0，1）∪（1，+∞）D ．（﹣∞，1）∪（1，+∞）4．要得到函数y ＝2sin2x 的图象，只要将函数y ＝2sin （2x +1）的图象（ ） A ．向左平移1个单位 B ．向右平移1个单位C ．向左平移12个单位D ．向右平移12个单位5．若函数f(x)={2x −3，x ＞0g(x)，x ＜0是奇函数，则g （﹣2）＝（ ）A ．1B ．﹣1C ．−114D ．1146．若sinθ+cosθ=√105(0＜θ＜π)，则tan θ+2sin θcos θ的值为（ ） A ．−3310B ．−185C ．−95D ．1257．已知a ＞1，b ＞0，且a +1b =2，则4a−1+b 的最小值为（ ） A ．4B ．6C ．8D ．98．已知函数f(x)=√x +2+1ax+1(a ∈R)，若对于定义域内任意一个自变量x 都有f （x ）＞0，则a 的最大值为（ ） A ．0B ．12C ．1D ．2二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的或不选的得0分. 9．下列各式的值为12的是（ ）A ．sin （﹣930°）B ．2sinπ12sin 5π12C ．cos33°cos27°+sin33°sin27°D ．tan22.5°1−tan 222.5°10．下列函数的值域为R 且在定义域上单调递增的函数是（ ） A ．f （x ）＝（x ﹣1）3 B ．f （x ）＝2023xC ．f （x ）＝log 2023xD ．f(x)={−1x ，x ≠00，x =011．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设x ∈R ，用[x ]表示不超过x 的最大整数，则y ＝[x ]称为高斯函数，也叫取整函数，则下列叙述正确的是（ ） A ．[cos π4]=0B ．函数y ＝cos x ﹣[cos x ]有3个零点C ．y ＝[cos x ]的最小正周期为2πD ．y ＝[cos x ]的值域为{﹣1，0，1}12．已知函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞0）在区间(π6，2π3)上单调递增，则下列判断中正确的是（ ）A ．ω的最大值为2B ．若φ=−π6，则ω∈（0，1]C ．若f(5π12)＞0，则f(π6)+f(2π3)＜0 D ．若函数y =f(x)−√32两个零点间的最小距离为π6，则ω＝2 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13．log 135−log 1345+432的值为．14．已知函数f （x ）的定义域为R ，且满足f （x ）+f （﹣x ）＝0，f （x +1）﹣f （﹣x ）＝0，则f （x ）可以是 ．（写出一个即可）15．已知sin(α+π4)=35，0＜α＜π，则cos(2α+π4)的值为 ．16．已知下列五个函数：y ＝x ，y =1x，y ＝x 2，y ＝lnx ，y ＝e x ，从中选出两个函数分别记为f （x ）和g （x ），若F （x ）＝f （x ）+g （x ）的图象如图所示，则F （x ）＝ ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）已知集合A ={x|y =√−2x 2+x +1}，集合B ＝{x |（x +a ﹣1）（x ﹣2a ）≥0，a ∈R }． （1）当a ＝1时，求∁R （A ∪B ）； （2）若A ∩B ＝A ，求实数a 的值．18．（12分）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，角α和角β(0＜α＜π2＜β＜2π3)的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于点A 、B 两点，点A 的横坐标为35，点C 与点B 关于x 轴对称．（1）求cos(2α−π2)sin 2α+cos2α的值；（2）若cos ∠AOC =−6365，求cos β的值．19．（12分）已知函数f(x)=a x −1a x +a−1(a ∈R ，且a ≠1)是定义在R 上的奇函数．（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）若关于t 方程f （t 2﹣2t ）+f （4﹣kt ）＝0在[1，3]有且仅有一个根，求实数k 的取值范围． 20．（12分）设函数f(x)=2sin(x −π3)，g(x)=f(x −π6)⋅f(x +π6)．（Ⅰ）求函数f （x ）的对称中心；（Ⅱ）若函数g （x ）在区间[0，m ]上有最小值﹣1，求实数m 的最小值．21．（12分）为了进一步增强市场竞争力，某公司计划在2024年利用新技术生产某款运动手表．经过市场调研，生产此款运动手表全年需投入固定成本100万，每生产x （单位：千只）手表，需另投入可变成本R （x ）万元，且R(x)={2x 2+80x +200，0＜x ＜50201x +6400x −5200，x ≥50．由市场调研知，每部手机售价0.2万元，且全年生产的手机当年能全部销售完．（利润＝销售额﹣固定成本﹣可变成本）（1）求2024年的利润W （x ）（单位：万元）关于年产量x （单位：千只）的函数关系式． （2）2024年的年产量为多少（单位：千只）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？22．（12分）已知函数f(x)=|x −3x+2|+m ．（1）若函数y ＝f （x ）有4个零点x 1，x 2，x 3，x 4（x 1＜x 2＜x 3＜x 4），求证：x 1x 2x 3x 4＝9；（2）是否存在非零实数m ，使得函数f （x ）在区间[a ，b ]（0＜a ＜b ）上的取值范围为[2m a ，2mb]？