人教版高中选修1—2数学3.1数系的扩充和复数的概念教案(2)

1 数系的扩充

1 教学流程与设计意图

1.1 设置情境，再现历史

问题1 将10分成两部分，使两者的乘积为40．

设计意图：一方面展示数学家卡当的风采，激发学生的学习兴趣；另一方面，引领学生重温历史，感悟数学发现并不神秘，数学家也是从常规问题入手．

问题2 有没有两个数之和为10呢？有没有两个数之积为40呢？那为什么刚才的问题无解呢？

设计意图：充分暴露数学家的思维过程，一方面让学生体验数学家的科研精神，另一方面让学生处于“愤悱”状态．

问题3 实数集中有没有这两个数？

设计意图：打破原有认知平衡，形成认知冲突，让学生感受到数已经不够用了，体现学习新知识的必要性．

1.2 设计问题，追溯历史

问题4 数集经历了哪几次扩充？

设计意图：学生已经学习过自然数、整数、分数、负数、有理数、无理数、实数等，在此基础之上，帮助学生重新建构数集的扩充过程，即自然数集→整数集→有理数集→实数集，这是学生的“最近发展区”，也是本节课知识的生长点．

问题5 每一次扩充分别解决了哪些问题？

计意意图：学生通过小组合作交流、回忆、思考每次数集扩充的必要性，解决了哪些问题，即数集为什么要扩充？通过板书：

让学生感受到这些数的产生不是从天而降，是数学内部发展的需要，也是社会发展的需要． 自然数集 负整数 引入

无理数 引入

分数 引入 整数集 有理数集 实数集

＋

×

乘方 ＋

×

乘方

－ ＋

×

乘方

－

÷ ＋

×

乘方

－

÷

开方 2 问题6 这几次扩充有什么共同的特点？

设计意图：一方面培养学生的观察、概括与表达能力；另一方面通过对前几次数集扩充的梳理，为数系的再一次扩充以及如何扩充打好了坚实的基础，让学生感受到数系扩充的合理性，并能提炼出数系扩充的一般原则．由此，突破本节课的一个难点．

1.3 借鉴历史，生成理论

T： 然而，历史在前进，社会在发展，生活中的矛盾不断涌现．五百多年前一个怪东西摆在卡当面前，即－15开平方问题（板书：15）．要解决15问题，就是要找一个数的平方为－15（板书：2()1515(1)）．我们知道，15已经解决，因此问题即转化为找一个数的平方为－1？（板书：2()1？）

- 1 -

目标定位：

数的概念的发展与数系扩充是数学发展的一条重要线索．数系扩充的过程体现了数学的发现和创造过程，也体现了数学发生、发展的客观需要．复数作为数系扩充的结果引入，体现了实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充过程中的作用，以及数系扩充过程中数系结构与运算性质的变化．《标准》在选修1-2与选修2-2中设计了数系的扩充与复数的引入的内容，突出数系的扩充过程，实现了基础教育数学课程中数系从实数到复数的又一次扩充．《标准》强调复数的代数表示法及代数形式的加减运算的几何意义，淡化烦琐的计算和技巧性训练，从而体会数学体系的建构过程、数形结合思想以及人类理性思维在数学发展中的作用，有助于发展学生的创新意识．

引进虚数，把实数集扩充到复数集，这是中学课程里数的概念的最后一次扩充．虚数的引入，虽然最先是由于数学本身的需要，但也只有当复数表示平面上的点这一几何解释出现之后，在解决实际问题中才得到广泛的应用，复数才被人们承认并且巩固了下来．

复数与平面向量有着密切的联系．复数的向量形式是它的几何意义之一；借助向量，我们可以得到复数的加法法则，并赋予其几何意义；复数减法的几何意义与向量减法也是一致的．这种数形结合的思想丰富了我们研究问题和解决问题的范围和手段．同时，复数作为一种新的“数学语言”也为我们今后用代数方法解决几何问题提供了可能．

数系的扩充与复数的引入与2002年颁布的《全日制普通高级中学数学教学大纲》相比，删去了复数的三角形式以及复数三角形式的乘法、除法、乘方、开方等内容，突出了数系的扩充过程、复数的代数表示法、代数形式的四则运算以及加减运算的几何意义．

教材解读：

复数的内容是高中数学课程中的传统内容．对于复数，《标准》要求在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程求根）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系；理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件；了解复数的代数表示法

1 3.1.-1.2实数系与复数的引入

【使用说明】

1、课前完成导学案，牢记基础知识，掌握基本题型；

2、认真限时完成，规范书写；课上小组合作探究，答疑解惑。

【重点难点】复数的定义虚数单位;复数集的构成;复数相等的应用.

虚数单位;复数集的构成;复数相等的应用

【学习目标】

1、 知识与技能：实数系的总结，复数定义

（1）通过实例分析复数的定义虚数单位;复数集的构成;复数相等的应用.

虚数单位;复数集的构成;复数相等的应用，

2、过程与方法：小组合作探究；

3、情感态度与价值观：以极度的热情，自动自发，如痴如醉，投入到学习中，充分享受学习的乐趣感受人类理性思维对数学发展所起的重要作用,进行历史唯物主义教育与辩证唯物主义教育.

。

一，自主学习

1. ：N、Z、Q、R分别代表什么？它们的如何发展得来的？

（让学生感受数系的发展与生活是密切相关的）

2 . 判断下列方程在实数集中的解的个数（引导学生回顾根的个数与的关系）：

（1）2340xx （2）2450xx （3）2210xx （4）210x

3. 人类总是想使自己遇到的一切都能有合理的解释，不想得到“无解”的答案。

讨论：若给方程210x一个解i，则这个解i要满足什么条件？i是否在实数集中？

实数a与i相乘、相加的结果应如何？

4请对实数系进行分类

班级： 姓名： 组别： 组号： 使用时间： 教师评价：

2 1.复数的概念：

①定义复数：复数 代数形式

实部 虚部 虚数单位

复数集

3.1.1数系的扩充与复数的概念学案

知识目标 （1）理解复数的基本概念（2）理解复数相等的充要条件（3）了解复数的代数表示方法

过程与方法目标 在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程求根）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系．

情感目标 转化思想（通过两个复数相等的充要条件把复数问题转化为实数问题）的应用，培养良好的思维品质。

学习重点 引进虚数单位i的必要性、对i的规定、复数的有关概念

学习难点 实数系扩充到复数系的过程的理解，复数概念的理解．

导学设计

复习回顾：

你能概括出对数集因生产和科学发展的需要而逐步扩充的过程吗？

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一、创设情景、提出问题

问题1：我们知道，对于实系数一元二次方程012x，没有实数根．我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？

问题2：类比引进2，就可以解决方程220x在有理数集中无解的问题，怎么解决210x在实数集中无解的问题呢？

问题3：把实数和新引进的数i 像实数那样进行运算，并希望运算时有关的运算律仍成立，你得到什么样的数？

认真思考，大胆探索，温故而知新！ 二、自主探究、合作学习

1.复数的概念：

⑴虚数单位：数＿＿叫做虚数单位，具有下面的性质：

①＿＿＿＿＿＿＿＿＿

②＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

⑵复数：形如＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿叫做复数，常用字母＿＿＿表示，全体复数构成的集合叫做＿＿＿＿＿＿，常用字母＿＿＿表示．

⑶复数的代数形式：＿＿＿＿＿＿＿＿＿，其中＿＿＿＿叫做复数的实部，＿＿＿叫做复数的虚部，复数的实部和虚部都是＿＿＿数．