2020届上海杨浦区高三二模数学试题解析

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2020届上海杨浦区高三二模数学试题

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

注意事项：注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上

一、单选题

1．不等式102xx的解集为（ ）

A．[1,2] B．[1,2) C．(,1][2,) D．(,1)(2,)

答案：B

把分式不等式转化为整式不等式求解．注意分母不为0．

解：

原不等式可化为(1)(2)020xxx，解得12x．

故选：B．

点评：

本题考查解分式不等式，解题方法是转化为整式不等式求解，转化时要注意分式的分母不为0．

2．设z是复数，则“z是虚数”是“3z是虚数”的（ ）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件

答案：B

根据充分必要条件的定义及复数的概念进行判断．可取特例说明一个命题为假．

解：

充分性：取1322zi，故31z是实数，故充分性不成立；

必要性：假设z是实数，则3z也是实数，与3z是虚数矛盾，∴z是虚数，故必要性成立．

故选：B．.

点评：

本题考查充分必要条件的判断，考查复数的概念，属于基础题．

3．设12,FF是椭圆22194xy的两焦点，A与B是该椭圆的右顶点与上顶点，P是该椭圆上的一个动点，O是坐标原点，记2122sOPFPFPuuuruuuruuuur.在动点P在第一象限内从A沿椭圆向左上方运动到B的过程中，s的大小变化情况为（ ）

A．逐渐变大 B．逐渐变小 C．先变大后变小 D．先变小后变大

答案：B

设(,)Pxy，然后由向量数量积的坐标表示求出s为x的函数后，根据函数性质可得结论．

解：

设(,)Pxy，由椭圆方程知12(5,0),(5,0)FF，

2221222()(5,)(5,)sOPFPFPxyxyxyuuuruuuruuuur2222222()(5)5xyxyxy2225415999xxx，随x的减小而变小，

故选：B.

点评：

本题考查平面向量数量积的坐标运算，掌握向量数量积的的坐标表示是解题基础．

4．设na是2020项的实数数列，na中的每一项都不为零，na中任意连续11项110,,nnnaaaL的乘积是定值(1,2,3,,2010)nL.

①存在满足条件的数列，使得其中恰有365个1；

②不存在满足条件的数列，使得其中恰有550个1.

命题的真假情况为（ ）

A．①和②都是真命题 B．①是真命题，②是假命题

C．②是真命题，①是假命题 D．①和②都是假命题

答案：D

先确定数列是周期数列，然后根据一个周期中出现的1的个数，判断数列中可能出现的1的个数（与365,550接近的可能个数），得出结论．

解：

设110nnnaaakL；则1211nnnaaakL，也就是11nnaa，即na是以11为周期的数列.而2020111837.

若一个周期内有1个1，则1的个数有183或184个.

若一个周期内有2个1，则1的个数有366或367或368个. 若一个周期内有3个1，则1的个数有549或550或551或552个.

故选：D．

点评：

本题考查数列的周期性，解题方法是确定出数列的周期，然后分类讨论1出现的次数的可能（与365,550接近的可能个数）．

二、填空题

5．设集合{1,2,3,4}A，集合{1,,3,5}B，则ABI_______.

答案：{1,3}.

根据交集定义计算．

解：

由题意ABI{1,3}．

故答案为：{1,3}．

点评：

本题考查交集的运算，属于简单题．

6．行列式120235580_______.

答案：10

根据行列式定义直接计算．

解：

120352523512(040)2(025)108050580．

故答案为：10．

点评：

本题考查三阶行列式的计算，掌握行列式计算公式即可．属于基础题．

7．函数23cos1yx的最小正周期为_______.

答案：

用降幂公式化函数为一次的形式后可计算周期．

解： 21cos2353cos131cos2222xyxx，故周期22T.

故答案为：．

点评：

本题考查三角函数的周期，考查余弦的二倍角公式，属于基础题．

8．已知复数z满足1243izi，则z__________．

答案：2i.

在等式1243izi两边同时除以12i，再利用复数的除法法则可得出复数z.

解：

1243iziQ，24312434836105212121255iiiiiiiziiii，

故答案为2i.

点评：

本题考查复数的除法，解题的关键就是从等式中得出z的表达式，再结合复数的四则运算律得出结果.