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．2023-2024学年浙江省杭州市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A ＝{x ∈Z |x （x ﹣3）＜0}，B ＝{﹣1，2，3}，则A ∩B ＝（ ） A ．{2}B ．{2，3}C ．{﹣1，1，2，3}D ．∅解：集合A ＝{x ∈Z |x （x ﹣3）＜0}＝{x ∈Z |0＜x ＜3}＝{1，2}，B ＝{﹣1，2，3}，则A ∩B ＝{2}． 故选：A ．2．若a ，b ∈R ，则“ab ＞2”是“a ＞√2且b ＞√2”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解：当ab ＞2时，可能a 、b 都小于−√2，不能推出“a ＞√2且b ＞√2”，充分性不成立； 当a ＞√2且b ＞√2时，必定可以得到ab ＞2，充要性成立． 故选：B ． 3．函数f(x)=lnx +1x−1的定义域为（ ） A ．（0，+∞）B ．（1，+∞）C ．（0，1）∪（1，+∞）D ．（﹣∞，1）∪（1，+∞）解：由函数f(x)=lnx +1x−1，可得x ＞0，且x ≠1， 故函数的定义域为{x |x ＞0，且x ≠1}，即（0，1）∪（1，+∞）． 故选：C ．4．要得到函数y ＝2sin2x 的图象，只要将函数y ＝2sin （2x +1）的图象（ ） A ．向左平移1个单位 B ．向右平移1个单位C ．向左平移12个单位D ．向右平移12个单位解：将函数y ＝2sin （2x +1）的图象向右平移12个单位，可得y ＝2sin2x 的图象，故选：D ．5．若函数f(x)={2x −3，x ＞0g(x)，x ＜0是奇函数，则g （﹣2）＝（ ）A ．1B ．﹣1C ．−114D ．114解：当x ＜0时，f （﹣x ）＞0，则f（﹣x）＝2﹣x﹣3，则﹣f（x）＝2﹣x﹣3，故f（x）＝3﹣2﹣x，所以g（x）＝f（x）＝3﹣2﹣x，故g（﹣2）＝3﹣22＝﹣1．故选：B．6．若sinθ+cosθ=√105(0＜θ＜π)，则tanθ+2sinθcosθ的值为（）A．−3310B．−185C．−95D．125解：由sinθ+cosθ=√105（0＜θ＜π），可得θ为钝角，且|sinθ|＞cosθ，故tanθ＜﹣1，把条件平方可得sinθcosθ=−3 10，∴sinθcosθsin2θ+cos2θ=−310，tanθtan2θ+1=−310，即得tanθ＝﹣3，所有tanθ+2sinθcosθ＝﹣3−35=−185．故选：B．7．已知a＞1，b＞0，且a+1b =2，则4a−1+b的最小值为（）A．4B．6C．8D．9解：由a+1b=2，得(a−1)+1b=1，其中a﹣1＞0，b＞0．所以4a−1+b=[(a−1)+1b](4a−1+b)=5+4b(a−1)+b(a−1)≥5+2√4=9，当且仅当b（a﹣1）＝2，即a=53，b=3时，等号成立．综上所述，4a−1+b的最小值为9．故选：D．8．已知函数f(x)=√x+2+1ax+1(a∈R)，若对于定义域内任意一个自变量x都有f（x）＞0，则a的最大值为（）A．0B．12C．1D．2解：若a＝0，则f（x）=√x+2+1＞0恒成立，符合题意；若a＞0，①当1a=−2，即a=12时，f（x）=√2+x+2x+2，定义域为{x|x＞﹣2}，此时f（x）＞0显然成立，符合题意；②当−1a ＜−2，即0＜a ＜12时，定义域为[﹣2，+∞），则ax +1≥﹣2a +1＞0，此时f （x ）＞0恒成立，符合题意； ③当−1a ＞−2，即a ＞12时，定义域为{x |x ≥﹣2且x ≠−1a }，则取x ＝﹣t −1a ，则f （﹣t −1a ）=√−1a −t +2−1at，令0＜t ≤2−1a ，当t →0时，−1at →﹣∞，f （﹣t −1a ）=√−1a −t +2−1at 可以取得负值，不符合题意；若a ＜0，则函数定义域为{x |x ≥﹣2且x ≠−1a }，令x =−1a +t ，则f （−1a +t ）=√−1a +t +2+1at，当t ＞0且t →0时，1at→﹣∞，f （−1a +t ）=√−1a +t +2+1at 可以取得负值，不符合题意，综上，0＜a ≤12，即a 的最大值为12．故选：B ．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的或不选的得0分. 9．下列各式的值为12的是（ ）A ．sin （﹣930°）B ．2sinπ12sin 5π12C ．cos33°cos27°+sin33°sin27°D ．tan22.5°1−tan 222.5°解：对于A ：sin(−930°)=−sin(720°+210°)=sin30°=12，故A 正确；对于B ：2sinπ12sin 5π12=2sin π12sin(π2−π12)=2sin π12cos π12=sin π6=12，故B 正确； 对于C ：cos33°cos27°+sin33°sin27°＝cos （33°﹣27°）＝cos6°，故C 错误； 对于D ：tan22.5°1−tan 222.5°=12×2tan22.5°1−tan 222.5°=12tan45°=12，故D 正确． 故选：ABD ．10．下列函数的值域为R 且在定义域上单调递增的函数是（ ） A ．f （x ）＝（x ﹣1）3 B ．f （x ）＝2023xC ．f （x ）＝log 2023xD ．