新浙教版八年级数学下册第二章《一元二次方程上课用与系数的关系》公开课 课件

P = －9 , q = 6 P = 9 , q = －54 P = 0 , q =－21
P = 12, q =－3
你会 做吗?
提示:应用韦达定理得 x1+x2= － p/3 ; x1x2=;m=0 的一个根是1,求它的另一个 根及 m的值.
答案： 另一个根是１６／３， m的值是１６．
1
它的两个根分别是 3 ，1，请写出这个方程.
解:设这个方程为3x2bx c0
b (11) 4b4
33
3
c 3
1 1 1 33
c1
∴这个方程为 3x24x10
例3 已知方程 x2-(k+1)x+3k=0 的一个根是２，求它的 另一个根和 k 的值．
解：设方程的另一个根为 x1
把x＝２代入方程，得 ４－２（k＋１）＋３k＝０,
x1+x2=12 x1 ·x2=11
x1+x2=0 x1 ·x2=-9
x1+x2=-5 x1 ·x2=25/4
找到 规律 了吗?
如果方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的两个根是 x1,x2
那么
x1+x2=－b/a, x1·x2=c/a
一元二次方程的根与系数的关系
推论 如果方程 x2+px+q=0 的两个根是 x1,x2 那么 x1+x2=－p ,x1x2=q
原式=X1+X2+X1X2+1=（－２）＋（－３／２）＋１＝－５／２ （4） X1/X2+X2/X1 ；
原式＝（X12+X22）/X1X2 = ７/（－３／２）＝－１４／３
可否利用(X1+X2) 和X1X2的表达式表示下列各式?

小结
一元二次方程根与系数的关系
两根之和等于一次项系数除以二次项 系数的商的相反数,两根之积等于常数项除 以二次项系数所得的商.
x1 x2
b a
x1x2 c
a
初中数学课件
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2.4一元二次方程 根与系数的关系
一元二次方程的一般形式
ax2 bx c 0a 0
当，b2方4程a有c 解0，
求根公式 x b b2 4ac 2a
ax2 bx c 0(a 0)中
x1 b
b2 2a

4ac
x 2 12x 9 0 的两个根，求这个长方形的周长
和面积。
展示交流：
2．若关于 x 的一元二次方程(m2 2)x2 (m 2)x 1 0
的两个根互为相反数，求 m 的值。
1、3 , 1 22
3、 3 5、 2 2
2、1,3 4、如：x2 4x 1 0
合作探究：
1．设是x1一, x2元二次方程
7x2 2x 1 0
的两个根，求下列代数式的值。
(1) x12 x2 2
(2)
1 x1

1 x2
合作探究：
2．已知一个一元二次方程的二次项系数 是7，它的两个根是1, 1 ，写出这个方程。
7
展示交流：
1．已知长方形相邻两边长是一元二次方程
,
4ac 2a
x1 x2 b
b2 4ac b 2a
b2 4ac 2a
b b2 4ac b b2 4ac 2a
2b b 2a a
x1x2 b
b2 4ac b 2a

方x1＋程xa2x＝2＋__－b_x_ba＋__c_＝,x01x(2a＝≠_0_)_的_a_c根__如. 果是x1，x2，那么
一般地，一元二次方程根与系数有如下关系：
如果x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两
个根，那么x1＋x2＝－
b a
c ，x1x2＝ a
.
你能证明上面的结论吗？
深入探究
拓展训练
1 方程 2x2－3x＋1＝0的两个根记作x1 ， x2
不解方程，求x1 －x2的值.
解：由根与系数的关系，得
x1＋x2＝
3 2
，x1
x2＝
1 2
.
x1－x2 2 ＝ x1＋x2 2 －4x1x2
＝
3 2
2
－4
1＝ 2
1 4
.
∴x1－x2＝
1 2
.
总结归纳
求与根有关的代数式的值时，看代数式 是否具有对称性，若具有对称性，则直接变 形，将两根之和或积代入求值；若不具有对 称性，则将其中的某一个根单独代入方程中， 得到与待求值的代数式相关的结构，进行整 体代入求值．
方法规律总结
(1)不用解方程，即可求得两根之和、两根之积
(2)可根据已知一根求另一根，也可求一元二次方程
的待定系数
课堂小结
利用根与系数关系解决问题的一般步骤： 第一步：先将方程化为一般式
ax2+bx+c=0 （a≠0） 第二步：计算b2-4ac的值
b2-4ac≥0 有实数根 b2-4ac＜0 无实数根 第三步：有实数根写出两根之和，两根之积
1 x1
1 x2
x1 x2 x1 x2
7 5
3 5
7 5
5 3

2
3 5
79 25
1 1 x1 x2 7 5 7 x1 x2 x1x2 5 3 3
例题探究
【练习】设x1, x2是一元二次方程2x2 6x 3 0的两个根，求：
(1)(x1 x2 )2.
(2) x2 x1 . x1 x2
归纳小结
【归纳】几种常见代数式的变形求值:
（6）x1 x2 (x1 x2 )2 (x1 x2 )2 4x1x2
例题探究
【例2】已知一个一元二次方程的二次项系数是3，它的两个根分别 是 1 和1，写出这个方程. 3
例题探究
【例3】已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2＋(2m＋1)x＋m2＋1＝0
的两个实数根，当x12＋x22＝15时，求m的值．
浙教版 八年级下册
第2章 一元二次方程
2.4 一元二次方程根与系数的关系
学习目标
学习目标
1.经历一元二次方程根与系数的关系发现过程。
2.了解一元二次方程根与系数的关系及其证明。
3.会运用一元二次方程根与系数的关系简化有关一元二次方程 根的运算
课前复习
【复习1】一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) 的解法
（1）1 1 x1 x2
x1 x2
x1 x2
（2）x1 x2 x12 x22 (x1 x2 )2 2x1x2
x2 x1
x1 x2
x1 x2
（3）x12x22x1x2 22x1x2
（4）x1 x2 2 x1 x2 2 4x1x2
（5）(x1 1)( x2 1) x1x2 (x1 x2 ) 1
∴ab＋ba＝a2＋abb2＝（a＋ba）b2－2ab＝152－2×－（5 －5）＝－47.