【中小学资料】2018版高中数学 第一章 立体几何初步章末综合测评 苏教版必修2

(时间：120分钟；满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填在题中横线上)1．有下列四个结论，其中正确结论的个数为________．①互相垂直的两直线，有且只有一个公共点；②经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线；③垂直于同一条直线的两条直线平行；④两平行线之一垂直于一条直线，则另一条也垂直于此直线．解析：①错误，异面直线也可能垂直．②错误，应有无数条．③错误，可能平行，相交或异面．④正确．答案：12．下列几何体中既能使截面是长方形，又能使截面是圆的是________．①圆锥；②棱柱；③圆柱；④球．解析：③平行于轴的截面是长方形，垂直于轴的截面是圆．答案：③3．(1)若四点不共面，则每三点一定不共线；(2)若四点中的每三点不共线，则此四点一定不共面；(3)两组对边分别相等的四边形是平面图形；(4)两个平面将空间分成3或4个部分．其中正确的个数是________．解析：(1)与(4)正确．对于(1)，若三点共线，根据直线与直线外一点可以确定一个平面，知四点共面，故命题(1)正确；对于(4)，若两平面平行，则把空间分成3个部分，若两平面相交，则把空间分成4个部分；对于(2)，如平行四边形无三点共线，但却是平面图形，即四点共面；对于(3)，如正四面体中的任两条相对棱都相等，但由这四个顶点组成的图形不是平面图形．答案：24．在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是________(写出所有正确结论的编号)．①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．解析：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若所取四点共面，则只能是正方体的表面或对角面，即正方形或长方形，∴①正确，②错误；棱锥A－BDA1符合③，∴③正确；棱锥A1－BDC1符合④，∴④正确；棱锥A1－ABC符合⑤，∴⑤正确．答案：①③④⑤5．如图甲，在正方形SG1G2G3中，E、F分别是边G1G2、G2G3的中点，D是EF的中点，现沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个几何体(图乙)，使G1、G2、G3三点重合于点G，这样，下面结论成立的是________．①SG ⊥平面EFG ②SD ⊥平面EFG③GF ⊥平面SEF ④GD ⊥平面SEF解析：在图甲中，SG 1⊥G 1E ，SG 3⊥G 3F ；在图乙中，SG ⊥GE ，SG ⊥GF ，∴SG ⊥平面EFG .答案：①6．正方体的表面积是a 2，它的顶点都在球面上，这个球的表面积是________．解析：设正方体棱长为b ，则3b ＝2R ，S 球＝4πR 2＝4π·(32b )2＝3πb 2， 又a 2＝6b 2，∴S 球＝π2a 2. 答案：π2a 2 7．(2010年高考湖南卷)图中的三个直角三角形是一个体积为20 cm 3的几何体的三视图，则h ＝________ cm.解析：如图是三视图对应的直观图，这是一个三棱锥，其中SA ⊥平面ABC ，BA ⊥AC .由于V ＝13S △ABC ·h ＝13×12×5×6×h ＝5h ，∴5h ＝20，∴h ＝4. 答案：48．在正三棱锥P －ABC 中，D ，E 分别是AB ，BC 的中点，有下列三个论断：①AC ⊥PB ；②AC ∥平面PDE ；③AB ⊥平面PDE .其中正确论断的序号为________．解析：由P －ABC 为正三棱锥知，PB ⊥AC ，又由DE ∥AC 得，AC ∥平面PDE .答案：①②9．如果底面直径和高相等的圆柱的侧面积是S ，那么圆柱的体积等于________．解析：设底面半径为r ，则2πr ·2r ＝S ，故r ＝S 4π，所以V ＝πr 2·2r ＝S 4S π. 答案：S 4S π10．长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中截去三棱锥B 1－A 1BC 1，则它的体积是长方体体积的________．解析：截出的三棱锥底面积为长方体底面面积的12，两者的高一样，V ＝13×12V 长＝16V 长．答案：1611．