相似三角形的判定第4课时利用三边证相似-湘教版九年级数学上册优秀教案设计

第3章图形的相似3.4 相似三角形的判定与性质3.4.1 相似三角形的判定课时4 相似三角形的判定定理3【知识与技能】1.了解三边成比例、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似判定定理的证明过程.2.能运用三角形相似的判定定理证明三角形相似.【过程与方法】1.在类比全等三角形的证明方法探究三角形相似的证明过程中,进一步体验类比思想、特殊与一般的辩证思想.2.经历类比、猜想、探究、归纳、应用等数学活动,提高学生分析问题、解决问题的能力.3.通过应用三角形相似的判定方法和性质解决简单问题,培养学生的应用意识.【情感态度与价值观】1.探究三角形相似的判定定理的证明,培养学生合情推理及演绎推理能力,提高逻辑思维能力.2.在三角形相似的判定的探究过程中,培养学生大胆动手、勇于探索和勤于思考的精神,同时体验成功带来的快乐.3.在探究活动中通过小组合作交流,培养学生共同探究的合作意识及探索实践的良好习惯.能运用三边成比例、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似判定定理证明三角形相似.三角形相似判定定理的证明过程.多媒体课件.导入一:【复习提问】(1)证明三角形相似的方法是什么?(三角形相似的定义、平行线证明三角形相似)(2)全等三角形如何定义的?证明全等三角形有几种方法?(对应角、对应边相等的三角形是全等三角形；SSS,SAS,ASA,AAS,HL)(3)全等三角形与相似三角形有什么关系?导入二:【课件展示】欣赏图片.【导入语】图片中的三角形相似吗?如何证明?除了用定义证明对应角相等、对应边成比例以外,还有简单的方法证明吗?通过今天的学习,我们探究新的方法证明三角形相似.[设计意图]通过复习三角形全等的方法和证明过程,为类比探究证明三角形相似的方法做好铺垫；展示生活图片,让学生体会数学来源于生活,生活中处处有数学,从而激发学生的学习兴趣.[过渡语]对于任意的两个三角形,现在我们只能运用定义去判定是否相似,我们需知道对应角是否相等,且对应边是否成比例,那么是否存在判定三角形相似的简单方法呢?一、三边法证明三角形相似思路一类比三角形全等的方法,同桌两个人分别画三角形.【动手操作】(1)同桌分别画边长为2 cm,3 cm,4 cm的三角形和边长为4 cm,6 cm,8 cm的三角形,然后猜想、判断两个三角形是否相似.【学生活动】通过测量三角形的三个内角、计算三角形三边的比,根据相似三角形的定义判定三角形相似.(2)如果一个三角形的三边是另一个三角形三边的k倍,那么这两个三角形是否相似?【学生活动】学生动手操作,然后测量三角形的角度,根据定义判定三角形相似.(3)猜想:三角形三边对应成比例,两个三角形是否相似?你能证明这个结论吗?【课件展示】如图,已知在△ABC和△A'B'C'中,==.求证△ABC∽△A'B'C'.【教师引导分析】(1)除了定义外,还有什么方法可以证明三角形相似?(平行线证明三角形相似)(2)如何把两个三角形转化到一个三角形内,利用平行线证明三角形相似? (在A'B'上截取A'D=AB,过点D作DE∥B'C',交A'C'于点E)(3)能否证明△A'DE与△A'B'C'相似?(根据平行线分线段成比例基本事实可证明)(4)根据已知条件△ABC与△A'DE是否全等?(SAS)(5)尝试给出定理的证明过程.【课件展示】证明:如图,在线段A'B'(或它的延长线)上截取A'D=AB, 过点D作DE∥B'C',交A'C'(或A'C'的延长线)于点E,则可得△A'DE∽△A'B'C'，∴==.