f(x)={−1x ，x ≠00，x =0解：根据幂函数的性质及函数图象的平移可知，f （x ）＝（x ﹣1）3在R 上单调递增且f （x ）的值域为R ，A 符合题意；根据指数函数的性质可知，f （x ）＝2023x 的值域为（0，+∞），不符合题意；根据对数函数的性质可知，f （x ）＝log 2023x 在（0，+∞）上单调递增且值域为R ，符合题意； f （x ）={−1x ，x ≠00，x =0在R 上不单调，不符合题意．故选：AC ．11．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设x ∈R ，用[x ]表示不超过x 的最大整数，则y ＝[x ]称为高斯函数，也叫取整函数，则下列叙述正确的是（ ） A ．[cos π4]=0B ．函数y ＝cos x ﹣[cos x ]有3个零点C ．y ＝[cos x ]的最小正周期为2πD ．y ＝[cos x ]的值域为{﹣1，0，1}解：根据题意，依次分析选项：对于A ，[cos π4]＝[√22]＝0，A 正确；对于B ，当x ＝k π+π2，k ∈Z 时，cos x ＝0时，有cos x ﹣[cos x ]＝0，即x ＝k π+π2，k ∈Z 是函数y ＝cos x ﹣[cos x ]的零点，同理：x ＝k π，k ∈Z 也是函数y ＝cos x ﹣[cos x ]的零点， 故函数y ＝cos x ﹣[cos x ]的零点有无数个，B 错误；对于C ，在区间[0，2π）上，y ＝[cos x ]={ 1，x =00，0＜x ≤π2−1，π2＜x ＜3π20，32≤x ＜2π，易得y ＝[cos x ]的最小正周期为2π，C 正确； 对于D ，由C 的结论，y ＝[cos x ]的值域为{﹣1，0，1}，D 正确． 故选：ACD ．12．已知函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞0）在区间(π6，2π3)上单调递增，则下列判断中正确的是（ ）A ．ω的最大值为2B ．若φ=−π6，则ω∈（0，1]C ．若f(5π12)＞0，则f(π6)+f(2π3)＜0 D ．若函数y =f(x)−√32两个零点间的最小距离为π6，则ω＝2 解：由于函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞0）在区间(π6，2π3)上单调递增，故有T 2=πω≥2π3−π6=π2，求得ω≤2，可得ω的最大值为2，故A 正确；若φ=−π6，由于ωx +φ∈（ωπ6−π6，2ωπ3−π6），则2ωπ3+φ=2ωπ3−π6≤π2，求得ω≤1，故ω∈（0，1]，故B 正确； 由于π6+2π32=5π12∈(π6，2π3)，故当f(5π12)＞0时，f(π6)+f(2π3)＞0，C 错误；令y =f(x)−√32=0，得f （x ）=√32，设y ＝f （x ）与y =√32距离最近的两交点的横坐标分别为x 1，x 2，依题意，得[|ωx 1+φ﹣（ωx 2+φ）|]min =2π3−π3=π3，即ω|x 1﹣x 2|min =π3， 因为函数y =f(x)−√32两个零点间的最小距离为π6，即|x 1﹣x 2|min =π6， 所以ω＝2，D 正确． 故选：ABD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13．log 135−log 1345+432的值为10 ．解：原式＝lo g 1319+23＝2+8＝10．故答案为：10．14．已知函数f （x ）的定义域为R ，且满足f （x ）+f （﹣x ）＝0，f （x +1）﹣f （﹣x ）＝0，则f （x ）可以是 f （x ）＝sin （πx ）（答案不唯一） ．（写出一个即可） 解：因为函数f （x ）的定义域为R ，且f （x ）+f （﹣x ）＝0，即f （﹣x ）＝﹣f （x ）， 所以f （x ）是R 上的奇函数， 又因为f （x +1）﹣f （﹣x ）＝0， 所以f （x +1）＝f （﹣x ）＝﹣f （x ）， 所以f （x +2）＝﹣f （x +1）＝f （x ）， 所以f （x ）的周期为2，所以f （x ）的解析式可以是f （x ）＝sin （πx ）． 故答案为：f （x ）＝sin （πx ）（答案不唯一）．15．已知sin(α+π4)=35，0＜α＜π，则cos(2α+π4)的值为 −17√250．解：由于0＜α＜π，故α+π4∈(π4，5π4)，由于sin π4=√22＞sin(α+π4)=35，故α+π4∈(3π4，π)，所以α的终边不可能在第一象限内，只能在第二象限内，故cos(α+π4)=−45，所以sinα＝sin[（α+π4）−π4]=sin(α+π4)cosπ4−cos(α+π4)sinπ4=35×√22+45×√22=7√210，由于α的终边在第二象限内，故cosα=−√1−sin2α=−√210，所以cos(2α+π4)=cos[α+(α+π4)]=cosαcos(α+π4)−sinαsin(α+π4)=√210×45−35×7√210=−17√250．故答案为：−17√2 50．16．已知下列五个函数：y＝x，y=1x，y＝x2，y＝lnx，y＝e x，从中选出两个函数分别记为f（x）和g（x），若F（x）＝f（x）+g（x）的图象如图所示，则F（x）＝x2+1x．解：根据题意，由函数F（x）的定义域为{x|x≠0}，则f（x）、g（x）中一定没有y＝lnx，一定有函数y=1 x ，设f（x）=1 x ，当g（x）＝x时，F（x）＝x+1x，F（x）为奇函数，不符合题意，当g（x）＝e x时，F（x）＝e x+1x，当x→﹣∞时，F（x）＜0，不符合题意；当g（x）＝x2时，F（x）＝x2+1x，当x＜﹣1时，F（x）=x3+1x＜0，当x＜﹣1时，F（x）＞0，当﹣1＜x＜0时，F（x）＜0，当x＞0时，F（x）＞0，符合题意；故F（x）＝x2+1 x ．