大学物理第二章-质点动力学

第2章质点动力学

2.1 牛顿运动定律

一、牛顿第一定律

任何物体都保持静止或匀速直线运动状态，直到其他物体所作用的力迫使它改 变这种状态为止。

二、牛顿第二定律

物体所获得的加速度的大小与合外力的大小成正比，与物体的质量成反比,

方向与合外力的方向相同。 表示为

f ma

说明:

⑵在直角坐标系中，牛顿方程可写成分量式

fx ma*， fy may， fz maz。

⑶ 在圆周运动中，牛顿方程沿切向和法向的分量式

ft mat fn man

⑷ 动量：物体质量m与运动速度v的乘积，用p表示。

p mv

动量是矢量，方向与速度方向相同。

由于质量是衡量，引入动量后，牛顿方程可写成

dv m一 dt

当f 0时，r 0，dp常量，即物体的动量大小和方向均不改变。此结

论成为质点动量守恒定律

三、 牛顿第三定律：物体间的作用力和反作用力大小相等，方向相反，且在同 一直线上。 物体同时受几个力 fi,f2 fn的作用时，合力f等于这些力的矢量和

fn 力的叠加原理

d p

dt f ma 说明：作用力和反作用力是属于同一性质的力。

四、 国际单位制 量纲

基本量与基本单位

导出量与导出单位

五、 常见的力

力是物体之间的相互作用。

力的基本类型：引力相互作用、电磁相互作用和核力相互作用。

按力的性质来分，常见的力可分为引力、弹性力和摩擦力。

六、 牛顿运动定律的应用

用牛顿运动定律解题时一般可分为以下几个步骤：

隔离物体，受力分析。

建立坐标，列方程。 求解方程。

当力是变力时，用牛顿第二定律得微分方程形式求解。例题

例2-1如下图所示，在倾角为30°的光滑斜面（固定于水平面）上有两物体通过 滑轮相连，已知 叶3kg, m2 2kg，且滑轮和绳子的质量可忽略，试求每一物

体的加速度a及绳子的张力FT （重力加速度g取9.80m • s 2 ）。

解 分别取叶和m2为研究对象，受力分析如上图。利用牛顿第二定律列方程:

*欧阳光明*创编 2021.03.07

*欧阳光明*创编 2021.03.07 质点动力学习题答案

欧阳光明（2021.03.07）

2-1一个质量为P的质点，在光滑的固定斜面（倾角为）上以初速度0v运动，0v的方向与斜面底边的水平线AB平行，如图所示，求这质点的运动轨道.

解: 物体置于斜面上受到重力mg，斜面支持力N.建立坐标：取0v方向为X轴，平行斜面与X轴垂直方向为Y轴.如图2-1.

图2-1

X方向： 0xFtvx0①

Y方向： yymamgFsin②

0t时 0y0yv

由①、②式消去t，得

2-2 质量为m的物体被竖直上抛，初速度为0v，物体受到的空气阻力数值为fKV，K为常数.求物体升高到最高点时所用时间及上升的最大高度.

解：⑴研究对象：m

⑵受力分析：m受两个力，重力P及空气阻力f

⑶牛顿第二定律：

合力：fPF

y分量：dtdVmKVmg

即dtmKVmgdV1

mgKeKVmgKVtmK1)(10①

0V时，物体达到了最高点，可有0t为 *欧阳光明*创编 2021.03.07

*欧阳光明*创编 2021.03.07 )1ln(ln000mgKVKmmgKVmgKmt②

∵dtdyV

∴Vdtdy

021()1KtmmmgKVemgtKK③

0tt时，maxyy，

习题二

2-1质量为m的子弹以速率0v水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，大小与速度成正比，比例系数为k，忽略子弹的重力，求：(1)子弹射入沙土后，速度大小随时间的变化关系；(2)子弹射入沙土的最大深度。

[解]设任意时刻子弹的速度为v，子弹进入沙土的最大深度为s，由题意知，子弹所受的阻力f=-kv

(1)由牛顿第二定律tvmmafdd

即tvmkvdd

所以tmkvvdd

对等式两边积分tvvtmkvv0dd0

得tmkvv0ln

因此tmkevv0

(2)由牛顿第二定律xvmvtxxvmtvmmafdddddddd

即xvmvkvdd

所以vxmkdd

对上式两边积分000ddvsvxmk

得到0vsmk

即kmvs0

2-2质量为m的小球，在水中受到的浮力为F，当它从静止开始沉降时，受到水的粘滞阻力为f＝kv(k为常数)。若从沉降开始计时，试证明小球在水中竖直沉降的速率v与时间的关系为

[证明]任意时刻t小球的受力如图所示，取向下为y轴的正方向，开始沉降处为坐标原点。由牛顿第二定律得

即tvmmakvFmgdd

整理得mtkvFmgvdd

对上式两边积分tvmtkvFmgv00dd mgFfy0得mktFmgkvFmgln

即mktekFmgv1

2-3跳伞运动员与装备的质量共为m，从伞塔上跳出后立即张伞，受空气的阻力与速率的平方成正比，即2kvF。求跳伞员的运动速率v随时间t变化的规律和极限速率Tv。

[解]设运动员在任一时刻的速率为v，极限速率为Tv，当运动员受的空气阻力等于运动员及装备的重力时，速率达到极限。

此时2Tkvmg

即kmgvT

有牛顿第二定律tvmkvmgdd2

整理得mtkvmgvdd2

对上式两边积分mgkmtkvmgvtv21dd002

第二章 质点动力学

2－1一物体从一倾角为30的斜面底部以初速v0=10m·s1向斜面上方冲去，到最高点后又沿斜面滑下，当滑到底部时速率v=7m·s1,求该物体与斜面间的摩擦系数。

解：物体与斜面间的摩擦力f＝uN＝umgcos30

物体向斜面上方冲去又回到斜面底部的过程由动能定理得

220112(1)22mvmvfs

物体向斜面上方冲到最高点的过程由动能定理得

2010sin302mvfsmghfsmgso

20(2)(31)vsgu

把式（2）代入式（1）得，

2202200.1983vvuvv

2－2如本题图，一质量为m的小球最初位于光滑圆形凹槽的A点，然后沿圆弧ADCB下滑，试求小球在C点时的角速度和对圆弧表面的作用力，圆弧半径为r 。

解：小球在运动的过程中受到重力Gr和轨道对它的支持力Tr.取如图所示的自然坐标系，由牛顿定律得

22sin(1)cos(2)tndvFmgmdtvFTmgmRrrr

由,,1dsrdrdvdtdtdtv得代入式（），

A并根据小球从点运动到点C始末条件进行积分有， 习题2－2图 A o B

rD C T 00902n(sin)2cos2cos/mcos3cos'3cos,evvdvrgdvgrvgrrvmgmgrmgor得则小球在点C的角速度为＝由式（2）得 T由此可得小球对园轨道得作用力为TT方向与反向

2－3如本题图，一倾角为的斜面置于光滑桌面上，斜面上放一质量为m的木块，两者间摩擦系数为，为使木块相对斜面静止，求斜面的加速度a应满足的条件。

解：如图所示

1212minmaxsin,coscossin(1)sincos2(1)(2)(sincos)(cossin)(sincos)()(cossin)1(2)(1)(sincos)(cossin)(sincosaaaaNmgmamamguNmamauguaugugtguauutguguaugua得，得，)()(cossin)1()()11gtguuutggtgugtguautgutg