(2010年高考湖北卷)圆柱形容器内部盛有高度为8 cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________ cm.解析：设球的半径为r cm ，则πr 2×8＋43πr 3×3＝πr 2×6r ，解得r ＝4. 答案：412．如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，三棱锥D 1－AB 1C的表面积与正方体的表面积的比为________．解析：设正方体的棱长为a ，则S 正＝6a 2，正四面体D 1－AB 1C的棱长为2a ，S 正四面体＝4·34(2a )2＝23a 2， 所以S 四面体S 正方体＝236＝33 . 答案：3313．在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝1，若二面角C －AB －C 1的大小为60°，则点C 到平面ABC 1的距离为________．解析：如图，取AB 中点为O ，连结C 1O 和CO .∵是正三棱柱，∴CO ⊥AB ，AC 1＝BC 1.∴CO ⊥AB ，则∠C 1OC 即为二面角C －AB －C 1的平面角．又AB ＝1，∴CO ＝32，C 1C ＝32，OC 1＝ 3. 下面用等体积法求距离．VC 1－ABC ＝VC －ABC 1，∴13S △ABC ·CC 1＝13S △ABC 1·d ， 即34×32＝12×1×3×d .∴d ＝34. 答案：3414．长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的顶点均在同一个球面上，如图，AB ＝AA 1＝1，BC ＝2，则A ，B 两点间的球面距离为________．解析：由题意可知球的直径为长方体的体对角线B 1D ， ∴R 球＝12＋12＋(2)22＝1. 设B 1D 的中点为M ，则M 为球的球心，故△ABM 为边长为1的正三角形，∴∠AMB ＝π3， ∴A ，B 两点间的球面距离为π3. 答案：π3二、解答题(本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)画一个侧棱长为4 cm ，底面边长为4 cm 的正四棱锥的三视图和直观图，并求其表面积．解：正四棱锥的三视图和直观图如图所示．此正四棱锥的表面积为S 表＝4×34×42＋42＝16(3＋1)(cm 2)．16．(本小题满分14分)如图所示，四边形ABCD 是平行四边形，点P 是平面ABCD 外的一点，M 是PC 的中点，在DM 上取一点G ，过G 和AP 作平面交平面BDM 于GH ，求证：AP ∥GH .证明：连结BM 、AC ，设AC ∩BD ＝O ，连结MO .∵四边形ABCD 为平行四边形，∴O 是AC 的中点，又M 是PC 的中点，∴MO ∥PA .又MO ⊂平面BDM ，PA ⊄平面BDM ，∴PA ∥平面BDM .又∵平面BDM ∩平面PAG ＝GH ，PA ⊂平面PAG ，∴PA ∥GH .17．(本小题满分14分)如图，四棱锥P －ABCD 的底面是矩形，PA⊥平面ABCD ，E ，F 分别是AB ，PD 的中点，且二面角P －CD －B 为45°.求证：(1)AF ∥平面PEC ；(2)平面PEC ⊥平面PCD .证明：(1)如图，取PC 的中点G ，连结EG ，FG ，因为F 是PD 的中点，所以FG ∥CD ，且FG ＝12CD ，而AE ∥CD ，且AE ＝12CD ，所以EA ∥GF ，且EA ＝GF ，故四边形EGFA 是平行四边形，从而EG ∥AF ，又AF ⊄平面PEC ，EG ⊂平面PEC ，所以AF ∥平面PEC .(2)因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥CD ，又CD ⊥AD ，所以CD ⊥平面PAD ，所以CD ⊥PD ，则∠PDA 就是二面角P －CD －B 的平面角，所以∠PDA ＝45°，则AF ⊥PD .又AF ⊥CD ，PD ∩CD ＝D ，所以AF ⊥平面PCD ，由(1)知，EG ∥AF ，所以EG ⊥平面PCD ，而EG ⊂平面PEC ，所以平面PEC ⊥平面PCD .18．(本小题满分16分)将圆心角为120°，面积为3π的扇形，作为圆锥的侧面，求圆锥的表面积和体积．解：设扇形的半径和圆锥的母线都为l ，圆锥的半径为r ，则120360πl 2＝3π， ∴l ＝3.