故答案为：x2+1 x ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）已知集合A={x|y=√−2x2+x+1}，集合B＝{x|（x+a﹣1）（x﹣2a）≥0，a∈R}．（1）当a＝1时，求∁R（A∪B）；（2）若A∩B＝A，求实数a的值．解：（1）由﹣2x2+x+1≥0，可得−12≤x≤1，故A＝{x|−12≤x≤1}，当a＝1时，B＝{x|x≥2或x≤0}，故A ∪B ＝{x |x ≥2或x ≤1}，所以∁R （A ∪B ）＝{x |1＜x ＜2}；（2）若A ∩B ＝A ，则A ⊆B ，因为A ＝{x |−12≤x ≤1}，B ＝{x |（x +a ﹣1）（x ﹣2a ）≥0，a ∈R }． 当2a ＝1﹣a ，即a =13时，B ＝R ，符合题意， 当2a ＞1﹣a ，即a ＞13时，B ＝{x |x ≥2a 或x ≤1﹣a }， 则{a ＞132a ≤−12或{a ＞131−a ≥1，此时a 不存在； 当2a ＜1﹣a ，即a ＜13时，B ＝{x |x ≥1﹣a 或x ≤2a }， 则{a ＜131−a ≤−12或2a ≥1，此时a 不存在，所以a =13． 18．（12分）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，角α和角β(0＜α＜π2＜β＜2π3)的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于点A 、B 两点，点A 的横坐标为35，点C 与点B 关于x 轴对称．（1）求cos(2α−π2)sin 2α+cos2α的值； （2）若cos ∠AOC =−6365，求cos β的值．解：（1）∵A 的横坐标为35，又|OA |＝1，且A 在第一象限， ∴A 的纵坐标为45， ∴cos α=35，sin α=45，∴tan α=sinαcosα=43， ∴cos(2α−π2)sin 2α+cos2α=sin2αsin 2α+cos 2α−sin 2α =2sinαcosαcos 2α=2tan α=83；（2）∵cos ∠AOC =−6365， ∴由图可知sin ∠AOC =√1−cos 2∠AOC =√1−(6365)2=1665， 根据题意可得OC 为α﹣∠AOC 的终边，又点C 与点B 关于x 轴对称，OB 为β的终边，∴cos β＝cos （α﹣∠AOC ）＝cos αcos ∠AOC +sin αsin ∠AOC =35×(−6365)+45×1665=−513． 19．（12分）已知函数f(x)=a x −1a x +a−1(a ∈R ，且a ≠1)是定义在R 上的奇函数． （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）若关于t 方程f （t 2﹣2t ）+f （4﹣kt ）＝0在[1，3]有且仅有一个根，求实数k 的取值范围． 解：（Ⅰ）因为y ＝f （x ）是定义在R 上的奇函数，所以f （﹣1）＝﹣f （1），即a −1−1a −1+a−1=−a−12a−1， 即1a −11a +a−1=−a−12a−1，1−a a 2−a+1=−a−12a−1， 所以a 2﹣a +1＝2a ﹣1，解得a ＝1（舍）或a ＝2，所以a ＝2．当a ＝2时，f （x ）=2x−12x +1，定义域为R ， f （﹣x ）=2−x −12−x +1=12x −112x +1=1−2x 1+2x =−2x −12x +1=−f （x ）， 所以函数y ＝f （x ）是R 上的奇函数，故a ＝2；（Ⅱ）因为f （x ）=2x−12x +1=1−22x +1， 设x 1＜x 2，则f （x 1）﹣f （x 2）=22x 2+1−22x 1+1=2(2x 1−2x2)(2x 1+1)(2x 2+1)＜0， 所以f （x 1）＜f （x 2），所以y ＝f （x ）在R 上单调递增，又因为关于t 方程f （t 2﹣2t ）+f （4﹣kt ）＝0在[1，3]有且仅有一个根，即关于t 方程f （t 2﹣2t ）＝﹣f （4﹣kt ）＝f （kt ﹣4）在[1，3]有且仅有一个根，t 2﹣2t ＝kt ﹣4在[1，3]有且仅有一个根，易得t ＝0不满足；当t ≠0时，k ＝t +4t−2在t ∈[1，3]有且仅有一个根， 令h （t ）＝t +4t−2，t ∈[1，3]， 由对勾函数的性质可知y ＝h （t ）在[1，2]上单调递减，在[2，3]上单调递增，所以h （t ）min ＝h （2）＝2，又h （1）＝3，h （3）=73， 如图所示：由此可得当k ＝2或73＜k ≤3时，满足k ＝t +4t −2在t ∈[1，3]有且仅有一个根， 所以实数k 的取值范围为（73，3]∪{2}． 20．（12分）设函数f(x)=2sin(x −π3)，g(x)=f(x −π6)⋅f(x +π6)． （Ⅰ）求函数f （x ）的对称中心；（Ⅱ）若函数g （x ）在区间[0，m ]上有最小值﹣1，求实数m 的最小值．解：（Ⅰ）令x −π3=k π，k ∈Z ，则x =π3+kπ，k ∈Z ， 故函数的对称中心为（k π+π3，0），k ∈Z ； （Ⅱ）g(x)=f(x −π6)⋅f(x +π6)=4sin （x −π2）sin （x −π6）＝﹣4cos x （√32sin x −12cos x ） ＝﹣2√3sin x cos x +2cos 2x=−√3sin2x +cos2x +1＝2cos （2x +π3）+1， 若函数g （x ）在区间[0，m ]上有最小值﹣1，即cos （2x +π3）在[0，m ]上取得最小值﹣1，令2x +π3=π，可得x =π3， 故m 的最小值为π3． 