9．若na是无穷等比数列，首项111,33aq，则na的各项的和S_______.

答案：12.

直接由无穷递缩等比数列的和的公式计算．

解：

1131213S．

故答案为：12．

点评：

本题考查无穷递缩等比数列的和，掌握无穷递缩等比数列的和的公式是解题关键．

10．在3名男生、4名女生中随机选出2名学生参加某次活动，则选出的学生恰为一男一女的概率为_______.

答案：47

根据组合的知识求出从7人中任取2人的方法数，同时计算出选出的学生恰为一男一女的方法数，然后可计算出概率．

解：

由题意113427124217CCPC.

故答案为：47．

点评：

本题考查古典概型，解题关键是求出所有基本事件的个数．

11．实数,xy满足约束条件342300xyxyxy，目标函数fxy的最大值为_______.

答案：2

作出可行域，作出目标对应的直线，平移此直线可得最优解．

解：

作出可行域，如图四边形OABC内部（含边界），

联立2334xyxy，解得11xy，即点1,1B，

作直线:0lxy，平移直线l，当l过点1,1B时，直线fxy在x轴上的截距最大，

此时fxy取得最大值max112f.

故答案为：2.

点评：

本题考查简单的线性规划，解题关键是作出可行域，作出目标函数对应的直线．

12．已知曲线1C的参数方程为212xtyt，曲线2C的参数方程为15cos5sinxy（是参数），则1C和2C的两个交点之间的距离为_______.

答案：655

把两曲线的参数方程化为普通方程，求出圆心到直线的距离，根据勾股定理计算弦长．

解：

消去参数得两曲线的普通方程为：2212:250,:(1)5CxyCxy，

曲线2C是圆，圆心为2(1,0)C，半径为5r，圆心到直线距离为221054551(2)d，故两交点之间距离为22166522555rd.

故答案为：655．

点评：

本题考查参数方程与普通方程的互化，考查求直线与圆相交弦长，求直线与圆相交弦长问题，一般不是直接求出交点坐标，而是求出圆心到弦所在直线距离，用勾股定理（几何方法）计算弦长．

13．数列na满足111,32nnaaan对任意*nN恒成立，则2020a_______.

答案：3031

由已知再写出1235nnaan，两式相减可得数列{}na的偶数项成等差数列，求出2a后，由等差数列的通项公式可得2020a．

解：

由1123235nnnnaanaan，两式相减得23nnaa.而2514a，

∴2020210094100933031aad.

故答案为：3031．

点评：

本题考查等差数列的通项公式与等差数列的判断，解题关键是由已知递推式写出相邻式（用1n代n）后两式相减．

14．设*nN，若(2)nx的二项展开式中，有理项的系数之和为29525，则n_______. 答案：10

根据二项式定理确定(2)nx的二项展开式中，有理项是奇数项，其系数与(2)nx展开式中奇数项系数相等，这样可在(2)nx的展开式中用赋值法求得奇数项系数和．

解：

12()rnrrrnTCx，有理项为奇数项，即0220222nnnnnnCCCL，也就是(2)nx的奇数项，设2012(2)Lnnnxaaxaxax，并记()(2)nfxx，则012(1)nfaaaaL，012(1)(1)nnfaaaaL，

∴02(1)(1)312952522nnffaaL，∴10n．

故答案为：10．.

点评：

本题考查二项式定理，考查用赋值法求二项展开式中的系数和，类比成()(2)nfxx的系数是解题关键．

15．设abcrrr、、是同一平面上的三个两两不同的单位向量，若():():()1:1:2abbccarrrrrr，则abrr的值为_______.

答案：132

利用():():()1:1:2abbccarrrrrr可设abkrr，设,abrr的夹角为，则,bcrr的夹角为，,acrr的夹角为2或22，利用得2acabrrrr，建立方程关系求解即可.

解：

():():()1:1:2abbccarrrrrr，设abkrr，则,2bckackrrrr，

abcrrr、、是同一平面上的三个两两不同的单位向量，

设,abrr的夹角为，则,bcrr的夹角为，,acrr的夹角为2或22，

cos22()2cosacabrrrr，22cos2cos10，

解得13cos2，或13cos2（舍去）.