又==,A'D=AB,∴=,=,∴DE=BC,A'E=AC.∴△A'DE≌△ABC,∴△ABC∽△A'B'C'.(6)类比三角形全等,用文字语言叙述以上得到的结论,并用几何语言表示.【课件展示】判定定理1:三边成比例的两个三角形相似.【几何语言】如图,∵==,∴△ABC∽△A'B'C'.思路二(1)类比SSS证明三角形全等的定理,猜想三边成比例,两个三角形相似.(2)证明你的猜想.如图,已知在△ABC和△A'B'C'中,==.求证△ABC∽△A'B'C'.【教师引导】除了定义,前边学过在同一个三角形中,由平行线可以证明两个三角形相似,如何通过作平行线,将一个三角形转化到另一个三角形中?【师生活动】学生小组合作交流证明思路,然后尝试书写过程,小组代表板书,教师巡视过程中帮助有困难的学生,对学生进行点评,规范学生书写证明过程. (证明过程同思路一)(3)归纳总结:三角形相似的判定定理及几何语言表示.【课件展示】判定定理1:三边成比例的两个三角形相似.【几何语言】如图,∵==,∴△ABC∽△A'B'C'.[设计意图]通过动手操作、猜想、证明、归纳等数学活动,获得判定三角形相似的条件,体会数学中的类比思想,培养学生分析问题的能力,同时通过规范证明过程,培养学生严谨的数学精神.二、两边及夹角法证明三角形相似[过渡语]类比证明三角形全等的方法,我们能用SAS证明三角形相似吗? 动手操作:(1)尝试用文字语言叙述这个猜想.(2)如何证明这个猜想?尝试写出证明过程.(3)归纳结论,用几何语言表示得到的结论.【师生活动】学生独立思考后,小组合作交流,小组代表板书,教师帮助有困难的学生,规范学生的证明过程.【课件展示】判定定理2:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.如图,已知在△ABC和△A'B'C'中,=,∠A=∠A'.求证△ABC∽△A'B'C'.证明:如图,在线段A'B'(或它的延长线上)截取A'D=AB,过点D作DE∥B'C',交A'C'(或它的延长线)于点E,则可得△A'DE∽△A'B'C'，∴=.又∵=,A'D=AB,∴=,∴A'E=AC.又∵∠A=∠A',∴△A'DE≌△ABC,∴△ABC∽△A'B'C'.【几何语言】如图,∵=,∠A=∠A',∴△ABC∽△A'B'C'.【追加提问】在△ABC和△A'B'C'中,=,∠B=∠B',这两个三角形一定相似吗?【师生活动】学生通过画图举出反例,说明这两个三角形不一定相似,教师强调该判定方法的易错点:角必须是两边的夹角.[设计意图]学生通过动手操作,小组合作交流,经历猜想、验证、归纳出三角形相似的判定方法,培养学生与他人交流的能力,提高学生解决问题的能力及数学思维.三、例题讲解根据下列条件,判断△ABC与△A'B'C'是否相似,并说明理由.(1)AB=4 cm,BC=6 cm,AC=8 cm,A'B'=12 cm,B'C'=18 cm,A'C'=24 cm；(2)∠A=120°,AB=7 cm,AC=14 cm,∠A'=120°,A'B'=3 cm,A'C'=6 cm.〔解析〕(1)已知两个三角形的三条边,考虑应用“三边成比例的两个三角形相似”判定,所以只需要计算三边的比,三边的比相等,则两个三角形相似,反之,则两个三角形不相似.(2)已知三角形的两条边和一个角,考虑应用“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”判定,所以需要计算两条边的比是否相等,且这两条边的夹角是否相等.解:(1)∵==,==,==,∴==,∴△ABC∽△A'B'C'.(2)∵=,==,∴=.又∵∠A=∠A',∴△ABC∽△A'B'C'.