21．（12分）为了进一步增强市场竞争力，某公司计划在2024年利用新技术生产某款运动手表．经过市场调研，生产此款运动手表全年需投入固定成本100万，每生产x （单位：千只）手表，需另投入可变成本R （x ）万元，且R(x)={2x 2+80x +200，0＜x ＜50201x +6400x−5200，x ≥50．由市场调研知，每部手机售价0.2万元，且全年生产的手机当年能全部销售完．（利润＝销售额﹣固定成本﹣可变成本）（1）求2024年的利润W （x ）（单位：万元）关于年产量x （单位：千只）的函数关系式．（2）2024年的年产量为多少（单位：千只）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？解：（1）W （x ）＝0.2×1000×x ﹣R （x ）﹣100＝200x ﹣R （x ）﹣100，当0＜x ＜50时，W （x ）＝200x ﹣（2x 2+80x +200）﹣100＝﹣2x 2+120x ﹣300，当x ≥50时，W(x)=200x −(201x +6400x −5200)−100=−(x +6400x)+5100， 故W （x ）={−2x 2+120x −300(0＜x ＜50)−(x +6400x)+5100(x ≥50)； （2）若0＜x ＜50，W （x ）＝﹣2x 2+120x ﹣300＝﹣2（x ﹣30）2+1500，当x ＝30时，W （x ）max ＝1500，若x ≥50，W(x)=−(x +6400x)+5100≤−2√6400+5100=4940，当且仅当x ＝80时，等号成立， 所以当x ＝80时，W （x ）max ＝4940，故2024年的年产量为80千部时，企业所获利润最大，最大利润是4940万元．22．（12分）已知函数f(x)=|x −3x+2|+m ． （1）若函数y ＝f （x ）有4个零点x 1，x 2，x 3，x 4（x 1＜x 2＜x 3＜x 4），求证：x 1x 2x 3x 4＝9；（2）是否存在非零实数m ，使得函数f （x ）在区间[a ，b ]（0＜a ＜b ）上的取值范围为[2m a ，2m b]？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．证明：（1）因为函数f(x)=|x −3x+2|+m 有4个零点x 1，x 2，x 3，x 4（x 1＜x 2＜x 3＜x 4）， 所以方程f(x)=|x −3x+2|+m =0有4个不同的解x 1，x 2，x 3，x 4（x 1＜x 2＜x 3＜x 4）， 于是方程x −3x +2+m =0，−(x −3x+2)+m =0都各有两个不同的解， 即方程x 2+（2+m ）x ﹣3＝0，x 2+（2﹣m ）x ﹣3＝0各有两个实数根，于是x 1x 2x 3x 4＝9；解：（2）f(x)=|x −3x +2|+m ={x −3x +2+m ，x ≥1−x +3x−2+m ，0＜x ＜1， 所以y ＝f （x ）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增； ①若函数f （x ）在[a ，b ]上不单调，则有0＜a ≤1＜b ，且f(1)=m =2m a ， 由于m ≠0，所以a ＝2，与假设矛盾；②当1≤a ＜b 时，有{f(a)=2m a f(b)=2m b ，即{a −3a +2+m =2m a b −3b +2+m =2m b ， 所以{a 2+(m +2)a −3−2m =0b 2+(m +2)b −3−2m =0， 所以a ，b 是一元二次方程x 2+（m +2）x ﹣3﹣2m ＝0的两个不相等的实数根， 记g （x ）＝x 2+（m +2）x ﹣3﹣2m ，有{Δ=(m +2)2+4(2m +3)＞0−m+22≥11+(m +2)−3−2m ＞0，所以m ＜−6−2√5， ③当0＜a ＜b ≤1时，应有{f(a)=2m b f(b)=2m a ，即{−a +3a −2+m =2m b −b +3b −2+m =2m a， 两式相减得到ab +3＝﹣2m ∈（3，4），所以m ∈(−2，−32)， 两式相加得：a +b =(2m+3)(m−2)3， 又ab ＝﹣（2m +3），∴1a +1b =a+b ab =2−m 3∈(2，+∞)， ∴m ＜﹣4，与m ∈(−2，−32)矛盾， 此时满足条件的实数m 不存在，综合以上讨论，满足条件的实数m 的取值范围是(−∞，−6−2√5)．。

2015-2016学年浙江省杭州二中高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（3.00分）设集合A={a，b}，则满足A∪B={a，b，c}的集合B的个数为（）A．8 B．4 C．3 D．12．（3.00分）设函数，则其零点所在区间为（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）3．（3.00分）已知0为坐标原点，向量=（1，3），=（3，﹣1）且，则点P的坐标为（）A．（2，﹣4）B．（，﹣） C．（，）D．（﹣2，4）4．（3.00分）若当x∈R时，函数f（x）=a|x|始终满足0＜|f（x）|≤1，则函数y=log a||的图象大致为（）A．B．C．D．5．（3.00分）已知函数f（x）=log sin1（x2﹣ax+3a）在[2，+∞）单调递减，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，4]B．[4，+∞）C．[﹣4，4]D．（﹣4，4]6．（3.00分）k∈Z时，的值为（）A．﹣1 B．1 C．±1 D．与α取值有关7．