2019-2020学年四川省成都外国语学校高一下学期期中(理科)数学试卷 (解析版)

2019-2020学年四川省成都外国语学校高一第二学期期中数学试卷（理科）

一、选择题（共12小题）.

1．已知a＜b＜0，则下列不等式成立的是（ ）

A．a2＜b2 B．a2＜ab C．1𝑎＜1𝑏 D．𝑏𝑎＜𝟏

2．在等比数列{an}中，a2＝2，a5＝16，则a6＝（ ）

A．28 B．32 C．64 D．14

3．已知直线3x﹣y+1＝0的倾斜角为α，则tan（α+𝜋4）＝（ ）

A．﹣2 B．−12 C．2 D．12

4．△ABC中，如果𝑎𝑡𝑎𝑛𝐴=𝑏𝑡𝑎𝑛𝐵=𝑐𝑡𝑎𝑛𝐶，那么△ABC是（ ）

A．直角三角形 B．等边三角形

C．等腰直角三角形 D．钝角三角形

5．已知等差数列{an}中，前n项和Sn满足S10﹣S3＝42，则a7的值是（ ）

A．3 B．6 C．7 D．9

6．等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝2，S3＝﹣6，则S5＝（ ）

A．18 B．10 C．﹣14 D．﹣22

7．《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的无字证明为（ ）

A．𝑎+𝑏2≥√𝒂𝒃（a＞0，b＞0）

B．a2+b2≥2ab（a＞0，b＞0）

C．2𝑎𝑏𝑎+𝑏≤√𝒂𝒃（a＞0，b＞0） D．𝑎+𝑏2≤√𝑎2+𝑏22（a＞0，b＞0）

8．在△ABC中，∠A、B、C对边分别为a、b、c，A＝60°，b＝1，这个三角形的面积为√𝟑，则a＝（ ）

A．2 B．√𝟏𝟎 C．2√𝟑 D．√𝟏𝟑

9．已知数列{an}为等差数列，Sn为前n项和，公差为d，若𝑆20202020−𝑆2020=𝟏𝟎𝟎，则d的值为（ ）

A．120 B．110 C．10 D．20

10．设当x＝θ时，函数f（x）＝2sinx﹣cosx取得最大值，则cosθ＝（ ）

A．√55 B．2√55 C．−√55 D．−2√55

11．设直线nx+（n+1）y=√𝟐(𝒏∈𝑵∗)与两坐标轴围成的三角形面积为Sn，则S1+S2+…+S2019+S2020的值为（ ）

A．20172018 B．20182019 C．20192020 D．20202021

12．在锐角△ABC中，a＝2，B＝2A，则b的取值范围是（ ）

A．(𝟐，𝟐√𝟑) B．(𝟐√𝟐，𝟐√𝟑) C．(𝟐√𝟐，𝟒) D．(𝟐√𝟑，𝟒)

二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）

13．sin𝜋12= ．

14．等比数列{an}前n项和𝑺𝒏=𝟑𝒏+𝒓，则r＝ ．

15．已知直线kx﹣y+1﹣k＝0恒过定点A，且点A在直线mx+ny﹣2＝0（m＞0，n＞0）上，则mn的最大值为 ．

16．若对于𝒙∈(𝟎，𝜋2)，不等式1𝑠𝑖𝑛2𝑥+𝑝𝑐𝑜𝑠2𝑥≥𝟗恒成立，则正实数p的取值范围为 ．

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤

17．已知三角形三顶点A（4，0），B（8，10），C（0，6），求：

（1）过A点且平行于BC的直线方程．

（2）AC边上的高所在的直线方程．

18．在△ABC中，a＝7，c＝3，且5sinC＝3sinB．

（Ⅰ）求b的值；

（Ⅱ）求A的大小． 19．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2﹣n．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设bn＝（﹣1）n•an，求数列{bn}的前2n项和T2n．

