2020届上海市青浦区高三二模数学试题(解析版)

努力的你，未来可期!

精品 2020届上海市青浦区高三二模数学试题

一、单选题

1．已知,abR，则“0b”是“20ab”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】当0b时，一定有20ab，而20ab时，不一定有0b，从而可得结论

【详解】

解：因为20a，0b，所以20ab，

当20ab时，若2,3ab满足条件，但0b不成立，

所以“0b”是“20ab”的充分不必要条件，

故选：A

【点睛】

此题考查充分条件和必要条件的判断，属于基础题

2．我国古代数学著作《九章算术》中记载问题：“今有垣厚八尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日半尺，大鼠日增倍，小鼠日自半，问几何日相逢?”，意思是“今有土墙厚8尺，两鼠从墙两侧同时打洞，大鼠第一天打洞一尺，小鼠第一天打洞半尺，大鼠之后每天打洞长度比前一天多一倍，小鼠之后每天打洞长度是前一天的一半，问两鼠几天打通相逢?”两鼠相逢需要的最少天数为（ ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】B

【解析】求得前几天两只老鼠打洞长度的和，由此确定需要的天数.

【详解】

依题意可知，大老鼠每天打洞的长度是首项11a，公比为2的等比数列；大小老鼠每天打洞的长度是首项112b，公比为12的等比数列.设nS是前n天两只老鼠打洞长度的和.

第1天，1111131,,1222abS； 努力的你，未来可期!

精品 第2天，222131152,,24244abS；

第3天，3331151634,,48488abS；

第4天，4418,16ab，4S显然大于8.

所以两鼠相逢需要的最少天数为4天.

故选：B

【点睛】

本小题主要考查等比数列，考查中国古代数学文化，属于基础题.

3．记椭圆221441xnyn围成的区域（含边界）为(1,2)nn，当点(,)xy分别在12,,上时xy的最大值分别是1M，2M，…，则limnnM（ ）

A．25 B．4 C．3 D．22

【答案】D

【解析】通过221441xnyn的参数方程2cos14sinxyn（为参数），

可得：112cos4sin8sinxynn，从而max1()8xyn，

求极限即可得解.

【详解】

椭圆221441xnyn的参数方程为：

2cos14sinxyn（为参数） ，

所以：21112cos4sin=2+4+sin8sinxynnn，

所以：max1()8xyn，

所以：1limlim822nnnMn.

故选：D. 努力的你，未来可期!

精品 【点睛】

本题考查了椭圆的参数方程，考查了辅助角公式求三角函数最值，考查了转化思想，也考查了极限的运算，属于中档题.

4．已知函数()sin2sinfxxx，关于x的方程2()()10fxafx有以下结论：

①当0a时，方程210fxafx在[0]2，最多有3个不等实根；

②当6409a时，方程210fxafx在[0]2，内有两个不等实根；

③若方程210fxafx在[0,6]内根的个数为偶数，则所有根之和为15；

④若方程210fxafx在0,6根的个数为偶数，则所有根之和为36．

其中所有正确结论的序号是（ ）

A．②④ B．①④ C．①③ D．①②③

【答案】C

【解析】先研究()fx在[0，2]内的图象，求其值域，进而研究方程2()()10fxafx两根的取值范围，结合图象研究四个命题的正误．

【详解】

由已知得3sin,[0,]()sin2|sin|sin,(,2]xxfxxxxx，做出图象如下：

由2()()10fxafx得：42aafx或4.2aa

令1244,22aaaatt．显然0a，11t，20t（舍)．

原方程的根看成1yt与()yfx的交点的横坐标．

对于①，如图所示：因为11t，当0a时，11t，yt与()yfx恰好有三个交努力的你，未来可期!

精品 点；当0a时，分别有2个、1个、0个交点，故①正确；

对于②，结合①可知，0a时，有3个根，故②错误；

对于③，如图所示，由题意，只能满足：1yt只与()yfx在[0，]，[2，3]，[4，5]上的图象各有两个交点．

易知这六个零点分别关于59,,222xxx对称，所以六个根的和为：5922215222．

故③正确，④错误．

故正确命题的序号是①③．

故选：C．

【点睛】

本题考查函数零点的求法，利用数形结合思想、函数与方程思想、转化思想解决问题的能力，属于较难的题目．

二、填空题

5．已知全集UR，集合(,2)A，则集合UA_____________．

【答案】[2)， 努力的你，未来可期!