（3.00分）若曲线y=Asinωx+a（A＞0，ω＞0）在区间上截直线y=2与y=﹣1所得的弦长相等且不为0，则下列对a和A的描述正确的是（）A．B．a=1，A＞1 C．≤D．a=1，A≤18．（3.00分）已知函数f（x）=（x﹣l）（log3a）2﹣6（log3a）x+x+l在x∈[0，l]内恒为正值，则a的取值范围是（）A．﹣1＜a＜B．a＜C．a＞D．＜a＜9．（3.00分）已知函数y=f（x）的图象是由y=sin2x向右平移得到，则下列结论正确的是（）A．f（0）＜f（2）＜f（4） B．f（2）＜f（0）＜f（4） C．f（0）＜f（4）＜f （2）D．f（4）＜f（2）＜f（0）10．（3.00分）若α∈[0，π]，β∈[﹣，]，λ∈R，且（α﹣）3﹣cosα﹣2λ=0，4β3+sinβcosβ+λ=0，则cos（+β）的值为（）A．0 B．C．D．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．11．（4.00分）已知幂函数f（x）=k•xα的图象过点（，2），则k+α=．12．（4.00分）已知弧长为πcm的弧所对的圆心角为，则这条弧所在的扇形面积为cm2．13．（4.00分）已知0＜x＜，sinx﹣cosx=．若tanx+可表示成的形式（a，b，c为正整数），则a+b+c=．14．（4.00分）下列命题：（1）y=|cos（2x+）|最小正周期为π；（2）函数y=tan的图象的对称中心是（kπ，0），k∈Z；（3）f（x）=tanx﹣sinx在（﹣，）上有3个零点；（4）若∥，，则其中错误的是．15．（4.00分）在锐角△ABC中，AC=BC=2，=x+y，（其中x+y=1），函数f（λ）=|﹣λ|的最小值为，则||的最小值为．16．（4.00分）已知函数f（x）=，若存在x1＜x2，使得f（x1）=f（x2），则x1•f（x2）的取值范围为．三、解答题：本大题共4小题．共46分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10.00分）已知集合A={x|3≤3x≤27}，B={x|log2x＜1}（1）分别求A∩B，A∪B（2）已知集合C={x|1＜x＜a}，若C⊆A，求实数a的取值范围．18．（12.00分）已知点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））是函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜0）图象上的任意两点，且角φ的终边经过点P（1，﹣），若|f（x1）﹣f（x2）|=4时，|x1﹣x2|的最小值为（1）求函数f（x）的解析式；（2）若方程3[f（x）]2﹣f（x）+m=0在x∈（，）内有两个不同的解，求实数m的取值范围．19．（10.00分）设G为△ABC的重心，过G作直线l分别交线段AB，AC（不与端点重合）于P，Q．若=λ，=μ（1）求+的值；（2）求λ•μ的取值范围．20．（14.00分）已知函数f（x）=x2﹣2|x﹣a|（a∈R）．（Ⅰ）若函数f（x）为偶函数，求a的值；（Ⅱ）当a＞0时，若对任意的x∈[0，+∞），不等式f（x﹣1）≤2f（x）恒成立，求实数a的取值范围．2015-2016学年浙江省杭州二中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（3.00分）设集合A={a，b}，则满足A∪B={a，b，c}的集合B的个数为（）A．8 B．4 C．3 D．1【解答】解：集合A={a，b}，若A∪B={a，b，c}，∴集合B={c}，或{a，c}或{b，c}或{a，b，c}，共4个，故选：B．2．（3.00分）设函数，则其零点所在区间为（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）【解答】解：∵f（1）f（2）=（1﹣2）×（8﹣1）=﹣7＜0，∴其零点所在区间为（1，2）．故选：B．3．（3.00分）已知0为坐标原点，向量=（1，3），=（3，﹣1）且，则点P的坐标为（）A．（2，﹣4）B．（，﹣） C．（，）D．（﹣2，4）【解答】解：设点P（x，y），根据题意得；=（x﹣1，y﹣3），=（3﹣x，﹣1﹣y）；∵=2，∴，解得x=，y=；∴P（，）．故选：C．4．（3.00分）若当x∈R时，函数f（x）=a|x|始终满足0＜|f（x）|≤1，则函数y=log a||的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：∵当x∈R时，函数f（x）=a|x|始终满足0＜|f（x）|≤1．因此，必有0＜a＜1．先画出函数y=log a|x|的图象：黑颜色的图象．而函数y=log a||=﹣log a|x|，其图象如红颜色的图象．故选：B．5．（3.00分）已知函数f（x）=log sin1（x2﹣ax+3a）在[2，+∞）单调递减，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，4]B．[4，+∞）C．[﹣4，4]D．（﹣4，4]【解答】解：令t=x2﹣ax+3a，∵sin1∈（0，1），∴函数y=log sin1t是关于t的减函数，结合题意，得t=x2﹣ax+3a是区间[2，+∞）上的增函数，又∵在[2，+∞）上t＞0总成立∴，解之得﹣4＜a≤4．∴实数a的取值范围是（﹣4，4]．故选：D．6．（3.00分）k∈Z时，的值为（）A．﹣1 B．1 C．±1 D．与α取值有关【解答】解：当k为奇数时，=．当k为偶数时，=．故选：A．7．（3.00分）若曲线y=Asinωx+a（A＞0，ω＞0）在区间上截直线y=2与y=﹣1所得的弦长相等且不为0，则下列对a和A的描述正确的是（）A．