直线和椭圆的弦长公式

第1页/共3页 高二数学椭圆与相交直线的弦长公式

?解：如果需要,推一个便是.设椭圆和直线的方程分别为

X^2/a^2+Y^2/b^2=1和X/A+Y/B=0

即b^2?X^2+a^2?Y^2=a^2?b^2┅┅┅①

和BX+AY=0┅┅┅②

由②得Y=-BX/A

代入①且整理可得[(Ab)^2+(Ab)^2]?X^2=(ab)^2

∴X=±ab/√[(Ab)^2+(aB)^2]

从而Y=-{±abB/A√[(Ab)^2+(aB)^2]

记弦为PQ,则P(ab/√[(Ab)^2+(aB)^2],-abB/{A√[(Ab)^2+(aB)^2]})

Q(-ab/√[(Ab)^2+(aB)^2],abB/{A√[(Ab)^2+(aB)^2]})

于是|PQ|^2=(2ab)^2/[(Ab)^2+(aB)^2]+(2abB)^2/abB/{A^2[(Ab)^2+(aB)^2]}

∴弦长|PQ|=(2ab/A)√{[A^2+B^2]/[(Ab)^2+(aB)^2]}

这个工作可让学生分组负责收集整理,登在小黑板上,每周一换。要求学生抽空抄录并且阅读成诵。其目的在于扩大学生的知识面,引导学生关注社会,热爱生活,所以内容要尽量广泛一些,可以分为人生、价值、理想、学习、成长、责任、友谊、爱心、探索、环保等多方面。如此下去,除假期外,一年便可以积累40多则材料。如果学生的脑海里有了众多的鲜活生第2页/共3页 动的材料,写起文章来还用乱翻参考书吗?

我国古代的读书人,从上学之日起,就日诵不辍,一般在几年内就能识记几千个汉字,熟记几百篇文章,写出的诗文也是字斟句酌,琅琅上口,成为满腹经纶的文人。为什么在现代化教学的今天,我们念了十几年书的高中毕业生甚至大学生,竟提起作文就头疼,写不出像样的文章呢?吕叔湘先生早在1978年就尖锐地提出:“中小学语文教学效果差,中学语文毕业生语文水平低,……十几年上课总时数是9160课时,语文是2749课时,恰好是30%,十年的时间,二千七百多课时,用来学本国语文,却是大多数不过关,岂非咄咄怪事!”寻根究底,其主要原因就是腹中无物。特别是写议论文,初中水平以上的学生都知道议论文的“三要素”是论点、论据、论证,也通晓议论文的基本结构:提出问题――分析问题――解决问题,但真正动起笔来就犯难了。知道“是这样”,就是讲不出“为什么”。根本原因还是无“米”下“锅”。于是便翻开作文集锦之类的书大段抄起来,抄人家的名言警句,抄人家的事例,不参考作文书就很难写出像样的文章。所以,词汇贫乏、内容空洞、千篇一律便成了中学生作文的通病。要解决这个问题,不能单在布局谋篇等写作技方面下功夫,必须认识到“死记硬背”的重要性,让学生积累足够的“米”。注意:这是对于以原点为中心,长轴在横轴上的椭圆被直线截得的弦长公式,其中a,b分别为椭圆的半长轴和半短轴,A,B分别为直线在X轴上和Y轴上的截距.(其它情况,第3页/共3页 自行同样推导)

11.直线和椭圆位置关系判定方法概述

1直线斜率存在时

221ykxb

mxny





222()210mknxkbnxb

当0

时直线和椭圆相交

当0

时直线和椭圆相切

当0

时直线和椭圆相离

2直线斜率不存在时22

221x

xy

ab









判断y

有几个解

注：01

无论直线斜率存在与否，关键是看联立后的方程组有几组解，而不是看""

。

02

直线和椭圆位置关系的判断只有这种“坐标法”，无几何法。

2.直线和椭圆相交时

1弦长问题

弦长公式22

121221

111ABkxxkyy

ak



注：2

121212()4xxxxxx

而

12xx

和

12xx

可用韦达定理解决，不必求出

1x

和

2x

的精确值，“设而不求”思想初现。

2三角形面积

01

过x

轴上一定点H

的直线l与椭圆22

221xy

ab

交于A

、B

两点，求

AOBS

121

2AOBSOHyy



02

过y

轴上一定点H

的直线l与椭圆22

221xy

ba

交于A

、B

两点，求

AOBS

121

2AOBSOHxx



03弦任意，点任意

1

2S



弦长×点线距

注：仍然蕴含“设而不求”思想。

3弦的中点问题

01

中点弦所在直线方程问题02

平行弦中点轨迹

03

共点弦中点轨迹04

其他问题

2

类型题一：直线与椭圆位置

1.已知直线2kxy和椭圆1

2322

yx

，当k取何值时，此直线与椭圆：

（1）相交；（2）相切；（3）相离。

2.已知直线2kxy与椭圆2222

yx相交于不同的两点，求k的取值范围。

3.