又∵2π3×3＝2πr ，∴r ＝1. ∴h ＝l 2－r 2＝2 2.∴S 表面积＝S 侧面＋S 底面＝πrl ＋πr 2＝4π，V ＝13Sh ＝13×π×12×22＝223π.19．(本小题满分16分)如图，圆锥的轴截面为等腰直角三角形SAB，Q为底面圆周上一点．(1)如果QB的中点为C，OH⊥SC，求证：OH∥平面SBQ；(2)如果∠AOQ＝60°，QB＝23，求圆锥的体积．解：(1)证明：∵OH⊥SC，SO⊥OH，SO∩SC＝S，∴OH⊥平面SOC，∴OH⊥OC.∵QB的中点为C，∴OC⊥QB.∵QB、OC、OH在同一平面内，∴OH∥QB，QB⊂平面SBQ，OH⊄平面SBQ，∴OH∥平面SBQ.(2)∵∠AOQ＝60°，AO＝QO，∴∠BAQ＝60°.在Rt△ABQ中，AB＝BQsin 60°＝2332＝4.∵圆锥的轴截面是等腰直角三角形，∴圆锥的高SO＝12AB＝2.∴V圆锥＝13π(AB2)2·SO＝13π·4·2＝83π.20．(本小题满分16分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，M，N分别是PA，BC的中点，且PD＝AD＝1.(1)求证：MN∥平面PCD；(2)求证：平面PAC⊥平面PBD；(3)求三棱锥P－ABC的体积．解：(1)证明：如图，取AD中点E，连结ME，NE，由已知M，N分别是PA，BC的中点，所以ME∥PD，NE∥CD，又ME，NE⊂平面MNE，ME∩NE＝E，所以平面MNE∥平面PCD，所以MN∥平面PCD.(2)证明：因为ABCD为正方形，所以AC⊥BD，又PD⊥平面ABCD，所以PD⊥AC，所以AC⊥平面PBD，又AC⊂平面PAC，所以平面PAC⊥平面PBD.(3)PD⊥平面ABCD，所以PD为三棱锥P－ABC的高，三角形ABC为等腰直角三角形，所以三棱锥P－ABC的体积V＝13S△ABC·PD＝16.。

1.2.1 平面的基本性质学习目标 1.掌握平面的表示法，点、直线与平面的位置关系.2.掌握有关平面的三个公理及三个推论.3.会用符号表示图形中点、线、面之间的位置关系.知识点一平面的概念思考几何里的“平面”有边界吗？用什么图形表示平面？梳理(1)平面的概念广阔的草原、平静的湖面都给我们以平面的形象.和点、直线一样，平面也是从现实世界中抽象出来的几何概念.(2)平面的画法(3)平面通常用希腊字母α，β，γ…表示，也可以用平行四边形的两个相对顶点的字母表示，如图中的平面α、平面AC等.知识点二点、线、面之间的位置关系思考直线和平面都是由点组成的，联系集合的观点，点和直线，平面的位置关系，如何用符号来表示？直线和平面呢？梳理点、直线、平面之间的基本位置关系及语言表达知识点三平面的基本性质思考1 直线l与平面α有且仅有一个公共点P.直线l是否在平面α内？有两个公共点呢？思考2 观察下图，你能得出什么结论？思考3 观察正方体ABCD—A1B1C1D1(如图所示)，平面ABCD与平面BCC1B1有且只有两个公共点B、C吗？梳理类型一 点、直线、平面之间的位置关系的符号表示例1 如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.反思与感悟(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示.(2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别.跟踪训练1 根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形：(1)A∈α，B∉α；(2)l⊂α，m∩α＝A，A∉l；(3)平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC.类型二点线共面例2 如图，已知：a⊂α，b⊂α，a∩b＝A，P∈b，PQ∥a，求证：PQ⊂α.引申探究将本例中的两条平行线改为三条，即求证：和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内.反思与感悟证明多线共面的两种方法(1)纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面内.(2)重合法：先说明一些直线在一个平面内，另一些直线在另一个平面内，再证明两个平面重合.跟踪训练2 已知l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C如图所示.