[设计意图]通过分析题意,学生独立完成用判定定理证明三角形相似,达到巩固所学知识的目的,通过简单例题的解答,让学生体会到成功的快乐,激发学生学习数学的热情.[知识拓展](1)当已知条件中有三边时,可考虑用“三边成比例的两个三角形相似”证明三角形相似.(2)在应用相似三角形的判定定理1时,一定要注意先求两个三角形中大边与大边,中间边与中间边,小边与小边的比值,然后判断上述比值是否相等,从而判断两个三角形是否相似.(3)对于已知两组边的长度及边的夹角相等的情况,常用相似三角形的判定定理2判定两个三角形相似.(4)在应用相似三角形的判定定理2时,一定要注意必须是两边夹角相等才行.(5)在应用相似三角形的判定定理2时,还要注意一些隐含条件,如公共角、对顶角等.1.三边成比例的两个三角形相似.2.两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.第2课时1.三边法证明三角形相似2.两边及夹角法证明三角形相似3.例题讲解例题一、教材作业二、课后作业【基础巩固】1.如图,已知△MNP,则下列四个三角形中与△MNP相似的是()2.在△ABC中,BC=15 cm,CA=45 cm,AB=63 cm,另一个和它相似的三角形的最短边长是5 cm,则最长边长是()A.18 cmB.21 cmC.24 cmD.19.5 cm3.如图,与左图中的三角形相似的是()4.如果三角形的每条边都扩大为原来的3倍,那么三角形的每个角()A.都扩大为原来的3倍B.都扩大为原来的6倍C.都扩大为原来的9倍D.都与原来相等5.如图,四边形ABCD的对角线AC,BD相交于O,且将这个四边形分成①②③④四个三角形,若OA∶OC=OB∶OD,则下列结论中一定正确的是()A.①与②相似B.①与③相似C.①与④相似D.②与④相似6.在△ABC和△A1B1C1中,∠A=∠A1,=,可得出△ABC △A1B1C1,理由是.7.△ABC的三边长分别为2,,,△A1B1C1的两边长分别为1和,当△A 1B1C1的第三边长为时,△ABC∽△A1B1C1.8.已知线段AB,CD相交于点O,AO=3,OB=6,CO=2,则当CD=时,AC∥BD.9.如图,已知==,∠BAD=20°,求∠CAE的大小.10.如图,点C,D在线段AB上,且△PCD是等边三角形.(1)当AC,CD,DB满足怎样的关系时,△ACP∽△PDB?(2)当△ACP∽△PDB时,求∠APB的度数.【能力提升】11.如图,在△ABC中,点P在边AB上,在下列四个条件中:①AP∶AC=AC∶AB；②AC2=AP·AB；③AB·CP=AP·CB.能满足△APC和△ACB相似的有()A.1个B.2个C.3个D.4个12.如图,D是∠ABC平分线上的一点,AB=15 cm,BD=12 cm,要使△ABD∽△DBC,则BC的长为cm.13.如图,正方形ABCD的边长为2,AE=EB,MN=1,线段MN的两端分别在CB,CD上滑动,那么当CM为多少时,△ADE与△MNC相似?【拓展探究】14.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6 cm,BC=8 cm,动点P从点B出发,在BA边上以每秒5 cm的速度向点A匀速运动,同时动点Q从点C出发,在CB边上以每秒4 cm的速度向点B匀速运动,运动时间为t秒(0<t<2),连接PQ.若△BPQ 与△ABC相似,求t的值.【答案与解析】1.C解析:△MNP是等腰三角形,底角是75°,则顶角是30°,C中三角形与△MNP 的三角对应相等,且夹30°角的两边对应成比例,所以两个三角形相似.故选C.2.B解析:根据题意,这两个相似三角形的相似比是15∶5=3∶1,因此所求最长边长是63÷3=21(cm).