点P

在椭圆284722

yx

上，则点P

到直线01623yx

的距离的最大值为

_____，最小值为________．

类型题二：弦长公式

1.已知椭圆：1

922

yx

，过左焦点

1F作倾斜角为

6

的直线交椭圆于BA,

两点，求弦AB

的长。

32.已知椭圆122

nymx

与直线1yx

相交于BA,

两点C

为AB

的中点。22AB

，

OC的斜率为

22

（O

为原点），求椭圆方程。

椭圆中的弦长公式推导

1 椭圆

椭圆是一种周边围绕椭圆心形成的曲线，它可以由近似一个圆形

和长短轴定义。在表示上，椭圆具有两个参数：长轴长度a和短轴长

度b，其几何表示形式为：$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$

2 弦长

椭圆的弦是椭圆上任意两个端点之间连接的线段，并且它的两个

端点在椭圆的曲线上。因此，由于椭圆具有不同的长短轴，它们具有

不同的弦长，弦长公式可以通过下面的形式计算：$$C = 2bE

(a,e)$$ 其中，C为弦长，b为短轴长度，a为长轴长度，E(a,e)表示

积分：$$E(a,e)=\int_0^{\pi}\sqrt{1-e^2 sin^2\theta}d\theta$$

3 椭圆弦长的推导

首先，我们将椭圆的几何表示式转换为椭圆的标准参数形式：

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \Rightarrow

\frac{x^2}{a^2-b^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 $$

根据定义，我们可以知道特征系数的关系：$$e=\frac{a-

b}{a+b}$$

据此，我们可以进一步把椭圆的几何表示形式写成：

$$\frac{x^2}{a(a-e(a+b))}+\frac{y^2}{b(a+b)}=1 $$ 由于我们要求椭圆上任意两点之间的弦长，所以我们可以考虑从

端点开始进行推导。椭圆的端点分为两种：纵向的对称端点（(0, b)）

和横向的对称端点（border point）（(a, 0)）。于是，我们可以把

弦长表示为：$$C = 2a\int_0^{\pi/2}\sqrt{\frac{(a-

e(a+b))^2}{a^2}sin^2\theta +\frac{b^2}{(a+b)^2}}d\theta$$

由于其中sin和cos具有周期性，所以我们可以用变量集成的方

法来求出弦长（C）：$$C=2a \int_0^{\pi/2}\sqrt{\frac{(a-

椭圆的弦长公式与中点弦问题 秒杀秘籍：椭圆的弦长公式与面积（不过焦点的弦）

椭圆222210,0xyabab与直线l：ykxm相交于AB两点，求AB的弦长。

设 设：1122,,,AxyBxy则22222121121214ABxxyykxxxx

将ykxm代入22221xyab得：22222222220bkaxakmxamab212222222122222akmxxbkaambxxbka

22222222221121222221141abbkamABkxxkxxxxkbka

例1：已知椭圆方程为1222yx与直线方程21:xyl相交于A、B两点，求AB的弦长

解 解：设：1122,,,AxyBxy则22222121121214ABxxyykxxxx

将12yx代入2212xy得：

233202xx12122312xxxx222121113ABkxx

椭圆与直线交点的判别式：2222224abbkam用来判断是否有交点问题。

面积问题：椭圆与直线mkxyl:相交与两点，00,yxC为AB外任意一点，求ABCS。设C到l的距离为d，则22220000222211221ABCkxymkxymabbkamSABdABbkak

例2：已知椭圆C:22221xyab221(0)xyababAB、的一个顶点为(2,0)A,离心率为22.直线(1ykx）与椭圆C交于不同的两点M、N.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)当△AMN得面积为103时,求k的值.

解：(Ⅰ)22;2,22caecba；故椭圆方程为22142xy；(Ⅱ)12AMNSMNd，