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内.类型三点共线、线共点问题命题角度1 点共线问题例3 如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1交于点Q，求证：B，Q，D1三点共线.反思与感悟证明多点共线通常利用公理2，即两相交平面交线的惟一性，通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在直线上.跟踪训练3已知△ABC在平面α外，其三边所在的直线满足AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，如图所示.求证：P，Q，R三点共线.命题角度2 线共点问题例4 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AB的中点，F为AA1的中点.求证：CE、D1F，DA三线交于一点.反思与感悟证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上.此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点.跟踪训练4 已知：平面α，β，γ两两相交于三条直线l1，l2，l3，且l1，l2不平行.求证：l1，l2，l3相交于一点.1.用符号表示“点A在直线l上，l在平面α外”为______.2.平面α，β有公共点A，则α，β有________个公共点.3.下图中图形的画法正确的是________.(填序号)4.空间两两相交的三条直线，可以确定的平面数是______.5.如图，a∩b＝A，a∩c＝B，a∩d＝F，b∩c＝C，c∩d＝D，b∩d＝E，求证：a，b，c，d 共面.1.解决立体几何问题首先应过好三大语言关，即实现这三种语言的相互转换，正确理解集合符号所表示的几何图形的实际意义，恰当地用符号语言描述图形语言，将图形语言用文字语言描述出来，再转换为符号语言.文字语言和符号语言在转换的时候，要注意符号语言所代表的含义，作直观图时，要注意线的实虚.2.在处理点线共面、三点共线及三线共点问题时初步体会三个公理的作用，突出先部分再整体的思想.答案精析问题导学知识点一思考没有．水平放置的正方形的直观图梳理(2)正方形的直观图虚线知识点二思考点和直线，平面的位置关系可用数学符号“∈”或“∉”表示，直线和平面的位置关系，可用数学符号“⊂”或“⊄”表示．知识点三思考1 前者不在，后者在．思考2 不共线的三点可以确定一个平面．思考3 不是，平面ABCD与平面BCC1B1相交于直线BC.梳理一个AB⊂α经过这个公共点α∩β＝l且P∈l不在同一条直线上的三点外相交平行题型探究例1 解在(1)中，α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B.在(2)中，α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，a∩l＝P，b∩l＝P.跟踪训练1 解(1)点A在平面α内，点B不在平面α内，如图①.(2)直线l在平面α内，直线m与平面α相交于点A，且点A不在直线l上，如图②.(3)平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC相交于AC，如图③.例2 证明因为PQ∥a，所以PQ与a确定一个平面β，所以直线a⊂β，点P∈β.因为P∈b，b⊂α，所以P∈α.又因为a⊂α，所以α与β重合，所以PQ⊂α.引申探究解已知：a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求证：a，b，c和l共面．证明：如图，∵a∥b，∴a与b确定一个平面α.∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈α，B∈α.又∵A∈l，B∈l，∴l⊂α.∵b∥c，∴b与c确定一个平面β，同理l⊂β.∵平面α与β都包含l和b，且b∩l＝B，由公理3的推论知：经过两条相交直线有且只有一个平面，∴平面α与平面β重合，∴a，b，c和l共面．跟踪训练2 证明方法一(纳入平面法)∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.又∵l2⊂α，∴B∈α.