故选B.3.B解析:设小正方形的边长为1,那么已知三角形的三边长分别为,2,,所以三边之比为1∶2∶,A中三角形的三边长分别为2,,3,三边之比为∶∶3,故此选项错误；B中三角形的三边长分别为2,4,2,三边之比为1∶2∶,故此选项正确；C中三角形的三边长分别为2,3,,三边之比为2∶3∶,故此选项错误；D中三角形的三边长分别为,,4,三边之比为∶∶4,故此选项错误.故选B.4.D解析:若三角形的每条边都扩大为原来的3倍,则两个三角形的对应边成比例,则这两个三角形相似,由相似三角形的对应角相等可得三角形的每个角都与原来相等.故选D.5.B解析:∵OA∶OC=OB∶OD,∠AOB=∠COD(对顶角相等),∴①与③相似.故选B.6.∽两边成比例且夹角相等的两个三角形相似7.解析:由三边对应成比例的两个三角形相似,易得相似比为,故要使△ABC和△A1B1C1的三边成比例,则第三边长为2÷=.故填.7.6解析:因为两条线段相交,对顶角相等,所以=时,△AOC∽△BOD,所以∠A=∠B,所以AC∥BD,故此时=,所以OD=4.所以CD=CO+OD=2+4=6.故填6.9.解:∵==,∴△ABC∽△ADE,∴∠BAC=∠DAE,∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,即∠BAD=∠CAE=20°.10.解:(1)∵△PCD是等边三角形,∴PC=CD=PD,∠PCD=∠PDC=∠CPD=60°,∴∠PCA=∠PDB=120°,∴当=时,△ACP∽△PDB,即=,∴当CD2=AC·DB时,△ACP ∽△PDB.(2)∵△PDB∽△ACP,∴∠BPD=∠A.∴∠APC+∠BPD=∠APC+∠A=∠PCD=60°,∴∠APB=∠APC+∠BPD+∠CPD=60°+60°=120°.11.B解析:因为∠A是△APC和△ACB的公共角,所以夹这个角的两条边对应成比例时,这两个三角形相似,所以AP∶AC=AC∶AB,即AC2=AP·AB.故选B.12.9.6解析:∵△ABD∽△DBC,∴=,∴BD2=AB·BC.∵AB=15 cm,BD=12 cm,∴BC=9.6 cm.故填9.6.13.解:设CM的长为x.在Rt△MNC中,∵MN=1,∴NC=.①当Rt△AED∽Rt △CMN时,有=,即=,解得x=或x=-(不合题意,舍去)；②当Rt△AED∽Rt△CNM时,有=,即=,解得x=或x=-(不合题意,舍去).综上所述,CM=或时,△AED与△MNC相似.14.解:①当△BPQ∽△BAC时,易知=,又BP=5t cm,QC=4t cm,AB=10 cm,BC=8 cm,∴=,∴t=1.②当△BPQ∽△BCA时,易知=,∴=,∴t=.∴t=1或时,△BPQ与△ABC相似.本节课通过复习全等三角形的判定方法,类比猜想SSS能否证明三角形相似,学生迅速完成由旧知识向新知识的转化,激发了学生学习本节课的兴趣,达到了较好的导入效果.在探究判定定理的证明过程中,教师以小问题的形式引导,层层深入分析证明定理的思路,降低了学习难度,再通过小组合作交流完成定理的证明过程,学生在课堂上思维活跃,合作意识较强,顺利完成判定定理1的证明,为探究相似三角形的判定定理2打下了基础,降低了难度.在整个教学过程中注重学生思维能力的提升及知识的形成过程.本节课的难点是判定定理的证明,教学过程中教师以小问题的形式,引导学生分析证明方法,利于突破难点,但是在实际操作中,学生第一次遇到截取、作平行线这样的辅助线,不容易理解和掌握,在分析辅助线的作法时有些粗糙,造成课堂气氛只是部分学生活跃,在判定定理2的证明过程中部分学生出现困难,不能类比判定定理1的证明顺利完成.。