B．a=1，A＞1 C．≤D．a=1，A≤1【解答】解：由题意曲线y=Asinωx+a（A＞0，ω＞0）的图象关于直线y=a的对称又截直线y=2及y=﹣1所得的弦长相等所以，两条直线y=2及y=﹣1关于y=a对称a==又弦长相等且不为0故振幅A大于=A＞故有a=，A＞故选：A．8．（3.00分）已知函数f（x）=（x﹣l）（log3a）2﹣6（log3a）x+x+l在x∈[0，l]内恒为正值，则a的取值范围是（）A．﹣1＜a＜B．a＜C．a＞D．＜a＜【解答】解：当a=1时，f（x）=x+1在区间[0，1]上的函数值恒为正实数；当a≠1时，要使函数f（x）=（x﹣1）（log3a）2﹣6（log3a）x+x+1在区间[0，1]上的函数值恒为正实数，则有，即，解得．故选：D．9．（3.00分）已知函数y=f（x）的图象是由y=sin2x向右平移得到，则下列结论正确的是（）A．f（0）＜f（2）＜f（4） B．f（2）＜f（0）＜f（4） C．f（0）＜f（4）＜f （2）D．f（4）＜f（2）＜f（0）【解答】解：把y=sin2x向右平移得到y=sin2（x﹣）=sin（2x﹣）的图象，故f（0）=﹣，f（2）=sin（4﹣），f（4）=sin（8﹣），故f（0）＜f（2）＜f（4），故选：A．10．（3.00分）若α∈[0，π]，β∈[﹣，]，λ∈R，且（α﹣）3﹣cosα﹣2λ=0，4β3+sinβcosβ+λ=0，则cos（+β）的值为（）A．0 B．C．D．【解答】解：∵4β3+sinβcosβ+λ=0，∴（﹣2β）3﹣2sinβcosβ﹣2λ=0，即（﹣2β）3+sin（﹣2β ）﹣2λ=0．再由（α﹣）3﹣cosα﹣2λ=0，可得（α﹣）3 +sin（α﹣）﹣2λ=0．故﹣2β和α﹣是方程x3+sinx﹣2λ=0 的两个实数解．再由α∈[0，π]，β∈[﹣，]，所以﹣α 和2β的范围都是[﹣，]，由于函数x3+sinx 在[﹣，]上单调递增，故方程x3+sinx﹣2λ=0在[﹣，]上只有一个解，所以，﹣α=2β，所以+β=，所以cos（+β）=．故选：D．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．11．（4.00分）已知幂函数f（x）=k•xα的图象过点（，2），则k+α=0．【解答】解：∵幂函数f（x）=k•xα的图象过点（，2），∴k=1，2=k，解得k=1，α=﹣1．∴k+α=0．故答案为：0．12．（4.00分）已知弧长为πcm的弧所对的圆心角为，则这条弧所在的扇形面积为2πcm2．【解答】解：∵弧长为πcm的弧所对的圆心角为，∴半径r=，∴这条弧所在的扇形面积为S=cm2．故答案为：2π13．（4.00分）已知0＜x＜，sinx﹣cosx=．若tanx+可表示成的形式（a，b，c为正整数），则a+b+c=50．【解答】解：∵已知0＜x＜，sinx﹣cosx=，∴1﹣2sinxcosx=，即sinxcosx=．若tanx+=+===，（a，b，c为正整数），∴a=32，b=16，c=2，则a+b+c=50，故答案为：50．14．（4.00分）下列命题：（1）y=|cos（2x+）|最小正周期为π；（2）函数y=tan的图象的对称中心是（kπ，0），k∈Z；（3）f（x）=tanx﹣sinx在（﹣，）上有3个零点；（4）若∥，，则其中错误的是（1）（3）（4）．【解答】解：（1）函数y=cos（2x+）最小正周期为π，则y=|cos（2x+）|最小正周期为；则（1）错误，（2）由=，得x=kπ，即函数y=tan的图象的对称中心是（kπ，0），k∈Z 正确，则（2）正确；（3）由f（x）=tanx﹣sinx=0得，tanx=sinx，则sinx=0或cosx=1，则在（﹣，）内，x=0，此时函数只有1个零点；则（3）错误，（4）若∥，，则错误，当=时，结论不成立，则（4）错误，故错误的是（1）（3）（4），故答案为：（1）（3）（4）15．（4.00分）在锐角△ABC中，AC=BC=2，=x+y，（其中x+y=1），函数f（λ）=|﹣λ|的最小值为，则||的最小值为．【解答】解：锐角△ABC中，AC=BC=2，且函数f（λ ）的最小值为；∴函数f（λ）==2≥，即4λ2﹣8λcos∠ACB+1≥0恒成立；当且仅当λ=﹣=cos∠ACB时等号成立，代入函数f（λ）中得到cos∠ACB=，∴∠ACB=；∴||==2=2=2=2≥2×=，当且仅当x==y时，取得最小值，∴||的最小值为；故答案为：．16．（4.00分）已知函数f（x）=，若存在x1＜x2，使得f（x1）=f（x2），则x1•f（x2）的取值范围为[，）．【解答】解：∵f（x）=x+，x∈[0，）为单调递增，f（x）=3x2在[，1]上单调递增，则由存在x1＜x2，使得f（x1）=f（x2）得，x1∈[0，），x2∈[，1]，即x1+=3，则≤x1＜，则x1•f（x2）=x1•（x1+），则•（+）≤x1•（x1+）＜•1，即≤x1•（x1+）＜，故答案为：[，）．三、解答题：本大题共4小题．共46分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10.00分）已知集合A={x|3≤3x≤27}，B={x|log2x＜1}（1）分别求A∩B，A∪B（2）已知集合C={x|1＜x＜a}，若C⊆A，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）由3≤3x≤27，即3≤3x≤33，∴1≤x≤3，∴A=[1，3]．由log2x＜1，可得0＜x＜2，∴B=（0，2）．∴A∩B=[1，2）．A∪B=（0，3]．（2）由C⊆A，当C为空集时，a≤1．当C为非空集合时，可得1＜a≤3．