同理可证C∈α.∵B∈l3，C∈l3，∴l3⊂α.∴直线l1，l2，l3在同一平面内．方法二(辅助平面法)∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴l2，l3确定一个平面β.∵A∈l2，l2⊂α，∴A∈α.∵A∈l2，l2⊂β，∴A∈β.同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.∴不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内，∴平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内．例3 证明如图，连结A1B，CD1，显然B∈平面A1BCD1，D1∈平面A1BCD1.∴BD1⊂平面A1BCD1.同理BD 1⊂平面ABC 1D 1.∴平面ABC 1D 1∩平面A 1BCD 1＝BD 1. ∵A 1C ∩平面ABC 1D 1＝Q ，∴Q ∈平面ABC 1D 1. 又∵A 1C ⊂平面A 1BCD 1， ∴Q ∈平面A 1BCD 1.∴Q 在平面A 1BCD 1与ABC 1D 1的交线上，即Q ∈BD 1，∴B ，Q ，D 1三点共线． 跟踪训练3 证明 方法一 ∵AB ∩α＝P ， ∴P ∈AB ，P ∈平面α.又AB ⊂平面ABC ，∴P ∈平面ABC .∴由公理2可知：点P 在平面ABC 与平面α的交线上．同理可证Q 、R 也在平面ABC 与平面α的交线上．∴P 、Q 、R 三点共线． 方法二 ∵AP ∩AR ＝A ，∴直线AP 与直线AR 确定平面APR . 又∵AB ∩α＝P ，AC ∩α＝R ， ∴平面APR ∩平面α＝PR . ∵B ∈平面APR ，C ∈平面APR ， ∴BC ⊂平面APR . ∵Q ∈BC ，∴Q ∈平面APR .又Q ∈α，∴Q ∈PR ，∴P 、Q 、R 三点共线． 例4 证明 如图，连结EF ，D 1C ，A 1B .∵E 为AB 的中点，F 为AA 1的中点， ∴EF 綊12A 1B .又∵A 1B 綊D 1C ， ∴EF 綊12D 1C ，∴E ，F ，D 1，C 四点共面， ∴D 1F 与CE 相交，设交点为P . 又D 1F ⊂平面A 1D 1DA ，CE ⊂平面ABCD ，中小学最新教育资料中小学最新教育资料 ∴P 为平面A 1D 1DA 与平面ABCD 的公共点． 又平面A 1D 1DA ∩平面ABCD ＝DA ， 根据公理2，可得P ∈DA ，即CE 、D 1F 、DA 相交于一点．跟踪训练4 证明 如图，α∩β＝l 1，β∩γ＝l 2，α∩γ＝l 3.∵l 1⊂β，l 2⊂β，且l 1，l 2不平行，∴l 1与l 2必相交．设l 1∩l 2＝P ，则P ∈l 1⊂α，P ∈l 2⊂γ，∴P ∈α∩γ＝l 3，∴l 1，l 2，l 3相交于一点P .当堂训练1．A ∈l ，l ⊄α 2.无数3．①③④⑤ 4.1或35．证明 因为A ，B ，C 三点不共线，所以A ，B ，C 三点确定一个平面，设为α. 因为A ∈a ，B ∈a ，所以a ⊂α， 因为A ∈b ，C ∈b ，所以b ⊂α， 因为B ∈c ，C ∈c ，所以c ⊂α， 所以a ，b ，c 都在α内．因为D ∈c ，E ∈b ，所以D ∈α，E ∈α. 又因为D ∈d ，E ∈d ，所以d ⊂α， 所以a ，b ，c ，d 共面．。

(一) 集合(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在题中横线上)1．若A＝{－2,2,3,4}，B＝{x|x＝t2，t∈A}，用列举法表示B＝________.【解析】由题知，A＝{－2,2,3,4}，B＝{x|x＝t2，t∈A}，∴B＝{4,9,16}．【答案】{4,9,16} 2．已知集合A＝{－2，－1,3,4}，B＝{－1,2,3}，则A∩B＝________.【解析】由题意得A∩B＝{－1,3}．【答案】{－1,3}3．集合A＝{x|0≤x<3且x∈N}的真子集的个数是________．【解析】集合A＝{0,1,2}，含有3个元素，因此子集个数为23＝8，所以真子集个数为8－1＝7.【答案】7 4．已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3,4}，则B∩∁U A＝_______________.