20．已知函数𝒇(𝒙)=𝟒𝒄𝒐𝒔𝒙[𝒔𝒊𝒏(𝒙−𝜋3)+𝒔𝒊𝒏𝒙]．

（1）求函数的最小正周期和对称轴；

（2）当𝒙∈[−𝜋12，𝜋2]时，求函数f（x）的值域．

21．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足𝑎−𝑏+𝑐𝑐=𝑏𝑎+𝑏−𝑐．

（1）求角A；

（2）若△ABC的外接圆半径为1，求△ABC的面积S的最大值．

22．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且S3＝2S2+1．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）若数列{an}为递增数列，数列{bn}满足𝒃𝒏=2𝑛−12𝑎𝑛(𝒏∈𝑵∗)，求数列bn的前n项和Tn．

（3）在条件（2）下，若不等式λnTn﹣3λn+bn＜0对任意正整数n都成立，求λ的取值范围．

参考答案

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分共60分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，并将正确选项的序号填涂在答题卷．

1．已知a＜b＜0，则下列不等式成立的是（ ）

A．a2＜b2 B．a2＜ab C．1𝑎＜1𝑏 D．𝑏𝑎＜𝟏

【分析】方法一：该题是选择题，可利用排除法，数可以是满足a＜b＜0任意数，代入后看所给等式是否成立，即可得到正确选项．

方法二：比较大小可采用作差比较，一般步骤是作差、变形、定号，从而得到大小关系．

解：方法一：若a＜b＜0，不妨设a＝﹣2，b＝﹣1代入各个选项，错误的是A、B、D，

故选C．

方法二：∵a＜b＜0∴a2﹣b2＝（a﹣b）（a+b）＞0即a2＞b2，故选项A不正确；

∵a＜b＜0∴a2﹣ab＝a（a﹣b）＞0即a2＞ab，故选项B不正确；

∵a＜b＜0∴1𝑎−1𝑏=𝑏−𝑎𝑎𝑏＞0即1𝑎＞1𝑏，故选项C不正确；

∵a＜b＜0∴𝑏𝑎−1=𝑏−𝑎𝑎＜0即𝑏𝑎＜1，故选项D正确．

故选：D．

2．在等比数列{an}中，a2＝2，a5＝16，则a6＝（ ）

A．28 B．32 C．64 D．14

【分析】利用等比数列的通项公式即可得出．

解：设等比数列{an}的公比为q，∵a2＝2，a5＝16，

∴a1q＝2，𝒂𝟏𝒒𝟒=16，

解得a1＝1，q＝2．

则a6＝25＝32．

故选：B．

3．已知直线3x﹣y+1＝0的倾斜角为α，则tan（α+𝜋4）＝（ ）

A．﹣2 B．−12 C．2 D．12

【分析】由题意利用直线的倾斜角和斜率求得tanα的值，再利用两角和的正切公式求得tan（α+𝜋4）的值． 解：∵直线3x﹣y+1＝0的倾斜角为α，∴tanα＝3，则tan（α+𝜋4）=𝑡𝑎𝑛𝛼+11−𝑡𝑎𝑛𝛼=−2，