综上所述：a的取值范围是a≤3．18．（12.00分）已知点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））是函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜0）图象上的任意两点，且角φ的终边经过点P（1，﹣），若|f（x1）﹣f（x2）|=4时，|x1﹣x2|的最小值为（1）求函数f（x）的解析式；（2）若方程3[f（x）]2﹣f（x）+m=0在x∈（，）内有两个不同的解，求实数m的取值范围．【解答】（本题满分12分）解：（1）角φ的终边经过点P（1，﹣），tanφ=﹣，∵﹣＜φ＜0，∴φ=﹣．由|f（x1）﹣f（x2）|=4时，|x1﹣x2|的最小值为，得T=，即=，∴ω=3．∴f（x）=2sin（3x﹣）…（4分）（2）∵x∈（，），∴3x﹣∈（0，π），∴0＜sin（3x﹣）≤1．设f（x）=t，问题等价于方程3t2﹣t+m=0在（0，2）仅有一根或有两个相等的根．∵﹣m=3t2﹣t，t∈（0，2）．作出曲线C：y=3t2﹣t，t∈（0，2）与直线l：y=﹣m的图象．∵t=时，y=﹣；t=0时，y=0；t=2时，y=10．∴当﹣m=﹣或0≤﹣m＜10时，直线l与曲线C有且只有一个公共点．∴m的取值范围是：m=或﹣10＜m≤0．…（12分）19．（10.00分）设G为△ABC的重心，过G作直线l分别交线段AB，AC（不与端点重合）于P，Q．若=λ，=μ（1）求+的值；（2）求λ•μ的取值范围．【解答】解：（1）连结AG并延长交BC于M，则M是BC的中点，则，．又，，∴=，=（）+．∵P，G，Q三点共线，故存在实数t，使=t，即（）+=．∴，两式相除消去t得1﹣3λ=﹣，即．（2）∵1﹣3λ=﹣，∴，∵λ，μ∈（0，1），∴，解得．∴．∴λμ==．∴当时，λμ取得最小值，当或2时，λμ取得最大值．∴λμ的取值范围是[，）．20．（14.00分）已知函数f（x）=x2﹣2|x﹣a|（a∈R）．（Ⅰ）若函数f（x）为偶函数，求a的值；（Ⅱ）当a＞0时，若对任意的x∈[0，+∞），不等式f（x﹣1）≤2f（x）恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由函数y=f（x）为偶函数可知，对任何x都有f（﹣x）=f（x），得：（﹣x）2﹣2|﹣x﹣a|=x2﹣2|x﹣a|，即|x+a|=|x﹣a|对任何x恒成立，平方得：4ax=0对任何x恒成立，而x不恒为0，则a=0；（Ⅱ）将不等式f（x﹣1）≤2f（x），化为（x﹣1）2﹣2|x﹣1﹣a|≤2x2﹣4|x﹣a|，即4|x﹣a|﹣2|x﹣1﹣a|≤x2+2x﹣1（*）对任意x∈[0，+∞）恒成立，（1）当0≤x≤a 时，将不等式（*）可化为x2+4x+1﹣2a≥0，对0≤x≤a上恒成立，则g（x）=x2+4x+1﹣2a 在（0，a]为单调递增，只需g（x）min=g（0）=1﹣2a≥0，得0＜a ≤；（2）当a＜x≤a+1时，将不等式（*）可化为x2﹣4x+1+6a≥0，对a＜x≤a+1上恒成立，由（1）可知0＜a ≤，则h（x）=x2﹣4x+1+6a 在（a，a+1]为单调递减，只需h（x）min=h（a+1）=a2+4a﹣2≥0 得：a ≤﹣﹣2或a ≥﹣2，即：﹣2≤a ≤；（3）当x＞a+1时，将不等式（*）可化为x2+2a﹣3≥0对x＞a+1恒成立则t（x）=x2+2a﹣3 在（a+1，+∞）为单调递增，由（2）可知﹣2≤a ≤都满足要求．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性①定义及判定方法函数的性质定义图象判定方法函数的单调性如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x．1．< ．x．2．时，都有f(x．．．1．)<f(x．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是增函数．．．．x1x2y=f(X)xyf(x )1f(x )2o（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象上升为增）（4）利用复合函数如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x．1．< ．x．2．时，都有f(x．．．1．)>f(x．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是减函数．．．．y=f(X)yxo x x2f(x )f(x )211（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象下降为减）（4）利用复合函数②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法函数的 性质定义图象判定方法 函数的 奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．－．f(x ．．．)．,那么函数f(x)叫做奇函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于原点对称）yxo如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做偶函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于y 轴对称）②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．综上：实数 的取值范围为：﹣2≤a ≤．。