【解析】由已知，∁U A＝{3,4,5}，所以B∩∁U A＝{2,3,4}∩{3,4,5}＝{3,4}．【答案】{3,4} 5．已知集合M＝{－1,0,1,2,3,4}，N＝{－2,2}，则下列结论成立的是________．(填序号)(1)N⊆M；(2)M∪N＝M；(3)M∩N＝N；(4)M∩N＝{2}．【解析】由集合的运算知N⊄M，N∪M＝{－2，－1,0,1,2,3,4}，M∩N＝{2}．【答案】(4) 6．设全集U＝{1,2,3,4,5,6}，集合A＝{1,3,5}，B＝{2,4}，则下列说法正确的是________．(填序号)(1)U＝A∪B；(2)U＝(∁U A)∪B；(3)U＝A∪(∁U B)；(4)U＝(∁U A)∪(∁U B)．【解析】对于(1)，A∪B＝{1,2,3,4,5}，不正确；对于(2)，(∁U A)∪B＝{2,4,6}，不正确；对于(3)，A∪(∁U B)＝{1,3,5,6}，不正确．【答案】(4)7．下面四个叙述中正确的个数是________个．①∅＝{0}；②任何一个集合必有两个或两个以上的子集；③空集没有子集；④空集是任何一个集合的子集．【解析】空集不等于{0}；空集只有一个子集；空集是任何一个集合的子集，故①②③错误，④正确．【答案】18．设集合{x |ax 2＋bx ＋c ＝0}＝{－2,1}，则b c＝________.【解析】 由集合{x |ax 2＋bx ＋c ＝0}＝{－2,1}，可知方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根为x 1＝－2，x 2＝1，∴x 1＋x 2＝－b a ＝－1，x 1x 2＝c a ＝－2，两式相除得b c ＝－12.【答案】 －129．已知集合A ＝{0, 1}, B ＝{a ＋2, 2a }，其中a ∈R, 我们把集合{x | x ＝x 1＋x 2, x 1∈A,x 2∈B }记作A ＋B ，若集合A ＋B 中的最大元素是2a ＋1，则a 的取值范围是________．【解析】 由题知A ＋B 中的元素为a ＋2,2a ，a ＋3,2a ＋1，由于最大元素为2a ＋1，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2<2a ＋1，2a<2a ＋1，a ＋3<2a ＋1，解得a >2.【答案】a >210．已知集合A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |x ≤a }，若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是________．【解析】 当A ∩B ＝∅时，a ≤1，所以A ∩B ≠∅时，则a >1.【答案】 {a |a >1}11．已知{1,3}⊆A ，且{1,3}∪A ＝{1,3,5}，则集合A ＝________.【解析】 因为{1,3}⊆A ，所以集合A 中一定有1,3这两个元素．又因为{1,3}∪A ＝{1,3,5}，所以集合A 中还有5这个元素，所以A ＝{1,3,5}．【答案】 {1,3,5}12．设全集I 是实数集R ，M ＝(－1,0]∪(2，＋∞)与N ＝(－2,2)都是I 的子集，则图1阴影部分所表示的集合为________．图1【解析】 阴影部分可以表示为{x |x ∈N 且x ∉M }＝{x |x ∈N 且x ∈∁R M }＝N ∩∁R M ＝{x |－2<x ≤－1或0<x <2}＝(－2，－1]∪(0,2)．【答案】 (－2，－1]∪(0,2)13．集合M ＝{3,2a}，N ＝{a ，b }，若M ∩N ＝{2}，则M ∪N ＝________.【解析】 由题知M ∩N ＝{2}，∴2a＝2，∴a ＝1，∴b ＝2，∴M ＝{2,3}，N ＝{1,2}，∴。

1.2.4 第1课时两平面平行(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．有下列命题：①平面α内有无数个点到平面β的距离相等，则α∥β；②α∩γ＝a，α∩β＝b，且a∥b(α，β，γ分别表示平面，a，b表示直线)，则γ∥β；③平面α内一个三角形三边分别平行于平面β内的一个三角形的三条边，则α∥β；④平面α内的一个平行四边形的两边与平面β内的一个平行四边形的两边对应平行，则α∥β.其中正确的有________．(填序号)【解析】由面面平行的定义、性质得③正确．【答案】③2．