故选：A．

4．△ABC中，如果𝑎𝑡𝑎𝑛𝐴=𝑏𝑡𝑎𝑛𝐵=𝑐𝑡𝑎𝑛𝐶，那么△ABC是（ ）

A．直角三角形 B．等边三角形

C．等腰直角三角形 D．钝角三角形

【分析】把已知等式中切转化成弦，进而利用正弦定理求得cosA与cosB，cosC相等，判断出A＝B＝C，进而可知三角形为等边三角形．

解：∵𝑎𝑡𝑎𝑛𝐴=𝑏𝑡𝑎𝑛𝐵=𝑐𝑡𝑎𝑛𝐶，

∴𝑎𝑐𝑜𝑠𝐴𝑠𝑖𝑛𝐴=𝑏𝑐𝑜𝑠𝐵𝑠𝑖𝑛𝐵=𝑐𝑐𝑜𝑠𝐶𝑠𝑖𝑛𝐶，

∵𝑎𝑠𝑖𝑛𝐴=𝑏𝑠𝑖𝑛𝐵=𝑐𝑠𝑖𝑛𝐶，

∴cosA＝cosB＝cosC，

∴A＝B＝C，

∴三角形为等边三角形．

故选：B．

5．已知等差数列{an}中，前n项和Sn满足S10﹣S3＝42，则a7的值是（ ）

A．3 B．6 C．7 D．9

【分析】利用等差数列的求和公式通项公式即可得出．

解：∵S10﹣S3＝42，∴10a1+45d﹣（3a1+3d）＝42，化为：a1+6d＝6，

则a7＝a1+6d＝6，

故选：B．

6．等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝2，S3＝﹣6，则S5＝（ ）

A．18 B．10 C．﹣14 D．﹣22

【分析】运用等比数列的通项公式和前n项和公式列方程解方程可解决此问题．

解：根据题意得，q≠1

∴a𝟏+a2＝2 ①

a3＝﹣8 ②

又a1（1+q）＝2，a1q2＝﹣8

∴q2＝﹣4﹣4q 解得q＝﹣2，a1＝﹣2

∴S5＝﹣22

故选：D．

7．《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的无字证明为（ ）

A．𝑎+𝑏2≥√𝒂𝒃（a＞0，b＞0）

B．a2+b2≥2ab（a＞0，b＞0）

C．2𝑎𝑏𝑎+𝑏≤√𝒂𝒃（a＞0，b＞0）

D．𝑎+𝑏2≤√𝑎2+𝑏22（a＞0，b＞0）

【分析】由图形可知：OF=12𝑨𝑩=𝑎+𝑏2，OC=𝑎−𝑏2．在Rt△OCF中，由勾股定理可得：CF=√(𝑎+𝑏2)𝟐+(𝑎−𝑏2)𝟐=√𝑎2+𝑏22．利用CF≥OF即可得出．

解：由图形可知：OF=12𝑨𝑩=𝑎+𝑏2，OC=𝑎−𝑏2．

在Rt△OCF中，由勾股定理可得：

CF=√(𝑎+𝑏2)𝟐+(𝑎−𝑏2)𝟐=√𝑎2+𝑏22．

∵CF≥OF，

∴𝑎+𝑏2≤√𝑎2+𝑏22．（a，b＞0）．

故选：D．

8．在△ABC中，∠A、B、C对边分别为a、b、c，A＝60°，b＝1，这个三角形的面积为√𝟑，则a＝（ ）

A．2 B．√𝟏𝟎 C．2√𝟑 D．√𝟏𝟑

【分析】在△ABC中，由，∠A＝60°，b＝1，其面积为√𝟑，可求得c，利用余弦定理a2＝b2+c2﹣2b•c•cosA可以求得a．

解：在△ABC中，∵∠A＝60°，b＝1，S△ABC=12𝒃⋅𝒄⋅𝒔𝒊𝒏𝑨=12×𝟏×𝒄×𝒔𝒊𝒏𝟔𝟎°=√𝟑，

∴c＝4，

∴由余弦定理得：a2＝b2+c2﹣2b•c•cosA＝17﹣2×4×1×12=13，

解得a=√𝟏𝟑；

故选：D．

9．已知数列{an}为等差数列，Sn为前n项和，公差为d，若𝑆20202020−𝑆2020=𝟏𝟎𝟎，则d的值为（ ）

A．120 B．110 C．10 D．20

【分析】等差数列的性质可知，𝑠𝑛𝑛=a1+12(𝒏−𝟏)𝒅，代入即可求解．

解：由等差数列的性质可知，𝑠𝑛𝑛=a1+12(𝒏−𝟏)𝒅，

若𝑆20202020−𝑆2020=𝟏𝟎𝟎，

则d=12×𝟐𝟎𝟏𝟗𝒅−12×𝟏𝟗𝒅=100，

解可得，d=110．

故选：B．

10．设当x＝θ时，函数f（x）＝2sinx﹣cosx取得最大值，则cosθ＝（ ）

A．√55 B．2√55 C．−√55 D．−2√55

【分析】利用辅助角公式化简函数的解析式为函数f（x）=√𝟓sin（x+α）（其中，cosα=2√5，sinα=−1√5 ），由题意可得θ+α＝2kπ+𝜋2，k∈z，即 θ＝2kπ+𝜋2−α，k∈z，再利用诱