湘教版九年级数学上册第3章图形的相似3.4相似三角形的判定与性质教学设计一. 教材分析湘教版九年级数学上册第3章图形的相似3.4相似三角形的判定与性质，主要介绍了相似三角形的判定方法和性质。

本节课的内容是学生在学习了相似概念、相似多边形的基础上进行的，是进一步培养学生空间想象能力、逻辑思维能力和解决实际问题能力的重要内容。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了相似的概念和性质，同时具备了一定的空间想象能力和逻辑思维能力。

但学生在学习过程中，对相似三角形的判定与性质的理解和运用还有一定的困难，需要通过本节课的学习，进一步巩固和提高。

三. 教学目标1.理解相似三角形的判定方法。

2.掌握相似三角形的性质。

3.能够运用相似三角形的判定与性质解决实际问题。

4.培养学生的空间想象能力、逻辑思维能力和解决实际问题的能力。

四. 教学重难点1.教学重点：相似三角形的判定方法和性质。

2.教学难点：相似三角形的判定方法的灵活运用。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例，引发学生的兴趣，激发学生的思考。

2.小组合作学习法：培养学生团队合作精神，提高学生解决问题的能力。

3.启发式教学法：引导学生主动探究，发现知识，提高学生的逻辑思维能力。

六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示相似三角形的判定与性质的相关知识。

2.教学素材：准备一些生活实例，用于引发学生的思考。

3.学具：准备一些三角形模型，方便学生直观地理解相似三角形的性质。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些生活中的实例，如相似的建筑物、图片等，引发学生的兴趣，引入相似三角形的概念。

2.呈现（10分钟）利用课件呈现相似三角形的判定方法和性质，引导学生直观地理解知识。

同时，教师进行讲解，阐述相似三角形的判定与性质的重要性。

3.操练（10分钟）学生分组进行讨论，通过给出的实例，运用相似三角形的判定与性质进行解答。

教师巡回指导，解答学生的疑问。

4.巩固（10分钟）学生独立完成教材中的练习题，检验自己对相似三角形的判定与性质的理解。

第4课时 相似三角形的判定定理31．了解三角形相似的判定定理3的探索及证明过程．2．掌握并能应用该定理进行相关的计算或证明．(重难点)阅读教材P 83～84，自学“动脑筋”“例7”“例8”，掌握相似三角形的判定定理3.(一)知识探究三边________________的两个三角形相似．(二)自学反馈下列是两位同学运用相似三角形的定义判定两个三角形是否相似，你认为他们的说法是否正确？为什么？并写出你的解答．判断如图所示的两个三角形是否相似，简单说明理由．甲同学：这两个三角形的三个内角虽然分别相等，但是它们的边的比不相等，AC IJ ≠AB HJ ≠BC HI，所以它们不相似． 乙同学：这两个三角形的三个内角分别相等，对应边之比也相等，所以它们相似．活动1 小组讨论例1 如图，在Rt △ABC 和Rt △A ′B ′C ′中，∠C ＝90°，∠C ′＝90°，AB A′B′＝AC A′C′.求证：Rt △ABC ∽Rt △A ′B ′C ′.证明：设AB A′B′＝AC A′C′＝k ，则AB ＝kA′B′，AC ＝kA′C′. 由勾股定理，得BC ＝AB 2－AC 2，B ′C ′＝A′B′2－A′C′2，∴BC B′C′＝AB 2－AC 2B ′C ′＝k 2·A ′B ′2－k 2·A ′C ′2B ′C ′＝k·B′C′B′C′＝k. ∴AB A′B′＝AC A′C′＝BC B′C′. ∴Rt △ABC ∽Rt △A ′B ′C ′(三边成比例的两个三角形相似)．已知两边成比例，一般寻找第三边是否也成比例或夹角是否相等，可类比全等三角形中找对应边和对应角的方法．例2 判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由．解：在△ABC 中，AB>BC>CA ，在△DEF 中，DE>EF>FD.∵DE AB ＝2.44＝0.6，EF BC ＝2.13.5＝0.6，FD CA ＝1.83＝0.6， ∴DE AB ＝EF BC ＝FD CA. ∴△DEF ∽△ABC.活动2 跟踪训练1．顺次连接三角形各边中点所得的三角形与原三角形的相似比是________．2．△ABC 的三边长为2，10，2，△DEF 的两边为1和5，如果△ABC∽△DEF，则△DEF 的第三边长为________．3．如图，△ABC 三边长分别为AB ＝3 cm ，BC ＝3.5 cm ，CA ＝2.5 cm ；△DEF 三边长分别为DE ＝3.6 cm ，EF ＝4.2 cm ，FD ＝3 cm .△ABC 与△DEF 是否相似？为什么？活动3 课堂小结1．三边成比例的两个三角形相似．2．根据题目已知条件，如何寻找证明边成比例的条件．【预习导学】知识探究成比例自学反馈略．【合作探究】活动2 跟踪训练1．1∶2 2. 2 3.△ABC∽△DEF.理由：∵AB DE ＝33.6＝56，BC EF ＝3.54.2＝56，CA FD ＝2.53＝56，∴AB DE ＝BC EF ＝CA FD.∴△ABC∽△DEF. 中国书法艺术说课教案今天我要说课的题目是中国书法艺术，下面我将从教材分析、教学方法、教学过程、课堂评价四个方面对这堂课进行设计。