已知夹在两平行平面α，β之间的线段AB的长为6，AB与α所成的角为60°，则α与β之间的距离为________．【解析】过B作BC⊥α于C，则∠BAC＝60°，在Rt△ABC中，BC＝AB·sin 60°＝3 3.【答案】3 33．如图1－2－83，AE⊥平面α，垂足为E，BF⊥α，垂足为F，l⊂α，C，D∈α，AC⊥l，则当BD与l______时，平面ACE∥平面BFD.图1－2－83【解析】l⊥平面ACE，故需l⊥平面BFD.【答案】垂直4．平面α过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m，n所成角的正弦值为________．【解析】 设平面CB 1D 1∩平面ABCD ＝m 1.∵平面α∥平面CB 1D 1，∴m 1∥m . 又平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1， 且平面CB 1D 1∩平面A 1B 1C 1D 1＝B 1D 1， ∴B 1D 1∥m 1.∴B 1D 1∥m .∵平面ABB 1A 1∥平面DCC 1D 1，且平面CB 1D 1∩平面DCC 1D 1＝CD 1，同理可证CD 1∥n . 因此直线m 与n 所成的角即直线B 1D 1与CD 1所成的角． 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，△CB 1D 1是正三角形， 故直线B 1D 1与CD 1所成角为60°，其正弦值为32. 【答案】325．已知平面α∥β∥γ，两条相交直线l ，m 分别与平面α，β，γ相交于点A ，B ，C 和D ，E ，F ，已知AB ＝6，DE DF ＝25，则AC ＝________.【导学号：41292038】【解析】 ∵α∥β∥γ，∴AB BC ＝DEEF. 由DE DF ＝25，得DE EF ＝23，即AB BC ＝23， 而AB ＝6，∴BC ＝9，∴AC ＝AB ＋BC ＝15. 【答案】 156．若平面α∥平面β，且α，β间的距离为d ，则在平面β内，下列说法正确的是________．(填序号)①有且只有一条直线与平面α的距离为d ； ②所有直线与平面α的距离都等于d ； ③有无数条直线与平面α的距离等于d ； ④所有直线与平面α的距离都不等于d .【解析】 由两平行平面间的距离可知，②③正确． 【答案】 ②③7．如图1－2－84所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H 分别是棱CC 1，C 1D 1，D 1D ，CD 的中点，N 是BC 的中点，点M 在四边形EFGH 及其内部运动，则M 满足________时，有MN ∥平面B 1BDD 1.图1－2－84【解析】∵HN∥BD，HF∥DD1，HN∩HF＝H，BD∩DD1＝D，∴平面NHF∥平面B1BDD1，故线段FH上任意点M与N连结，有MN∥平面B1BDD1.【答案】M∈线段FH8．如图1－2－85，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________．图1－2－85【解析】取CD的中点H，连结EH，FH(略)．在正四面体CDEF中，由于CD⊥EH，CD ⊥HF，所以CD⊥平面EFH，所以AB⊥平面EFH，则平面EFH与正方体的左右两侧面平行，则EF也与之平行，与其余四个平面相交．【答案】 4二、解答题9．如图1－2－86所示，B为△ACD所在平面外一点，M，N，G分别为△ABC，△ABD，△BCD的重心．图1－2－86(1)求证：平面MNG∥平面ACD；(2)求S△MNG∶S△ACD.【解】(1)证明：连结BM，BN，BG并延长交AC，AD，CD分别于点P，F，H.∵M ，N ，G 分别为△ABC ，△ABD ，△BCD 的重心， ∴BM MP ＝BN NF ＝BGGH＝2.连结PF ，FH ，PH ，有MN ∥PF . 又PF ⊂平面ACD ，MN ⊄平面ACD . ∴MN ∥平面ACD .同理MG ∥平面ACD .又MG ∩MN ＝M ， ∴平面MNG ∥平面ACD . (2)由(1)可知MG PH ＝BG BH ＝23，∴MG ＝23PH .又PH ＝12AD ，∴MG ＝13AD .同理NG ＝13AC ，MN ＝13CD .∴△MNG ∽△ACD ，其相似比为1∶3. ∴S △MNG ∶S △ACD ＝1∶9.10.