精品 【解析】直接利用补集的定义求解即可

【详解】

解：因为全集UR，集合(,2)A，

所以UA[2)，，

故答案为：[2)，

【点睛】

此题考查集合的补集运算，属于基础题

6．已知i为虚数单位，复数2zi的共轭复数z______________．

【答案】2i

【解析】根据定义直接得到共轭复数即可.

【详解】

根据共轭复数的定义得：2zi.

故答案为：2i.

【点睛】

本题考查共轭复数的概念，是基础题.

7．已知函数11fxx，则方程12fx的解x_____________．

【答案】32

【解析】根据互为反函数的两个函数间的关系知，欲求满足1()2fx的x值，即求(2)f的值．

【详解】

解：13(2)122f，

所以32x.

故答案为：32.

【点睛】

本题考查原函数与反函数之间的关系，即原函数过点(,)xy，则反函数过点(,)yx，基础题.

8．若51ax的展开式中3x的系数是80，则实数a的值是

【答案】2 努力的你，未来可期!

精品 【解析】【详解】试题分析：由题意

3x的系数是，解得.

【考点】二项式定理的应用.

9．双曲线2214xy一个焦点到一条渐近线的距离为______

【答案】1

【解析】求出双曲线的渐近线方程，用点到直线的距离公式，即可求解.

【详解】

根据对称性，2214xy焦点坐标(5),0F，

渐近线方程为12yx，即20xy，

焦点到渐近线距离为25112.

故答案为:1

【点睛】

本题考查双曲线简单几何性质，属于基础题.

10．用一平面去截球所得截面的面积为23cm，已知球心到该截面的距离为1cm，则该球的表面积是___________2cm．

【答案】16

【解析】由已知求出小圆的半径，然后利用勾股定理求出球的半径，即可求出球的表面积

【详解】

解：因为用一平面去截球所得截面的面积为23cm，

所以小圆的半径为3cm，

因为球心到该截面的距离为1cm，

所以球的半径为221(3)2cm，

所以球的表面积为24216S2cm，

故答案为：16 努力的你，未来可期!

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【点睛】

此题考查球的截面的半径、球心到截面的距离与球的半径间的关系，属于基础题

11．已知0,0xy，且21xy，则11xy的最小值为________．

【答案】322

【解析】先把11xy转化为11112(2)()3yxxyxyxyxy，然后利用基本不等式可求出最小值

【详解】

解：∵21xy，0,0xy，

∴11112(2)()3322yxxyxyxyxy(当且仅当2yxxy，即2xy时，取“=”)．

又∵21xy，∴21212xy，

∴当21x，212y时，11xy有最小值，为322．

故答案为：322

【点睛】

此题考查利用基本不等式求最值，利用1的代换，属于基础题.

12．已知平面向量ab，满足(1,1)a，||1b，22ab，则a与b的夹角为________.

【答案】34

【解析】将|2|2ab两边同时平方后展开,结合平面向量数量积运算及模的运算,即努力的你，未来可期!

精品 可求得a与b的夹角的余弦值,进而求得a与b的夹角即可.

【详解】

因为(1,1)a,则2a

因为|2|2ab,等式两边同时平方可得

22442aabb

代入2a,||1b可得

1ab

设,ab夹角为,则

由平面向量数量积的定义可得12221cosabab

因为0

所以34

故答案为: 34

【点睛】

本题考查了平面向量数量积的定义及简单应用,向量夹角的求法,属于基础题.

13．设5{}13a，，，6{}24b，，，则函数1bafxlogx是减函数的概率为_____________．

【答案】23

【解析】由复合函数的单调性推出1ba，即可利用古典概型概率公式进行计算.

【详解】

{1,3,5},{2,4,6}ab，基本事件总数339n，

函数1bafxlogx是减函数，且函数1yx在,0,0,上单调递减，

1ba，则函数1bafxlogx是减函数包含的基本事件,ab有：(1,2),(1,4),(1,6),(3,4),(3,6),(5,6)，共6个，