《相似三角形的判定》教案教学目标1、经历三角形相似的判定方法“两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似”和“三边对应成比例的两个三角形线相似”的探索过程.2、掌握“两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似”和“三边对应成比例的两个三角形线相似”的两个三角形相似的判定方法.3、能运用上述两个判定方法判定两个三角形相似.重点与难点1、本节教学的重点是相似三角形的判定方法“两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似”和“三边对应成比例的两个三角形线相似”及其应用.2、例题的解答首先要选择用什么判定方法，然后利用方格进行计算，根据计算结果来判断两个三角形的三边是否对应成比例，需要学生有一定的分析、判断和计算能力，是本节教学的难点.知识要点三角形相似的条件：1、有两个角对应相等的两个三角形相似.2、两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似.3、三边对应成比例的两个三角形线相似.教学过程一、复习1、我们已经学习了几种判定三角形相似的方法？C(1)平行于三角形一边直线定理∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC(2)判定定理1：∵∠A=∠A′，∠B=∠B′，∴△ABC∽△A′B′C′(3)直角三角形中的一个重要结论∵∠ACB =Rt ∠，CD ⊥AB ，∴△ABC ∽△ACD ∽△CDB二、新课 1、合作学习:下面我们来探究还可用哪些条件来判定两个三角形相似？我们学习了三角形相似的判定定理1，类似于三角形全等的“SAS ”、“SSS ”判定方法，三角形相似还有两个判定方法，即判定定理2和判定定理3.2、判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似.可以简单说成“两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似”.已知：如图，△A ′B ′C ′和△ABC 中， ∠A ′=∠A ，A ′B ′∶AB =A ′C ′∶AC 求证：△A ′B ′C ′∽△ABC定理的几何格式： ∵∠A =∠A ′ AB A ′B ′ ＝AC A ′C ′ ∴△ABC ∽△A ′B ′C ′ 3、例题讲解例：如图已知点D ，E 分别在AB ，AC 上，AD AB ＝AEAC 求证：DE ∥BC .4、判定定理3：如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似.可简单说成：三边对应成比例，两三角形相似.几何格式∵AB A ′B ′ ＝AC A ′C ′ ＝BC B ′C ′ ∴△ABC ∽△A ′B ′C ′三、探究活动：在有平行横线的练习薄上画一条线段AB ，使线段A ，B 恰好在两条平行线上，线段AB 就AB CA ′B ′C ′ABCD E ABCA ′B ′C ′被平行线分成了相等的三小段，你能说出这一事实的数学原理吗？如果只给你圆规和直尺，你会把任意一条线段AB五等分吗？请试一试，并说明你的画法的依据.四、小结三角形相似的判定方法.。