如图1－2－87，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 是DD 1的中点，设Q 是CC 1上的点，问：当点Q 在什么位置时，平面D 1BQ 与平面PAO 平行？图1－2－87【解】 如图，设平面D 1BQ ∩平面ADD 1A 1＝D 1M ，点M 在AA 1上，由于平面D 1BQ ∩平面BCC 1B 1＝BQ ，平面ADD 1A 1∥平面BCC 1B 1，由面面平行的性质定理可得BQ ∥D 1M .假设平面D 1BQ ∥平面PAO ，由平面D 1BQ ∩平面ADD 1A 1＝D 1M ，平面PAO ∩平面ADD 1A 1＝AP ，可得AP ∥D 1M ，所以BQ ∥D 1M ∥AP .因为P 为DD 1的中点，所以M 为AA 1的中点，所以Q 为CC 1的中点，故当Q 为CC 1的中点时，平面D 1BQ ∥平面PAO .[能力提升]1．如图1－2－88，在多面体ABC －A 1B 1C 1中，如果在平面AB 1内，∠1＋∠2＝180°，在平面BC 1内，∠3＋∠4＝180°，那么平面ABC 与平面A 1B 1C 1的位置关系是________．图1－2－88【解析】 在平面AB 1内，∠1＋∠2＝180°知A 1B 1∥AB ，在平面BC 1内，∠3＋∠4＝180°，知B 1C 1∥BC ，所以平面ABC 与平面A 1B 1C 1平行．【答案】 平行2．已知平面α∥平面β，直线m ⊂α，直线n ⊂β，点A ∈m ，点B ∈n ，记点A ，B 之间的距离为a ，点A 到直线n 的距离为b ，直线m 和n 的距离为c ，则a ，b ，c 之间的大小关系为__________.【导学号：41292040】【解析】 在如图所示的棱长为1的正方体中，上、下底面分别记为α，β.直线m 即直线AD 1，直线n 即直线BD .显然点A ，B 之间的距离为a ＝3，点A 到直线n 的距离为b ＝2，直线m 和n 的距离为c ＝1，则c <b <a .【答案】 c <b <a3．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，Q 分别是棱D 1C 1，A 1D 1，BC 的中点．点P 在对角线BD 1上，且BP ＝23BD 1，给出下列四个命题：图1－2－89①MN ∥平面APC ； ②C 1Q ∥平面APC ； ③A ，P ，M 三点共线； ④平面MNQ ∥平面APC .其中正确命题的序号为______________．【解析】 E ，F 分别为AC ，MN 的中点，G 为EF 与BD 1的交点，显然△D 1FG ∽△BEG ，故D 1G BG ＝D 1F BE ＝12，即BG ＝23BD 1.又BP ＝23BD 1，故点G 与点P 重合，所以平面APC 和平面ACMN 重合，MN ⊂平面APC ，故命题①不正确，命题④也不正确．【答案】 ②③4．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，如图1－2－90所示．图1－2－90(1)求证：平面AB 1D 1∥平面C 1BD ；(2)试找出体对角线A 1C 与平面AB 1D 1和平面C 1BD 的交点E ，F ，并证明A 1E ＝EF ＝FC . 【解】 (1)证明：因为在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD 綊B 1C 1，所以四边形AB 1C 1D 是平行四边形，所以AB 1∥C 1D .又因为C 1D ⊂平面C 1BD ，AB 1⊄平面C 1BD .所以AB 1∥平面C 1BD .同理可证，B 1D 1∥平面C 1BD .又因为AB 1∩B 1D 1＝B 1，AB 1⊂平面AB 1D 1，B 1D 1⊂平面AB 1D 1，所以平面AB 1D 1∥平面C 1BD . (2)如图所示，连结A 1C 1，交B 1D 1于点O 1；连结AO 1，与A 1C 交于点E .又因为AO1⊂平面AB1D1，所以点E也在平面AB1D1内，所以点E就是A1C与平面AB1D1的交点．连结AC，交BD于O；连结C1O，与A1C交于点F，则点F就是A1C与平面C1BD的交点．下面证明A1E＝EF＝FC.因为平面A1C1C∩平面AB1D1＝EO1，平面A1C1C∩平面C1BD＝C1F，平面AB1D1∥平面C1BD，所以EO1∥C1F，在△A1C1F中，O1是A1C1的中点，所以E是A1F的中点，即A1E＝EF；同理可证OF∥AE，所以F是CE的中点，即FC＝EF，所以A1E＝EF＝FC.。